Driving Force

FISICA – LEZIONE 3
S.D.S. ARCHITETTURA
Prof. Ing. Francesco Noto
I vettori
 Grandezze scalari:


vengono definite dal loro valore numerico
esempi: lunghezza di un segmento, area di una
figura piana, temperatura di un corpo, ecc.
 Grandezze vettoriali


vengono definite, oltre che dal loro valore
numerico, da una direzione e da un verso
esempi: velocità di un corpo, forza agente su un
corpo, ecc.
Vettori nel piano
 Spostamento, velocità e accelerazione sono
grandezze vettoriali
 Ogni vettore su di un piano può essere espresso
come somma di due vettori
 Per lo spazio: ogni vettore può essere espresso
come somma di tre vettori
 Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti
versori o vettori unitari, in quanto hanno
intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle
3
Vettori nel piano

modulo di v = lunghezza
y
B’’

v
A
B
del segmento AB

vè
la direzione di
definita dall’angolo φ
φ
A’’
O
A’

v  (v x , v y )

v  v x2  v 2y
  arctan
vy
vx
B’
x
componente vx =
lunghezza orientata del
segmento A’B’
componente vy =
lunghezza orientata del
segmento A’’B’’
Vettore posizione
 Il vettore posizione si può quindi scrivere
coord. cartesiane r t  xtux  ytuy



 In coord. polari r t    t u  0u
 In
 Ove le funzioni che moltiplicano i versori sono le
proiezioni del vettore 
lungo le direzioni dei versori
stessi
 Similmente in tre dimensioni
r t   x t ux  y t uy  zt uz
 In coord. cartesiane
 In
coord. sferiche





r t   r t ur  0u  0u
5
Vettore posizione
 Una importante differenza tra sistema cartesiano e
polare è che nel primo l’orientazione dei versori è
indipendente dal particolare vettore posizione e
quindi dal tempo, mentre nel secondo in generale
dipende da questi
6
Vettore spostamento
 È la differenza di due vettori posizione,
ad esempio r t  t e
r t 
r t   r t  t   r t 



r t 
r t 

r t 
r t 
r t  t 

r t  t 
7


Vettore spostamento
 In coordinate cartesiane lo spostamento si può
esprimere
r t   x t  t  x t ux  y t  t   y t uy
 Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in quanto
sono gli stessi per i due vettori posizione

r t 
r t 


r t  t 
8
Vettore spostamento
 In coordinate polari lo spostamento si può
esprimere con i versori relativi a r t 


 Ciò in pratica equivale a proiettare r t  t  lungo



r t    t  t    t u  rf t  t   rf t  uf
r t  e
lungo la direzione perpendicolare,
f

r t  
r t 

r t  t 
9

Versori
versore = vettore di lunghezza unitaria
y
î (1,0) = versore dell’asse x
ĵ(0,1) = versore dell’asse y
ĵ
î
0
x
Prodotto di un vettore per uno scalare
Dati uno scalare c ed un vettore v, si definisce il
prodotto u=cv.
Il vettore u è parallelo a v. Il modulo di u è dato da:


u  c v
Il verso di u è lo stesso di v se c>0, è opposto a quello
di v se c<0
Somma di due vettori
y
Il vettore somma
c=a+b è la
diagonale del
parallelogramma
avente per lati i
vettori a e b
by
a
cy
ay
c
θ
b
ax
0
c x  a x  bx
c y  a y  by
bx
cx

c 
x
2
2
 
a  b  2 a b cosθ
Differenza di due vettori
La differenza a - b si calcola sommando al vettore a
il vettore -b, opposto del vettore b
y
c=a-b
a
-b
b
0
x
Somma di N vettori
Dati i vettori a1, a2, ... , aN il vettore somma b = a1+a2+ ... +aN si
calcola nel modo seguente:
•si costruisce la spezzata formata dai vettori a1, a2, ..., aN
•si congiungono i due estremi liberi di tale spezzata
y
a2
a1
a3
a4
b
0
x
bx  a1x  a 2x  ...  a Nx
b y  a1y  a 2y  ...  a Ny
Vettori nello spazio
z

v  v x iˆ  v y ˆj  v z kˆ
^
vz k
v

2
2
2
v  v x  v y  vz
θ
vy ĵ
vx î
x
φ
y
La direzione di v risulta
definita dagli angoli θ e φ
vz
θ  arccos 
v
  arctan
vy
vx
Prodotto scalare
Dati due vettori a e b, il prodotto scalare tra a e b è una
grandezza scalare definita nel modo seguente:
 
a  b  a b cosα
b
Il prodotto scalare tra a e b è
un numero che è pari al
prodotto del modulo di a per
la componente di b lungo la
direzione di a
α
a
bcosα
Ovviamente il prodotto
scalare a · b è anche pari al
prodotto del modulo di b per
la componente di a lungo la
direzione di b
Prodotto scalare in componenti cartesiane
Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono
a due a due perpendicolari fra loro, si ha che:
iˆ  iˆ  1
ˆj  iˆ  0
kˆ  iˆ  0
iˆ  ˆj  0
ˆj  ˆj  1
kˆ  ˆj  0
iˆ  kˆ  0
ˆj  kˆ  0
kˆ  kˆ  1
Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro
componenti cartesiane, si ha:

a  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ

b  bx iˆ  b y ˆj  bz kˆ
Caso particolare: b = a
 
a  b  a x bx  a y by  a z bz
 
2
2
2
2
a  a  a x  a y  az  a
Prodotto vettoriale
Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale c = a × b è un vettore
che gode delle proprietà seguenti:
• il modulo di c è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di
180° compreso tra a e b
• la direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b
• il verso di c è calcolato applicando la regola della mano destra
c
b
θ
a
La regola della mano destra
 Prima formulazione
 Si dispone il pollice lungo il primo vettore
a×b
 Si dispone l’indice lungo il secondo vettore
 Il verso del medio individua il verso del
prodotto vettoriale
 Seconda formulazione
 Si chiude a pugno la mano destra
mantenendo sollevato il pollice
 Le dita chiuse a pugno devono indicare il
verso in cui il primo vettore deve ruotare
per sovrapporsi al secondo in modo che
l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°
 Il verso del pollice individua il verso del
prodotto vettoriale
b
a
a×b
b
a
Proprietà del prodotto vettoriale
 Il modulo del prodotto vettoriale è
pari all’area del parallelogramma
individuato dai due vettori
 Il prodotto vettoriale è nullo se i
due vettori sono paralleli (θ=0)
 Il prodotto vettoriale gode della
proprietà anticommutativa:
 
 
b  a  a  b
b
θ
a
Prodotto vettoriale in componenti cartesiane
Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due
perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si
hanno le seguenti relazioni:
iˆ  iˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ iˆ  kˆ   ˆj
ˆj  iˆ  kˆ ˆj  ˆj  0
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj kˆ  ˆj  iˆ kˆ  kˆ  0
Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti
cartesiane, si ha che:
  ˆ
a  b  i (a y bz  az by )  ˆj(az bx  a x bz )  kˆ(a x by  a y bx )
iˆ
 
a  b  ax
ˆj
kˆ
ay
az
bx
by
bz
Posizione di un punto nello spazio
 La posizione di un punto materiale nello spazio viene
individuata mediante il vettore posizione (o raggio vettore)
che congiunge l’origine del sistema di riferimento con il
punto materiale.

 In coordinate cartesiane:
r  xiˆ  yˆj  zkˆ
z
P
r
O
x
y
Vettore velocità
 Similmente a quanto fatto nel caso unidimensionale,
definiamo la velocità media come
r t  r t  t   r t 
v 

m
t
t
 Che è da intendersi, in coordinate cartesiane, come

y t  t   y t 
r t  x t  t   x t 

vm 

ux 
uy
t
t
t
 Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y

23
Vettore velocità
 La velocità istantanea è, di nuovo, il
limite della velocità media quando
l’intervallo di tempo tende a zero:
x t  t   x t 
y t  t   y t 
r t 


v  lim
 lim
ux  lim
uy 
t 0 t
t 0
t 0
t
t
dx
dy

ux 
uy  v x ux  v y uy
dt
dt
24
Vettore velocità
 In coordinate polari avremo


r t   t  t    t   rf t  t   rf t  
vm 

u 
uf
t
t
t
 Ove ora la coppia di velocità è formata dalla velocità
radiale (cioè lungo ) e da quella azimutale (cioè
lungo f)
25
Vettore velocità
 E per la velocita` istantanea:


rf t  t   rf t  
 dr

 t  t    t  
v
 lim
u   lim
uf 

t

0

t

0
dt
t
t
d  drf 



u 
uf  v u   vf uf
dt
dt
 È importante esprimere in altro modo la
velocità azimutale
26
Vettore velocità
 Se l’intervallo di tempo è infinitesimo,
anche il vettore spostamento sarà tale
dr  du  dfuf
dr t 

 
 r t  dt 

du
dfuf
r t 

27
Vettore velocità
 Per trovare la velocità basta dividere lo spostamento
per l’intervallo di tempo:
dr d
df

u  
uf
dt dt
dt
 Dal confronto con l’espressione precedentemente
trovata, abbiamo che la velocità azimutale è

df

dt
dt
drf
28
Vettore velocità
 Interpretazione geometrica del vettore velocita` media:
 la direzione e` quella della secante alla traiettoria percorsa
dal corpo in moto, individuata dai vettori
r t  e r t  t 
 il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore
spostamento e l’intervallo di tempo necessario a
Considerazioni indipendenti
 percorrerlo


dal sistema di riferimento



r
t


vm 
r t 
r t 
t
r t 
r t  t 
r t 
r t  t 
29

Vettore velocità
 Interpretazione geometrica del vettore velocita`
istantanea: la direzione e` quella della tangente alla
traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t
 il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del vettore
spostamento e l’intervallo di tempo necessario a
percorrerlo
Considerazioni indipendenti
dal sistema di riferimento

v t 

r t 

r t 


r t 
v  lim
t 0 t
r t 
r t  t 

r t 

v t 
r t  t 

30
Velocita`: riassunto



v  vx u x  v y u y
 Velocita` in coordinate cartesiane:
dy
dx
v

y
 Componenti: vx  dt
dt
2
 Modulo:
v  vx  v y
2
2
 dx   dy 
    
 dt   dt 
Generalizzabile
Immediatamente al
moto nello spazio
2



 Velocita` in coordinate polari: v  v u  vf uf
df
d
v


 Componenti: v 
f
dt
dt
 d   df 
   

 dt   dt 
2
 Modulo: v  v 2  vf 2
2
31
Spostamento e velocità media
P1 = posizione del corpo all’istante t1
P2 = posizione del corpo all’istante t2=t1+Δt
  
Spostamento: Δr  r2  r1  (x2 iˆ  y2 ˆj  z 2 kˆ)  (x1 iˆ  y1 ˆj  z1 kˆ)
 (x  x )iˆ  (y  y )ˆj  (z  z )kˆ  Δxiˆ  Δyˆj  Δzkˆ
2
1
2
2
1
Velocità vettoriale media:
z
P1
r1
Δr
P2
r2
O
x
1


Δr Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ
vM 

i
j
k
Δt Δt
Δt
Δt
La velocità media ha la stessa
y direzione dello spostamento!
Velocità vettoriale istantanea
La velocità istantanea è definita partendo dalla velocità media
e considerandone il limite per Δt→0:




Δr dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v  lim v M  lim


i
j k
Δt 0
Δt 0 Δt
dt dt
dt
dt
Le componenti del vettore velocità sono dunque:
dx
vx 
dt
dy
vy 
dt
dz y
vz 
dt
Per Δt→0 la direzione dello
spostamento tende ad essere
tangente alla traiettoria
Il vettore velocità istantanea
è tangente alla traiettoria
Δr Δr
r(t)
O
Δr
r(t+Δt)
r(t+Δt)
r(t+Δt)
x
Vettore accelerazione
 E` definito come

 dv t 
a
dt
 Usando per convenienenza la coordinata curvilinea,
eseguiamo la derivata della velocita`:



duT t  dv 
df 
 dv t  d vt uT t  dvt  
 
a


uT t   vt 
 uT  v u N  aT  aN
dt
dt
dt
dt
dt
dt
 Mentre per definire la velocita` basta il vettore uT,
per l’accelerazione ne servono, in generale, due: uT
e uN
34
Vettore accelerazione
 Il primo va a costituire l’accelerazione tangenziale

dv 
aT  uT
dt
cioe` tangente alla traiettoria: e` relativo alla
variazione di modulo della velocita`
 Il secondo l’accelerazione normale, cioe`

df 
uN
perpendicolare alla traiettoria e verso la convessita` a N  v
dt
di questa: e` relativo alla variazione di direzione
della velocita`

aT

v t 

v t  t 

aN
35
Accelerazione
Siano v1 e v2 le velocità del punto materiale agli istanti di tempo
t1 e t2=t1+Δt
 


v 2  v1 Δv

Accelerazione media: a M 
t 2  t1
Δt
Accelerazione istantanea:





v(t  Δt)  v(t) dv
a  lim a M  lim

Δt 0
Δt 0
Δt
dt
dv x d 2 x
ax 
 2
dt
dt
d2y
ay 
 2
dt
dt
dv y
dv z d 2 z
az 
 2
dt
dt
In generale il vettore a avrà una componente parallela alla
traiettoria (accelerazione tangenziale) ed una componente
perpendicolare alla traiettoria (accelerazione normale)
Moto balistico
Consideriamo una particella che si muove in 2 dimensioni con
velocità iniziale v0 e accelerazione di gravità g costante
y

2
g   g ˆj (g  9,8m/s )
g
v0
v0y
y0
O
Posizione iniziale: (x0 , y0 )
θ0
v0x
Velocità iniziale:
v0x  v0 cos θ0
v0y  v0 sin θ0
x
x0
Il moto orizzontale ed il moto verticale sono indipendenti:
 asse x: moto rettilineo uniforme con velocità v0x
 asse y: moto uniformemente accelerato con velocità iniziale
v0y e accelerazione -g
Equazioni del moto balistico
Asse x:
x  x0  v0xt  x  x0  v0 cosθ0 t
v x  v0 cosθ0
Asse y:
1 2
1 2
y  y0  v0yt  gt  y  y0  v0 sinθ0 t  gt
2
2
v y  v0 sinθ0 - gt
Equazione della traiettoria:
x  x0
t
v0 cosθ0
1 (x  x0 )2
y  y0  tgθ0 (x  x0 )  g 2 2
2 v0 cos θ0
La traiettoria è un arco di parabola con concavità verso il basso
Gittata orizzontale
Consideriamo il caso di un proiettile che parte dall’origine del
sistema di riferimento (x0=0, y0=0):
1
x2
Traiettoria: y  tgθ0 x  g 2
2 v0 cos 2 θ0
y


1
x

  0 
y  0  x  tgθ0  g 2
2
2 v0 cos θ0 

2v02
v02
x 0 x 
sinθ0 cosθ0 
sin2θ0
g
g
La gittata è massima per θ0=45°
Formule valide solo se la quota di
arrivo è uguale a quella di partenza!
O
xG
x
Punto di massima altezza
y
yH
H
y0
O
x0
xH
x
v0 sinθ0
v sinθ0  gt  0  t 
Nel punto di altezza massima vy=0: 0
g
v02 sinθ0 cosθ0
x H  x0  v0 cosθ0 t  x0 
g
v02 sin 2θ0
1 2
y H  y0  v0 sinθ0 t  gt  y0 
2
2g
Moto circolare
 Sono i moti che avvengono lungo una circonferenza
 Poiche’ la velocita` cambia direzione
continuamente, deve essere sempre presente
un’accelerazione
 Se la velocita` e costante in modulo il moto si dice
uniforme
 Si puo` descrivere il moto o con la coordinata
curvilinea s o con la coordinata angolare ,
corrispondente all’angolo al centro sotteso da s
s  R
41
Moto circolare
 Similmente a quanto fatto per il moto
unidimensionale, si definiscono






Posizione angolare 
Spostamento angolare 

Velocita` angolare media m 
t
d


Velocita` angolare istantanea
dt
Accelerazione angolare media
Accelerazione angolare istantanea
m 

t
d d 2

 2
dt
dt
42
Moto circolare
 In un moto circolare la velocita` radiale e`
sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non
cambia in modulo (ma solo in direzione)
 La velocita` coincide quindi con la velocita`
azimutale
 La velocita` e` costante se e solo e` tale la
velocita` angolare
d
v 
0
dt
v  v  
d
 R
dt
vt   R t 
43
Moto circolare uniforme
 Il modulo della velocita` e` costante
 Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla
 Rimane l’accelerazione normale (centripeta)
v2
a  aN 
 2R
R
 Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo di
percorrenza della circonferenza:
T
2R 2

v

44
Moto circolare non uniforme
 Cioe` il modulo della velocita` non e` costante
 In questo caso c’e` accelerazione tangenziale
 Inoltre l’accelerazione centripeta non e` costante,
cio` e` conseguenza della formula2 che la lega alla
v
velocita`:
aN 
R
 Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita`
angolare segue che quest’ultima non e` costantev e R
quindi esiste un’accelerazione angolare
d d  v  1 dv 1

  
 aT
dt dt  R  R dt R
45
Esempio: moto circolare uniformemente accelerato
 Cioe` con accelerazione angolare costante
 Dalla formula precedente cio` equivale ad avere
un’accelerazione tangenziale costante
 Integrando l’equazione che definisce , troviamo
per la velocita` angolare:
  0  t
 E l’accelerazione centripeta risulta dipendente dal
tempo:
aN   2 R  R0  t 
2
46
Moto circolare uniforme
 Se proiettiamo il moto sui due assi
cartesiani, con origine nel centro
x  R cos   R cost  0 
della circonferenza:
 Ove 0 e` il valore assunto
y  R sin   R sint  0 
dall’angolo al tempo t=0
 Abbiamo ottenuto l’importante
risultato che il moto circolare
uniforme puo` essere pensato come
R
la sovrapposizione vettoriale di due

moti armonici di ugual ampiezza,
sfasati di un quarto di periodo
47
Moto circolare uniforme
La traiettoria è una circonferenza
La velocità è costante in modulo (ma non in direzione e verso!)
2π R
Periodo: T 
v
v(t)
v t
α
R
v(t)
α
Δv
v(t+Δt)
v(t+Δt)
α
Δv  2vsin
2
R
α
O
Accelerazione centripeta
v Δt
v Δt
2vsin
2 sin
Δv
v
2R
2R

 
vΔ t
Δt
Δt
R
2R
v(t)
Δv v 2
a  lim

Δt 0 Δt
R
v(t)
α
β
Δv
v(t+Δt)
v(t+Δt)
α
a
O
π
Δt  0  α  0  β  
2
 
Δv e v perpendico lari 

a diretto verso il centro
L’accelerazione è centripeta
ed in modulo vale v2/R
Vettore velocita` angolare 
 Possiamo considerare la velocita` angolare del moto circolare





un vettore
d


Il modulo e`
dt
La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare
Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra: e`
indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita
Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta
perpendicolare al piano del moto circolare passante per il
centro della circonferenza
Si deve pensare che il vettore  sia applicato ad un punto (per
altro arbitrario) dell’asse di rotazione
50
Vettore velocita` angolare 

 Grazie ad  possiamo
la
  esprimere

velocita` come v    r
 Ove r e` il vettore distanza tra il punto di
applicazione di v e quello di  (punto
arbitrario sull’asse di rotazione)
 Derivando  rispetto al tempo otteniamo il
vettore accelerazione angolare 
 Calcoliamo l’accelerazione a con le due
componenti tangenziale e centripeta:



 dv d   d   dr
a
   r  
r 

dt dt
dt
     
   r    v  aT  a N
r
v


r
dt
v
aN aT
51
Esercizio
 Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione
dei due moti lungo x e y
x  R cos t
y  R cos t
52
Esercizio
 Dati i due moti lungo x e y
x  a cos t
y  b sin t
 Trovare: a) l’equazione della traiettoria,
eliminando il tempo dalle equazioni;
b) l’espressione della distanza radiale (t);
c) l’espressione della coordinata angolare f(t);
d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane;
e) il vettore velocita` in coordinate polari
53
Esercizio
 Un punto P si muove di moto rettilineo
 Un osservatore O, che non giace sulla retta percorsa
da P, vede il punto muoversi con velocita` angolare

 Trovare come varia  in funzione della posizione di
P
P
h 
O
54

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