SOLUZIONI 1 2 3 4 5 6 7 8 4) I quattro vertici di un tetraedro regolare V vengono troncati, in modo che il solido rimanente L abbia otto facce: quattro triangoli equilateri e quattro esagoni regolari (vedi figura). Quanto vale il rapporto fra la superficie di L e la superficie di V ? (A) 1/3 (B) 1/2 (C) 2/3 (D) 7/9 (E) 1 9 10 11 12 A B C D E C B D A C D B 1) Nel codice a barre raffigurato a lato la cifra pi` u a destra, c, funge da cifra di controllo. Si calcola c sottraendo da 10 la cifra delle unit` a di (a1 +a3 +. . .+a11 )+3(a2 +a4 +. . .+a12 ). R. Dal tetraedro iniziale V vengono eliminati quattro tetraedri pi` u piccoli, il cui spigolo `e un terzo dello spigolo di V . Sia T l’area di ogni faccia di questi tetraedri α = 105° piccoli. Ognuna delle facce esagonali di L si pu` o scomporre in sei triangoli di area T , quindi la superficie di L `e uguale a 4 · 6T + 4T = 28T . Invece ognuna delle facce di V ha area 9T , quindi la superficie di V `e 36T . Il rapporto cercato `e 28/36 = 7/9. Quanto vale la cifra a1 in figura, che risulta illeggibile a causa dell’umidit`a? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 R. Sostituendo le cifre nell’espressione, si ha che la cifra delle unit`a di a1 + 13 + 3 · 17, cio`e di a1 + 64, `e 5. Quindi a1 = 1. 2) Una circonferenza `e divisa in quattro archi. Ognuno degli archi adiacenti AB, BC e CD misura 100◦ (vedi figura). Quanto misura l’angolo Pb formato dalle rette AB e CD? (A) 15◦ (B) 20◦ (C) 25◦ (D) 30◦ (E) 40◦ R. L’arco AD, per differenza, misura 60◦ . Se O `e il centro della circonferenza, i triangoli P AOB, COD e AOD sono isosceli. Quindi `e facile trovare le misure degli angoli mostrate nella figura a lato e l’angolo Pb misura 20◦ . 3) La figura mostra la sezione trasversale di un tunnel, formata da quattro quarti di circonferenza identici e da un segmento orizzontale. Qual `e l’area di questa sezione trasversale? (A) 2R2 (B) πR2 (C) 4R2 (D) 6R2 (E) 2πR2 R. L’area della sezione trasversale `e uguale all’area del rettangolo tratteggiato nella figura a lato. Infatti l’area dei due quarti di cerchio in alto, che sono esterni al rettangolo, `e uguale all’area dei due quarti di cerchio ombreggiati, interni al rettangolo. La base del rettangolo `e 4R e la sua altezza R, quindi l’area `e 4R2 . B α = 100° 5) Quante sono le circonferenze che passano attraverso almeno quattro dei punti segnati con • nella figura a lato? (I quattro angoli segnati in figura sono retti). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 o pi` u A P C D A 80° 80° D 40° 40° 60° 60° O 60° 40° 40° B C R. Le circonferenze sono 4, come si vede nella figura a lato. Esse hanno per diametri i segmenti tratteggiati. Infatti ogni triangolo rettangolo `e inscritto nella circonferenza che ha l’ipotenusa per diametro. Tutte le coppie di triangoli rettangoli con l’ipotenusa in comune hanno dunque i vertici su di una stessa circonferenza. 6) Sulla tavola ci sono quattro carte. Ogni carta porta una lettera su una faccia e un numero sull’altra faccia. Le facce visibili sono le seguenti. R R A K 4 7 Vogliamo verificare questa asserzione: “Se c’`e una vocale su una faccia di una carta, allora c’`e un numero pari sull’altra faccia.” Quali carte dobbiamo sicuramente girare per verificare l’asserzione? (A) A R (B) A e 4 (C) A e 7 (D) A, 4 e 7 (E) tutte le carte R R. Dobbiamo girare la prima e la quarta carta. Infatti l’asserzione `e falsa se dietro la A c’`e un numero dispari, e anche se dietro il 7 c’`e una vocale. Invece dietro la K e il 4 potrebbe esserci qualunque cosa senza che l’asserzione possa essere falsificata, quindi girare queste carte `e inutile. 7) Un terreno ha la forma di un trapezio rettangolo, con l’area di 210 m2 e le basi di 15 m e 20 m. L’area edificabile `e ristretta ad un trapezio interno, che ha i lati paralleli a quelli del terreno e ad una distanza da essi di 2 m (vedi figura). 20 Quanti m2 misura l’area di questo trapezio interno? 15 (A) 160/3 (B) 320/3 (C) 324/3 (D) 372/3 (E) 400/3 ` semplice vedere che l’altezza del trapezio esterno `e di 12 m R. E e quindi l’altezza del trapezio interno `e di 8 m. Per trovare la C F misura della base maggiore del trapezio interno osserviamo H G che essa si ottiene sottraendo dalla base maggiore del traD pezio esterno sia 2 m sia la misura del segmento F D nella A B figura a lato. I due triangoli CF G e DGH sono uguali fra loro (CF = DH = 2 m) e simili al triangolo ABC. Essendo AB = 12 m, BC = 5 m e quindi AC = 13 m (dal teorema di Pitagora), allora si ricava facilmente con una proporzione che F G = 5/6 m e DG = 13/6 m. Perci` o la base maggiore del trapezio interno misura 20−2−5/6−13/6 = 15 m. Con un ragionamento analogo si vede che la base minore misura 15 + 5/6 − 2 − 13/6 = 35/3 m. Quindi l’area del trapezio interno misura (15 + 35/3) · 8/2 = 320/3 m2 . 9) Dodici numeri positivi sono messi in successione. Il quarto numero `e 4, il dodicesimo numero `e 12. La somma di tre numeri consecutivi `e sempre 333. Qual `e il settimo numero? (A) 4 (B) 7 (C) 12 (D) 317 (E) i dati non sono sufficienti a determinarlo R. Indichiamo con x il quinto numero. Il sesto numero, siccome la somma di tre numeri consecutivi `e sempre 333, sar` a 333 − 4 − x = 329 − x. Per lo stesso motivo il settimo numero sar` a 333 − x − (329 − x) = 4. 10) Un uomo ha in tutto 2800 tra figli, nipoti, bisnipoti e bis-bisnipoti, tutti ancora viventi. I bis-bisnipoti non hanno figli. Ognuno dei figli, dei nipoti e dei bisnipoti ha lo stesso numero di figli dell’uomo stesso. Quanti figli ha l’uomo? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 R. Se l’uomo ha x figli, ognuno dei quali ha x figli, allora l’uomo ha x2 nipoti. Ma ognuno di questi ha x figli, quindi l’uomo ha anche x3 bisnipoti e poi x4 bisbisnipoti. Quindi x + x2 + x3 + x4 =2800, da cui si ottiene scomponendo in fattori: x(x+1)(x2 +1) = 2800. I tre fattori a primo membro sono dei numeri interi e sono dei divisori di 2800. Procedendo per tentativi si arriva facilmente alla soluzione x = 7. 11) Quanti sono i numeri interi n > 0 che soddisfano l’uguaglianza (n2 − 2n)n (A) 1 8) Un esagono `e diviso in quattro triangoli e tre quadrati (vedi figura). I lati del triangolo interno misurano 3, 4 e 5. Quante di queste sette figure hanno l’area uguale a 6? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) nessuna R. Cominciamo con l’osservare che il triangolo interno `e rettangolo, quindi la sua area `e proprio 6. Il triangolo in alto `e uguale al triangolo centrale, quindi anche la sua area `e 6. I quadrati hanno aree di 9, 16 e 25. Invece anche gli altri due triangoli hanno area 6. Per capirlo, consideriamo ad esempio il triangolo di sinistra. Se prendiamo come base il suo lato che misura 4, la sua altezza `e raffigurata tratteggiata nella figura a lato e insieme al prolungamento della base forma un triangolo rettangolo all’interno del quadrato di lato 5. Ma `e facile dimostrare che questo triangolo `e uguale al triangolo centrale, quindi l’altezza del triangolo a sinistra misura 3 e la sua area `e 6. Un ragionamento del tutto analogo si pu` o fare per il triangolo a destra, come si vede nella figura. Perci` o tutti e soli i quattro triangoli hanno area 6. +47 = (n2 − 2n)16n−16 ? (C) 3 (D) 4 (E) 5 R. Siccome le basi sono uguali, fra i numeri cercati ci sono quei valori di n che rendono uguali anche gli esponenti, cio`e le soluzioni di n2 + 47 = 16n − 16, che sono n = 7 e n = 9. Ma soddisfano alla richiesta anche quei valori che rendono le basi uguali a 0, 1 o −1 (quest’ultimo solo nel caso in cui gli esponenti risultino entrambi pari). L’equazione n2 − 2n = 0 ha come soluzione positiva solo n = 2; l’equazione n2 − 2n = 1 non ha soluzioni intere; l’equazione n2 − 2n = −1 ha come soluzione n = 1, che `e accettabile perch´e per tale valore gli esponenti sono pari. In tutto quindi ci sono 4 valori di n che soddisfano alla richiesta. 3 4 (B) 2 2 5 12) Nel triangolo rettangolo ABC i cateti misurano 3 e 4. Dal vertice A dell’angolo retto si mandano l’altezza AH e la mediana √ AM . Quanto misura HM ? (D) 3/4 (E) 1 (A) 1/2 (B) 7/10 (C) 2/2 4 5 3 A R. L’ipotenusa BC misura 5, quindi M B = 2,5. Il triangolo ABH `e simile ad ABC; dalla proporzione BH : AB = AB : BC si ricava BH = 1,8. Perci` o M H = BM − BH = 0,7. C M H B
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