istituto professionale “versari-macrelli”, cesena
lorenzo pantieri
matematica per le classi seconde
Dipartimento di Matematica
Anno scolastico 2014-2015
Scopo di questo
lavoro è spiegare
il contenuto del programma
di matematica agli alunni
dell’Istituto professionale “VersariMacrelli” di Cesena. Tale obiettivo
è perseguito esponendo i concetti fondamentali della materia, presentandoli nella maniera più chiara e semplice possibile, e fornendo una vasta gamma di esercizi risolti
passo per passo. Desidero ringraziare innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per
aver sostenuto fin da subito questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento
di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Arianna Monti, Monica Morelli, Enrico Petroncini ed Emanuela Pompili per l’aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione
nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un “grazie” altrettanto speciale va ai miei
studenti, per i consigli durante la stesura di un’opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti
da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura sia di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi,
soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive.
Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo
lavoro risultino di facile comprensione e quali invece potrebbero essere
spiegate meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un’incomprensione vostra o di uno sbaglio
mio (e ribadisco che quest’ultima eventualità è tutt’altro che impossibile). È con questo spirito
che ho scritto questo lavoro: spero che
possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere.
♥
Lorenzo Pantieri
Matematica per l’Istituto professionale “Versari-Macrelli”
c 2015
Copyright + [email protected]
Il frontespizio riproduce l’incisione Tassellazione del piano con uccelli
di Maurits Cornelis Escher e la litografia Relatività, dello stesso autore.
INDICE
1
2
3
4
5
scomposizione dei polinomi
1
1.1 Raccoglimento a fattor comune
1
1.1.1 Raccoglimento totale
1
1.1.2 Raccoglimento parziale
2
1.2 Riconoscimento di prodotti notevoli
1.2.1 Quadrato di un binomio
6
1.2.2 Differenza di quadrati
7
1.3 Trinomio speciale
8
1.4 Trinomi riconducibili a trinomi speciali
1.5 Scomposizione con la regola di Ruffini
1.6 MDC e mcm tra polinomi
17
1.7 Esercizi
18
frazioni algebriche
23
2.1 Semplificazione
24
2.2 Addizione e sottrazione
26
2.3 Moltiplicazione e divisione
29
2.4 Espressioni con le frazioni algebriche
2.5 Esercizi
32
equazioni di primo grado fratte
35
3.1 Esempi di equazioni fratte
35
3.2 Equazioni letterali e formule inverse
3.3 Esercizi
50
6
10
12
31
48
sistemi di equazioni lineari
53
4.1 Grado di un sistema
53
4.2 Sistemi determinati, indeterminati, impossibili
4.3 Principi di equivalenza
54
4.4 Risoluzione dei sistemi lineari
56
4.4.1 Metodo di sostituzione
56
4.4.2 Metodo di riduzione
58
4.4.3 Metodo del confronto
60
4.4.4 Metodo di Cramer
62
4.5 Problemi che si risolvono con i sistemi
65
4.6 Esercizi
67
54
elementi di geometria analitica
71
5.1 Piano cartesiano
71
5.2 Punti
71
5.3 Segmenti
73
5.3.1 Lunghezza di un segmento
73
5.3.2 Punto medio di un segmento
77
5.4 Esercizi
77
iii
1
SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI
Definizione 1. Scomporre un polinomio in fattori significa scriverlo come prodotto di
due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente
scomponibile, allora la scomposizione è in fattori primi.
Per esempio:
• poiché sappiamo che (x + 1)(x − 1) = x2 − 1, allora una scomposizione del binomio x2 − 1 è (x + 1)(x − 1);
• poiché sappiamo che (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + 3, allora una scomposizione del
trinomio x2 + 3x + 2 è (x + 1)(x + 2).
Polinomi come x2 − 1 e x2 + 3x + 2 si dicono riducibili. Ci sono invece altri polinomi che
non si possono scomporre, come per esempio x2 + 1; questi polinomi si dicono irriducibili.
Definizione 2. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri
polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario.
Le regole per eseguire la scomposizione non sono del tutto nuove perché si tratta, nella
maggior parte dei casi, di leggere da destra verso sinistra le regole già note sul prodotto di
polinomi e sui prodotti notevoli.
1.1
raccoglimento a fattor comune
1.1.1 Raccoglimento totale
Per eseguire il raccoglimento a fattor comune totale di un polinomio P si applica la
seguente procedura:
• si individua il MCD fra i monomi di P; esso, a meno di un coefficiente numerico
che a volte può essere utile raccogliere, rappresenta il fattore comune da mettere in
evidenza;
• si scrive P come prodotto del fattore comune individuato per il polinomio che si
ottiene dividendo ciascuno dei monomi di P per tale fattore.
Per esempio:
• ax + ay + az = a(x + y + z);
• 7ax3 − 14axy + 21a2 x2 = 7ax(x2 − 2y + 3ax).
Un raccoglimento di questo genere si può fare anche quando il fattore comune, anziché
essere un monomio, è un polinomio. Per esempio:
1
2
scomposizione dei polinomi
• nel polinomio 5x(x − 3) + 4(x − 3) si può raccogliere il binomio (x − 3), ottenendo
5x(x − 3) + 4(x − 3) = (x − 3)(5x + 4)
• nel polinomio (a − 1)2 − 3a(a − 1) si può raccogliere il binomio (a − 1), ottenendo
(a − 1)2 − 3a(a − 1) = (a − 1)(a − 1 − 3a) = (a − 1)(−2a − 1)
Dopo un raccoglimento totale a fattor comune, il numero di termini che si trovano all’interno delle parentesi deve essere uguale al numero dei termini del polinomio. Per esempio,
è sbagliato scrivere
2ax
3bx + x} = x( 2a
− 3b} )
| −{z
| {z
tre termini
due termini
mentre è corretto scrivere
3bx + x} = x(2a
3b + 1})
|2ax −{z
| −{z
tre termini
tre termini
Esercizio 1. Scomponi x(a + b) − 2a(a + b) + 3y(a + b).
Soluzione. Il fattore comune è (a + b), quindi
x(a + b) − 2a(a + b) + 3y(a + b) = (a + b)(x − 2a + 3y)
Esercizio 2. Scomponi 6a2 (a − 1) − 3a(a − 1) + ax(1 − a).
Soluzione. Tra i primi due addendi uno dei fattori comuni è (a − 1), ma nel terzo troviamo (1 − a); conviene allora raccogliere dapprima il segno“−” nell’ultima parentesi
6a2 (a − 1) − 3a(a − 1)−ax(a − 1)
Il fattore comune è a(a − 1); raccogliendo otteniamo:
a(a − 1)(6a − 3 − x)
1.1.2 Raccoglimento parziale
Talvolta non esiste un fattore comune a tutti i termini da poter raccogliere, ma capita che
ci siano dei fattori comuni solo a qualche termine. Per esempio, nel seguente caso:
2ay + 2by + ax
+ bx
| {z } | {z }
i primi due termini hanno in comune il fattore 2y, mentre gli ultimi due hanno in comune il
fattore x. Possiamo allora eseguire dei raccoglimenti parziali mettendo in evidenza questi
fattori comuni parziali:
2y(a + b) + x(a + b)
Quella che abbiamo ottenuto non è ancora una scomposizione del polinomio di partenza
perché abbiamo un’addizione, ma ci siamo messi nelle condizioni di poter effettuare un
1.1 raccoglimento a fattor comune
raccoglimento totale visto che (a + b) può essere considerato un fattore comune ai due
addendi; eseguendo il raccoglimento atteniamo
(a + b)(2y + x)
che questa volta è una scomposizione del polinomio in quando prodotto di due binomi.
Questo procedimento di raccoglimento parziale a fattor comune è quindi utile tutte le volte
che rende possibile un successivo raccoglimento totale; non serve invece se non si riesce a
mettere in evidenza un fattore comune. Per esempio, nel polinomio
3x − 6y + x2 − 2xy
| {z } | {z }
raccogliamo 3 fra i primi due monomi e x fra gli ultimi due:
3(x − 2y) + x(x − 2y)
Il raccoglimento è stato utile perché abbiamo trovato un fattore comune, ovvero il binomio (x − 2y); la scomposizione del polinomio dato è quindi
(x − 2y)(3 + x)
Invece, nel polinomio
3x − 2xy + 3ax
− 2a
| {z } | {z }
possiamo raccogliere x tra i primi due termini e a fra gli ultimi due
x(3 − 2y) + a(3x − 2)
Questa volta il raccoglimento, anche se eseguito correttamente, non è di alcuna utilità
perché non ha messo in evidenza un un fattore comune. Per scomporre il polinomio,
sempre che sia possibile, occorre procedere per altra via.
Esercizio 3. Scomponi 4ax + 6x2 − 2ay − 3xy.
Soluzione. Si può eseguire un raccoglimento parziale:
4ax
+ 6x2} − 2ay − 3xy = 2x(2a + 3x) − y(2a + 3x) = (2a + 3x)(2x − y)
| {z
| {z }
Esercizio 4. Scomponi bx + xy − 2ay − 2ab.
Soluzione. Il raccoglimento parziale può essere fatto in diversi modi.
• Possiamo raccogliere x fra i primi due monomi e −2a fra gli ultimi due:
bx + xy − 2ay − 2ab = x(b + y) − 2a(b + y) = (b + y)(x − 2a)
| {z } | {z }
• Oppure possiamo raccogliere b fra il primo e il quarto monomio, e y fra il secondo e
il terzo:
bx + xy − 2ay −2ab = b(x − 2a) + y(x − 2a) = (x − 2a)(b + y)
| {z }
Le due scomposizioni, ovviamente, coincidono.
3
4
scomposizione dei polinomi
Esercizio 5. Scomponi 2x2 − 6ax + 2x + bx − 3ab + b.
Soluzione. Il polinomio ha sei termini. Quindi, in vista di un successivo raccoglimento
totale, possiamo raccogliere i suoi monomi in gruppi di due oppure in gruppi di tre.
• In gruppi di due monomi:
2
2x
− 6ax} + 2x
+ bx} − 3ab
| {z
| {z
| {z+ b} = 2a(x − 3a) + x(b + 2) − b(3a − 1)
Questo raccoglimento non porta però a nulla di utile.
• In gruppi di tre monomi:
2
2x
| − 6ax
{z + 2x} + bx
| − 3ab
{z + b} = 2x(x − 3a + 1) + b(x − 3a + 1) = (x − 3a + 1)(2x + b)
Questo esempio ci fa riflettere che, a volte, se raccogliere in un certo modo non porta a
nulla di utile, un raccoglimento di tipo diverso può risolvere il problema.
In molti casi si deve usare una combinazione di queste due modalità di raccoglimento,
come nell’esempio seguente.
Esercizio 6. Scomponi 2x2 y + 4xy2 + 2mxy + 4my2 .
Soluzione. Possiamo mettere in evidenza il fattore 2y per tutto il polinomio:
2y(x2 + 2xy + mx + 2my)
| {z } | {z }
Raccogliamo adesso x fra i primi due termini all’interno della parentesi e m fra gli ultimi
due:
2y[x(x + 2y) + m(x + 2y)]
Raccogliamo ora di nuovo a fattor comune totale all’interno delle parentesi quadre:
2y[(x + 2y)(x + m)]
In definitiva la scomposizione del polinomio è
2y(x + 2y)(x + m)
in cui abbiamo eliminato le parentesi quadre perché superflue.
Gli esempi precedenti ci consentono di fare alcune considerazioni sulle modalità di
raccoglimento a fattor comune totale o parziale.
• Innanzitutto occorre verificare se esiste la possibilità di un raccoglimento totale.
• Se non vi è tale possibilità, o se il polinomio ottenuto dopo il raccoglimento lo permette, bisogna raccogliere parzialmente per gruppi di monomi uguale numerosità:
a due a due, a tre a tre e così via. In genere è sconsigliabile, salvo casi particolari,
raccogliere un fattore fra gruppi di monomi di diversa numerosità, per esempio un
1.1 raccoglimento a fattor comune
gruppo di tre monomi e un gruppo di due, perché così tacendo non è più possibile
eseguire raccoglimenti totali successivi. Per esempio, se per scomporre il polinomio
ax2 + 2ax + 2bx2 + 4bx + 3a + 6b
raccogliamo x fra i primi quattro monomi e 3 fra gli ultimi due, otteniamo
2
2
ax
+ 6b} = x(ax + 2a + 2bx + 4b) + 3(a + 2b)
| + 2ax +
{z2bx + 4bx} + 3a
| {z
che non consente di eseguire un raccoglimento totale. Invece raccogliendo a gruppi
di tre nel modo indicato otteniamo
2
ax
+ ax} +2bx2 + 2bx + |{z}
3a +6b = a(x2 + x + 3) + 2b(x2 + x + 3) = (x2 + x + 3)(a + 2b)
| {z
• La scelta dei termini fra cui raccogliere a fattor comune parziale non segue regole precise se non quella di cercare di arrivare alla possibilità di un successivo raccoglimento
totale; sarà l’esperienza via via maturata a guidarti nelle scelte.
• Come abbiamo visto nell’esercizio 5, può capitare che un raccoglimento parziale fatto
in un certo modo non permetta di fare a scomposizione; prima di abbandonare questo
metodo conviene tuttavia provare a eseguire raccoglimenti in un altro modo.
Esercizio 7. Scomponiamo in fattori ax + ay + az + bx + by + bz.
Soluzione. Non c’è nessun fattore comune a tutto il polinomio. Proviamo a mettere in
evidenza per gruppi di termini. Evidenziamo a tra i primi tre termini e b tra gli ultimi tre,
avremo: a(x + y + z) + b(x + y + z). Ora risulta semplice vedere che il trinomio (x + y + z)
è in comune e quindi lo possiamo mettere in evidenza
ax + ay + az + bx + by + bz = a(x + y + z) + b(x + y + z) = (x + y + z)(a + b)
|
{z
} |
{z
}
Esercizio 8. Scomponi in fattori ax + ay + bx + ab.
Soluzione. Proviamo a mettere in evidenza la a nel primo e secondo termine e la b nel terzo
e quarto termine:
ax + ay + bx
+ ab = a(x + y) + b(x + a)
| {z } | {z }
In questo caso non c’è nessun fattore comune: il metodo è fallito. In effetti il polinomio
non si può scomporre in fattori.
Esercizio 9. Scomponi in fattori bx − 2ab + 2ax − 4a2 .
Soluzione. Non ci sono fattori da mettere a fattor comune. Proviamo con il raccoglimento
parziale: b nei primi due monomi e 2a negli altri due:
bx
− 4a2} = b(x − 2a) + 2a(x − 2a) = (x − 2a)(b + 2a)
| −
{z2ab} + |2ax {z
5
6
scomposizione dei polinomi
1.2
riconoscimento di prodotti notevoli
Tutte le regole che abbiamo imparato sui prodotti notevoli possono anche essere lette
da destra verso sinistra per individuare i polinomi da cui provengono tali espressioni e
rendere quindi possibile la loro scomposizione. Rivediamole una per una.
1.2.1 Quadrato di un binomio
Ricordiamo le regole:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b − a)2
Quindi se un polinomio è costituito da tre addendi, due dei quali sono quadrati di monomi
o di altri polinomi, c’è la possibilità che tale trinomio provenga da un quadrato di un
binomio; per stabilirlo occorre verificare che il terzo termine sia proprio il doppio prodotto
delle basi considerate. Se il doppio prodotto è positivo, interporremo il segno “+” fra le
basi, se e negativo il segno “−”.
Esercizio 10. Scomponi a2 + 8a + 16.
Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di a e di 4, e il secondo
termine è il doppio prodotto degli stessi monomi (2 · a · 4 = 8a).
a2 + 8a + 16
(a)2
(4)2
Pertanto possiamo scrivere:
a2 + 8a + 16 = (a + 4)2
Esercizio 11. Scomponi 9x2 − 12xy + 4y2 .
Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di 3a e di 2y, e il
secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, pertanto possiamo scrivere:
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)2
Esercizio 12. Scomponi in fattori 4a2 + 12ab2 + 9b4 .
Soluzione. Il primo e il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di 2a e di 3b2 , e il
secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, pertanto possiamo scrivere:
4a2 + 12ab2 + 9b4 = (2a)2 + 2 · (2a) · (3b2 ) + (3b2 )2 = (2a + 3b2 )2
1.2 riconoscimento di prodotti notevoli
Esercizio 13. Scomponi in fattori x2 − 6x + 9.
Soluzione.
x2 − 6x + 9 = x2 − 2 · 3 · x + 32 = (x − 3)2
1.2.2 Differenza di quadrati
Ricordiamo la regola:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Quindi se un binomio è costituito dalla differenza di due monomi che sono dei quadrati,
per scomporlo basta individuare le basi dei due quadrati e indicare il prodotto della loro
somma per la loro differenza.
Esercizio 14. Scomponi 9x2 − 25.
Soluzione. Il due termini sono i quadrati rispettivamente di 3x e di 5.
9x2 − 25
(3x)2 52
quindi
9x2 − y2 = (3x + y)(3x − y)
Esercizio 15. Scomponi 4y2 − 1.
Soluzione. Il due termini sono i quadrati rispettivamente di 2y e di 1, pertanto:
4y2 − 1 = (2y + 1)(2y − 1)
Esercizio 16. Scomponi (a − 3)2 − x2 .
Soluzione. Il due termini sono i quadrati rispettivamente di a − 3 e di x, pertanto:
(a − 3)2 − x2 = [(a − 3) + x] · [(a − 3) + x] = (a − 3 + x)(a − 3 − x)
Esercizio 17. Scomponi 9z2 − (z + 5)2 .
Soluzione.
9z2 − (z + 5)2 = [3z + (z + 5)] · [3z − (z + 5)] = (3z + z + 5)(3z − z − 5) = (4z + 5)(2z − 5)
7
8
scomposizione dei polinomi
Esercizio 18. Scomponi 9a2 − (x − 2y)2 .
Soluzione.
[3a − (x − 2y)][3a + (x + 2y)] = (3a − x + 2y)(3a + x − 2y)
Esercizio 19. Scomponi
4 4
a − 25b2 .
9
Soluzione.
4 4
a − 25b2 =
9
2 2
a
3
2
2 2 2
2 2
− 5b
=
a + 5b ·
a − 5b
3
3
Attenzione agli errori!
• x2 + 4 non è uguale a (x + 2)2 perché manca il doppio prodotto;
• 4x2 − y2 non è uguale a (2x − y)2 perché è una differenza di quadrati.
1.3
trinomio speciale
Supponiamo di dover scomporre il trinomio di secondo grado a2 + 3a + 2. Non è possibile fare dei raccoglimenti a fattor comune significativi né riconoscere in esso il quadrato di
un binomio. Possiamo però sostituire al posto di 3a la somma a + 2a e scrivere il polinomio
in questo modo:
a2 + a + 2a + 2
Ora possiamo raccogliere a fattor comune prima parzialmente e poi totalmente
2
a
+ a} + 2a
+ 2} = a(a + 1) + 2(a + 1) = (a + 1)(a + 2)
| {z
| {z
Con questo artificio siamo riusciti a scomporre il polinomio dato. In sostanza abbiamo
interpretato il coefficiente del termine di primo grado (cioè 3) come la somma di due
numeri (2 e 1) che per prodotto danno proprio il termine noto, cioè 2 (2 · 1 = 2 e 2 + 1 = 3).
Questa procedura può essere applicata a tutti i polinomi che hanno la forma
x2 + sx + p
cioè a tutti i trinomi di secondo grado che hanno
• il coefficiente del termine di secondo grado uguale a 1;
• il coefficiente s del termine di primo grado che si può esprimere come somma di due
numeri a e b (s = a + b);
• il termine noto p che è uguale al prodotto degli stessi due numeri a e b (p = a · b).
1.3 trinomio speciale
Un trinomio di secondo grado di questo tipo si dice trinomio speciale (o caratteristico). Per
scomporlo basta individuare i due numeri a e b tali che s = a + b e p = a · b, e scrivere
che:
x2 + sx + p = (x + a)(x + b)
Scomponiamo, per esempio, il seguente polinomio:
x2 + 5x + 6
I due numeri che hanno prodotto 6 e somma 5 sono 2 e 3, quindi
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
In pratica, per cercare i due numeri a e b conviene partire dal loro prodotto (il termine
noto del trinomio), scrivere tutte le coppie di numeri interi che danno quel prodotto e
cercare fra queste coppie quella che ha per somma il coefficiente del termine di primo
grado. Se il prodotto è un numero “semplice”, come per esempio 12, non è difficile scoprire
che, indipendentemente dal segno, esso si può vedere come prodotto in uno dei seguenti
modi:
12 · 1
2·6
3·4
Ma se il numero è più “complesso”, per esempio 36 o un numero più grande, come si
può fare? Esiste una regola molto semplice:
• si scrivono i suoi divisori in ordine crescente;
• si formano !e coppie abbinando il primo e l’ultimo, il secondo e il penultimo e così
via fino alla coppia dei due termini centrali o il numero centrale con se stesso se ne
rimane uno solo.
Cerchiamo, per esempio, le coppie di numeri il cui prodotto è 36 e la cui somma è −15:
• i divisori di 36 sono:
±1
±2
±3
±4
±6
±9
± 12
± 18
± 36
• prendiamoli a coppie
±1
±2
±3
±4
±6
±9
±12
±18
±36
Le coppie cercate, a meno del segno, sono dunque:
1 e 36
2 e 18
3 e 12
4e9
6e6
Poiché la somma deve essere −15 e il numero 36 è positivo, dobbiamo attribuire a entrambi
i numeri delle coppie un segno negativo; non è difficile adesso scoprire che la coppia
cercata è
−3 e −12
9
10
scomposizione dei polinomi
Esercizio 20. Scomponi x2 − 5x + 6.
Soluzione. In questo caso a · b = 6 e a + b = −5. Quindi, poiché 6 si ottiene dai prodotti
(+6) · (+1)
(−6) · (−1)
(+3) · (+3)
(−3) · (−2)
la coppia da scegliere è quella che dà per somma −5, cioè la coppia −3, −2. La scomposizione è
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
Esercizio 21. Scomponi x2 + 3x − 10.
Soluzione. In questo caso a · b = −10 e a + b = +3. Quindi, poiché −10 si ottiene dai
prodotti
(+10) · (−1)
(−10) · (+1)
(+5) · (−2)
(−5) · (+2)
la coppia da scegliere è quella che dà per somma +5, cioè la coppia +5, −2 e la scomposizione è
x2 − 5x + 6 = (x + 5)(x − 2)
Esercizio 22. Scomponi x2 + 7x + 12.
Soluzione. I coefficienti sono positivi e quindi i due numeri da trovare sono entrambi positivi. Il termine noto 12 può essere scritto sotto forma di prodotto di due numeri naturali
solo come:
12 · 1 6 · 2 3 · 4
Le loro somme sono rispettivamente 13, 8 e 7. La coppia di numeri che dà per somma 7 e
prodotto 12 è pertanto 3 e 4. Dunque il trinomio si scompone come:
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Esercizio 23. Scomponi x2 − 8x + 15.
Soluzione. Dobbiamo trovare due numeri la cui somma sia −8 e il cui prodotto sia 15.
Questi numeri sono −5 e −3. Il trinomio si scompone allora come:
x2 − 8x + 15 = (x − 5) · (x − 3)
1.4
trinomi riconducibili a trinomi speciali
In alcuni casi si può applicare il metodo per scomporre un trinomio speciale anche
quando il trinomio non è di secondo grado.
1.4 trinomi riconducibili a trinomi speciali
Esercizio 24. Scomponi x4 − 5x2 + 4.
Soluzione. Per scomporre il trinomio di quarto grado P(x) = x4 − 5x2 + 4 facciamo la
sostituzione
x2 = t
Il polinomio diventa
t2 − 5t + 4
che è un trinomio speciale. Dobbiamo cercare due numeri che abbiano come somma −5 e
prodotto 4: questi numeri sono −4 e −1, per cui
t2 − 5t + 4 = (t − 4)(t − 1)
Ritorniamo all’incognita x ponendo t = x2 , per cui
P(x) = (x2 − 4)(x2 − 1)
I polinomi x2 − 4 e x2 − 1 si scompongono entrambi come differenza tra due quadrati:
P(x) = (x2 − 4) · (x2 − 1) = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1)
che è la scomposizione cercata.
Esercizio 25. Scomponi x4 − 10x2 + 9 = 0.
Soluzione. Per scomporre il trinomio di quarto grado P(x) = x4 − 10x2 + 9 facciamo la
sostituzione x2 = t. Il polinomio diventa
t2 − 10t + 9
che è un trinomio speciale. Dobbiamo cercare due numeri che abbiano come somma −10
e prodotto +9: questi numeri sono −9 e −1, per cui
t2 − 10t + 9 = (t − 9)(t − 1)
Ritorniamo all’incognita x ponendo t = x2 , per cui
P(x) = (x2 − 9)(x2 − 1)
I polinomi x2 − 9 e x2 − 1 si scompongono entrambi come differenza tra due quadrati:
P(x) = (x2 − 9) · (x2 − 1) = (x − 3)(x + 3)(x − 1)(x + 1)
che è la scomposizione cercata.
11
12
scomposizione dei polinomi
Esercizio 26. Scomponi x4 + 5x2 + 6.
Soluzione. Per scomporre il trinomio di quarto grado P(x) = x4 + 5x2 + 6 facciamo la
sostituzione x2 = t. Il polinomio diventa
t2 + 5t + 6,
che è un trinomio speciale. Dobbiamo cercare due numeri che abbiano come somma 5
e prodotto 6: questi numeri sono 2 e 3, per cui t2 + 5t + 6 = (t + 2)(t + 3). Ritorniamo
all’incognita x ponendo t = x2 , per cui
P(x) = (x2 + 2)(x2 + 3)
che non è ulteriormente scomponibile. Quindi quella appena scritta è la scomposizione
cercata.
1.5
scomposizione con la regola di ruffini
Quando la scomposizione di un polinomio non si può fare con uno dei metodi precedenti, l’unica cosa che rimane è la regola di Ruffini. Dato il polinomio P(x) di grado n, se
riusciamo a trovare un numero a per cui P(a) = 0, allora possiamo scomporre
P(x) = (x − a) · Q(x)
dove Q(x) ha grado n − 1.
Il problema di scomporre un polinomio P(x) si riconduce quindi a quello della ricerca
di un numero a che sostituito alla x renda nullo il polinomio. Un numero di questo tipo si
dice anche zero del polinomio.
Il numero a non va cercato del tutto a caso. Se il polinomio è a coefficienti interi e
il coefficiente di grado massimo è uguale a 1, abbiamo degli elementi per restringere il
campo di ricerca di questo numero: gli zeri interi del polinomio vanno cercati tra i divisori
del termine noto.
Illustriamo la regola di Ruffini con un esempio.
Esercizio 27. Scomponi P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6.
Soluzione.
• Gli zeri interi del polinomio sono da ricercare fra i divisori divisori di −6, che sono
±1
±2
±3
±6
Sostituiamo questi numeri nel polinomio, finché non troviamo quello che lo annulla.
Per x = 1 si ha
P(1) = 13 + 12 − 10 · 1 + 8 = 1 + 1 − 10 + 8 = 0
pertanto il polinomio si può scomporre come P(x) = (x − 1)Q(x).
1.5 scomposizione con la regola di ruffini
• Disegniamo il seguente schema: scriviamo i coefficienti numerici del polinomio P(x),
ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile. Se manca un termine, occorre
mettere 0. L’ultimo termine numerico è messo esternamente alla griglia. Nell’angolo
a sinistra dello schema si pone lo zero del polinomio trovato, nell’esempio è 1.
Coefficienti numerici del polinomio P(x) da scomporre
1
Zero di P(x)
−6
11
−6
Termine noto di P(x)
1
• Il primo termine si riporta inalterato nella parte sottostante:
1
−6
11
−6
1
1
• Moltiplichiamo lo zero del polinomio per il primo coefficiente appena trascritto e
riportiamo il risultato sotto il secondo coefficiente:
1
1
−6
11
−6
1
1
• Sommiamo i due termini appena incolonnati: −6 + 1 = −5.
1
1
−6
11
−6
1
1
−5
• Moltiplichiamo lo zero del polinomio per la somma appena ottenuta: 1 · (−5) = −5.
1
1
1
−6
11
1
−5
−6
−5
• Sommiamo i due termini appena incolonnati: 11 − 5 = 6.
1
1
1
−6
11
1
−5
−5
6
−6
• Moltiplichiamo lo zero del polinomio per la somma appena ottenuta: 1 · 6 = 6.
13
14
scomposizione dei polinomi
1
−6
11
−6
1
−5
6
−5
6
0
1
1
• Sommiamo i due termini appena incolonnati: −6 + 6 = 0.
1
1
1
−6
11
−6
1
−5
6
−5
6
0
qui deve
sempre venire 0
coefficienti di Q(x)
• I numeri che abbiamo ottenuto nell’ultima riga, cioè 1, −5 e 6, sono i coefficienti del
polinomio Q(x) = x2 − 5x + 6. Possiamo allora scrivere:
x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x2 − 5x + 6).
• Per scomporre in fattori il polinomio di secondo grado x2 − 5x + 6 possiamo ricorrere
al metodo del trinomio speciale. Cerchiamo due numeri la sui somma sia −5 e il cui
prodotto sia 6. Questi numeri sono −3 −2. In definitiva si ha:
x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Esercizio 28. Scomponi P(x) = x3 + x2 − 10x + 8.
Soluzione.
• Usiamo la regola di Ruffini. Gli zeri interi del polinomio sono da ricercare tra i
divisori di 8:
±1 ± 2 ± 4 ± 8
Sostituiamo questi numeri nel polinomio, finché non troviamo quello che lo annulla.
Per x = 1 si ha
P(1) = 13 + 12 − 10 · 1 + 8 = 1 + 1 − 10 + 8 = 0
pertanto il polinomio si può scomporre come P(x) = (x + 1)Q(x).
1
1
1
1 −10
8
1
2
−8
2
−8
0
Predisponiamo una griglia come quella che abbiamo costruito nell’esercizio precedente: nella prima rigo mettiamo i coefficienti di P(x), nella seconda riga mettiamo
come primo numero lo zero che abbiamo trovato, cioè 1. Poi procediamo come abbiamo già indicato per la regola di Ruffini. I numeri ottenuti nell’ultima riga sono i
coefficienti del polinomio Q(x) = x2 + 2x − 8. Possiamo allora scrivere:
x3 + x2 − 10x + 8 = (x − 1)(x2 + 2x − 8).
1.5 scomposizione con la regola di ruffini
• Per scomporre in fattori il polinomio di secondo grado x2 + 2x − 8 ricorriamo al
metodo del trinomio speciale. Cerchiamo due numeri la sui somma sia +2 e il cui
prodotto sia −8. Questi numeri sono +4 e −2. In definitiva si ha:
x3 + x2 − 10x + 8 = (x − 1)(x2 + 2x − 8) = (x − 1)(x − 2)(x + 4).
Esercizio 29. Scomponi x3 − 7x − 6.
Soluzione.
• Si tratta di un trinomio di terzo grado. Non possiamo utilizzare la regola del trinomio
speciale poiché il grado è 3. Procediamo con la regola di Ruffini: cerchiamo il numero
che annulla il polinomio tra i divisori del termine noto
±1
±2
±3
±6
Per x = 1 si ha
P(1) = 13 − 7 · 1 − 6 = 1 − 7 − 6 6= 0
Per x = −1 si ha
P(−1) = (−1)3 − 7 · (−1) − 6 = −1 + 7 − 6 = 0
quindi P(x) = (x + 1)Q(x) con Q(x) polinomio di secondo grado che determiniamo
con la regola di Ruffini.
1
−1
1
0
−7
−6
−1
1
6
−1
−6
0
Pertanto: P(x) = x3 − 7x − 6 = (x + 1)(x2 − x − 6).
• Il polinomio Q(x) è un trinomio di secondo grado; scomponiamolo come trinomio
speciale. Cerchiamo due numeri la sui somma sia −1 e il cui prodotto sia −6. Questi
numeri sono −3 e +2. In definitiva si ha:
x3 − 7x − 6 = (x + 1)(x − 3)(x + 2)
Esercizio 30. Scomponi P(x) = x3 − 8.
Soluzione.
• Il polinomio è di terzo grado. Possiamo scomporlo con la regola di Ruffini. Per x = 2
si ha:
P(2) = 23 − 8 = 8 − 8 = 0
quindi P(x) = (x − 2)Q(x) con Q(x) polinomio di secondo grado.
15
16
scomposizione dei polinomi
1
2
1
0
0
−8
2
4
8
2
4
0
Pertanto:
P(x) = x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
• Il polinomio x2 + 2x + 4 è un trinomio di secondo grado detto falso quadrato che non si
può scomporre. In definitiva, quella appena scritta è la scomposizione richiesta.
sintesi sulla scomposizione
Quando si deve scomporre un polinomio bisogna guardare bene la sua forma per capire
quale, fra i metodi che abbiamo visto, è il più adatto. In generale, conviene seguire una
procedura di questo tipo:
• verifica se è possibile eseguire un raccoglimento totale;
• verifica se è possibile eseguire un raccoglimento parziale finalizzato a un raccoglimento totale;
• verifica se il polinomio può essere lo sviluppo di un prodotto notevole o deriva da
una regola particolare; in questo caso è importante contare il numero dei suoi termini;
per esempio:
– se ne ha due può essere una differenza di quadrati;
– se ne ha tre può essere il quadrato di un binomio o un trinomio speciale;
• stabilisci se è possibile scomporlo con la regola di Ruffini;
• usa una combinazione dei metodi precedenti.
Esercizio 31. Scomponi 18a − 12ax + 2ax2 .
Soluzione. Si può eseguire un raccoglimento totale:
2a(9 − 6x + x2 )
Il polinomio fra parentesi è il quadrato di un binomio:
2a(x − 3)2
Esercizio 32. Scomponi 3bx2 + 3bx − 6b.
Soluzione. Si può eseguire un raccoglimento totale:
3b(x2 + x − 2)
Il trinomio nella parentesi è speciale:
3b(x − 1)(x + 2)
1.6 mdc e mcm tra polinomi
1.6
mcd e mcm tra polinomi
Quando eseguiamo la divisione tra due numeri interi a e b, diciamo che a è divisibile
per b se esiste un intero q tale che a = qb; a, b e q si dicono rispettivamente dividendo,
divisore e quoziente.
Allo stesso modo, dati i polinomi A(x) e B(x), diremo che A(x) è divisibile per B(x) se
esiste un polinomio Q(x) tale che A(x) = Q(x)B(x); i polinomi A(x), B(x) e Q(x) si dicono
rispettivamente dividendo, divisore e quoziente.
Se due o più polinomi hanno uno stesso polinomio divisore, si dice che esso è un divisore
comune a tali polinomi. Fra tutti i divisori comuni a due o più polinomi, si chiama massimo
comun divisore (MCD) quello di grado più grade.
Per determinare il MCD fra due o più polinomi:
• si scompongono i polinomi in fattori;
• si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono.
Se un polinomio è divisibile per altri polinomi, si dice che esso è multiplo comune a tali
polinomi. Due o più polinomi possono avere infiniti multipli comuni; quello di grado più
piccolo si chiama minimo comune multiplo.
Per determinare il mcm fra due o più polinomi:
• si scompongono i polinomi in fattori;
• si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con
cui compaiono.
Il MCD e il mcm si possono sempre trovare quando siamo sicuri di aver scomposto i
polinomi in fattori irriducibili. Quando non abbiamo questa certezza perché, per esempio,
nella scomposizione troviamo dei polinomi di grado superiore al primo che, per qualche
motivo, non riusciamo a scomporre con i metodi che abbiamo visto, possiamo solo parlare
di divisori comuni e di multipli comuni.
Esercizio 33. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi:
8x2 + 16xy + 8y2
4x4 − 4x2 y2
12x2 + 12xy
Soluzione. Scomponiamo in fattori i tre polinomi:
• 8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2 ) = 8(x + y)2 ;
• 4x4 − 4x2 y2 = 4x2 (x2 − y2 ) = 4x2 (x − y(x + y);
• 12x2 + 12xy = 12x(x + y).
Allora:
MCD = 4(x + y)
mcm = 24x2 (x + y)2 (x − y)
17
18
scomposizione dei polinomi
Esercizio 34. Determina MCD e mcm fra i seguenti polinomi:
x4 + 5x3 − 5x2 + 5x − 6
x3 − x2 − x + 1
Soluzione.
• Scomponiamo il primo polinomio P(x) con la regola di Ruffini.
P(1) = 1 + 5 − 5 + 5 − 6 = 0
quindi il polinomio è divisibile per (x − 1):
1
1
1
5
−5
5
−6
1
6
1
6
6
1
6
0
P(x) = x4 + 5x3 − 5x2 + 5x − 6 = (x − 1)(x3 + 6x2 + x + 6)
Con un raccoglimento parziale nella seconda parentesi:
P(x) = (x − 1)[x2 (x + 6) + 1(x + 6)] = (x − 1)(x + 6)(x2 + 1)
Osserviamo che x2 + 1 è irriducibile e quindi non si può procedere oltre nella scomposizione.
• Scomponiamo il secondo polinomio:
x3 − x2 − x + 1 = x2 (x − 1) − (x − 1)
= (x − 1)(x2 − 1)
= (x − 1)(x − 1)(x + 1) = (x − 1)2 (x + 1)
Allora:
MCD = x − 1
1.7
mcm = (x − 1)2 (x + 6)(x2 + 1)(x + 1)
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 35. Scomponi in fattori raccogliendo a fattor comune.
1. 3xy + 6x2
2. b3 + 3b
3. 3xy − 12y2
4. x3 − ax2
5. 9a3 − 6a2
[3x(2x + y)]
b(b2 + 3
[3y(x − 4y)]
2
x (x − a
2
3a (3a − 2)
6. 5x2 − 15x
7. 18x2 y − 12y2
8. 4x2 y − x2
9. 5x3 − 2x2
10. 2x3 − 2x
[5x(x − 3)]
6y(3x2 − 2y)
2
x (4y − 1)
2
x (5x − 2)
[2x(x − 1)(x + 1)]
1.7 esercizi
11. 3a + 3
12.
2a2 b2 x − 4a2 b
13. −a4 − a3 − a5
[3(a + 1)]
2a2 b(bx − 2)
−a2 (a2 + a + 1)
[(x + y)(a − b)]
14. a(x + y) − b(x + y)
[(x + 3y)(5a − 3)]
(x − 1)(2x − 3a2
15. 5a(x + 3y) − 3(x + 3y)
16.
19
2x(x − 1) − 3a2 (x − 1)
[(y + 2)(x − 3y)]
17. 2(x − 3y) − y(3y − x)
18. 3(x + y)2 + 5x + 5y [(x + y)(3x + 3y + 5)]
Esercizio 36. Scomponi in fattori con il raccoglimento parziale.
[(x − y)(a + 2)]
1. 2x − 2y + ax − ay
2. 3ax − 6a + x − 2
3. ax + bx − ay − by
13. b2 x − b2 y + 2ax − 2ay
[(3a + 1)(x − 2)]
14. a3 + 2a2 + a + 2
[(a + b)(x − 1)]
15. a2 x + ax − a − 1
4. 3ax − 9a − x + 3
[(x − 3)(3a − 1)]
5. ax2 + ax + bx + b
[(x + 1)(ax + b)]
[(x − 2)(2a − 1)]
b2 x + b2 y + 2ax + 2ay (x + y)(2a + b2 )
x3 − x2 + x − 1
(x − 1)(x2 + 1)
ay + 2x3 − 2ax3 − y
(a − 1)(y − 2x3 )
x3 + x2 − x − 1
(x − 1)(x + 1)2
x3 + x2 + x + 1
(x + 1)(x2 + 1)
b2 x − b2 y + 2x − 2y
(x − y)(b2 + 2)
(x − y)(b2 + 2a)
(a + 2)(a2 + 1)
[(a + 1)(ax − 1)]
16. 3xy3 − 6xy − ay2 + 2a (y2 − 2)(3xy − a)
2
17. b2 x − 2bx + by − 2y
(y − 2)(3xy − a)
6. 2ax − 4a − x + 2
7.
8.
9.
10.
11.
12.
18. ax + bx + 2x − a − b − 2 [(a + b + 2)(x − 1)]
19. a3 − a2 b2 − ab + b3
[(b − 2)(bx + y)]
20. 2a − a2 + 8b − 4ab
[(2 − a)(a + 4b)]
21. 10x3 − 12x2 − 5xy + 6y (5x − 6)(2x2 − y)
22. 2x3 + x2 + 2x + 1
(2x + 1)(x2 + 1)
23. 3x3 − x2 + 9x − 3
(3x − 1)(x2 + 3)
Esercizio 37. Scomponi in fattori raccogliendo prima a fattor comune e poi parziale.
1. 3x3 − 3x2 + 3x − 3
3(x − 1)(x2 + 1)
2. a9 + 4a5 − 2a7 − 8a3 a3 (a4 + 4)(a2 − 2)
3. ax3 y + ax2 y + axy + ay ay(x + 1)(x2 + 1)
4. b2 x + b2 y − 2bx − 2by
[b(x + y)(b − 2)]
b2 x − 2bx − 2by + b2 y
[b(b − 2)(x + y)]
26 (x + 2)(x + 16)
5.
6. 26 x2 + 27 x + 210 x + 2
11
7. 2x3 + 2x2 − 2ax2 − 2ax [2x(x + 1)(x − 2a)]
8. 2bx2 + 4bx − 2x2 − 4ax [2x(x + 2)(b − a)]
9. x4 + x3 − x2 − x
x(x − 1)(x + 1)2
10. 3x4 + 9x2 − 6x3 − 18x 3x(x2 + 3)(x − 2)
11. 3x4 − 3x3 + 3x2 − 3x
3x(x − 1)(x2 + 1)
Esercizio 38. Scomponi in fattori riconoscendo il quadrato di un binomio.
1. a2 − 2a + 1
2. x2 + 4x + 4
3. y2 − 6y + 9
4.
16t2
+ 8t + 1
5. 4x2 + 1 + 4x
6.
9a2
− 6a + 1
7.
4x2
− 12x + 9
8.
1 2
a + ab + b2
4
9. 9x2 + 4 + 12x
4
10. a4 − 4a2 + 9
9
11.
1 2 1
1
x − x+
4
3
9
(a − 1)2
(x + 2)2
(x − 3)2
(4t + 1)2
(2x + 1)2
(3a − 1)2
(2x − 3)2
1
( a + b)2
2
(3a + 2)2
2 2
2
( a − 3)
3
1
1
( x + )2
2
3
12. 4x2 + 4xy + y2
13. a4 + 36a2 + 12a3
14. x2 − 6xy + 9y2
15. 25 + 10x + x2
16. 25 − 10x + x2
17. 100 + a2 b4 + 20ab2
18.
1 2
a + 2ab + b2
4
19. 25a2 − 10ax − x2
20. 3a2 x − 12axb + 12b2 x
21. x5 + 4x4 + 4x3
22. 2y3 − 12y2 x + 18x2 y
(2x + y)2
a2 (a + 6)2
(x − 3y)2
(x + 5)2
(x − 5)2
(10 + ab2 )2
1
2
( a + b)
2
(5a − x)2
3x(a − 2b)2
3
x (x + 2)2
2y(3x − y)2
20
scomposizione dei polinomi
Esercizio 39. Scomponi i seguenti polinomi come differenza di quadrati.
1. a2 − 25b2
[(a + 5b)(a − 5b)]
2. 16 − x2 y2
3. 25 − 9x2
4. 4a4 − 9b2
[(4 − xy)(4 + xy)]
15.
[(5 − 3x)(5 + 3x)]
(2a2 − 3b)(2a2 + 3b)
16.
[(x − 4y)(x + 4y)]
18.
5. x2 − 16y2
6. 144x2 − 9y2
7. 16x4 − 81z2
8. a2 b4 − c2
9. 4x6 − 9y4
10.
−1 + a2
11.
a2 y2
−
4
9
14. −4a2 + b2
[(12 − 3y)(12 + 3y)]
2
(4x − 9z)(4x2 + 9z)
(ab2 − c)(ab2 + c)
3
(2x − 3y2 )(2xì3 + 3y2 )
[(a − 1)(a + 1)]
a y
a y
−
+
2 3
2 3
12. 2a2 − 50
[2(a − 5)(a + 5)]
13. a5 − 16ab4 a(a − 2b)(a + 2b)(a2 + 4b2 )
17.
[(b − 2a)(b + 2a)]
−a2 b4 + 49
(7 − ab2 )(7 + ab2 )
16y4 − z4
(2y − z)(2y + z)(4y2 + z2 )
a8 − b8 (a − b)(a + b)(a2 + b2 )(a4 + b4 )
a4 − 16
(a − 2)(a + 2)(a2 + 4)
19. 16a2 − 9b2
[(4a − 3b)(4a + 3b)]
20. 9 − 4x2
21.
1 2
x −1
4
22. a2 − 9b2
23.
25 2
a −1
16
24. −16 + 25x2
25. x4 − y8
[(3 − 2x)(3 + 2x)]
1
1
x−1
x+1
2
2
[(a + 3b)(a − 3b)]
5
5
a−1
a+1
4
4
[(5x − 4)(5x + 4)]
(x − y2 )(x + y2 )(x2 + y4 )
26. (x − 1)2 − a2
[(x − 1 − a)(x − 1 + a)]
Esercizio 40. Scomponi in fattori i seguenti trinomi speciali.
1. x2 − 5x − 36
[(x − 9)(x + 4)]
14. x2 + 4x − 12
[(x − 2)(x + 6)]
2. x2 − 17x + 16
[(x − 16)(x − 1)]
15. x2 − 3x + 2
[(x − 2)(x − 1)]
3.
x2
− 13x + 12
[(x − 12)(x − 1)]
16.
x2
[(x − 2)(x + 5)]
+ 3x − 10
4. x2 + 6x + 8
[(x + 2)(x + 4)]
17. x2 + 13x + 12
[(x + 1)(x + 12)]
5. x2 + 7x + 12
[(x + 3)(x + 4)]
18. x2 + 2x − 35
[(x − 5)(x + 7)]
6. x2 − 2x − 3
[(x − 3)(x + 1)]
19. x2 + 5x − 36
[(x − 4)(x + 9)]
7. x2 + 9x + 18
[(x + 3)(x + 6)]
20. x2 + 8x + 7
[(x + 1)(x + 7)]
x2
x2
− 5x + 6
[(x − 3)(x − 2)]
21.
9. x2 − 8x − 9
[(x − 9)(x + 1)]
22. y2 + y − 20
[(x − 4)(x + 5)]
10. x2 − 7x + 12
[(x − 4)(x − 3)]
23. x2 + 4x − 45
[(x − 5)(x + 9)]
8.
x2
x2
[(x − 6)(x − 4)]
− 10x + 24
− 6x + 8
[(x − 4)(x − 2)]
24.
− 4x − 21
[(x − 7)(x + 3)]
12. x2 − 3x − 4
[(x − 4)(x + 1)]
25. x2 + 4x − 21
[(x − 3)(x + 7)]
13. x2 + 5x − 14
[(x − 2)(x + 7)]
26. x2 − 10x + 21
[(x − 7)(x − 3)]
11.
Esercizio 41. Scomponi in fattori i seguenti polinomi con la regola di Ruffini.
1. x3 − 4x2 + x + 6
2. x3 + x2 − 5x + 3
[(x + 1)(x − 2)(x − 3)]
(x − 1)2 (x + 3)
4. 6a3 − a2 − 19a − 6 [(a − 2)(2a + 3)(3a + 1)]
5. x3 − 5x2 + 8x − 4
(x − 1)(x − 2)2
3. a3 + a2 − 4a − 4
[(a + 1)(a − 2)(a + 2)]
6. 3t3 − t2 − 12t + 4
[(3t − 1)(t − 2)(t + 2)]
Esercizio 42. Scomponi in fattori i seguenti polinomi con i metodi che conosci.
1.7 esercizi
1. 4x2 − xy − 4x + y
2.
x3
+ 3x − 4x2
3. 6x2 − 24xy + 24y2
4.
81a − 16a3 b2
5. ax + bx − 3ay − 3by
[(x − 1)(4x − y)]
35. x2 − 6x − 27
[x(x − 3)(x − 1)]
6(x − 2)2
36. ax + bx − 3ay − 3by
[a(9 − 4ab)(9 + 4ab)]
38.
[(a + b)(x − 3y)]
39.
6. 4a3 + 8a2 − a − 2 [(a + 2)(2a − 1)(2a + 1)]
7. 2x3 + 4x − 3x2 − 6
(2x − 3)(x2 + 2)
2
8. 81a4 − 64a2 b2
a (9a − 8b)(9a + 8b)
9. x3 + 2x2 − x − 2
(x − 1)(x + 2)2
10.
x2
− 4x − 45
11.
y3
− 5y2
12.
a3 x + 4a2 x + 4ax
37.
40.
41.
42.
[(x − 9)(x + 3)]
[(a + b)(x − 3y)]
2ax2 + 8ay2 + 8axy
2a(x + 2y)2
81a4 − b4
(3a − b)(3a + b)(9a2 + b2 )
x2 − 3a3 + ax − 3a2 x
(a + x)(x − 3a2 )
3x5 − 27xy4
3x(x2 − 3y2 )(x2 + 3y2 )
2
25y4 − 10y2 + 1
(5y − 1)2
6x3 y − 12x2 y2 + 6xy3
6xy(x − y)2
43. x2 + 3x − 28
[(x − 4)(x + 7)]
[(x − 9)(x + 5)]
44. x2 + 2x − 24
[y(y − 8)(y + 3)]
ax(a + 2)2
45. 18a4 b − 2b3
46. x2 − 9x + 20
[(x − 5)(x − 4)]
[2a(2b − a)(2b + a)]
14.
− 2x + 1
(x − 1)2
15. 6a5 − 24ab4
6a(a2 − 2b2 )(a2 + 2b2 )
(a − b)2 (a + b)2
16. a4 + b4 − 2a2 b2
47. 32a − 50ab2
[2a(4 − 5b)(4 + 5b)]
(2y − 3)2
13. 8ab
2
− 24y
− 2a3
x2
48. 4y2 − 12y + 9
49. x2 − 4x − 45
[(x − 8)(x − 4)]
18. x2 − 8x + 15
[(x − 5)(x − 3)]
19.
x3
− 5x2
+ 6x
20. 4a2 + 4a + 1
21. 4x2 y2 − 4xy + 1
22. x3 + x2 − 9x − 9
23. a2 + 6a + 9
24. 12xy − 16y2
25. ax2 − ay2
[x(x − 3)(x − 2)]
(2a + 1)2
(2xy − 1)2
[(x + 1)(x + 3)(x − 3)]
(a + 3)2
[4y(3x − 4y)]
[a(x − y)(x + y)]
[7(t − 2)(t + 2)]
27. 2x2 + 8 + 8x
2(x + 2)2
3x(x2 − 3y2 )(x2 + 3y2 )
28. 3x5 − 27xy4
2
29. 25y4 − 10y2 + 1
(5y − 1)2
30. 6abx − 3x + 2aby − y [(2ab − 1)(3x + y)]
31. a2 + 12a + 36
(a + 6)2
2
32. 5x4 − 5x2 y4
5x (x − y2 )(x + y2 )
33. x2 + 10xy + 25y2
(x + 5y)2
34.
+ 6x − 40
+ 3x2
[(x − 9)(x + 5)]
− 6x − 8
54. x2 + 5x − 36
[(x − 4)(x + 9)]
55. a2 + 4a − 32
[(a − 4)(a + 8)]
56. 36ab − 49a3 b3
[ab(6 − 7ab)(6 + 7ab)]
a2 b − 25b + a2
− 25 [(a − 5)(a + 5)(b + 1)]
58. a8 − 1
(a − 1)(a + 1)(a2 + 1)(a4 + 1)
59. 9y2 + 6y + 1
(3y + 1)2
57.
26. 7t2 − 28
x2
x3
[(x − 4)(x + 6)]
2b(3a2 − b)(3a2 + b)
[(x − 2)(x + 1)(x + 4)]
51. 2ax2 + 8ay2 + 8axy
2a(x + 2y)2
3
52. 50a4 b3 − 2b3
2b (5a2 − 1)(5a2 + 1)
3a(2x + y)2
53. 12ax2 + 12axy + 3ay2
50.
17. x2 − 12x + 32
[(x − 4)(x + 10)]
60. 9a2 − 9
61. 50a3 b2 − 8a5
[9(a − 1)(a + 1)]
2a3 (5b − 2a)(5b + 2a)
62. x2 + 9x − 10
[(x − 1)(x + 10)]
63. x2 − x − 30
[(x − 6)(x + 5)]
64. 2x3 + 14x2 + 20x
[2x(x + 2)(x + 5)]
65. x2 + 11 + 24
[(x + 3)(x + 8)]
66. x2 + 8x + 12
[(x + 2)(x + 6)]
67.
x2
− 5x + 4
[(x − 4)(x − 1)]
Esercizio 43. Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di polinomi.
1. a + 3, 5a + 15, a2 + 6a + 9
MCD = a + 3; mcm = 5(a + 3)2
2. a2 − b2 , ab − b2 , a2 b − 2ab2 + b3
MCD = a − b; mcm = b(a − b)2 (a + b)
3. x2 − 5x + 4, x2 − 3x + 2, x2 − 4x + 3
[MCD = x − 1; mcm = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)]
21
22
scomposizione dei polinomi
4. x3 + 2x2 − 3x, x3 − x, x2 − 2x + 1
5. a − b, ab − a2 , a2 − b2
MCD = x − 1; mcm = x(x − 1)2 (x + 1)(x + 3)
[MCD = a + b; mcm = a(a − b)(a + b)]
MCD = 1; mcm = (b − 2a)2 (b + 2a)
6. b + 2a, b − 2a, b2 − 4a2 , b2 − 4a + 4a2
7. a2 − 9, 3a − a2 , 3a + a2
8.
x2
+ 2xy + y2 ,
x2
− y2 ,
(x + y)2 (x − y)
9. b3 + b2 − 4b − 4, b2 − b − 2, b2 − 1
11. 3x + y + 3x2 + xy, 9x2 − y2 , 9x2 + 6xy + y2
[MCD = 1; mcm = (a − 3)(a − 2)(a + 3)]
MCD = 3x + y; mcm = (x + 1)(3x − y)(3x + y)2
MCD = x − 1; mcm = (x − 1)2 (x + 1)
13. x − 2, x − 1, x2 − 3x + 2
[MCD = 1; mcm = (x − 2)(x − 1)]
14. a2 − 1, b + 1, a + ab − b − 1
15. x, 2x2 − 3x, 4x2 − 9
16. z − 5, 2z − 10,
z2
− 25,
z2
[MCD = 1; mcm = a(a − 3)(a + 3)]
MCD = x + y; mcm = (x − y)(x + y)2
[MCD = b + 1; mcm = (b − 2)(b − 1)(b + 1)(b + 2)]
10. a − 2, a2 − 9, a2 + a − 6
12. x − 1, x2 − 2x + 1, x2 − 1
+ 25 − 10z
17. a2 − 2a + 1, a2 − 3a + 2, 1 − a
18. 2x, 3x − 2, 3x2 − 2x, 10x2
19. a2 − a, a2 + a, a − a2 , 2a2 − 2
20. x − 2, x2 − 4, x2 − 3x + 2
21. x2 − a2 , x + a, x2 + ax, ax + a2
22. x2 − 4x + 4, 2x − x2 , x2 − 2x, x3 , x3 − 2x2
23. x2 − 4x + 4, x2 − 4, 3x − 6
[MCD = 1; mcm = (a − 1)(a + 1)(b + 1)]
[MCD = 1; mcm = (2x − 3)(2x + 3)]
MCD = z − 5; mcm = 2(z − 5)2 (z + 5)
MCD = a − 1; mcm = (a − 1)2 (a − 2)
MCD = 1; mcm = 10x2 (3x − 2)
[MCD = 1; mcm = 2a(a − 1)(a + 1)]
[MCD = x − 2; mcm = (x − 2)(x − 1)(x + 2)]
[MCD = x + a; mcm = ax(x − a)(x + a)]
MCD = 1; mcm = x3 (x − 2)2
MCD = x − 2; mcm = 3(x − 2)2 (x + 2)
2
FRAZIONI ALGEBRICHE
Il quoziente fra due monomi o fra due polinomi non sempre si può esprimere come un
monomio o un polinomio. Per esempio:
6x
6
• 6x2 y : 5xy3 = xy−2 = 2 e quest’ultima espressione non è un monimio;
5
5y
• (x2 − 4x + 5) : (x − 1) non è esprimibile mediante un polinomio, in quanto facendo la
divisione si ottiene
x2 − 4x + 5
2
= x−3+
x−1
x−1
In casi come questo si parla di frazione algebrica.
Definizione 3. Si chiama frazione algebrica l’espressione
di due polinomi (o monomi) A e B, supposto B 6= 0.
A
che esprime il quoziente
B
Il polinomio A è il numeratore della frazione, B ne è il denominatore e, visto che la
divisione per zero non è un’operazione consentita, B non può essere il polinomio nullo.
x2 − 4x + 5
6x
sono dunque fraLe due espressioni 2 e
5y
x−1
zioni algebriche in senso proprio. Tuttavia anche le moFrazioni algebriche
nomi o polinomi possono essere considerati frazioni alPolinomi
gebriche il cui denominatore è uguale a 1. Questa interpretazione, analoga a quella che era stata data per le
Monomi
frazioni numeriche, ci consente di stabilire una relazione di inclusione fra gli insiemi delle frazioni algebriche,
dei polinomi e dei monomi (figura 1) che ci permetterà
di eseguire le operazioni fondamentali fra una frazione e
un polinomio o un monomio.
Come per le frazioni numeriche, anche per quelFigura 1
le algebriche possiamo introdurre il concetto di
equivalenza.
Definizione 4. Due frazioni algebriche
A C
e
sono equivalenti se A · D = B · C.
B D
Per esempio
2a
a2 − a
e
2a + 2
a2 − 1
sono equivalenti perché
2a(a2 − 1) = (2a + 2)(a2 − a)
Riconoscere l’equivalenza è quindi semplice, ma ciò che ci interessa di più è sapere quali
sono le operazioni che si possono eseguire su una frazione algebrica per ottenerne una a
23
24
frazioni algebriche
essa equivalente. Le operazioni “lecite” sono quelle che applicano la proprietà invariantiva
della divisione e quindi, data una frazione algebrica, possiamo:
• dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non
nullo) e questo ci porterà a poter semplificare una frazione;
• moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non
nullo) e questo ci servirà per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in
modo da poterle sommare o sottrarre.
Esercizio 44. Stabilisci se le frazioni algebriche
x
x2 − x
e 2
.
x+1 x −1
Soluzione. Affinché le due frazioni algebriche siano equivalenti deve essere:
x(x2 − 1) = (x2 − x)(x + 1)
Sviluppando il primo membro:
x(x2 − 1) = x3 − x
Sviluppando il secondo membro:
(x2 − x)(x + 1) = x3 − x2 + x2 − x = x3 − x
Avendo ottenuto la stessa espressione, possiamo concludere che le due frazioni sono equivalenti.
2.1
semplificazione
A
si può semplificare se il MCD fra il numeratore A e il denomiB
natore B è diverso da 1, cioè se A e B hanno divisori comuni; in caso contrario si dice che
la frazione è irriducibile.
La procedura per semplificare una frazione è la seguente:
Una frazione algebrica
• si scompongono numeratore e denominatore;
• si individuano i divisori comuni, cioè il MCD;
• si dividono il numeratore e il denominatore per il loro MCD.
La proprietà invariantiva assicura che il risultato dopo la divisione è equivalente alla
frazione iniziale.
x3 − x
Applichiamo questa procedura per semplificare la frazione 3
.
x − 2x2 + x
• scomponiamo numeratore e denominatore:
x3 − x
x(x − 1)(x + 1)
=
3
2
x − 2x + x
x(x − 1)2
• il MCD fra numeratore e denominatore è: x(x − 1);
2.1 semplificazione
• dividiamo per x(x − 1):
x+1
[x(x − 1)(x + 1)] : [x(x − 1)]
=
2
[x(x − 1) ] : [x(x − 1)]
x−1
Nella pratica si procede in modo più veloce semplificando, come nelle frazioni numeriche,
i fattori uguali al numeratore e al denominatore con un tratto di penna, sottintendendo il
quoziente 1; per la precedente frazione si scrive di solito così:
x(x
− 1)(x + 1)
2
x(x
− 1)
Esercizio 45. Semplifica
3abx3
.
2ax2
Soluzione. Si può semplificare per a e per x2 :
3bx
3
abx3
=
2
2
ax
2
Esercizio 46. Semplifica
8a3 y2
.
4a4 y
Soluzione. Si può semplificare per 4, per a3 e per y:
3 y2
8
a
4a4 y
=
2y
a
Esercizio 47. Semplifica
5x2 + 10x
.
5x
Soluzione.
+ 2)
5x(x
5x2 + 10x =
= x+2
5x
5x
Esercizio 48. Semplifica
x2
x3 − x
.
− 2x + 1
Soluzione.
+ 1)
x3 − x
x
(x
−
1)(x
x(x + 1)
=
=
2
x −x+1
x−1
(x − 1)2
25
26
frazioni algebriche
Esercizio 49. Semplifica
y2 − 2y
.
3y3 − 12y2 + 12y
Soluzione.
1
y2 − 2y
y(y − 2)
y(y − 2)
=
=
= 3
2
2
2
3y − 12y + 12y
3y(y − 4y + 4)
3
y(y − 2)
3(y − 2)
Esercizio 50. Semplifica
a + 2b
.
a2 − b2
Soluzione.
a + 2b
a + 2b
=
a2 − b2
(a + b)(a − b)
Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dell’unità e quindi
la frazione è irriducibile.
Attenzione agli errori! Le seguenti semplificazioni sono errate:
a+b
a
x2 + x + 4
x2
+2
x2 + y2
(x + y)2
+ 1)
2x(x
+ 1
2x
In sostanza, si possono eseguire semplificazioni solo tra fattori e non quando i termini per
cui si vuole dividere sono legati agli altri da addizioni o sottrazioni.
2.2
addizione e sottrazione
Come per le frazioni numeriche, la somma o la differenza di frazioni algebriche che
hanno lo stesso denominatore si calcola sommando o sottraendo i rispettivi numeratori.
• Con le frazioni numeriche:
3 7 9
3+7−9
1
+ − =
=
4 4 4
4
4
• Con le frazioni algebriche:
3 7 9
3+7−9
1
+ − =
=
4 4 4
4
4
Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, occorre prima determinare un denominatore comune, di solito il mcm fra i denominatori, e poi eseguire la somma o la differenza
come nel caso precedente.
2.2 addizione e sottrazione
Con le frazioni numeriche
Con le frazioni algebriche
7 5
+
6 9
a − 1 2a + 1
+
a
a+2
mcm(6, 9) = 18
mcm(a, a + 2) = a(a + 2)
21 10
+
18 18
(a − 1)(a + 2) a(2a + 1)
+
a(a + 2)
a(a + 2)
31
21 + 10
=
18
18
(a − 1)(a + 2) + a(2a + 1) 3a2 + 2a − 2
+
a(a + 2)
a(a + 2)
In generale, per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche conviene seguire
questa procedura (le parti fra parentesi si riferiscono all’esempio precedente):
• scomporre innanzitutto i denominatori delle frazioni (primo passaggio);
• semplificare le frazioni che non sono irriducibili;
• trovare il mcm fra i denominatori (secondo passaggio);
• ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore (terzo passaggio);
• eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario
(quarto passaggio).
Di solito, poi, come avrai modo di vedere negli esempi che seguono, la riduzione allo
stesso denominatore e l’esecuzione dell’addizione o della sottrazione si eseguono nello
stesso passaggio.
Esercizio 51. Calcola
3b
2a
+
.
2x + y 2x − y
Soluzione.
• Riduciamo le frazioni allo stesso denominatore:
3b(2x − y)
2a(2x − y)
+
(2x + y)(2x − y) (2x + y)(2x − y)
• Facciamo la somma algebrica dei numeratori:
3b(2x − y) + 2a(2x + y)
(2x + y)(2x − y)
• Svolgiamo i calcoli:
6bx − 3by + 4ax + 2ay
(2x + y)(2x − y)
• Poiché la frazione è irriducibile, questo è anche il risultato dell’addizione.
Di solito, per abbreviare la sequenza dei passaggi, l’operazione di riduzione allo stesso denominatore si svolge contemporaneamente a quella di addizione fra i numeratori,
riducendo i due passaggi a uno solo. In pratica, si omette di scrivere il primo passaggio.
27
28
frazioni algebriche
Esercizio 52. Calcola
2a − b
a + 2b
a
− 2
+
.
ab
a + ab ab + b2
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori:
2a − b
a + 2b
a
−
+
ab
a(a + b) b(a + b)
• Determiniamo il denominatore comune e calcoliamo la somma algebrica dei numeratori:
(2a − b)(a + b) − (a + 2b)b + a2
ab(a + b)
• Svolgiamo i calcoli
2a2 + 2ab − ab − b2 − ab − 2b2 + a2
ab(a + b)
• Sommiamo i monomi simili:
3a2 − 3b2
ab(a + b)
• Scomponiamo il numeratore:
3(a + b)(a − b)
ab(a + b)
• Semplifichiamo la frazione e otteniamo il risultato:
− b)
3
(a
+
b)(a
3(a − b)
=
ab
(a
+
b)
ab
Esercizio 53. Calcola
x−3
x+3
x
13x2 − 8
−
−
+
.
3x2 + x x − 3x2 9x2 − 1
9x3 − x
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori:
x−3
x+3
x
13x2 − 8
−
−
+
x(3x + 1) x(1 − 3x) (3x + 1)(3x − 1) x(3x + 1)(3x − 1)
• Fai attenzione alla seconda frazione algebrica. Poiché i denominatori delle altre frazioni hanno come fattore 3x − 1 che differisce da 1 − 3x per i segni dei suoi termini, dobbiamo raccogliere un segno “−” in modo da trasformare 1 − 3x in 3x − 1:
1 − 3x = −(3x − 1).
x−3
x+3
x
13x2 − 8
−
−
+
x(3x + 1) −x(3x − 1) (3x + 1)(3x − 1) x(3x + 1)(3x − 1)
È poi opportuno non lasciare il segno negativo al denominatore, ma portarlo davanti
alla linea di frazione; tale operazione cambia il segno che c’è davanti alla frazione. In
questo caso il segno da “−” diventa “+”.
x−3
x+3
x
13x2 − 8
+
−
+
x(3x + 1) x(3x − 1) (3x + 1)(3x − 1) x(3x + 1)(3x − 1)
2.3 moltiplicazione e divisione
• Svolgiamo i calcoli:
(x − 3)(3x − 1) + (x + 3)(3x + 1) − x2 + 13x2 − 8
=
x(3x + 1)(3x − 1)
3x2 − x − 9x + 3 + 3x2 + x + 9x + 3 − x2 + 13x2 − 8
=
x(3x + 1)(3x − 1)
1)
+
2
18x2 − 2
2(9x2 − 1)
2(3x
(3x − 1)
=
= =
− 1)
x(3x
(3x
x(3x + 1)(3x − 1)
x(3x + 1)(3x − 1) x
+ 1)
Esercizio 54. Calcola
x−2
x
x+2
−
− 2
.
2
2
x − 2x 2x + x
x −4
Soluzione.
• Scomponiamo in fattori i denominatori:
x+2
x−2
4x
−
−
,
x(x − 2) x(x + 2) (x + 2)(x − 2)
• Determiniamo il denominatore comune, calcoliamo la somma algebrica dei numeratori e svolgiamo i calcoli:
(x + 2)2 − (x − 2)2 − 4x2
x2 + 4x + 4 − (x2 − 4x + 4) − 4x2
=
x · (x + 2) · (x − 2)
x(x + 2)(x − 2)
x2 + 4x + 4 − x2 + 4x − 4 − 4x2
−4x · 8x − 4x2
(x
−
2)
−4
=
=
= x+2
x(x + 2)(x − 2)
x(x + 2)(x − 2) x · (x + 2) · (x
−
2)
2.3
moltiplicazione e divisione
Anche queste operazioni si eseguono con regole del tutto analoghe a quelle viste per le
frazioni numeriche.
• La moltiplicazione di due fazioni algebriche si esegue moltiplicando fra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. Per esempio:
4a + b 2a
2
a(4a + b)
2(4a + b)
· 2 =
=
2
2
a2
b
ab2
a b
• La divisione di due fazioni si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco
della seconda. Per esempio:
x−y
2
x − y x + 3y
(x − y)(x + 3y)
:
=
·
=
x
x + 3y
x
2
1x
• L’elevamento a potenza si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. Per esempio:
2a
a − 3b
2
=
(2a)2
4a2
=
(a − 3b)2
(a − 3b)2
29
30
frazioni algebriche
Nella pratica, quando si deve eseguire una moltiplicazione, è comodo eseguire prima le
eventuali semplificazioni e poi il prodotto:
• si scompongono tutti i polinomi delle frazioni, sia quelli al numeratore che quelli al
denominatore;
• si eseguono le semplificazioni dei fattori al numeratore con quelli al denominatore,
anche di frazioni diverse;
• si esegue il prodotto.
Per esempio:
y)
−
4x2 − y2
3
(x
+
y)
3(2x + y)
3x + 3y
(2x + y)
(2x
·
·
=
=
2
2
x + 2xy + y
2x − y
2x
−y
x+y
(x + y)2
Esercizio 55. Calcola
5ab 3x
·
.
2x2 10a2
Soluzione. Come nel caso del prodotto tra frazioni numeriche, conviene prima fare le
semplificazioni possibili:
• 5ab al numeratore della prima frazione con 10a2 al denominatore della seconda;
• x al numeratore della seconda frazione con x2 al denominatore della prima.
5
ab
2x2
Esercizio 56. Calcola
·
3x
10a2
=
3b
4ax
x2 − 2xy + y2 3a − 3b
·
.
a2 − b 2
x−y
Soluzione.
• Scomponiamo i polinomi delle due frazioni:
(x − y)2
3(a − b)
·
(a + b)(a − b)
x−y
• Eseguiamo le semplificazioni possibili:
(x − y)2
3
(a
−
b)
3(x − y)
·
=
(a + b)
(a
− b) x−y
a+b
2.4 espressioni con le frazioni algebriche
Esercizio 57. Calcola
x2 − 1 x + 1
:
.
3x − 6 x − 2
Soluzione.
x2 − 1 x + 1
x2 − 1 x − 2
(x − 1)(x + 1) x − 2
(x − 1)
(x
+
1)
x−
2
x−1
:
=
·
=
·
=
·
=
3x − 6 x − 2
3x − 6 x + 1
3(x − 2)
x+1
3
3
(x
−
2)
x+
1
2.4
espressioni con le frazioni algebriche
In un’espressione, le operazioni tra frazioni algebriche devono essere eseguite rispettando la consueta precedenza:
• prima le eventuali potenze;
• poi le moltiplicazioni e le divisioni,
• da ultimo le addizioni e le sottrazioni.
a cominciare dalle parentesi più interne.
Vediamo allora alcuni esempi riassuntivi.
Esercizio 58. Calcola
4x + 3 x − 2 3 − x
+
−
8x
4x2
2x
13x − 4
· 1−
.
13x + 4
Soluzione.
• Eseguiamo dapprima le operazioni all’interno delle parentesi:
x(4x + 3) − 2(x − 2) + 4x(3 − x) 13 + 4 − (13x − 4)
·
=
8x2
13x + 4
4x2 + 3x − 2x + 4 + 12x − 4x2 13 + 4 − 13x + 4
13x + 4
8
·
=
·
8x2
13x + 4
8x2
13x + 4
• Semplifichiamo ed eseguiamo il prodotto:
+
13x
4
8
1
·
= 2
2
8x
13x + 4
x
Esercizio 59. Calcola
2
12
−
3 − x 9 − x2
2
·
x2 + 6x + 9
.
2x − 2
Soluzione. Tenendo presente che 9 − x2 = (3 + x)(3 − x) eseguiamo per prima cosa la
differenza all’interno della parentesi:
2(3 + x) − 12
(3 + x)(3 − x)
2
2 2
x2 + 6x + 9
x2 + 6x + 9
−2
(3
−
x)
2
x + 6x + 9
·
=
·
= −
·
=
2x − 2
(3 + x)
(3
− x)
2x − 2
3+x
2x − 2
31
32
frazioni algebriche
Eseguiamo la potenza, lasciando indicata quella al denominatore, e scomponiamo contemporaneamente i polinomi della seconda frazione; dopo le opportune semplificazioni,
calcoliamo il prodotto:
(3 + x)2
4
2
4
(3
+
x)2
·
=
=
·
2
2
(3 + x) 2(x − 1) x−1
(3 + x) 2(x − 1)
2.5
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 60. Semplifica le seguenti frazioni algebriche.
x2 − 6x + 9
1.
x2 − 9
2.
4x2 − 4
8x2 − 8
3.
ax + x + a2 + a
a2 + 2a + 1
4.
4x2 − 4 + x3 − x
2x + 2
5.
6.
7.
8.
9.
5x + 5y
3x + 3y + ax + ay
3a3 − 3a2 − a + 1
9a4 − 1
2x − 2 − ax + a
x2 − 2x + 1
6a2 − 4ab + 3a − 2b
4a2 + 4a + 1
4x + 4y
3x + 3y + ax + ay
x2 + xy
10.
2x + 2y + ax + ay
3ax + 6a + 3x + 6
11.
6ax + 6x + 12a + 12
a3 + a2 + a + 1
12.
ax + x + 2a + 2
13.
x2 + 5x + 6
x2 + 6x + 9
−2x + 2 + ax − a
14.
x2 − 2x + 1
15.
4x3 − 4x4 + 8x − 8x2
1 − x2
x−3
x+3
1
2
x+a
a+1
(x − 1)(x + 4)
2
5
a+3
a−1
3a2 + 1
2−a
x−1
3a − 2b
2a + 1
4
a+3
x
a+2
1
2
2
a +1
x+2
x+2
x+3
a−2
x−1
4x(x2 + 2)
x−1
x2 + x − 2
16. 2
x + 2x − 3
6a2 b3 − 9a3 b2
17.
2ab − 3a2 − 2b + 3a
18.
x2 + 7x + 12
x2 − 9
19.
2x2 − 4xy
ax − 2ay + 2x − 4y
20.
x3 + x2 − 2x − 2
x3 + x2 + 2x + 2
21.
−2a − a2
2b + ab + 4 + 2a
22.
x2 + 3x − 28
x2 + 2x − 24
23.
a2 + a
ab + b + a + 1
24.
x2 − x − 6
x2 + 2x − 15
25.
x3 + x2 − 2x − 2
x2 + 2x + 1
26.
−a2 − a
ab + b + a + 1
27.
4x + 4y
6x + 6y + 2ax + 2ay
28.
x3 − x2 + x − 1
x3 − 3x2 + 3x − 1
29.
2x2
x2 − xy
− 2xy + ax2 − axy
x+2
x+3
3a2 b2
a−1
x+4
x−3
2x
a+2
2
x −2
x2 + 2
a
−
b+2
x+7
x+6
a
b+1
x+2
x+5
2
x −2
x+1
a
−
b+1
2
a+3
(x − 1)2
x2 + 1
1
a+2
2.5 esercizi
33
Esercizio 61. Calcola i seguenti prodotti di frazioni algebriche.
3x − 6y 2x2 y2 + xy3
1.
·
5xy3
4y2 − x2
3(2x + y)
−
5y(x + 2y)
2
2
x+1
x − 3x + 2 x + 3x + 2
2.
· 2
x−1
x2 − 4
x − 2x + 1
1
x2 − x − 6
x2 + x − 6
3.
·
2x2 − 8x + 8 x3 + 2x2 − 9x − 18 2(x − 2)
1
x2 − 4
2x2 + 8x + 8
4. 2
·
2
2
x + 4x + 4
4x − 16
2x3 − 2x2 − 3x + 3 x2 − 2x + 1 2x2 − 3
5.
·
2(x + 1)
2x2 − 4x + 2
x2 − 1
2
2
x+5
x + x − 2 x + 2x − 15
6. 2
· 2
x−3
x + 2x − 3 x − x − 6
7.
x4 − 5x2 + 4
x
· 3
2
x −1
x − 4x
[1]
8.
4x − 2a 3a − 3x
·
x−a
a − 2x
[6]
Esercizio 62. Calcola le seguenti divisioni di frazioni algebriche.
1.
2.
x2 − 5x + 6 x2 − x − 6
:
x2 − 9
x2 − 4
x2 + ax − x − a
2
" x −1 #
x+1 2
x+1
:
(x − 2)2
x2 − 3
3.
x2 + x x + 1
:
5x − 10 20x
4.
x2 − 6x + 9 x2 − 9
:
2x − 6
4x + 12
x2 + 2x + 1
x2 + x + ax + a
4x2
x−2
[2]
Esercizio 63. Calcola le seguenti somme di frazioni algebriche.
1
x+y−1
1
1
1
a+b+1
1
1
11.
+
+
1. 2 + 2 − 2 2
xy
a − 1 b + 1 a + ab − b − 1 (a − 1)(b + 1)
x y xy
x y
2x − 3
−2x
3(x + 3)
1
1
1
7
12.
+
−1
−
2.
+
−
x
2x + 3
x(2x + 3)
x 2x 3x
6x
1
1
2
1
2
1
1
1
+
+
13.
3.
+
−
1 − x x − x2 x
x(1 − x)
a a2 − a a − 1
a
3x
3
9
[x − 4]
14. 2
−
+
a−1
1
2
2
x − 2xy + y2 x − y 2y − 2x
4. 2
+
−
a−2
a −a a−2 a
6x
3
1
2
15. 2
+
−
3
a
2
x+2
x −4 2−x x+2
[1]
+
+
5.
a−1 1−a a−1
4
2
2
− 2
−
16. 2
1
1
2
x
−
9x
+
20
25
−
x
x
+
x − 20
[x]
6.
+
+x
1−x x−1
22
(x − 4)(x − 5)(x + 5)
x+1
x
1
7.
−
8x − 12
5x
20x
x
x−1
x(1 − x)
17.
−
−
2 − 12x + 9
2 + 3x
4x
2x
9
−
4x2
1
2x + 1
1
1
9
8.
+
+
x − 2 x + 2 x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
2x − 3
1
1
1
2
1
y
x+y
x
9.
+
+ 2
18. 2
−
+
x − 2 x − 1 x − 3x + 2
x−2
y+1
x + x + xy + y y + 1 x + 1
1
1
x
x+2 2−x
x2 + 1
10
10.
+ 2
19.
−
+
−
1
x − 1 x − 2x + 1
x − 3 1 − x x2 − 4x + 3
x−3
(x − 1)2
Esercizio 64. Vero o falso? Se falso calcola il risultato corretto.
1.
1
1
y2 + x2
+
=
=1s
x2 y2
x2 + y2
V
F
3.
1
1
−y + 1
+
=
x x−y
x−y
V
F
2.
1
1
1+x
+ = 2
2
x
x
x
V
F
4.
1
1
2
−
=
x−1 1−x
x−1
V
F
34
frazioni algebriche
1
x+1
=
=1
x
x+1
1
1
1+1
6.
+
=
a−b b−a
a−b
1 2
3
7.
+ =
x x
x
5. 1 +
V
F
V
F
V
F
8. x −
y
x2 + xy − y
=
x+y
x+y
Esercizio 65. Svolgi le seguenti espressioni contenenti frazioni algebriche.
2
a −1
1
1
1.
+
a−1 a+1
2a
x−y
x y
x2
2.
+ −2 : 1− 2 +
y x
x
y
1
2x
1
x
3.
−1
:
−
2
2 x −4
x+2
2−x
3
x − x2
x
4.
+
x
−
1
:
1
−
x+1
1 − x2
3
1
x − x2 x5 − x3
1
5.
:
−
:
x x+1
x−5
2x − 10
2
x
x
2x
x + 2x + 1
+
+
·
6.
2
x−1 x+1 1−x
4x2
x2 − 5
1
6
2x + 4
7.
+
+
· 2
2
x + 4x + 4 2 + x 4x + 8
2x + 5x
V
F
[F; V; F; V; F; V; V; V]
[1]
x−y
x+y
2(1 − x)
x+2
[−1]
1
2
x+1
2x
1
x+2
3
E Q U A Z I O N I D I P R I M O G R A D O F R AT T E
Abbiamo già affrontato le equazioni di primo grado intere. Affrontiamo ora le equazioni
in cui l’incognita compare anche a denominatore.
Definizione 5. Un’equazione in cui compare l’incognita a denominatore si chiama
fratta o frazionaria.
Per risolvere un’equazione fratta si procede come segue:
• si scompongono i denominatori in fattori;
• si determina il minimo comune multiplo dei denominatori;
• si impongono le condizioni di esistenza, escludendo i valori che annullano i denominatori;
• si svolgono i calcoli;
• si moltiplicano entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo;
• si ottiene un’equazione di primo grado intera, che verrà risolta normalmente;
• si eliminano le eventuali soluzioni escluse dalle condizioni di esistenza.
Vediamo come funziona il procedimento attraverso qualche esempio.
3.1
esempi di equazioni fratte
Esercizio 66. Risolvi l’equazione
2
1
2
+
= 2
.
x−1 x+1
x −1
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − 1 è la differenza tra due quadrati:
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
L’equazione diventa:
2
1
2
+
=
x−1 x+1
(x − 1)(x + 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 1)(x + 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −1 ∧ x 6= 1
35
36
equazioni di primo grado fratte
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
2(x + 1) + (x − 1)
2
=
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
2x + 2 + x − 1 = 2
=⇒
3x = 1
=⇒
x=
1
3
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l’insieme soluzione è:
1
S=
3
x+2
4x
+
= 5.
x+2
x
Esercizio 67. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• I denominatori sono irriducibili.
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = x(x + 2).
• Imponiamo le condizioni di esistenza
C. E.
x 6= −2 ∧ x 6= 0
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
4x2 + (x + 2)2
5x(x + 2)
=
x(x + 2)
x(x + 2)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
2
2
4x
+ x2 + 4x + 4 = 5x
+ 10x
da cui
4x + 4 = 10x
=⇒
−6x = −4
=⇒
x=
2
3
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
2
S=
3
3.1 esempi di equazioni fratte
3x − 2
3x
=
.
x+1
x−2
Esercizio 68. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• I denominatori sono irriducibili.
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 2)(x + 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza
x 6= −1 ∧ x 6= 2
C. E.
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
3x(x + 1)
(3x − 2)(x − 2)
=
(x − 2)(x + 1)
(x − 2)(x + 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
(3x − 2)(x − 2) = 3x(x + 1)
da cui
2
2
− 6x − 2x + 4 = + 3x
3x
3x
ovvero
−6x − 2x − 3x = −4
=⇒
−11x = −4
=⇒
x=
4
11
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
4
S=
11
Esercizio 69. Risolvi l’equazione
1
1
4
+
= 2
.
x+2 x−2
x −4
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − 4 è la differenza tra due quadrati:
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
L’equazione diventa:
1
1
4
+
=
x+2 x−2
(x − 2)(x + 2)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = x(x + 2).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −2 ∧ x 6= 2
37
38
equazioni di primo grado fratte
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 2) + (x + 2)
4
=
(x − 2)(x + 2)
(x − 2)(x + 2)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
= 4
+ x
+2
−2
x
da cui
2x = 4
=⇒
x=2
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l’insieme soluzione è:
S=∅
1
2
3
+
= 2
.
x−2 x+1
x −x−2
Esercizio 70. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − x − 2 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri che abbiano somma −1 e prodotto −2: questi numeri sono −2
e 1, per cui
x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
L’equazione diventa:
1
2
3
+
=
x−2 x+1
(x − 2)(x + 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 2)(x + 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 2 ∧ x 6= −1
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x + 1) + 2(x − 2)
3
=
(x − 2)(x + 1)
(x − 2)(x + 1)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
(x + 1) + 2(x − 2) = 3
da cui
x + 1 + 2x − 2 = 3
ovvero
x + 2x = −1 + 4 + 3
=⇒
3x = 6
=⇒
x=2
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l’insieme soluzione è:
S=∅
3.1 esempi di equazioni fratte
x2
1
−
= 1.
2
x − 2x + 1 2x − 2
Esercizio 71. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio x2 − 2x + 1 è il quadrato di un binomio:
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
– Il polinomio 2x − 2 si scompone raccogliendo 2 a fattor comune:
2x − 2 = 2(x − 1)
L’equazione diventa:
1
x2
−
=1
2
(x − 1)
2(x − 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 2(x − 1)2 .
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 1
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
2x2 − (x − 1)
2(x − 1)2
=
2(x − 1)2
2(x − 1)2
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
2x2 − (x − 1) = 2(x − 1)2
da cui
2x2 − x + 1 = 2(x2 − 2x + 1)
ovvero
2
2
2x
−x+1 =
2x
− 4x + 2
da cui
−x + 4x = 2 − 1
=⇒
3x = 1
=⇒
x=
1
3
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
1
S=
3
39
40
equazioni di primo grado fratte
Esercizio 72. Risolvi l’equazione
x2
1
1
1
−
=
.
+ 4x − 5 6x − 6
x+5
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio x2 + 4x − 5 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri
che abbiano somma +4 e prodotto −5: questi numeri sono −1 e +5, per cui
x2 + 4x − 5 = (x − 1)(x + 5)
– Il polinomio 6x − 6 si scompone raccogliendo a fattor comune:
6x − 6 = 6(x − 1)
L’equazione diventa:
1
1
1
−
=
(x − 1)(x + 5) 6(x − 1)
x+5
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 6(x − 1)(x + 5).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −5 ∧ x 6= 1
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
6 − (x + 5)
6(x − 1)
=
6(x − 1)(x + 5)
6(x − 1)(x + 5)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
6 − x − 5 = 6x − 6
da cui
−7x = −7
=⇒
x=1
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l’insieme soluzione è:
S=∅
3.1 esempi di equazioni fratte
Esercizio 73. Risolvi l’equazione
x2
1
x
1
+ 2
=
.
− 4x + 4 x + x − 6
x−3
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio x2 − 4x + 4 è il quadrato di un binomio:
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2
– Il polinomio x2 + x − 6 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri
che abbiano somma +1 e prodotto +4: questi numeri sono −2 e +3, per cui
x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3)
L’equazione diventa:
x
1
1
+
=
(x − 2)2 (x − 2)(x + 3)
x−3
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 2)2 (x + 3).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −3 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x + 3) + x(x − 2)
(x − 2)2
=
(x − 2)2 (x + 3)
(x − 2)2 (x + 3)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
(x + 3) + x(x − 2) = (x − 2)2
da cui
x + 3 + x2 − 2x = x2 − 4x + 4
ovvero
x − 2x + 4x = 4 − 3
da cui
3x = 1
=⇒
x=
1
3
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
1
S=
3
41
42
equazioni di primo grado fratte
1
1
x+1
+
= 2
.
2x − 2 3x − 6
x − 3x + 2
Esercizio 74. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio 2x − 2 si scompone raccogliendo a fattor comune:
2x − 2 = 2(x − 1)
– Il polinomio 3x − 6 si scompone raccogliendo a fattor comune:
x − 6 = 3(x − 2)
– Il polinomio x2 − 3x + 2 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri
che abbiano somma −3 e prodotto +2: questi numeri sono −2 e −1, per cui
x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
L’equazione diventa:
1
1
x+1
+
=
2(x − 1) 3(x − 2)
(x − 2)(x − 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 6(x − 2)(x − 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 1 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
3(x − 2) + 2(x − 1)
6(x + 1)
=
6(x − 2)(x − 1)
3(x − 2)(x − 1)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
3x − 6 + 2x − 2 = 6x + 6
da cui
3x + 2x − 6x = 6 + 2 + 6
da cui
−x = −14
=⇒
x = −14
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
S = { −14 }
3.1 esempi di equazioni fratte
1
2
2x − 3
+
= 2
.
x − 1 3x − 6
x − 3x + 2
Esercizio 75. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio 3x − 6 si scompone raccogliendo 3 a fattor comune:
x − 6 = 3(x − 2)
– Il polinomio x2 − 3x + 2 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri
che abbiano somma −3 e prodotto +2: questi numeri sono −2 e −1, per cui
x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1)
L’equazione diventa:
2
2x − 3
1
+
=
x − 1 3(x − 2)
(x − 2)(x − 1)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 3(x − 2)(x − 1).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 1 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
3(2x − 3)
3(x − 2) + 2(x − 1)
=
3(x − 2)(x − 1)
3(x − 2)(x − 1)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
3(x − 2) + 2(x − 1) = 3(2x − 3)
da cui
3x − 6 + 2x − 2 = 6x − 9
ovvero
3x + 2x − 6x = 6 + 2 − 9
da cui
−x = −1
=⇒
x=1
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l’insieme soluzione è:
S=∅
43
44
equazioni di primo grado fratte
1
1
5
−
=− 2
.
x+3 x−2
x +x−6
Esercizio 76. Risolvi l’equazione
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 + x − 6 è un trinomio speciale. Dobbiamo trovare due numeri che abbiano somma +1 e prodotto −6: questi numeri sono −2
e +3, per cui
x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3)
L’equazione diventa:
1
1
5
−
=−
x+3 x−2
(x − 2)(x + 3)
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = (x − 2)(x + 3).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= −3 ∧ x 6= 2
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 2) − (x + 3)
−5
=
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x + 3)
• Moltiplichiamo entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
x − 2 − x − 3 = −5
=⇒
0=0
• L’equazione è indeterminata: ciò significa che ogni numero che verifica le condizioni di
esistenza è soluzione dell’equazione. Tenendo conto delle C. E., l’insieme soluzione
è allora:
S = R \ { −3, 2 }
Esercizio 77. Risolvi l’equazione
x2 + x − 3
5
= 1− .
2
x −x
2x
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio x2 − x si scompone raccogliendo x a
fattor comune:
x2 − x = x(x − 1)
L’equazione diventa:
x2 + x − 3
5
= 1−
x(x − 1)
2x
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = 2x(x − 1).
3.1 esempi di equazioni fratte
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 0 ∧ x 6= 1
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
2x(x − 1) − 5(x − 1)
2(x2 + x − 3)
=
2x(x − 1)
2x(x − 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
2(x2 + x − 3) = 2x(x − 1) − 5(x − 1)
da cui
2
2
2x
+ 2x − 6 = 2x
− 2x − 5x + 5
ovvero
2x + 2x + 5x = 6 + 5
=⇒
9x = 11
=⇒
x=
11
9
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza; la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
11
S= −
9
Esercizio 78. Risolvi l’equazione
1
1
1
+ 2
= 2
.
2
2x − x
x −4
x + 2x
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio 2x − x2 si scompone raccogliendo x a fattor comune:
2x − x2 = x(2 − x)
– Il polinomio x2 − 4 è la differenza tra due quadrati:
x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)
– Il polinomio x2 − 2x si scompone raccogliendo x a fattor comune:
x2 + 2x = x(x + 2)
L’equazione diventa:
1
1
1
+
=
x(2 − x) (x − 2)(x + 2)
x(x + 2)
Tenendo conto che 2 − x = −(x − 2), conviene riscriverla così:
−
1
1
1
+
=
x(x − 2) (x − 2)(x + 2)
x(x + 2)
45
46
equazioni di primo grado fratte
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = x(x − 2)(x + 2).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
x 6= 0 ∧ x 6= −2 ∧ x 6= −2
C. E.
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 2)
−(x + 2) + x
=
x(x − 2)(x + 2)
x(x − 2)(x + 2)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
−(x + 2) + x = (x − 2)
da cui
−x − 2 + x = x − 2
=⇒
−x = 2 − 2
=⇒
−x = 0
=⇒
x=0
• Confrontiamo la soluzione con le condizioni di esistenza: la soluzione non è accettabile e l’insieme soluzione è:
S=∅
Esercizio 79. Risolvi l’equazione
1
1
2
+
=
.
2x − 1 1 − 4x2
2x + 1
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori. Il polinomio 1 − 4x2 è la differenza tra due quadrati:
1 − 4x2 = (1 − 2x)(1 + 2x)
L’equazione diventa:
1
1
2
+
=
2x − 1 (1 − 2x)(1 + 2x)
2x + 1
Tenendo conto che 1 − 2x = −(2x − 1), conviene riscriverla così:
1
1
2
−
=
2x − 1 (2x − 1)(2x + 1)
2x + 1
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = x(x − 2)(x + 2).
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
2x − 1 6= 0 ∧ 2x + 1 6= 0
da cui
C. E.
x 6=
1
1
∧ x 6= −
2
2
3.1 esempi di equazioni fratte
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
2(2x − 1)
(2x + 1) + 1
=
(2x − 1)(2x + 1)
(2x − 1)(2x + 1)
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
(2x + 1) + 1 = 2(2x − 1)
da cui
2x + 1 + 1 = 4x − 2
ovvero
=⇒
2x − 4x = −1 − 1 − 2
−2x = −4
=⇒
x=2
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza; la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
S = {2}
Esercizio 80. Risolvi l’equazione
x2
x
1
1
− 2
=
.
− 3x x − 6x + 9
3−x
Soluzione.
• Scomponiamo i denominatori.
– Il polinomio x2 − 3x si scompone raccogliendo x a fattor comune:
x2 − 3x = x(x − 3)
– Il polinomio x2 − 6x + 9 è il quadrato di un binomio:
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2
L’equazione diventa:
1
x
1
−
=−
.
2
x(x − 3) (x − 3)
x−3
dove a secondo membro abbiamo usato il fatto che 3 − x = −(x − 3).
• Determiniamo il mcm dei denominatori: mcm = x(x − 3)2 .
• Imponiamo le condizioni di esistenza:
C. E.
x 6= 0 ∧ x 6= 3
• Svolgiamo i calcoli e otteniamo
(x − 3) − x2
−x(x − 3)
=
2
x(x − 3)
x(x − 3)2
47
48
equazioni di primo grado fratte
• Moltiplicando entrambi i membri per il mcm, certamente diverso da zero per le
condizioni poste, l’equazione diventa:
2
2
x − 3
−x
=
−x
+ 3x
da cui
x − 3x = 3
=⇒
−2x = 3
=⇒
x=−
3
2
• Confrontiamo le soluzioni con le condizioni di esistenza; la soluzione è accettabile e
l’insieme soluzione è:
3
S= −
2
3.2
equazioni letterali e formule inverse
Le formule di geometria, di fisica e di matematica finanziaria possono essere viste come
equazioni letterali, in cui le varie grandezze sono indicate con lettere.
I due principi di equivalenza delle equazioni permettono di ricavare le cosiddette formule
inverse, ossia di risolvere un’equazione letterale rispetto a una qualsiasi delle lettere che vi
compaiono.
Esercizio 81. L’area del triangolo è data dalla formula
A=
b·h
2
dove b è la base e h l’altezza. Determina il valore di h in funzione di A e b.
Soluzione. L’equazione è risolta rispetto all’incognita A: se sono noti i valori della base b
e dell’altezza h è possibile ottenere il valore dell’area A. È possibile risolvere l’equazione
rispetto a un’altra lettera pensata come incognita. Noti i valori di A e di b vogliamo
ricavare h. Partendo dalla formula
b·h
A=
2
moltiplichiamo per 2 entrambi i membri dell’equazione, e otteniamo
2A = b · h
Dividiamo per b entrambi i membri:
2A b·h
=
b
b
Ora basta invertire primo e secondo membro:
h=
2A
b
3.2 equazioni letterali e formule inverse
Esercizio 82. Un corpo in una posizione s0 , viaggiando alla velocità costante v,
raggiunge dopo un intervallo di tempo t la posizione s. In formule:
s = s0 + v · t
Calcolare v supponendo note le altre grandezze.
Soluzione. Partendo dalla formula
s = s0 + v · t
sottraiamo s0 a entrambi i membri:
s
s
s − s0 = 0
0 + v · t −
da cui otteniamo
s − s0 = v · t
Dividendo entrambi i membri per t otteniamo:
s − s0
v · t
=
t
t
Invertendo primo e secondo membro:
v=
s − s0
t
Esercizio 83. Depositando un capitale C per un periodo di t anni a un tasso di
interesse annuo i, si ha diritto al montante M. In formule:
M = C(1 + it)
Calcola i note le altre grandezze.
Soluzione. Partendo da
M = C(1 + it)
e dividendo per C entrambi i membri otteniamo:
M
= 1 + it
C
Sottraiamo 1 a entrambi i membri otteniamo:
M
− 1 = it
C
Dividiamo per t entrambi i membri:
M
−1
C
=i
t
da cui
M
1 M−C
1
i= ·
−1 = ·
t
C
t
C
In conclusione:
M−C
i=
tC
49
50
equazioni di primo grado fratte
3.3
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 84. Risolvi le seguenti equazioni fratte.
2x + 1 4x2 + 1
+
=2
2x − 1 4x2 − 1
1.
1
2
=
x+1
x+2
[−3]
19.
2.
1
=2
x−1
5
2
1
2
1
20.
=0
+ + 2
x−1 x x −x
1
=0
x+1
2x − 4
4.
=0
x−2
1
x
−
=1
5.
x+1 x−1
1
x
6.
=
x−3
3−x
3
2
=
x+1
x+1
1
4
9.
−
=0
3 − x 2x − 6
8.
21.
x−1
2
=
2 − 2x
x2 − 2x + 1
[impossibile]
22.
2
1
5
+
=
5x + 1 2x − 1
1 − 2x
23.
1
2
3
+
= 2
x−2 x+1
x −x−2
[impossibile]
24.
30
3
+
=0
x2 − 25 5 − x
[impossibile]
[0]
[−1]
12.
13.
[1]
5
6
3x − 1
16.
−
= 2
x−2 x+1
x −x−2
1
x
−
=0
1−x x−1
x−1
1
1 − x2
=
+ 2
x+1
x−2 x −x−2
3
4
[impossibile]
28.
6 − 8x2
1 + 2x 1 − 2x
+
=
1 − 2x 1 + 2x
1 − 4x2
[impossibile]
29.
3x
6x
3x2
+ 2
=
x − 2 x − 4x + 4
(x − 2)2
1
2
3x − 6
30.
−
= 2
x+3 x+2
x + 5x + 6
31.
x−1 x+2
1
−
= 2
x+2 x−1
x +x−2
32.
3
1
12 − x
+
= 2
x−1 x+1
x −1
9
2
3x + 1
2
3
33. 2
+ 2
=
x+3
x − 9 3x − 9x
[−1]
34.
1
−
3
2
25
1
1
x+3
−
= 2
x+3 2−x
x +x−6
[−2]
[impossibile]
27.
[impossibile]
3
2
[impossibile]
3x
5x
1−x
26. −
+
=
6 − 2x 10 − 5x
4 − 2x
[−1]
3x + 1
=1
3x2 + x
x+1
x
18.
−
=0
x−1 1+x
25. 1 +
[impossibile]
x−2
x−1
=
x−1
x−2
6+x
x2
=
14.
x−3
x−3
1
2
3
15.
+
= 2
x−2 x+1
x −x−2
17.
11
6
[impossibile]
x2
−1
− 1 = 2x + 1
10.
x−1
x
1
11. 2
=
x+2
x −4
1
3
[0]
3. 1 −
x−1
5
7. 2
=−
x+2
x −4
[−1]
35.
x2
1
2
+
=0
− 3x + 2 x − 1
1
4
x+2
−
=
2
x−3
9 − 3x
(x − 3)
[x 6= 2]
1
2
2
−
3
[2]
3
−
16
3
2
3
−
4
Esercizio 85. L’interesse I maturato da un capitale C, al tasso di interesse annuo i, per un numero
di anni t, è:
I = C·i·t
• Ricava le formule per calcolare C, i e t.
3.3 esercizi
• Se il capitale è 12 000 e, il tasso di interesse 3.5% e il tempo è di 6 anni, calcola I.
Esercizio 86. Conversione da gradi Celsius C a gradi Fahrenheit F:
C=
5(F − 32)
9
• Ricava la formula per calcolare F.
• Calcola il valore di C quando F vale 106 e il valore di F quando C vale 12.
Esercizio 87. Superficie S di un trapezio di base maggiore B, base minore b, altezza h:
1
· (B + b) · h
2
S=
• Ricava le formule per calcolare B, b e h.
• Se la base maggiore è 12 cm, la base minore 8 cm, la superficie 12 cm2 , calcola l’altezza del
trapezio.
Esercizio 88. Velocità v nel moto rettilineo uniforme con velocità iniziale v0 , accelerazione costante a dopo un tempo t:
v = v0 + a · t
• Ricava le formule per calcolare v0 , a e t.
• Se un corpo è passato in 10 secondi dalla velocità 10 m/s alla velocità 24 m/s, qual è stata la
sua accelerazione?
Esercizio 89. Legge di Gay-Lussac per i gas:
V = V0 · (1 + α · t)
Ricava le formule per calcolare V0 e T .
Esercizio 90. Equazione di stato dei gas perfetti:
pV = nRT
Ricava le formule per calcolare V e T .
Esercizio 91. Rendimento del ciclo di Carnot:
η = 1−
Ricava le formule per calcolare T1 e T2 .
T1
T2
51
4
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Un’equazione del tipo
3x − y = 6
ha come soluzioni tutte le coppie (x, y) che la soddisfano. Per esempio sono soluzioni le
seguenti coppie:
• (0, −6), infatti 3 · 0 − (−6) = 6;
• (−2, −12), infatti 3 · (−2) − (−12) = 6.
• (1, −3), infatti 3 · 1 − (−3) = 6;
Non è difficile intuire che le coppie soluzione sono infinite; se infatti riscriviamo forma y = 3x − 6, basta assegnare a x un valore reale qualsiasi e a y il triplo di questo valore
diminuito di 6 per avere una coppia soluzione. Se però consideriamo anche l’equazione
x−y+2 = 0
fra le infinite soluzioni della prima e le infinite soluzioni di quest’ultima, potrebbe darsi
che ce ne sia qualcuna in comune. In effetti, la coppia (4, 6) le soddisfa entrambe:
• prima equazione: 3x − y = 6
=⇒
• seconda equazione: x − y + 2 = 0
3·4−6 = 0
=⇒
=⇒
4−6+2 = 0
6 = 6;
=⇒
0 = 0.
Definizione 6. Si definisce sistema di equazioni l’insieme di due o più equazioni che
devono essere verificate contemporaneamente. L’insieme soluzione S di un sistema
di equazioni è formato da tutte le soluzioni che rendono vere tutte le equazioni
contemporaneamente.
Per indicare un sistema di equazioni si è soliti scrivere tali equazioni all’interno di una
parentesi graffa aperta. Riferendoci al precedente esempio, il sistema delle due equazioni
si rappresenta così:
3x − y = 6
x−y+2 = 0
e una soluzione è data dalla coppia ordinata (4, 6).
4.1
grado di un sistema
Definizione 7. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.
Per esempio:
53
54
sistemi di equazioni lineari
• il sistema
x2 + 3x − 4y2 = 2
x3 − 4y = 0
è di grado 6 perché la prima equazione ha grado 2 e la seconda ha grado 3;
• il sistema

 x − 3y + z = 0
x2 − y + 2z = 3

x − y + z2 = 1
è di grado 4 perché la prima equazione ha grado 1, mentre la seconda e la terza
hanno hanno grado 2;
• il sistema
x − 2y = 3
3x − y + 1 = 0
è di grado 1 perché entrambe le equazioni sono di primo grado.
4.2
sistemi determinati, indeterminati, impossibili
Chi sono sistemi che hanno un numero limitato di soluzioni; un esempio è il sistema
presentato all’inizio del capitolo che, come avremo modo di vedere meglio più avanti, è
verificato solo dalla coppia (4, 6).
Un sistema come il seguente
x − 3y = 1
x − 3y = 4
non ha invece alcuna soluzione perché se x − 3y deve essere uguale a 1, non è possibile che
sia contemporaneamente uguale a 4.
2x + 5y = 3
4x + 10 − 6 = 0
ha invece infinite soluzioni perché le due equazioni sono uguali (se semplifichi la seconda equazione ottieni la prima), quindi tutte le infinite coppie che soddisfano la prima,
soddisfano anche la seconda.
Analogamente a quanto abbiamo fatto per le equazioni, diciamo allora che un sistema e:
• determinato se ha un numero finito di soluzioni;
• impossibile se non ha soluzioni;
• indeterminato se ha infinite soluzioni.
4.3
principi di equivalenza
4.3 principi di equivalenza
Definizione 8. Diciamo che due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Per risolvere un sistema si cerca di passare a un altro a esso equivalente ma di forma
più semplice e per fare ciò ci vengono in aiuto due principi di equivalenza che illustriamo
dapprima con alcuni esempi. La loro validità è comunque generale e vale per qualunque
tipo di sistema, con un un numero qualunque di equazioni e di incognite, di qualsiasi
grado esso sia.
Consideriamo il sistema
x+y = 1
2x + 3y − 5 = 0
e ricaviamo l’espressione dell’incognita y dalla prima equazione:
y = 1−x
Questa scrittura significa che, al variare di x, il valore di y è 11 − x; ma la soluzione di
un sistema è la coppia (x, y) che soddisfa entrambe le equazioni, quindi 1 − x deve anche
essere il valore di y della seconda equazione. Possiamo allora sostituire questa espressione
al posto di y ottenendo:
2x + 3(1 − x) − 5 = 0
Il sistema che si ottiene dalla prima equazione riscritta nella forma y = 1 − x e dalla seconda
dopo la sostituzione è:
y = 1−x
2x + 3(1 − x) − 5 = 0
e, per il ragionamento che abbiamo fatto, possiamo dire che questo sistema è equivalente
a quello dato.
Questo metodo per ottenere un sistema equivalente è riassunto nel seguente primo
principio di equivalenza.
Principio 1 (di sostituzione). Se in un sistema si sostituisce a una incognita la sua
espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello
dato.
Consideriamo adesso sistema
2x + 3y − 1 = 0
−x + 5y + 3 = 0
Se sommiamo membro a membro le due equazioni otteniamo:
(2x + 3y − 1) + (−x + 5y + 3) = 0
Associamo adesso all’equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema, per esempio la prima:
(2x + 3y − 1) + (−x + 5y + 3) = 0
2x + 3y − 1 = 0
Quello che abbiamo ottenuto è un altro sistema, diverso dal precedente, che però ha le
stesse soluzioni. Infatti la coppia (x, y) che soddisfa il primo sistema deve soddisfare entrambe le equazioni e quindi anche la loro somma; essa è dunque una soluzione anche del
secondo sistema. Viceversa, la soluzione del secondo sistema deve rendere nullo il primo
55
56
sistemi di equazioni lineari
membro della seconda equazione (cioè 2x + 3y − 1); quindi, per soddisfare anche la prima
equazione, deve rendere nulla l’espressione −x + 5y + 3; essa è quindi anche soluzione
del primo sistema. Questo metodo per ottenere un sistema equivalente è riassunto nel
seguente secondo principio di equivalenza.
Principio 2 (di riduzione). Se in un sistema si sommano membro a membro le sue
equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce a una di esse l’equazione ottenuta, si ottiene
un sistema equivalente a quello dato.
Questo principio vale anche se si sottraggono membro a membro le due equazioni; infatti
questo equivale a cambiare i segni di una delle due equazioni e poi a sommare.
4.4
risoluzione dei sistemi lineari
In questo paragrafo ci occupiamo della risoluzione dei sistemi di primo grado, che si dicono
anche lineari; tutte le equazioni di un sistema lineare sono quindi di primo grado. In
particolare affrontiamo la risoluzione dei sistemi di due equazioni in due incognite. La
forma tipica di un sistema di questo tipo, che si dice forma normale, è la seguente:
ax + by = c
dx + ey = f
con a, b, c, d, e, f numeri non tutti contemporaneamente nulli.
Un sistema lineare, se e determinato, ammette sempre una sola soluzione. Trovarla significa individuare, se esiste, la coppia ordinata di numeri (x, y) che soddisfa il sistema; possiamo quindi ritenere di averlo risolto se, applicando i principi di equivalenza, riusciamo
a trasformare le sue equazioni fino ad arrivare a scrivere
x=k
y=h
In questo caso diciamo che la coppia soluzione è (k, h). Osserviamo poi che l’ordine con cui
vengono scritte le equazioni di un sistema non ha importanza al fine della sua risoluzione.
Vediamo adesso i principali metodi di risoluzione.
4.4.1 Metodo di sostituzione
Questo metodo è conseguenza diretta dell’applicazione del primo principio; vediamo
come si deve procedere usando come esempio il sistema
2x − 3y = 1
x − 4y − 2 = 0
• Ricaviamo l’espressione di x oppure di y da una delle due equazioni. In questo caso
conviene ricavare x dalla seconda equazione perché questa variabile ha coefficiente 1
e quindi la sua espressione non avrà coefficienti frazionari:
2x − 3y = 1
x = 4y + 2
4.4 risoluzione dei sistemi lineari
• Applichiamo il principio di sostituzione:
2(4y + 2) − 3y = 1
x = 4y + 2
Il vantaggio che deriva dall’applicazione di questo principio è evidente perché la
prima equazione contiene adesso la sola incognita y e può essere risolta rispetto a
questa variabile.
• Svolgiamo i calcoli e risolviamo l’equazione in y :
8y + 4 − 3y = 1
x = 4y + 2
=⇒
5y = −3
x = 4y + 2
=⇒


 y = −3
5

 x = 4y + 2
• Applichiamo ancora il principio di sostituzione:

3


 y = −5

3

 x=4 −
+2
5
=⇒

3


 y=−
5

2

 x=−
5
Abbiamo così trovato la soluzione del sistema; l’insieme S delle soluzioni è quindi
2 3
S=
− ,−
5 5
Esercizio 92. Risolvi
x − 4y = 13
2x + 3y = 4
Soluzione. La cosa più conveniente è ricavare la variabile x dalla prima equazione e sostituire la sua espressione nella seconda:
x = 13 + 4y
=⇒
2x + 3y = 4
x = 13 + 4y
=⇒
11y = −22
x = 13 + 4y
x = 13 + 4y
=⇒
=⇒
2(13 + 4y) + 3y = 4
26 + 8y + 3y = 4
x = 13 + 4y
x = 13 − 8
x=5
=⇒
=⇒
y = −2
y = −2
y = −2
L’insieme delle soluzioni è dunque
S = { (5, −2) }
57
58
sistemi di equazioni lineari


 x + y = 3 − 1x
2
4
Esercizio 93. Risolvi

 2x − y = 1
Soluzione. Liberiamo innanzitutto la prima equazione dai denominatori e scriviamo il sistema in forma normale:


 2x + 2y = 12 − x
3x + 2y = 12
4
4
=⇒

2x − y = 1
 2x − y = 1
Ricaviamo l’espressione di y dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima:
3x + 2y = 12
y = 2x − 1
7x = 14
y = 2x − 1
=⇒
=⇒
3x + 2(2x − 1) = 12
y = 2x − 1
x=2
=⇒
y = 2x − 1
=⇒
x=2
y=3
3x + 4x − 2 = 12
y = 2x − 1
=⇒
S = { (2, 3) }
=⇒
4.4.2 Metodo di riduzione
Il metodo consiste nel sommare (o sottrarre) opportunamente le due equazioni, applicando il principio di riduzione, in modo da eliminare una delle variabili da ciascuna
equazione.
Anche in questo caso vediamo come si deve procedere con un esempio:
2x + y − 4 = 0
−2x + 5y − 6 = 0
• Eliminiamo la variabile x sommando membro a membro le due equazioni
(2x + y − 4) + (−2x + 5y − 6) = 0
=⇒
6y − 10 = 0
=⇒
x=
5
3
• Eliminiamo la variabile y: dobbiamo prima moltiplicare per −5 la prima equazione
in modo che i coefficienti delle y siano opposti:
−10x − 5y + 20 = 0
−2x + 5y − 6 = 0
Sommiamo membro a membro:
(−10x − 5y + 20) + (−2x + 5y − 6) = 0
=⇒
• Il sistema delle due equazioni ottenute è dunque:

5


 y=
3


 y= 7
6
7 5
La soluzione è quindi la coppia
,
6 3
−12x + 14 = 0
=⇒
x=
7
6
4.4 risoluzione dei sistemi lineari
Spesso, dopo aver applicato il principio di riduzione per eliminare una delle due variabili,
per completare la risoluzione del sistema è più comodo procedere per sostituzione; per
esempio, riprendendo il precedente sistema, possiamo procedere così:
• Eliminiamo la variabile x come nel caso precedente ottenendo l’equazione 3y − 5 = 0,
5
dalla quale si ricava che y = .
3
• Associamo all’equazione trovata una delle due del sistema (di solito si sceglie la più
semplice), per esempio la prima:


 y= 5
3

 2x + y − 4 = 0
• Sostituiamo il valore di y trovato nella seconda equazione e risolviamo:

5


 y=
3


 2x + 5 − 4 = 0
3
Esercizio 94. Risolvi

5


 y=
3


 2x = 7
3
=⇒

5


 y=
3


 x= 7
6
=⇒
x + 5y = 7
3x − y = 5
Soluzione. Per eliminare la variabile x dobbiamo moltiplicare la prima equazione per −3 e
poi sommare membro a membro:
−3x − 15y = −21
3x − y = 5
Otteniamo l’equazione
=⇒
−3x − 15y − 3x − y = −21 + 5
16y = 16
=⇒
y=1
Per eliminare la variabile y dobbiamo moltiplicare la seconda equazione per 5 e poi sommare membro a membro:
x + 5y = 7
15x − 5y = 25
Otteniamo l’equazione
x + 5y + 15x + 5y = 7 + 25
=⇒
16x = 32
Il sistema dato è quindi equivalente a:
x=2
y=1
=⇒
S = { (2, 1) }
=⇒
x=2
59
60
sistemi di equazioni lineari
4x + y + 1 = 0
3x − 2y + 9 = 0
Esercizio 95. Risolvi
Soluzione. Se vogliamo eliminare la variabile y dobbiamo prima moltiplicare per 2 la prima
equazione e poi sommare membro a membro:
8x + 2y + 2 = 0
3x − 2y + 9 = 0
=⇒
=⇒
11x + 11 = 0
x+1 = 0
Associamo a essa la prima equazione del sistema (prima di moltiplicare per 2):
x+1 = 0
4x + y + 1 = 0
Risolviamo la prima equazione e procediamo poi per sostituzione:
x = −1
4 · (−1) + y + 1 = 0
=⇒
x = −1
y=3
L’insieme delle soluzioni è quindi
S = { (−1, 3) }
4.4.3 Metodo del confronto
Questo metodo è un’applicazione del principio di sostituzione; vediamo come si deve
procedere usando come esempio il sistema
x+y−2 = 0
x−y+1 = 0
• Ricaviamo l’espressione della stessa variabile, sia la x che la y, in entrambe le equazioni.
x = 2−y
y = 2−x
Ricavando x:
Ricavando y:
x = y−1
y = x+1
• Confrontiamo le due espressioni di x e le due espressioni di y:
2−y = y−1
2−x = x+1
Quelle che abbiamo ottenuto sono equazioni in una sola incognita.
• Scriviamo il sistema di queste equazioni e risolviamolo:

3


 y=
2−y = y−1
2
=⇒

2−x = x+1

 x= 1
2
L’insieme delle soluzioni è quindi
S=
1 3
,
2 2
4.4 risoluzione dei sistemi lineari
Dopo il primo confronto che permette di eliminare una delle variabili è di solito più
conveniente risolvere l’equazione ottenuta e procedere per sostituzione. Riprendendo
l’esempio precedente, possiamo procedere così:
• Ricaviamo l’espressione della variabile x come nel caso precedente ottenendo l’equazione 2 − y = y − 1.
• Associamo all’equazione trovata una delle due del sistema, per esempio la seconda:
2−y = y−1
x−y+1 = 0
• Risolviamo la prima equazione e sostituiamo il valore trovato nella seconda completando la risoluzione del sistema:


3
3




 y=
 y=
2
2
=⇒


3
1


 x=
 x− +1 = 0
2
2
Esercizio 96. Risolvi il sistema
3x + 2y = 5
5x − 4y = 1
Soluzione. Ricaviamo x da entrambe le equazioni e confrontiamo:

5 − 2y


 x=
3


 x = 1 + 4y
5
5 − 2y
1 + 4y
=
3
5
=⇒
Ricaviamo y da entrambe le equazioni e confrontiamo:

5 − 3x


 y=
2


 y = 5x − 1
4
Il sistema dato è equivalente a:
da cui
10 − 6x = 5x − 1
25 − 10y = 3 + 12y
=⇒
5 − 3x
5x − 1
=
2
4

5 − 3x
5x − 1


=

2
4

5
−
2y
1
+
4y


=
3
5
=⇒
11x = 11
22y = 22
Quindi
S = { (1, 1) }
=⇒
x=1
y=1
61
62
sistemi di equazioni lineari
Esercizio 97. Risolvi il sistema
5x − y = −3
3x − 2y = 1
Soluzione. Ricaviamo y da entrambe le equazioni:


 y = 5x + 3

 y = 3x − 1
2
Confrontiamo:
5x + 3 =
3x − 1
2
All’equazione ottenuta associamo la prima del sistema:


 5x + 3 = 3x − 1
2

 5x − y = −3
Risolviamo l’equazione nella sola incognita x:
x = −1
5x − y = −3
Sostituiamo nella seconda equazione e completiamo la risoluzione:
x = −1
5 − y = −3
=⇒
x = −1
y = −2
Quindi
S = { (−1, −2) }
4.4.4 Metodo di Cramer
Il metodo di Cramer (dal nome dl matematico svizzero Gabriel Cramer) permette di
risolvere un qualunque sistema in modo semplice ed efficace. Per usare questo metodo,
il sistema deve essere scritto nella sua forma normale. In questo caso, i coefficienti delle
variabili possono essere raggruppati in una tabella bidimensionale in questo modo:
a b
d e
dove nella prima colonna abbiamo messo i coefficienti della variabile x e nella seconda i
coefficienti della variabile y.
A una tabella di questo tipo si dà il nome di matrice e poiché essa possiede due righe e
due colonne si parla di matrice quadrata di ordine due.
In una matrice di questo tipo si individuano due diagonali: quella dei termini a ed e è
la diagonale principale, mentre quella dei termini b e d è la diagonale secondaria.
4.4 risoluzione dei sistemi lineari
A ogni matrice quadrata
come questa si può associare un numero che si chiama detera b
, che si calcola facendo il prodotto dei termini sulla diagonale
minante, indicato con d e
principale e sottraendogli il prodotto dei termini sulla diagonale secondaria:
a b
d e = ae − bd
Consideriamo adesso la matrice che otteniamo da quella dei coefficienti sostituendo la
prima colonna, quella dei coefficienti di x, con la colonna dei termini noti delle equazioni
del sistema:
c b
∆x =
f e
Il suo determinante, che indichiamo con ∆x, è dato da:
c b
f e = ce − bf
Da ultimo consideriamo la matrice che otteniamo da quella dei coefficienti sostituendo
la colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti delle due equazioni del sistema:
a c
d f
Il suo determinante, che indichiamo con ∆y, è dato da:
a c
= af − cd
∆y = d f
Si può dimostrare che:
• se ∆ 6= 0, il sistema è determinato e la sua soluzione è data dalla coppia

∆x


 x=
∆


 x = ∆y
∆
che corrisponde a
∆x ∆y
,
:
∆ ∆

cd − bf


 x=
ae − bd

af − cd

 x=
ae − bd
• se ∆ = 0, il sistema non è determinato ed è:
– indeterminato se ∆x = 0 e ∆y = 0;
– impossibile se ∆x 6= 0 oppure ∆y 6= 0;
Il metodo di Cramer, proprio perché segue uno schema preciso, si presta bene alla
costruzione di algoritmi per risolvere sistemi lineari in modo automatico, con strumenti
informatici.
63
64
sistemi di equazioni lineari
Esercizio 98. Risolvi il sistema
3x + 6y = −4
x + 4y = −3
Soluzione. Calcoliamo i tre determinanti:
• determinante della matrice dei coefficienti:
3 6
= 3 · 4 − 1 · 6 = 12 − 6 = 6
∆=
=⇒
1 4
poichè ∆ 6= 0 il sistema è determinato
• determinante della matrice che si ottiene da quella dei coefficienti sostituendo la
colonna dei coefficienti di x con quella dei termini noti:
−4 6
= −4 · 4 − (−3) · 6 = −16 + 18 = 2
∆x = −3 4
• determinante della matrice che si ottiene da quella dei coefficienti sostituendo la
colonna dei coefficienti di y con quella dei termini noti:
3 −4
= 3 · (−3) − 1 · (−4) = −9 + 4 = −5
∆x = 1 −3
Il sistema ha quindi soluzione:

2
1
∆x


= =
 x=
∆
6
3


 x = ∆y = − 5
∆
6
Esercizio 99. Risolvi il sistema
x − 4y = 5
2x − 8y = 7
Soluzione.
1 −4
= −8 + 8 = 0
∆=
2 −8
Questa volta ∆ = 0, quindi il sistema non è determinato. Per decidere se è indeterminato
o impossibile calcoliamo ∆x: se troviamo che ∆x = 0 dobbiamo calcolare anche Deltay, se
troviamo che ∆x 6= 0 possiamo subito concludere che il sistema è impossibile:
5 −4
= −40 + 28 = −12
∆x = 7 −8
Il sistema è quindi impossibile.
4.5 problemi che si risolvono con i sistemi
Esercizio 100. Risolvi il sistema
Soluzione.
2x − y = 1
4x − 2y = 2
2 −1
= 2(−2) − 4(−1) = −4 + 4 = 0
∆=
4 −2
Il sistema non è determinato. Calcoliamo ∆x e se è uguale a zero calcoliamo anche ∆y:
1 −1
= 1(−2) − 2(−1) = −2 + 2 = 0
∆x = 2 −2
2 1
= 4−4 = 0
∆y = 4 2
Essendo ∆ = 0 e ∆x = ∆y = 0, il sistema è indeterminato.
4.5
problemi che si risolvono con i sistemi
Sappiamo che le equazioni servono, fra le altre cose, a risolvere problemi. Ci sono
problemi che si possono risolvere con un’equazione perché abbiamo a che fare con una
sola incognita, ma ci sono anche problemi nei quali si hanno due o più incognite. È
importante comprendere che il numero di equazioni da scrivere deve essere pari al numero di
incognite, altrimenti il problema non è, in genere, determinato.
Queste equazioni, essendo la trasposizione in forma matematica del problema, devono
essere verificate dagli stessi valori delle variabili ed è quindi lecito scriverle in sistema.
Valgono tutte le considerazioni fatte a proposito della risoluzione dei problemi e che
quindi è indispensabile:
• individuare con precisione l’obiettivo del problema;
• scrivere in modo completo i dati;
• individuare il campo di variabilità delle incognite e, una volta trovati i loro valori,
stabilirne l’accettabilità.
Nella risoluzione dei problemi che seguono privilegeremo l’aspetto di formalizzazione
rispetto al calcolo.
Esercizio 101. Un tappezziere deve ricoprire una parete rettangolare con della carta
da parati che costa 35 e ai metro quadrato. Il committente gli comunica che un
terzo di una dimensione è uguale a un mezzo dell’altra e che il perimetro della
figura è lungo 20 m. Qual è l’importo della spesa del materiale che il tappezziere
deve inserire nel preventivo?
Soluzione. Per calcolare il costo del materiale dobbiamo conoscere la misura dell’area del
rettangolo e quindi dobbiamo determinare le lunghezze dei lati x > 0 e y > 0.
• La prima informazione ci dice che:
1
1
x= y
3
2
65
66
sistemi di equazioni lineari
• La seconda ci dice che:
2(x + y) = 20
=⇒
x + y = 10
Poiché siamo riusciti a scrivere due equazioni, pari al numero di incognite che abbiamo
posto, possiamo formalizzare il problema con il sistema


 1x = 1y
3
2

 x + y = 10
Risolvendolo troviamo che x = 6 e che y = 4. Poiché questi due valori soddisfano le
limitazioni x > 0 e y > 0, possiamo dire che i lati del rettangolo sono di 6 e 4 m. L’area
della superficie è quindi (6 · 4) m2 e il costo del materiale è 24 · 30 = 840 e.
Esercizio 102. Il sig. Rossi ha due appezzamenti di terreno che complessivamente
hanno una superficie di 45 000 m2 . Il Comune gli fa sapere che deve espropriare
il 3.5% della superficie del primo terreno e il 3% della superficie del secondo per il
passaggio di cavi elettrici ad alta tensione per un totale di 1515 m2 Quali sono le
superfici di ciascuno dei due terreni rimaste di proprietà?
Soluzione. Riscriviamo i dati in modo organico:
• superficie complessiva dei due terreni: 45 000 m2 ;
• parte espropriata del primo terreno: 3.5%;
• parte espropriata del secondo terreno: 3%;
• superficie totale espropriata: 1515 m2 .
L’obiettivo del problema è determinare le superfici rimaste al sig. Rossi di ciascuno dei
due appezzamenti. Poiché non sappiamo qual è la superficie iniziale dei due terreni e i dati
sull’esproprio si riferiscono a esse, conviene indicare con x e y tali superfici. Trattandosi
di misure di aree, deve essere x > 0 e y > 0. Inoltre, avendo introdotto due incognite
dovremo trovare due equazioni in queste incognite da scrivere in un sistema.
• La prima informazione ci permette di scrivere la prima equazione:
x + y = 45 000
• Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la pane espropriata del primo
terreno è 0.035x, la parte espropriata dei secondo è 0.03y e in totale sono stati
espropriati 1515 m2 , quindi la seconda equazione è:
0.035x + 0.03y = 1515
che, moltiplicando per 1000 e semplificando poi per 5, possiamo scrivere nella forma
35x + 30y = 1 515 000
=⇒
7x + 6y = 303 000
4.6 esercizi
Il sistema che è modello del problema è dunque il seguente:
x + y = 45 000
7x + 6y = 303 000
Risolvendolo (riportiamo solo i passaggi principali) si ottiene:
y = 45 000 − x
7x + 6(45 000 − x) = 303 000
=⇒
y = 45 000 − x
x = 33 000
=⇒
y = 12 000
x = 33 000
Le superfici iniziali dei due terreni sono quindi 33 000 m2 e 12 000 m2 . Rispondiamo adesso
alla domanda del problema:
• la parte rimasta del primo terreno è il 100% − 3.5% = 96.5%, cioè 33 000 · 0.965 =
31 845 m2 ;
• la parte rimasta del secondo terreno è il 100% − 3% = 97%, cioè 12 000 · 0.97 =
11 640 m2 .
4.6
esercizi
Chi non risolve esercizi
non impara la matematica.
Esercizio 103. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione.
2y = 2
y = −2
6.
11.
1.
x+y = 1
2x − y + 2 = 0
3x − y = 7
y = −x + 1
7.
2.
x
+ 2y = 14
2x + 3y + 4 = 0
12.
3x − 2y = 1
8.
x=1
4y − 6x = −2
3.
x+y = 1
13.
3x + y = 2
9.
y=x
x + 2y = −1
4.
2x − y + 2 = 0


 x + 4y − 1 = 3
10.
14.
2x + y = 1
x y
x

5.
 + +1 = − −1
2x − y = −1
2 3
6
2x − 3y = 2
6x − 9y = 6
x + 2y = 14
3x − y = 7
x + 2y = 1
−2x − 4y = 2

 x − 4y = x − 5y
3

x − 2 = 6y + 4
Esercizio 104. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto.
x+y = 0
x = −1
x+y = 2
1.
4.
7.
−x + y = 0
2x − y = 1
−x − y = 2
2.
3.
3x + y = 5
x + 2y = 0
5.
x=2
x+y = 3
6.
y = 2x − 1
y = 2x
x − 2y = 1
2x − y = 7


 2x − y = 4
8.

 x − 1y = 2
2
67
68
sistemi di equazioni lineari

y
3x − 4


= 1−
 y−
2
4
9.

4

 2y − 2x = −
3

2


 x−y+
3
10.


 x − 2y +
3
1
=0
3
1
=0
3


 x = y−4 +1
3
11.
x+3

 y=
3
Esercizio 105. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione.
x+y = 0
5y + 2x = 1
x−y = 0
1.
8.
5.
−x + y = 0
3x + 2y + 2 = 0
−2x + 3y = 1
2x + y = 1
−3x + y = 2
2x = 3 − x
2.
9.
6.
2x − y = −1
5x − 2y = 7
2x + y = 3
2x + y = 1 + y
2x = 3 − x

3.
10.
2
2

4x + y = 2
2x
+y = 3

 x+ y = 3
3
3
7.
x+y = 0


4.
 3x − 3y = 2
x − y = −1
2
2
Esercizio 106. Risolvi con la regola di Cramer i seguenti sistemi.
 y x
x − 3y = 2

− = 10

1.
5 2
x − 2y = 2
6.

 x+y =5
3 2
2x + 2y = 3
2.

3x − 3y = 2
3


 4 − 2x = (y − 1)
2
5y + 2x = 1
7.
3.


3x + 2y + 2 = 0
 2x + 3y = 7 + 2x
2
2
5x + 2y = −1
3x + y = −3
4.
8.
3x − 2y = 1
−2x + 3y = +2


2
1

 y− y = 2


 6x − 2y = 5
2
3
5.
9.



 x + 1y = 0
 1x + 1y = 1
3
2
2
10.
11.
12.
10x − 20y = −11
x+y−1 = 0
2x − 3y + 1 = 0
4x + 6y = 0
x + 2y = 1
2x + 4y = 1


 3x + 2y = 4
13.

 3x + y = 2
2
Esercizio 107. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che preferisci.
2x + y = 1
x − 2y = 3
2x = 1 + 3y
6.
1.
12.
2x − y = −1
−y − 2x = 3
4x − 8y = 12
2.
3.
x − 2y = 3
2x − 4y = 5
7.
x − 2y = 3
2x − 6y = 12
8.

1


 x−
2
4.
 5

 x−
4
3
y = −2
2
15
5
y=−
4
2

1
4


 x− y = 0
7
5
5.

5

 x − 7y = 19
4
2
13.
x−y = 3
−x + y = 1
14.

8


 −x + 3y = − 15
9.
3


 5x − 15y = 2
3
 x
y

= − +1
2
2
10.

x+y = 2
11.
−40x + 12y = −3
17x − 2y = 100
2x + y = 1
2x − y = −1
15.
16.
17.
18.
−x + 2y = 1
3x − y = 3
5x − y = 2
2x + 3y = −1
x + 2y = 3
3x − y = 2
2x − y = 1
x + 2y = 2
5x + 3y = 2
3x − 2y = 1
7x − 2y = 4
8x − 6y = 9
4.6 esercizi
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
3x − 2y = 4
2x + 3y = 5
3x − y = 7
x − 2y = 5

 5y + 3 x = −2
2
27.

3x + 10y − 3 = 0
2x + y = 0
x − 2y = −5


 3x − 2y = 2
28.

 2y − 2x = − 4
3


 5x − 2x = 7

 1 x − 3y = 1
2
2
29.

3(y − 2) + x = 0

 −x − 2y = − 1
2


 2 x − 2y = − 1

3
6

2
3

 −y − y =
3
2

 1x − 3y + 1 = 0
3
2

9y − 2x − 6 = 0

1
3


 − x+ y−1 = 0
3
2

1

 3x − y + 3 = 0
5
2

2


 − y + 3x = y
3


 x − 1y + 3 = 0
2
30.
31.
33.
35.
37.
2x − y = 3
x − 2y = 0

1


 x+
2
34.


 2x +
3
1
y=1
2
1
y=1
3
2x + y − 3 = 0
4x + 2y + 6 = 0


 2x − y = −1
38.
2x + 2y = 6
x − 2y = −3

 4x + 1 y = 5
2
2

 2x + 1 y = − 3
2
10
36.

−25x + 5y = 6
x + y = −1
x−y = 5

1


 x + 3y + 2 = 0
3
32.


 2x + 1 y = 11
2
2


 2x − y = 0

 x + 1y = −1
2
2

 1x − 1y = 1
2
3
39.

3x − 2y = 3


 10x − 5y = 26
40.

 x + 5y = − 42
5

x + 4y


−3 = 0
6
41.

 x−y =0
2 4
Esercizio 108. La somma di due numeri reali è 16 e il doppio del primo aumentato di 4 uguaglia
la differenza tra 5 e il doppio del secondo. Stabilisci, dopo aver formalizzato il problema con un
sistema lineare, se è possibile determinare i due numeri.
Esercizio 109. Determina due numeri reali x e y tali che il triplo della loro somma sia uguale al
doppio del primo aumentato di 10 e il doppio del primo sia uguale al prodotto del secondo con 5.
Esercizio 110. Determina due numeri sapendo che la loro somma è 37 e la loro differenza è 5.
Esercizio 111. Il doppio della somma di due numeri è uguale al secondo numero aumentato del triplo del primo, inoltre aumentando il primo numero di 12 si ottiene il doppio del secondo diminuito
di 6.
Esercizio 112. Determina due numeri sapendo che la loro somma è pari al doppio del minore
aumentato di 1/4 del maggiore, mentre la loro differenza è uguale a 9.
Esercizio 113. Determina due numeri la cui somma è 57 e di cui si sa che il doppio del più grande
diminuito della metà del più grande è 49.
69
5
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA
La geometria analitica permette di studiare per via algebrica oggetti geometrici (come
punti, segmenti e rette) e, viceversa, di rappresentare graficamente oggetti algebrici (come
numeri, equazioni e sistemi lineari).
5.1
piano cartesiano
Consideriamo sul piano una coppia di rette perpendicolari, indichiamo con O il loro punto di intersezione, fissiamo un verso di percorrenza su ciascuna retta (convenzionalmente
sull’orizzontale da sinistra a destra, sulla verticale dal basso all’alto) e infine scegliamo
un segmento arbitrario come unità di misura. Indichiamo con x la retta orizzontale, che
chiamiamo asse delle ascisse, e con y la retta verticale, che chiamiamo asse delle ordinate
(figura 2a).
y
y
unità
unità
A(4, 2)
x
O
(a) Assi cartesiani
O
x
(b) Un punto nel piano cartesiano
Figura 2: Piano cartesiano
Definizione 9. Si chiama piano cartesiano un piano con una coppia di rette orientate,
perpendicolari, dotate di unità di misura.
Il piano cartesiano permette di rappresentare oggetti matematici con opportune convenzioni.
5.2
punti
Ogni punto del piano cartesiano è individuato da una coppia ordinata di numeri che ne
definiscono la posizione:
71
72
elementi di geometria analitica
y
II quadrante
I quadrante
x
O
III quadrante IV quadrante
Figura 3: Quadranti del piano cartesiano
• la prima componente della coppia prende il nome di ascissa e individua lo spostamento orizzontale (positivo o negativo) del punto rispetto all’origine;
• la seconda componente della coppia prende il nome di ordinata ed individua lo
spostamento verticale (positivo o negativo) del punto rispetto l’origine.
Ascissa e ordinata si dicono anche coordinate cartesiane del punto.
Per esempio, il punto A rappresentato nella figura 2b ha coordinate (4, 2): il suo spostamento rispetto all’origine è di 4 unità in orizzontale e di 2 unità in verticale.
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti, numerati come in figura 3. Il
segno delle coordinate cartesiane indica univocamente in quale quadrante è posizionato il
punto (tabella 1).
Tabella 1: Posizione di un punto nel piano cartesiano
Ascissa
Ordinata
+
−
−
+
+
+
−
−
Posizione
In alto a destra
In alto a sinistra
In basso a sinistra
In basso a destra
Si hanno i seguenti casi particolari:
• se l’ascissa è zero, il punto si trova sull’asse y;
• se l’ordinata è zero, il punto si trova sull’asse x
• l’origine O ha coordinate (0, 0).
Esercizio 114. Disegna i punti A e B di coordinate (3, 4) e (−2, 2), rispettivamente.
Soluzione. La figura 4 mostra i punti A e B nel piano cartesiano: A è il punto di coordinate (3, 4) e B è il punto che corrisponde alla coppia (−2, 2).
C’è una una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano cartesiano e l’insieme delle
coppie ordinate di numeri reali (x, y): a ogni punto corrisponde una coppia di numeri
reali, e viceversa a ogni coppia di numeri reali corrisponde un punto. Possiamo dunque
“confondere” una coppia di numeri reali con il punto corrispondente sul piano cartesiano e
anzi diremo, secondo gli esempi precedenti, «A è il punto (2, 3), B il punto (−1, 1)» invece
di «A è il punto corrispondente alla coppia (2, 3)» o «B è il punto di coordinate (−1, 1)».
5.3 segmenti
y
unità
A(3, 4)
B(−2, 2)
O
x
Figura 4: Due punti nel piano cartesiano
Un po’ di storia
Nel II secolo a. C. Ipparco compilò il primo catalogo stellare in cui precisò la posizione
di circa 850 stelle sulla sfera celeste mediante due numeri: latitudine e longitudine. La
posizione di un punto era dunque individuata attraverso una coppia di numeri. Ancora
oggi latitudine e longitudine permettono di individuare un punto sulla superficie terrestre.
Nel XVII secolo, con le opere di Pierre de Fermat e di René Descartes, il metodo di
rappresentare punti con coppie di numeri divenne un procedimento matematico standard
per descrivere enti geometrici attraverso enti algebrici.
5.3
segmenti
Definizione 10. Un segmento è la parte di retta delimitata da due suoi punti detti
estremi del segmento.
Fissati due punti sul piano cartesiano, un segmento si costruisce semplicemente unendoli
in linea retta.
In relazione alla posizione dei suoi estremi, un segmento può essere:
• verticale, se i suoi estremi hanno la stessa ascissa;
• orizzontale, se i suoi estremi hanno la stessa ordinata;
• obliquo, se i suoi estremi non hanno né la stessa ascissa né la stessa ordinata.
Per esempio, nella figura 5:
• il segmento AB è verticale, poiché l’ascissa dei suoi estremi A e B è la stessa.
• il segmento CD è orizzontale, poiché l’ordinata dei suoi estremi C e D è la stessa;
• il segmento EF, invece, è obliquo.
5.3.1 Lunghezza di un segmento
73
74
elementi di geometria analitica
y
unità
B(−2, 5)
F(6, 5)
E(3, 3)
A(−2, 2)
C(2, 1)
D(6, 1)
O
x
Figura 5: Il segmento AB è verticale, il segmento CD è orizzontale, il segmento EF è obliquo
Definizione 11. La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi estremi.
Vogliamo determinare la misura AB di un segmento AB, posto in un piano cartesiano,
conoscendo le coordinate degli estremi A e B del segmento stesso.
Segmenti verticali
Se il segmento AB è verticale, posto A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ), la lunghezza AB del
segmento è data dalla formula
AB = |yB − yA |
(1)
dove |yB − yA | è il valore assoluto delle differenza yB − yA .
Esercizio 115. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(2; 7) e B(2, 3).
Soluzione. Il segmento AB è rappresentato nella figura 6a. Applichiamo la formula 1 dove
yB = 3 e yA = 7. Quindi:
AB = |yB − yA | = |3 − 7| = |−4| = 4
Esercizio 116. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(−2, −1) e B(−2, 4).
Soluzione. Il segmento AB è rappresentato nella figura 6b. Applichiamo la formula:
AB = |yB − yA |
dove yB = 4 e yA = −1. Quindi:
AB = |yB − yA | = |4 − (−1)| = |5| = 5
Segmenti orizzontali
Se il segmento AB è orizzontale, posto A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ), la lunghezza AB
del segmento è data dalla formula
AB = |xB − xA |
(2)
5.3 segmenti
y
y
A(2, 7)
unità
unità
B(−2, 4)
B(2, 3)
x
O
x
O
A(−2, −1)
(a)
(b)
Figura 6: Lunghezza di un segmento verticale
y
y
unità
unità
A(1, 4)
B(5, 4)
B(−3, 2)
A(4, 2)
x
x
O
(a)
O
(b)
Figura 7: Lunghezza di un segmento orizzontale
Esercizio 117. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(1; 4) e B(5; 4).
Soluzione. Il segmento AB è rappresentato nella figura 7a. Applichiamo la formula 2, dove
xB = 5 e xA = 1. Quindi:
AB = |xB − xA | = |5 − 1| = |4| = 4
Esercizio 118. Determina la lunghezza del segmento di estremi A(4, 2) e B(−3; 2).
Soluzione. Il segmento AB è rappresentato nella figura 7b. Applichiamo la formula 2 dove
xB = −3 e xA = 4. Quindi:
AB = |xB − xA | = |−3 − 4| = |−7| = 7
75
76
elementi di geometria analitica
y
y
unità
B(5, 7)
A(−3, 1)
unità
B(5, 7)
A(−3, 1)
C(5, 1)
x
O
x
O
(a)
(b)
Figura 8: Lunghezza di un segmento obliquo
Segmenti obliqui
Se il segmento AB è obliquo, posto A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ), la lunghezza AB del
segmento è data dalla formula
q
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
(3)
Esercizio 119. Determina la lunghezza del segmento AB, dove A(5; 7) e B(−3; 1).
Soluzione. Il segmento AB è rappresentato nella figura 8a. Applicando la formula 3 con
xA = 5 =, xB = −3, yA = 7 e yB = 1, si ottiene:
q
q
√
√
2
2
AB = (−3 − 5) + (1 − 7) = (−8)2 + (−6)2 = 64 + 36 = 100 = 10
Cerchiamo di capire, attraverso l’esempio appena fatto, come si arriva alla formula 3.
Per raggiungere tale risultato osserviamo che il punto C di incontro delle proiezioni di A
e B sugli assi è allineato orizzontalmente con A e verticalmente con B (figura 8b), per cui:
xC = xB
e
yC = yA
Poiché AC è un segmento orizzontale, si ha:
AC = |xC –xA | = |xB –xA | = 8
(4)
Poiché BC è un segmento verticale si ha:
BC = |yC –yB | = |yA –yB | = 6
(5)
Il triangolo ACB è rettangolo in C: i lati AC e BC si chiamano cateti, mentre il lato AB
si chiama ipotenusa. Per il teorema di Pitagora, il quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, ovvero:
2
2
2
AB = AC + BC
da cui deriva che:
q
2
2
AB = AC + BC
Sostituendo in quest’ultima formula le relazioni 4 e 5, si ha che:
q
p
√
√
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 10
5.4 esercizi
y
A(5, 7)
unità
M
B(−3, 1)
x
O
Figura 10: Punto medio di un segmento
5.3.2 Punto medio di un segmento
Richiamiamo la definizione di punto medio di un segmento:
Definizione 12. Il punto medio di un segmento AB è il punto M del segmento che lo
divide in due parti congruenti: AM ≡ MB (figura 9).
A
M
B
Figura 9: Punto medio di un segmento
Posto A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ), il punto medio M = (xM , yM ) del segmento AB ha
coordinate date dalla formula
xM =
xA + xB
;
2
yM =
yA + yB
2
(6)
Esercizio 120. Determina le coordinate del punto medio del segmento di
estremi A(5, 7) e B(−3, 1).
Soluzione. Il segmento AB è rappresentato nella figura 10. Applicando la formula 6 con
xA = 5 =, xB = −3, yA = 7 e yB = 1, si ottiene:
xM =
5−3
2
yM =
7+1
2
da cui
xM = 1 yM = 4
ovvero il punto medio M è dato da
M(1, 4)
5.4
esercizi
Chi non risolve esercizi
77
78
elementi di geometria analitica
non impara la matematica.
Esercizio 121. Per ciascuna coppia di punti indica in quale quadrante si trova, se si trova su un asse
indica l’asse: (0, −1), (3, 5), (0, 1), (5, 1), (1, 5), (−8, 9), (−2, 1), (−1, 0).
Esercizio 122. Sono assegnati i punti A(3, −1), B(3, 5), M(−1, −1), N(−1, −7). È vero che AB =
MN?
Esercizio 123. Sono assegnati i punti A(1, 5), B(−4, 5), C(−4, −2), D(5, −2). Quale poligono si ottiene congiungendo nell’ordine i quattro punti assegnati? Determina l’area del quadrilatero ABCD.
Esercizio 124. Determina l’area del quadrilatero MNAB sapendo che M(6, −4), N(8, 3), A(6, 5),
B(4, 3).
Esercizio 125. Determina AB sapendo che A(7, −1) e B(−3, −6).
Esercizio 126. Determina la distanza di A(−4, 3) dall’origine del riferimento.
Esercizio 127. Calcola il perimetro del triangolo ABC di vertici A(3, −2), B(4, 1), C(7, −4).
Esercizio 128. Determina il perimetro del quadrilatero di vertici A(1, 5), B(−4, 5), C(−4, −2), D(5, −2).
Esercizio 129. Determina il perimetro del quadrilatero di vertici M(6, −4), N(8, 3), A(6, 5), B(4, 3).
Esercizio 130. Determina il perimetro e la misura delle diagonali del quadrilatero di vertici A(1, −3),
B(4, 3), C(−3, 1), D(−6, −5).
Esercizio 131. Verifica che il triangolo di vertici E(4, 3), F(−1, 4), G(3, −2) è isoscele.
Esercizio 132. I punti O(0, 0), A(4, 5), B(9, 5), C(3, 0) sono i vertici di un trapezio. Determina
perimetro e area del trapezio OABC.
Esercizio 133. Determina le coordinate del punto medio dei segmenti i cui estremi sono le seguenti
coppie di punti:
1. A(−2, 0), B(0, 2);
5. A(2, 3), B(−2, −3);
2. A(2, 3), B(−1, 3);
6. A(7, −7), B(1, −1);
3. A(−1, 4), B(1, −4);
7. A(−3, 1), B(1, 2).
4. A(0, 3), B(−2, −1);
8. A(2, −2), B(−2, 2).
Esercizio 134. I vertici del triangolo ABC sono i punti A(2, −3), B(−1, 1), C(4, 0), determina le
coordinate dei punti M, N, A, punti medi rispettivamente dei lati AB, AC, BC.
Esercizio 135. Verifica che i segmenti AB e CD di estremi A(1, 2), B(−3, −2), C(3, 1), D(−2, −1)
hanno lo stesso punto medio. È vero che AC = BD?

(Modena) PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO

x2 − 4

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Corso di Chimica Fisica 1 con Laboratorio (Canale M

programma - Dipartimento di Matematica

Liceo della comunicazione e corsi sperimentali

DISPENSA MCM mcm

Primo appello - Politecnico di Milano