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(Modena) PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO

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ISTITUTO D’ARTE “A.VENTURI”
(Modena)
PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO dalle classi 3^ M
a.s. 2013/2014
TRIMESTRE

Ripasso: equazioni lineari, disequazioni, sistemi lineari e radicali;

Scomposizione dei polinomi in fattori: differenza di quadrati, quadrato di binomio, trinomio
speciale, racc. totale e parziale;
equazioni “prodotto” ( particolari equazioni di grado superiore al primo riconducibili alla
risoluzioni di equazioni di primo grado mediante la scomposizione in fattori);
frazioni algebriche, definizione, condizioni di esistenza, somma algebrica di frazioni,
moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Espressioni con frazioni algebriche.


PENTAMESTRE






equazioni lineari fratte e semplici problemi risolvibili con esse;
equazioni di II grado intere e fratte ( sezione aurea);
semplici problemi risolvibili con equazioni di 2° grado;
scomposizione del trinomio di 2° grado ax2 + bx + c;
piano cartesiano: distanza tra due punti e punto medio di un segmento e relativi problemi;
equazioni di particolari rette (assi cartesiani e rette parallele agli assi), equazione della retta
passante per l’origine (definizione e significato di coefficiente angolare), equazione della retta
in forma esplicita e implicita. Rappresentazione della retta sul piano cartesiano, appartenenza di
un punto ad una retta di equazione nota, punti di intersezione con gli assi cartesiani, rette
parallele e perpendicolari.
Modena, 03/06/2014
L’insegnante
Cristina Bellodi
Indicazioni didattiche per un efficace lavoro di recupero estivo

è opportuno studiare sul libro di testo e sugli appunti, presi in classe, i contenuti teorici
svolgendo, contestualmente, gli esercizi proposti per ogni argomento trattato;

è importante analizzare gli esercizi già risolti in classe, sforzandosi di comprendere pienamente
il procedimento eseguito e provare, poi, ad eseguirli autonomamente appropriandosi delle
tecniche e rafforzando le proprie conoscenze;

è opportuno svolgere nuovi esercizi, riguardanti ogni singolo argomento, di difficoltà crescente;

le indicazioni di esercizi assegnate a tutta la classe possono essere un utile banco di prova per
l’acquisizione dei contenuti;

il corso, offerto dalla scuola, può essere un valido aiuto per chiarire concetti e impostare
un lavoro di recupero che potrà essere completato solo con un buon lavoro individuale.
Si allegano:

esercizi proposti all’intera classe;

esercizi per gli alunni con sospensione del GIUDIZIO
ESERCIZI VACANZE ESTIVE A.S. 2013/14
CLASSI 3^ M,N GRAFICA PROFESSIONALE
Scomponi in fattori i seguenti polinomi
5ay – y – 5a + 1
3x + 6y
a( x + y) + b ( x + y)
x2 – 49y2
9x2 + 6x + 1
( a + 3)2 - 1
a2 + 8a + 15
5z2 – 5 =
x3 + 4x
3bc + 2ab -2a -3c
16x2 – 8x + 1
7x2 + 14xy + 7y2
x2 + x -6
2 2 4
ax  a
5
5
x ( a + b) – ( a +b)
Equazioni “prodotto”
( x + 5 )( x – 1 )= 0 [- 5 ; 1 ]
x3 – 25x = 0
x3 – 12x2 + 36x =0
( 2x – 1 )5 = 0
2
2
4
3
[ 0; 6; 6 ]
(x – 1 ) = 0
[ -1; -1; + 1; +1 ]
5x + 1x = 0
[ - 1/5, 0 moltip. 3 ]
1–(1+x)2=0
[ - 5; 0 ; 5 ]
[ ½ molt. 5 ]
4
(x +3)( x - 2) =0 [ -3; 2 molt. 4 ]
( x + 5)x – 3( x + 5) = 0 [ - 5; 3 ]
x 3 + 4x2 – 9x – 36 = 0
x 3 + 7x2 + 6x = 0
1 2 1
x  x0
4
4
1
4( x – 7)(x + )  0
3
5x ( 2x – 1) + 10( 2x – 1) = 0
Equazioni di 1° grado numeriche fratte (fare le C.E.)
4
2

x 1 x
2+
3
0
x
1 1
 2
x 2
[ - 3/2 ]
1
2

x 1 x  2
6
x

 1 [ 11/2 ]
x 5 5 x
1  3x 5  x

 2 [ - 27 ]
4x  4 x  1
[
2/3]
[0]
2
7
1
[- 5/3 ]


x 1 x 1 x 1
2
2x  8
0 [4]
x
2x  3
x
1
[4 ]


2x  4 x  2 x
Equazioni di 2° grado intere
6x2 + 3x = 0
[ -1/2 ; 0 ]
x2 – 4x – 8 = 0
5x2 + x + 1 = 0
[ impossibile ]
x2+x+
-x2 + 4x + 5 = 0
[ - 1; 5 ]
1
.0
2
[ 2 ±2 3 ].
[ impossib. ]
3x2 + 2x + 1 = 6x – x2
[ ½; ½ ]
5x – 10x2 = 0
(2x – 2)( x + 1) + 5 = 7 [± 2 ].
x 2 + 5x = ( 2x + 1)2 – 1
[ 0 ; 1/3]
(2x – 1)2 – 9 = 5x – 8
[ 0 ; 9/4 ]
2 x  4 x( x  2) 3

 0
5
10
2
[0;½]
x2 - .6 3x  27  0
1=
2 x  1 2 x 2  3x

2
7
[ 3 3;3 3. ]
[ impos ]
1 
1

2
 x   x    2 x  1  7 x  x( x  3) [ imposs. ]
3 
3

Equazioni di 2° grado fratte (fare le C.E.)
x+
1
4
x
[ 2 ± 3 ].
2y -
4
7
y
[ - 1/2 ; 4 ]
1 2
  15  0
x2 x
[ - 1/5 ; 1/3 ]
1
1
5  13
=3 [
]

x x 1
6
3
 3  2x
x4
[ 1 ; 9/2 ]
x
2

x 1 x
x
x5
5

 2
x 1
x
x x
[-3]
[ 1  3]
3x  5 x  3
x 2  17
[-3;6

 2
x  2 x  1 x  3x  2
piano cartesiano e retta
Nuova matematica a colori vol. 3:
pag 26 n. 11, 12, pag 27 n.24, 25, 29, pag 28 n. 48, 53, pag n.57, 58, 60, 71, pag 30 n. 80, pag 31 n.
90, 91, 94, 100, 112, 113, pag 32 n. 114, 116, 117, 118, 122, pag n.128,130, pag 34 n. 136, 138,
143, 144, 145, 149, 150, pag 35 n. 157, pag 36 n. 168, 169 pag 37 n. 181, 182, 183, 190, 191, 194,
pag 38 n. 206, 210, pag 39 n. 214, 217, 221, 223, 225, pag 41 n. 241, 242, 247, 249.
N.B.
Durante la prima ora di matematica del prossimo anno scolastico, l’insegnante di matematica
provvederà a controllare che gli alunni abbiano svolto i compiti per le vacanze. Il mancato
svolgimento corrisponderà a una valutazione gravemente insufficiente.
ESERCIZI PER GLI ALUNNI CON SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO
scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il raccoglimento a fattor comune:
3
1.
x –x
2.
xy – 7y
4.
x + 2xy
5.
x y – xy
7.
12 a xy – 9 a x z
3
2 2
2
6 2
3 5
1 3 1
x - xy
3
3
10 4 5
12.
x + xz
9
3
3 2
9.
3
6 2 9 2
ab + a c - c
2
5
7
11. -
a - ab
6. 4xy + 2y
8. 6° b – 8a b – 2a b
8 5 4 4 6 3
x + x + x
5
5
5
10. -
3.
13. x (a+b) + y (a+b)
14. a (b+c) – d (b+c)
15. 3(a+b) + (a+b)
16. (a-3) (a+2) + (a+5) (a+2)
17. (a+1) (a-4) – (a+1)(2a+5)
18. -
2
1 6 11
x yx
3
9
scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il raccoglimento a fattor parziale:
2
2. 4x - 20xy + 3x – 15 y
1. am + bm + 5a + 5b
3
2
3. a + a + a + 1
4. 4ay – 4y + a – b
5. ac + bd - ad – bc
6. -12a + 24 a b – 20 a b + 40 ab
4
2
3
7. x + ax – bx – ab
2
2
2 2
3
3
3
8. 12ax y – 3a – 20 bx y+ 5b
2
2
10. am + bm + cm – cm – an - bn + a + b+ c
9. 2ax + 8ay + 3bx + 12y
11. 6ac – 9bc + 3c - 4ad + 6db – 2d + 2a – 3b +1
scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando la differenza di due quadrati:
2
2
A – B = (A – B )( A + B)
2
2
1. a – 4
2
2
2. b – 1
2 2
2
4. a – b c
2
2
3. x – 9y
2
6. y -
4
1
9
4
5. 4a – 25b
2
a
b

9 25
8
x
1
10.
16
7.
2
2
2
22. 3b – 12
4 4
9. x y – z
11.
1 4 16 2
y
x 
4
25
12. 9 a x – 49b
2
14. – x + y
2
4
81 x – y
2
13. – 1 + b
16. (a+b) – c
4
8.
2
17. (a+ b) – 9c
2
23. 7x – 7
2 2
15. 2
2
1
6
+a
36
2
2
18. (x + 2) – 4y
3
2
24. x – 25xy
4
2 2
2
25. a – b a
28.
5
2
30. – 6a + 6b
29.
yx
 1y
16
4
9
4
27. 4y -
2 4 4 2 4
xy – z
3
3
7 4 7 2
32.
y
x 
4
25
4
5x – 5xy
4
31.
2
26. 9xa – 49xb
2
4
x 1

5 5
33.
scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il quadrato di binomio
2
2
2
2
2
2
A + B + 2AB = (A + B )
A + B - 2AB = (A - B )
2
1.
x + 6x + 9
4.
a b + x – 2abx
2 2
2 2
2
2
4 6
2 3
2
4 2 4
b - ab
9
3
25a + 16 – 40a
2
2
2
11. a +
2
14. 4x +
2
16.
4
y
x 1 2
 x y
4 3
9
3
2
3
2
2
19. x + 2x y + xy
22. a + 6a + 9a
25.
8
4
b 1 2b
 
3 3
3
2
3. 4x – 12x +9
5.
8. 9a + a + + 6 a
10. 4 c +25m n – 20cm n
13. a +
2
a + 4ab + 4b
4
7. x y + c + 2xyc
2
2
2.
4
17. 9a +
3
2
2
2
12. a +
9 2
y + 6xy
4
15. 4x +
1 2
2
b - 6a b
9
18. 25a b –10a b + 1
2
4
4
9. 9a + 6a b + b
1
-a
4
20. a b – 2a bc + abc
23. xa +
2
6. b – 4b +4
2
2
2
1
+x
4
6 4
2
3 2
2
21. 2x - 8x + 8
1
1
x - x a2
16
2
26. -12y - 3 – 12y
2
1
a+
3
9
5
4
3
3
2
X + ( a + b) X + ab = (x + b ) ( x + b)
2
2.
x -x–6
2
5.
-x + 8x - 12
2
8.
x + x + 12
x +x–6
4.
x + 8x + 12
7.
x - x + 12
2
2
2
2 2
27. a b + ab – 2a b
scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il trinomio notevole o particolare (somma
e prodotto)
1.
3 2
24. 3x + 12xy – 6x y
2
3.
a + 7a + 12
6.
a
2
- 7a + 12
9.
a
2
- 8a + 15
10. - a
2
-8a - 15
11. a
2
12. a
2
2
25. yx + 8x y + 12xy
3
2
- 2a - 15
2
15 . t + 2t – 3
14. t + 4t + 3
3x – 6x – 9
3
+2a -15
2
13. t – 4t + 3
22.
2
2
2
23.
– x – 5x – 6x
24.
– 4x + 12x -8
26.
1 2 4
5
x +
x3
3
3
27.
– x + 4x
2
-5
scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando la “differenza di 2 quadrati”
2
X + 2XY + Y
2
2
1. x2 – 2xy + y2 – 9
2
2
3. 9a - 12ab +2b - 25
2
5. y -
2
2
- Z = ( X + Y ) – (Z ) = (X + Y + Z )(X + Y – Z)
2
1
x + - z4
3
9
2
2
2
2. a + 6ab + b – y
2
4. x +
1
2
+ x - 9y
4
2
6. z – 1 – 10 x – 25 x
2
Frazioni algebriche
SEMPLIFICA LE SEGUENTI FRAZIONI ALGEBRICHE
frazione algebrica
scomponi in fattori il
fai le C.E.
denominatore
elimina i fattori
comuni
(
(
)
)(
)
esegui le seguenti somme algebriche fra frazioni algebriche
1)
2)
3)
4
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
esegui le seguenti moltiplicazioni fra frazioni algebriche
2
2y
5a 2 b
6
3 2 3ax



1)
2)
–
9b
y
3 2
2by 45a 2 x 2
3 10a b
3)
3 y  3x a 2  4b 2

a  2b 2 x  2 y
4)
x 2  2 x  1 3 y 3  3xy 3

y2
( x  1) 3
5)
x 1 x2  x  6

x 2  4 3x  3
6)
2a 2  2a 6  12a

2a  1 a 2  a  2
esegui le seguenti divisioni fra frazioni algebriche:
1)
a3 x a4 x2
:
by 2 b 2 y
2)
7bx
: (14b 2 x 4 )
2ay
3)
a b a b

a  5 2a  10
4)
x2  x
2x 2  6x
:
x 4  4x  4 x 2  4
5)
x 3  1  3x 2  3x x 2  2 x  1
:
x 2  5x
x2
6)
7 x  7 y  ax  ay a 2  8a  7
:
3x  3 y
x2  y2
esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra frazioni algebriche
a.
x2 1
1
x 2  2x  1

:
x2
x 2  3x  2 x  1
c.
a 1
a 2  3a  2
:
a 1
a 2  2a  1
d.
a 2  2ab  b 2 3ab 2
1
 2
: 2
3 2
2
3a b
a b a
e.
5b 4b 2  4

: (2b  2)
2  b 15b
scheda 1
[
[
1
]
x 1
2
1
]
a  1a  2
[
ab
]
ab
1
[- ]
3
f.
a2  a  6
a 2  3a  2

: (a 2  4)
a 3
a 3  1  3a 2  3a
g.
3xy x 2  2 x  xy  2 y

yx
3x 2  6 x
i.
b ab b

:
ac c c 3
[1]
[ bc ]
l.
x 3  1  3x 2  3x
a 1
 2
2
x  2x  1
a  a 1
m.
x 2  2 xy  y 2
1

3
2
2
3
x  3x y  3xy  y 3 y  3x
n.
2a  ay  2b  2 x
3 y

2 y
3a  ay  3b  by
[-3]
[
ab
]
ab
risolvi le seguenti espressioni
a.
 3 2 a b
  :
 a b  5ab
b.
2ab
 1
1    2
 a  a  2a  1
c.
2
 a 3a  2a bc
  :
 b b  bc
d.
2   x 1

1 
 : 

 3x  1   3x 
e.
 2 x 5 y  6 x  15 y

  :
6 xy
 5 y 2x 
f.
g.
 3ab   2  3  : 2b  3a 
a b
h.
2a
 a 1 a 1


: 2
 a  1 a  1  2a  2
i.
l.
 x  1 2x  1   3  6x
 3 
:
x 2   3x 2
 x
1   16  a 2
 1
 2

 : 
 a  4 a  16   3  a
2



x+y-
m.
-a+ ab 
a
2
b
2
2
[
2
a b
i.
3xy x 2  2 x  xy  2 y

yx
3x 2  6 x
q.
x y
 y2
x2

 :
 2
2
 x  y x  y  2 xy  x  y
a b
]
aba  b 
2
[
b
]
a
[-
2
1
]
x y



2x 2 y x  y

x
x2  y2
n.
 xy  1 1
 3


 1 :
xy  2 xy
 2 xy
[
x2  y2
]
x y
[xy – 1 ]
p.
2  
6
 3



 : 1  2

 x  2 x  3   x  5x  6 
r.
1  4a  4
 a


: 2
 a 1 1 a  a 1
s.
 y  2 y 1   y  5
1 

  



y  1 
 y 1 y  2   3
t.
 y2  5y  6 y2  6y  9   1


 : 

 1
2
y  2y   2  y 
 6  3y
u.
v.

4  
2y 
1  2   1 

y   2  y 

1
3
3
:

xy  1 1  xy x
1
[ ]
x
Equazioni di 2° grado
Risolvi le seguenti equazioni:
1) x2 -
2
1
=0
x
7
49
2) – 2x2 + 7x = - 15
3) ( x – 1)2 + 18 = ( 4 – x)( 4 + x)
x
x


4) 2x   2   11   4  
2
2


5) (x -3)(x + 3) – 3x( x – 1) + 3x - 9
6)
2
x 2  6x
3x

0
2
4x  4x  1 2x  1
7)
3x 2  4 x  1
1
x2


0
2
2 x x2
x 4
8) ( x + 4)2 + 1 = 8x
9)
( x  2)( x  2) 11
4  2x
 
3
9
9
10)
x2  x 1
1

0
x 1
1 x
11) Determinare la frazione il cui numeratore supera di2 il denominatore, sapendo inoltre che essa
è uguale alla frazione reciproca aumentata di
16
5
. [ ]
15
3
Geometria analitica
1) Determina la distanza tra i punti A e B
A( -1 ; 2)
B( 3; 4)
2 5
A(1; -8)
5
B(1; -3)
2) Verifica che il triangolo di vertici O(0;0) , B(3; 1), C(2; -6) è un rettangolo. ( applica il Teorema
di Pitagora)
1) Determina il perimetro del triangolo ABC di vertici A,B e C
2  5  13
A(1; 2) B(2;3) C( -1; 1)
2p=
A(1 ; 1) B( 2; 2) C( 4; 0)
2p= 3 2  10
2) Verifica che il triangolo di vertici A( - 3;1) , B( - 3;5) , C( -3 3;3) è equilatero.
3) Verifica che il triangolo di vertici A( -1; -1), B(2; 0) C( 4; -6) è rettangolo. Determina perimetro e area
del triangolo.
4) Determina il punto medio del segmento AB, di estremi A( -1; 2) , B( 3;4).
5) Determina il punto medio del segmento AB, di estremi A( -1; 0) , B( -4;0).
6) Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e coefficiente angolare -3.
(1;3)
(-5/2; 0)
y = -3x
7) Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto S( 2; 3).
y = 3/2x
8) Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazione:
2
x
3
x=-2
y = +4
y = 4x
y=-
y= 3x - 1
y = - 2x +4
3x + y =0
6x + 3y + 9 =0
9) Scrivi l’equazione della retta avente coefficiente angolare m = 4 e ordinate all’origine uguale a 2.
10) Scrivi l’equazione della retta avente coefficiente angolare 6 e che incontra l’asse y nel punto S(0; -2).
11) Scrivi l’equazione della retta parallela alla retta y= 5x e ordinata all’origine q = -3.
12) Stabilisci quale tra i punti indicati, appartiene alla retta di equazione y= -2x + 3
A(1; 1) B( -1; -6)
13) Stabilisci quale tra i punti indicati, appartiene alla retta di equazione y= 3x - 4
A(-2; 5) B( -3; -13)
14) Stabilisci quale tra i punti indicati, appartiene alla retta di equazione x= 5
A( -3; 1) B(5; 0)
15) Scrivi in forma esplicita le seguenti rete di equazione:
6x – 3y + 1 =0
2x + y – 2 = 0
x – 2y + 1 =0
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