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16.2.2 Esempi di verifica di limitazione delle tensioni secondo la Normativa Italiana e l’Eurocodice 2
(E.C.2)
In questo paragrafo vengono riportati degli esempi di verifiche agli stati limite di esercizio, le
cui procedure di calcolo possono essere utilizzate indifferentemente dalla particolare
normativa utilizzata (E.C.2 o Normativa Italiana); ciò che cambia è il confronto delle
tensioni massime (calcolate) con il particolare valore della tensione limite, fissato dalla
particolare norma utilizzata. A puro titolo di esempio, senza nulla togliere ai casi generali, si
terranno conto parallelamente i limiti imposti dall’E.C.2 (NAD) e dalle Norme Tecniche.
Inoltre, per semplicità di esposizione e di scrittura, verranno considerate le seguenti
resistenze di calcolo per i materiali:
conglomerato Rck 25 con fck = 200 daN / cm 2 e
acciai ad aderenza migliorata con fyk = 4300 daN / cm 2 .
ESEMPIO 1. Sia dato un pilastro appartenente ad un edificio per uffici avente sezione
trasversale 30 cm x 30 cm, armato con armatura simmetrica in ragione di
Ff = Ff = 216 = 4,02 cm2 (vedere figura 16.1) e sottoposto alle seguenti sollecitazioni allo
stato limite di esercizio, in combinazione di carico rara:
N Se = 450 kN = 45000 daN (compressione);
MSe = 27 kNm = 270000 daNcm (valore assoluto).
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_1.tif
Figura 16.1 – Particolari sezione pilastro da verificare agli stati limite delle tensioni di esercizio.
SOLUZIONE. Per la resistenza media a trazione semplice del conglomerato, si assuma un
valore pari a: fctm = 22daN / cm 2 .
Verifica sezione pilastro: interamente reagente o parzializzata.
Considerando dapprima la sezione interamente reagente, si ha:
Fid = Fc + n ( Ff + Ff ) = b H + 15 ( Ff + Ff ) = (30 cm) (30 cm) + 15 ( Ff + Ff ) =
= (30 cm) (30 cm) + 15 [(4, 02 + 4, 02) cm] = 1020, 6 cm2 .
Calcolo momento d’inerzia sezione ideale intermante reagente(1) (vedere figura 16.1):
1
In questo esempio, si prescinde dal distinguere tra conglomerato teso e compresso: = Ect / Ec = 1 .
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b H3
+ n ( Ff y2f sup + Ff y2f inf ) ;
12
avendo considerato il momento quadratico di superficie (dell’intera sezione ideale reagente)
rispetto ad uno dei due assi principali d’inerzia passante per il baricentro della sezione
ideale(2).
Sostituendo i valori numerici (essendo y f y f inf = y f sup = ( 30 cm) / 2 (4,4 cm) = 10,6 cm ), si
J=
ottiene:
(30 cm) ( 30 cm) 3
J=
+ 15 (10,6 cm)2 [( 4,02+ 4,02) cm2 ] 81051 cm 4 .
12
Calcolo massima tensione di trazione sul conglomerato.(3)
NSe MSe
+
ycinf max
ct =
Fid
J
H
yc inf max = .
2
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
( 45000 daN) (270000 daNcm)
ct =
+
( 0, 5 30 cm) (44, 09 49, 97) daN / cm 2 6 daN / cm 2.
(1020,6 cm2 )
(81051 cm4 )
Risultando ct 6 daN / cm2 < fctm = 22daN / cm 2 , si ha la conferma che la sezione è
interamente reagente.
Calcolo massima tensione di compressione sul conglomerato.
Calcolando poi la massima tensione in compressione, si ha:
N Se MSe
+
ycsup max
c =
Fid
J
H
yc sup max = .
2
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
(45000 daN) (270000 daNcm)
c =
+
(0,5 30 cm) (44, 09 + 49, 97)daN / cm 2 95daN / cm2 .
(1020,6 cm 2 )
(81051cm 4 )
Calcolo massima tensione di trazione sulle armature tese(4).
Sempre in virtù della sezione interamente reagente, si ha:
N
M
f = Se + Se y f inf
F
J
id
y < 0.
f inf
Sostituendo i valori numerici si ha:
N
M
(45000 daN) (270000 daNcm)
f = Se + Se y f inf =
+
( 10, 6 cm) 8,78daN / cm2 .
2
4
(1020,6 cm )
(81051cm )
Fid
J
2
In particolare, essendo larmatura doppia e simmetrica, il baricentro della sezione ideale coincide con il baricentro della sola
sezione di conglomerato.
3
Avendo ipotizzato la sezione interamente reagente, è possibile utilizzare la formulazione di Navier-Stokes, nota già in Scienza
delle Costruzioni.
4
Risultando il conglomerato in trazione al di sotto della resistenza media a trazione semplice, si può quasi sempre trascurare la
verifica delle massime tensioni di trazione degli acciai inferiori.
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Essendo f > 0 , le armature inferiori risultano compresse: non si deve verificare quindi la
limitazione sulle tensioni di trazione degli acciai.
Verifica massime tensioni limite in esercizio.
Il pilastro, in base al prospetto indicato in tabella 16.1, ricade nella classe di esposizione 1
(interno di edifici residenziali o per uffici). Pertanto, le verifiche impongono che debba
essere, nella combinazione di carico rara, c < 0,60 f ck, per classi di esposizione 1a e 2a. In
particolare, risultando:
c 95daN / cm 2 < 0,60 fck = 0,60 (200 daN / cm2 ) = 120 daN / cm2 ;
la sezione risulta verificata allo stato limite di esercizio delle tensioni.
ESEMPIO 2. Una trave di sezione trasversale 30 cm x 60 cm (vedere dettagli in figura 16.2)
è armata con Ff = 216 = 4, 02 cm2 e con Ff = 3 22 = 11, 40 cm2 . Supponendo che la
struttura sia stata confezionata con un conglomerato Rck25 e usando acciai ad aderenza
migliorata con fyk = 4300 daN / cm 2 , verificare la trave allo stato limite delle tensioni in
esercizio sapendo che la stessa è ubicata in ambiente esposto ad atmosfera satura di sale e al
gelo. La sollecitazione flettente allo stato limite di esercizio, per combinazione di carico quasi
permanente, è pari a MSe = 115 kNm = 1150000 daNcm .
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_2.tif
Figura 16.2 – Particolari sezione trave da verificare agli stati limite delle tensioni di esercizio.
SOLUZIONE. Per la resistenza media a trazione semplice del conglomerato, si assuma un
valore pari a: fctm = 22daN / cm 2 .
Verifica sezione trave: interamente reagente o parzializzata(5).
Considerando dapprima la sezione interamente reagente, si ha:
5
Generalmente, per le travi degli edifici è quasi superfluo eseguire la verifica per constatare che la sezione si trova (in
condizioni limite di esercizio) in uno stadio fessurato. Può, invece, essere utile per tutti quegli elementi strutturali soggetti a
forti risultanti di compressione, come ad esempio i pilastri interni degli edifici.
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Fid = Fc + n ( Ff + Ff ) = b H + 15 ( Ff + Ff ) = (30 cm) (60 cm) + 15 ( Ff + Ff ) =
= (30 cm) (60 cm) + 15 [( 4,02 + 11, 40) cm] = 2031, 3 cm2 .
Calcolo distanza baricentro sezione ideale rispetto al baricentro della sola sezione di
conglomerato (armature non simmetriche)(6):
yf inf Ff y f sup Ff (25, 9 cm) (11, 40 cm2 ) (26, 1cm) (4, 02 cm2 )
g = n
=
0, 09 cm .
Fid
(2031, 3 cm 2 )
Calcolo momento d’inerzia sezione ideale intermante reagente (vedere figura 16.2):
b
3
J = ( yc3sup + ycinf
) + n Ff ( yf sup + g) 2 + n Ff (y f inf g) 2 ;
3
avendo considerato il momento quadratico di superficie (dell’intera sezione ideale reagente)
rispetto ad uno dei due assi principali d’inerzia passante per il baricentro della sezione
ideale(7). Trascurando, quindi, la differenza tra i due baricentri ( g 0 ), si ritorna alla formula
vista nell’esempio precedente:
b H3
J=
+ n ( Ff y2f sup + Ff y2f inf ) ;
12
essendo yc sup ycinf = H / 2 . Sostituendo i valori numerici, si ottiene questa volta:
J=
(30 cm) (60 cm) 3
+ 15 [( 4,02 cm 2 ) (26,1 cm) 2 + (11, 40 cm2 ) (25, 7 cm) 2 ] 694020 cm 4 .
12
Calcolo massima tensione di trazione sul conglomerato.
M
ct = Se yc inf max
J
H
y
c inf max = 2 .
Sostituendo i valori numerici, si ottiene:
(1150000 daNcm)
ct =
( 0, 5 60 cm) 49,71daN / cm2 .
(694020 cm4 )
ct 49, 71daN / cm2 > fctm = 22daN / cm 2 , la sezione non può essere
interamente reagente: è quindi necessario calcolare le tensioni considerando la sezione
parzializzata.
Risultando
Calcolo posizione asse neutro (flessione semplice retta).
Nel caso di sezione rettangolare, si parta dall’equazione generale, con = Ect / Ec :
n Ff + Ff + H b 2 b Ff h + Ff h + H 2 b / 2 n ( 1 ) x=
1+ 1+
.
2
b (1 )
n Ff + Ff + H b / n
Ponendo in particolare = Ect / Ec = 0 , nell’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione,
si ricade nella formulazione per sezione parzializzata, nota dalla teoria elastica delle tensioni
ammissibili:
(
6
)
(
(
)
)
In linea di massima, se non esiste una sostanziale differenza di armature (per sezione rettangolare) o se la sezione non è a
“T” è possibile trascurare la distanza tra i due baricentri ed eseguire direttamente la procedura esposta nellesempio
precedente.
7
In particolare, non essendo larmatura doppia e simmetrica, il baricentro della sezione ideale non può coincidere con il
baricentro della sola sezione di conglomerato, ma risulta più accostato alle armature di sezione complessiva maggiore.
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2 b Ff h + Ff h x=
1+
.
2
b
n Ff + Ff
Sostituendo i valori numerici e ponendo (vedere dettagli in figura 16.2) h = 3,9 cm con
h = H h = (60 cm) (4,2 cm) = 55, 8 cm , risulta:
(
n Ff + Ff
) 1 +
(
(
)
)
15 [(11, 40 + 4,02) cm 2 ] 2 ( 30 cm) [( 4,02 cm 2 ) ( 3,9 cm) + (11, 40 cm 2 ) (55, 8 cm)] x=
1+ 1+
2
(30 cm)
15 15, 42 cm2
x 18, 96 cm .
(
)
Calcolo momento d’inerzia della sezione reagente parzializzata.
Partendo dalla relazione generale:
b
3
2
2
J = x 3 + ( H x ) + n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) ,
3
ponendo = Ect / Ec = 0 , nell’ipotesi di calcestruzzo non reagente a trazione, si ha
( J J ci ):
b x3
2
2
Jci =
+ n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Sostituendo i valori numerici (vedere misure in figura 16.2), si ottiene:
( 30 cm) (18,96 cm) 3
Jci =
+ 15 (11, 40 cm2 ) [(55, 8 18, 96) cm] 2 + 15 (4,02 cm2 ) [(18, 96 3,9) cm]2
3
Jci 313913 cm 4 .
Calcolo tensioni massime nei materiali.
In condizioni di sezione parzializzata, si ha nel conglomerato compresso:
M
(1150000 daNcm)
c = Se x =
(18,96 cm) 69, 5daN / cm2 ;
(313913 cm4 )
Jci
e negli acciai inferiori tesi:
M
(1150000 daNcm)
f = n Se (h x ) = 15
[( 55, 8 18,96) cm] 2024daN / cm 2 .
(313913 cm 4 )
Jci
Verifica massime tensioni limite in esercizio.
La trave, in base al prospetto indicato in tabella 16.1, ricade nella classe di esposizione 4b
(ambiente marino con gelo). Pertanto, le verifiche impongono che debba essere, nella
combinazione di carico quasi permanente, c < 0,40 fck, per classi di esposizione 3a e 4a.
In particolare, risultando:
c 69, 5daN / cm2 < 0, 40 fck = 0, 40 (200 daN / cm2 ) = 80daN / cm2 ;
la sezione maggiormente cimentata della trave presenta tensioni limite in esercizio accettabili:
verifica positiva.
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ESEMPIO 3. Una trave di sezione trasversale 30 cm x 50 cm (vedere dettagli in figura 16.3)
è armata con Ff = 4 14 = 6, 16 cm 2 e con Ff = 4 22 = 15, 21 cm 2 . Supponendo che la
struttura sia stata confezionata con un conglomerato Rck25 e usando acciai ad aderenza
migliorata con fyk = 4300 daN / cm 2 , verificare la trave allo stato limite delle tensioni in
esercizio sapendo che la stessa è ubicata in ambiente esposto ad atmosfera satura di sale e al
gelo. La sollecitazione flettente allo stato limite di esercizio, per combinazione di carico quasi
permanente, è pari a MSe = 115 kNm = 1150000 daNcm . Si prescinda a priori dalla trazione
del conglomerato.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_3.tif
Figura 16.3 – Particolari sezione trave da verificare agli stati limite delle tensioni di esercizio.
SOLUZIONE. Per la resistenza media a trazione semplice del conglomerato, si assuma un
valore pari a:
fctm = 22daN / cm 2 .
Calcolo posizione asse neutro (flessione semplice retta).
Nel caso di sezione rettangolare parzializzata, risulta:
n Ff + Ff 2 b Ff h + Ff h x=
1 + 1+
.
2
b
n Ff + Ff
Sostituendo i valori numerici e ponendo (vedere dettagli in figura 16.3) h = 3,8 cm con
h = H h = (50 cm) (4, 2 cm) = 45, 8 cm , risulta:
(
)
(
(
)
)
15 [(15, 21+ 6,16) cm2 ] 2 (30 cm) [(6, 16 cm 2 ) ( 3,8 cm) + (15,21cm 2 ) (45,8 cm)] 1 + 1 +
2
( 30 cm)
15 21, 37 cm 2
x 18, 20 cm .
x=
(
)
Calcolo momento d’inerzia della sezione reagente parzializzata.
Nel caso di sezione rettangolare parzializzata, si ha:
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b x3
2
2
+ n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Sostituendo i valori numerici (vedere misure in figura 16.3), si ottiene:
( 30 cm) (18,20 cm) 3
Jci =
+ 15 (15,21cm 2 ) [( 45, 8 18, 20) cm]2 + 15 (6,16 cm 2 ) [(18,20 3,8) cm] 2
3
Jci 253241 cm 4 .
Jci =
Calcolo tensioni massime nei materiali.
In condizioni di sezione parzializzata, si ha nel conglomerato compresso:
M
(1150000 daNcm)
c = Se x =
(18,20 cm) 82, 7 daN / cm 2 ;
(253241 cm4 )
Jci
e negli acciai inferiori tesi:
M
(1150000 daNcm)
f = n Se (h x ) = 15
[( 45, 8 18, 20) cm] 1880daN / cm 2 .
4
(253241 cm )
Jci
Verifica massime tensioni limite in esercizio.
La trave, in base al prospetto indicato in tabella 16.1, ricade nella classe di esposizione 4b
(ambiente marino con gelo). Pertanto, le verifiche impongono che debba essere, nella
combinazione di carico quasi permanente, c < 0,40 fck, per classi di esposizione 3a e 4a.
In particolare, risultando:
c 82, 7 daN / cm 2 > 0, 40 fck = 0,40 (200 daN / cm2 ) = 80daN / cm 2 ;
la sezione maggiormente cimentata della trave non rispetta (anche se di poco) il limite sulla
massima tensione di compressione nel conglomerato: verifica allo stato limite delle tensioni
negativa.
OSSERVAZIONI. Anche se la tensione calcolata supera di poco quella limite, lo stato
tensionale in esercizio risulta inaccettabile. La verifica sarebbe invece soddisfatta se, ad
esempio, la struttura fosse ubicata in un ambiente meno aggressivo. Ad esempio, per classi di
esposizione 1a e 2a sarebbe risultato:
c 82, 7 daN / cm 2 > 0, 45 fck = 0, 45 (200 daN / cm2 ) = 90daN / cm 2 ,
con verifica positiva per l’elemento strutturale.
ESEMPIO 4. Una trave a spessore di sezione trasversale 120 cm x 24 cm (vedere dettagli in
figura 16.4) è armata simmetricamente con Ff = Ff = 9 22 = 34, 21 cm2 . Supponendo che la
struttura sia stata confezionata con un conglomerato Rck25 e usando acciai ad aderenza
migliorata con fyk = 4300 daN / cm 2 , verificare la trave allo stato limite delle tensioni in
esercizio sapendo che la stessa è ubicata in ambiente secco. La sollecitazione flettente allo
stato limite di esercizio, per combinazione di carico rara, è pari a
MSe = 115 kNm = 1150000 daNcm . Si faccia a priori astrazione della resistenza del
calcestruzzo alla trazione.
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Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_4.tif
Figura 16.4 – Particolari sezione trave da verificare agli stati limite delle tensioni di esercizio.
SOLUZIONE. Calcolo posizione asse neutro (flessione semplice retta).
Nel caso di sezione rettangolare fessurata, risulta:
n Ff + Ff 2 b Ff h + Ff h x=
1 + 1+
.
2
b
n Ff + Ff
Sostituendo i valori numerici e ponendo (vedere dettagli in figura 16.4) h = 4,2 cm con
h = H h = (24 cm) ( 4,2 cm) = 19, 8 cm , risulta:
(
)
(
(
)
)
15 [(34,21+ 34, 21) cm2 ] 2 (120 cm) [( 34, 21 cm 2 ) (4, 2 cm) + (34, 21cm2 ) (19, 8 cm)] x=
1 + 1 +
2
(120 cm)
15 68, 42 cm 2
x 8,13 cm .
(
)
Calcolo momento d’inerzia della sezione reagente parzializzata.
Nel caso di sezione rettangolare fessurata, si ha:
b x3
2
2
Jci =
+ n Ff ( h x ) + n Ff ( x h ) .
3
Sostituendo i valori numerici (vedere misure in figura 16.4), si ottiene:
(120 cm) (8,13 cm) 3
Jci =
+ 15 ( 34, 21 cm2 ) [(19, 8 8,13) cm]2 + 15 ( 34, 21 cm 2 ) [(8,13 4,2) cm] 2
3
Jci 99306 cm4 .
Calcolo tensioni massime nei materiali.
In condizioni di sezione parzializzata, si ha nel conglomerato compresso:
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MSe
(1150000 daNcm)
x =
(8,13 cm) 94, 2daN / cm 2 ;
(99306 cm 4 )
Jci
e negli acciai inferiori tesi:
M
(1150000 daNcm)
f = n Se (h x ) = 15
[(19, 8 8,13) cm] 2027 daN / cm 2 .
(99306 cm4 )
Jci
c =
Verifica massime tensioni limite in esercizio.
La trave, in base al prospetto indicato in tabella 16.1, ricade nella classe di esposizione 1
(interno di edifici residenziali o per uffici). Pertanto, le verifiche impongono che debba
essere, nella combinazione di carico rara, c < 0,60 fck, per classi di esposizione 1a e 2a. Per
quanto riguarda, invece, l’acciaio l’E.C.2 (DAN) prescrive il valore limite massimo: s 0,7
fyk; mentre, le Norme Tecniche e l’E.C.2 prescrivono: f 0,8 fyk.
In particolare, risultando:
c 94, 2 daN / cm2 > 0,60 fck = 0,60 (200daN / cm 2 ) = 120 daN / cm2 ;
f 2027daN / cm2 < 0,70 fyk = 0,70 (4300 daN / cm 2 ) 3010 daN / cm 2 ,
la sezione maggiormente cimentata della trave a spessore rispetta il limite sulla massima
tensione di compressione nel conglomerato e la massima tensione sull’armatura tesa nella
combinazione di carico rara: verifica allo stato limite delle tensioni positiva.
ESEMPIO 5. Sia dato un pilastro in c.a. pressoinflesso di sezione 50 cm x 100 cm, armato
con delle armature simmetriche in ragione di Ff = Ff = 818 = 20, 36 cm 2 (vedere dettagli in
figura 16.5). Supponendo che la struttura sia stata confezionata con un conglomerato Rck25 e
usando acciai ad aderenza migliorata con fyk = 4300 daN / cm 2 , verificare la sezione del
pilastro allo stato limite delle tensioni in esercizio sapendo che lo stesso è ubicato in ambiente
esposto ad atmosfera satura di sale e al gelo. I valori assoluti delle massime sollecitazioni
normale (di compressione) e flettente allo stato limite di esercizio, per combinazione di carico
rara, sono pari rispettivamente a:
N Se = 700 kN = 70000 daN (compressione);
MSe = NSe e0 = (700 kN) (0, 75 m) = 525 kNm .
Inserire figura:
919
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ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_5.tif
Figura 16.5 – Particolari sezione pilastro da verificare agli stati limite delle tensioni di esercizio.
Si faccia a priori astrazione della resistenza del calcestruzzo alla trazione.
SOLUZIONE. Calcolo posizione asse neutro (pressoflessione semplice retta).
In generale, nel caso di sezione rettangolare pressoinflessa, risulta come noto (sezione
parzializzata):
H
6n
6n
x 3 + 3 x 2 e0 + x Ff d f + Ff d f Ff d f h + Ff d f h = 0 ;
2
b
b
avendo indicato, in particolare, con:
x la posizione dell’asse neutro dal lembo superiore della sezione compressa di
conglomerato;
h f distanza del baricentro delle armature superiori (compresse) dai casseri;
(
)
(
)
h f distanza del baricentro delle armature inferiori (tese) dai casseri;
e0 la distanza del centro di pressione dal baricentro della sola sezione di conglomerato;
H l’altezza della sezione parallela all’asse della sollecitazione;
b larghezza della sezione;
H
d f = e0 + h la distanza del baricentro delle armature superiori (compresse) dal
2
centro di pressione C (di segno algebrico negativo se il centro di pressione cade al di sotto
del baricentro delle armature superiori Ff );
d f = e0 + 0,5 H h la distanza del baricentro delle armature inferiori (tese) dal centro
di pressione ( d f > d f );
h = H h = (100 cm) (5 cm) = 95 cm altezza utile della sezione resistente;
n = 15 coefficiente di omogenizzazione.
In particolare, dallo schema di figura 16.5, essendo h = h = 5 cm si calcolano intanto le
grandezze:
d f = e0 0,5 H + h = (75 cm) 0,5 (100 cm) + (5 cm) = 30 cm ;
d f = e0 + 0,5 H h = (75 cm) + 0,5 (100 cm) (5 cm) = 120 cm .
Infine, sostituendo i valori numerici nell’equazione cubica, si ottiene (considerando tutte le
grandezze in termini di cm ed evitando di esplicitare le unità di misura, per ragioni di spazio):
100 6 15
6 15
x 3 + 3 x 2 75 ( 20, 36 30 + 20, 36 120 ) ( 20, 36 30 5 + 20, 36 120 95) = 0
+ x 2
50
50
Risolvendo l’equazione, si ottiene x 41cm circa.
Calcolo massime tensioni allo stato limite di esercizio.
Come noto, in condizioni di pressoflessione retta per sezione rettangolare parzializzata, si ha:
N Se d f
.
c =
b x x
x h
h + n Ff ( h h )
2 2
x
f = n c ( x h ) ;
x
f = n c ( h x) .
x
920
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Sostituendo i valori numerici, si ottiene (non esplicitando le unità di misura per ragioni di
spazio):
(70000) (120)
c =
84daN / cm2 .
41
41 5
(50 ) ( 41)
95 + 15 (20, 36) ( 95 5)
2
41
2
(83,6 daN / cm 2 )
f = 15
[( 41cm) ( 5 cm)] 1101daN / cm 2 ;
( 41cm)
(83, 6 daN / cm2 )
[(95 cm) ( 41cm)] 1652daN / cm 2 .
(41 cm)
Il pilastro, in base al prospetto indicato in tabella 16.1, ricade nella classe di esposizione 4b
(ambiente marino con gelo). Pertanto, le verifiche impongono che debba essere, nella
combinazione di carico rara, c < 0,50 fck, per classi di esposizione 3a e 4a. Per quanto
riguarda invece l’acciaio, l’E.C.2 (DAN) prescrive il valore limite massimo: f 0,7 fyk;
mentre le Norme Tecniche e l’E.C.2 prescrivono: f 0,8 fyk.
In particolare, risultando:
c 84daN / cm 2 < 0,50 fck = 0, 50 (200 daN / cm2 ) = 100 daN / cm 2 ;
f = 15
f 1652daN / cm2 < 0,70 fyk = 0, 70 (4300 daN / cm2 ) 3010 daN / cm2 ,
la sezione maggiormente cimentata del pilastro rispetta i limiti sulle massime tensioni nei
materiali: verifica allo stato limite delle tensioni positiva.
OSSERVAZIONI. Si ricorda che la verifica della massima tensione sugli acciai (nella
combinazione di carico rara) deve essere riferita solamente agli acciai tesi (vedere, ad
esempio, Eurocodice 2 – parte 1-1 al paragrafo 4.4.1.1(4)).
ESEMPIO 6. Sia dato un pilastro tensoinflesso di sezione trasversale 30 cm x 60 cm, armato
con delle armature simmetriche in ragione di Ff = Ff = 4 26 = 21, 24 cm2 , il cui centro di
trazione disti 20 cm dal lembo inferiore della sezione (vedere dettagli in figura 16.6).
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_6.tif
Figura 16.6 – Particolari sezione pilastro da verificare agli stati limite delle tensioni di esercizio.
921
Documento #:
Doc_b12(b1).doc
Supponendo che la struttura sia stata confezionata con un conglomerato Rck25 e usando acciai
ad aderenza migliorata con fyk = 4300 daN / cm 2 , verificare la sezione del pilastro allo stato
limite delle tensioni in esercizio sapendo che lo stesso è ubicato in ambiente esposto ad
atmosfera satura di sale e al gelo. I valori assoluti delle massime sollecitazioni normale (di
trazione) e flettente allo stato limite di esercizio, per combinazione di carico rara, sono pari
rispettivamente a:
N Se = 650 kN = 65000 daN (trazione);
MSe = NSe e0 = (650 kN) (0, 50 m) = 325 kNm .
Si faccia a priori astrazione della resistenza del calcestruzzo alla trazione.
SOLUZIONE. Calcolo posizione asse neutro (tensoflessione semplice retta).
In generale, nel caso di sezione rettangolare tensoinflessa, risulta come noto (sezione
parzializzata):
6 n
6 n
x 3 3 x 2 df + h x Ff d f + Ff d f +
Ff d f h + Ff d f h = 0 ;
b
b
avendo considerato, per i simboli utilizzati, quanto detto nell’esempio precedente
relativamente al caso della pressoflessione. In particolare, dall’esame della figura 16.6,
risulta: h = 5,1 cm ; h = 54, 9 cm ; d f = 25,1 cm ; d f = d f + h h = 74, 9 cm . Pertanto,
sostituendo i valori numerici (in termini di cm) e omettendo di esplicitare le unità di misura
per ragioni di spazio, risulta:
6 15
x 3 3 x 2 ( 25,1 + 54, 9 ) x ( 21, 24 74, 9 + 21, 24 25,1) +
30
6 15
+
( 21, 24 74, 9 5,1 + 21, 24 25,1 54, 9 ) = 0 .
30
Ovvero:
x 3 x 2 240 x 6372 + 112146 = 0 .
Risolvendo l’equazione cubica si ottiene il valore di x 15, 2 cm circa. Utilizzando, quindi,
le note formule per sezione rettangolare parzializzata tensoinflessa(8) si ha:
N Se d f
.
c =
b x x
x h
h + n Ff ( h h )
2 2
x
f = n c ( x h ) ;
x
f = n c ( h x) .
x
Sostituendo i valori numerici, si ottiene (non esplicitando le unità di misura per ragioni di
spazio):
(65000) (25, 1)
c =
76 daN / cm 2 ;
15, 2 5,1
15, 2 (30 ) (15, 2) 54, 9 ( 54, 9 5,1)
+ 15 (21, 24) 15, 2
2 2
(
f = 15
8
)
(
)
(
)
(76 daN / cm 2 )
[(15, 2 cm) ( 5,1 cm)] 762daN / cm2 ;
(15, 2 cm)
La formula per il calcolo della tensione massima di compressione nel conglomerato (quando cioè lasse neutro cade
allinterno della sezione) può essere utilizzata solo se risulta d f > 0 : centro di trazione non compreso tra i baricentri delle
due armature. In particolare, infatti, quando il centro di trazione cade nel tratto dellasse di sollecitazione compreso tra le
due armature inferiore e superiore, tutta la sezione omogenea risulta tesa: asse neutro al di fuori della sezione.
922
Documento #:
Doc_b12(b1).doc
(76 daN / cm2 )
[(54,9 cm) (15, 2 cm)] 2981daN / cm2 .
(15, 2 cm)
Il pilastro, in base al prospetto indicato in tabella 16.1, ricade nella classe di esposizione 4b
(ambiente marino con gelo). Pertanto, le verifiche impongono che debba essere, nella
combinazione di carico rara, c < 0,50 fck, per classi di esposizione 3a e 4a. Per quanto
riguarda invece l’acciaio, l’E.C.2 (NAD) prescrive il valore limite massimo: f 0,7 fyk;
mentre le Norme Tecniche e l’E.C.2 prescrivono: f 0,8 fyk.
In particolare, risultando:
c 76 daN / cm2 < 0, 50 fck = 0,50 (200 daN / cm 2 ) = 100 daN / cm2 ;
f = 15
f 2981daN / cm 2 < 0, 70 fyk = 0,70 (4300 daN / cm 2 ) 3010 daN / cm2 ,
la sezione maggiormente cimentata del pilastro rispetta i limiti sulle massime tensioni nei
materiali: verifica allo stato limite delle tensioni positiva.
OSSERVAZIONI. Adottando, ad esempio, Ff = Ff = 3 26 = 15,93 cm 2 , la sezione risulta
non verificata per l’elevata tensione degli acciai tesi (risultando infatti: 0, 8 fyk 3440
daN/cm2). In particolare, sebbene diminuisca leggermente la posizione dell’asse neutro al
valore x 14, 7 cm , risulta:
(65000) (25, 1)
c =
90daN / cm 2 .
14,7 5,1
14, 7 (30 ) (14,7) 54, 9 ( 54, 9 5, 1)
+ 15 (26, 55) 14,7
2 2
f = 15
(90 daN / cm 2 )
[(14, 7 cm) ( 5,1 cm)] 876 daN / cm 2 ;
(14, 7 cm)
(90 daN / cm2 )
f = 15
[(54,9 cm) (14,7 cm)] 3686daN / cm 2 .
(14, 7 cm)
Si noti come le tensioni calcolate risultino “sensibili” alla variazione del valore x dell’asse
neutro.
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