L`uomo eterno

ENUNCIATO DEL SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
Si dice sorgente di calore o serbatoio di calore alla temperatura θ un corpo che si trovi
uniformemente alla temperatura θ e sia in condizioni di scambiare calore, ma non lavoro, con i corpi
che lo circondano. In pratica si tratta di una quantità di sostanza (come ad esempio acqua) il cui volume
rimane praticamente costante. Il fatto che la temperatura sia fissata e cioè rimanga costante implica che
la capacità termica del serbatoio sia molto elevata. Infatti, in questo caso, uno scambio di calore
comporta una variazione trascurabile di temperatura. Una approssimazione reale di una sorgente di
calore si ottiene con corpi di massa e calore specifico abbastanza alti.
Posto questo, l'enunciato del Secondo Principio della Termodinamica nella formulazione di Kelvin
è il seguente:
È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia una trasformazione in lavoro di
una quantità di calore tratta da unàunica sorgente a temperatura uniforme.
È importante specificare che la trasformazione di calore in lavoro non può essere l'unico risultato.
Si può convertire completamente una quantità di calore in lavoro, ad esempio, in una espansione
isoterma di un gas perfetto. Ma questo non sarebbe l'unico risultato, dato che si ha anche un
cambiamento di stato del sistema termodinamico, cioè del gas stesso. Indichiamo in Figura 1 il
processo proibito dal Secondo Principio: dopo la trasformazione il sistema è tornato nello stato iniziale,
cioè ha compiuto un ciclo, indicato con la traiettoria circolare. Una certa quantità di calore Q è
passata dal serbatoio a temperatura θ al sistema e in ragione di questo il sistema ha compiuto il
lavoro L=Q sull'ambiente.
θ
Q
L
Figura 1 Trasformazione proibita dal Secondo Principio
Questa formulazione del Secondo Principio è abbastanza intuitiva. Se il processo in Figura 1 fosse
possibile si potrebbero realizzare motori che per funzionare assorbono energia dall'ambiente, senza
alcun bisogno di combustibile. Il primo enunciato del Secondo Principio risale al 1824 ed è dovuto a
Sadi Carnot: “è impossibile produrre della potenza motrice a meno che non si disponga
contemporaneamente di un corpo caldo e di un corpo freddo”. Cioè, per costruire una macchina
termica occorrono almeno due sorgenti di calore a temperature diverse.
È possibile eseguire un ciclo termodinamico e compiere lavoro con un sistema che scambia calore con
due sorgenti a diversa temperatura. Infatti, consideriamo il ciclo compiuto da un gas perfetto di
Figura 2 (ciclo di Carnot). Si tratta di:
1→2 una espansione isoterma in cui il sistema assorbe la quantità di calore Q2 da un serbatoio a
temperatura θ2 ;
2→3 una espansione adiabatica in cui il sistema si porta alla temperatura più bassa θ1 ;
3→4 una compressione isoterma in cui il sistema cede la quantità di calore
assoluto) a un serbatoio a temperatura θ1 ;
4 →1 una compressione adiabatica in cui il sistema torna allo stato iniziale.
È facile verificare che
p
Q2
1
2
Q1
4
3
V1
V2
V4
V3
V
Figura 2 Ciclo di Carnot di un gas ideale.
θ2>θ1
Q2
L
Q1
θ1
Figura 3 Funzionamento di una macchina termica che
opera tra due sorgenti di calore
Q1
(in valore
In generale, una macchina termica che opera tra due sorgenti di calore (non solo una macchina che
compie un ciclo di Carnot) funziona in maniera mostrata dalla Figura 2. Essa produce lavoro L>0
assorbendo Q2 da un serbatoio a temperatura θ2 e cedendo Q1 a un serbatoio a temperatura
θ1 <θ 2 . Il Secondo Principio ci assicura che Q2 e Q1 sono positivi.
Infatti, supponiamo per assurdo che Q1≤0 , allora il sistema assorbirebbe calore dal serbatoio a
temperatura θ1 . Dunque basta mettere in contatto i due serbatoi e fare fluire la stessa quantità di
calore dal serbatoio θ2 al serbatoio θ1 . In conclusione, la sorgente θ1 rimarrebbe inalterata e
avremmo come unico risultato la trasformazione di calore tratto dalla sorgente θ2 in lavoro. Ma ciò
Q1 >0 , allora, dato che, dal Primo Principio,
contraddice il Secondo Principio. Dunque
Q2 −Q 1=L> 0 , si ha che Q2 >Q 1> 0 .
Il Secondo Principio nella formulazione di Clausius si può enunciare nel modo seguente.
È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia un passaggio di una quantità di
calore da una sorgente a temperatura più bassa a una sorgente a temperatura più alta.
Il processo proibito dall'enunciato di Clausius è schematizzato in Figura 4.
L'enunciato di Kelvin (che indicheremo per semplicità K) è equivalente all'enunciato di Clausius (che
indicheremo con C). Per dimostrarlo, dimostriamo che:
K →C ,
dimostrando che
non C → non K ;
successivamente dimostriamo che
C→K ,
dimostrando che
non K → non C
θ 2 >θ 1
Q
θ1
Figura 4 Trasformazione proibita dal Secondo Principio
(enunciato di Clausius)
La negazione di K implica la negazione di C. Infatti, supponiamo di poter eseguire il processo di
Figura 1. Allora possiamo dissipare il lavoro L in energia interna di un serbatoio a temperatura
θ ' >θ . Ma in questo modo otteniamo il processo di Figura 4. 2
La negazione di C implica la negazione di K. Infatti, supponiamo di realizzare il processo di Figura 4.
Allora possiamo utilizzare un ciclo di Carnot che operi fra i due serbatoi di calore, utilizzando Q per
compiere un lavoro L , cedendo al serbatoio freddo una quantità di calore Q1=Q−L . L'unico
risultato finale sarebbe quello di trarre la quantità di calore Q−Q1 dal serbatoio freddo e
convertirla integralmente in lavoro.
TEOREMA DI CARNOT
Supponiamo di disporre di un sistema termodinamico S che compie un ciclo scambiando calore con
due serbatoi. S assorbe Q2 dal serbatoio caldo e cede Q1 al serbatoio freddo. come descritto in
Figura 3, compiendo lavoro positivo.
Il rendimento è definito da:
Q
L
(1)
η= =1− 1
Q2
Q2
Supponiamo di avere un secondo sistema S' che scambi Q ' 2 con il serbatoio caldo e Q ' 1 con il
serbatoio freddo, ad ogni ciclo. Il rendimento del ciclo sarà dunque
Q'
L'
η' =
=1− 1
(2)
Q '2
Q '2
Supponiamo che S' compia un ciclo reversibile, cioè che il ciclo di S' possa essere invertito in
modo che compiendo il lavoro L' sul sistema si possa assorbire esattamente Q ' 1 dal serbatoio
freddo e cedere esattamente Q ' 2 al serbatoio freddo. Possiamo facilmente dimostrare dal Secondo
Principio che vale:
η' ≥η
(3)
Sappiamo bene che possiamo approssimare un numero reale con un numero razionale con una
precisione grande a piacere. Quindi possiamo scrivere, con una precisione grande a piacere:
Q'2 N
=
con N , N ' interi positivi
(4)
Q2 N '
Posto questo , facciamo compiere N cicli al sistema S e N' cicli inversi al sistema S' . In tal modo il
sistema S+S' assorbe complessivamente dal serbatoio caldo la quantità:
N Q2− N ' Q ' 2=0
(5)
Dunque il serbatoio caldo rimane invariato. Al serbatoio freddo viene ceduto complessivamente:
N Q1−N ' Q ' 1≥0
(6)
La quantità di calore ceduta deve essere non negativa, altrimenti saremmo nella situazione di Figura 1,
proibita da K.
Combinando la (4) con la (6) si ottiene:
N Q1≥N ' Q ' 1
N Q '1
≥
N ' Q1
Q ' 2 Q '1
≥
Q2 Q 1
Q1 Q' 1
≥
Q2 Q ' 2
(7)
Confrontando la (7) con le espressioni (1) e (2) dei rendimenti otteniamo la (3).
Ora, se anche S compie un ciclo reversibile, possiamo invertire I ruoli di S e S' nella dimostrazione
e dimostrare che:
η≥η'
Dalla (8) e dalla (3) segue:
η=η'
(8)
(9)
Dunque abbiamo dimostrato il Teorema di Carnot:
Tutti i cicli reversibili tra due sorgenti di calore date hanno lo stesso rendimento. Il rendimento di un
ciclo reversibile è strettamente maggiore di qualunque ciclo non reversibile operante tra le due stesse
sorgenti.
Un esempio di ciclo reversibile è il ciclo di Carnot di un gas perfetto, mostrato in Figura 2. Il ciclo può
essere percorso in senso inverso (ciclo frigorifero), nel qual caso il calore prima ceduto viene ora
assorbito e viceversa, il lavoro prima fatto dal sistema sull'ambiente viene ora fatto dall'ambiente sul
sistema.
TEMPERATURA ASSOLUTA
Dal Teorema di Carnot abbiamo che tutti i cicli reversibili tra due sorgenti di calore hanno lo stesso
rendimento, cioè lo stesso rapporto tra i calori scambiati, indipendentemente dal tipo di sistema
termodinamico. Il rendimento dipende solo: (i) dal fatto che il ciclo sia reversibile; (ii) dalle
temperature delle due sorgenti.
Allora possiamo scrivere:
Qceduto
=una funzione delle temperature delle sorgenti
Q assorbito
Supponiamo di disporre di una scala di temperatura empirica con cui misurare le temperature t 0 ,
t 1 e t 2 di tre sorgenti.
Ora, consideriamo due macchine reversibili che lavorano nel modo seguente.
Una che assorba Q2 dal serbatoio t 2 e ceda Q0 a un serbatoio di riferimento t 0 , da cui
segue:
Q2
= f (t 0, t 2)
(10)
Q0
Una che assorba Q1 dal serbatoio t 1 e ceda la stessa quantità Q0 a un serbatoio di riferimento
t 0 , da cui segue:
Q1
(11)
= f (t 0 , t 1)
Q0
Se ora facciamo lavorare le due macchine contemporaneamente, con la seconda che compie un ciclo
inverso, abbiamo realizzato una macchina che scambia calore solamente con le sorgenti t 1 e t 2
Dunque:
Q2
(12)
= f (t 1 , t 2)
Q1
Combinando la (10), (11) e (12):
f (t 0, t 2)
f (t 1, t 2 )=
(13)
f (t 0, t 1 )
Quindi:
Q 2 g (t 2)
=
(14)
Q1 g (t 1)
Concludiamo che il calore scambiato è proporzionale a una funzione della temperatura empirica. Allora
possiamo definire una scala di temperatura termodinamica, indicando la temperatura misurata in
questa scala con T, in modo che:
Q2 T 2
=
(15)
Q1 T 1
Cioè, il rapporto tra le quantità di calore scambiate in un ciclo reversibile tra due serbatoi è uguale al
rapporto tra le temperature termodinamiche dei due serbatoi. Questa scala di temperatura è assoluta,
nel senso che è definita dal Teorema di Carnot, ed è indipendente dal sistema termometrico scelto,
purché il sistema compia un ciclo reversibile.
La (15) definisce la temperatura assoluta a meno di una costante. Per fissarla consideriamo il cilco di
Carnot di un gas perfetto. Con le notazioni di Figura 2, abbiamo, dalle trasformazioni isoterme:
V2
Q 2 =n R θ2 log
(16)
V1
( )
V3
(17)
V4
Dalle trasformazioni adiabatiche risulta invece:
γ−1
(18)
θ2 V γ−1
2 =θ1 V 3
γ−1
γ−1
(19)
θ2 V 1 =θ1 V 4
Dividendo membro a membro le (18) e (19) segue:
V 2 V3
(20)
=
V1 V 4
Allora, dividendo membro a membro le (16) e (17) e usando la (20) segue:
Q 2 θ2
=
(21)
Q1 θ1
Dalla (15) e dalla (21) segue:
T 2 θ2
(22)
=
T 1 θ1
La temperatura assoluta è proporzionale alla temperatura del termometro a gas perfetto. Definiamo la
scala di temperatura assoluta nel modo seguente:
Q
T =273.16
(K)
(23)
Q3
Q1=n Rθ 2 log
( )
dove Q è il calore scambiato con un generico serbatoio e Q3 il calore scambiato con un serbatoio
alla temperatura del punto triplo dell'acqua.
Con la definizione (23) la scala termodinamica assoluta di temperatura coincide con la scala di
temperatura del termometro a gas perfetto.
D'ora in poi misureremo la temperatura utilizzando la scala assoluta.
Una conseguenza importante della definizione di scala termodinamica assoluta di temperatura: dalla
(15) segue che il rendimento di un ciclo reversibile tra due sorgenti, a temperature T 1 e T 2 , con
T 2 >T 1 , risulta:
T
(24)
ηrev =1− 1
T2

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