Richiami su utilità attesa e attitudine al rischio

Richiami su utilità attesa e attitudine al
rischio
(Dispensa per il corso di Microeconomia per
manager)
Massimo A. De Francesco
Università di Siena
March 10, 2014
In questa prima sezione richiamiamo la teoria dell’utilità attesa sviluppata da Von Neumann e Morgenstern che voi avete già incontrato negli insegnamenti di microeconomia del corso di laurea triennale. (Per un’analisi
su alcuni punti più esauriente rimandiamo al Varian.)
1
Concetti fondamentali
Nella formulazione che ne diamo qui, supporremo per semplicità che l’utilità
di un individuo abbia come unico argomento la sua ricchezza: vale a dire,
U = U (W ). Per lo più supporremo anche che la funzione di utilità di un
individuo sia sempre strettamente crescente nella sua ricchezza, per quanto
grande sia già la ricchezza dell’individuo: supporremo cioè che un aumento
della ricchezza W comporti sempre un aumento nell’utilità dell’individuo o,
detto in altri termini, che l’"utilità marginale della ricchezza" sia positiva
(U 0 (W ) > 0.) Supponiamo ora che l’individuo voglia valutare quale tra due
diverse situazioni, che chiamiamo A e B, sia per lui migliore. In ciascuna
di queste situazioni la ricchezza dell’individuo è una variabile casuale: vale
a dire, può assumere diverse determinazioni, ciascuna con una speci…cata
probabilità. In base alla teoria dell’utilità attesa introdotta da Von Neumann
e Morgenstern, il confronto tra le due situazioni avviene confrontando l’utilità
1
attesa della situazione A con l’utilità attesa della situazione B: tra A e
B l’individuo preferisce la situazione caratterizzata dall’utilità attesa più
elevata. In termini formali, A
B ("A è preferito a B") se EU (WA ) >
EU (WB ), B A se EU (WB ) > EU (WA ) e A B (A e B sono indi¤erenti
per il nostro individuo) se EU (WA ) = EU (WB ).
Un esempio servirà a chiarire quanto
p sopra. Supponiamo che la funzione
di utilità dell’individuo sia U (W ) = W dove W è la ricchezza. Supponiamo
che nelle due situazioni A e B la ricchezza dell’individuo sia una variabile
casuale con le distribuzioni di probabilità rappresentate rispettivamente dalle
tue tabelle sottostanti.
WA
16
36
A
1=2
1=2
WB
0
64
B
1=2
1=2
A partire da queste distribuzioni di probabilità della ricchezza, possiamo
ricavare le distribuzioni di probabilità della funzione di utilità, in ciascuna
delle due situazioni:
Up
(WA )
W
A
B
pB
16
1=2
0
1=2
p
p
36
1=2
64 1=2
Per de…nizione, in ciascuna situazione l’utilità attesa non è altro che il
valore atteso della funzione di utilità in quella situazione.
Pertanto,
per il
p
p
1
4
1
nostro soggetto, l’utilità attesa in A è EU (WA ) = 2 16 + 2 36 = 2 + 62 =
p
p
5; l’utilità attesa in B è EU (WB ) = 21 0 + 12 64 = 4. Vediamo quindi
che EU (WA ) > EU (WB ): quindi l’individuo preferisce la situazione A alla
situazione B.
E’interessante notare come il valore atteso della ricchezza (o "ricchezza
attesa") nella situazione A è minore della ricchezza attesa nella situazione
B: infatti, EWA = 21 16 + 21 36 = 26 < EWB = 12 0 + 12 64 = 32. Tuttavia, per il nostro individuo risulta A
B essendo EU (WA ) > EU (WB ).
Ciò rivela un fatto molto importante: se nel porre a confronto situazioni
caratterizzate da incertezza un individuo si basa sul confronto tra le utilità
attese nelle diverse situazioni, ciò vuol dire che egli in generale non considera soltanto i valori attesi della ricchezza nelle due situazioni ma tiene
in realtà conto anche della variabilità della ricchezza stessa (del "rischio")
in ciascuna situazione. La considerazione del rischio fa sì che, come accade nell’esempio precedente, tra due diverse situazioni un individuo possa
2
preferire la situazione nella quale il valore atteso della ricchezza è minore che
nell’altra, purché in tale situazione anche il rischio sia su¢ cientemente più
basso rispetto all’altra situazione.
Siamo a questo punto in grado di introdurre il concetto di attitudine nei
confronti del rischio.
ATTEGGIAMENTO VERSO IL RISCHIO. Si dice che un individuo è avverso al rischio se, tra una ricchezza incerta ( WA ) e una ricchezza certa ( WC ) pari al valore atteso della ricchezza incerta (cioè, tale che
risulti WC = EWA ), egli o ella preferisce la ricchezza certa; se al contrario
tra la ricchezza incerta e una ricchezza certa con le suddette caratteristiche
preferisce la ricchezza incerta, si dice che l’individuo è amante del rischio;
si dice in…ne che l’individuo è neutrale al rischio se è indi¤erente tra le
due ricchezze.
Illustriamo questa de…nizione per un soggetto che disponga della ricchezza incerta WA sopra descritta, che può assumere valori 16 e 36 con
uguale probabilità.
Se la funzione di utilità di questo individuo è, per esp
empio, U = Wp, si ha chep l’utilità attesa per questa ricchezza incerta è
16 + 21
36 = 5, mentre se disponesse di una ricchezza
EU (WA ) = 12
p
certa WC pari a EWA = 26, l’utilità attesa sarebbe EU (WC ) = 1
26 =
5; 099 > EU (WA ) = 5. Ciò indica che questo individuo è avverso al rischio:
tra la ricchezza incerta WA e la ricchezza certa WC , uguale a EWA (cioè
uguale al valore atteso della ricchezza incerta), egli preferisce la ricchezza
certa WC .
Consideriamo ora un individuo la cui funzione di utilità sia invece, per
esempio, U = W 2 . In questo caso, l’utilità attesa per la ricchezza incerta
WA è EU (WA ) = 12 162 + 21 362 = 776, mentre l’utilità attesa della ricchezza
certa WC = EWA = 26 risulta pari a EU (EWA ) = 1 262 = 676, quindi
minore della prima: ciò indica che questo individuo è un individuo amante
del rischio.
In…ne, un individuo la cui funzione di utilità sia lineare (U (W ) = W )
sarebbe indi¤erente tra le due alternative: l’utilità attesa della ricchezza
incerta WA è infatti EU (WA ) = 12 16 + 21 36 = 26 e l’utilità attesa di
una ricchezza certa pari a 26 è EU (EWA ) = 1 26 = 26. Questo individuo
è quindi un individuo avverso al rischio.
3
Possiamo a questo punto introdurre il concetto di equivalente certo di
una ricchezza incerta.
Equivalente certo. Sia U = U (W ) la funzione di utilità di un determinato individuo e si consideri una situazione (che indichiamo con A) nella
quale la ricchezza dell’individuo ( WA ) è una variabile casuale (una grandezza
che può assumere diverse determinazioni, ciascuna con una speci…cata probabilità). Per equivalente certo della ricchezza incerta WA (equivalente certo
che indicheremo come ECWA ) si intende quella ricchezza certa disponendo
della quale l’utilità del soggetto è uguale all’utilità attesa della ricchezza incerta WA : in termini formali, ECWA è tale che U (ECWA ) = EU (WA ).
Illustriamo p
questa de…nizione con riferimento a un individuo con funzione
di utilità U = W e prendendo nuovamente in esame la situazione A sopra
ipotizzata. Ci chiediamo quale sia l’equivalente certo della ricchezza incerta
WA . Per de…nizione, ECWA è tale che il soggetto, disponendo con probabilità
1 di tale ricchezza ECWA , abbia una utilità esattamente uguale a EU (WA ).
In altri termini, il soggetto deve risultare indi¤erente tra disporre di una
ricchezza certa ECWA e disporre della ricchezza incerta WA . Tutto questo
signi…ca
p che il valore di ECWAplo si ottiene, nel nostro esempio, imponendo
ECWA = EU (WA ), cioè ECWA = 5, da cui si ricava ECWA = 25: Vale
1
la pena notare che l’equivalente certo di WA è minore di EWA = 26. Questo
risultato non deve sorprendere in quanto deriva dall’avversione al rischio del
nostro soggetto. Infatti, come abbiamo visto sopra, il soggetto preferirebbe
avere con certezza una ricchezza di 26 piuttosto che una ricchezza incerta
WA il cui valore atteso sia 26: ma se è vero questo, è allora ovvio che una
ricchezza certa pari a 26 non potrebbe essere l’"equivalente certo" di WA ,
essendo in realtà superiore all’equivalente certo di EWA .
Possiamo quindi a¤ermare che:
Per un soggetto avverso al rischio, l’equivalente certo di una ricchezza
incerta è minore del valore atteso della ricchezza incerta.
Per contro, dovrebbe a questo punto risultare piuttosto evidente che:
Per un soggetto amante del rischio, l’equivalente certo di una ricchezza
incerta è maggiore del valore atteso della ricchezza incerta; per un soggetto
4
neutrale al rischio, l’equivalente certo di una ricchezza incerta è esattamente
uguale al valore atteso della ricchezza incerta.
Illustriamo anche queste due a¤ermazioni con riferimento alla ricchezza
incerta WA sopra descritta. Supponiamo che la funzione di utilità di un
individuo sia U (W ) = W 2 (un tale individuo si è sopra rivelato essere amante
del rischio). Per questo soggetto, l’equivalente certo della ricchezza incerta
WA è tale che 1 (ECWA )2 = EU (WA ), cioè (ECWA )2 = 776, da cui si
ricava ECWA = 27; 85, che è appunto maggiore di EWA , il valore atteso
della ricchezza incerta. Consideriamo in…ne un individuo la cui funzione di
utilità sia U (W ) = W (questo individuo si è rivelato sopra essere neutrale al
rischio). L’utilità attesa della ricchezza incerta WA è, per questo individuo,
E(U WA ) = 12 16 + 21 36 = 26. L’equivalente certo della ricchezza incerta
è tale che risulti 1 (ECWA ) = EU (WA ), cioè ECWA = 26. Quindi abbiamo
veri…cato che, per un individuo neutrale al rischio, risulta ECWA = EWA :
Avendo discusso le possibili attitudini nei confronti del rischio e il concetto
di equivalente certo, possiamo a questo punto introdurre il concetto di premio
per il rischio di una ricchezza incerta.
Premio per il rischio relativo a una ricchezza incerta (De…nizione
1). Supponiamo che un individuo avverso al rischio disponga di una ricchezza
W che è una variabile casuale. Si de…nisce premio per il rischio relativo alla
ricchezza incerta W la di¤erenza tra il valore atteso della ricchezza incerta
e l’equivalente certo della ricchezza incerta, cioè: P RW = EW ECW .
Vedremo tra breve come, alla luce della precedente de…nizione, il premio
per il rischio potrà essere equivalentemente de…nito nel modo seguente:
Premio per il rischio relativo a una ricchezza incerta (De…nizione
2). Supponiamo che un individuo avverso al rischio disponga di una ricchezza
W che è una variabile casuale. Il premio per il rischio relativo alla ricchezza
incerta W è de…nito come la massima somma che l”individuo è teoricamente
disposto a pagare per cedere la ricchezza incerta W ed avere in cambio una
ricchezza certa pari al valore atteso della ricchezza incerta.
Dimostriamo che la De…nizione 2 è equivalente alla De…nizione 1. Se
applichiamo la De…nizione 2, ci rendiamo subito conto che la somma massima
che l’individuo è teoricamente disposto a pagare (somma che indichiamo qui
con S) per e¤ettuare la transazione descritta in quella de…nizione è quella
5
somma tale che egli o ella risulti indi¤erente tra e¤ettuare quella transazione
(venendo così a disporre della somma certa EW S) e non e¤ettuarla (nel
qual caso rimarrebbe con la ricchezza incerta W ). Ma, a ben vedere, questa
condizione di indi¤erenza signi…ca che la ricchezza certa EW S deve essere
uguale all’equivalente certo della ricchezza incerta W; cioè: EW S = ECW :
Da ciò discende immediatamente che S = EW ECW . Pertanto, il premio
per il rischio così come è stato de…nito con la De…nizione 2 coincide con il
premio per il rischio così come è stato de…nito dalla De…nizione 1.
2
Funzione di utilità e attitudine al rischio
Negli esempi analizzati nella sottosezione
p precedente abbiamo ipotizzato tre
distinte funzioni di utilità, U (W ) = W , U (W ) = W 2 e U (W ) = W . Abbiamo visto che, tra la ricchezza incerta WA , che può assumere valori 16 e 36
con probabilità 1/2 ciascuno, e la ricchezza certa WC = 26 (uguale al valore
atteso della ricchezza incerta WA ), un individuo che abbia la prima funzione
di utilità preferisce la ricchezza certa (mostrando così di essere avverso al rischio); un individuo con la seconda funzione di utilità preferisce la ricchezza
incerta (mostrando di essere amante del rischio) e un individuo con la terza
funzione di utilità risulta invece indi¤erente tra le due (mostrando di essere
neutrale al rischio). Se analizziamo queste tre distinte funzioni di utilità, ci
rendiamo conto che la prima è strettamente concava (U 00 (W ) < 0 essendo
U 00 (W ) = 41 W 3=2 ), la seconda è strettamente convessa (U 00 (W ) > 0 essendo U 00 (W ) = 2), mentre la terza è lineare (essendo U 00 (W ) = 0).
Questi risultati non sono casuali. In e¤etti, si dimostra che un soggetto è
avverso al rischio se la funzione di utilità è strettamente concava (U 00 (W ) <
0), vale a dire, se l’utilità marginale della ricchezza (U 0 (W )) diminuisce
all’aumentare della ricchezza; è invece amante del rischio se la funzione di
utilità è strettamente convessa (U 00 (W ) > 0), vale a dire, se l’utilità marginale della ricchezza (U 0 (W )) aumenta all’aumentare della ricchezza; ed è
neutrale al rischio se la funzione di utilità è lineare (U 00 (W ) = 0), vale a dire,
se l’utilità marginale della ricchezza (U 0 (W )) rimane invariata all’aumentare
della ricchezza. Qui dimostreremo questa proprietà per il caso semplice in
cui una ricchezza incerta possa assumere due sole determinazioni, come nella
tabella sottostante.
6
W
W1
W2
1
1
1
In questa dimostrazione ci serviremo di una rappresentazione gra…ca, nel
piano (W; U (W )). Rappresentiamo in tale piano una generica funzione di
utilità U (W ) che sia crescente e prendiamo, lungo la curva che rappresenta
la funzione di utilità, due punti: P1 = (W1 ; U (W1 )) e P2 = (W2 ; U (W2 )),
con W2 > W1 . Va a questo punto ricordato dove si viene a collocare nel
piano il punto P = (EW ; EU (W )), vale a dire, il punto la cui ascissa è pari
al valore atteso della ricchezza incerta e la cui ordinata è uguale all’utilità
attesa della ricchezza incerta. Un tale punto può essere espresso come P =
( 1 W1 +(1
1, il punto
1 )W2 ; 1 U (W1 )+(1
1 )U (W2 )). Essendo 0
1
P è quello che si chiama una combinazione lineare convessa dei punti P1 e
P2 . Come si è spiegato a lezione, questo punto si trova lungo il segmento
che congiunge i punti P1 e P2 : l’ascissa di questo punto è pari a EW e
l’ordinata è pari a EU (W ). In altre parole, l’utilità attesa della ricchezza
incerta è l’ordinata del punto che si trova lungo questo segmento e la cui
ascissa è uguale al valore atteso della ricchezza incerta. Per contro, l’utilità
che l’individuo riceve avendo a disposizione una ricchezza certa pari a EW è
ovviamente U (EW ), vale a dire, è l’ordinata della curva che rappresenta la
funzione di utilità, calcolata in corrispondenza di una ricchezza pari a EW .1
Per de…nizione, se la funzione di utilità è strettamente concava per livelli
di ricchezza compresi tra W1 e W2 , la curva di utilità si trova al disopra
del segmento che unisce i punti P1 e P2 : ciò signi…ca che l’utilità attesa
della ricchezza incerta - EU (W ) - è necessariamente minore dell’utilità che
il soggetto avrebbe avendo a disposizione una ricchezza certa pari al valore
atteso della ricchezza incerta. (Si veda la …gura 1.)
Al contrario, se la funzione di utilità è strettamente convessa per livelli
di ricchezza compresi tra W1 e W2 , la curva di utilità si trova al disotto del
segmento che unisce i punti P1 e P2 : ciò signi…ca che l’utilità attesa della
ricchezza incerta - EU (W ) - è necessariamente maggiore dell’utilità che il
1
Dove esattamente si colloca il punto P lungo quel segmento dipende evidentemente
da dove esattamente si colloca, sull’asse delle ascisse, la ricchezza attesa nell’intervallo
compreso tra W1 e W2 : E’ piuttosto intuitivo che EW risulta tanto più vicino a W1
quanto minore è 1 ; nel caso in cui 1 = 1=2, EW risulta equidistante da W1 e W2 e
quindi l’utilità attesa in questo caso sarà l’ordinata del punto di mezzo del segmento che
congiunge P1 e P2 .
7
soggetto avrebbe avendo a disposizione una ricchezza certa pari al valore
atteso della ricchezza incerta.(Si veda la …gura 2.)
In…ne, se la funzione di utilità è lineare per livelli di ricchezza compresi
tra W1 e W2 , la curva di utilità coincide con il segmento che unisce i punti P1
e P2 : ciò signi…ca che l’utilità attesa della ricchezza incerta - EU (W ) - è necessariamente uguale all’utilità che il soggetto avrebbe avendo a disposizione
una ricchezza certa pari al valore atteso della ricchezza incerta.
8
FIGURA 1: Individuo avverso al rischio
U(W)
U(EW)
EU(W)
W1
ECW EW
W2
W
Esaminando questa figura ci rendiamo conto che, se la funzione di utilità di un individuo è strettamente
concava, allora l’utilità attesa (EU(W)) di una ricchezza incerta (ricchezza incerta che può assumere
determinazioni W1 e W2 con date probabilità) è minore dell’utilità (U(EW)) che l’individuo riceve da una
ricchezza certa pari a EW (cioè al valore atteso della ricchezza incerta). Questo individuo è quindi avverso al
rischio. Per un tale individuo, l’equivalente certo (ECW) della ricchezza incerta è minore del valore atteso
della ricchezza incerta e il premio per il rischio PRW = EW-ECW è positivo (è la lunghezza del segmento
sull’asse delle ascisse compreso tra ECW ed EW).
FIGURA 2: Individuo amante del rischio
U(W)
EU(W)
U(EW)
W1
EW ECW W2
W
Esaminando questa figura ci rendiamo conto che, se la funzione di utilità di un individuo è strettamente
convessa, allora l’utilità attesa (EU(W)) di una ricchezza incerta (che può assumere determinazioni W1 e W2
con date probabilità) è maggiore dell’utilità (U(EW)) che l’individuo riceve da una ricchezza certa pari a EW
(cioè al valore atteso della ricchezza incerta). Questo individuo è quindi amante del rischio. Per un tale
individuo, l’equivalente certo (ECW) della ricchezza incerta è maggiore del valore atteso della ricchezza
incerta.

Download Report