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Appunti di Istituzioni di Analisi Superiore: distribuzioni

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Appunti di Istituzioni di Analisi Superiore:
distribuzioni
Eugenio Montefusco
1 novembre 2014
Motivazioni per considerare, funzioni generalizzate.
1 Funzioni Localmente Sommabili
Definizione. Una funzione U : Ω −→ ’ si dice localmente sommabile (o integrabile) in Ω se è misurabile secondo Lebesgue e se
Z
|u(x)|d x < +∞
∀K ⊂⊂ Ω
K
denoteremo con il simbolo L 1loc (Ω) l’insieme delle funzioni localmente sommabili in Ω.
R
Osservazione 1.1 Si noti che L 1 (Ω) ⊆ L 1loc (Ω) visto che L 1 (Ω) = {u : Ω |u(x)|d x <
+∞}. Ovviamente l’inclusione risulta essere stretta. Ad esempio sia p un polinomio non nullo a coefficienti reali, la funzione p appartiene a L 1loc (’) visto
che
Z
|p(x)|d x ≤ |K | max |p(x)| < +∞
∀K ⊂⊂ Ω
x∈K
K
ma, come è facile verificare, p ∉ L 1 (’).
Vale anche L p (Ω) ⊆ L 1loc (Ω), infatti sia u ∈ L p (Ω) e sia K ⊂⊂ Ω, allora
Z
Z
|u|p ≤ |u|p < ∞
K
Ω
Poiché |K | < ∞ si ha che L p (K ) ⊆ L 1 (K ), dall’arbitrarietà di K segue u ∈ L 1loc (Ω).
Esempio. Sia u(x) = 1/x definita q.o. in ’. Vediamo con questo esempio come
una stessa funzione possa appartenere o meno a L 1loc (Ω) a seconda della natura
di Ω come sottoinsieme di ’.
1
Infatti abbiamo che se Ω è un aperto limitato tale che 0 ∉ Ω, allora u ∈ C (Ω) da
cui u ∈ L 1 (Ω) ⊆ L 1loc (Ω).
Se Ω è un aperto limitato tale che 0 ∈ Ω allora u ∉ L 1 (Ω), d’altra parte se Ω =
(0, a), con 0 < a < ∞, allora u ∈ L 1loc (Ω), mentre se Ω = (a, b), con a < 0 < b < +∞
allora u ∉ L 1loc (Ω).
Infine se Ω = (a, +∞), con a ≥ 0, allora u ∈ L 1loc (Ω) ma u ∉ L 1 (Ω), se a < 0 la
funzione non è in L 1loc (Ω).
2 Successioni in L 1loc (Ω)
Lo studio di successioni in L 1loc (Ω) richiederebbe una struttura metrica sullo spazio di queste funzioni, in particolare l’esistenza di una norma si rivelerebbe fondamentale per il concetto di convergenza. L’apparente somiglianza con L 1 (Ω)
lascia pensare che anche L 1loc (Ω) sia uno spazio di Banach, o almeno uno spazio normato. Purtroppo questo non si verifica, è infatti possibile dimostrare che
la struttura di spazio vettoriale reale su L 1loc (Ω) non può essere dotata di una
norma, cioeè L 1loc (Ω) non è "normabile" (né tanto meno metrizzabile).
In assenza di una norma formuliamo una definizione di convergenza per successioni che non ne faccia uso.
Definizione. Siano {u k } ⊆ L 1loc (Ω) e u ∈ L 1loc (Ω). Allora u k −→ u in L 1loc (Ω) se
Z
K
|u k (x) − u(x)|d x −→ 0
per ogni K ⊂⊂ Ω.
Esempio. Sia u ∈ L 1loc (’n ) e sia {u k } ⊆ L 1 (’n ) la seguente successione di funzioni
½
u(x) |x| < k
u k (x) =
0 altrove
Verifichiamo che u k −→ u in L 1loc (’n ), cioè che
Z
K
|u k (x) − u(x)|d x −→ 0
∀K ⊂⊂ ’n
Iniziamo osservando che u k (x) −→ u(x) per ogni x ∈ ’n . Ora sia K un compatto
di ’n . Essendo K limitato ∃n 0 tale che K ⊆ B (O, n 0 ) = {x ∈ ’n : |x| < n 0 }. Dal
momento che |u k (x) − u(x)| = 0 per ogni n ≥ n 0 e per ogni x ∈ K , la successione
R
K |u k (x) − u(x)|d x è definitivamente nulla. Da questo segue la tesi.
2
Osservazione 2.1 Notiamo che dalla disuguaglianza
Z
Z
|u k (x) − u(x)|d x ≤ |u k (x) − u(x)|d x
∀K ⊂⊂ Ω
Ω
K
segue che la convergenza u k −→ u in L 1 (Ω) implica che u k −→ u anche in
L 1loc (Ω).
Supponiamo che u k −→ u in C (Ω), poiché vale anche
Z
|u k (x) − u(x)|d x ≤ |K | sup |u k (x) − u(x)|
K
x∈K
visto che la misura di K è finita, dal momento che K è un compatto di ’n . Da
ciò segue che la convergenza nella norma del estremo superiore, cioè la convergenza in C (Ω) implica la convergenza in L 1loc (Ω), precisamente
∀K ⊂⊂ Ω
u k −→ u
Utilizzando la disuguaglianza di Hölder si prova anche che se u k −→ u in L 2 (Ω)
allora u k −→ u in L 1 (K ), per ogni K ⊂⊂ Ω, cioè che u k tende a u in L 1loc (Ω).
Esempio. Consideriamo la successione di funzioni {u k } ⊆ C ∞ (’) ⊆ L 1loc (’) così definita
u k (x) = tanh(kx)
Osserviamo che |u k (x)| ≤ 1 per ogni k ∈ Ž e per ogni x ∈ ’, quindi studiamo la
convergenza puntuale. Fissando x ∈ ’ troviamo che

 −1
0
u k (x) −→ u(x) = sign(x) =

1
x <0
x =0
x >0
Dunque u ∈ L 1loc (’) (però u ∉ L 1 (’)). Per provare che u k −→ u in L 1loc (’) consideriamo K ⊂⊂ ’ ed osserviamo che
• {u k } è una successione di funzioni misurabili su K ,
• u k −→ u puntualmente in K ,
• |u k (x)| ≤ 1 in K per ogni indice k, inoltre g ≡ 1 ∈ L 1 (K ).
Per il teorema di convergenza dominata possiamo concludere che
Z
|u k (x) − u(x)|d x −→ 0
K
3
Avendo scelto K ⊂⊂ ’ qualsiasi possiamo concludere che u k −→ u in L 1loc (’).
Osserviamo che la successione in questione non converge uniformemente a u:
infatti se così fosse allora u dovrebbe essere continua essendo {u k } ⊆ C (’).
Definizione. Data φ : Ω −→ ’ consideriamo l’insieme supporto della funzione
φ, definito nel seguente modo
supp(φ) = {x ∈ Ω : φ(x) , 0}
e indichiamo con D(Ω) l’insieme delle funzioni φ ∈ C ∞ (Ω) aventi supporto compatto
D(Ω) = C 0∞ (Ω) = {φ ∈ C ∞ (Ω) : supp(φ) ⊂⊂ Ω}
D(Ω) è uno spazio vettoriale reale di dimensione infinita e i suoi elementi sono
detti funzioni test.
Osservazione 2.2 Banalmente se x ∉ supp(ϕ) allora φ(x) = 0. Il viceversa non è
vero in quanto se x ∈ ∂({x ∈ Ω : φ(x) , 0}) ⊆ supp(φ) può anche essere φ(x) = 0.
Essendo D(Ω) ⊆ L 1 (Ω) su tale spazio è possibile considerare almeno una norma,
però lo spazio che ne risulterebbe non è altro che L 1 (Ω). Quindi introduciamo
una definizione di convergenza in D(Ω) che non faccia uso di tale norma e che
induca una topologia propria dello spazio delle funzioni test.
Definizione. Se φ, φk ∈ D(Ω), allora φk −→ φ in D(Ω) se
i. ∃K ⊂⊂ Ω tale che supp(φk ) ⊆ K per ogni k ∈ Ž,
ii. sup |D α φk (x) − D α φ(x)| −→ 0 per ogni multindice α.
x∈Ω
Esempio. Sia φ ∈ D(’) una funzione non identicamente nulla, consideriamo
la successione {φk } ⊆ D(’) definita da φk (t ) = 2−k φ(t ). Tale successione converge puntualmente alla funzione identicamente nulla, inoltre
i. supp(φk ) = supp(φ) ⊂⊂ ’ per ogni k ∈ Ž,
ii. sup |φk (t )| = 2−k sup |φ(t )| −→ 0 ovvero si ha la convergenza uniforme delt ∈’
t ∈’
la successione alla funzione nulla,
iii. sup |D α φk (t )| = 2−k sup |D α φ(t )| −→ 0, per ogni multindice α.
t ∈’
t ∈’
4
Si noti che nell’esempio precedente sostituissimo la successione {2−k } con una
qualsiasi successione infinitesima si avrebbe lo stesso risultato di convergenza
appena verificato.
Esempio. Sia φ ∈ D(’) e consideriamo la successione {φk } ⊆ D(’) definita da
φk (t ) = 2−k φ(2k t ). Abbiamo
(a) supp(φk ) ⊆ supp(φ) ⊂⊂ ’ per ogni k,
(b) sup |φk (t )| = 2−k sup |φ(t )| −→ 0, ovvero converge uniformemente alla funt ∈’
zione nulla.
t ∈’
Contrariamente a quanto accadeva nell’esempio precedente, in questo caso non
si ha convergenza in D(’) alla funzione identicamente nulla, infatti
sup |φ0k (t )| = sup |φ0 (2k t )|
t ∈’
t ∈’
che in generale ha limite diverso da 0.
Definizione. Una distribuzione su Ω è un’applicazione F : D(Ω) −→ ’ tale che
i. F (λφ + µψ) = λF (φ) + µF (ψ) per ogni λ, µ ∈ ’ e per ogni φ, ψ ∈ D(Ω),
ii. Se φk −→ φ in D(Ω), allora F (φk ) −→ F (φ).
Nel seguito useremo la notazione F (φ) =< F, φ >.
Esempio. Sia u ∈ L 1loc (Ω), allora l’applicazione F : D(Ω) −→ ’ così definita
〈F, φ〉 =
Z
Ω
φ(x)u(x)d x
definisce una distribuzione su Ω. Infatti 〈F, φ〉 è un numero reale per ogni φ ∈
D(Ω), perché
¯Z
¯ ¯Z
¯
¯
¯
¯ ¯
¯ φ(x)u(x)d x ¯ = ¯
φ(x)u(x)d x ¯¯ ≤
¯
¯ ¯
Ω
supp(φ)
Z
≤
|φ(x)u(x)|d x
supp(φ)
Z
¯
¯
≤ max ¯φ(x)¯
|u(x)|d x < +∞
x∈supp(φ)
supp(φ)
in quanto u ∈ L 1loc (Ω) e supp(φ) ⊂⊂ Ω. Inoltre F è lineare per la linearità dell’integrale. La continuità di F segue dalla seguente osservazione. Supponiamo che
5
φk −→ φ in D(Ω), quindi per ipotesi esiste K ⊂⊂ Ω tale che supp(φk ) ⊂ K e anche
φ è a supporto compatto, quindi esiste un compatto K˜ tale che supp(φk −φ) ⊆ K˜
e vale
¯Z
¯ Z
¯
¯ ¯
¯
¯〈F, φk 〉 − 〈F, φ〉¯ = ¯ (φk − φ)(x)u(x)d x ¯ ≤ |(φk − φ)(x)|u(x)|d x
¯
¯
Ω
K˜
µZ
¶
¯
¯
¯
¯
≤ sup φk (x) − φ(x)
|u(x)|d x −→ 0
K˜
x∈Ω
in quanto, per ipotesi, φk converge uniformemente a φ.
Nel seguito una tale distribuzione, indotta da una funzione localmente sommabile, verrà indicata con la notazione J (u), per ogni u ∈ L 1loc (Ω).
Definizione. Una distribuzione F su Ω è detta semplice se F = J (u) per qualche
u ∈ L 1loc (Ω).
Quindi ad ogni funzione u ∈ L 1loc (Ω) è possibile associare una distribuzione su Ω
ovvero abbiamo definito la seguente applicazione
J : L 1loc (Ω) −→ D 0 (Ω)
dove con D 0 (Ω) abbiamo indicato l’insieme delle distribuzioni su Ω. Grazie a
questa applicazione potremo identificare le funzioni localmente sommabili con
un sottospazio dello spazio delle distribuzioni. Ora siamo pronti a definire una
nozione di convergenza in D 0 (Ω).
Definizione. Siano F k , F ∈ D 0 (Ω), diremo che F k −→ F in D 0 (Ω) se e solo se
〈F k , φ〉 −→ 〈F, φ〉
∀φ ∈ D(Ω)
Osservazione 2.3 Sia {F k } ⊆ D 0 (Ω) una successione di distribuzioni semplici su
Ω, cioè tali che
Z
〈F k , φ〉 =
Ω
u k (x)φ(x)dx
con {u k } ⊆ L 1loc (Ω). Supponiamo che u k −→ u nello spazio delle funzioni localmente sommabili e sia F = J (u). Allora per φ ∈ D(Ω) si ha che
¯Z
¯ Z
¯
¯
|〈F k , φ〉 − 〈F, φ〉| = ¯¯ (u k − u)(x)φ(x)dx ¯¯ ≤
|φ(x)ku k (x) − u(x)|dx
Ω
supp(φ)
µZ
¶
≤ max |φ(x)|
|u k (x) − u(x)|dx −→ 0
x∈supp(φ)
supp(φ)
ovvero F k −→ F in D 0 (Ω). Il calcolo precedente prova anche che l’applicazione J
è sequenzialmente continua (cioè continua per successioni).
6
Mostriamo ora che l’appicazione J : L 1loc (Ω) −→ D 0 (Ω) è iniettiva. Cominciamo
premettendo un utile risultato tecnico.
lem:urison
Lemma 2.4 (Urysohn) Sia X spazio topologico normale e siano E , F ⊆ X due
chiusi disgiunti. Allora esiste f : X −→ [−1, 1] continua tale che E ⊆ f −1 (−1) e
F ⊆ f −1 (1).
Si noti che nell’enunciato originale del lemma il codominio di f è l’intervallo
I = [0, 1] e f |E = 0. Inoltre la funzione f che si costruisce risulta avere supporto
compatto in X .
lem:dubois
Lemma 2.5 (Dubois-Reymond) J : L 1loc (Ω) −→ D 0 (Ω) è un’applicazione iniettiva.
Dimostrazione. Sia u ∈ L 1 (’n ) tale che
Z
J (u)(φ) =
φ(x)u(x)dx = 0
∀φ ∈ D(’n )
’n
Consideriamo il mollificatore {ρ j }. Per le proprietà dei mollificatori si ha che
la successione {ρ j } è un’approssimante dell’unità, inoltre {ρ j } ⊆ D(’n ). Allora
definiamo
u j := u ∗ ρ j
∀j ∈ Ž
Essendo u, ρ j ∈ L 1 (’n ) per il teorema di Young {u j } ⊆ L 1 (’n ) e per le proprietà
del prodotto di convoluzione
in L 1 (’n )
u j −→ u
D’altra parte per ipotesi
Z
u(y)ρ j (x − y)dy = 0
u j (x) =
’n
∀x ∈ ’n , ∀ j ∈ Ž
Quindi u j ≡ 0 per j ∈ Ž e in conclusione u = 0 q.o.in ’n .
Possiamo provare il risultato in maniera differente. Sia ora u ∈ L 1 (Ω) ⊆ L 1loc (Ω)
tale che
Z
〈J (u), φ〉 = φ(x)u(x)dx = 0
∀φ ∈ D(Ω)
Ω
Consideriamo u ∈ L (’ ) ponendo u(x) = 0 per ogni x ∈ ’n\Ω. Come visto sopra
abbiamo che
u j = u ∗ ρ j −→ u
in L 1 (’n )
1
n
dunque
in L 1 (Ω)
u j −→ u
7
Sia x ∈ Ω fissato e sia η k (y) = ρ j (x − y), con y ∈ ’n . Vale che η n ∈ D(’n ) e
supp(η j ) = {y ∈ ’n : |x − y| ≤ 1/ j }. Essendo Ω aperto, per j abbastanza grande
supp(η j ) ⊆ Ω, cioè η j ∈ D(Ω), o meglio
Z
u j (x) =
Ω
u(y)ρ j (x − y)d y = 0
per j À 1
Quindi abbiamo che u j −→ 0 q.o. in Ω, ovvero u = 0 q.o. in Ω per l’unicità del
limite e per il fatto che convergenza in L 1 (Ω) implica la convergenza q.o. a meno
di sottosuccessioni.
Adeso sia Ω tale che |Ω| < ∞ e sia u ∈ L 1 (Ω) ⊆ L 1loc (Ω) tale che
Z
J (u)(φ) =
Ω
φ(x)u(x)d x = 0
∀φ ∈ D(Ω)
Per dimostrare che u = 0 q.o. in Ω dimostriamo che kukL 1 = 0.
Sia ε > 0 fissato. Per i teoremi di densità esiste u 1 ∈ C c (Ω) tale che ku − u 1 kL 1 < ε.
Essendo
kuk1 ≤ ku − u 1 k1 + ku 1 k1 < ε + ku 1 k1
dobbiamo stimare ku 1 k1 . Sia φ ∈ D(Ω) qualsiasi, allora
¯ Z
¯Z
Z
¯
¯
¯ φ(x)u 1 (x)d x ¯ ≤ |((u 1 − u + u)φ)(x)|d x = |(u 1 − u)(x)kφ(x)|d x
¯
¯
Ω
Ω
Ω
µ
¶
≤ max |φ(x)| ku − u 1 k1 < εkφk∞
x∈Ω
Siano
K 1 = {x ∈ Ω : u 1 (x) ≥ ε}
K 2 = {x ∈ Ω : u 1 (x) ≤ ε}
lem:urison
due compatti (e dunque chiusi) disgiunti. Per il lemma 2.4 esiste ψ0 ∈ C c (Ω) tale
che
½
1
x ∈ K1
ψ0 (x) =
−1 x ∈ K 2
e tale che |ψ0 (x)| ≤ 1 per ogni x ∈ Ω. Sappiamo anche che D(Ω) è denso in
C c (Ω) ⊆ L 1 (Ω) e dunque esiste φ0 ∈ D(Ω) tale che
kφ0 − ψ0 k1 < ε
Sia K = K 1 ∪ K 2 , allora
Z
Z
Z
Z
|u 1 | = |u 1 ψ0 | ≤ |u 1 ψ0 |+
K
K
Ω
Ω\K
|u 1 ψ0 | ≤
8
Z
Ω
Z
Z
|u 1 kψ0 −φ0 |+ |φ0 |+
Ω
Ω\K
|u 1 ψ0 |
≤ εku 1 k∞ + εkφ0 k∞ +
Di conseguenza
Z
Z
ku 1 k1 = |u 1 | =
Ω
Ω\K
Ω\K
Z
Z
|u 1 | +
Z
K
|u 1 | ≤ 2
Ω\K
|u 1 |
|u 1 | + εku 1 k∞ + εkφ0 k∞
≤ 2ε|Ω| + εku 1 k∞ + εkφ0 k∞
In conclusione
kukL 1 ≤ ε + 2ε|Ω| + εku 1 k∞ + εkφ0 k∞
e la tesi segue dall’arbitrarietà di ε.
S
Siano Ω qualsiasi e u ∈ L 1loc (Ω). Scriviamo Ω = n Ωk con Ωk aperto, Ωk ⊆ Ω
compatto (e in particolare |Ωk | < ∞). Ad esempio possiamo prendere
Ωk = {x ∈ Ω : dist(x, Ωc ) > 1/k, |x| < k}
Essendo u ∈ L 1 (Ωn ) per il ragionamento precedente vale u = 0 q.o. su Ωk da cui
si ha la tesi.
lem:dubois
Osservazione 2.6 Grazie al lemma 2.5 ogni funzione u ∈ L 1loc (Ω) può essere identificata con una distribuzione su Ω, cioè
L 1loc (Ω) ⊆ D 0 (Ω)
Mostriamo con un controesempio che J non è suriettiva, in simboli
D 0 (Ω)\L 1loc (Ω) , ;
Esempio. Per ogni x ∈ Ω consideriamo
δx : D(Ω) −→ ’
φ 7−→ φ(x)
osserviamo subito che δx (φ) ∈ ’ per ogni φ ∈ D(Ω). La linearità dell’applicazione segue facilmente, infatti
δx (λφ + µψ) = (λφ + µψ)(x) = λφ(x) + µψ(x) = λδx (φ) + µδx (ψ)
9
per ogni λ, µ ∈ ’ e per ogni φ, ψ ∈ D(Ω).
Proviamo la continuità dell’applicazione δx . Supponiamo φk −→ φ in D(Ω), in
particolare abbiamo convergenza uniforme (e quindi convergenza puntuale) di
φk a φ cioè abbiamo che
δx (φk ) = φk (x) −→ φ(x) = δx (φ)
La distribuzione δx è nota come delta o massa di Dirac nel punto x.
Esempio. Possiamo verificare, in maniera del tutto analoga, che l’applicazione
su D(’) definita come segue
〈δ0 , φ〉 = φ0 (O)
è una distribuzione, detta distribuzione di dipolo centrata nell’origine.
3 Delta di Dirac
Verifichiamo che la massa di Dirac in x = O, non è una distribuzione semplice
R
o, equivalentemente, che non esiste f ∈ L 1loc (Ω) tale che 〈δO , φ〉 = Ω f φd x per
ogni φ ∈ D(Ω).
R
Supponiamo per assurdo che esista una tale f , ovvero che φ(0) = 〈δO , φ〉 = Ω f φd x.
Per φ ∈ D(Ω) poniamo ψ(x) = |x|2 φ(x) e ovviamente ψ ∈ D(Ω) ⊆ L 1loc (Ω). Allora
0 = ψ(0) = 〈δO , ψ〉 =
Z
Ω
f (x)|x|2 φ(x)d x
∀φ ∈ D(Ω)
lem:dubois
Per il lemma 2.5 deve necessariamente essere |x|2 f (x) = 0 q.o. in Ω e dunque
f = 0 q.o., il che implica φ(O) =< δO , φ >= 0 per ogni φ ∈ D(Ω) giungendo ad
una contraddizione.
Definizione. Si noti che per verificare la continuità delle distribuzioni negli
esempi precedenti abbiamo sfruttato soltanto la convergenza uniforme di φk
a φ in Ω, quindi diremo che queste due distribuzioni hanno grado 0. In generale possiamo introdurre il seguente concetto, diremo che F ∈ D 0 (Ω) è una
distribuzione di ordine N se esiste una costante reale C > 0 tale che
¯
¯
¯〈F, φ〉¯ ≤ C kφk
CN
per ogni φ ∈ D(Ω).
10
Osservazione 3.1 Grazie al teorema di convergenza dominata la convergenza
puntuale quasi ovunque, accompagnata da opportune maggiorazioni, implica
la convergenza in L 1loc , la quale implica la convergenza in D 0 . Dunque se si conosce la funzione limite u (rispetto alla convergenza q.o.) si può verificare se u
è limite (nel senso di L 1loc ) o meno. Se cosí non fosse avremmo il sospetto che il
limite nel senso delle distribuzioni sia diverso da u: infatti bisogna ricordare che
il limite q.o. di una successione e quello nel senso delle distribuzioni possono
esistere entrambi e non coincidere.
Esempio. Definiamo B k = B (O, 1/k) = {x ∈ ’n : |x| ≤ 1/k} e consideriamo la
successione {F k } ⊆ D 0 (’n ) definita come segue
Z
1
〈F k , φ〉 =
φ(x)d x
∀φ ∈ D(’n )
|B k | B k
Per il teorema della media per ogni k esiste x k ∈ B k tale che < F k , φ >= φ(x k ).
Inoltre x k −→ 0 e essendo φ continua 〈F k , φ〉 −→ φ(0) = 〈δ0 , φ〉 ovvero F k −→ δ0
in D 0 (Ω).
Osserviamo che le distribuzioni della successione sono semplici (e quindi di
ordine nullo) dato che
Z
1
〈F k , φ〉 =
χB (x)φ(x)d x
|B k | ’n k
mentre la distribuzione limite non è semplice. Inoltre vale che
1
χB ∈ L 1loc (’n )
|B k | k
però la successione non converge in L 1loc (’n ) mentre quanto appena visto mostra che la stessa successione considerata come successione di distribuzioni converge in D 0 (’n ).
Esempio. Vediamo un altro modo di approssimare la distribuzione δ0 ∈ D 0 (’n ).
Definiamo
½
2
2
c k e −1/(1−k |x| ) |x| < 1/k
ωk (x) =
0
|x| ≥ 1/k
Z
dove c k > 0 è tale che
ωk (x)d x = 1.
’n
Consideriamo le distribuzioni F k = J (ωk ), se φ ∈ D(’n ) vale
¯Z
¯
¯
¯
¯
ωk (x)(φ(x) − φ(0))d x ¯¯
|〈F k , φ〉 − 〈δ0 , φ〉| = ¯
n
’
Z
≤
|ωk (x)||φ(x) − φ(0)| ≤ max |φ(x) − φ(0)| −→ 0
x∈B k
Bk
11
dove il limite finale segue applicando il teorema di Lagrange.
In conclusione la distribuzione δ0 ∈ D 0 (Ω) è singolare, cioè non esiste f ∈ L 1loc (Ω)
R
tale che < δ0 , φ >= Ω f φd x, per ogni φ ∈ D(Ω). inoltre abbiamo visto che ha
ordine 0.
Osservazione 3.2 Mostriamo ora con un esempio che la convergenza nel senso
delle distribuzioni non implica quella q.o.. A tal fine, sia u k = sin(kx), x ∈ ’, u k
non converge q.o. su ’ ma converge in D 0 (’)
¯+∞ Z +∞
Z +∞
¯
1
1
sin(kx)φ(x)d x = − cos(kx)φ(x)¯¯
cos(kx)φ0 (x)d x
+
k
−∞
−∞ k
−∞
Il primo termine a secondo membro è nullo perché φ ∈ D(’), il secondo termine soddisfa le ipotesi del teorema della convergenza dominata quindi
sin(kx) −→ 0
in D 0 (’)
Sia v ∈ L 1loc (’) ed ε > 0. Consideriamo
½
u ε (x, y) :=
Per ogni φ ∈ D(’2 ) si ha
Ï
Z
u ε (x, y)φ(x, y)d xd y =
v(x)/2ε se |y| ≤ ε
0
se |y| > ε
+∞ Z +∞
1
v(x)χ[−ε,ε] (y)φ(x, y)d xd y
−∞ −∞ 2ε
Z
Z
Z
1 +ε
1 +ε +∞
v(x)φ(x, y)d xd y =
V (y)d y
=
2ε −ε −∞
2ε −ε
’2
Z
avendo posto V (y) =
+∞
v(x)φ(x, y)d x.
−∞
Poiché V (y) è una funzione continua, per il teorema della media integrale esiste
un y ε ∈ [−ε, ε] tale che
Z
1 +ε
V (y)d y = V (y ε )
2ε −ε
da cui
lim V (y ε ) = V (0)
ε−→0
In conclusione, abbiamo dimostrato il seguente risultato:
Ï
Z +∞
lim
u ε (x, y)φ(x, y)d xd y =
v(x)φ(x, 0)d x
ε−→0
’2
−∞
12
∀φ ∈ D(’2 )
L’ultimo integrale è una distribuzione sulla retta {y = 0} ed è chiamata massa di
Dirac concentrata sull’asse x con densità v.
Osservazione 3.3 Più in generale è possibile definire una massa di Dirac concentrata su una qualunque retta o curva di ’2 .
4 Derivate distribuzionali
Per definire la derivata di una distribuzione partiamo dal seguente importante
risultato, noto come teorema della divergenza (o di Gauss-Green).
Sia Ω un aperto di ’n e supponiamo che ∂Ω ∈ C 1 (esistono quindi sia il versore
tangente che il versore normale a ∂Ω). Allora se F è un campo vettoriale di classe
C 1 (Ω, ’n ), si ha
Z
Z
Ω
divF (x)d x =
∂Ω
F (x) · ν(x)d σ
n ∂F
X
i
(x).
∂x
i
i =1
Tale teorema ha come importante conseguenza la seguente formula di integrazione per parti. Se u ∈ C 1 (Ω) e φ ∈ D(Ω) per il teorema della divergenza si
ha
Z
Z
Z
Z
∂u
∂φ
∂φ
φd x = − u
dx +
uφνi d σ = − u
dx
i = 1, . . . , n
Ω ∂x i
Ω ∂x i
∂Ω
Ω ∂x i
con ν(x) versore normale esterno ad Ω e divF = ∇ · F (x) =
visto che φ ha supporto compatto in Ω e
µ
¶
µ
¶
∂(uφ)
∂u
∂φ
div(uφ) =
=
φ+u
∂x i i =1,...,n
∂x i
∂x i i =1,...,n
Sia ora u ∈ L 1loc (Ω) e consideriamo la seguente distribuzione regolare
F = J (u) : φ −→
Z
Ω
uφd x
Definizione. La derivata parziale i -sima nel senso delle distribuzioni di F è la
distribuzione D xi F definita come segue
〈D xi F, φ〉 = −
Z
13
Ω
u
∂φ
dx
∂x i
Osservazione 4.1 D xi F è una distribuzione perché è lineare e continua rispetto
alle successioni convergenti in D(Ω).
Definizione. Sia F ∈ D 0 (Ω), possiamo definire G = D α F (derivata di ordine α
su F ) se
〈G, φ〉 = (−1)|α| 〈F, D α φ〉
∀φ ∈ D(Ω)
con α multindice (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Žn e |α| = (α1 + · · · + αn ).
5 Proprietà delle derivate distribuzionali
Proposizione 5.1 L’operazione di derivazione nel senso delle distribuzioni è un’applicazione lineare, cioè dati F,G ∈ D 0 (Ω), φ ∈ D(Ω) e λ, µ ∈ ’ allora
〈D α (λF + µG), φ〉 = λ〈D α F, φ〉 + µ〈D αG, φ〉
Dimostrazione. L’affermazione segue facilmente osservando che
〈D α (λF + µG), φ〉 = (−1)|α| 〈λF + µG, D α φ〉
= (−1)|α| λ〈F, D α φ〉 + (−1)|α| µ〈G, D α φ〉
= λ〈D α F, φ〉 + µ〈D αG, φ〉
Proposizione 5.2 L’operazione di derivazione nel senso delle distribuzioni è un’applicazione continua in D 0 (Ω), cioè se {F k } è una successione di distribuzioni tale
che F k −→ F ∈ D 0 (Ω), allora per ogni multindice α vale
D α F k −→ D α F
in D 0 (Ω)
Dimostrazione. A causa della linearità possiamo supporre, senza perdita di
generalità, che F = 0 e provare che D α F k −→ 0 per ogni α, infatti abbiamo
〈D α F k , φ〉 = (−1)|α| 〈F k , D α φ〉 −→ 0
14
Proposizione 5.3 (Teorema di Schwarz) L’operazione di derivazione nel senso delle distribuzioni è un’applicazione commutativa, cioè per ogni coppia di multindici α, β vale
〈D α (D β F ), φ〉 = 〈D β (D α F ), φ〉
∀φ ∈ D(Ω)
Dimostrazione. Iniziamo calcolando il secondo membro
〈D β (D α F ), φ〉 = (−1)|β| 〈D α F, D β φ〉 = (−1)|β| (−1)|α| 〈F, D α (D β φ)〉
= (−1)|α+β| 〈F, D α+β φ〉 = 〈D α+β F, φ〉
dove abbiamo sfruttato il fatto che |α| + |β| = |α + β|. Invertendo i ruoli di α e β e
ripetendo il ragionamento otteniamo che
〈D α (D β F ), φ〉 = 〈D α+β F, φ〉
da cui segue la tesi.
Proposizione 5.4 (Regola di Leibniz) Sia a ∈ C ∞ e F ∈ D 0 (Ω), allora per ogni
multindice α vale
µ ¶
X α
α
D (aF ) =
D β aD α−β F.
β
β≤α
Dimostrazione. Sottolineiamo subito che non stiamo considerando il prodotto di due distribuzioni ma quello di una distribuzione per una funzione di classe C ∞ . Per definizione < aF, φ >=< F, aφ >, per ogni φ ∈ D(Ω), e si noti che il
prodotto aφ è ancora una funzione in D(Ω).
Grazie al principio di induzione possiamo limitarci a provare la formula nel caso
|α| = 1, quindi
∂φ
∂φ
〈D xi (aF ), φ〉 = −〈aF,
〉 = −〈F, a
〉
∂x i
∂x i
Ricordando che
∂
∂a
∂φ
(aφ) =
φ+a
∂x i
∂x i
∂x i
otteniamo
−〈F, a
∂φ
∂(aφ)
∂a
∂(aφ)
∂a
〉 = −〈F,
−φ
〉 = −〈F,
〉 + 〈F, φ
〉
∂x i
∂x i
∂x i
∂x i
∂x i
∂a
∂a
= 〈aD xi (F ), φ〉 + 〈
F, φ〉 = 〈aD xi (F ) +
F, φ〉
∂x i
∂x i
15
6 La distribuzione Valore Principale
Ricordiamo che la funzione u(x) = 1/x definita q.o. su ’ non è L 1loc (’), quindi
l’applicazione
Z
φ(x)
φ 7−→
dx
φ ∈ D(’)
’ x
non è una distribuzione visto che non è garantita né la buona positura (tanto meno la continuità) del funzionale. Possiamo però considerare le seguenti
distribuzioni regolari
Z
φ(x)
Iε =
dx
|x|>ε x
per ε > 0. Cosa succede quando ε −→ 0?
Z +∞
Z ε
Z +∞
φ(x)
φ(x)
φ(−y)
φ(x)
dx +
dx = −
dy +
x
x
−∞ x
ε
+∞ −y
ε
Z +∞
Z +∞
Z +∞
φ(−y)
φ(x)
φ(x) − φ(−x)
=−
dy +
dx =
dx
y
x
x
ε
ε
ε
Z
−ε
Iε =
Dal teorema di Lagrange sappiamo che
¯
¯
¯ φ(x) − φ(−x) ¯
¯
¯ = 2φ0 (ξ) ≤ 2kφ0 k∞
¯
¯
x
Adesso mostriamo che
Z
lim
ε−→0 ε
+∞
φ(x) − φ(−x)
dx
x
è una quantità finita. Infatti, si ha che
¯ Z n¯
¯Z +∞
¯
Z n
¯ φ(x) − φ(−x) ¯
¯
φ(x) − φ(−x) ¯¯
¯
¯
¯
kφ0 k∞ d x
d x¯ ≤
¯
¯
¯dx ≤ 2
x
x
ε
ε
ε
=2(N − ε)kφ0 k∞ −→ 2N kφ0 k∞ < ∞
avendo indicato con [−N , N ] il supporto della generica funzione φ ∈ D(’). In
conclusione abbiamo provato che la definizione
µ ¶
Z
φ(x)
1
lim
d x = 〈PV
, φ〉
∀φ ∈ D(Ω)
ε−→0 |x|>ε x
x
è sensata. Adesso proviamo che PV (1/x) è una distribuzione singolare.
Prima di tutto verifichiamo che PV (1/x) è una distribuzione. La linearità è ovvia,
per la continuità, poiché PV (1/x) è un funzionale lineare su D(’), come al solito
16
basta verificare la sua continuità in 0. Supponiamo quindi che φk −→ 0 in D(’)
e verifichiamo che
µ ¶
µ ¶
1
1
〈PV
, φk 〉 −→ 〈PV
, 0〉 = 0
x
x
Si ha che
¯ ¯Z 1
¯
¯
µ ¶
Z +∞
¯ ¯
¯
φk (x) − φk (−x) ¯¯
φk (x) − φk (−x)
¯〈PV 1 , φk 〉¯ = ¯
dx +
d x¯
¯ ¯
¯
x
x
x
1
0
¯
¯
¯ Z +∞ ¯
Z 1¯
¯ φk (x) − φk (−x) ¯
φk (x) − φk (−x)¯
¯
d x ¯¯ +
x
dx
≤
¯
x
x2
1
0
Z +∞
1
≤ 2kφ0k k∞ + 2xkφk k∞
d x = 2kφ0k k∞ + 2xkφk k∞ −→ 0
x2
1
per l’ipotesi sulle φk . La verifica del fatto che la distribuzione è singolare è analoga a quella per la delta di Dirac e quindi verrà lasciata al lettore...
Osservazione 6.1 Abbiamo visto che ogni distribuzione è dotata di derivata parziale di qualsiasi ordine, ovviamente le derivate parziali sono da intendersi nel
senso delle distribuzioni. Però è possibile dimostrare che se F ∈ D 0 (Ω) è indotta da una funzione di classe C k (Ω) allora la distribuzione D α F è indotta dalla
∂|α| F
funzione
, cioè dalla derivata nel senso classico del termine.
∂x α
Esempio. Sia u(x) = |x|, osserviamo anzitutto che u ∈ L 1loc (’), inoltre vale
Z
’
uφ0 =
=
Z
0
−xφ0 +
−∞
Z +∞
−∞
+∞
Z
0
¯0
xφ0 = − xφ¯−∞ +
0
Z
−∞
¯+∞
φ + xφ¯0 −
+∞
Z
0
φ
φ(−sign(x))
quindi abbiamo provato che |x|0 = sign(x) nel senso delle distribuzioni.
Esempio. Sia u(x) = x in questo caso
Z
Z
Z
0
0
uφ = xφ = −
’
’
+∞
−∞
φ.
La derivata distribuzionale prima di x è quindi 1, cioè la derivata prima in senso
classico di x.
Esempio. Sia u(x) = sign(x), allora abbiamo che
Z
Z 0
Z +∞
Z 0
Z
0
0
0
0
sign(x)φ =
−φ +
φ =−
φ +
’
−∞
0
−∞
17
+∞
0
φ0 = −2φ(0).
Di conseguenza la derivata distribuzionale prima della funzione segno è 2δ0 .
Esempio. Sia
½
H (x) =
0
1
x <0
x ≥0
la funzione di Heaviside, allora si ha
Z
Z +∞
H φ0 =
φ0 = −φ(0) = −δ0 .
’
0
Quindi nel senso delle distribuzioni vale
H 0 (x) = δ0 .
Esempio. Sia δ la delta di Dirac centrata nell’origine O ∈ ’, allora abbiamo che
〈D x δ, φ〉 = −〈δ, D x φ〉 = −φ0 (O)
Quindi nel senso delle distribuzioni vale
0
D x δ = δO
7 Convoluzioni e distribuzioni
A questo punto siamo pronti ad introdurre alcune importanti operazioni nello
spazio delle distribuzioni che ci permetteranno di definire convoluzione trasformata di Fourier in opportuni sottospazi di D 0 .
Se α è un multiindice diremo che
|α| = α1 + α2 + · · · + αn
α! = α1 !α2 ! . . . αn !
α
α
α
x α = x1 1 x2 2 . . . xn n
Adesso possiamo ricordare o introdurre qualche definizione
©
ª
D(Ω) = φ ∈ C ∞ (Ω) : supp(φ) ⊂⊂ Ω
¯
¯
n
o
¯
¯
S (Ω) = φ ∈ C ∞ (Ω) : ¯x β D α φ(x)¯ −→ 0 per |x| −→ +∞
©
ª
E (Ω) = ψ ∈ C ∞ (Ω)
in particolare S è detto spazio di Schwartz o delle funzioni rapidamente decrescenti. È possibile mostrare che le seguenti inclusioni sono tutte strette e dense
D(Ω) ⊆ S (Ω) ⊆ E (Ω)
18
il che implica che i rispettivi spazi duali sono inscatolati nel seguente modo
E 0 (Ω) ⊆ S 0 (Ω) ⊆ D 0 (Ω)
e sono dette, rispettivamente, distribuzioni a supporto compatto, distribuzioni
temperate o lentamente crescenti, distribuzioni (in generale). Le rispettive convergenze sono definite come segue
i. φ j −→ 0 in D(Ω) se e solo se per ogni multiindice α vale
¯
¯
∃K ⊂⊂ Ω tale che supp(φ j ) ⊆ K
e
sup ¯D α φ j (x)¯ −→ 0
x∈Ω
ii. φ j −→ 0 in S (Ω) se e solo se per ogni multiindice α, β vale
¯
¯
¯
¯
sup ¯x β D α φ j (x)¯ −→ 0
x∈Ω
iii. φ j −→ 0 in E (Ω) se e solo se per ogni multiindice α vale
¯
¯
sup ¯D α φ j (x)¯ −→ 0
per ogni K ⊂⊂ Ω
x∈K
per linearità φ j −→ φ se e solo se (φ j − φ) −→ 0.
Osservazione 7.1 Si noti che, come conseguenza della definizione, le derivate
di qualsiasi ordine sono degli operatori continui rispetto alla convergenza delle
distribuzioni.
Definizione. Sia ψ ∈ E (Ω) e L ∈ D 0 (’n ), allora possiamo definire la distribuzione ψL nel seguente modo
〈ψL, φ〉 = 〈L, ψφ〉
per ogni φ ∈ D(’n )
Definizione. Sia L ∈ D 0 (Ω) se per ω ⊂⊂ Ω vale
∀φ ∈ D 0 (ω)
〈L, φ〉 = 0
allora diremo che L = 0 in ω. A questo punto possiamo definire il supporto di
una distribuzione L come segue
[
supp(L) = ’n \ ωi
i ∈I
19
dove l’unione è da intendersi sulla collezione degli ωi su cui L è nulla.
Definizione. Sia φ ∈ D(’n ), allora possiamo definire
τh (φ)(x) = φ(x + h)
ˇ
φ(x)
= φ(−x)
e, conseguentemente, trasportare queste operazioni su una distribuzione L nel
seguente modo
〈τh (L), φ〉 = 〈L, τ−h (φ)〉
Definizione. Sia φ ∈ D(’n ) e L ∈ D 0 (’n ) allora la convoluzione (L ∗ φ) è la
funzione
ˇ
(L ∗ φ) = 〈L, τx (φ)〉
Teorema 7.2 Sia φ ∈ D(’n ) e L ∈ D 0 (’n ) allora
i. per ogni x ∈ ’n vale
τx (L ∗ φ) = τx (L) ∗ φ = L ∗ τx (φ)
ii. per ogni multiindice α vale
¡
¢
¡
¢
D α (L ∗ φ) = D α L ∗ φ = L ∗ D α φ
iii. per ogni ψ ∈ D 0 (’n ) vale
(L ∗ φ) ∗ ψ = L ∗ (φ ∗ ψ)
iv. se (L ∗ φ) = 0 per ogni φ allora L = 0 in D 0 (’n ).
Si noti che, in particolare, la tesi ii afferma che (L ∗ φ) ∈ E (’n ).
Teorema 7.3 Sia ψ ∈ E (’n ) e L ∈ E 0 (’n ) allora
τx (L ∗ φ) = τx (L) ∗ φ = L ∗ τx (φ)
¡
¢
¡
¢
D α (L ∗ φ) = D α L ∗ φ = L ∗ D α φ
20
È possibile dare una definizione di convoluzione anche tra distribuzioni, a patto
che almeno una delle due distribuzioni coinvolte abbia supporto compatto.
Definizione. Siano L, T ∈ D 0 (’n ) e supponiamo che almeno una delle due abbia supporto compatto, allora (L ∗ T ) è l’unica distribuzione caratterizzata dalle
seguenti richieste
(L ∗ T ) ∗ φ = L ∗ (T ∗ φ)
∀φ ∈ D(’n )
ˇ
〈(L ∗ T ), φ〉 = (L ∗ (T ∗ φ))(0)
Osservazione 7.4 La richiesta che almeno una delle due distribuzioni abbia supporto compatto non è aggirabile. Infatti vale che
δ0 ∗ H = δ ∗ H 0 = δ ∗ δ = δ
1 ∗ δ0 = 1 0 ∗ δ = 0
da cui segue che
1 ∗ (δ0 ∗ H ) = 1 ∗ δ = 1 , 0 = 0 ∗ H = (1 ∗ δ0 ) ∗ H
ovvero il prodotto di convoluzione non è associativo, a meno che tutte le distribuzioni coinvolte, tranne al più una, abbiano supporto compatto.
Corollario 7.5 In particolare vale
L ∗δ = δ∗L = L
e per ogni multiindice α
∀L ∈ D 0 (’n )
¡ α
¢
D δ ∗ L = D αL
Dimostrazione. Da quanto scritto prima abbiamo che
ˇ = τ−x φ(0)
ˇ = φ(−x)
ˇ
(δ ∗ φ)(x) = 〈δ, τ−x φ〉
= φ(x)
cioè δ ∗ φ = φ, da cui segue che
(δ ∗ L) ∗ φ = (L ∗ δ) ∗ φ = L ∗ (δ ∗ φ) = L ∗ φ = L ∗ 〈δ y , φ(x − y)〉(0) = L ∗ φ(x)(0)
21
8 Operatori differenziali e distribuzioni
¢0
¡
Siano a, u ∈ C ∞ (’) e poniamo L(u)(x) = − a(x)u 0 (x) . L’applicazione che ad
u associa L(u) è un operatore differenziale lineare del secondo ordine. Sia φ ∈
D(’), allora
Z
Z
¡
¢0
L(u)(x)φ(x)d x = −
a(x)u 0 (x) φ(x)d x
’
Z ’
Z
¡
¢0
= u 0 (x)a(x)φ0 (x)d x = − u(x) a(x)φ0 (x) d x
’
’
Ponendo L∗ (φ)(x) = −(a(x)φ0 (x))0 otteniamo
Z
Z
L(u(x))φ(x)d x = L∗ (φ(x))u(x)d x
’
’
Chiamiamo L∗ l’aggiunto formale di L (in questo caso L∗ agisce come L).
In generale, se definiamo
L(u(x)) = b(x)u(x) + a 0 (x)u 0 (x) + a(x)u 00 (x)
otteniamo che L∗ , L.
Osservazione 8.1 Si noti che
Z
L(u(x))φ(x)dx
’
ha senso per u ∈ C 2 (’), al contrario di
Z
L∗ (φ(x))u(x)dx
’
che ha senso appena u ∈ L 1loc (’), visto che L∗ (φ) ∈ L ∞ (’).
Definizione. Sia f ∈ L 1loc (’). Una funzione u ∈ L 1loc (’) tale che
Z
∗
’
Z
u(x)L (φ(x))d x =
f (x)φ(x)d x
’
∀φ ∈ D(’)
si chiama soluzione nel senso delle distribuzioni dell’equazione differenziale
L(u) = f
22
in ’
In generale dato un operatore differenziale della tipo
aα D α
X
L=
|α|≤m
e assegnata una distribuzione L ∈ D 0 (’n ) diremo che S è una soluzione nel senso
delle distribuzioni se
L(S) =
X
aα D α S = L
in D 0 (’n )
|α|≤m
Definizione. E ∈ D 0 (’n ) è una soluzione fondamentale di L se vale
in D 0 (’n )
L(E ) = δ
Osservazione 8.2 Supponiamo di avere un’equazione alle derivate parziali del
tipo
X
L(u(x)) =
a α D α u(x) = f (x)
x ∈ ’n
|α|≤m
e supponiamo che E sia una soluzione fondamentale, cioè
L(E ) =
aα D α E = δ
X
|α|≤m
allora consideriamo la funzione u = (E ∗ f ) e applichiamo l’operatore differenziale, ricordando le proprietà della convoluzione abbiamo che
"
#
Ã
!
X
X
X
L(u) =
a α D α (E ∗ f ) =
a α D α (E ∗ f ) =
aα D α E ∗ f = δ ∗ f = f
|α|≤m
|α|≤m
|α|≤m
quindi u è soluzione dell’equazione con dato f . Si noti che la soluzione fondamentale è unica se e soltanto se ker(L) = ; in D 0 (’n ).
Esempio. Sia x ∈ ’n e consideriamo l’operatore laplaciano
∆u(x) =
n ∂2 u
X
i =1
∂x i2
(x)
Mettiamoci in ’3 e consideriamo la funzione u(x) =
come potenziale newtoniano.
23
1
, comunemente nota
|x|
©
ª
Osserviamo subito che se B = x ∈ ’n : |x| < 1 e α > 0, allora
u(x) =
Quindi
1
∈ L p (B )
|x|α
0<α<
se e solo se
n
p
1
∈ L 1 (B ) per n = 3. Inoltre
|x|
∇u(x) = −
x
1
x
·
=− 3,
2
|x| |x|
|x|
se x , 0
e quindi ∆u(x) = 0, cioè u è armonica in ’3 \{0}.
Inoltre ricordiamo la seguente formula di Green
Z
Z
£
¤
¡
¢
u4φ − φ4u d x =
u∇φ − φ∇u · ν(x)d σ
Ω
∂Ω
Se φ ∈ D(Ω) otteniamo che
Z
Ω
∀u, φ ∈ C 2 (Ω) ∩C 1 (Ω)
£
¤
R
R
u∆φ − φ∆u d x = 0, cioè Ω u∆φ = Ω φ∆u.
Adesso torniamo alla funzione u(x) = 1/|x| e consideriamo Ω = {|x| > ε} ⊆ ’3 ,
allora vale che
Z
Z
Z
Z
φ∇u · ν = I 1,ε + I 2,ε + I 3,ε
u∇φ · ν −
φ∆u +
u∆φ =
{|x|=ε}
{|x|=ε}
{|x|>ε}
{|x|>ε}
per φ ∈ D(’3 ).
Osserviamo subito che I 1,ε = 0 perché ∆u = 0 fuori dall’origine. Stimiamo invece
I 2,ε nel seguente modo
|I 2,ε | ≤ max u max |∇φ| |{|x| = ε}| ≤
|x|=ε
|x|=ε
1
max |∇φ|4πε2 −→ 0
ε ’3
Per quanto concerne I 3,ε ragioniamo come segue, essendo |x| = ε abbiamo
∇u(x) · ν(x) = −
ε2
x x
1
=
−
·
=− 2
3
4
ε ε
ε
ε
da cui
1
4π
I 3,ε =
φ 2 dσ =
2
ε
4πε
|x|=ε
Z
Z
|x|=ε
φd σ = 4πφ(x ε ) −→ 4πφ(0)
In conclusione abbiamo ottenuto
Z
lim
u∆φ = −4πφ(0)
ε−→0 |x|>ε
24
∀φ ∈ D(’3 )
1
= −4πδ0 in ’3 nel senso delle distribuzioni. In generale, se n ≥ 3,
|x|
abbiamo che
1
∆ n−2 = −ωn δO
|x|
©
ª
dove ωn è la misura della sfera unitaria di ’n cioè di x ∈ ’n : |x| = 1 . In particolare se n = 2
∆ log(|x|) = 2πδ0
Quindi ∆
mentre se n = 1
|x|00 = 2δ0
25
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