MG_SuccSerieFunzioni

Successioni e serie di funzioni
2.1
Introduzione alle successioni di funzioni
Consideriamo la successione (xn )n0 , i cui termini sono
1, x, x2 , x3 , ..., xn , ....
Si tratta della progressione geometrica di termine iniziale 1 e ragione x, che abbiamo già studiato nel
Paragrafo 1.1.1 fissando x 5 R e facendo tendere n all’infinito. Cambiando i ruoli di x ed n, cioè fissando
n (il che significa concentrarsi su ciascun termine separatamente) e interpretando x come variabile reale,
si vede che la stessa successione è in eetti una successione di funzioni
f0 (x) , f1 (x) , f2 (x) , ...., fn (x) , ...
con
f0 (x) = 1,
f1 (x) = x,
f2 (x) = x2 ,
....,
fn (x) = xn ,
... .
(2.1)
Si badi che, a rigori, le funzioni che stiamo considerando si chiamano
f0 , f1 , f2 , ..., fn , ... ,
mentre f0 (x) , f1 (x) , f2 (x) , ...., fn (x) , ... sono i valori che esse assumono nel punto x; per evitare confusioni, d’ora in poi converrà disinguere la due scritture.
16
Ancora nel Paragrafo 1.1.1, si è ottenuto che
lim xn
n$4
;
A
A
= +4
A
A
A
A
? =1
A =0
A
A
A
A
A
= non esiste
se x > 1
se x = 1
(2.2)
se 1 < x < 1, cioè |x| < 1
se x 1.
Nel far ciò, si è ragionato così: si è fissato x 5 R e si è studiato il limite della successione numerica xn
(ossia di fn (x) con x fissato) per n $ 4, discutendo tale limite a seconda dei diversi valori a cui x
può essere fissato. Questo si può fare per una qualsiasi successione di funzioni fn : si può immaginare di
fissare il valore della variabile x e studiare il comportamento della successione numerica data dai valori
fn (x) assunti dalle funzioni fn in corrispondenza di quel punto x.
Torniamo ancora ai risultati (2.2). Secondo l’ottica appena introdotta, essi dicono che la successione
delle funzioni date da (2.1) non converge nei punti x tali che x 1 oppure x > 1, mentre converge nei
punti x tali che 1 < x 1, nei quali risulta
;
? 1 se x = 1
lim xn =
n$4
= 0 se 1 < x < 1.
(2.3)
Da qui si vede che il limite delle xn è a sua volta una funzione f del punto x, data da
;
? 1 se x = 1
f (x) =
= 0 se 1 < x < 1.
(2.4)
Anche questo è un fatto generale: nel caso in cui una successione di funzioni fn converga in più punti
(cioè la successione numerica fn (x) converga per diversi valori di x), il valore, del limite lim fn (x)
n$4
dipende dal punto x fissato, cioè, è esso stesso una funzione di x, detta funzione limite.
Nella prossima sezione, formalizziamo queste considerazioni tramite la nozione di convergenza puntuale.
2.2
Convergenza puntuale
Sia (fn )nn0 (scriveremo brevemente (fn ) se non interessa specificare il primo valore dell’indice n) una
successione di funzioni fn : D $ R definite su un dominio comune1 D R.
1 A seconda di ciò a cui si è interessati, tale dominio può anche non essere l’intero campo di esistenza comune a tutte le
fn ; così, nell’esempio del paragrafo 2.1, avremmo potuto considerare le funzioni xn solo per x > 0, nel qual caso sarebbe
stato D = (0, +") (invece che D = R) e non sarebbe stato necessario studiare il comportamento della successione nei
17
Definizione 11 (di convergenza puntuale) Diciamo che
• fn converge ad una funzione f in un punto x0 5 D se
lim fn (x0 ) = f (x0 ) ;
n$4
• fn converge puntualmente ad una funzione f su un sottoinsieme I D se fn converge
ad f in tutti i punti x 5 I, cioè se
;x 5 I (fissato), risulta
lim fn (x) = f (x) ;
n$4
(2.5)
in tal caso, scriviamo fn $ f puntualmente su I.
Osservazione 12 Si badi bene che, per definizione di limite, la (2.5) può scriversi anche
;x 5 I (fissato), risulta
lim |fn (x) f (x)| = 0,
n$4
(2.6)
in quanto lim fn (x) = f (x) equivale a lim (fn (x) f (x)) = 0, che a sua volta equivale alla (2.6).
n$4
n$4
Esempio 13 La successione di funzioni data dalle (2.1) converge puntualmente alla funzione f definita
in (2.4) sull’intervallo (1, 1] e, in particolare, converge puntualmente a zero sull’intervallo (1, 1).
La figura riporta i grafici di xn sull’intervallo [0, 1] per n = 1, 2, 3, 5, 7, 10, 20 e mostra la convergenza
nei punti x0 =
1 3
2 , 4 , 1.
In generale, per studiare la convergenza puntuale di una successione (fn ), si procede tipicamente così:
punti x $ 0.
18
• si determina l’insieme degli x 5 D per cui il limite
lim fn (x)
n$4
(x fissato)
(2.7)
esiste finito; tale insieme è detto insieme di convergenza puntuale delle fn e noi lo indicheremo
q
r
sempre con (in simboli := x 5 D : lim fn (x) esiste finito );
n$4
• per ogni x 5 si calcola (se possibile) l’eettivo valore del limite (2.7), il quale dipende in generale
da x e definisce quindi una funzione f : $ R, detta funzione limite, tale che
f (x) = lim fn (x)
n$4
per ogni x 5 (fissato).
Ovviamente le fn tendono puntualmente ad f su tutto (e su ogni suo sottoinsieme) e questo esaurisce lo
studio, perché, per definizione stessa di , non ci sono altri punti in cui fn può convergere puntualmente
all’infuori di quelli di .
Concludiamo osservando che la figura precedente mette in luce il significato grafico della convergenza
puntuale, che si può caratterizzare come segue: fn tende puntualmente ad f su I se e solo se
fissato un qualunque x0 in I, i punti di ascissa x0 sui grafici delle fn tendono al punto di
ascissa x0 sul grafico di f .
2.3
Insu!cienza della convergenza puntuale
La convergenza puntuale è una nozione che si rivela insu!ciente in diversi contesti e per diverse ragioni.
Vediamone un paio.
1 La convergenza puntuale non trasferisce necessariamente alla funzione limite proprietà anche molto
elementari delle funzioni fn , quali ad esempio la continuità, la derivabilità o l’integrabilità.
Ad esempio, concentrandosi sull’intervallo [0, 1] per comodità grafica, le funzioni fn (x) = xn risultano
di classe C 4 , ma, sullo stesso intervallo, la loro funzione limite
;
? 0 se x 5 [0, 1)
f (x) =
= 1 se x = 1
fn (x) = xn , n 0
19
f (x)
non è nemmeno continua. Analogamente, si possono fare esempi di funzioni fn integrabili che tendono
puntualmente ad una funzione limite non integrabile.
2 Supponiamo di non saper (o poter) calcolare esattamente il valore di un integrale
]
b
f (x) dx
(2.8)
a
e di volerlo quindi approssimare con una successione di integrali
]
b
fn (x) dx
(2.9)
a
più facili da calcolare (o calcolabili). Verrebbe naturalmente in mente di prendere una successione fn
che converga ad f e poi prendere gli integrali (2.9) delle fn come approssimazioni dell’integrale (2.8) di
f . Questo ragionamento sottindende però che valga la relazione
]
lim
n$4
]
b
b
fn (x) dx =
a
f (x) dx,
(2.10)
a
la quale è nota come passaggio al limite sotto il segno di integrale, in quanto si ha f (x) = lim fn (x) e
n$4
quindi la (2.10) si potrebbe scrivere
]
n$4
]
b
fn (x) dx =
lim
a
b
lim fn (x) dx.
a n$4
Ebbene, la convergenza puntuale delle fn ad f non consente in generale il passaggio al limite sotto il
segno di integrale, neanche se tutte le fn ed f sono integrabili.
Ad esempio, le funzioni fn : (0, 1) $ R, n 1, definite da
;
? n2 x + n se 0 < x 1
n
fn (x) =
= 0
se n1 < x < 1
20
tendono puntualmente alla funzione nulla su (0, 1) (v. grafico2 ) ed hanno integrali dati da
]
]
1
fn (x) dx =
0
0
1/n
2
1/n 2
2
n 2
n 1
1
1
= +n
n x + n dx = x + nx
=
2
2
2 n
n
2
0
( = area triangolo!).
Pertanto la relazione (2.10) non vale, in quanto il limite a primo membro vale 1/2, mentre l’integrale a
secondo membro vale 0 (essendo f la funzione nulla).
La ragione dell’insu!cienza della convergenza puntuale di fronte alle questioni appena descritte sta
essenzialmente nel fatto che essa non fa riferimento ad alcuna nozione di distanza tra funzioni. Infatti,
la convergenza puntuale fn $ f su un certo insieme I significa che, fissato un qualsiasi x 5 I, si ha
lim |fn (x) f (x)| = 0
n$4
e dunque l’unica nozione di distanza coinvolta è quella della distanza d (fn (x) , f (x)) = |fn (x) f (x)|
tra i valori di fn ed f nel punto x precedentemente fissato. In altri termini, i valori di fn ed f vengono
considerati punto per punto separatamente, senza tener conto dell’andamento complessivo delle fn e di
f.
Nella prossima sezione introdurremo alcune possibili nozioni di distanza tra due funzioni, che terranno
contemporaneamente conto di tutti i valori assunti dalle due funzioni. Rispetto a tali distanze, la
convergenza di una successione di funzioni fn ad una funzione f significherà, com’è naturale, che
lim d (fn , f ) = 0
n$4
(ossia si dirà che fn tende ad f se la distanza tra fn ed f tende a zero) e in questo modo tutti i valori
delle fn e di f saranno coinvolti contemporaneamente nel processo di convergenza.
2.4
Distanze tra funzioni
La nozione di distanza si basa generalmente (ma non è l’unico approccio) su una preesistente nozione di
“grandezza”: una volta stabilito un modo per valutare la grandezza di un oggetto, è ragionevole infatti
ritenere che due oggetti siano tanto più vicini quanto più è “piccola” la loro dierenza, ossia pensare alla
distanza tra due oggetti come alla “grandezza” della loro dierenza (ammesso che abbia senso parlare
di “dierenza” tra tali oggetti). Ad esempio, il valore assoluto |x| di un numero reale x può essere
2 Volendo fare il calcolo, si dovrebbe ragionare così: siccome 1 < 0, ogni x M (0, 1) fissato cade, per n abbastanza
n
1 grande, nell’intervallo n
, 1 , su cui f vale 0; ciò significa che per ogni x M (0, 1) risulta fn (x) = 0 definitivamente e quindi
lim fn (x) = 0.
n<"
21
inteso come stima della “grandezza” del numero x e la distanza standard tra due numeri reali è infatti
d (x, y) = |x y|. Analogamente, la norma nxn di un vettore x di uno spazio euclideo costituisce una
stima della “lunghezza” di x ed induce la distanza d (x, y) = nx yn, così come la distanza tra due
punti P, Q 5 Rn è data da d (P, Q) = |Q P |.
Occupiamoci allora del problema di valutare la “grandezza” di una funzione.
Quale delle due funzioni in figura ha senso ritenere più “grande”?
f1 (x)
f2 (x)
Evidentemente la risposta dipende da ciò che interessa ritenere importante: da un lato, si potrebbe dire
che f1 è più “grande” di f2 perché l’estremo superiore (che nel caso della figura è un massimo) dei valori
assunti da f1 (in valore assoluto) è maggiore di quello dei valori assunti da f2 ; d’altra parte, si potrebbe
far riferimento all’area dei trapezoidi sottesi dalle due funzioni e quindi dire che f2 è più “grande” di f1 .
Queste semplici considerazioni fanno capire come la “grandezza” di una funzione sia valutabile in
modi diversi e possono essere formalizzate introducendo le seguenti norme:
]
nf n4 := sup |f (x)|
e
x5[a,b]
nf n1 :=
a
b
|f (x)| dx.
(2.11)
La prima si legge norma indice infinito, o norma del sup, e giudica la “grandezza” di una funzione
valutando quella dei valori da essa assunti (in figura risulta nf1 n4 > nf2 n4 ); la seconda si dice norma
indice 1 e valuta l’area geometrica (cioè non con segno) del trapezoide di f (in figura risulta nf1 n1 <
nf2 n1 ). Un’altra norma di frequente utilizzo è la cosiddetta norma indice 2, o norma quadratica,
definita da3
v
]
nf n2 :=
b
2
[f (x)] dx ,
(2.12)
a
tU
in generale, si possono considerare norme indice p con p D 1 qualsiasi ponendo 8f 8p := p ab |f (x)|p dx e, sotto
opportune condizioni, si può verificare che lim 8f 8p = 8f 8" , da cui il nome della norma 8f 8" .
3 Più
p<+"
22
che discende da un prodotto scalare e della quale avremo occasione di tornare ad occuparci quando
trattaremo le serie di Fourier. Le norme indice 1 e 2 vanno anche sotto il nome di norme integrali.
Va osservato che la presenza di un intervallo compatto [a, b] nelle definizioni (2.11) e (2.12) non è
essenziale ed al suo posto si può considerare un intervallo I qualsiasi (fermo restando che gli integrali
diventano impropri quando riferiti ad intervalli illimitati). D’altra parte, se l’intervallo considerato è un
compatto [a, b] ed f è continua su [a, b], allora, per il teorema di Weierstrass, l’estremo superiore nella
norma infinito è in eetti un massimo e risulta quindi nf n4 = maxx5[a,b] |f (x)|.
A questo punto siamo pronti per presentare le distanze indotte dalle norme appena definite: si pone
d4 (f, g) := nf gn4 ,
d1 (f, g) := nf gn1
e
d2 (f, g) := nf gn2 ,
ossia
#]
d4 (f, g) = sup |f (x) g (x)|
e
dp (f, g) =
x5[a,b]
a
$1/p
b
p
|f (x) g (x)| dx
con p = 1, 2 ,
e si parla, rispettivamente, di distanza indice infinito (o del sup), distanza indice 1 e distanza
indice 2 (o quadratica). Le distanze indice 1 e 2 vanno anche sotto il nome di distanze integrali. Vale ovviamente l’osservazione già fatta prima: se f, g 5 C ([a, b]) allora è continua anche la
funzione |f (x) g (x)| e quindi risulta d4 (f, g) = maxx5[a,b] |f (x) g (x)|, ma l’intervallo [a, b] può
essere rimpiazzato, in tutte le definizioni, da un intervallo I qualsiasi.
La figura seguente mostra il significato grafico delle distanze d4 e d1 .
Osserviamo esplicitamente che:
23
• la distanza d4 (f, g) è l’estremo superiore dei cosiddetti scarti verticali tra f e g, cioè delle
lunghezze |f (x) g (x)| dei segmenti che uniscono i punti dei grafici di f e g con uguale ascissa
(nella figura f e g sono evidentemente continue e quindi d4 (f, g) = max |f (x) g (x)|);
x5[a,b]
• la distanza d1 (f, g) è data da
]
b
d1 (f, g) =
a
|f (x) g (x)| dx
e dunque, com’è ben noto, è l’area della parte di piano compresa tra i grafici di f e g;
• la distanza quadratica è ancora interpretabile come area, ma il suo significato grafico non è direttamente leggibile sui grafici di f e g; essa è
v
]
b
2
[f (x) g (x)] dx
d2 (f, g) =
a
e pertanto fornisce, a meno della radice, l’area del trapezoide sotteso dalla funzione [f (x) g (x)]2
(rappresentata in figura per le funzioni f, g della figura precedente).
Disponendo ora di diversi strumenti per valutare la distanza tra due funzioni, concludiamo ribadendo
quanto già anticipato al termine della sezione precedente. Scelta una distanza tra quelle introdotte e
fissato un intervallo I su cui calcolarla, la convergenza di una successione di funzioni fn ad una funzione
f sull’intervallo I può essere espressa in modo naturale come segue:
se n·n è una qualsiasi delle norme introdotte e d è la corrispondente distanza (cioè d (f, g) =
nf gn), entrambe calcolate su I, allora si dice che fn converge ad f su I nella norma
n·n, oppure rispetto alla distanza d, se
lim d (fn , f ) = 0,
(2.13)
lim nfn f n = 0.
(2.14)
n$4
che significa, in termini di norma,
n$4
24
Si noti che le scritture (2.13) e (2.14) non contengono l’indicazione dell’intervallo I e quindi è importante
che l’intervallo su cui si valuta la convergenza e si calcolano norme e distanze sia specificato a parte ogni
volta.
Nelle prossime due sezioni studieremo in dettaglio la convergenza in norma del sup e ci limiteremo
a dare qualche risultato sulle convergenze in norme integrali nel caso siano riferite a intervalli limitati
(rispetto a cui il caso delle convergenze integrali su intervalli illimitati presenta sostanziali dierenze).
2.4.1
Alcune precisazioni doverose.
(coming soon)
2.5
Convergenza uniforme
Si chiama convergenza uniforme la convergenza rispetto alla distanza d4 , ossia la convergenza in
norma del sup.
Più precisamente, si dà la seguente:
Definizione 14 (di convergenza uniforme) Sia (fn ) una successione di funzioni fn : D $ R definite su un dominio comune D R e sia I D un intervallo qualsiasi. Diciamo che fn converge
uniformemente ad una funzione f su I se
lim d4 (fn , f ) = 0
n$4
(con d4 calcolata su I),
(2.15)
cioè
lim nfn f n4 = 0
n$4
(con n·n4 calcolata su I),
cioè
lim sup |fn (x) f (x)| = 0.
n$4 x5I
In tal caso, scriviamo fn $ f uniformemente su I.
Osservazione 15 È immediato verificare che se fn $ f uniformemente su I, allora fn $ f uniformemente su ogni sottointervallo I 3 I; infatti, l’estremo superiore non diminuisce ingrandendo l’insieme
su cui lo si calcola e quindi risulta
0 sup |fn (x) f (x)| sup |fn (x) f (x)| ,
x5I 3
x5I
per cui lim sup |fn (x) f (x)| = 0 implica lim sup |fn (x) f (x)| = 0.
n$4 x5I
n$4 x5I 3
25
Il significato grafico della convergenza uniforme discende subito da quello della distanza infinito e si
vede bene esplicitando la (2.15): la (2.15) significa che
;% > 0 risulta d4 (fn , f ) < % definitivamente.
Ma d4 (fn , f ) < % significa che tutti gli scarti verticali tra fn ed f non superano %, ossia che il grafico
di fn si svolge tutto all’interno della striscia ottenuta traslando verticalmente il grafico di f di una
lunghezza %, in alto e in basso.
Poiché % è arbitrario e ciò deve avvenire per tutti gli n abbastanza grandi (in dipendenza di %), se ne
deduce la seguente caratterizzazione grafica della convergenza uniforme: fn tende ad f uniformemente su I se e solo se
presa una qualsiasi striscia, piccola a piacere, attorno al grafico di f , da un certo indice in
poi tutti i grafici delle fn stanno interamente dentro quella striscia (tutto, naturalmente,
sull’intervallo I).
Esempio 16 Verifichiamo che la successione geometrica fn (x) = xn , n 0, converge uniformemente
alla funzione f (x) 0 su ogni intervallo I = [0, b) con b < 1 positivo. Si tratta di far vedere che
lim nfn f n4 = 0, ossia lim nfn n4 = 0 (si ricordi che f = 0), quindi calcoliamo dapprima nfn n4
n$4
n$4
con n fissato e poi facciamo tendere n all’infinito. Si ha
nfn n4 = sup |fn (x)| = sup |xn | = sup xn
x5[0,b)
x5[0,b)
26
x5[0,b)
(il valore assoluto è inutile perché è xn 0 su [0, b)). Quindi, poiché supx5[0,b) xn = bn essendo xn
crescente su [0, b), risulta
nfn n4 = bn
per ogni n > 0.
Passando al limite e ricordando che bn $ 0 per n $ 4 perché 0 < b < 1, si ottiene allora
lim nfn n4 = lim bn = 0,
n$4
n$4
il che significa che fn $ 0 uniformemente su I = [0, b).
La stessa successione, invece, non tende uniformemente a 0 sull’intervallo I = [0, 1). Infatti, in questo
caso risulta nfn n4 = sup xn = 1n = 1 (per gli stessi motivi di prima) e quindi lim nfn n4 = 1 9= 0.
n$4
x5[0,1)
Sono tratteggiati i grafici non interamente contenuti nella striscia fissata. Nel primo caso, i grafici
delle fn si svolgono definitivamente all’interno di tale striscia (convergenza uniforme); nel secondo
(convergenza non uniforme), ogni grafico ne esce in prossimità del punto x = 1.
2
Esempio 17 Verifichiamo che la successione di funzioni definita da fn (x) = x + enx , n 1, converge
uniformemente alla funzione f (x) = x su ogni intervallo del tipo I = [a, +4) con a > 0. Si tratta di far
vedere che lim nfn f n4 = 0, quindi calcoliamo dapprima nfn f n4 con n fissato. Si ha
n$4
nfn f n4 =
sup
x5[a,+4)
|fn (x) f (x)| =
sup
2
x + enx x =
x5[a,+4)
sup
2
enx
x5[a,+4)
2
2
(il valore assoluto è inutile perché enx è sempre positivo) e si vede facilmente che la funzione enx
2
(n fissato) ha derivata negativa per x > 0. Di conseguenza enx è decrescente sull’intervallo [a, +4) e
27
pertanto, su tale intervallo, ha massimo assoluto in x = a, cioè
sup
x5[a,+4)
2
enx =
max
x5[a,+4)
2
2
enx = ena .
2
Quindi nfn f n4 = ena e dunque
2
lim nfn f n4 = lim ena = 0,
n$4
n$4
in quanto na2 $ +4 perché a2 > 0.
La stessa successione non converge invece uniformemente a f sull’intervallo I = (0, +4). Infatti, essendo
2
enx decrescente anche sull’intervallo (0, +4), in questo caso risulta
nfn f n4 =
sup
2
enx = 1
x5(0,+4)
e quindi lim nfn f n4 = 1 9= 0.
n$4
Sono tratteggiati i grafici non interamente contenuti nella striscia fissata. Nel primo caso, i grafici
delle fn si svolgono definitivamente all’interno di tale striscia (convergenza uniforme); nel secondo
(convergenza non uniforme), ogni grafico ne esce in prossimità del punto x = 0.
La proposizione seguente stabilisce il legame che intercorre tra convergenza uniforme e convergenza
puntuale.
Proposizione 18 Se fn converge uniformemente ad f su un intervallo I, allora fn converge puntualmente ad f su I.
28
Dimostrazione Per ipotesi si ha che
lim nfn f n4 = 0
( n·n4 calcolata su I)
n$4
e d’altra parte, per definizione di nfn f n4 , risulta
0 |fn (x) f (x)| nfn f n4
per ogni x 5 I.
Quindi, passando al limite, si ottiene
lim |fn (x) f (x)| = 0
n$4
per ogni x 5 I,
che significa lim fn (x) = f (x) per ogni x 5 I.
n$4
La Proposizione 18 aerma dunque che
la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale .
Attenzione! il viceversa è falso, come dimostra il seguente controesempio.
Controesempio 19 (la convergenza puntuale non implica la convergenza uniforme) I risultati
(2.3) mostrano che la successione geometrica fn (x) = xn converge puntualmente a 0 sull’intervallo [0, 1),
ma nell’Esempio 16 si è visto che tale convergenza non è uniforme.
Gli esempi 16 e 17 precedenti mostrano come lo studio della convergenza uniforme di una successione
(fn ) passi tipicamente attraverso lo studio diretto della distanza nfn f n4 e necessiti pertanto della
conoscenza preliminare della candidata funzione limite uniforme f . In quest’ottica, la Proposizione
18 fornisce il punto di partenza per tale studio; infatti, essa aerma che se I è un intervallo su cui
fn $ f uniformemente, allora I è contenuto nell’insieme di convergenza puntuale ed f coincide con la
funzione limite puntuale. Di conseguenza, per studiare la convergenza uniforme di una successione (fn )
si procede generalmente come segue (ma più avanti vedremo che lo studio della convergenza uniforme
della successione delle ridotte di una serie di funzioni può anche avvalersi di una tecnica più agevole):
q
r
• si determina l’insieme di convergenza puntuale = x 5 D : lim fn (x) esiste finito ;
n$4
• si determina (se possibile) la funzione limite
f (x) = lim fn (x)
n$4
29
per ogni x 5 (fissato);
• si studia direttamente la distanza nfn f n4 sugli intervalli I , per stabilire su quali ci sia
convergenza non solo puntuale ma anche uniforme.
Osserviamo che non ha senso cercare l’intervallo di convergenza uniforme, per l’ottima ragione che
tipicamente non esiste un intervallo massimale su cui ci sia convergenza uniforme; infatti, può facilmente
accadere che l’unione infinita di intervalli di convergenza uniforme non sia un intervallo di convergenza
uniforme, come nel caso degli Esempi 16 e 17 (xn converge uniformemente a 0 su ogni intervallo [0, b)
2
con b < 1, ma non converge uniformemente su [0, 1); x + enx converge uniformemente a x su ogni
intervallo [a, +4) con a > 0, ma non converge uniformemente su (0, +4)).
2.5.1
Teoremi di passaggio al limite
I seguenti risultati mostrano come la convergenza uniforme superi le di!coltà 1 e 2 discusse nella
Sezione 2.3.
Teorema 20 (di continuità della funzione limite) Sia (fn ) una successione di funzioni fn : D $ R
e sia I D un intervallo qualsiasi. Se valgono le seguenti ipotesi:
(i) le fn sono continue su I
(ii) fn $ f uniformemente su I,
allora f è continua su I.
Osservazione 21 Il teorema precedente fornisce anche uno strumento per provare la mancanza di convergenza uniforme; infatti, supponendo di sapere che fn $ f puntualmente su I e che le fn sono continue
su I, dal teorema segue che se f non è continua su I allora la convergenza fn $ f non è uniforme su I.
Ad esempio, la successione geometrica fn (x) = xn è costituita da funzioni continue e converge puntualmente alla funzione (2.4) sull’intervallo (1, 1], ma tale funzione limite è discontinua in x = 1 e quindi
la convergenza fn $ f non è uniforme su (1, 1] (come in eetti si sarebbe potuto concludere anche
grazie all’Osservazione 15 ed all’Esempio 16, in cui si è provato direttamente che la convergenza fn $ f
non è uniforme sul sottointervallo [0, 1)).
Teorema 22 (di passaggio al limite sotto il segno di integrale) Sia (fn ) una successione di
funzioni fn : D $ R e sia [a, b] D. Se valgono le seguenti ipotesi:
(i) le fn sono continue su I
(ii) fn $ f uniformemente su I,
30
allora f è integrabile su [a, b] e
]
]
b
b
f (x) dx = lim
a
n$4
fn (x) dx.
(2.16)
a
Dimostrazione (parziale) Ci limitiamo a dimostrare la formula (2.16), dando per assodato che f sia
integrabile su [a, b] (il che è banalmente assicurato dal Teorema 20, nel caso in cui le fn siano continue
su [a, b]). Poiché fn ed f sono integrabili su [a, b], dalle ben note proprietà dell’integrale segue
]
]
]
] b
b
b
b
0
fn (x) dx f (x) dx = [fn (x) f (x)] dx |fn (x) f (x)| dx
a
a
a
a
e, d’altra parte, per definizione di nfn f n4 , risulta
0 |fn (x) f (x)| nfn f n4
per ogni x 5 [a, b] .
Dunque, mettendo insieme, si ottiene
]
]
] b
] b
b
b
fn (x) dx f (x) dx |fn (x) f (x)| dx nfn f n4 dx = nfn f n4 (b a) .
0
a
a
a
a
Se fn $ f uniformemente su [a, b], l’ultimo termine tende a 0 e quindi risulta
]
] b
b
lim fn (x) dx f (x) dx = 0,
n$4 a
a
che è ciò che si voleva dimostrare.
Il teorema precedente è spesso espresso dicendo brevemente che la convergenza uniforme permette
di scambiare gli operatori di limite ed integrale; infatti, f è il limite delle fn e quindi la formula (2.16)
può essere riscritta come
]
]
b
lim fn (x) dx = lim
a n$4
n$4
b
fn (x) dx.
a
Teorema 23 (di passaggio al limite sotto il segno di derivata) Sia (fn ) una successione di
funzioni fn : D $ R e sia I D un intervallo qualsiasi. Se valgono le seguenti ipotesi:
(i) le fn sono di classe C 1 su I (va inteso che, se I contiene un suo estremo, in tale estremo si
considerano le derivate destre o sinistre)
(ii) fn $ f puntualmente su I
(iii) fn3 $ g uniformemente su I,
31
allora f è di classe C 1 su I e
f 3 (x) = g (x)
per ogni x 5 I.
(2.17)
Inoltre fn $ f uniformemente su I (ed ovviamente fn3 $ f 3 uniformemente su I).
Il teorema precedente è spesso espresso dicendo brevemente che la convergenza uniforme (delle
derivate) consente di scambiare gli operatori di limite e derivata; infatti, f è il limite delle fn e g è
il limite delle fn3 , per cui la formula (2.17) può essere riscritta come
3
lim fn (x) = lim fn3 (x) .
n$4
2.6
n$4
Convergenze in media e quadratica, su intervalli limitati
Avvertenza: in questa sezione ci riferiremo sempre a intervalli del tipo [a, b] (chiusi e limitati), ma tutti
i discorsi sussistono tali e quali rimpiazzando tali intervalli con un qualsiasi altro intervallo limitato del
tipo (a, b), [a, b) o (a, b].
––––––––––—
Ricordiamo che R ([a, b]) denota lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili su [a, b] nel senso di Riemann
(non generalizzato) e che quindi ogni f 5 R ([a, b]) è necessariamente limitata su [a, b] (ossia l’integrale
di f su [a, b] non è improprio).
Nel seguito supporremo sempre che sia p = 1 oppure p = 2.
Si chiama convergenza in media di ordine p la convergenza rispetto alla distanza dp , ossia la
convergenza in norma indice p. In particolare, si parla di convergenza in media (senza ulteriori
specificazioni) se p = 1 e di convergenza quadratica se p = 2.
Più precisamente, si dà la seguente:
Definizione 24 (di convergenza in media di ordine p) Sia (fn ) una successione di funzioni fn :
D $ R definite su un dominio comune D R. Diciamo che fn converge in media di ordine p ad
una funzione f su un intervallo [a, b] D se
lim dp (fn , f ) = 0
n$4
(con dp calcolata su [a, b] ),
cioè
lim nfn f np = 0
n$4
(con n·np calcolata su [a, b] ),
32
cioè 4
]
lim
n$4
a
b
p
|fn (x) f (x)| dx = 0.
In tal caso, scriviamo fn $ f in media di ordine p su [a, b].
Osservazione 25 È immediato verificare che se fn $ f in media di ordine p su [a, b], allora fn $ f in
media di ordine p su ogni sottointervallo [a3 , b3 ] [a, b]; infatti, l’integrale di funzioni non negative non
diminuisce ingrandendo l’insieme di integrazione e quindi risulta
]
0
a3
Ub
n$4 a
per cui lim
]
b3
b
p
|fn (x) f (x)| dx a
U b3
3
n$4 a
|fn (x) f (x)|p dx = 0 implica lim
|fn (x) f (x)|p dx,
|fn (x) f (x)|p dx = 0.
Esercizio 26 Verificare che la successione geometrica fn (x) = xn converge alla funzione nulla sia in
media che quadraticamente sull’intervallo [0, 1].
Esercizio 27 Verificare che la successione (analoga a quella studiata a pag. 20) definita da
;
? n3 x + n se 0 < x 1
n2
fn (x) =
,
= 0
se n12 < x < 1
n 1,
tende a 0 puntualmente ed in media su (0, 1), mentre, sullo stesso intervallo, non tende a 0 né uniformemente né quadraticamente.
Le proposizioni seguenti stabiliscono i legami che intercorrono tra le convergenze uniforme, in media
e in media quadratica. Non tratteremo invece le relazioni (tutt’altro che elementari) che sussistono tra le
convergenze integrali e la convergenza puntuale, che considereremo quindi indipendenti l’una dall’altra.
Proposizione 28 Supponiamo fn 5 R ([a, b]). Se fn $ f uniformemente su [a, b], allora fn $ f
quadraticamente su [a, b].
Dimostrazione Per ipotesi, fn converge uniformemente ad f su [a, b] e le fn sono integrabili su [a, b],
quindi f è integrabile su [a, b] (prima parte del Teorema 22) e lo stesso vale allora per la funzione
2
[fn (x) f (x)] (si ricordi che le combinazioni lineari ed i prodotti di funzioni Riemann-integrabili sono
Ub
2
Riemann-integrabili). Dunque l’integrale a [fn (x) f (x)] dx esiste. Osserviamo ora che risulta
2
2
0 [fn (x) f (x)] nfn f n4
4 la
radice contenuta in 8fn 3 f 82 è irrilevante nel limite
33
per ogni x 5 [a, b] ,
perché vale la disuguaglianza 0 |fn (x) f (x)| nfn f n4 e, trattandosi di quantità positive, la
disuguaglianza si mantiene elevando al quadrato. Sfruttando la monotonia dell’integrale, si ottene allora
]
0
b
]
2
[fn (x) f (x)] dx ]
b
nfn a
a
2
f n4 dx
= nfn 2
f n4
b
a
Ub
n$4 a
dove l’ultimo termine tende a zero per ipotesi e quindi risulta lim
2
dx = nfn f n4 (b a) ,
[fn (x) f (x)]2 dx = 0.
Proposizione 29 Siano fn , f 5 R ([a, b]). Se fn $ f quadraticamente su [a, b], allora fn $ f in media
su [a, b].
Le proposizioni precedenti mostrano sostanzialmente che
la convergenza quadratica implica la convergenza in media
e
la convergenza uniforme implica entrambe le convergenze quadratica ed in media
(perché implica quella quadratica, che implica quella in media).
Nonostante siano più deboli della convergenza uniforme, anche le convergenze integrali si comportano
bene di fronte al passaggio al limite sotto il segno di integrale. Valge infatti il seguente:
Teorema 30 Siano fn , f 5 R ([a, b]). Se fn converge in media ad f su [a, b], allora
]
]
b
b
f (x) dx = lim
a
n$4
fn (x) dx.
(2.18)
a
Se fn converge quadraticamente ad f su [a, b], allora vale la (2.18) e inoltre
]
a
b
]
[f (x)]2 dx = lim
n$4
b
[fn (x)]2 dx.
(2.19)
a
Dimostrazione (parziale) L’argomento è del tutto analogo a quello della dimostrazione del Teorema
22. Poiché fn , f 5 R ([a, b]), dalle ben note proprietà dell’integrale segue
]
]
]
] b
b
b
b
0
fn (x) dx f (x) dx = [fn (x) f (x)] dx |fn (x) f (x)| dx.
a
a
a
a
Se fn $ f in media su [a, b], allora l’ultimo termine tende a 0 e quindi, passando al limite, si trova
]
] b
b
fn (x) dx f (x) dx = 0,
lim n$4 a
a
34
che è la (2.18). Se fn $ f quadraticamente su [a, b], allora la (2.18) vale per quanto appena dimostrato,
in quanto risulta che fn $ f in media su [a, b] grazie alla Proposizione 29. Non dimostriamo la (2.19).
2.7
Serie di funzioni
Analogamente a quanto si è osservato nella Sezione 2.1 sulla successione geometrica, anche la serie
geometrica
4
[
xn = 1 + x + x2 + x3 + ... + xN + ...
n=0
può essere interpretata come serie di funzioni
4
[
fn (x) = f0 (x) + f1 (x) + f2 (x) + ... + fN (x) + ...
(2.20)
n=0
il cui termine generale è fn (x) = xn . Tale serie è già stata studiata con un approccio analogo a quello che
ha condotto alla nozione di convergenza puntuale per le successioni di funzioni: si è pensata la variabile
x 5 R come fissata e si è discusso il carattere della serie a seconda dei valori di x. Per far questo, si è
considerata la successione delle ridotte
SN (x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + xN
;
A
? N +1
=
1 xN+1
A
=
1x
se x = 1
(2.21)
se x 9= 1
e se ne è studiato il comportamento in dipendenza di x, ottenendo in particolare che essa converge se e
solo se x 5 (1, 1) e che, in tal caso, la somma della serie è essa stessa una funzione di x 5 (1, 1), data
da
S (x) = lim SN (x) =
N $4
1
.
1x
(2.22)
Rileggendo questo procedimento con il linguaggio delle successioni di funzioni, si vede che la successione
(2.21) è la successione di funzioni data dalle somme parziali
SN (x) = f0 (x) + f1 (x) + f2 (x) + ... + fN (x) =
N
[
fn (x)
n=0
della serie (2.20) e che ciò che si è studiato non è altro che la convergenza puntuale di tale successione,
ottenendo che il suo insieme di convergenza puntuale è = (1, 1) e che la sua funzione limite è
S (x) =
1
1x .
35
Tutto ciò si può fare, almeno in teoria (cf. Paragrafo 2.7.1), per una qualsiasi serie di funzioni 5
4
S
fn : si può immaginare di fissare il valore della variabile x e studiare la convergenza (o più in generale il
n=0
carattere) della serie numerica
4
S
fn (x), ossia si può studiare la convergenza puntuale della successione
n=0
N
S
di funzioni data dalle somme parziali SN = f0 + f1 + ... + fN =
fn . In caso di convergenza in più
n=0
punti, la somma
S (x) =
4
[
fn (x) = lim SN (x)
N$4
n=0
sarà essa stessa una funzione di x, che è detta funzione somma della serie e che coincide ovviamente con
la funzione limite della successione delle somme parziali SN . Queste considerazioni sono formalizzate
nel paragrafo seguente.
Nel seguito, se non specificato diversamente, sarà sottinteso che
4
S
fn è una generica serie di funzioni
n=0
fn : D $ R definite su un dominio comune6 D R e che (SN ) è la successione di funzioni data dalle
somme parziali
SN = f0 + f1 + ... + fN =
N
[
fn .
n=0
Come per le serie numeriche, il carattere di una serie di funzioni non dipende dall’indice iniziale e spesso
4
S
fn .
scriveremo brevemente
2.7.1
Convergenza puntuale
Definizione 31 (di convergenza puntuale per serie di funzioni) Diciamo che
•
4
S
fn converge ad una funzione S in un punto x0 5 D se SN $ S nel punto x0 , cioè se
n=0
4
[
fn (x0 ) = S (x0 ) ;
n=0
•
4
S
fn converge puntualmente ad una funzione S su un sottoinsieme I D se SN $ S
n=0
puntualmente su I, cioè se
;x 5 I (fissato), risulta
4
[
fn (x) = S (x) ;
n=0
5 Si ricordi che, quando possibile, conviene disinguere le due scritture f (x) ed f : f (x) è il valore che la funzione f
n
n
n
n
assume nel punto x.
6 vale l’osservazione già fatta a pag. 17
36
in tal caso, scriviamo semplicemente
4
S
fn (x) = S (x) , ;x 5 I.
n=0
Esempio 32 La serie geometrica converge puntualmente alla funzione (2.22) sull’intervallo (1, 1), ossia
4
S
1
xn = 1x
per ogni x 5 (1, 1).
n=0
Si diceva sopra che il procedimento che ha permesso lo studio della convergenza puntuale della serie
geometrica tramite lo studio di quella della sua successione di somme parziali è generale solo in teoria;
infatti, la successione delle ridotte di una serie, che si ottiene sommando via via un numero sempre
maggiore di termini della serie, ha di solito un’espressione troppo complicata e pertanto, tecnicamente,
il suo studio diretto risulta quasi sempre impraticabile. Allora, per studiare la convergenza puntuale di
4
S
una serie di funzioni
fn , si procede tipicamente così:
• si immagina x fissato e si studia il carattere della serie numerica
4
S
fn (x) attraverso i criteri di
convergenza noti, appunto, per le serie numeriche;
• si discutono i risultati ottenuti al variare di x 5 D e si determina così l’insieme di convergenza
puntuale
4
S
= x 5 D : fn (x) converge ,
su cui la serie convergerà puntualmente alla sua somma S, di solito non determinabile esplicitamente.
Siccome la presenza della variabile x fa sì che i termini fn (x) siano spesso di segno qualsiasi (si ricordi
l’esempio della serie esponenziale), nello studio della convergenza puntuale di una serie di funzioni è di
grande importanza il criterio di convergenza assoluta, tanto che, anche per le serie di funzioni, si introduce
la seguente:
Definizione 33 (di convergenza assoluta per serie di funzioni) Si dice che la serie di funzioni
4
S
fn converge assolutamente su un sottoinsieme I D se
n=0
;x 5 I (fissato), risulta
4
[
n=0
cioè se la serie numerica
4
S
|fn (x)| < +4,
fn (x) converge assolutamente per ogni x 5 I.
n=0
Esempio 34 ;x 5 R risulta
4
S
n=0
xn
n!
4
S
n=0
|x|n
n!
< +4 (criterio del rapporto) e pertanto la serie esponenziale
converge assolutamente su R.
37
Poiché la convergenza assoluta di una serie di funzioni è definita punto per punto e la convergenza
assoluta di una serie numerica implica la sua convergenza semplice, vale evidentemente che
la convergenza assoluta implica la convergenza puntuale ,
nel senso che se
4
S
fn converge assolutamente su I allora converge puntualmente su I.
Nel prossimo paragrafo estenderemo alle serie di funzioni le diverse nozioni di convergenza già definite
per le successioni e introdurremo il concetto di convergenza totale, che implicherà la convergenza assoluta
e quindi quella puntuale. Anticipiamo allora che, nello schema di studio della convergenza di una serie
di funzioni appena illustrato, conviene di solito tenere conto di tale implicazione e quindi studiare la
convergenza totale prima di quella puntuale.
2.7.2
Altre nozioni di convergenza
Poiché la convergenza puntuale
4
S
fn (x) = S (x) non è altro che la convergenza puntuale della successione
di somme parziali SN alla funzione S, essa presenta gli stessi limiti già discussi nella Sezione 2.3. È
allora importante prendere in considerazione l’eventualità che la successione di funzioni (SN ) converga
uniformemente, in media o quadraticamente. A tali situazioni si riserva la seguente
Definizione 35 Diciamo che
•
4
S
fn converge uniformemente ad una funzione S su un intervallo I D se SN $ S
n=0
uniformemente su I; in tal caso scriviamo
4
[
fn (x) = S (x) uniformemente su I;
(2.23)
n=0
•
4
S
fn converge in media ad una funzione S su un intervallo I D se SN $ S in media
n=0
su I; in tal caso scriviamo
4
[
fn = S in media su I;
(2.24)
n=0
•
4
S
fn converge quadraticamente ad una funzione S su un intervallo I D se SN $ S
n=0
quadraticamente su I; in tal caso scriviamo
4
[
fn = S quadraticamente su I.
n=0
38
(2.25)
Si badi bene che nelle scritture (2.24) e (2.25) non appare la variabile x, che invece è indicata nella
(2.23). Questo è dovuto al fatto che, per la Proposizione 18,
la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale ,
nel senso che se
4
S
fn (x) = S (x) uniformemente su I allora
4
S
fn (x) = S (x) per ogni x 5 I. In altri
termini, la scrittura (2.23) tiene anche conto del fatto che, se c’è convergenza uniforme, allora la S è
esattamente la funzione somma della serie, cioè S (x) coincide, punto per punto, con la somma della
4
S
serie numerica
fn (x) con x fissato.
Attenzione! lo stesso non vale per le convergenze in media e quadratica: la funzione S delle (2.24) e
(2.25) può dierire dalla funzione somma della serie anche in un insieme infinito di punti x 5 I (non ci
occuperemo di valutare in modo più preciso l’“entità” di tale insieme).
Si è visto nella Sezione 2.5 che lo studio della convergenza uniforme di una successione di funzioni
consiste nello studio diretto della distanza tra i termini della successione e la funzione limite. Nel caso
particolare delle serie, si tratterebbe allora di studiare la distanza nSN Sn4 , ma questo è tecnicamente
impraticabile, perché le funzioni SN hanno espressioni troppo complicate ed S non è quasi mai nota
esplicitamente. Fortunatamente, nel caso delle serie, si dispone di un criterio, dovuto a Weierstrass, che
è analogo a quello di convergenza assoluta per le serie numeriche e che passa attraverso la seguente
Definizione 36 (di convergenza totale) Si dice che la serie di funzioni
4
S
fn converge totalmente
n=0
su un intervallo I D se
4
[
nfn n4 < +4
(con n·n4 calcolata su I),
n=0
cioè se la serie
4
S
n=0
supx5I |fn (x)| (numerica a termini positivi) converge.
Teorema 37 (criterio di Weierstrass o di convergenza totale) Se
4
S
fn converge totalmente su
n=0
un intervallo I D, allora converge uniformemente e assolutamente (e quindi anche puntualmente)
sullo stesso intervallo I; inoltre la funzione somma S soddisfa
nSn4 4
[
nfn n4
(con n·n4 calcolata su I).
n=0
Il teorema precedente mostra dunque sostanzialmente che
la convergenza totale implica la convergenza sia assoluta che uniforme .
39
Attenzione! il viceversa è falso: una serie può convergere sia assolutamente che uniformemente senza
convergere totalmente, come dimostra il seguente controesempio.
Esempio 38 Vedremo che la serie
4
[
(1)
n1
n=1
xn
n
converge uniformemente a log (1 + x) sull’intervallo (0, 1) (ma non solo), su cui
4
S
tamente, come si vede facilmente applicando il criterio del rapporto alla serie
con x 5 (0, 1). D’altra parte, ponendo fn (x) = (1)n
nfn n4
xn
n ,
n=1
converge anche assolu
4
S
n1 xn xn
(1)
n =
n
n=1
risulta
n
1
1
xn
n x = sup
= sup (1)
=
sup xn = ,
n
n
n
n
x5(0,1)
x5(0,1)
x5(0,1)
quindi la serie non converge totalmente, in quanto
4
S
n=1
nfn n4 =
4
S
n=1
1
n
= +4.
Concludiamo segnalando che non esistono implicazioni generali tra la convergenza uniforme e quella
assoluta.
2.7.3
Proprietà di passaggio al limite della convergenza uniforme
I seguenti importanti risultati sono una semplice rilettura in termini di serie dei corrispondenti risultati
visti per le successioni di funzioni uniformemente convergenti.
Teorema 39 (di continuità della funzione somma) Sia I D un intervallo qualsiasi. Se valgono
le seguenti ipotesi:
(i) le fn sono continue su I
(ii)
4
S
fn (x) = S (x) uniformemente su I,
n=0
allora S è continua su I.
Teorema 40 (di integrazione termine a termine) Sia [a, b] D. Se valgono le seguenti ipotesi:
(i) le fn sono integrabili su [a, b]
(ii)
4
S
fn (x) = S (x) uniformemente su [a, b],
n=0
allora S è integrabile su [a, b] e
]
b
S (x) dx =
a
4 ]
[
n=0
40
b
fn (x) dx.
a
(2.26)
Il teorema precedente è spesso espresso dicendo brevemente che la convergenza uniforme permette di
scambiare gli operatori di serie ed integrale; infatti, S è la somma della serie delle fn e quindi la formula
(2.26) può essere riscritta come
]
4
b[
4 ]
[
fn (x) dx =
a n=0
n=0
b
fn (x) dx.
a
Teorema 41 (di derivazione termine a termine) Sia I D un intervallo qualsiasi. Se valgono le
seguenti ipotesi:
(i) le fn sono di classe C 1 su I (va inteso che, se I contiene un suo estremo, in tale estremo si
considerano le derivate destre o sinistre)
(ii)
4
S
fn (x) = S (x) per ogni x 5 I
n=0
(iii)
4
S
n=0
fn3 converge uniformemente su I,
allora S è di classe C 1 su I e
S 3 (x) =
4
[
fn3 (x) uniformemente su I.
(2.27)
n=0
Inoltre
4
S
fn (x) = S (x) uniformemente su I.
n=0
Il teorema precedente è spesso espresso dicendo brevemente che la convergenza uniforme (della serie
delle derivate) consente di scambiare gli operatori di serie e derivata; infatti, S è la somma della serie
delle fn e quindi la formula (2.27) può essere riscritta come
#
4
[
$3
fn (x)
=
n=0
4
[
n=0
41
fn3 (x) .

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