Aritmetica 2014/2015
Esercizi svolti in classe
4 Dicembre
1
Definizioni, notazione, teoremi
Da questo momento, quando non assolutamente necessario, non indicheremo in
modo esplicito l’appartenenza di un elemento ad un insieme quoziente con la
notazione .
2
Esercizi svolti in classe
1. Sia ψ : G −→ G0 un morfismo di gruppo, e G abeliano. Allora ψ(G) < G0
`e un gruppo abeliano.
Vogliamo far vedere che ∀ x, y ∈ ψ(G) xy = yx. Dato che x, y ∈ ψ(G)
esistono ripettivamente a, b ∈ G tali che psi(a) = x, ψ(b) = y. Abbiamo
xy = ψ(a)ψ(b) = ψ(ab) = ψ(ba) = ψ(b)ψ(a) = yx
2. Determinare tutti i morfismi di gruppo f : Z2 × Z3 −→ S3 .
Scegliamo di NON utilizzare che Z2 ×Z3 ' Z6 ma di procedere direttamente.
Scegliamo di NON utilizzare il fatto che h(1, 1)i = Z2 ×Z3 ma di procedere
con in due generatori canonici (1, 0), (0, 1).
Dato che
f : Z2 × Z3
(0, 1)
(1, 0)
−→
7→
7→
S3
τ
σ
Per i soliti ragionamenti sull’ordine dobbiamo avere o(τ ) | 3 e o(σ) | 2. In
pi`
u, σ e τ devono commutare, dato che entrambi appartengono a f (Z2 ×
Z3 ) < S3 che `e un sottogruppo abeliano per l’esercizio precedente. Nessun
elemento di S3 commuta se non con l’identit`a idS3 o col proprio inverso.
Dato che o(τ ) 6= o(σ), non `e possibile che τ sia l’inverso di σ a meno che
ambedue non siano idS3 , e che il morfismo sia quello banale. Quindi o σ
o τ deve essere idS3 . Abbiamo quindi due casi (abbiamo gi`a considerato
τ = σ = idS3 )
1
• τ = idS3 . Allora σ ∈ {(12), (13), (23)}. Tre casi.
• σ = idS3 . Allora τ ∈ {(123), (132)}. Due casi.
Ci sono quindi 6 morfismi, nessuno surgettivo e quindi nessuno iniettivo.
Uno `e quello banale.
3. Determinare tutti i sottogruppi di Z8 × Z12 di ordine 4.
Un gruppo finito di ordine 4 `e sicuramente abeliano e pu`o essere ciclico
(' Z4 ) o non ciclico (' Z2 ×Z2 ). In quest’ultimo caso contiene 4 elementi,
di cui uno (0, 0) di ordine 1 e tre (1, 1), (1, 0), (0, 1) di ordine 2.
Vediamo gli elementi di Z8 × Z12 di ordine 2 e 4.
Gli elementi il cui ordine divide 4 sono le soluzioni di
(
(
4a ≡ 0
(mod 8)
a≡0
4(a, b) ≡ 0 (mod 8, 12) ⇐⇒
⇐⇒
4b ≡ 0
(mod 12)
b≡0
(mod 2)
(mod 3)
ovvero le 16 coppie
(0, 0) (2, 0) (4, 0) (6, 0)
(0, 3) (2, 3) (4, 3) (6, 3)
(0, 6) (2, 6) (4, 6) (6, 6)
(0, 9) (2, 9) (4, 9) (6, 9)
Gli elementi il cui ordine divide 2 sono le soluzioni di
(
(
a≡0
2a ≡ 0
(mod 8)
⇐⇒
2(a, b) ≡ 0 (mod 8, 12) ⇐⇒
b≡0
2b ≡ 0
(mod 12)
(mod 4)
(mod 6)
ovvero le 4 coppie
(0, 0)
(0, 6)
(4, 0)
(4, 6)
Gli elementi di ordine esattamente 2 sono quindi 3, (0, 6), (4, 0), (4, 6)
Gli elementi di ordine esattamente 4 sono quindi 12,
(0, 3)
(0, 9)
(2, 0)
(6, 0)
(2, 3) (4, 3) (6, 3)
(2, 6)
(6, 6)
(2, 9) (4, 9) (6, 9)
Dato che ogni sottogruppo ciclico di ordine 4 contiene φ(4) = 2 elementi
di ordine 4 (i suoi generatori) e che i generatori di due sottogruppi ciclici
distinti sono distinti (altrimenti i sottogruppi coinciderebbero), vi sono
12
2 = 6 sottogruppi ciclici di ordine 4.
Dato che vi sono solo tre elementi di ordine 2, l’ipotesi `e che formino,
insieme con l’identit`
a (0, 0) un sottogruppo di ordine 4, W , che non sar`a
2
quindi ciclico ma isomorfo a Z2 × Z2 . Dato che stiamo trattando un
insieme finito, basta verificare la chiusura rispetto all’operazione. Se uno
degli addendi `e (0, 0) la chiusura `e ovvia. Dato che gli elementi diversi
da (0, 0) hanno ordine (additivo) 2 le somme di un elemento con se stesso
appartiene babalmente a W . Basta quindi controllare:
(0, 6) + (4, 0)
=
(4, 6) ∈ W
(0, 6) + (4, 6)
=
(4, 0) ∈ W
(4, 0) + (4, 6)
=
(0, 6) ∈ W
Quindi W = h(0, 0), (0, 6), (4, 0), (4, 6)i ' Z2 ×Z2 ed `e l’ un unico sottogruppo
non ciclico di ordine 4.
4. Determinare tutti i sottogruppi di G = Z8 × Z12 di ordine 48.
I sottogruppi di ordine 48 non possono essere ciclici, perch`e il massimo
ordine di un elemento in Z8 × Z12 `e [8, 12] = 24.
Quindi cerchiamo un sottogruppo H < G di ordine 48. Se riusciamo a
trovare un sottogruppo K < G che sia contenuto in tutti questi sottogruppi,
possiamo sfruttare la corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi di G/K e
i sottogruppi di G che contengono K per esaminare i sottogruppi di G/K,
un compito pi`
u facile dell’esame dei sottogruppi di G.
Sia H < G un generico sottogruppo di ordine 48.
o(G)
= 2, abbiamo che G/H ' Z2 . Quindi tutti gli
Dato che o(G/H) = o(H)
elementi di G/H hanno ordine 2. Scegliamo K = 2G = 2Z8 × 2Z12 =
h(2, 0), (0, 2)i. Il sottogruppo 2G `e sicuramente contenuto in H perch`e
2G = 0(G/H) =⇒ 2G < H dato che tutti gli elementi di G/H hanno
ordine 2.
Contiamo quindi i sottogruppi di
G/2G =
(Z8 × Z12 ) / (2Z8 × 2Z12 )
' (Z/8Z)/(2Z/8Z) × (Z/12Z)/(2Z/12Z)
'
(Z/2Z) × (Z/2Z)
'
Z2 × Z2
Dato che tutti gli elementi diversi da (0, 0) (che sono 3) hanno ordine due,
i sottogruppi sono i tre sottogruppi ciclici (1, 0), (0, 1), (1, 1).
Attenzione, in classe mi sono dimenticato, come spesso accade,
del sottoinsieme generato da (1, 1).
3
I sottogruppi H di G contengono 2G e sono
h(1, 0), (2, 0), (0, 2)i = h(1, 0), (0, 2)i ' Z8 × Z6
h(0, 1), (2, 0), (0, 2)i = h(0, 1), (2, 0)i ' Z4 × Z12
h(1, 1), (2, 0), (0, 2)i
' Z2 × Z4 × Z6
Quest’ultimo sottogruppo NON `e il prodotto di un sottogruppo di Z8 per
un sottogruppo di Z12 .
5. Risolvere su Q il sistema
(
x3 + 2x2 − x − 2 = 0
x5 − x3 − 2x2 + 2 = 0
Per definizione gcd(x5 − x3 − 2x2 + 2, x3 + 2x2 − x − 2) = d `e tale che
esistono f, g ∈ Q[x] tali che x3 + 2x − x − 2 = df , x5 − x3 − 2x2 + 2 = dg
e d `e il polinomio di grado pi`
u alto con questa propriet`a.
Quindi se d si annulla, si annullano anche x5 − x3 − 2x2 + 2, x3 + 2x − x − 2.
Se x5 − x3 − 2x2 + 2, x3 + 2x − x − 2 si annullano entrambi, per il teorema
di fattorizzazione unica per i polinomi razionali [cfr. teoria], x5 − x3 −
2x2 + 2, x3 + 2x2 − x − 2 hanno un fattore comune che `e proprio d.
Calcoliamo quindi gcd(x5 − x3 − 2x2 + 2, x3 + 2x2 − x − 2).
Si vede facilmente, mediante la divisione di polinomi, che
x5 − x3 − 2x2 + 2 = (x2 + x − 2)(x3 + 2x2 − x − 2) + 5x2 − 5
Quindi
(x5 −x3 −2x2 +2, x3 +2x2 −x−2) = (x3 +2x2 −x−2, 5x2 −5) = (x3 +2x2 −x−2, x2 −1)
Ricordiamo che posso sempre moltiplicare gli operandi per un elemento
invertibile dato che il gcd `e unico a meno di un elemento invertibile.
Continuando, abbiamo
x3 + 2x2 − x − 2 = (x + 2)(x2 − 1)
e quindi
gcd(x5 − x3 − 2x2 + 2, x3 + 2x2 − x − 2) = x2 − 1
e le soluzioni del sistema sono ±1.
6. Risolvere su Q[x] l’equazione diofantea [Ovvero, determinare tutte le f, g ∈
Q[x] tali che]
(x2 + 2x − 3)f + (x2 − 2)g = 2x3 − 11x + 7
4
Dato che x2 − 2 ha due radici irrazionali distinte e che x2 + 2x − 3 non ha
radici irrazionali ∆ = 4 + 12 = 16 > 0, (f, g) = 1 e quindi l’equazione ha
infinite soluzioni.
Determiniamo una soluzione particolare dell’equazione al gcd
(x2 + 2x − 3)f 0 + (x2 − 2)g 0 = 1
mediante l’algoritmo euclideo esteso
2
2
x + 2x − 3
x −2
2x − 1
=
+
1
0
1
0
1
−1
2
−7/4
2x − 1
x −2
1
1
+ −1x − 1
= ( x + )
1
0
2
4
2
4
1
5
−1
1
2x − 4
Quindi gcd(x2 + 2x − 3, x2 − 2) = − 47 , cio`e 1 a meno di un elemento
invertibile. Per avere il gcd 1 moltiplichiamo l’ultimo vettore per − 47
ottenendo
1
2x + 1
7
7
− 27 x + 45
Una soluzione particolare dell’equazione al gcd `e quindi
f0 =
2
1 0
2
5
x+
g =− x+
7
7
7
4
e una soluzione particolare dell’equazione si trova moltiplicando una soluzione
2x3 − 11x + 7
ottenendo
particolare dell’ equazione al gcd per
1
f = 4/7x4 + 2x3 − 11x + 7 g = −4/7x4 − 10/7x3 − 11x + 7
Determiniamo le soluzioni dell’equazione omogema associata
(x2 + 2x − 3)f 00 + (x2 − 2)g 00 = 0
Dato che gcd(x2 + 2x − 3, x2 − 2) = 1
f 00 = (x2 − 2)λ g 00 = (x2 + 2x − 3)λ perλ ∈ Q[x]
Le soluzioni complete della diofantea sono quindi
4/7x4 + 2x3 − 11x + 7 + (x2 − 2)λ
f
=
g
= −4/7x4 − 10/7x3 − 11x + 7 + (x2 + 2x − 3)λ
per λ ∈ Q[x].
5
3
Esercizi proposti
1. Determinare tutti i morfismi f : Z2 × Z2 −→ S4 .
2. Determinare tutti i morfismi f : Z2 × Z4 −→ S5 .
3. Determinare tutti i sottogruppi di Z8 × Z12 di ordine 6.
4. Determinare tutti i sottogruppi di Z8 × Z12 di ordine 48.
5. Determinare tutti i sottogruppi di Z4 × Z12 di ordine 24.
6. Risolvere l’equazione diofantea su Q[x]
(x2 − 1)f + (x + 1)2 g = 2x4 + 2x3 + x2 + 2x − 1
7. Risolvere l’equazione diofantea su Q[x]
(x3 + x2 + 2x + 2)f + ((x + 1)2 )2 g = x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3
8. Al variare di a, b ∈ Q isolvere l’equazione diofantea su Q[x]
(x2 + a)f + ((x2 + b)2 g = (x + 1)2
9. Al variare di a ∈ Q[x], deg(a) = 1 risolvere l’equazione diofantea su Q[x]
(x + 1)af + (x2 − x − 2)g = (x + 1)2
6
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