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Capitolo quinto

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RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICA
Istituto Tecnico Economico “Agostino Bassi” – Lodi
Anno scolastico 2014/2015
Prof. Letterio Cozzo
LE EQUAZIONI LINEARI IN DUE VARIABILI
Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo grado per
entrambe le incognite.
Può essere scritta nella forma:
a x + b y + c = 0 con a, b, c
(a e b non entrambi nulli).
Teorema
A ogni retta del piano
cartesiano
corrisponde
un’equazione lineare in due
variabili e, viceversa, a ogni
equazione lineare in due
variabili corrisponde una
retta del piano cartesiano.
Retta
Forma esplicita della retta
L’equazione:
y = mx + q
e' detta equazione della retta in forma esplicita (la y è sempre al primo membro, la x
al secondo membro);
m si chiama COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA;
q si chiama TERMINE NOTO.
Forma implicita della retta
L’equazione
ax + by + c = 0
è equazione della retta in forma implicita (la y e la x stanno entrambe al primo
membro dell’equazione.
Ad esempio, l’equazione:
12x –4y -8 = 0
è l’equazione di una retta in cui
a = 12;
b = -4;
c = -8
2
Possiamo trasformare la retta dalla forma implicita alla forma esplicita: basta
risolvere l'equazione rispetto alla y:
12x –4y -8 = 0
isolo la y
–4y = - 12x + 8
divido tutto per –4
- 12
8
y = ---- x + --- = + 3x - 2
–4
–4
cioè:
y = 3x – 2
dove
m = 3 (coefficiente angolare) ed
forma implicita
q = -2 (termine noto)
Come si disegna una retta
Vediamo come si disegna una retta con un esempio. Tracciamo la retta di equazione:
2x - 3y + 5 = 0
1. Scrivo l’equazione nella forma esplicita:
-3y = -2x -5
divido per -3
y=
2
5
x+
3
3
2. costruiamo la seguente tabella:
x
y=
2
5
x+
3
3
Per rappresentare una retta, basta individuare due punti (per due punti passa una ed
una sola retta).
3
3. Diamo dei valori alla x e calcoliamo i valori corrispondenti per la y. Mi conviene
dare alla x il valore 0:
x
y=
2
5
x+
3
3
0
y=
2
5 5
⋅0 + =
3
3 3
4. Diamo dei valori alla y e calcoliamo i valori corrispondenti per la x. Mi conviene
dare alla y il valore 0:
x=
x
y=
2
5
x+
3
3
0
y=
2
5 5
⋅0 + =
3
3 3
3
5
5
⋅0 − = −
2
2
2
y=0
2
5
x = y−
3
3
⇒
x=
3 
5 3
15 3
5
⋅y −  = y −
= y−
2 
3 2
6
2
2
5. In definitiva, otteniamo i seguenti punti:
x
y=
2
5
x+
3
3
0
y=
5
3
Intersezione asse y
y=0
Intersezione asse x
x=−
5
2
4
Il grafico della retta sarà:
y=
2
5
x+
3
3
 5
 0; 
 3
 5 
 − ;0 
 2 
Osservazione: metodo alternativo per disegnare la retta
Se l’ascissa aumenta di una certa quantità fissa,
l’ordinata cresce anch’essa di una quantità fissa.
Quando l’ascissa
aumenta di 1 unità,
l’ordinata aumenta di
m.
5
Le equazioni degli assi
L’equazione dell’asse x è y = 0.
L’equazione dell’asse y è x = 0.
Equazione di una retta parallela a un asse
L’equazione di una retta parallela all’asse x è y = k.
L’equazione di una retta parallela all’asse y è x = h.
Retta parallela all’asse x
Retta parallela all’asse y
Equazione delle bisettrici una retta parallela a un asse
L’equazione della bisettrice del I e III quadrante è y = x.
L’equazione della bisettrice del II e IV quadrante è y = -x.
6
Rette parallele
Due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.
Ad esempio, le rette:
y = -2x + 3
(m1 = -2, q1 = +3)
e
y = -2x + 7
(m2 = -2, q2 = +7)
sono parallele perché m1 = m2. Infatti, se tracciamo il grafico delle due rette:
y = -2x + 3
y = -2x + 7
7
Rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei coefficienti
angolari è uguale a -1.
Ad esempio, le rette:
y = -2x + 3
(m1 = -2, q1 = +3)
e
y=
1
x+7
2
(m2 =
1
, q2 = +7)
2
sono perpendicolari perché
m1 · m2 = -2 ·
1
= -1
2
Infatti, se tracciamo il grafico delle due rette:
y = -2x + 3
y = 1/2x + 7
8
Intersezione di due rette
Date due rette di equazione rispettivamente y = mx + q e y = m1x + q1, la loro
intersezione (il punto che hanno in comune) si ottiene risolvendo il sistema formato
dalle equazione delle due rette.
9
LE CONICHE
Introduzione
Noi analizzeremo brevemente le seguenti coniche:
•
Parabola
•
Circonferenza
10
Parabola
Definizione La parabola è l’insieme dei punti del piano cartesiano che godono della proprietà di
essere equidistanti da un punto assegnato, detto fuoco, e da una retta assegnata, detta direttrice.
Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
y = ax2 +bx +c
y
Asse di
simmetria
Osservando il grafico si può osservare:
1. Il fuoco di una parabola si trova sull’asse di simmetria;
2. La direttrice e l’asse di una parabola sono perpendicolari tra
loro;
3. Il vertice di una parabola è equidistante dal fuoco e dalla
direttrice;
4. Per ogni punto di una parabola, la sua distanza dal fuoco è
uguale alla sua distanza dalla direttrice.
F
V
0
x
direttrice
Formulario
∆
 b
; − 
4a 
 2a
b
Equazione asse di simmetria: x = −
2a
2
dove
∆ = b − 4⋅a ⋅c
Coordinate del vertice: V ≡  −
1− ∆
 b
;

4a 
 2a
1+ ∆
Equazione della direttrice: y = −
4a
Coordinate del fuoco: F ≡  −
11
Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto:
Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso:
Rappresentazione grafica della parabola
Per disegnare la parabola di equazione
y = ax2 +bx +c
sono necessarie le seguenti informazioni:
•
concavità (a>0 oppure a<0);
 y = ax 2 + bx + c
Asse y: 
⇒y=c
x=0

•
intersezione con gli assi coordinati:
(3 punti)
 y = ax 2 + bx + c
Asse x: 
⇒ ax 2 + bx + c = 0
=
0
y

•
∆
 b
; − 
4a 
 2a
coordinate del vertice: V ≡  −
(1 punto)
•
C ′ simmetrico, rispetto all’asse di simmetria, di C, punto d’intersezione della parabola
b
con l’asse y: C ′ = − . (1 punto)
a
12
Casi particolari dell’equazione y = ax2 + bx + c
Consideriamo l’equazione y = ax2 +bx +c, con a, b, c ∈ R. Esaminiamo i casi particolari in cui uno o
due coefficienti siano uguali a zero.
13
La risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado
14
Circonferenza
Definizione La circonferenza è l’insieme dei punti del piano cartesiano che godono della
proprietà di essere equidistanti da un punto fisso, detto centro.
Equazione della circonferenza dato il centro C(x0, y0) ed il raggio r:
P
(x - x0)2 +(y - y0)2 = r2
(1)
r
C
Esempio Trovare l'equazione della circonferenza avente il centro c(3,4) e
raggio 6:
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 36
Equazione generale della circonferenza
Vediamo ora come si giunge all'equazione generale della circonferenza. Per capirla meglio
facciamolo contemporaneamente sia in teoria che su un esempio pratico. Se ho l'equazione di una
circonferenza dato il centro ed il raggio dovrò eseguire i calcoli:
(x - xo)2 + (y - yo)2 = r2
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 36
eseguo i calcoli
eseguo i calcoli
2
2
x - 6x + 9 + y - 8y + 16 = 36
x2 -2xxo + xo2 + y2 - 2yyo + yo2 = r2
porto tutti i termini prima dell'uguale ed ordino
2
2
x - 6x + 9 + y - 8y + 16 – 36 = 0
x2 -2xxo + xo2 + y2 - 2yyo + yo2 - r2 = 0
Sommo i numeri e faccio le seguenti sostituzioni:
•
al posto di -2x0 scrivo a
•
al posto di -2y0 scrivo b
•
al posto di x02 + y02 - r2 scrivo c
x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0
x2 + y2 + ax + by + c = 0
L’equazione generale della circonferenza sarà:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
(2)
Osservando l’equazione (2) possiamo notare che:
•
i termini al quadrato x2 e y2 hanno lo stesso coefficiente;
•
non sono presenti termini del tipo bxy;
•
il raggio deve essere un numero reale (cioè il quadrato del raggio deve essere un numero
positivo).
Relazioni fra coefficienti, centro e raggio
Nell'equazione generale della circonferenza (2) abbiamo posto:
-2 x0 = a -2 y0 = b x02 + y02 - r2 = c
15
Se dato il centro ed il raggio riesco ad arrivare all'equazione della circonferenza, allora devo poter
anche tornare indietro: cioè data l'equazione di una circonferenza devo riuscire a trovare il raggio e
le coordinate del centro; sarà sufficiente risolvere le uguaglianze scritte qui sopra ricavandone le
coordinate del centro ed il raggio:
x0 = −
a
2
y0 = −
b
2
r = x 02 + y 02 − c
Rappresentazione grafica di una circonferenza
Per disegnare una circonferenza con equazione
x2 + y2 + ax + by + c = 0
si eseguono i seguenti passi:
1. si trovano le coordinate del centro:
a
b
 a b
x 0 = − ; y 0 = − ⇒ C − ;− 
2
2
 2 2
2. si calcola il raggio:
r = x 02 + y 02 − c
3. si riportano sul piano cartesiano le coordinate del centro e, con distanza uguale al raggio, si
traccia la circonferenza.
Casi particolari dell’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0
Consideriamo l’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0, con a, b, c ∈ R. Esaminiamo i casi particolari in
cui uno o due coefficienti o il termine noto siano uguali a zero.
16
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