Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi OSSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO–FLUIDODINAMICA E CONSEGUENZE RELATIVE ALLA PROPAGAZIONE DEI FRONTI D’ONDA G IOVANNI C RUPI S OMMARIO . Nel problema del pareggiamento tra numero di equazioni e numero di incognite in magneto–fluidodinamica si propone di assumere un’equazione di stato a priori dipendente anche dalle grandezze che caratterizzano lo stato elettromagnetico del fluido. Si dimostra che, applicando tale idea nel problema della propagazione dei fronti d’onda di discontinuit`a, si trovano dei risultati che altrimenti sfuggono. 1. – I fenomeni della magneto-fluidodinamica sono stati generalmente studiati sulla base del seguente sistema di Alfv´en [1, Cap. IV]: ˙ B = − rot E, ˙ + I = rot H, D % dv = %(e) E + I ∧ B − grad p + %F, dt d% + % div v = 0, dt (1) div D = %(e) . div B = 0, B = µH, D = εE, I = σ (E + v ∧ B) + %(e) v, dove E indica l’intensit`a elettrica, D lo spostamento elettrico, I la densit`a di corrente elettrica di conduzione, H l’intensit`a del campo magnetico, B l’induzione magnetica, v la velocit`a della generica particella fluida, F la forza non elettromagnetica, % la densit`a di massa, %(e) la densit`a di carica spaziale, ε la costante dielettrica, µ la permeabilit`a magnetica e σ la conducibilit`a elettrica. Le (1) costituiscono un sistema di venti equazioni scalari (la (1)6 e` una conseguenza della (1)1 ) in ventuno incognite: le diciotto componenti di E, D, I, H, B, v e le tre grandezze %, %(e) e p. Si ha pertanto uno spareggio tra numero di equazioni e numero di funzioni incognite. In sostanza, per`o, lo spareggio segnalato ha la sua origine nell’analogo spareggio che si 95 96 G. C RUPI riscontra nelle classiche equazioni indefinite dei fluidi non viscosi che qui riportiamo dv % = %F − grad p, dt (2) d% + % div v = 0. dt Le (2) costituiscono un sistema di quattro equazioni in cinque funzioni incognite. Per conseguire il pareggiamento, come prima cosa si fa ricorso alla equazione di stato della termodinamica, la quale stabilisce un legame tra le variabili scelte a caratterizzare lo stato termodinamico del sistema. In particolare, per i fluidi non viscosi a trasformazioni reversibili, ed omogeneamente costituiti, l’equazione di stato e` suscettibile della forma [2, pp. 55-57] p = f (%, T ), (3) dove p, % e T rappresentano la pressione, la densit`a e la temperatura assoluta. Ma la (3), associata alle (1), pur portando a cinque le equazioni, introduce la nuova incognita T , e quindi porta a sei le funzioni incognite. Pertanto, per ottenere il pareggiamento richiesto bisogna, infine, invocare l’equazione del calore. Vi sono, per`o, interessanti tipi di fenomeni in cui l’equazione di stato pu`o essere sostituita con l’equazione complementare p = ϕ(%) (4) indipendente da T : ci`o, ad esempio, avviene per i fenomeni isotermici, e perci`o relativamente a questi fenomeni il pareggiamento si ottiene semplicemente associando la (4) alle equazioni indefinite (2). Dopo questi brevi richiami sulle equazioni classiche dei fluidi non viscosi, riprendiamo la questione del pareggiamento tra numero di equazioni e numero di incognite nei fenomeni magneto–fluidodinamici. E` ovvio che anche qui bisogna fare ricorso all’equazione di stato e all’equazione del calore. E` a questo punto che nasce il quesito: quando si ricerca il pareggiamento tra equazioni ed incognite in magneto–fluido–dinamica, qual e` la forma pi`u opportuna da attribuire all’equazione di stato per rimanere il pi`u possibile aderenti alla realt`a fisica del fenomeno in esame? Per ci`o che e` a me noto, per ottenere il pareggiamento richiesto si e` fatto ricorso all’equazione di stato della termodinamica classica. Nel tentativo di dare una risposta al precedente quesito mi sono fondato sulle seguenti osservazioni: accanto alla meccanica classica esiste una termodinamica classica, accanto alla magneto–fluidodinamica e` in fase di formazione una termodinamica dei fluidi soggetti a campi elettromagnetici; e quindi, come per il pareggiamento tra equazioni e funzioni incognite nella meccanica classica si ricorre alla termodinamica classica, cos`ı nell’analogo problema che si presenta in magneto–fluido–dinamica penso che sia naturale ricorrere alla termodinamica dei fluidi soggetti a campi elettromagnetici. In questo nuovo accoppiamento lo stato termodinamico di un fluido si pensa completamente determinato quando si danno due variabili di stato elettromagnetico in aggiunta alle variabili di stato meccaniche indipendenti [3]. Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi O SSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO – FLUIDODINAMICA . . . 97 In virt`u delle precedenti considerazioni, mi sembra che sia pi`u aderente alla natura dei fenomeni magneto–fluidodinamici associare, ai fini del pareggiamento tra equazioni e funzioni incognite, al sistema (1) una equazione di stato in cui accanto alle variabili che caratterizzano lo stato meccanico (%, T, p) compaiano anche le variabili assunte a caratterizzare lo stato elettromagnetico, per es., le componenti di D e di B. In particolare, per analogia alla (3) nel caso che si considerino fluidi omogeneamente costituiti, non viscosi e a trasformazioni reversibili, mi pare che sia plausibile associare alle equazioni indefinite della magnetofluidodinamica un’equazione di stato della forma p = χ(%, T, D1 , D2 , D3 , B1 , B2 , B3 ), (5) dove %, T e p sono le solite variabili di stato meccanico, mentre D1 , D2 , D3 , B1 , B2 e B3 indicano le componenti dei due vettori assunti a caratterizzare lo stato elettromagnetico. La (5) generalizza ai fluidi magneto–idrodinamici l’equazione (3) valevole per la fluidodinamica classica. La (5), associata alle (1), porta a ventuno il numero delle equazioni, ma porta a ventidue il numero delle funzioni incognite, perch´e introduce la nuova incognita T . Perci`o il pareggiamento ricercato si potr`a ottenere ricorrendo anche all’equazione del calore. Naturalmente non mancheranno casi particolari in cui per ottenere il pareggiamento ricercato basti solo l’equazione complementare che si ricava dalla (5) eliminando T come funzione incognita. Ad es., nel caso di fenomeni isotermici la temperatura assoluta T potr`a essere riguardata come una costante conosciuta e cos`ı il pareggiamento richiesto si ottiene, senz’altro, associando alle (1) la sola equazione complementare che si ricava dalla (5) riguardando T costante. p = ψ(%, D1 , D2 , D3 , B1 , B2 , B3 ). (6) Nell’astrofisica non mancano esempi di fluidi elettricamente conduttori la cui temperatura, mantenendosi sempre elevatissima, pu`o essere ritenuta approssimativamente costante. Poich´e la termodinamica insegna che la funzione ψ (o la χ) non pu`o dipendere da quantit`a elettromagnetiche che attraverso ai due invarianti elettromagnetici che esprimono la densit`a elettrica in condizioni di quiete e la densit`a d’azione 1 A = (µ−1 B 2 − ε−1 D2 ), 2 la (6) — qualora si prescinda dalla densit`a elettrica — e` suscettibile della forma p = ψ(%, A). (7) 2. – A complemento delle precedenti considerazioni, mi propongo di trattare nei dettagli un problema particolare allo scopo di mostrare come gi`a nel caso isotermico l’uso dell’equazione complementare nella forma (6) conduce a dei risultati che sfuggono ad un’indagine condotta con l’equazione complementare nella forma (4), cio`e nella forma suggerita dalla termodinamica pura, cio`e che prescinde da fenomeni elettromagnetici. Il problema che qui mi propongo di trattare e` quello della propagazione dei fronti d’onda, e, poich´e lo scopo e` quello di studiare le eventuali correzioni provocate dall’uso dell’equazione complementare nella forma (6), mi limito al caso particolare in cui si suppongano ˙ trascurabile rispetto ad I e σ → ∞. D Per ci`o che rientra nelle mie conoscenze, il problema della propagazione dei fronti d’onda di discontinuit`a nei fluidi conduttori comprimibili, e partendo dalle equazioni di Alfv´en, Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi 98 G. C RUPI e` stato trattato ampiamente da Nardini [4], il quale, secondo l’uso comune, ha utilizzato l’equazione complementare nella forma puramente termodinamica, data dalla (4). Ricordo anche che taluni problemi riguardanti la propagazione dei fronti d’onda nei fluidi conduttori incompressibili erano stati gi`a trattati da Carini [5, 6]. L’uso dell’equazione complementare nella forma (6) mi permetter`a, tra l’altro, di mettere in evidenza dei modi di propagazione che sfuggono ad un’indagine condotta utilizzando l’equazione complementare nella forma (4). ˙ e tenendo conto della (1)7 si ha: 3. – Eliminando I dalle (1)2 e (1)3 , trascurando D 1 dv = %(e) E + (rot B) ∧ B − grad p + %F. (8) % dt µ Inoltre, per σ → ∞, dalla (1)9 si ha E = −v ∧ B. (9) Per una nota formula di calcolo vettoriale, si ha identicamente rot(v ∧ B) = (B · grad)v − (v grad)B − B div v + v div B, quindi, eliminando E dalla (1)1 e dalla (9), dopo la (10) e la (1)6 , si deduce dB = (B · grad)v − B div v. dt Tenendo conto della (6), si ha identicamente che 3 X ∂ψ ∂ψ ∂ψ grad % + grad Di + grad Bi , grad p = ∂% ∂Di ∂Bi i=1 (10) (11) (12) dove i termini ∂ψ ∂ψ grad Di + grad Bi ∂Di ∂Bi sono il contributo dell’avere assunto l’equazione complementare nella forma nuova, data dalla (6). Dalla (9), dopo la (1)8 , proiettando sugli assi cartesiani del sistema inerziale di riferimento si ha: D1 = −ε(u2 B3 − u3 B2 ), D2 = −ε(u3 B1 − u1 B3 ), D3 = −ε(u1 B2 − u2 B1 ), e quindi, tenendo conto di queste ultime, si deduce facilmente che ∂ψ ∂ψ grad Di + grad Bi = Si grad Bi + Gi grad ui (i = 1, 2, 3), ∂Di ∂Bi dove si e` posto ∂ψ ∂ψ ∂ψ + εu2 − εu3 , S1 = ∂B1 ∂D3 ∂D2 ∂ψ ∂ψ ∂ψ S2 = + εu3 − εu1 , ∂B ∂D ∂D 2 1 3 ∂ψ ∂ψ ∂ψ S3 = + εu1 − εu2 , ∂B3 ∂D2 ∂D1 Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi (13) (14) O SSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO – FLUIDODINAMICA . . . ∂ψ ∂ψ B3 − ε B2 , G1 = ε ∂D2 ∂D3 ∂ψ ∂ψ G2 = ε B1 − ε B3 , ∂D ∂D 3 1 ∂ψ ∂ψ G3 = ε B2 − ε B1 . ∂D1 ∂D2 99 (15) A questo punto, associando la (11) e la (1)4 all’equazione che si ottiene dalla (8), in virt`u della (9), della (12) e della (13), si ha il seguente sistema dB = (B grad)v − B div v, dt d% + % div v = 0, (16) dt 3 X dv rot B ∂ψ (e) grad %, ∧B− (Si grad Bi + Gi grad ui ) − % dt = −% v + µ ∂% i=1 su cui fisseremo l’attenzione per la ricerca degli eventuali fronti d’onda. Consideriamo una superficie σt e supponiamo che essa all’istante t separi la regione in cui e` in atto un processo magneto–fluidodinamico dal resto del mezzo. Supponiamo, come si fa usualmente, che tutte le grandezze attraverso σt siano continue, mentre presumiamo che per ciascuna grandezza si presentino delle discontinuit`a nelle derivate di ordine massimo. Precisamente, conveniamo di indicare con ν ≡ (ν1 , ν2 , ν3 ), e ≡ (e1 , e2 , e3 ) e k i fattori caratteristici delle discontinuit`a che subiscono le derivate prime (attraverso σt ) delle grandezze B, v e %. Se, inoltre, conveniamo di accennare le discontinuit`a premettendo l’operatore ∆ davanti alle derivate delle grandezze in oggetto, dal sistema (16) si ha: 3 3 X ∂v ∂ui dB X = B ∆ − B ∆ , ∆ i dt ∂xi ∂xi i=1 i=1 3 X d% ∂ui ∆ = 0, ∆ + % dt ∂xi i=1 dv ∆ rot B ∂ψ = ∧B− (∆ grad %) %∆ dt µ ∂% 3 X − (Si (∆ grad Bi ) + Gi (∆ grad ui )) . i=1 Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi (17) 100 G. C RUPI Ma per le condizioni Hugoniot–Hadamard [2, Cap. II] si ha: dB ∆ = (−a + vn )ν, dt X 3 3 X ∂v = (Bi αi )e = Bn e. B ∆ i ∂xi i=1 i=1 X 3 3 X ∂ui = αi ei = e · n, ∆ ∂xi i=1 i=1 d% (18) = (−a + vn )k, ∆ dt dv ∆ = (−a + vn )e, dt ∆ rot B = n ∧ ν, ∆ grad Bi = (νi α1 )J1 + (νi α2 )J2 + (νi α3 )J3 = νi n, ∆ grad ui = ei n, ∆ grad % = kn, dove n (di componenti αi ) indica il versore della normale a σt nel suo generico punto P (orientata nel senso in cui il fronte avanza), a la velocit`a normale di avanzamento di σt rispetto agli assi inerziali, e J1 , J2 , J3 sono i versori degli assi cartesiani di riferimento. Sostituendo le (18) nelle (17) si ottengono le seguenti equazioni a cui devono soddisfare i fattori caratteristici delle discontinuit`a che le derivate prime delle grandezze subiscono attraverso σt : sν − Bn e + Ben = 0, sk + %en = 0, (19) 3 X 1 ∂ψ (Si νi + Gi ei )n, %se = µ (n ∧ ν) ∧ B − ∂% kn − i=1 dove, per brevit`a, e` stato posto s = −a + vn . La (19)3 , mediante calcoli elementari, si pu`o trascrivere nella forma: 3 X Bn Bi ∂ψ ν+ Si + νi + Gi ei n + kn = 0, %se − µ µ ∂% i=1 (20) (21) ed eliminando da quest’ultima i parametri k, νi e ν, in virt`u delle (19)2 e (19)1 , si deduce l’equazione Bn Bn ξe + α1 B + M1 n e1 + α 2 B + M 2 n e2 µ µ (22) Bn + α3 B + M3 n e3 = 0, µ dove abbiamo posto: B2 ξ = %s2 − n , (23) µ Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi O SSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO – FLUIDODINAMICA . . . B1 + S M = −ηα + B 1 1 + G1 s, 1 n µ B2 + S2 + G2 s, M2 = −ηα2 + Bn µ B 3 M3 = −ηα3 + Bn + S3 + G3 s, µ 101 (24) 3 η=% ∂ψ B 2 X + + Bi Si . ∂% µ i=1 (25) Osserviamo che i termini in Si e Gi sono caratteristici dell’uso dell’equazione complementare nella forma (6). Proiettando la (22) sugli assi cartesiani del sistema inerziale di riferimento si ottiene il seguente sistema lineare ed omogeneo di tre equazioni nelle tre incognite scalari e1 , e2 , e3 : (ξ + a11 )e1 + a12 e2 + a13 e3 = 0, a21 e1 + (ξ + a22 )e2 + a23 e3 = 0, a31 e1 + a32 e2 + (ξ + a33 )e3 = 0, (26) dove con a11 , a21 , a31 abbiamo indicato le componenti cartesiane di Bn α1 B + M1 n, con µ Bn Bn α2 B + M2 n, con a13 , a23 , a33 α3 B + M3 n. µ µ Per una nota regola, ponendo uguale a zero il determinante dei coefficienti del sistema (26) si ottiene l’equazione delle variet`a caratteristiche: ξ + a11 a12 a13 a21 ξ + a22 a23 = 0. (27) a31 a32 ξ + a33 a12 , a22 , a32 le componenti di Tenendo conto del significato delle aik , dalla (27) si deduce: ! 2 3 X Bn Bn 2 3 + Mn ξ + Bn Mn − Bi Mi ξ = 0, ξ + µ µ i=1 (28) dove Mn = 3 X Mi αi . (29) i=1 La (28) si spezza nelle due equazioni ξ = 0, 2 Bn Bn ξ2 + + Mn ξ + µ µ (30) B n Mn − 3 X ! B i Mi = 0. i=1 Tenendo conto della (23), dalla (30) si deduce subito che s2 = Bn2 , %µ Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi (31) 102 G. C RUPI e da questa, dopo la (20), si ha: |Bn | | − a + vn | = √ . (32) %µ La (32) allude alla presenza di un fronte d’onda che non risente n´e della compribilit`a del mezzo e n´e dell’uso di un’equazione complementare dipendente anche dalle grandezze che caratterizzano lo stato elettromagnetico. Si pu`o quindi concludere che il fronte d’onda ˙ trascurabile rispetto caratterizzato dalla (32) (subordinatamente alle ipotesi σ → ∞ e D ad I) e` completamente generale. Infatti, e` stato trovato da Carini [5, 6] nei fluidi incomprimibili, da Nardini [4] nei fluidi comprimibili a cui si associa un’equazione complementare del tipo p = ϕ(%) e, infine, nel presente lavoro nei fluidi conduttori comprimibili a cui si associa un’equazione complementare dipendente anche dalle grandezze elettromagnetiche. Volgiamo, ora, l’attenzione alla (31). Allo scopo di porre la (31) in una forma pi`u adatta allo studio che ci proponiamo di approfondire, conviene porre le (24) nella forma pi`u concisa Mi = Ni + Gi s, (33) dove Bi Ni = −ηαi + Bn + Si (i = 1, 2, 3). µ Tenendo conto delle (33) e delle (15) si nota subito che 3 3 X X M i Bi = Ni B i , i=1 essendo (34) (35) i=1 3 X Gi Bi = 0 identicamente. i=1 Tenendo presenti la (23), le (33) e la (35), mediante passaggi elementari, la (31) pu`o essere facilmente ricondotta alla seguente equazione di quarto grado in s: 3 Bn X Bn2 2 4 3 2 % s + %Gn s + % Nn − s − Ni Bi = 0, (36) µ µ i=1 con 3 3 X X Gn = Gi αi , Nn = Ni α i . i=1 i=1 La (36), dopo le (34) e la (25), pu`o essere posta nella forma Gn 3 ∂ψ B 2 ω B 2 ∂ψ 4 s + s − + + = s2 + n = 0, % ∂% %µ % %µ ∂% dove abbiamo posto 3 X ω= Bi Si − Bn Sn . (37) (38) i=1 E` qui interessante sottolineare che nella (37) i termini in Gn ed ω sono il contributo dell’uso dell’equazione complementare nella forma (6). Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi O SSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO – FLUIDODINAMICA . . . 103 Se si tralasciano tali termini, cio`e se si usa (ai fini del pareggiamento tra equazioni ed incognite) un’equazione complementare della forma p = ϕ(%), la (37) si particolarizza nell’equazione dϕ B 2 B 2 dϕ 4 + s2 + n = 0, (39) s − d% %µ %µ d% e questa sostanzialmente coincide con l’equazione trovata da Nardini nel n. 14 del lavoro citato. Osserviamo che un commento pi`u esplicito dei termini che nella (37) portano il contributo dell’equazione complementare dipendente anche da grandezze elettromagnetiche si ottiene considerando l’equazione complementare nella forma (6). Infatti, tenendo conto che le Bi e Di figurano nella ϕ (che e` a secondo membro della (7)) per il tramite della densit`a d’azione A = 1/2(µ−1 B 2 − ε−1 D2 ), i due vettori S e G, le cui componenti sono date dalle (14) e (15), assumono la forma ∂ψ B +D∧v , (40) S= ∂A µ ∂ψ D ∧ B. (41) ∂A Con la (41) possiamo affermare che l’uso dell’equazione complementare dipendente anche da grandezze elettromagnetiche ci consente di mettere in evidenza — nel problema della propagazione dei fronti d’onda — un esplicito contributo della mutua influenza del campo elettrico col campo magnetico, e questo contributo che nella (37) si concreta nel termine in Gn , interviene attraverso la componente secondo la normale al fronte d’onda dell’impulso elettromagnetico. Il vettore S, definito dalla (40), interviene nella (37) attraverso ω, dato dalla (38), e quindi, prima di passare alla interpretazione, conviene sviluppare alcuni dettagli. Decomponendo i vettori B ed S secondo la direzione di n e la giacitura ortogonale ad n, si ha identicamente G=− 3 X Bi Si = B · S = B1 · S1 + Bt · St , i=1 dove B1 ed S1 indicano i componenti di B ed S nella direzione di n e Bt ed St i componenti secondo la giacitura ortogonale ad n. Tenendo presente la precedente identit`a, la (38) si particolarizza nella ω = Bt · St , (42) dove si e` tenuto conto che, per una elementare regola di calcolo vettoriale, B1 · S1 = Bn Sn . Adesso, utilizzando la (40), la (42) assume la forma ∂ψ Bt2 ω= + (D ∧ v)t · Bt , ∂A µ dove (D ∧ v)t indica il componente di D ∧ v secondo la giacitura ortogonale ad n. Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi (43) 104 G. C RUPI In particolare, la (43) esprime che l’uso dell’equazione complementare dipendente da grandezze elettromagnetiche permette di mettere in evidenza, nel problema in esame, anche un contributo della congiunta azione di v, D e B che attraverso il prodotto (D∧v)t ·Bt figurano nella (37). Nei casi concreti, prima di proseguire lo studio della (37), bisognerebbe ricercare l’e∂ψ ; ci`o, per`o, e` subordinato, ovviamente, alla conospressione effettiva di Gn , di ω e di ∂% scenza della forma effettiva del secondo membro della (6). Tale forma effettiva va ricercata con i metodi della termodinamica e dipende, tra l’altro, dalla costituzione particolare del fluido che si considera. Pertanto noi nel prossimo numero ci limiteremo a delle considerazioni di carattere qualitativo. 4. – Dal confronto della (37) con la (39) si nota che il divario qualitativo sostanziale tra le due equazioni e` rappresentato dalla presenza del termine dispari Gn s3 nella (37). Ricordiamo anche che la ψ della (37) dipende da %, D1 , D2 , D3 , B1 , B2 e B3 , mentre la ϕ, della (39) dipende solo da %. Poich´e a noi qui interessano solo considerazioni di carattere qualitativo, conveniamo di ∂ψ B2 limitarci ai casi in cui ω/% sia trascurabile rispetto a + n . In tali casi, la (37) pu`o ∂% %µ essere scritta nella forma Gn 3 ∂ψ B 2 B 2 ∂ψ s4 + s − + s2 + n = 0. (44) % ∂% %µ %µ ∂% Fissiamo, infine, l’attenzione su tre casi particolari. I. Supponiamo trascurabili i termini in Bn . In tal caso la (44) si particolarizza nella ∂ψ B 2 Gn 3 4 s − + s + s2 = 0, % ∂% %µ e questa si spezza nelle due equazioni: s2 = 0, s2 + Gn s− % (45) Bn2 ∂ψ + ∂% %µ = 0. (46) La (45), dopo la (20), pu`o essere scritta nella forma (−a + vn )2 = 0, (47) e questa allude alla presenza di una superficie di discontinuit`a fissa rispetto al fluido, cio`e che si appoggia sempre alle stesse particelle fluide. Il risultato stabilito dalla (47) figura anche nei citati lavori di Carini e di Nardini. Dalla (46), ricordando che s = −a + vn , si deduce s Gn G2n ∂ψ Bt2 + −a + vn = − ± + . (48) 2 2% 4% ∂% %µ Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi O SSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO – FLUIDODINAMICA . . . 105 Convenendo di indicare con V = | − a + vn | il valore assoluto della velocit`a di propagazione in seno al fluido di un fronte d’onda, dalla (48) si ottengono le due formule s G2n ∂ψ Bn2 Gn + + + , 2 4% ∂% %µ 2% V1 = s V2 = (49) ∂ψ Bn2 G2n Gn + + − , 2 4% ∂% %µ 2% le quali alludono a due distinti fronti d’onda che si propagano in seno al fluido con velocit`a distinte: uno con velocit`a V1 e l’altro con velocit`a V2 . Nelle (48) i termini in Gn portano il contributo caratteristico della equazione complementare nella forma (6). Se nelle (49)1 e (49)2 si trascurano i termini in Gn , ritornando all’equazione p = ϕ(%), si ha un solo fronte d’onda che si propaga nel mezzo con s la velocit`a V1 = V2 dϕ Bt2 + . d% %µ Notiamo ancora che, qualora si consideri l’equazione complementare nella forma p = ϕ(%), dalla (48) si ritrova la seguente formula di Nardini [4] s dφ Bn2 a = vn ± + d% %µ con evidente significato dei simboli. II. Supponiamo trascurabile nella (44) il termine in Gn . In tal caso la (44) si specializza nell’equazione biquadratica ∂ψ B 2 Bn ∂ψ s4 − + s2 + = 0, ∂% %µ %µ ∂% e da questa, poich´e s = −a + vn , si ha: s 2 2 1 ∂ψ B 1 ∂ψ B 2 B 2 ∂ψ 2 (−a + vn ) = + ± + −4 n , (50) 2 ∂% %µ 2 ∂% %µ %µ ∂% dove il discriminante δ pu`o essere posto nella seguente forma a termini positivi: 2 ∂ψ B 2 B 2 ∂ψ δ= + +4 t . ∂% %µ %µ ∂% I due distinti valori per la velocit`a di propagazone V = | − a + vn |, dati dalla (50) alludono a due distinti modi di propagazione. L’eventuale contributo dell’uso dell’equazione complementare nella forma (6) si concreta nel fatto che la ψ va intesa come una funzione di %, D1 , D2 , D3 , B1 , B2 e B3 . Qualora si ritorni all’equazione p = ϕ(%), data dalla (4), la (50) si particolarizza nella seguente formula s 2 2 1 dϕ B 1 dϕ B 2 B 2 dϕ 2 (−a + vn ) = + ± − +4 t , 2 d% %µ 2 ∂% %µ %µ d% stabilita da Nardini. Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi 106 G. C RUPI III. Supponiamo che Gn abbia un valore molto piccolo. Nelle seguenti considerazioni sar`a adottato lo stesso procedimento applicato da Nardini nel n. 12 del suo lavoro gi`a citato sopra. Se conveniamo di indicare con Q(s) il primo membro della (37) e con q(s) la forma particolare che esso assume per Gn = 0, si ha Gn 2 s , Q(s) = q(s) + (51) % B 2 ∂ψ ∂ψ B 2 + . (52) s2 + n q(s) = s4 − ∂% %µ %µ ∂% Se pensiamo di rappresentare la (52) su un piano cartesiano, il suo grafico, che accenniamo con L1 , risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate ed interseca l’asse delle ascisse nei quattro punti reali individuati da: s s 1 ∂ψ B 2 1√ 1 ∂ψ B 2 1√ s1 = δ, s2 = δ, + − + + 2 ∂% %µ 2 2 ∂% %µ 2 s3 = −s1 , s4 = −s2 . Se ora si considerano i casi in cui Gn 6= 0, ma molto piccolo, per evidenti ragioni di continuit`a, il grafico della (51), che conveniamo di accennare con L2 , potr`a essere riguardato come ottenibile variando di poco L1 . E` qui interessante sottolineare che L2 , pure restando una curva prossima a L1 , non conserva la propriet`a della simmetria rispetto all’asse delle ordinate, e ci`o per la presenza nella (34) del termine in s3 . Da qui segue che le quattro radici distinte dell’equazione Q(s) = 0 non saranno pi`u simmetriche a due a due, come nel caso Gn = 0, gi`a contemplato. Possiamo, dunque, concludere che con Gn 6= 0, anche se molto piccolo, le quattro radici distinte alludono alla possibilit`a di avere quattro modi distinti di propagazione dei fronti d’onda. 5. – Chiudiamo la presente ricerca ricordando che in recenti lavori [7, 8, 9] sono state pubblicate delle generalizzazioni del sistema della magneto–idrodinamica di Alfv´en, nelle quali alle equazioni di Euler vengono associate le equazioni di Minkowski. Nel presente lavoro sono rimasto di proposito nello schema Euler–Maxwell, considerato da Alfv´en, perch´e il mio scopo era solo quello di studiare su un problema preciso, e nel modo pi`u semplice, le conseguenze a cui porta l’assunzione di un’equazione di stato involgente tutte le variabili di stato, e quelle meccaniche e quelle elettromagnetiche. In un successivo lavoro mi propongo di riprendere il problema ponendo a fondamento le equazioni di Euler–Minkowski. Riferimenti bibliografici [1] [2] [3] [4] [5] H. Alfv´en. Cosmical electrodynamics. Clarendon Press, Oxford, 1950. A. Signorini. Lezioni di Fisica Matematica. Eredi V. Veschi, Roma, 1951. Boa–The Chu. Thermodynamics of electrically conducting fluids. Physics of Fluids, 2 (5), 1959. R. Nardini. Sui fronti d’onda nella magneto–idrodinamica. Riv. Mat. Univ. Parma, 7, 3–32, 1956. G. Carini. Condizioni di compatibilit`a dinamica nella teoria delle onde magneto–idrodinamiche. Ist. Lomb. Sci. Lett., Rend. Cl. Sci. Mat. Nat. 87, 433–438, 1954. Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi O SSERVAZIONI SULLE EQUAZIONI DELLA MAGNETO – FLUIDODINAMICA . . . 107 [6] G. Carini. Osservazioni riguardanti le onde magneto–idrodinamiche di ALfv´en. Ist. Lomb. Sci. Lett., Rend. Cl. Sci. Mat. Nat. 87, 150–156, 1954. [7] G. Carini. Sulle equazioni della magneto–idrodinamica. Rend. Acc. Naz. Lincei, (8) 21, 436–442, 1956. [8] E. Richter. Erweiterung der Theorie magneto–hydrodynamischer Wellen und Anwendung auf inhomogene Schichten. Z. Naturforschg., 11a, 901–912, 1956. [9] B. Finzi. Principio d’azione stazionaria nell’elettrodinamica dei fluidi. Ann. di Mat. pura ed appl., 50, 319– 340, 1960. Giovanni Crupi. Osservazioni sulle equazioni della magneto–fluidodinamica e conseguenze relative alla propagazione dei fronti d’onda. Istituto Lombardo – Accademia di Scienze e Lettere, Rendiconti di Scienze, A 95, 199–214, 1961. Presentata dal m. e. Bruno Finzi, adunanza del 19 gennaio 1961. Universit`a degli Studi di Messina Istituto di Matematica Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
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