Moti rettilinei

unità
C2
Moti a una dimensione
M
oti con traiettoria rettilinea prevedono i
modelli fisici più semplici: per questo
lo studio della Cinematica inizia sempre con i
moti monodimensionali.
prerequisiti





sistema di coordinate
monodimensionale
grandezze fisiche cinematiche
legge oraria e diagramma s-t
coefficiente angolare di una retta
punto materiale
2.1
Moti rettilinei
2.2
Moto rettilineo uniforme
2.3
Moto rettilineo uniformemente accelerato
2.4
Moto in caduta libera
2.5
Moto armonico
Il loro sistema di riferimento è il singolo asse cartesiano.
Moto con traiettoria rettilinea, velocità costante, accelerazione nulla.
Moto con traiettoria rettilinea, velocità variabile e accelerazione costante.
Moto rettilineo uniformemente accelerato dall’accelerazione di gravità.
Particolare moto rettilineo con velocità e accelerazione variabili.
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
2.1
Moti rettilinei
Per i moti a una dimensione è sufficiente un sistema di riferimento costituito
da un singolo asse cartesiano e questo, come vedremo a breve, evita l’impiego
di vettori per rappresentare le grandezze fisiche cinematiche. Siccome la traiettoria coincide con la direzione di una retta (fig. 2.1a), questi moti sono detti
moti rettilinei.
Il moto di un motoscafo sulla superficie piana del mare (fig. 2.1b) può essere
considerato rettilineo se i punti della sua rotta-traiettoria appartengono a una
retta.
Figura 2.1
(a) Traiettoria rettilinea rispetto
a un sistema di coordinate tridimensionale per il punto materiale
P. Come sistema di riferimento si
sovrappone un asse cartesiano
alla traiettoria rettilinea. (b) La
cinematica di un motoscafo sul
mare bidimensionale può essere
ridotta a monodimensionale se la
rotta è rettilinea.
z
P
traiettoria
rettilinea
O
y
x
a
b
Vettore posizione
In figura 2.2a l’asse cartesiano x che impiegheremo come sistema di riferimento per i moti rettilinei: sono indicati il versore i e l’origine O.
Supponiamo che all’istante t il punto materiale P occupi il punto individuato
dal vettore posizione

OP(t ) = x(t ) i
Osserviamo che la (2.1) non è altro che
la (1.2) dell’unità C1 dove, ovviamente,
compare solo la componente vettoriale
relativa all’asse x del vettore posizione.

La direzione di OP non cambia perché
è vincolata a quella dell’asse cartesiano
che deve rimanere fermo: quindi l’informazione offerta dal versore i sulla
direzione del vettore non è necessaria
e nella (2.1) è sufficiente indicare solo
la componente scalare
(2.1)
OP(t)
O
P
x
x(t)
i
a
P
x(t) = -10 m
OP(t)
O
i
x (m)
b

di OP , x(t), cioè la coordinata cartesiana di P. Quindi, nei moti rettilinei, al
vettore posizione può essere applicata l’equivalenza

OP(t )  x(t ) i  x(t )
(2.2)
Il termine x(t) è positivo (negativo) quando la posizione di P è sul semiasse
positivo (negativo) dell’asse cartesiano.
Figura 2.2
(a) Sistema di riferimento per il
moto rettilineo e vettore posizione. (b) Esempio di equivalenza
tra vettore posizione e coordinata
cartesiana.
251
252
MODULO C - CINEMATICA
Per esempio, la posizione del punto materiale P in figura 2.2b individuata dal
vettore posizione

OP(t )  (10 m) i
può essere espressa con la sola componente scalare
x(t ) =  10 m

senza perdere informazioni su modulo, direzione e verso di OP .
Vettore spostamento
Ipotizziamo un punto materiale P in moto sull’asse x (fig. 2.3a): il vettore posizione nel generico istante t è

OP(t )  x(t ) i
e quello in un successivo istante t + t è

OP(t  t )  x(t  t ) i
Dalla definizione (1.5) dell’unità C1 il vettore spostamento è la differenza tra i
due vettori posizione, cioè

OP  x(t  t ) i  x(t ) i = [ x(t  t )  x(t )] i
Se poniamo
x(t  t )  x(t )  x
il vettore spostamento diventa
(2.3)

OP  x i
dove il segno algebrico di x dipende se il vettore è concorde o discorde al
versore o, in termini equivalenti, dipende dal segno della differenza tra le coordinate cartesiane (2.3).

Siccome la direzione di OP non cambia perché vincolata all’immobile asse
cartesiano, non serve l’indicazione del versore i. Quindi, nei moti rettilinei, al
vettore spostamento può essere applicata l’equivalenza

OP = x i  x
(2.4)
Il termine x è positivo (negativo) quando lo spostamento è concorde (discorde) al versore i.
Per esempio, immaginiamo il punto materiale P in moto dalla posizione di
coordinata x(t) = 3 m a quella di coordinata x(t + t) = –8 m (fig. 2.3b): il vettore spostamento

OP  [(  8  3)m] i  (11 m) i
possiamo esprimerlo come
x =  11 m

senza perdere informazioni su modulo, direzione e verso di OP .
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Se il vettore spostamento è infinitesimo l’equivalenza (2.4) diventa

d OP  dx i  dx
O i
x(t)
OP(t)
DOP(t)
(2.5)
Figura 2.3
(a) Vettore spostamento per il
moto rettilineo (caso di spostamento positivo). (b) Esempio di
equivalenza tra vettore spostamento e differenza tra coordinate
cartesiane (i due vettori posizione
non sono indicati).
x(t + Dt)
x
OP(t + Dt)
a
Dx = -11 m
DOP(t)
b
O
i
x(t + Dt) = -8 m
x(t) = 3 m
x (m)
Infine, nel moto rettilineo, il modulo del vettore spostamento x i tra due
punti qualsiasi, è uguale alla distanza compresa tra la coppia di punti, cioè
x  s
(2.6)
come mostra la figura 2.4.
|Dx| = Ds
O
x(t)
i
x(t + Dt) x
Vettori velocità
Se al vettore spostamento della definizione (1.7a) dell’unità C1, applichiamo
l’equivalenza (2.4), la velocità media nel moto rettilineo è completamente
descritta dal rapporto
x
 vm
t
(2.7)
Se nella definizione (1.9a) dell’unità C1, applichiamo l’equivalenza (2.5), la
velocità è completamente descritta dal rapporto
dx
v
dt
(2.8)
Le velocità sono positive (negative) quando i relativi vettori hanno verso concorde (discorde) con il versore i.
Figura 2.4
A causa della traiettoria coincidente con una retta, nei moti rettilinei
non esiste distinzione tra modulo
del vettore spostamento e distanza (come invece è evidenziato
nella figura 1.12 dell’unità C1).
253
254
MODULO C - CINEMATICA
In modo analogo al vettore spostamento, per la variazione del vettore velocità
è valida la seguente equivalenza
v = v i  v
(2.9a)
e se la variazione è infinitesima, la (2.9a) diventa
dv = dv i  dv
(2.9b)
Ricordiamo che il vettore v è il vettore differenza di velocità e il vettore dv è
il vettore differenza di velocità infinitesimo.
Vettore accelerazione
Se al vettore differenza di velocità della definizione (1.10a) dell’unità C1,
applichiamo l’equivalenza (2.9a), l’accelerazione media nel moto rettilineo è
completamente descritta dal rapporto
v
 am
t
(2.10)
Se nella definizione (1.11a) dell’unità C1, applichiamo l’equivalenza (2.9b),
l’accelerazione è completamente descritta dal rapporto
dv
a
dt
(2.11)
Le accelerazioni sono positive (negative) quando i relativi vettori hanno verso
concorde (discorde) al versore i.
In modo analogo ai vettori spostamento e velocità, per la variazione del vettore
accelerazione è valida la seguente equivalenza
a = a i  a
(2.12a)
e se la variazione è infinitesima, la (2.12a) diventa
da = da i  da
(2.12b)
Riassumendo:
nei moti rettilinei, le grandezze cinematiche vettoriali, posizione, spostamento, velocità e accelerazione si possono esprimere semplicemente con
il modulo preceduto dal segno algebrico + (–) che indica il verso concorde
(discorde) con il versore dell’asse cartesiano del sistema di riferimento.
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Inoltre
il verso del vettore spostamento indica il verso del moto, che è definito positivo (negativo) se è concorde (discorde) con il versore dell’asse cartesiano
del sistema di riferimento.
 Condizioni iniziali del moto
Le condizioni iniziali del moto rettilineo sono ovviamente identificate con i
valori scalari dei vettori delle grandezze cinematiche. Quindi, ad esempio, per
un tempo iniziale t0 = 0 possiamo avere

posizione iniziale

velocità iniziale
x(0)  x0  5 m
v(0)  v0  10 m s 1

accelerazione iniziale
a (0)  a0  12 m s 2
 Diagramma posizione-tempo (diagramma
x-t)
In figura 2.5 il diagramma posizione-tempo (diagramma x-t) di un punto
materiale P in moto rettilineo: in ascissa il tempo e in ordinata la posizione x
occupata da P al variare del tempo. L’asse delle ordinate è il sistema di riferimento del moto rettilineo (fig. 2.2a) collocato perpendicolarmente all’asse dei
tempi a formare il diagramma. Ogni punto della curva indica in quale istante
di tempo t il punto P occupa una determinata posizione x.
Rimarchiamo che le posizioni occupate da P si trovano sull’asse delle ordinate
e non sulla curva del diagramma: la curva nel diagramma x-t non rappresenta
la traiettoria del moto.
Figura 2.5
Esempio di diagramma x-t per il
moto rettilineo: P parte dalla posizione positiva x0 all’istante t0 = 0,
raggiunge la posizione positiva x1
al tempo t1, torna indietro, ripassa di nuovo per x0 al tempo t2,
passa per l’origine del sistema di
riferimento al tempo t3, e infine
raggiunge la posizione negativa
x2 al tempo t4 per rimanerci fino
all’istante t5.
x
x1
x0
t3
0
-x2
t1 t2
t4
t5
t
255
256
MODULO C - CINEMATICA
Il moto più semplice è il moto rettilineo uniforme, nel quale il corpo percorre uguali
tratti di traiettoria in uguali intervalli di tempo.
2.2
Moto rettilineo uniforme
Un punto materiale in moto rettilineo uniforme (MRU) percorre una traiettoria
rettilinea con vettore velocità costante, cioè
v (t )  v
(2.13a)
La (2.13a) significa che il vettore v è indipendente dal tempo (fig. 2.6). Siccome
l’accelerazione è una variazione di velocità rispetto al tempo, e il vettore velocità non varia, nel MRU non esiste vettore accelerazione; quindi
a(t )  0
(2.13b)
Essendo il moto rettilineo, esprimiamo la velocità media e scalare rispettivamente nella forma (2.7) e (2.8). Inoltre, per la condizione (2.13a), il modulo di v
rimane costante, indipendentemente dal fatto che l’intervallo di tempo rispetto
allo spostamento sia t o dt: quindi
vm 
x dx

v
t dt
(2.14)
cioè
nel moto rettilineo uniforme la velocità media scalare e quella scalare sono
uguali e mantengono per tutto il moto lo stesso valore costante.
Il segno più (meno) nella (2.14) compare quando il vettore spostamento ha
verso concorde (discorde) con il versore dell’asse cartesiano. Quindi
la velocità è positiva (negativa) quando il verso del moto è positivo (negativo).
Problema svolto 2.1
Un automobilista percorre su un’autostrada rettilinea una distanza
x1 = 90 km nel tempo t1 = 1,0 ora con velocità costante v1; successivamente una distanza x2 = 110 km in t2 = 1,5 ore con velocità costante v2.
Determinare:
1) le velocità v1 e v2 (in m s–1);
2) la velocità media v sull’intero percorso.
1) Consideriamo l’asse di riferimento x con direzione e verso coincidenti con
quelli del moto. Gli spostamenti (e quindi le velocità) hanno segno positivo.
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Determiniamo le velocità v1 e v2 utilizzando la definizione (2.14)
v1 
v2 
x1 90 km 90 103 m


 25 m s 1
3600 s
t1 1,0 h
x2 110 km 110 103 m


 20 m s 1
1,5 h
1,5 (3600 s)
t2
2) La distanza totale
xtot  x1  x2  (90  110) km  2, 0 103 km
è percorsa nel tempo
ttot  t1  t2  (1, 0  1,5) ore  2,5 ore
La velocità media sull’intero percorso è
v
xtot 2, 0 102 km
km
103 m

 80
 80 
 22 m s 1
ttot
2,5 h
h
3600 s
 Diagramma velocità-tempo nel MRU
La figura 2.6 evidenzia la relazione (2.13a): una traiettoria rettilinea con punto
materiale P in MRU. In ogni istante di tempo, il vettore velocità, per definizione tangente alla traiettoria, ha modulo costante.
v(ti)
O
i
P(ti)
Il diagramma velocità-tempo (diagramma v-t) di figura 2.7 mostra
l’andamento della velocità v rispetto al tempo t nel MRU. Il grafico
è costituito dalla semplice funzione
(2.13a): una semiretta parallela all’asse dei tempi con un generico valore di
velocità costante v0 in ordinata.
v(tj)
Figura 2.6
Nel MRU, in qualsiasi istante di
tempo, il punto materiale P è soggetto al medesimo vettore velocità
v (in figura il verso del moto è
ipotizzato positivo).
v(tk)
P(tj)
P(tk)
x
Figura 2.7
Diagramma v-t nel MRU con velocità costante v0 (il tempo iniziale
è t = 0).
v
v0
0
t
 Legge oraria e diagramma distanza-tempo nel MRU
Supponiamo il punto materiale P in MRU con posizione iniziale x(t0) e posizione x(t) nell’istante t. Siccome lo spostamento coincide con la distanza percorsa,
cioè
x  x(t )  x(t0 )  s (t )  s0
257
258
MODULO C - CINEMATICA
possiamo scrivere la (2.14) come
v 
s (t )  s0
t  t0
(2.15)
Isoliamo s(t) per ottenere la legge oraria del MRU
s (t )  v(t  t0 )  s0
(2.16a)
Se poniamo t0 = 0, la legge diventa
s (t )  v t  s0
(2.16b)
e se per t0 = 0, s0 = 0, la legge si semplifica ulteriormente come
s (t )  v t
Figura 2.8
Diagramma s-t con posizione iniziale s0 per t = 0. Il coefficiente
angolare m della semiretta è uguale alla velocità v. Ricordiamo che
m è uguale alla tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse
delle ascisse (m = tan ).
s
s0
0
a
t
(2.16c)
Dalla geometria analitica le (2.16)
sono equazioni di una retta con coefficiente angolare uguale alla velocità
(vedere fig. 2.4, modulo A2). In figura
2.8 il diagramma s-t con la retta relativa alla (2.16b); per quella relativa
alla (2.16c) basta spostare parallelamente la retta verso il basso in modo
che s0 = 0.
Problema svolto 2.2
Paolo e Franco partono dagli estremi di un corridoio lungo 20 m e si muovono l’uno verso l’altro, rispettivamente, con velocità costanti di 4,5 m s–1
e 5,5 m s–1.
1) Tracciare il grafico posizione-tempo dei moti di Paolo e Franco.
2) Determinare dopo quanto tempo dall’istante di partenza, Paolo e
Franco s’incontrano.
1) Poniamo l’asse di riferimento x con origine nel punto iniziale del moto di
Paolo e con direzione e verso coincidenti con quelli del suo moto. Lo spostamento e, quindi, la velocità di Paolo hanno segno positivo.
Lo spostamento di Franco è invece negativo perché il vettore spostamento
è discorde rispetto al versore dell’asse x; di conseguenza anche la velocità è
negativa.
Le condizioni iniziali sono quindi
x0P  0, 00 m
x0F  20 m
v0P  4,5 m s 1
v0F  5,5 m s 1
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
In figura 2.9, il diagramma x-t con i moti di Paolo e
Franco rappresentati da due semirette: quella relativa al
moto di Paolo è una semiretta uscente dall’origine degli
assi con pendenza positiva; quella relativa al moto di
Franco è una semiretta che parte dal punto di ordinata
20 m con pendenza negativa.
x (m)
20
15
2) Scriviamo le leggi orarie del due moti utilizzando la
(2.16c) per Paolo e la (2.16b) per Franco
xP  vP t
(1)
xF  x0F  vF t
(2)
P
10
5,0
F
1,0
L’istante in cui s’incontrano è quando le posizioni di Paolo e Franco coincidono, cioè
2,0
3,0
4,0
t (s)
Figura 2.9
xP  xF
Perciò, sostituiamo con la (1) e la (2)
vP t  x0F  vF t
da cui
t
x0F
20 m

 2, 0 s
1
vP  vF 4,5 m s  (5,5 m s 1 )
In figura 2.10 il diagramma s-t per due
punti materiali, A e B, ipotizzati in moto
con le leggi orarie (2.16c)
s (t )  vA t
e
A
s (t )  vB t
La pendenza più accentuata della retta
relativa al punto materiale A comporta
un coefficiente angolare maggiore di
quello relativo al punto materiale B, e
dunque
vA  vB
Figura 2.10
Diagramma s-t per due punti materiali (per t = 0, s0 = 0).
s
v A > vB
B
0
t
 Determinazione della distanza dal diagramma
velocità-tempo
Riportiamo in figura 2.11a il diagramma v-t di figura 2.7: la legge oraria del
punto materiale con velocità rappresentata dal diagramma è la (2.16c)
s (t )  v0 t
Se desideriamo conoscere la distanza percorsa al generico istante ti dobbiamo
calcolare il prodotto
s (ti )  v0 ti
equivalente all’area del rettangolo di altezza v0 e base ti della figura. Se il tempo
iniziale è diverso da zero, la base del rettangolo diventa il segmento di ascissa
compreso tra t0 e ti (fig. 2.11b).
259
260
MODULO C - CINEMATICA
Grazie al calcolo integrale (unità A2, par. 2.2, fig. 2.15) il metodo grafico
descritto ha validità generale, qualsiasi sia l’andamento della curva nel diagramma v-t e, dunque, qualsiasi sia il tipo di moto. Adotteremo di nuovo questo metodo nel prossimo paragrafo (vedere fig. 2.17).
Figura 2.11
Metodo grafico per la determinazione della distanza dal diagramma v-t: (a) con t0 = 0; (b) con
t0 ≠ 0.
a
v
v
v0
v0
0
t
ti
b
0
t0
t
ti
 MRU a tratti
Nel moto rettilineo uniforme a tratti il punto materiale percorre tratti di traiettoria, ciascuno a velocità diversa.
L’analisi della cinematica deve quindi essere spezzata nel numero di tratti a
velocità costante, e trattare il singolo tratto come se fosse un MRU indipendente dagli altri.
Per il MRU a tratti è indispensabile il diagramma posizione-tempo (diagramma
x-t) che indica la coordinata dell’asse x occupata dal punto materiale al variare
del tempo (attenzione a non confonderlo con il diagramma s-t).
Consideriamo l’esempio di MRU a tratti di figura 2.12 con diagramma x-t con
asse delle ordinate la traiettoria del punto materiale P, e il diagramma v-t; i tratti
a velocità costante sono indicati dalle lettere a, b, c, d.
Figura 2.12
Esempio di MRU a tratti: (a) diagramma x-t; (b) diagramma v-t.
x
b
x1
a
c
t3 t4
O
t1
t5
t
t2
d
x2
a
x
va
vd
vb
O
-vc
b
a
d
b
t1
t2
t4
t5
t
c
Analizziamo ogni tratto singolarmente seguendo il moto di P sulla traiettoria
insieme all’andamento dei diagrammi.
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
tratto a
P parte da x0 = 0 all’istante t0 = 0 e, con moto di verso positivo, raggiunge x1 al
tempo t1; per la (2.15) la velocità va è
va 
x1  x0
t1  t0
Essendo x1 > x0, va > 0 come conferma la pendenza positiva del tratto e l’ascissa
positiva del diagramma v-t.
tratto b
P rimane fermo a x1 dall’istante t1 fino all’istante t2; la velocità vb è
vb 
x1  x1
0
t2  t1
come conferma la pendenza orizzontale del tratto e l’ascissa pari a 0 nel diagramma v-t.
tratto c
P riparte da x1 all’istante t2 e, con moto di verso negativo, ripassa in O all’istante
t3 e raggiunge la coordinata negativa x2 all’istante t4; la velocità vc è
vc 
x2  x1
t4  t2
Essendo x2 < 0 e x1 > 0, vc risulta minore di 0, come conferma la pendenza
negativa del tratto e l’ascissa negativa del diagramma v-t.
tratto d
All’istante t4 il punto P, che si trova in x2, inverte il verso del moto che diventa
di nuovo positivo e raggiunge x0 all’istante t5; la velocità vd è
vd 
x0  x2
t5  t 4
ed essendo x0 > x2, risulta vd > 0.
Dal precedente esempio deduciamo che:



i tratti del diagramma x-t a pendenza negativa sono relativi a moti con verso
negativo e, di conseguenza, la velocità in quei tratti è negativa.
il diagramma v-t è una spezzata di segmenti paralleli all’asse x a conferma
che in ogni tratto è MRU.
i valori in valore assoluto delle velocità sono uguali ai valori assoluti dei
coefficienti angolari (m) dei segmenti nel diagramma x-t: quindi, maggiore
è la pendenza del segmento, maggiore è il modulo del vettore velocità; confrontando i diagrammi del precedente esempio abbiamo infatti
m
c
 vc    ma  va    md  vd    mb  vb 
261
262
MODULO C - CINEMATICA
Complichiamo il moto rettilineo descritto nel paragrafo precedente variando la
velocità, in modo che si abbia in ogni istante del moto un’accelerazione costante.
2.3
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
Un punto materiale in moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA) percorre una traiettoria rettilinea con vettore accelerazione costante, cioè
a(t )  a
(2.17)
La (2.17) significa che il vettore a è indipendente dal tempo (fig. 2.13). Siccome
per definizione, l’accelerazione è causata da una variazione di velocità, il vettore velocità nel MRUA è un vettore variabile.
Essendo il moto rettilineo, esprimiamo l’accelerazione media e scalare rispettivamente nella forma (2.10) e (2.11). Inoltre, per la condizione (2.17), il modulo
di a rimane costante, indipendentemente dal fatto che l’intervallo di tempo
rispetto allo spostamento sia t o dt; quindi
am 
v dv

a
t dt
(2.18)
cioè
nel moto rettilineo uniformemente accelerato, l’accelerazione media scalare
e quella scalare sono uguali e mantengono per tutto il moto lo stesso valore
costante.
Il segno algebrico dell’accelerazione dipende dal verso del moto e dalla variazione del modulo del vettore velocità, come andiamo a descrivere applicando
la (2.18).


Verso del moto positivo (velocità sempre positiva)
- in caso di aumento del modulo di v: v > 0 e quindi a > 0.
- in caso di diminuzione del modulo di v: v < 0 e quindi a < 0.
Verso del moto negativo (velocità sempre negativa)
- in caso di aumento del modulo di v: v < 0 e quindi a < 0.
- in caso di diminuzione del modulo di v: v > 0 e quindi a > 0.
Quando il modulo del vettore velocità v diminuisce, l’accelerazione è definita
decelerazione.
Come esempio può essere utile il moto dell’automobile considerando il pedale
dell’acceleratore e il tachimetro che segna la velocità; supponendo una strada
rettilinea e verso del moto positivo, si ha
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE

a > 0 quando si pigia il pedale (tachimetro in aumento, accelerazione);

a < 0 quando si alza il pedale (tachimetro in diminuzione, decelerazione);

a = 0 quando si tiene il pedale al medesimo livello (tachimetro costante,
nessuna accelerazione).
Problema svolto 2.3
Un automobilista viaggia alla velocità costante di 90 km/h su una strada
diritta. Vede in lontananza un camion fermo che sbarra la strada e, dunque, frena fino a fermarsi con accelerazione costante di modulo 3,5 m s–2.
Determinare quanto tempo impiega l’automobilista a fermarsi.
Consideriamo l’asse di riferimento x con direzione e verso coincidenti con
quelli del moto dell’automobilista. Gli spostamenti e quindi le velocità hanno
segno positivo.
Siccome l’accelerazione è costante, applichiamo la (2.18). Determiniamo la
variazione di velocità
v  (0  90) km h 1  90 km h 1
Siccome la variazione è negativa, l’accelerazione è negativa, cioè
a  3,5 m s 2
Quindi, dalla (2.16b), il tempo impiegato a bloccare l’auto è
t 
1
v 90 km h

3,5 m s 2
a
90 103 m
 3600 s 2  7,1 s
3,5 m s
 Diagrammi accelerazione-tempo e velocità-tempo
nel MRUA
Lo figura 2.13 evidenzia la relazione (2.17): una traiettoria rettilinea dove il
punto materiale P è in MRUA. In qualsiasi istante di tempo il vettore accelerazione ha modulo costante.
a(ti)
O
i
P(ti)
a(tj)
P(tj)
a(tk)
P(tk)
x
Figura 2.13
Nel MRUA, in qualsiasi istante di
tempo, il punto materiale P è soggetto al medesimo vettore accelerazione a (in figura, verso del
moto e variazione di velocità sono
ipotizzati positivi).
263
264
MODULO C - CINEMATICA
Figura 2.14
Diagramma a-t nel MRUA con
accelerazione costante a0 (il tempo
iniziale è t = 0).
Il diagramma accelerazione-tempo
(diagramma a-t) di figura 2.14 mostra
l’andamento dell’accelerazione a rispetto al tempo t nel MRUA. Il grafico
è costruito dalla semplice funzione
(2.17): una semiretta parallela all’asse
dei tempi con in ordinata un generico
valore di accelerazione costante a0.
a
a0
t
0
Supponiamo il punto materiale P in MRUA con velocità iniziale v(t0) e velocità
nell’istante t, v(t). Quindi la (2.18) possiamo scriverla come
a
v(t )  v0
t  t0
(2.19)
Isoliamo v(t) e otteniamo la relazione della velocità in funzione del tempo nel
MRUA
v(t )  a (t  t0 )  v0
(2.20)
Se poniamo t0 = 0, la (2.20) diventa
v(t )  a t  v0
(2.21a)
e se per t0 = 0 la velocità iniziale è v0 = 0, la (2.21a) si semplifica ulteriormente
come
v(t )  a t
(2.21b)
Figura 2.15
Diagramma v-t con posizione iniziale, per t = 0, v0 = 0 ed v0 ≠ 0. Il
coefficiente angolare m della semiretta è uguale all’accelerazione a.
Ricordiamo che m è uguale alla
tangente dell’angolo che la retta
forma con l’asse delle ascisse.
Dalla geometria analitica la (2.21a)
è l’equazione di una retta con coefficiente angolare uguale all’accelerazione (vedere fig. 2.4, modulo A2).
In figura 2.15 il diagramma v-t con
le semirette relative alla (2.21a) e alla
(2.21b).
v
v0
a
a
t
0
In figura 2.16 il diagramma v-t per due punti materiali, A e B, che ipotizziamo
in moto con le relazioni (2.21b)
v(t )  aA t
Figura 2.16
Diagramma v-t per due punti materiali (per t = 0, v0 = 0).
v
e
v(t )  aB t
La pendenza più accentuata della
retta relativa al punto materiale A
comporta un coefficiente angolare
maggiore di quello relativo al punto
materiale B, e dunque
A
B
aA  aB
0
t
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Grazie alla (2.21b), dal diagramma a-t di figura 2.14 è possibile determinare la
velocità del punto materiale in un certo istante t calcolando l’area del rettangolo di base t e altezza a0. Questo metodo grafico è analogo a quello svolto in
figura 2.11 per la distanza s dal diagramma v-t nel MRU.
Nel MRU, la distanza percorsa è uguale all’area sottesa dalla semiretta del diagramma v-t (fig. 2.11).
Questo metodo è consentito dal calcolo integrale
(unità A2, par. 2.2, fig. 2.16) ed è valido per un qualsiasi andamento della funzione v(t). Lo applichiamo
quindi al diagramma v-t di figura 2.17 per determinare la legge oraria del MRUA.
Supponiamo una velocità iniziale per t = 0 di
v(0) = v0. Determiniamo la distanza percorsa dal
punto materiale al generico istante t dove la velocità
raggiunta è v (vedere diagramma). L’area sottesa
dalla retta è la somma dell’area del rettangolo di
base t e altezza v0
velocità
 Legge oraria e diagramma distanza-tempo nel MRUA
area =
v0
area = v0 t
0
v0 t
1
(v - v0) t
2
tempo
t
Figura 2.17
Metodo grafico per la determinazione della legge oraria del MRUA.
e l’area del triangolo di base t e altezza v
1
 v  v0  t
2
Quindi la distanza percorsa è la somma delle aree
s (t ) 
1
 v  v0  t  v0 t
2
Sapendo dalla (2.21a) che (v – v0) = a t, possiamo scrivere
s (t ) 
1 2
a t  v0 t
2
(2.22)
Se all’istante iniziale t = 0 il punto materiale ha già percorso
la distanza s0, occorre aggiungere la distanza alla precedente
relazione: otteniamo quindi la legge oraria nella sua forma più
generale
s (t ) 
1 2
a t  v0 t  s0
2
s
(2.23)
In figura 2.18, il diagramma s-t relativo alla legge oraria (2.23): è
una porzione di parabola, essendo la funzione di secondo grado
rispetto al tempo.
0
t
Figura 2.18
Diagramma s-t con posizione iniziale s0 = 0 per t = 0.
265
266
MODULO C - CINEMATICA
Problema svolto 2.4
La figura 2.19 mostra il diagramma velocità-tempo di un’automobile in
moto per 8,0 s su un rettilineo.
Determinare
1) il tipo di moto;
2) l’accelerazione;
3) la distanza percorsa dall’automobile.
v (m s-1)
C
20
B
15
10
5,0
A
4,0
2,0
6,0
8,0 t (s)
Figura 2.19
1) Il diagramma velocità-tempo è una retta, quindi il moto si svolge con accelerazione costante. Poiché la retta passa per l’origine, nell’istante iniziale del
moto l’automobile è ferma, cioè
v0  0, 00 m s 1
2) L’accelerazione dell’automobile è il coefficiente angolare della retta.
Consideriamo quindi due generici punti della retta, A = (tA, vA) = (2,0 s, 5,0 m s–1)
e B = (tB, vB) = (6,0 s, 15 m s–1) e poniamo a rapporto le differenze delle coordinate omogenee per ottenere la (2.19)
a
vB  vA (15  5, 0) m s 1

 2,5 m s 2
(6, 0  2, 0) s
tB  tA
3) La distanza percorsa dall’automobile in 8,0 s è uguale all’area del triangolo
rettangolo di base tC = 8,0 s e altezza vC = 20 m s–1
s
1
1
tC vC  (8, 0 s)(20 m s 1 )  80 m
2
2
dove abbiamo applicato il metodo descritto in figura 1.17 (vedere area triangolo).
 Velocità in funzione della distanza nel MRUA
Con semplici passaggi matematici è possibile esprimere la velocità in funzione
della distanza s percorsa senza necessariamente conoscere il tempo.
Eleviamo al quadrato entrambi i membri della (2.20)
v 2 =  a t  v0 
2
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Sviluppando il quadrato del binomio di destra e con qualche passaggio, otteniamo

t2 
v 2  v02  2a  v0 t  a 
2

Il termine tra parentesi è la relazione (2.22) e dunque
v 2  v02  2 a s
Se all’istante iniziale t = 0 il punto materiale ha già percorso la distanza s0, la
distanza effettiva percorsa è (s – s0) e la relazione diventa
v 2  v02  2a ( s  s0 )
(2.24a)
ponendo sotto radice entrambi i membri otteniamo la relazione finale
v  v02  2a ( s  s0 )
(2.24b)
utile in parecchie applicazioni.
 MRUA a tratti
Nel moto rettilineo uniformemente accelerato a tratti il punto materiale percorre tratti di traiettoria, ciascuno ad accelerazione diversa.
L’analisi della cinematica deve quindi essere spezzata nel numero di tratti ad
accelerazione costante, e trattare il singolo tratto come se fosse un moto indipendente dagli altri.
Consideriamo l’esempio di MRUA a tratti rappresentato in figura 2.20 con il
diagramma v-t e il diagramma a-t; i tratti ad accelerazione costante sono indicati dalle lettere a, b, c.
Figura 2.20
Esempio di MRUA: (a) diagramma
v-t; (b) diagramma a-t.
v
v1
b
a
c
v0
t3
0
t1
-v2
t4
t
t2
a
a
a
t1
b
t2
t3
0
t
c
b
t4
267
268
MODULO C - CINEMATICA
Analizziamo ogni tratto singolarmente seguendo il moto di P sulla traiettoria
insieme all’andamento dei diagrammi.
tratto a
P parte all’istante t0 = 0, con velocità iniziale v0 e aumentando la velocità raggiunge la velocità v1 all’istante t1; per la (2.19) l’accelerazione aa è
aa 
v1  v0
t1  t0
Essendo v1 > v0, risulta aa > 0, come conferma la pendenza positiva del tratto e
l’ascissa positiva del diagramma a-t.
tratto b
P è in MRU dall’istante t2 fino all’istante t3 con velocità costante v1; l’accelerazione ab è
ab 
v1  v1
0
t2  t1
come conferma la pendenza orizzontale del tratto e l’ascissa 0 del diagramma
a-t.
tratto c
Tra t2 e t3, P è in decelerazione (il valore di v è in diminuzione), con verso del
moto positivo (v > 0).
Al tempo t3 la velocità si annulla e P inverte il verso del moto.
Tra t3 e t4, P è sempre in decelerazione e il verso del moto diventa negativo
(v < 0) fino a raggiungere la velocità v2; l’accelerazione ac è
ac 
v2  v1
t4  t2
Essendo v2 < 0 e v1 > 0, risulta ac < 0, come conferma la pendenza negativa del
tratto e l’ascissa negativa del diagramma a-t.
Dal precedente esempio deduciamo che:


il diagramma a-t è una spezzata di segmenti paralleli all’asse x, a conferma
che in ogni tratto si tratta di un MRUA.
i valori in valore assoluto delle accelerazioni sono uguali ai valori assoluti
dei coefficienti angolari (m) dei segmenti nel diagramma v-t: quindi maggiore è la pendenza del segmento, maggiore è il modulo del vettore accelerazione nel tratto; confrontando i diagrammi del precedente esempio
abbiamo infatti
 ma  aa    mc
 ac    mb  ab 
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
I corpi che cadono al suolo a causa dell’attrazione gravitazionale della Terra hanno
moto rettilineo uniformemente accelerato.
2.4
Moto in caduta libera
Galileo Galilei studiò il moto dei gravi, cioè la cinematica
dei corpi lasciati cadere da una certa altezza, e dimostrò
che
Figura 2.21
Foto stroboscopia che ritrae istante per istante la caduta nel vuoto
di due corpi di massa diversa; i
due corpi sono lasciati cadere nel
medesimo istante.
in assenza d’aria, tutti i corpi, di qualsiasi massa e dimensione, cadono con la medesima accelerazione costante, con
traiettoria perpendicolare al suolo.
La condizione assenza d’aria significa che non compare
la forza d’attrito generata dallo sfregamento del corpo
con le molecole dell’aria, condizione che si realizza
facendo cadere il corpo in un recipiente dove all’interno
è creato il vuoto.
In figura 2.21 il classico esperimento che prova quanto
affermato da Galilei. Due corpi di massa diversa, lasciati cadere simultaneamente dalla medesima altezza nel
vuoto, assumono posizioni via via uguali e giungono sul
fondo del recipiente nel medesimo istante.
 La forza peso unica responsabile della caduta libera
La causa del moto in caduta libera è la forza peso agente sul corpo. L’effetto
della forza peso si manifesta con l’accelerazione di gravità con cui il corpo cade
(par. 2.1, unità B1). Ipotizzando assenza d’aria, e dunque assenza d’attrito,
diamo le seguenti definizioni:
un punto materiale è in caduta libera quando è sottoposto alla sola forza
peso; l’effetto della forza peso è un moto rettilineo uniformemente accelerato, con accelerazione uguale all’accelerazione di gravità.
ag
(2.25)
che ha modulo g = 9,81 m/s2.
Il termine “caduta” non necessariamente implica un moto del punto materiale
verso il basso.
La caduta libera è un qualsiasi moto in cui il punto materiale è soggetto solo
alla forza peso.
Se per esempio lanciamo una palla verso il basso o verso l’alto, la palla è
comunque in caduta libera non appena lascia la mano.
Studiamo la cinematica della caduta libera in due differenti condizioni iniziali:
il corpo lasciato cadere da fermo, e il corpo lanciato verticalmente.
269
270
MODULO C - CINEMATICA
 Caduta libera da fermo
Figura 2.22
Sistema di riferimento per la caduta libera da fermo.
Immaginiamo di lasciare cadere da
fermo un oggetto da una certa altezx0
0
g
za dal suolo (per esempio dalla cima
i
di un palazzo). La specificazione “da
fermo” significa che il corpo inizia a
muoversi verso il basso nel momento
che lo lasciamo con la mano e dunque
con velocità iniziale nulla.
In figura 2.22 il sistema di riferimento: l’asse x ha direzione perpendicox
suolo
lare al suolo e, per facilitare l’analisi,
con verso rivolto al suolo in modo che
il moto sia di verso positivo. L’origine
è coincidente con il punto di rilascio del punto materiale P su cui agisce la
forza peso, in figura rappresentata dall’effetto vettore accelerazione
gg i
Impostiamo le condizioni iniziali del moto per t0 = 0: la posizione e la velocità
iniziali sono
(2.26a)
x0  0
v0  0
(2.26b)
Il moto è rettilineo uniformemente accelerato: le grandezze cinematiche sono
dunque espresse dalle funzioni del paragrafo 2.3, con la generica accelerazione
a sostituita da quella di gravità g e considerando le condizioni iniziali (2.26).
Per come è collocato il sistema di riferimento, la posizione x(t) coincide con la
distanza percorsa s(t) e, dunque, dalla funzione (2.23)
x(t ) 
1 2
gt
2
(2.27)
La velocità è espressa dalla funzione (2.21a)
v(t )  g t
(2.28)
o dalla funzione rispetto la posizione x (2.24)
v( x)  2 g x
(2.29)
Tempo di caduta e velocità d’impatto
Conoscendo l’altezza h rispetto al suolo da cui il punto materiale è lasciato
cadere, è possibile conoscere i seguenti intervallo di tempo e velocità

tempo di caduta th impiegato da P per raggiungere il suolo: dalla (2.27)
ponendo x(t) = h e isolando il tempo, si ottiene
th 
2h
g
(2.30)
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE

velocità d’impatto vf con cui P tocca il suolo: dalla (2.29) ponendo x = h, si
ottiene
vf  2 g h
(2.31)
Problema svolto 2.5
Un sasso è lasciato cadere dall’alto della Torre Eiffel (h = 3,0 · 102 m).
Trascurando la resistenza dell’aria, determinare la durata della caduta e
la velocità con cui il sasso colpisce il suolo.
Consideriamo come sistema di riferimento un asse x con origine coincidente
con il punto di rilascio del sasso e diretto perpendicolarmente verso il suolo.
Poiché il sasso parte da fermo, le condizioni iniziali sono
v0  0, 00 m s 1
x0  0, 00 m
Calcoliamo il tempo di caduta con la (2.30)
th 
2 (3,0 102 m)
 7,8 s
9,81 m s 2
e la velocità di impatto con la (2.31)
vf  2 (9,81 m s 2 ) (3,0 102 m)  77 m s 1
 Caduta libera con lancio verticale
Immaginiamo di lanciare in verticale un oggetto da una certa altezza
dal suolo (per esempio dalla cima
del solito palazzo). In questo caso, a
causa del lancio, il corpo assume una
velocità iniziale con vettore rivolto
verso l’alto.
x
xmax
In figura 2.23 il sistema di riferimento: l’asse x ha direzione perpendicolare al suolo, con verso rivolto in alto in
modo che il vettore velocità iniziale
abbia modulo positivo, cioè
i
0
Figura 2.23
Sistema di riferimento per la caduta libera con lancio verticale.
v=0
v0
g
x0
suolo
v 0  v0 i
L’origine è coincidente con il punto di lancio del punto materiale P su cui agisce la forza peso in figura rappresentata dall’effetto vettore accelerazione, in
questo caso con verso opposto al versore; quindi
g  g i
271
272
MODULO C - CINEMATICA
Impostiamo le condizioni iniziali del moto per t0 = 0: la posizione e la velocità
iniziali sono
x0  0
(2.32a)
v0  v0
(2.32b)
Il moto è di nuovo rettilineo uniformemente accelerato: le grandezze cinematiche sono dunque espresse dalle funzioni del paragrafo 2.3, con la generica
accelerazione a sostituita da quella di gravità con segno negativo, –g, e con le
condizioni iniziali definite dalla (2.32).
Dalla funzione (2.23) ricaviamo:
x(t ) 
1
( g ) t 2  v0 t
2
(2.33)
La velocità è espressa dalla funzione (2.21a)
v(t )  ( g ) t  v0
(2.34)
oppure, rispetto alla posizione x, dalla (2.24)
v( x)  v02  2 g x
(2.35)
Nel caso di lancio verticale verso il basso è consigliabile prendere l’asse cartesiano rivolto verso il basso e considerare l’accelerazione di gravità con segno
positivo.
Tempo di salita e quota massima
Quando il corpo è lanciato verso l’alto, la sua velocità diminuisce fino ad
annullarsi all’apice xmax della salita (fig. 2.23), dove v = 0. Questa osservazione
consente di conoscere i seguenti intervallo di tempo e posizione

tempo di salita ts (impiegato da P per raggiungere xmax), ottenuto dalla
(2.34) ponendo v = 0:
0  ( g ) ts  v0
da cui
ts 

v0
g
(2.36)
quota massima xmax raggiunta da P, ottenuta dalla (2.35) ponendo v = 0
(0) 2  2 (  g ) xmax  v02
da cui
xmax 
v02
2g
(2.37)
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Problema svolto 2.6
Una palla è lanciata verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale di
5,0 m s–1 per poi essere ripresa quando ricade. Trascurando la resistenza
dell’aria, determinare a quale altezza massima arriva la palla e quanto tempo
impiega la palla a raggiungere l’altezza massima e tornare al punto di lancio.
Calcoliamo la quota raggiunta dalla palla applicando la (2.37)
xmax
(5,0 m s 1 ) 2

 1,3 m
2 (9,81 m s 2 )
Il tempo di salita è dato dalla (2.36)
ts 
5, 0 m s 1
 0,51 s
9,81 m s 2
La palla ricade con la stessa accelerazione (in valore assoluto), ripassa da ogni
punto con la stessa velocità e torna al punto di partenza nello stesso tempo
impiegato per la salita. Il tempo t impiegato dalla palla per tornare al punto di
lancio è perciò
t  2ts  1, 0 s
Il moto armonico è un esempio di moto vario, dove né la velocità, né l’accelerazione
sono costanti, come invece lo sono nel MRU e nel MRUA.
2.5
Moto armonico
Figura 2.24
Pendolo di un orologio.
Un moto molto comune è quello oscillatorio che osserviamo, per esempio, nel movimento di un’altalena o di un
pendolo per orologio (fig. 2.24): il corpo oscilla avanti e
indietro, percorrendo i medesimi punti dello spazio, tracciando quindi una traiettoria limitata nello spazio.
Il più semplice tra i moti oscillatori è un moto rettilineo,
chiamato moto armonico.
Nel moto armonico il punto materiale percorre un
segmento rettilineo dove tocca a intervalli uguali di tempo
i medesimi punti della traiettoria senza mai uscire dagli
estremi del segmento.
Figura 2.25
Sistema di riferimento del moto
armonico.
La figura 2.25 mostra il sistema di riferimento del moto
armonico: il segmento-traiettoria è posizionato con gli
estremi, A e –A, equidistanti dall’origine O.
Gli estremi A e –A sono i punti di inversione del moto; infatti, il punto materiale P, una volta raggiunto un estremo del
segmento, inverte il moto e torna indietro per ripercorrere
la traiettoria fino all’estremo opposto.
-A
i
O
A
x
273
274
MODULO C - CINEMATICA
Il punto O, definito centro di oscillazione, è scelto come posizione iniziale per
t = 0.
La distanza A è definita ampiezza di oscillazione; il motivo del termine è chiaro
osservando la figura 2.29a.
 Esempi di moto armonico
Analizziamo due esempi di moto armonico, dove è possibile osservare il moto
di oscillazione tra gli estremi A e –A del segmento-traiettoria.
Moto armonico con molla
In figura 2.26, un corpo C è vincolato a una molla ed è posizionato nell’istante
iniziale al centro di oscillazione O. Se si tira la molla verso l’estremo A o la si
spinge verso l’estremo –A, a causa della forza elastica della molla (unità B1, par.
1.3, fig. 1.9), s’innesca una oscillazione del corpo tra i due punti di inversione.
Figura 2.26
Un corpo sollecitato dalla forza
elastica di una molla compie un
moto armonico.
C
O i
-A
A
x
Moto armonico come proiezione durante moto circolare
Figura 2.27
La proiezione di un corpo sul diametro della sua traiettoria circolare
compie un moto armonico.
In figura 2.27 un corpo C è in moto
lungo una circonferenza a velocità
scalare costante: la proiezione P del
corpo sul diametro della circonferenza oscilla tra i punti di inversione A
e –A.
C
P
-A
i
O
P
A
x
Ritorneremo su questo esempio in
modo approfondito nel paragrafo 3.5
della prossima unità.
 Parametri del moto armonico
Nel moto armonico si ha oscillazione completa quando il punto materiale P
parte da un qualsiasi punto della traiettoria-segmento e ritorna al medesimo
punto, dopo che ha percorso tutti i punti del segmento. Per esempio, un’oscillazione completa avviene quando P parte da O, tocca A, inverte il moto, tocca
–A e conclude in O (vedere fig. 2.26 e fig. 2.27).
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Definita l’oscillazione completa, possiamo introdurre le seguenti tre grandezze
fisiche scalari indispensabili per la cinematica del moto armonico


periodo T: intervallo di tempo impiegato dal punto materiale a compiere
un’oscillazione completa.
frequenza f: numero di oscillazioni complete compiute dal punto materiale
in un secondo; è il reciproco del periodo T
f 
1
T
(2.38)
L’unità di misura della frequenza è l’hertz (Hz) oppure 1/s. Un hertz equivale a
una frequenza in cui l’oscillazione completa si compie in un secondo.

pulsazione : grandezza fisica scalare definita come
  2 f 
2
T
(2.39)
L’unità di misura è il radiante al secondo (rad/s). Il radiante è un unità di misura dell’ampiezza di un angolo (unità A2, par. 2.3, fig. 2.19b). La (2.39) sarà
dimostrata nel paragrafo 3.4 della prossima unità.
 Diagramma posizione-tempo nel moto armonico
Il sistema di figura 2.28 aiuta a comprende l’andamento della posizione del
punto materiale in moto armonico durante una sua oscillazione. Lo scorrimento orizzontale della striscia di carta durante l’oscillazione verticale della molla
simula il passare del tempo. Osserviamo che la curva tracciata è una sinusoide
(unità A2, par. 2.3, fig. 2.22). Quindi
la posizione occupata dal punto materiale durante il moto armonico è una
funzione sinusoidale.
Figura 2.28
Oscillazione verticale di una molla
appesa per il tracciamento della
funzione (2.40).
275
276
MODULO C - CINEMATICA
Sia il punto materiale P in moto armonico con frequenza f: la posizione x(t) di
P al variare del tempo t è la funzione sinusoidale
x(t )  A sen t
Figura 2.29
(a) Diagramma x-t per il moto
armonico (per t = 0, x0 = 0). (b)
Diagramma v-t. (c) Diagramma a-t.
(2.40)
dove la pulsazione  è data dalla (2.39) e A è l’ampiezza dell’oscillazione.
La figura 2.29a mostra l’andamento sinusoidale della (2.40) per un intervallo
di tempo uguale al periodo T.
x
v
a
A
Aw
Aw 2
0
-A
0
t
T
4
T
2
3
T
4
-Aw
T
a
t
T
4
T
2
3
T
4
0
-Aw 2
T
b
t
T
4
T
2
3
T
4
T
c
 Moto armonico come esempio di moto vario
Un moto è definito vario quando i vettori velocità e accelerazione non sono
costanti nel tempo. Dimostriamo che il moto armonico è un esempio di moto
vario, descrivendo gli andamenti della velocità e dell’accelerazione per un
punto materiale che occupa la coordinata x(t) secondo la funzione (2.40).
Velocità
La figura 2.29b mostra l’andamento della velocità durante un oscillazione
completa; il grafico è descritto dalla funzione coseno di ampiezza A
v(t )  A cos t
(2.41a)
Confrontiamo il grafico con quello di figura 2.29a:


negli intervalli in cui la velocità è positiva (negativa) il moto di P ha verso
positivo (negativo).
il modulo del vettore v è massimo nel centro di oscillazione, con
vmax  A
(2.42b)
ed è nullo nei punti di inversione del moto, cioè nei punti in cui s’inverte il
verso del moto.
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Accelerazione
La figura 2.29c mostra l’andamento dell’accelerazione durante un oscillazione
completa; il grafico è descritto dalla funzione seno di ampiezza A2
a (t )   A 2 sen t
(2.43a)
Confrontiamo il grafico con quelli di figure 2.29a e b:


l’accelerazione è positiva (negativa) quando il punto materiale occupa coordinate negative (positive); in altri termini il vettore a ha verso sempre rivolto
al centro di oscillazione.
il modulo del vettore a è massimo nei punti d’inversione, con
amax  A 2
(2.43b)
infatti i punti d’inversione sono quelli in cui è massima la variazione della velocità; il modulo è nullo nel centro di oscillazione.
Le dimostrazioni delle relazioni (2.42b) e (2.43b) saranno spiegate nel paragrafo 3.5 dell’unità C3.
Le funzioni x(t), v(t) e a(t) del moto armonico saranno ulteriormente commentate nell’approfondimento di questa unità.
Problema svolto 2.7
Una massa fissata a una molla oscilla cinque volte in un secondo con
moto armonico, tra due posizioni distanti 8 cm.
Determinare il periodo del moto, la frequenza, la pulsazione e l’ampiezza.
Scrivere la funzione posizione del moto.
Poiché la molla compie cinque oscillazioni in un secondo, il periodo T è
T
1s
 0, 2 s
5
La frequenza è dalla (2.38)
f 
1
1

 5 Hz
T 0, 2 s
e la pulsazione è dalla (2.39)
 2 (5 Hz)  3 10 rad s 1
L’ampiezza, per definizione, è la metà della distanza tra i due punti di inversione di moto, e dunque è
8 cm
 4 cm
2
Per la funzione posizione occorre sostituire i dati nella funzione (2.40): quindi
x(t )  A sen t  (0,4 m ) sen (3 10 rad s 1 ) t
277
278
MODULO C - CINEMATICA
APPROFONDIMENTO
Velocità e accelerazione nel moto rettilineo vario
 Velocità media e velocità nel MRV
Nei moti rettilinei uniformi a tratti, la determinazione della velocità e accelerazione è semplice: la velocità è il coefficiente angolare del
segmento che esprime la variazione di posizione
(fig. 2.12) e l’accelerazione è il coefficiente angolare del segmento che esprime la variazione di
velocità (fig. 2.20).
Situazione diversa per il moto rettilineo vario
(MRV), dove la variazione della posizione rispetto al tempo nel diagramma posizione-tempo
non è rappresentata da una retta, ma da una
generica curva come succede per il moto armonico (fig. 2.29a).
Consideriamo il diagramma x-t di figura 2.30
con tracciata una generica curva (non rettilinea)
descritta dalla funzione
x  f (t )
Andiamo a ricavare la velocità media e la velocità.
Velocità media
Deduciamo dal grafico la velocità media rispetto
a un generico intervallo di tempo
Nel moto rettilineo vario il diagramma posizione-tempo mostra un andamento non lineare.
t  (ti  t )  ti
Come conseguenza
Dalla (2.7) che riproponiamo
nel moto rettilineo vario la velocità e l’accelerazione sono entrambe grandezze fisiche variabili nel tempo.
x
 vm
t
Di conseguenza per dedurre la velocità (l’accelerazione) occorre valutare la pendenza della
retta tangente punto per punto della curva del
diagramma x-t (diagramma a-t). Il metodo è
descritto nell’unità A2, paragrafo 2.2, dedicato
al concetto di derivata (fig. 2.13) che invitiamo
a rivedere.
retta tangente
al punto 1
x
2
x (ti + Dt)
abbiamo il modo di ricavare geometricamente
la velocità media. Tracciamo sull’asse dei tempi
l’intervallo t e, tramite la curva, l’intervallo
delle posizioni
x  x(ti  t )  x(ti )
retta passante
per i punti 1 e 2
x = f(t)
Dx
x (ti)
1
Dt
O
ti
ti + Dt
t
Figura 2.30
Determinazione della velocità media e della velocità per il moto vario. Il metodo è valido anche
per il caso di MRUA dove il diagramma x-t è una
parabola (fig. 2.18).
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Gli estremi dei due intervalli sono le coordinate
dei punti 1 e 2. Dalla geometria analitica, vm è
il coefficiente angolare della retta passante per
i punti 1 e 2.
Per esempio, la funzione posizione per il MRV
armonico (2.40)
x(t )  A sen t
descrive l’andamento della posizione (fig. 29a).
Velocità
La sua derivata è la funzione
Per la velocità procediamo come descritto nella
figura 2.13 dell’unità A2. La velocità è definita
dalla (2.8) che riproponiamo
dx
v
dt
In questo caso dobbiamo ridurre a zero l’intervallo t, in modo da avvicinare il punto 2 al
punto 1 e, di conseguenza la retta passante per
i due punti diventare tangente al punto 1 (retta
tratteggiata in figura). Quindi
v(t )  A cos t
che (appunto) descrive l’andamento della velocità (fig. 2.29b).
 Accelerazione media e
accelerazione nel MRV
la velocità nell’istante ti è il coefficiente angolare della retta tangente al punto di coordinate
x(ti) e ti del diagramma x-t.
Il procedimento per determinare l’accelerazione
media e l’accelerazione è perfettamente analogo
a quello per la velocità: occorre solo sostituire la
posizione x con la velocità v e la velocità v con
l’accelerazione a.
Trasformiamo la definizione in termini analitici
ricorrendo alla definizione di derivata.
Di nuovo come esempio il MRV armonico: la
funzione velocità (2.41a)
La velocità nell’istante ti è la derivata della funzione posizione x = f(t) calcolata per t = ti.
Per quanto riguarda l’andamento della velocità
nel MRV abbiamo che
la derivata della funzione posizione x = f(t) è la
funzione che descrive l’andamento della velocità nel diagramma v-t per il MRV.
v(t )  A cos t
descrive l’andamento della velocità nel diagramma v-t (fig. 29b): la sua derivata è la funzione
a (t )   A 2 sen t
che descrive l’andamento dell’accelerazione nel
diagramma a-t (fig. 29c).
279
unità
C2 Riepilogo
2.1 Moti rettilinei
traiettoria rettilinea: comporta come sistema
di riferimento un singolo asse cartesiano.
2.3 Moto rettilineo uniformemente
accelerato
accelerazione:
grandezze cinematiche: sono espresse solo con
i moduli dei relativi vettori preceduti dal segno
algebrico più (meno) se il vettore è concorde
(discorde) con il versore dell’asse cartesiano.
verso del moto: è indicato dal vettore spostamento; è positivo (negativo) se il vettore spostamento è concorde (discorde) con il versore
dell’asse cartesiano.
a(t )  a
che si traduce in vettore accelerazione sempre
costante.
velocità:
v(t )  a t  v0
verso del vettore velocità: è sempre concorde a
quello del moto.
2.2 Moto rettilineo uniforme
dove v(t) è la velocità all’istante t, a è l’accelerazione costante e v0 è la velocità iniziale; il grafico
è una retta con coefficiente angolare a.
velocità:
v (t )  v
legge oraria:
s (t ) 
che si traduce in vettore velocità sempre costante.
velocità media e scalare:
vm = v
la velocità media è uguale alla velocità scalare.
1 2
a t  v0 t  s0
2
dove s(t) è la distanza percorsa all’istante t, a è
l’accelerazione costante, v0 è la velocità iniziale,
s0 è la posizione iniziale; il grafico è una porzione di parabola.
velocità in funzione della distanza:
accelerazione:
a(t )  0
che si traduce in vettore accelerazione sempre
nullo.
legge oraria:
v  v02  2a ( s  s0 )
dove a è l’accelerazione costante, v0 è la velocità iniziale, s0 è la posizione iniziale; v indica
la velocità che assume il punto materiale alla
distanza percorsa (s – s0).
s (t )  v t  s0
2.4 Moto in caduta libera
dove s(t) è la distanza percorsa all’istante t, v è
la velocità costante ed s0 è la posizione iniziale;
il grafico è una retta con coefficiente angolare v.
caduta libera: moto dove agisce solo la forza peso,
imprimendo al punto materiale un’accelerazione
uguale all’accelerazione di gravità g = 9,81 m/s2.
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
caduta libera da fermo: moto in cui il punto
materiale è lasciato cadere da una altezza h
senza imprimere alcun lancio o spinta.
tipo di moto: rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione uguale a quella di gravità.
281
punti di inversione: estremi del segmento-traiettoria, dove il corpo inverte il verso del moto.
centro di oscillazione: punto medio del segmento-traiettoria, equidistante dai punti di
inversione.
ampiezza di oscillazione: distanza tra il centro
di oscillazione e un punto di inversione.
tempo di caduta:
th 
2h
g
dove h è l’altezza da cui è lasciato cadere il punto
materiale e g è l’accelerazione di gravità.
oscillazione completa: oscillazione in cui il corpo
ritorna al punto iniziale dopo essere passato una
sola volta per tutti i punti del segmento-traiettoria.
periodo: intervallo di tempo indicato con T che
il corpo impiega a compiere un oscillazione
completa.
velocità d’impatto al suolo:
frequenza:
f 
vf  2 g h
1
T
dove h è l’altezza da cui è lasciato il punto materiale e g è l’accelerazione di gravità.
indica il numero di oscillazioni complete compiute durante il periodo T.
caduta libera con lancio verticale: caduta libera in cui il punto materiale è lanciato verso l’alto, in verticale, con una velocità iniziale v0.
pulsazione:
  2 f 
2
T
tempo di salita:
dove T è il periodo ed f è la frequenza.
posizione:
x(t )  A sen t
dove ts è il tempo che impiega il punto materiale
a salire alla massima quota dove la velocità si
annulla e, inizia a scendere verso il suolo; v0 è la
velocità iniziale di lancio e g è l’accelerazione di
gravità.
dove x(t) è la posizione occupata all’istante t, A è
l’ampiezza di oscillazione,  è la pulsazione.
quota massima:
velocità:
è la distanza percorsa dal punto materiale dal
punto di lancio alla sommità della sua traiettoria verticale dove la velocità si annulla.
v(t )  A cos t
dove v(t) è la velocità all’istante t, A è la pulsazione.
accelerazione:
2.5 Moto armonico
moto armonico: moto rettilineo dove il corpo
oscilla tra gli estremi di un segmento (segmentotraiettoria).
a (t )   A 2 sen t
dove a(t) è l’accelerazione all’istante t, A è l’ampiezza di oscillazione,  è la pulsazione.
Riepilogo
v02
2g
C2
xmax 
unità
v
ts  0
g
unità
C2
Verifiche
TEST
1
2
3
La figura rappresenta il diagramma posizionetempo di un corpo.
Un punto materiale si muove di moto uniforme
lungo una linea retta. All’istante iniziale t = 0
occupa la posizione x0 = 0. La velocità, l’accelerazione e la posizione all’istante t sono
a) v = 0, a = 0, x = 0
b) v = cost, a = 0, x = 0
c) v = cost, a = 0, x = v t
d) v = cost, a = cost, x = v t
x (m)
20
10
0
Tra i grafici in figura, quale rappresenta un
moto rettilineo uniforme?
1
-10
2
3
4
t (s)
5
-20
a)
x (m)
Qual è il grafico velocità-tempo corrispondente?
t (s)
a)
v (m/s)
20
b)
10
x (m)
0
-10
1
2
3
4
5
t (s)
1
2
3
4
5
t (s)
1
2
3
4
5
t (s)
-20
t (s)
c)
b)
v (m/s)
20
10
v (m/s)
0
-10
-20
t (s)
c)
d)
v (m/s)
20
v (m/s)
10
0
-10
t (s)
-20
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
283
d)
v
v (m/s)
20
C
10
B
0
1
-10
2
3
4
D
t (s)
5
A
-20
t (s)
4
In figura è rappresentato il diagramma velocitàtempo di un corpo che si muove lungo una linea
retta. La distanza percorsa dal corpo in 3 s è
a) 1 m
b) 3 m
c) 5 m
d) 9 m
7
At which point on the preceding velocity-time
graph is the acceleration negative?
a) A
b) B
c) C
d) D
8
Un corpo in moto su una linea retta ha il diagramma velocità-tempo in figura. Lo spazio
percorso dal corpo è
a) 16 m
b) 24 m
c) 32 m
d) 48 m
v (m/s)
3
v (m/s)
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
8,0
6,0
2,0
0,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
9
t (s)
Due corpi occupano all’istante iniziale la stessa posizione. Iniziano a muoversi in linea
retta: il primo con un’accelerazione costante
a, il secondo con un’accelerazione costante 2a.
Dopo un certo intervallo di tempo il secondo
corpo ha percorso una distanza
a) doppia rispetto al primo
b) pari alla metà del primo
c) quadrupla rispetto al primo
d) pari a un quarto del primo
Verifiche
At which point on the velocity-time graph is
the acceleration zero?
a) A
b) B
c) C
d) D
4,0
C2
6
Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. All’istante
iniziale t = 0 occupa la posizione x0 = 0 con
velocità v0 = 0. La velocità, l’accelerazione e la
posizione all’istante t sono
a) v = 0, a = 0, x = 0
b) v = cost, a = cost, x = 0
c) v = a t, a = cost, x = v t
d) v = a t, a = cost, x = 1/2 a t2
unità
5
284
MODULO C - CINEMATICA
10 L’accelerazione di caduta libera nel vuoto
a) è costante
b) dipende dalla massa del corpo che cade
c) diminuisce con l’aumentare dell’altezza di
caduta
d) aumenta con l’aumentare dell’altezza di
caduta
Verifiche
C2
16 Cosa si intende per moto rettilineo uniforme?
17 Descrivere il diagramma velocità-tempo di un
moto rettilineo uniforme.
11 A uguale altezza dal suolo la velocità di caduta
nel vuoto
a) è inversamente proporzionale all’accelerazione di gravità
b) è direttamente proporzionale all’accelerazione di gravità
c) aumenta dove l’accelerazione di gravità è
maggiore
d) diminuisce dove l’accelerazione di gravità è
maggiore
18 Si può ricavare la distanza percorsa da un punto
materiale dal diagramma velocità-tempo?
12 Un corpo è lasciato cadere nel vuoto da un’altezza h. La velocità con cui il corpo arriva al
suolo è
21 Cosa si intende per moto rettilineo uniformemente accelerato?
a)
2g
h
b)
2h
g
c)
gh
d)
2gh
13 Nota la pulsazione  di un moto armonico, il
periodo T è
a) 2/
b) /2
c) 2/
d) 
unità
QUESITI
19 Com’è il diagramma distanza-tempo di un
moto rettilineo uniforme?
20 Quale indicazione ci dà la pendenza di un grafico distanza-tempo?
22 Descrivere il diagramma velocità-tempo di un
moto rettilineo uniformemente accelerato.
23 Com’è il diagramma distanza-tempo di un
moto rettilineo uniformemente accelerato?
24 Car A starts from rest and travels in a straight
line with acceleration a. It reaches velocity v
in time t. Car B starts from rest and travels in
a straight line with acceleration a/2. What is
velocity reached by car B at time t?
25 Quando si ha una decelerazione?
26 A car is travelling east moving at 10 m/s when
the brakes are applied. What is the direction of
the acceleration?
14 In un moto armonico la pulsazione è  e l’ampiezza è A. La massima velocità è
a) /A
b) –/A
c) –A
d) A
27 Che tipo di moto è il moto di caduta libera nel
vuoto?
15 Nel moto armonico descritto nel test precedente, la massima accelerazione è
a) –2/A
b) 2/A
c) –2A
d) 2A
29 Un sasso e un foglio di carta cadono insieme
nel vuoto dalla stessa altezza. Quale oggetto
raggiunge il suolo con velocità maggiore?
28 Che valore ha l’accelerazione del moto di
caduta libera nel vuoto?
30 Quali sono le unità di misura nel SI delle grandezze frequenza, pulsazione e periodo?
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
Moto rettilineo uniforme (2.2)
33 Sapendo che la velocità uniforme del suono
è di 340 m/s, calcolare dopo quanto tempo
un suono prodotto in A è percepito in B, se la
distanza tra A e B è di 1,6 km.
34 Per determinare esattamente la distanza TerraLuna, è stato messo sulla Luna uno specchio.
Si è misurato che la luce impiega 2,50 s a percorrere il tragitto Terra-Luna-Terra. Qual è la
distanza Terra-Luna?
35 Un ciclista ha percorso un itinerario alla velocità media di 36,0 km/h, impiegando 6,00 ore
e 15,0 minuti. Calcolare la lunghezza del percorso.
36 A person walks north for 20 minutes at a speed
of 1.2 m/s. She then has lunch, while resting
for 10 minutes. She continues to walk north
for another 30 minutes at 1.2 m/s. What is her
speed during this hour?
37 Un’automobile è partita da Milano dirigendosi
verso Modena. La sua tabella di marcia è la
seguente
Ore
Casello
autostradale di
km
percorsi
8,00
Milano
0,00
9,00
Parma
110
9,30
Modena Nord
157
39 Un aereo che dovrebbe percorrere 3270 km
alla velocità media di 520 km/h, causa vento
contrario, è in ritardo di 20,0 minuti. Qual è
stata la sua velocità media?
40 At t = 2.0 s a particle moving with constant velocity is at x = 8.8 m. What is its position in meters
at t = 2.8 s if it starts at the origin at t = 0?
41 Un autocarro procede a velocità costante
v1 = 60 km/h a 400 m di distanza dietro un altro
la cui velocità è v2 = 42 km/h. Rappresentare i
moti dei due autocarri in un diagramma posizione-tempo. Quanto tempo impiega il primo
veicolo a raggiungere il secondo?
42 Due amici, Luca e Paolo, si rincorrono su una
strada rettilinea; nell’istante in cui si fa partire
il cronometro, Luca, con velocità di 2,2 m/s è
avanti di 42 m a Paolo, che corre con la velocità di 12 km/h. Rappresentare il moto dei due
amici in un grafico posizione-tempo. Calcolare
in quale istante e a quale distanza dal punto di
partenza di Paolo i due amici si raggiungono.
43 Due persone partono dagli estremi di un corridoio lungo 10 m e si muovono uno verso l’altro con velocità costanti di 3,5 m/s e 4,0 m/s.
Determinare dopo quanto tempo e in quale
punto del corridoio le due persone s’incontrano. Trovare la soluzione anche per via grafica.
Moto rettilineo uniformemente accelerato (2.3)
Calcolare la velocità media nei tratti MilanoParma e Parma-Modena Nord. Calcolare la
velocità media sull’intero percorso.
44 Un’automobile, ferma al semaforo, parte al
segnale verde e, in 6,0 s, raggiunge la velocità
di 50 km/h. Calcolare l’accelerazione dell’auto.
Verifiche
PROBLEMI
38 Un corpo si muove con moto uniforme, percorrendo nei primi 18 minuti 28,8 km. Al termine
dei 18 minuti, riduce improvvisamente la sua
velocità a 3/4 di quella iniziale e percorre così
48 km. Calcolare la durata del movimento e la
velocità media complessiva.
C2
32 Quando è nulla la velocità di un corpo che
si muove di moto armonico? Quando è nulla
l’accelerazione?
La velocità media complessiva corrisponde al
valor medio delle velocità calcolate nei due
tratti?
unità
31 Descrivere i diagrammi posizione-tempo, velocità-tempo e accelerazione-tempo di un moto
armonico.
285
286
MODULO C - CINEMATICA
45 Una nave riduce in 5,0 s la sua velocità da
16 km/h a 10 km/h. Qual è la sua decelerazione?
46 Un’automobile si muove su strada rettilinea
con velocità di 144 km/h; subisce una decelerazione di –1,5 m/s2. Calcolare la velocità
raggiunta dall’auto dopo 20 s.
47 Un punto mobile, con velocità iniziale
di 12 m/s, diminuisce la sua velocità di
0,05 m/s a ogni secondo. Dopo quanto
tempo si fermerà?
48 Un’automobile parte da ferma con accelerazione costante uguale a 3,5 m/s2. Calcolare
lo spazio percorso dall’automobile dopo aver
raggiunto la velocità di 70 km/h.
49 Un punto materiale si muove di moto uniformemente decelerato; la sua velocità iniziale è di 12 m/s; la sua decelerazione è
di –0,060 m/s2. Quanto spazio percorrerà
prima di fermarsi?
50 Un aereo per decollare deve raggiungere sulla
pista la velocità di 360 km/h. Qual è il minimo valore dell’accelerazione necessario per
decollare da una pista di 1,8 km?
unità
C2
Verifiche
51 Un’automobilista viaggia alla velocità di
90 km/h. Per effettuare un sorpasso accelera
con accelerazione costante fino a raggiungere la velocità di 144 km/h. Sapendo che la
distanza percorsa durante la fase di sorpasso è di 325 m, calcolare il valore dell’accelerazione e la durata del sorpasso.
52 Due automobili A e B sono in moto lungo una
strada rettilinea con velocità rispettivamente
uguali a 72,0 km/h e 90,0 km/h. Nell’istante
in cui le due auto si trovano a una distanza di
60,0 m, il conducente A, che si trova dietro,
decide di effettuare un sorpasso e comincia
ad accelerare la vettura con un’accelerazione
costante di 2,00 m/s2. Calcolare dopo quanto
tempo avviene il sorpasso e la velocità dell’auto A in quell’istante.
53 Un’auto che viaggia alla velocità costante di
30 m/s passa davanti a una pattuglia della
polizia. Un secondo dopo che la pattuglia vede
l’auto, inizia un inseguimento con un accelerazione di 3,0 m/s2. Rappresentare i diagrammi
velocità-tempo e posizione-tempo delle due
auto e determinare anche graficamente l’istante in cui la pattuglia raggiunge l’auto.
54 In figura sono rappresentati i diagrammi velocità-tempo di due auto A e B. Sapendo che
all’istante iniziale le auto A e B occupano la stessa posizione, determinare quale distanza separa
A e B all’istante t = 4,0 s e all’istante t = 10 s.
v (m/s)
40
B
30
A
20
10
0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10
t (s)
55 In figura è rappresentato il diagramma velocità-tempo di una motocicletta che si muove
su una strada rettilinea. Di che tipo di moto si
tratta?
Ricavare l’accelerazione della motocicletta e
determinare la distanza percorsa dall’auto 10 s
dopo l’istante iniziale.
v (m/s)
25
20
15
10
5,0
0,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10
t (s)
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
58 Due corpi A e B sono lanciati da un’altezza di
10 m nel vuoto. Il corpo A è lanciato verso l’alto con una velocità di 5 m/s. Il corpo B è lanciato verso il basso con una velocità di 5 m/s.
Determinare il rapporto tra la velocità di A e
quella di B quando ciascun corpo raggiunge il
suolo.
59 Un sasso è lanciato verticalmente verso l’alto
con una velocità iniziale di 10 m/s. Trascurando
la resistenza dell’aria, determinare a quale
altezza massima arriva. Quanto tempo impiega per raggiungere l’altezza massima e tornare
al punto di partenza?
60 Un ragazzo lancia verticalmente verso l’alto
una palla. Se la palla raggiunge un’altezza
massima di 1,5 m rispetto al punto di lancio,
con quale velocità è stata lanciata? Quanto
tempo ha impiegato per raggiungere tale altezza? Ricadendo giù, con quale velocità la palla
torna nella mano del ragazzo e quanto tempo
impiega a ritornarvi?
Moto armonico (2.5)
61 Quanto valgono la frequenza e la pulsazione in
un moto armonico in cui il periodo è 10 s?
63 Una massa, fissata all’estremo di una molla
sospesa verticalmente, oscilla su e giù percorrendo ogni volta un segmento di 8,0 cm con
moto armonico di periodo 0,20 s. Calcolare i
moduli della massima velocità e della massima accelerazione raggiunte.
64 Una pallina attaccata a una molla oscilla
con moto armonico su di un piano orizzontale liscio, fra due posizioni distanti 50 cm.
Quando la pallina passa per il centro dell’oscillazione, la sua velocità è 2,0 m/s. Quanto
impiega la pallina per andare da un estremo
all’altro? Qual è il modulo della sua massima
accelerazione?
65 Una massa attaccata a una molla oscilla con
moto armonico su di un piano orizzontale
liscio. Quando la massa dista 10 cm dal centro
di oscillazione, la sua accelerazione è 20 m/s2.
Determinare a quale distanza dal centro di
oscillazione si trova la massa quando la sua
accelerazione raggiunge il valore massimo di
56 m/s2. Calcolare quante oscillazioni compie
la massa in un secondo.
66 Un corpo si muove di moto rettilineo lungo un
asse x seguendo la legge oraria x(t) = A sen (t),
dove A = 0,4 m e  = /4 rad/s. Calcolare la
velocità e l’accelerazione nell’istante t = 2 s.
Verifiche
57 A rock is dropped from a height of 50 m. What
is its speed when it is half way to the ground if
its initial speed is zero?
C2
56 Un corpo, in un certo tempo, ha fatto una
caduta nel vuoto di 80,0 m. Di quanto cadrà in
un tempo doppio?
62 Un corpo che si muove di moto armonico
compie 3757 oscillazioni in 4,0 minuti e 49 s.
Determinare la frequenza, il periodo e il tempo
necessario per compiere 429 oscillazioni.
unità
Moto in caduta libera (2.4)
287
288
MODULO C - CINEMATICA
LABORATORIO
Cinematica del moto su piano inclinato
(esperimento di Galileo)
 Obiettivo
Replicare l’esperimento di Galileo Galilei in cui si dimostra il moto uniformemente accelerato di una piccola sfera (sferetta) che scende per un piano inclinato (fig. 2.31).
Figura 2.31
Piano inclinato usato da Galileo
Galilei nel suo esperimento sul
MRUA.
Se il moto della sferetta è uniformemente accelerato, la sua velocità
aumenta proporzionalmente al tempo.
Per verificare tale proporzionalità,
occorre misurare la velocità raggiunta
dalla sferetta a diverse distanze dalla
posizione iniziale e misurare i corrispondenti tempi. Per queste misure
occorre un sensore di moto, strumento che naturalmente non possedeva
Galileo: lo scienziato superò la difficoltà ricorrendo a una misura indiretta.
Strategia con misura indiretta
Affermare che la velocità in un moto rettilineo aumenta proporzionalmente al
tempo equivale ad affermare che la distanza x(t) percorsa è proporzionale al
quadrato del tempo t impiegato per percorrerla. Infatti, in un moto uniformemente accelerato, l’accelerazione è definita dalla (2.19)
a
v  v0
t  t0
e la velocità media può essere data da
vm 
v  v0
2
unità
C2
Verifiche
Nell’esperimento, all’istante iniziale t0 = 0, sono nulle la velocità iniziale (v0 = 0)
e la posizione iniziale (x0 = 0).
Combinando i due precedenti rapporti e dopo alcuni semplici passaggi matematici, si ottiene la proporzionalità precedentemente accennata espressa come
costante 
x(t )
t2
(1)
Quindi, dimostrando che il rapporto (1) si mantiene costante durante il moto,
si dimostra indirettamente il moto uniformemente accelerato della sferetta. Per
verificare il rapporto (1) si misurano solo lunghezze e tempi (misure fattibili
con la strumentazione a disposizione di Galilei).
UNITÀ C2 - MOTI A UNA DIMENSIONE
289
 Materiali





tubo di plastica rigida di lunghezza 3 m e diametro di circa 5 cm
sferetta d’acciaio del diametro di circa 2 cm
piccola tanica d’acqua
recipiente di vetro graduato
tubicino flessibile
 Preparazione esperimento
Pratichiamo sei fori equidistanti a 500 mm nel tubo di plastica: in questo modo
rileviamo il passaggio della sferetta nel momento che raggiunge la distanza xi tra
l’estremità del tubo da cui parte, foro 0, x0 = 0, e l’i-esimo foro.
Incliniamo non eccessivamente il tubo con aste dotate di morsetti a ganascia,
(fig. 2.32). Il sistema di riferimento composto dall’asse x è sovrapposto al tubo
di plastica e ha verso rivolto in basso. La sferetta nella posizione iniziale possiamo bloccarla con un cacciavite introdotto verticalmente nel foro 0.
Figura 2.32
diametr
o
5 cm
500 mm
2
3
x2
0
1
2
x3
3
4
5
6
Figura 2.33
Orologio ad acqua rudimentale.
 Sequenza esperimento
1. Partenza della sferetta dal foro 0 del tubo di plastica all’istante
t0 = 0.
2. Misura dell’istante di tempo t1 in cui la sferetta passa nel foro 1.
3. Ripetere il punto 2 per i successivi fori.
C2
unità
Per la misura del tempo ricorriamo a un rudimentale orologio ad
acqua: è costituito da una tanica d’acqua appesa con applicato un
tubicino flessibile e un recipiente di vetro graduato al suolo (fig. 2.33).
Posizioniamo l’estremità libera del tubicino sopra il recipiente
di vetro e pieghiamo con una mano l’estremità in modo che non
fluisca l’acqua.
All’istante iniziale facciamo fluire l’acqua nel recipiente allentando
il tubicino.
Verifiche
Misura del tempo
290
MODULO C - CINEMATICA
Nell’istante che la sferetta attraversa l’i-esimo foro relativo alla i-esima distanza
xi  x0 per i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
sottoposta a misura, interrompiamo il flusso di acqua piegando nuovamente
il tubicino. Naturalmente l’orologio ad acqua non misura il tempo in secondi:
effettua invece una misura indiretta fornendo la quantità di acqua in millilitri
accumulata nel recipiente nell’intervallo di tempo che la sferetta percorre la
distanza i-esima.
 Raccolta dati
Nella seguente tabella riportiamo i tempi misurati (ti), il loro quadrato (ti)2 e il
relativo rapporto xi/(ti)2, dove verificheremo il suo valore costante come richiesto dalla condizione (1).
foro
xi (mm)
ti (ml)
(ti)2
xi /(ti)2
0
0
0
0
0
1
500
t1
2
1000
t2
3
1500
t3
4
2000
t4
5
2500
t5
6
3000
t6
 Proposta
unità
C2
Verifiche
Invitiamo a ripetere l’esperimento aumentando di poco l’inclinazione del tubo.
La pendenza la possiamo esprimere come rapporto tra il dislivello h tra le estremità del tubo e la sua lunghezza (ad esempio se il tubo ha un dislivello di 5 cm
ed è lungo 2,5 m, la sua pendenza sarà del 2%). Le inclinazioni devono essere
comunque piccole.

Download Report