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84 - Chi ha paura della matematica

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84
14. INFINITESIMI E INFINITI
Si dice che una data funzione y = f ( x) è “un infinitesimo per x che tende a c ”
(dove c potrà essere un’ascissa finita x0 , oppure uno dei simboli +∞, − ∞, ∞ )
se f ( x ) tende a 0 quando x tende a c :
def .
y = f ( x) è un infinitesimo per x → c ⇔ lim f ( x) = 0
x→ c
Qualche esempio:
‰
la funzione y = ( x + 4)2 è un infinitesimo per x → − 4 ;
‰
la funzione y = cos x è un infinitesimo per x →
π
2
;
1
1
è un infinitesimo per x → +∞ ; y = lo è sia per x → +∞ , che per x → −∞ , che per x → ∞
x
x
Siano ora f , g due infinitesimi “simultanei” (cioè: entrambi per x che tende ad uno stesso “c”).
Possiamo allora provare a “confrontare” questi due infinitesimi,
per stabilire quale dei due è “più forte”, cioè “tende a 0 più rapidamente”.
Tale confronto si effettua come segue:
‰
y=
⎡
⎢
f ( x) ⎢
Se lim
=
x→ c g ( x) ⎢
∈
⎢
⎢⎣ NON
0
allora si dice che f è un infinitesimo "di ordine superiore" rispetto a g
allora si dice che f è un infinitesimo "di ordine inferiore" rispetto a g
∞
allora si dice che f, g sono infinitesimi "dello stesso ordine"
− {0}
ESISTE
allora si dice che f, g sono infinitesimi "non confrontabili"
Qualche esempio:
a)
f ( x) = x − 1 e g ( x) = 3 ( x − 1) 2 sono due infinitesimi simultanei per x → 1 . Confrontiamoli.
3 ( x − 1)3
f ( x)
( x − 1) 3
x −1
= lim 3 x − 1 = 0 ,
= lim
= lim
= lim 3
2
2
2
3
3
g
(
x
)
x→ 1
x→ 1 ( x − 1)
x→ 1 ( x − 1)
x→ 1 ( x − 1)
x→ 1
Essendo lim
diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g .
b)
c)
d)
1
1
e g ( x) = sono due infinitesimi simultanei per x → +∞ . Confrontiamoli.
x
x
1
f ( x)
x⋅ x
x = lim x = lim
= lim
Essendo lim
= lim
x = +∞ ,
g
x
(
)
1
x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞ x x→ +∞
x→ +∞
x
x
diremo che f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g .
f ( x) =
f ( x ) = 1 − cos x e g ( x) = x 2 sono due infinitesimi simultanei per x → 0 . Confrontiamoli.
1 − cos x 1
f ( x)
Poiché risulta lim
= lim
= , diremo che i due infinitesimi sono “dello stesso ordine”.
2
x → 0 g ( x)
x→ 0
x2
1
e g ( x) = x sono due infinitesimi simultanei per x → 0 . Confrontiamoli.
x
1
x ⋅ sen
f ( x)
x = NON ESISTE ,
Poiché risulta lim
= lim
x
x→ 0 g ( x ) x→ 0
diremo che i due infinitesimi “non sono confrontabili”.
f ( x) = x ⋅ sen
85
INFINITESIMI EQUIVALENTI
Due infinitesimi simultanei si dicono “equivalenti” se il loro rapporto tende a 1:
def .
f ( x)
=1
x→ c g ( x)
gli infinitesimi simultanei ( per x → c) f ( x), g ( x ) sono equivalenti ⇔ lim
Si può scrivere allora
f ( x) ∼ g ( x) ( per x → c)
Qualche esempio:
sen x
=1
x→ 0 x
‰
sen x e x sono infinitesimi equivalenti per x → 0 ; è infatti noto che lim
‰
1 − cos x e
1 − cos x
1 − cos x
1
1 2
= lim
⋅2 = ⋅2 =1
x sono infinitesimi equivalenti per x → 0 : lim
2
1
2
2
x→ 0
x→ 0
x
x2
2
… per x
INFINITESIMI EQUIVALENTI
x→0
arctg x ∼ x
x→0
ex −1 ∼ x
x→0
ex −1
=1
x→ 0 x
ln(1 + x) ∼ x
x→0
ln (1 + x)
=1
x
x→ 0
1
x
2
x→0
lim
x→ 0
lim
x→ 0 x
1 − cos x 1
=
2
x→ 0
x2
arc sen x
arc tg x
lim
= 1 ; lim
=1
x
x
x→ 0
x→ 0
lim
lim
lim
(1 + x) k − 1
=k;
x
x→ 0
lim
lim
x→ 0
1+ x −1 1
=
2
x
OSSERVAZIONI
Se l’infinitesimo f ( x ) è equivalente all’infinitesimo g ( x) , e k è una costante non nulla,
allora anche kf ( x ) e kg ( x ) sono infinitesimi (ovvio) e sono equivalenti: infatti
Quindi, ad esempio, l’infinitesimo (per x → 0 )
5tg x è equivalente all’infinitesimo 5x . Così pure:
0
↑
1
1
ln(1 + x) ∼ x ( x → 0)
4
4
1
2 − 2cos x = 2 (1 − cos x ) ∼ 2 ⋅ x 2 = x 2 ( x → 0)
↓
↓
2
0
0
...
Se inoltre abbiamo due infinitesimi equivalenti per x → c e in entrambi andiamo a sostituire, al posto di x ,
una stessa espressione ϕ ( x) che, al tendere di x a c , tenda anch’essa a c ,
allora anche f (ϕ ( x) ) e g (ϕ ( x) ) saranno (teorema di sostituzione) infinitesimi fra loro equivalenti: infatti
f ( x)
kf ( x)
= 1 ⇒ lim
=1
x→ c g ( x )
x→ c kg ( x)
lim
0
↑
0
↑
teorema
f ( x)
lim
=1
⇒
x→ c g ( x )
di
↓
0
sostituzione
lim
=1
1 2
x
2
1+ x −1 ∼
0
↑
tg x
x→0
1 − cos x ∼
(1 + x) k − 1 ∼ kx ( k ∈ ) ;
sen x
= 1;
x
tg x ∼ x
sen x ∼ x ;
arc sen x ∼ x ;
Il limite di riferimento è …
che tende a …
⎛ c ⎞
⎜ ↑ ⎟
f ⎜⎝ ϕ ( x) ⎟⎠
x→ c g ⎛ ϕ ( x) ⎞
⎜ ↓ ⎟
⎜ c ⎟
⎝
⎠
↓
0
Quindi, ad esempio, l’infinitesimo (per x → 0 )
tg 5 x è equivalente all’infinitesimo 5x .
Ancora:
e x − 1 ∼ x 2 ( x → 0, x 2 → 0)
2
=1
1+
8
1 8 4 ⎛
8
x → +∞, → 0 ⎞⎟
−1 ∼ ⋅ =
x
x
2 x x ⎜⎝
⎠
...
86
IL “PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI”
Straordinariamente utile nel calcolo dei limiti … ma va applicato correttamente, senza cadere nell’errore.
Supponiamo di dover calcolare il limite del rapporto di due infinitesimi ( F.I.
⎡ 0 ⎤ ).
⎢⎣ 0 ⎥⎦
Bene! Si può dimostrare che tale limite resta inalterato
qualora ciascuno dei due infinitesimi venga sostituito da un altro, ad esso equivalente. Insomma:
Se f ( x), g ( x) sono due infinitesimi simultanei ( per x → c)
ed è
f1 ( x) ∼ f ( x), g1 ( x) ∼ g ( x),
allora
f ( x)
f ( x)
= lim 1
x→c g ( x) x→c g1 ( x)
lim
1
↑
Dimostrazione:
f ( x)
⋅ f ( x)
f1 ( x) 1
f ( x)
f ( x)
= lim
lim 1
x→c g ( x ) x→c g ( x )
x→c g1 ( x)
⋅ g1 ( x)
g1 ( x)
lim
↓
1
E
S
E
M
P
I
ln (1 + x)
sen 3 x
x
3x 3
lim 2 x
= lim = 1;
= lim
= ;
x→ 0 sen x
x→ 0 x
x → 0 e − 1 x→ 0 2 x 2
1
⋅ ( −6 x )
3
− 64
1 − 6x −1
−2 x
lim
= lim 3
= lim
= lim
= −∞
2
2
+
+
+
+
x
x→ 0 1 − cos x
x→ 0 1 ⎛ x ⎞
x→ 0 1 x
x→ 0
⋅
⋅
4
2 16
2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠
lim
OCCHIO, UN POSSIBILE INSIDIOSO ERRORE E’ IN AGGUATO!
Il “principio di sostituzione degli infinitesimi” è applicabile soltanto quando abbiamo
“un solo infinitesimo a numeratore e un solo infinitesimo a denominatore”.
Se invece a N o a D è presente una SOMMA ALGEBRICA di infinitesimi, allora NON E’LECITO
sostituire ciascun infinitesimo di questa somma algebrica con un infinitesimo ad esso equivalente.
Facciamo un esempio.
Se ci viene dato da calcolare il
x − senx
,
x3
x→ 0
lim
NON dobbiamo cadere nell’errore di sostituire l’infinitesimo sen x col suo infinitesimo equivalente x .
Così facendo, infatti, otterremmo
x−x
0
= lim 3 = lim 0 = 0
3
x→ 0 x
x→ 0 x
x→ 0
lim
Che NON è il valore corretto del limite assegnato.
Quest’ultimo, infatti, determinato con metodi più avanzati, risulta essere uguale a
1
.
6
Ribadiamolo, perché ce ne serviremo anche poco più avanti: il valore corretto del limite proposto è
x − sen x 1
= .
6
x→ 0
x3
lim
87
IL “PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEGLI INFINITESIMI”
Quando si deve calcolare il limite del rapporto fra due somme algebriche di infinitesimi,
è lecito trascurare, sia a numeratore che a denominatore, gli infinitesimi di ordine superiore,
perché in tal modo il valore del limite non cambierà.
Se f ( x), f * ( x), g ( x), g * ( x) sono infinitesimi simultanei ( per x → c)
e:
f * ( x) è di ordine superiore rispetto a f ( x), g * ( x) è di ordine superiore rispetto a g ( x),
allora
lim
x →c
f ( x) + f *( x)
f ( x)
= lim
g ( x ) + g * ( x ) x →c g ( x )
0
⎛
⎞
↑
⎜
⎟
⎜
f * ( x) ⎟⎟
f ( x) ⎜⎜ 1 +
f ( x) ⎟⎠
f ( x) + f * ( x)
f ( x)
⎝
Dimostrazione: lim
= lim
= lim
g
x
g
x
g
+
(
)
*
(
)
x→c
x→c
⎛
g * ( x ) ⎞ x →c ( x )
g ( x) ⎜1 +
g ( x) ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
↓
⎜
⎟
0
⎝
⎠
2
4x + x
4x
lim
= lim
=4
3
senx
E x→0 senx + x x→0
S dato che x2 è infinitesimo di ordine superiore rispetto a 4x, e x3 è infinitesimo di ordine superiore rispetto a senx
E
M
P
I
senx − cosx +1
senx + (1− cosx)
senx
= lim
= lim
2
2
ln
x→0 ln(1+ x) + x
x→0 ln(1+ x) + x
x→0 (1+ x)
lim
dato che 1− cosx è infinitesimo di ordine superiore rispetto a senx, e x2 è infinitesimo di ordine superiore rispetto a ln(1+ x)
OCCHIO NUOVAMENTE A EVITARE ERRORI
x + x 2 − senx
x→ 0 7 x 2 + x 4
lim
Qui dobbiamo resistere alla tentazione di ragionare nel modo seguente:
“Siccome, a numeratore, x 2 è un infinitesimo di ordine superiore tanto rispetto a x quanto rispetto a sen x ,
allora lo potremo trascurare,
così come a denominatore trascureremo x 4 che è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x 3 ”.
Il ragionamento è purtroppo sbagliato per quanto riguarda il numeratore.
Infatti, IL TEOREMA PERMETTE DI TRALASCIARE L’INFINITESIMO DI ORDINE SUPERIORE
QUALORA CI SIA UN SOLO ALTRO INFINITESIMO NELLA SOMMA ALGEBRICA.
Qui invece ce ne sono due, x e − sen x .
Il teorema sarebbe semmai applicabile riunendo tali due infinitesimi così che diventino un infinitesimo unico …
( x − senx) + x 2
x→ 0
7 x2 + x4
lim
… ma SORPRESA!
A ben guardare l’infinitesimo x − sen x (vedi un esercizio precedente) ha lo stesso ordine di x 3 ,
quindi è di ordine SUPERIORE rispetto a x 2 .
Quello che deve scomparire è pertanto x − sen x , e non x 2 .
Il limite diventa così
( x − senx) + x 2 1
( x − senx) + x 2
x + x 2 − senx
=
=
=
lim
lim
7
x→ 0 7 x 2 + x 4
x→ 0
x→ 0
7 x2 + x4
7 x2 + x4
mentre se avessimo commesso l’errore di trascurare x 2 a numeratore avremmo ottenuto il risultato sbagliato
lim
x + x 2 − senx
1
x − senx
x3
x − senx
x3
lim
lim
= ⋅0 = 0
=
⋅
=
⋅
2
4
3
2
4
3
2
2
x→ 0 7 x + x
x→ 0
x→ 0
7x + x
x
x
x (7 + x ) 6
lim
88
COME APPLICARE IL “PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE DEGLI INFINITESIMI”
E IL “PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI”
UNO DOPO L’ALTRO, PER FARE VELOCISSIMAMENTE MOLTI ESERCIZI!!!
0
Supponiamo di dover calcolare un limite, che si presenti come F.I. ⎡ ⎤ ,
⎢⎣ 0 ⎥⎦
e supponiamo che numeratore e/o denominatore siano somme di infinitesimi. Allora
1) potremo applicare innanzitutto, sia a numeratore che a denominatore,
il “principio di eliminazione degli infinitesimi” per sbarazzarci degli infinitesimi di ordine superiore
2) nel caso dopo il procedimento 1) sia rimasto, a numeratore e/o a denominatore, UN SOLO infinitesimo,
potremo applicare il “principio di sostituzione degli infinitesimi”
per rimpiazzare l’infinitesimo sopravvissuto con uno più semplice
3) OCCHIO PERO’ che se invece, dopo il procedimento 1), a numeratore o a denominatore,
è rimasto non un solo infinitesimo bensì la somma algebrica di due o più infinitesimi,
in generale non è lecito sostituire un infinitesimo con un altro ad esso equivalente, perché
tale sostituzione potrebbe portare a calcolare il limite in modo sbagliato,
come illustrato dal controesempio di pagina 92.
“ORDINE DI UN INFINITESIMO RISPETTO A UN ALTRO”; “ORDINE” (E BASTA) DI UN INFINITESIMO
Dati due infinitesimi simultanei f , g , allora si dice che
f è un infinitesimo di ordine α , rispetto a g , assunto come infinitesimo " campione ",
f ( x)
se accade che il lim
è FINITO E DIVERSO DA 0.
x→c [ g ( x ) ]α
Esempi:
‰
f ( x) = 1 − cos x e g ( x) = sen x sono due infinitesimi simultanei (per x → 0 ).
Qual è l’ordine di f rispetto a g ?
1 − cos x
e domandarsi:
Occorre impostare il lim
x→0 ( sen x)α
esiste un valore dell’esponente α per il quale tale limite sia finito e diverso da 0?
La risposta è affermativa: tale valore esiste ed è 2. Infatti
2
1 − cos x
1 − cos x x 2
1 − cos x ⎛ x ⎞
1
=
⋅
= lim
⋅⎜
= ( finito e ≠ 0)
lim
lim
⎟
2
2
2
2
sen
x
2
x→ 0 ( sen x)
x→ 0
x
sen x x→ 0
x
⎝
⎠
↓
1/ 2
↓
1
Pertanto l’ordine dell’infinitesimo 1 − cos x rispetto all’infinitesimo sen x è 2.
‰
f ( x) = e− x e g ( x ) =
1
sono infinitesimi per x → +∞ .
x
Per determinare l’ordine di f rispetto a g scriveremo
lim
e− x
x→ +∞ ⎛ 1 ⎞α
⎜x⎟
⎝ ⎠
con l’obiettivo di determinare, ammesso che esista,
un valore dell’esponente α per il quale il limite in gioco sia finito e diverso da 0.
e− x
e− x
xα
= lim
= lim xα e− x = lim
Poiché però si ha lim
α
x→ +∞ ⎛ 1 ⎞
x→ +∞ 1
x→ +∞
x→ +∞ e x
⎜ x⎟
xα
⎝ ⎠
e, come dimostreremo successivamente, tale limite non può risultare finito e ≠ 0 per nessun valore di α
(per α ≤ 0 il limite è ovviamente 0, e per qualsiasi α > 0 il limite è pure 0 in quanto,
come vedremo meglio più avanti, al tendere di x a +∞ la funzione esponenziale e x tende all’infinito
più rapidamente di qualsiasi funzione algebrica xα , per quanto grande si prenda l’esponente di questa)
se ne deduce che l’ordine di f rispetto a g … non esiste, non è definito.
89
INFINITESIMO DI CONFRONTO
Qual è l’ordine di infinitesimo (per x → +∞ ) della funzione f ( x ) =
x4
x
?
+1
Siccome qui non viene menzionato l’ “infinitesimo di confronto”,
è implicito che vada preso, per il confronto, l’ “infinitesimo standard in quel contesto”,
ossia la più semplice funzione che tende a 0 quando x → +∞ .
E quale sarà tale funzione?
Senza ombra di dubbio, la funzione più semplice fra quelle che tendono a 0 al tendere di x a +∞ , è 1/ x !
x
4
Dunque per determinare l’ordine di infinitesimo richiesto scriveremo lim x +α1
x→ 0 ⎛ 1 ⎞
⎜x⎟
⎝ ⎠
riproponendoci di determinare l’esponente α in modo che il limite in questione risulti finito e diverso da 0.
x
x
α +1
4 +1
4 +1
x
x
x
α = lim x
da cui, evidentemente, α = 3 .
x
lim
=
lim
=
lim
⋅
x→ 0 ⎛ 1 ⎞α
x→ 0 1
x→ 0 x 4 + 1
x→ 0 x 4 + 1
⎜x⎟
xα
⎝ ⎠
Gli "infinitesimi standard per il confronto " sono :
per x → ±∞,
1
;
x
per x → 0, x ;
per x → x0 , x − x0
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