1 Esercizi di EML (con soluzioni), C.S. in Informatica, a.a.2014-2015. Induzione Es. 1. Provare per induzione su n che n3 − n + 6 `e multiplo di 3 per ogni n ≥ 0 . Es. 2. Provare per induzione su n che 1. n X 2k = 2n+1 − 1 per ogni n ≥ 1 . k=0 2. n X (2k + 1) = n(n + 2) per ogni n ≥ 1 . k=1 3. n X (1 + 3k) = k=0 4. n X 3 k = k=0 3n2 + 5n + 2 per ogni n ≥ 1 . 2 n+1 2 2 per ogni n ≥ 1 . Es. 3. Dato un numero reale q 6= 1 provare per induzione su n che n X qk = k=0 q n+1 − 1 per ogni n ≥ 0 . q−1 Es. 4. Provare per induzione su n che 2n + 1 < 2n per ogni n ≥ 3 . Es. 5. Provare per induzione su n che 22n − 1 `e divisibile per 3 , per ogni n ≥ 0 . Es. 6. Sia a ∈ R . Provare che per ogni n, m ∈ N si ha an · am = an+m . Es. 7. Si consideri la successione di numeri interi a0 , a1 , . . . definiti ricorsivamente ponendo a0 = 0, a1 = 4, an = 6an−1 − 5an−2 per n ≥ 2 . Provare, usando l’induzione forte, che per ogni n ≥ 0 si ha an = 5n − 1 . Es. 8. Si consideri la successione di numeri interi x1 , x2 , . . . definiti ricorsivamente ponendo x1 = 5, x2 = 11, xn+1 = 5xn − 6xn−1 per n ≥ 2 . Provare, usando l’induzione forte, che per ogni n ≥ 1 si ha xn = 2n+1 + 3n−1 . 2 Soluzione di alcuni esercizi Soluzione di alcuni esercizi Es. 1 Passo base: per n = 0 l’espressione n3 − n + 6 vale 6 che `e un multiplo di 3 . Passo induttivo: se n ≥ 0 e n3 − n + 6 `e un multiplo di 3 cio`e n3 − n + 6 = 3a con a ∈ N si ha (n + 1)3 − (n + 1) + 6 = n3 + 3n2 + 3n + 1 − n − 1 + 6 = (n3 − n + 6) + 3(n2 + n) = 3a + 3(n2 + n) = 3(a + n2 + n) con a + n2 + n ∈ N e quindi (n + 1)3 − (n + 1) + 6 `e un multiplo di 3 . Es. 3 Passo base: per n = 0 l’affermazione `e chiaramente vera avendosi q 0+1 − 1 = 1. q−1 J P0 k=0 qk = q0 = 1 e Passo induttivo: supponiamo che l’affermazione sia vera per s ≥ 0 e proviamo che `e vera anche per s s+1 X X q s+1 − 1 q s+2 − 1 s + 1 , cio`e assumiamo che e proviamo che . Si ha qk = qk = q−1 q−1 k=0 s+1 X k q = s X k=0 q k + q s+1 k=0 s+1 k=0 −1 + q s+1 q−1 q s+1 − 1 + q s+1 (q − 1) = q−1 s+2 q −1 = q−1 = q per l’ipotesi induttiva quindi l’affermazione `e vera per s + 1 e quindi `e vera per ogni n ≥ n . J Es. 4 Sia P (n) l’asserzione 2n + 1 < 2n . Passo base: per n = 3 dobbiamo provare che 2 · 3 + 1 < 23 . Ma 2 · 3 + 17 e 23 = 8 , quindi P (3) `e vera. Passo induttivo: sia k `e un intero ≥ 3 tale che 2k + 1 < 2k e proviamo che 2(k + 1) < 2k+1 , ovvero che 2k + 3 < 2k+1 . Ma dall’ipotesi induttiva e dal fatto che 2 < 2k per ogni k ≥ 2 si ha 2k + 3 = (2k + 1) + 2 < 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 . J Es. 5 Passo base: per n = 0 si ha 20 − 1 = 1 − 1 = 0 `e divisibile per 3 perch´e 0 = 3 · 0 . Passo induttivo: se 22s − 1 = 3t con t ∈ N , si ha 22(s+1) − 1 = 22s+2 = 22s · 4 − 1 = 22s (1 + 3) − 1 = 22s + 3 · 22s − 1 = (22s − 1) + 3 · 22s = 3t + 3 · 22s = 3 · (t + 2s ) Siccome t + 2s ∈ N , 22(s+1) − 1 `e un multiplo di 3 e la prova per induzione `e completa. J Soluzione di alcuni esercizi 3 Es. 6 Ricordiamo che le potenze naturali di a sono definite induttivamente ponendo: a0 = 1; an+1 = a · an per ogni n ≥ 0 (1) Proviamo che l’affermazione P (n) : se m ∈ N allora an · am = an+m vale per ogni n ∈ N . Procediamo per induzione su n . Passo base: per n = 0 si ha a0 · am = 1 · am = am = a0+m quindi P (0) `e vera. Passo induttivo: supponiamo ora che n ≥ 0 e che P (n) sia vera e proviamo che anche P (n + 1) cio`e an+1 · am = an+1+m `e vera . Si ha an+1 · xm = (a · xn ) · am n per la definizione (1) m = a · (a · a ) associativit` a del prodotto = a · (an+m ) 1+n+m =a ipotesi induttiva n+1+m =a per la definizione (1) e quindi per il principio di induzione la propriet`a P (n) `e vera per ogni n ∈ N . J Es. 7 Per ogni numero naturale n > 0 sia P(n) l’asserzione an = 5n − 1 . Allora P(0) e P(1) sono ovviamente vere. Supponiamo ora che s ≥ 1 e che P(i) sia vera per ogni i ≤ s cio`e supponiamo che ai = 5i − 1 per ogni i ≤ s . Allora as+1 = 6as − 5as−1 = 6(6s − 1) − 5(5s−1 − 1) ipotesi induttive con i = s e i = s − 1 = 6 · 5s − 5s − 6 + 5 = (6 − 1)5s − 1 = 5s+1 − 1 quindi P(s + 1) `e vera e, per il principio di induzione, P(n) `e vera per ogni n ≥ 0 . J Es. 8 Per ogni numero naturale n > 0 sia P(n) l’asserzione xn = 2n+1 + 3n−1 . Allora P(1) e P(2) sono banalmente vere. Supponiamo ora che n ≥ 2 e che P(m) sia vera per ogni m ≤ n , cos`ı xm = 2m+1 + 3m−1 per ogni m ≤ n . Allora xn+1 = 5xn − 6xn−1 = 5(2n+1 + 3n−1 ) − 6(2n−1+1 + 3n−1−1 ) = 2n (10 − 6) + 3n−2 (15 − 6) = 2n+2 + 3n quindi P(n + 1) `e vera e, per il principio di induzione, P(n) `e vera per ogni n ≥ 1 . J
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