x - Unimed

Formulario: insiemi numerici – potenze – radicali e prodotti notevoli
Prof. Desiderio Alberto
N insieme dei numeri naturali: 0;1;2;3;4;……
Z insieme dei numeri interi relativi: 0;+1;-1;+2;-2;+3;-3;……
Q insieme dei numeri razionali o frazionari: i numeri che si possono esprimere sotto forma di
3
frazione, esempi: 0;+2;-2; − ; +1;2;- 1, 2 ;…..
2
R insieme dei numeri reali, formato dall’unione dei razionali e degli irrazionali. L’insieme dei
numeri irrazionali è formato da tutti quei numeri che non sono esprimibili sotto forma di frazione,
ad esempio: π; 2 ;e;……..
Irrazionali: numeri decimali illimitati non periodici
Numeri decimali illimitati periodici
Numeri decimali
finiti
1, 24 =
124 − 12 112
56
=
=
90
90 45 45
0,3 =
3 1
=
93 3
13
26
13
0, 26 =
=
100 50 50
a0 = 1
Proprietà delle potenze
a ⋅a = a
m
n
m+n
am ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟
bm ⎝ b ⎠
Si trasforma in una frazione che ha
per numeratore la differenza tra tutto
il numero meno il numero che
precede il periodo e per
denominatore tanti quante sono le
cifre del periodo e tanti zero quante
sono le cifre dell’antiperiodo .
56
a :a = a
m
n
m
a
−n
(a )
m n
m−n
1
= n
a
m
n
=a
a = a
n
con a ≠ 0
a m ⋅ bm = ( a ⋅ b )
m
m⋅n
a
m
−
m
n
=
1
a
m
n
=
1
n
am
Prodotti notevoli
( A + B)
2
( A+ B + C)
2
3
a =a
n
m
n
a ⋅ n b = n a ⋅b
n
n
n
n m
2 =2
3
3
n⋅ p
a=
ap
n⋅m
a
3
2
a± b =
n
5=
2⋅3
3 2 = n 32 ⋅ 2
cn ⋅ a = c n a
3
23 ⋅ 5 = 2 3 5
2
2
3 2 3
=
⋅
=
3
3
3 3
3 = 4⋅3 33
3
a + a2 − b
a − a2 − b
±
2
2
c n a = n cn ⋅ a
2
2
=
5
5
4
= A3 − 3A2 B + 3AB2 − B3
a = b ⇔ bn = a
2 ⋅ 3 3 = 3 2⋅3
a na
=
b
b
a=
3
n
= A2 − 2 AB + B2
A2 − B2 = ( A − B )( A + B )
( A − B)
= A3 + 3 A2 B + 3 AB2 + B3
Radicali
m
2
= A2 + B2 + C 2 + 2 AB + 2 AC + 2BC
( A + B)
n
( A − B)
= A2 + 2 AB + B2
(
)
2
2
2
3 +1 2 3 +1
=
⋅
=
=
3 −1
3 −1
3 −1 3 + 1
5
1
(
)
3 +1
2
Formulario: logaritmi – equazioni di 1° e 2° – sistemi lineari
Prof. Desiderio Alberto
Si definisce logaritmo in base a di b, l’esponente da dare ad a per ottenere b
log a 1 = 0
log a a = 1
log a mn = n log a m
log a m + log a n = log a m ⋅ n
1
log an m = log a m
n
m
log an b m = log a b
n
log a m − log a n = log a
m
n
log a b = x ⇔ a x = b
a loga b = b
1
log a b =
log b a
log c b
log a b =
log c a
Logaritmi decimali log10 b : la caratteristica è la parte intera del logaritmo
b >1
Numero di cifre intere dell’argomento diminuite di 1
0 < b <1
Tante unità negative quanti sono gli zeri significativi
Spuria
Equazioni di 2° grado
⎧x = 0
⎪
2
ax + bx = 0 → x ( ax + b ) = 0 ⎨
b
⎪⎩ x = − a
ax 2 + bx + c = 0
Monomia
Δ>0
−b ± b − 4ac
2a
Due soluzioni reali e
distinte
Completa
Δ = b2 − 4ac
2
x=
ax 2 = 0 → x = 0
⎧ x1 = −3
x2 − 9 = 0 → x2 = 9 → ⎨
⎩ x2 = +3
x 2 + 9 = 0 → x 2 = −9 → ∃ x ∈ R
Pura
log10 13524,107 ⇒ car = 4
log10 0,001032 ⇒ car = −3
Δ=0
b
x=−
2a
Due soluzioni reali e
coincidenti
Δ<0
Nessuna soluzione reale
Relazioni tra i coefficienti e le radici di un equazione di 2° grado
b
⎧
x
+
x
=
−
1
2
⎪⎪
⎧ x1 + x2 = − s
a
x 2 − sx + p = 0
⎨
ax 2 + bx + c = 0
⎨
⎩ x1 ⋅ x2 = p
⎪x ⋅ x = c
⎪⎩ 1 2 a
Regola di Cartesio (per il segno delle soluzioni)
ax 2 + bx + c = 0
Ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa. Ad ogni variazione una soluzione positiva
a
b
c
2 permanenze → x1 < 0 ; x2 < 0
+
+
+
+
+
-
1 permanenza e 1 variazione → x1 < 0 ; x2 > 0 x1 > x2
+
-
-
1 permanenza e 1 variazione → x1 < 0 ; x2 > 0 x1 < x2
+
-
+
⎧ax + by = c
Sistemi lineari ⎨
⎩a ' x + by ' = c '
2 variazioni → x1 > 0 ; x2 > 0
Possibile e determinato
(una sola soluzione)
Possibile e indeterminato
(infinite soluzioni)
Impossibile
2
a b
≠
a' b'
a b c
= =
a' b' c'
a b c
= ≠
a' b' c'
Formulario: disequazioni di 2° e fratte
Prof. Desiderio Alberto
Disequazione spuria
Discordi - interni
Concordi - esterni
x + 3x<0 → x ( x + 3) <0
x + 3x>0 → x ( x + 3) >0
〈 xx ==−0 3 → V .I . → −3<x<0
〈 xx ==−0 3 → V .E. → x< − 3 ∨ x >0
2
2
Disequazione pura
Discordi - interni
Concordi - esterni
x − 9<0 → x <9
3
〈 xx =−
=+3 → V .I . → −3<x <3
x 2 − 9>0 → x 2 >9
3
〈 xx =−
=+3 → V .E. → x < − 3 ∨ x >3
2
2
Discordi - mai
Concordi - tutti
x + 9<0 → x < − 9
x + 9>0 → x 2 > − 9
Tutte le x ∀x ∈ R
2
2
Nessuna x:
2
∃x∈ R
Δ = b2 − 4ac
a>0
Δ>0
x=
Disequazione completa
ax 2 + bx + c > 0
x < x1 ∨ x > x2
ax 2 + bx + c ≥ 0
x ≤ x1 ∨ x ≥ x2
−b ± Δ
2a
ax 2 + bx + c < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0
x1 < x < x2
x1
x2
x1 ≤ x ≤ x2
b
x=−
2a
x1
x2
x1
Δ=0
x≠−
∀x ∈ R
∃x∈ R
Δ<0
b
2a
∀x ∈ R
∀x ∈ R
∃x∈ R
x2
x1
x2
∃x∈ R
Disequazione fratta : grafico studio del segno
2− x
≥0
x2 + x
N ≥ 0 → 2− x ≥ 0 → x−2 ≤ 0 → x ≤ 2
−
− +
+
2− x
≤0
x2 + x
N ≥ 0 → 2− x ≥ 0 → x−2 ≤ 0 → x ≤ 2
D > 0 → x 2 + x > 0 → x < −1 ∨ x > 0
Soluzione ⇒ x < −1 ∨ 0 < x ≤ 2
−1
0
D > 0 → x 2 + x > 0 → x < −1 ∨ x > 0
2
Soluzione ⇒ −1 < x < 0 ∨ x ≥ 2
Sistema di disequazione: grafico valori comuni
⎧⎪ x < 36 ⎧−6 < x < 6
⎨ 2
⎨
⎪⎩ x > 16 ⎩ x < −4 ∨ x > 4
2
−6
Soluzione ⇒ −6 < x − 4 ∨ 4 < x < 6
3
−4
4
6
x
Formulario: probabilità – calcolo combinatorio
Prof. Desiderio Alberto
Calcolo delle probabilità
c. f .
c. p.
Evento
contrario
Evento possibile
0<P<1
P = 1− P
Eventi indipendenti
Eventi dipendenti
Il verificarsi dell’uno
Il verificarsi dell’uno
non influenza il
influenza il verificarsi
verificarsi dell’altro
dell’altro
Teorema probabilità composta
Eventi indipendenti
Eventi dipendenti
P = PA ⋅ PB
P = PA ⋅ PB / A
La probabilità è data dal rapporto tra i casi favorevoli (c.f.) ed i casi possibili (c.p.)
Evento impossibile
Evento certo
c.f.=0
c.f.=c.p.
Eventi incompatibili
Eventi compatibili
Il verificarsi dell’uno
Il verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi
non esclude il
dell’altro
verificarsi dell’altro
Teorema probabilità totale
Eventi incompatibili
Eventi compatibili
P = PA + PB − PA e B
P = PA + PB
P=
Calcolo combinatorio
⎛n⎞
n!
Coefficiente binomiale ⎜ ⎟ =
⎝ k ⎠ k !⋅ ( n − k )!
Disposizioni semplici
Si chiamano disposizioni semplici di n oggetti di classe k tutti i gruppi che si possono formare con k
degli n oggetti in modo che due gruppi differiscono tra loro o per qualche oggetto o per l’ordine:
Dn,k = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
Disposizioni con ripetizione
Si chiamano disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k tutti i gruppi che si possono
formare con k degli n oggetti in modo in ciascun gruppo ogni oggetto si può ripetere e tale che due
gruppi differiscono tra loro o per qualche oggetto o per il numero di volte in cui compare l’oggetto
o per l’ordine: Dnr,k = nk
Fattoriale n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅1
Permutazioni semplici
Si chiamano permutazioni semplici di n oggetti tutti i gruppi che si possono formare disponendo gli
n oggetti in tutti gli ordini possibili: Pn = n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅1
Permutazioni con ripetizione
Si chiamano permutazioni con ripetizione di n oggetti di cui h ripetuti, k ripetuti, m ripetuti, tutti i
gruppi che si possono formare con gli n oggetti che differiscono per l’ordine in cui si presentano gli
n!
elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti: Pn =
h !⋅ k !⋅ m!
Combinazioni semplici
Si chiamano combinazioni semplici di n oggetti di classe k tutti i gruppi che si possono formare con
k degli n oggetti, considerando diversi due gruppi quando differiscono per qualche oggetto:
⎛n⎞
n!
Cn , k = ⎜ ⎟ =
⎝ k ⎠ k !⋅ ( n − k )!
4
Formulario: trigonometria
Prof. Desiderio Alberto
Conversione gradi
radianti
xg : xr = 180° : π
xg =
180°⋅ xr
xr =
π ⋅ xg
π
180°
Circonferenza goniometrica
È una circonferenza di centro l’origine e raggio uguale a 1. L’origine degli archi è il punto A ed il
verso positivo è quello antiorario.
Funzioni goniometriche
y
B ctgα S
P
K
OK OK
=
= OK = ordinata di P
OP
1
OH OH
cos α =
=
= OH = ascissa di P
OP
1
AT AT
tgα =
=
= AT = ordinata di T
OP
1
BT BT
ctgα =
=
= BT = ascissa di S
OP
1
senα =
senα
O
Variazioni funzioni goniometriche
sen +
y sen +
cos +
cos −
I tg +
tg − II
ctg +
ctg −
α
cosα H 1
T
A
Relazioni fondamentali
cos α + sen 2α = 1
2
senα
cos α
1
cos α
ctgα =
=
tgα senα
sen − O
sen − x
1
cos − III IV cos +
cosecα =
senα
tg +
tg −
1
sec α =
ctg +
ctg −
cos α
Espressione delle funzioni goniometriche in funzione delle altre
tgα
senα
cos α
Noto
senα
senα
senα
± 1 − sen2α
± 1 − sen 2α
cos α
tgα
ctgα
senα = sen (α + 2kπ )
Periodo = 2π
tgα =
± 1 − cos 2 α
cos α
± 1 − cos α
cos α
tgα
1
± 1 + tg 2α
1
± 1 + tg 2α
ctgα
± 1 + ctg α
± 1 + ctg α
2
2
x
2
tgα
1
ctgα
Periodicità delle funzioni goniometriche
cos α = cos (α + 2kπ )
tgα = tg (α + kπ )
Periodo = 2π
Periodo = π
5
cos α ≠ 0
senα ≠ 0
cosecante
secante
ctgα
± 1 − sen2α
senα
cos α
± 1 − cos 2 α
1
tgα
ctgα
ctgα = ctg (α + kπ )
Periodo = π
Formulario: trigonometria
Prof. Desiderio Alberto
Supplementari
sen(π − α ) = senα
cos (π − α ) = −cosα
tg (π − α ) = −tgα
ctg (π − α ) = −ctgα
Complementari
Angoli associati
Differiscono di 180°
Opposti
sen(π + α ) = − senα
sen(−α ) = − senα
cos (π + α ) = −cosα
cos (−α ) = cosα
tg (π + α ) = tgα
tg (−α ) = −tgα
ctg (π + α ) = ctgα
ctg (−α ) = −ctgα
Angoli complementari
Differiscono di 90°
La somma dà 270°
⎛π
⎞
sen ⎜ − α ⎟ = cos α
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ − α ⎟ = senα
2
⎝
⎠
⎛π
⎞
sen ⎜ + α ⎟ = cos α
2
⎝
⎠
⎛π
⎞
cos ⎜ + α ⎟ = − senα
2
⎝
⎠
⎛π
⎞
tg ⎜ − α ⎟ = ctgα
2
⎝
⎠
π
⎛
⎞
ctg ⎜ − α ⎟ = tgα
⎝2
⎠
⎛π
⎞
tg ⎜ + α ⎟ = −ctgα
2
⎝
⎠
⎛π
⎞
ctg ⎜ + α ⎟ = −tgα
2
⎝
⎠
Formule di addizione
sen(α + β ) = senα cos β + cos α senβ
cos(α + β ) = cos α cos β − senα senβ
tg (α + β ) =
Esplementari
sen(2π − α ) = − senα
cos(2π − α ) = cosα
tgα + tg β
1 − tgα tg β
Differiscono di 270°
⎛3
⎞
sen ⎜ π − α ⎟ = − cos α
⎝2
⎠
⎛3
⎞
cos ⎜ π − α ⎟ = − senα
2
⎝
⎠
⎛3
⎞
tg ⎜ π − α ⎟ = ctgα
2
⎝
⎠
⎛3
⎞
sen ⎜ π + α ⎟ = − cos α
⎝2
⎠
⎛3
⎞
cos ⎜ π + α ⎟ = senα
2
⎝
⎠
⎛3
⎞
tg ⎜ π + α ⎟ = −ctgα
2
⎝
⎠
⎛3
⎞
ctg ⎜ π − α ⎟ = tgα
⎝2
⎠
⎛3
⎞
ctg ⎜ π + α ⎟ = −tgα
⎝2
⎠
Formule di sottrazione
Formule di
duplicazione
sen 2α = 2 senα cos α
sen(α − β ) = senα cos β − cos α senβ
cos(α − β ) = cos α cos β + senα senβ
tg (α − β ) =
Formule di Werner
tg (2π − α ) = −tgα
ctg (2π − α ) = −ctgα
cos 2α = cos 2 α − sen 2α
tgα − tg β
1 + tgα tg β
tg 2α =
Formule di prostaferesi
1
senα senβ = ⎡⎣ cos (α + β ) − cos (α − β )⎤⎦
2
1
senα cos β = ⎡⎣ sen (α + β ) + sen (α − β )⎤⎦
2
1
cos α cos β = ⎡⎣cos (α + β ) + cos (α − β )⎤⎦
2
p+q
p−q
senp + senq = 2 sen
cos
2
2
p+q
p−q
senp − senq = 2 cos
sen
2
2
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
p+q
p−q
cos p − cos q = −2 sen
sen
2
2
2tgα
1 − tg 2α
Formule di bisezione
α
1 − cos α
sen = ±
2
2
cos
tg
α
2
α
2
1 + cos α
2
=±
=±
1 − cos α
1 + cos α
Teoremi triangoli rettangoli
Un cateto è = all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto
B
Un cateto è = all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente
β
c
a
γ
Un cateto è = all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto
Un cateto è = all’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente
6
A
b
C
Formulario: trigonometria
Prof. Desiderio Alberto
Teoremi triangoli qualsiasi
Teorema della corda
La misura della corda di una circonferenza è uguale al prodotto della
C
misura del diametro per il seno di uno qualsiasi degli angoli alla
circonferenza che insistono su uno degli sottesi dalla corda
γ
a
a = 2 R ⋅ senα
b = 2R ⋅ senβ
c = 2R ⋅ senγ
Teorema dei seni
β
In un triangolo è costante il rapporto tra un lato ed il seno
B
A
dell’angolo opposto e tale rapporto è uguale al diametro
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
Teorema di Carnot
In un triangolo il quadrato di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due meno il
doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo compreso tra essi
2
2
a = b + c 2 − 2bc cos α
b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = b2 + a 2 − 2ba cos γ
Teorema delle proiezioni
In ogni triangolo ogni lato è uguale alla somma dei prodotti di ciascuno degli altri due per il coseno
dell’angolo che essi formano con il primo
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = b cos α + a cos β
Area del triangolo
L’area di un triangolo qualsiasi è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso
1
1
1
diviso due:
A = a ⋅ b ⋅ senγ = b ⋅ c ⋅ senα = a ⋅ c ⋅ senβ
2
2
2
b
α
Funzioni goniometriche di angoli notevoli
tgα
senα
cos α
Radianti
0
0
0
1
π
1
3
3
6
2
2
3
π
2
2
1
4
2
2
π
1
3
3
3
2
2
Gradi
0°
30°
45°
60°
π
90°
2
π
3
π
2
2π
180°
270°
360°
y = senx
c
C .E . Tutte le x
y
1
−1
2π
Funzione dispari
Periodo = 2π
1
3
3
∞
0
0
−1
0
∞
−1
0
∞
0
0
∞
y = ctgx
y
y
1
−1
3
0
Grafici funzioni goniometriche
y = tgx C .E.
y = cos x C .E . Tutte le x
x
∞
1
0
y
ctgα
2π
x
π
2
Funzione pari
Periodo = π
7
π
3
π
2
Funzione dispari
C .E . x ≠ 0 + kπ
π
2
x
Periodo = π
π
Funzione dispari
x
Formulario: rette e coniche
Distanza tra due punti P1 ( x1; y1 )
PP
1 2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
Prof. Desiderio Alberto
Punto medio P1 ( x1; y1 )
P2 ( x2 ; y2 )
P2 ( x2 ; y2 )
⎛x +x y +y ⎞
M⎜ 1 2; 1 2⎟
2 ⎠
⎝ 2
2
Rette
Equazione forma implicita ax + by + c = 0
Equazione forma esplicita y = mx + q
Coefficiente angolare
m > 0 pendenza positiva
P1 ( x1 ; y1 )
P2 ( x2 ; y2 )
m = tgα
a
m < 0 pendenza
m=−
α angolo tra asse x
y −y
negativa
m= 2 1
b
e retta
x2 − x1
m = 0 pendenza nulla
Rette parallele all’asse x y=k Rette parallele all’asse y x=h
Bisettrice 1° e 3° y=x
Bisettrice 2° e 4°
y=-x
Asse y x=0
Asse y x=0
1
Condizione di perpendicolarità m ' = −
Condizione di parallelismo m = m '
m
Distanza
punto-retta
Retta passante per due punti
Retta passante per un punto
x − x0
y − y0
ax + by0 + c
=
d= 0
y − y0 = m ( x − x0 )
x1 − x0 y1 − y0
a 2 + b2
Circonferenza: luogo dei punti del piano equidistanti dal centro
Equazione cartesiana ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = r 2
2
2
Equazione canonica x 2 + y 2 + ax + by + c = 0
Parabola con asse parallelo all’asse y: luogo dei
punti del piano equidistanti dal fuoco e dalla direttrice
Equazione canonica y = ax 2 + bx + c
a>0→∪
a<0→∩
Parabola con asse parallelo all’asse x
Equazione canonica x = ay 2 + by + c
a>0→ ⊂
a<0→ ⊃
Ellisse: luogo dei punti del piano per il quale è
costante la somma da due punti detti fuochi
a>b
x2 y 2
Equazione canonica 2 + 2 = 1
Fuochi
asse x
a b
Fuochi
c = a 2 + b2
c = a −b
b
Asintoti y = ±
a
2
⎛ −Δ + 1 b ⎞
F =⎜
;− ⎟
2a ⎠
⎝ 4a
2
Eccentricità e =
c
a
8
−Δ − 1
4a
b
Asse x = −
2a
Direttrice y =
−Δ − 1
4a
b
Asse y = −
2a
Direttrice x =
y
V3 ( 0; b )
V2 ( −a;0 )
F1 ( c;0 )
V1 ( a;0 )
F2 ( −c;0 )
c
Eccentricità e =
a
Iperbole: luogo dei punti del piano per il quale è
costante la differenza in valore assoluto da dai fuochi
c>a
x2 y 2
Equazione canonica 2 − 2 = 1
Fuochi
asse x
a b
Fuochi
⎛ b −Δ ⎞
V = ⎜− ;
⎟
⎝ 2a 4a ⎠
⎛ b −Δ + 1 ⎞
F = ⎜− ;
⎟
⎝ 2a 4a ⎠
b ⎞
⎛ −Δ
V =⎜
;− ⎟
⎝ 4a 2a ⎠
V4 ( 0; −b )
y
F2
−c
V2
−a
y=
b
x
a
a<c
V1
a
y=−
b
x
a
F1
c
x
x
Formulario: Geometria Euclidea
Prof. Desiderio Alberto
Somma degli angoli interni
Somma degli angoli esterni Sa.e. = 2π
Sa.i. = ( n − 2 ) π
Baricentro:incontro mediane
Incentro: incontro bisettrici
Punti notevoli di un
triangolo
Ortocentro: incontro altezze
Circocentro: incontro assi
Criteri di congruenza dei triangoli: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti
1°: due lati e l’angolo compreso
2°: un lato ed i due angoli adiacenti
3°: i tre lati
Poligono con n lati
Triangoli simili: due triangoli sono simili se hanno lati omologhi in proporzione e angoli uguali
Criteri di similitudine dei triangoli: due triangoli sono simili se hanno
1°: due angoli uguali 2°: due lati in proporzione l’angolo compreso uguale 3°: i lati in proporzione
Teoremi triangoli rettangoli
1° teorema di Euclide 2° teorema di Euclide
Un cateto è medio
L’altezza è media
A
proporzionale
proporzionale alle
all’ipotenusa e alla
proiezioni dei cateti
proiezione del cateto
sull’ipotenusa
sull’ipotenusa
C
B
H
BH : HA = HA : HC
BC : AB = AB : BH
HA = BH ⋅ HC
Area triangolo rettangolo
Area triangolo equilatero
Teorema di Pitagora
Il quadrato costruito
sull’ipotenusa è uguale
alla somma dei
quadrati costruiti sui
due cateti
2
BC = AC 2 + AB 2
Area triangolo
b⋅h
A=
2
b⋅c
A=
2
h
b
Trapezio
Quadrilatero che ha
due lati opposti
paralleli
b +b
A= 1 2 h
2
b2
h
α
3
l
2
3 2
A=
l
4
h=
a
b
c
b1
l
h
60°
60°
l
D
Parallelogramma
Quadrilatero che ha i lati
opposti paralleli e uguali
A = b⋅h
β
60°
l
β
A
h
C
α
β
α
B
b
C
Rombo
Parallelogramma
con i 4 lati uguali
d ⋅d
A= 1 2
2
d1
D
l
d2
Quadrato
Parallelogramma che ha
i lati uguali e gli angoli
retti
A = l2
B
Rettangolo
Parallelogramma con
i 4 angoli retti
A = b⋅h
A
Circonferenza
Luogo dei punti
equidistanti dal
centro
A = π ⋅ r2
Parallelepipedo
d = a +b +c
2
V = a ⋅b ⋅c
2
c
d
2
a
b
Cubo
d=l 3
V = l3
l
d
P = 2π r
Cilindro
V = π r 2h
h
Cono
1
V = π r 2h
3
r
h
r
9
a
Sfera
A = 4π r 2
4
V = π r3
3
Formulario: Funzioni
Prof. Desiderio Alberto
Funzione: una funzione è una corrispondenza tre due insiemi X e Y che associa ad ogni elemento
x di X uno ed un solo elemento y di Y.
L’elemento y si chiama immagine di x. Codominio:insieme delle immagini.
Dominio o campo d’esistenza (C.E.): insieme dei valori di X per cui esiste la funzione.
Funzione iniettiva: se ad elementi distinti di X corrispondono elementi distinti di Y.
Funzione suriettiva: se ogni elemento di y è immagine di almeno un elemento di X.
Intere: y = x3 − 2 x 2 − x + 1
Razionali
x3 − 2 x 2
x +1
Fratte y =
C.E. → denominatore ≠ 0
Intere: y = x3 − 2 x − 1
Algebriche
x3 − 2 x
x +1
2x
x
Esponenziali: y = e − e + 1
y=
(
2
Goniometriche: y = senx − 3cos x
Pari: se f ( − x ) = f ( x )
C.E. → radicando ≥ 0
C.E. → denominatore ≠ 0
3
Logaritmiche: y = log2 x − 3x + 2
Trascendenti
C.E. → ∀x ∈ R
x3 − 2 x
x +1
Irrazionali Fratte: y =
Funzione
C.E. → radicando ≥ 0
y = 3 x3 − 2 x − 1
Funzioni
C.E. → ∀x ∈ R
C.E. → ∀x ∈ R
)
C.E. → argomento > 0
C.E. → ∀x ∈ R
Grafico simmetrico rispetto all’asse y
Dispari: se f ( − x ) = − f ( x )
Grafico simmetrico rispetto all’origine
Funzione periodica: se f ( x ) = f ( x + kT )
y = ax a > 1
y Funzione
C .E .
crescente
Tutte le x
0 < a <1
y
Funzione
decrescente
y = log a x y
a >1
Funzione
crescente
C .E .
1
x
x>0
y = tgx C .E.
C .E .
Tutte le x
1
1
y = senx C .E . Tutte le x
x
y
1
x
y = cos x C .E . Tutte le x
y
x
−1
2π
Funzione dispari
−1
Periodo = 2π
y
1
2π
x
π
2
Funzione pari
Periodo = π
10
π
3
π
2
Funzione dispari
y = log a x y
0 < a <1
C .E .
x>0
y = ctgx
y
Periodo = π
x
1
C .E . x ≠ 0 + kπ
π
2
x
Funzione
decrescente
π
Funzione dispari
x

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