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TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Una figura geometrica può essere sottoposta a diverse trasformazioni, in seguito alle quali alcune delle
sue caratteristiche cambiano, mentre altre restano invariate.
Per introdurre il discorso si può pensare all'aspetto delle ombre prodotte da una figura piana quando
variano il tipo di sorgente luminosa e la posizione del piano di proiezione; possiamo schematizzare
quello che si osserva in questo modo:
TIPO DI SORGENTE
LUMINOSA
POSIZIONE DEL
PIANO
Piano
perpendicolare
a quello della
figura piana
OMBRA
OSSERVATA
TIPO DI
TRASFORMAZIONE
PROIETTIVITA'
Raggi luminosi
divergenti, emessi
da una sorgente
artificiale posta a
distanza finita (ad
esempio una
lampada)
Piano parallelo a
quello della
figura piana
SIMILITUDINE
Piano
perpendicolare
a quello della
figura piana
AFFINITA'
Piano parallelo a
quello della
figura piana
CONGRUENZA
Raggi luminosi
paralleli, emessi da
una sorgente
naturale posta a
distanza infinita (ad
esempio il Sole)
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Notiamo che le ombre non vengono deformate quando il piano di proiezione è parallelo a quello della
figura d’origine. In quest'ultimo caso, inoltre, se la sorgente è estesa l’ombra conserva anche la stessa
dimensione di quella di partenza.
Altri esempi di trasformazione si possono osservare tirando in diverse direzioni un tessuto elastico,
guardando l'immagine riflessa in uno specchio o un ingrandimento fotografico.
Studiamo ora queste trasformazioni dal punto di vista matematico.
Con il termine trasformazione geometrica piana si intende una corrispondenza biunivoca tra i punti
di uno stesso piano.
Si dice invariante di una trasformazione ogni proprietà di una figura che rimane inalterata applicando
la trasformazione.
Un punto si dice unito rispetto alla trasformazione se coincide con il suo trasformato.
È utile descrivere le trasformazioni geometriche dal punto di vista analitico, cioè trovare delle formule
che permettano di passare dalle coordinate (x,y) nel piano cartesiano di un punto P alle coordinate (x’,
y’) del suo corrispondente nella trasformazione; queste formule si chiamano equazioni della
trasformazione.
In base ai loro invarianti, le trasformazioni più comuni si possono classificare come segue:
1. OMEOMORFISMI: sono trasformazioni che conservano la continuità, ovvero a curve chiuse
corrispondono curve chiuse, a curve aperte curve aperte, e se un punto è l'intersezione di due
curve, il suo corrispondente è intersezione delle curve corrispondenti.
Un esempio di omeomorfismo si ottiene disegnando una figura su un palloncino e poi gonfiandolo:
nella figura deformata le linee chiuse, aperte o intrecciate si conservano tali.
2. PROIETTIVITÀ:
sono
trasformazioni
geometriche
che,
oltre
alla
continuità,
conservano
l'allineamento dei punti (le rette si trasformano in rette e i segmenti in segmenti). Viene anche
conservata la convessità delle figure.
3. AFFINITÀ: sono rappresentate da equazioni lineari del tipo
x' = ax + by + e

y' = cx + dy + f
con
a
c
b
≠0
d
INVARIANTI: oltre a continuità e allineamento dei punti, si conservano parallelismo e incidenza
(cioè trasformano rette in rette, segmenti in segmenti, rette parallele in rette parallele, rette
incidenti in rette incidenti, poligoni in poligoni con lo stesso numero di lati).
Non sono invarianti, invece, la forma delle figure (per esempio l'immagine di una circonferenza è
un'ellisse) e gli angoli.
4. SIMILITUDINI: sono affinità che mantengono costante il rapporto tra segmenti corrispondenti,
ovvero
AB
A 'B'
= k.
Dal punto di vista analitico, nelle equazioni che descrivono un'affinità si deve avere a=d e c = − b
oppure a = − d e c = b , quindi le similitudini sono rappresentate da
x' = ax + by + e

y' = −bx + ay + f
(similitudini dirette con determinante >0)
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oppure da
x' = ax + by + e

y' = bx − ay + f
Il numero positivo definito da k =
(similitudini inverse con determinante <0).
a2 + b2 si dice rapporto di similitudine.
INVARIANTI: a quelli di tutte le affinità, si aggiungono il rapporto tra lunghezze, l'ampiezza degli
angoli (in particolare la perpendicolarità tra rette) e dunque la forma.
5. OMOTETIE: L'omotetia di centro O e rapporto k ∈ R, k ≠ 0 è una trasformazione che associa a P il
punto P’, allineato con O e con P, tale che OP' = k OP .
Si può dimostrare che tutte le omotetie sono similitudini. Le figure omotetiche, oltre ad essere
simili, sono anche similmente disposte, ovvero i lati corrispondenti sono a due a due paralleli;
l'omotetia conserva, oltre alla forma, anche l'orientamento.
x'= kx
Se il centro dell'omotetia coincide con l'origine degli assi, le equazioni analitiche sono 
 y'= ky
.
Se il centro dell’omotetia è un punto qualsiasi del piano, di coordinate (xC , yC ) , le equazioni
x' = k (x − xC ) + xC
diventano 
 y'= k (y − yC ) + yC
.
Se k>0 l'omotetia si dice diretta; P e P' si trovano dalla stessa parte rispetto ad O. Se k<0
l'omotetia si dice inversa; P e P' si trovano da parti opposte rispetto ad O. Se k=1 si ha un’identità,
se k = −1 una simmetria con centro l’origine degli assi. Se k > 1 , l'omotetia ingrandisce la figura,
se invece k < 1 la riduce.
6. ISOMETRIE: Sono particolari affinità nelle quali la distanza tra due punti qualsiasi del piano è
uguale a quella fra le loro immagini. Tutte le isometrie sono similitudini di rapporto K=1.
INVARIANTI: a quelli delle affinità e delle similitudini si aggiungono la distanza e dunque la
congruenza e l'estensione superficiale.
Ci sono quattro tipi di isometrie:
a. TRASLAZIONI
→
La traslazione di vettore v (a; b) è una trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un
→
punto P' tale che il vettore PP' sia uguale al vettore v .
x' = x + a
Le equazioni che la rappresentano sono 
 y'= y + b
Una traslazione diversa dall'identità non ha punti uniti.
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b. SIMMETRIE ASSIALI
La simmetria assiale rispetto a una retta ax + by + c = 0 (detta asse di simmetria) è una
trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un punto P' tale che il segmento PP' sia
perpendicolare all'asse e il punto medio M di PP' appartenga all'asse.
Dal punto di vista analitico, vediamo le equazioni che la rappresentano rispetto ad alcuni assi
particolari:
x' = 2a − x
rispetto a un asse parallelo all'asse y, ovvero di equazione x=a, sono 
 y'= y
x' = x
rispetto ad un asse parallelo all'asse x, ovvero di equazione y=b, sono 
 y'= 2b − y
x'= y
rispetto alle bisettrici dei quadranti esse sono 
 y'= x
e
x' = − y

 y'= − x
Tutti i punti dell'asse di simmetria sono uniti.
c. SIMMETRIE CENTRALI
La simmetria centrale di centro M(a;b) è una trasformazione che ad ogni punto P del piano
associa un punto P' tale che M sia il punto medio del segmento PP'. Le equazioni che la
x' = 2a − x
rappresentano sono 
 y'= 2b − y
.
L'unico punto unito è il centro M.
Nella tabella che segue sono riportate le simmetrie assiali e centrali presenti in alcune figure
geometriche elementari.
FIGURA
SIMMETRIE ASSIALI
SIMMETRIA CENTRALE
Triangolo isoscele
1
no
Triangolo equilatero
3
no
Parallelogramma
no
si
Rettangolo
2
si
Quadrato
4
si
Rombo
2
si
Trapezio isoscele
1
no
Pentagono regolare
5
no
Esagono regolare
6
si
Ottagono regolare
8
si
Cerchio
infinite
si
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d. ROTAZIONI
La rotazione di centro C e angolo α è la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa un
ˆP' = α . Prendendo come centro l’origine degli assi e come angolo di
punto P' tale che PC = P' C e PC
x' = x cos α − ysenα
rotazione in senso antiorario α , le equazioni sono 
y' = xsenα + y cos α
In una rotazione l'origine è l'unico punto unito.
Le relazioni tra le varie trasformazioni geometriche introdotte possono essere rappresentate con il
seguente diagramma:
OMEOMORFISMI
PROIETTIVITÀ
AFFINITÀ
SIMILITUDINI
OMOTETIE
IDENTITÀ
ISOMETRIE
Introducendo il concetto di trasformazione e individuandone le proprietà in base agli elementi che in
esse risultano invarianti, è possibile affrontare lo studio delle figure geometriche da un punto di vista
diverso da quello proprio della geometria euclidea; questo punto di vista è stato esposto dal
matematico tedesco Felix Klein (1849 – 1925), nel suo “Programma di Erlagen”.
In questo modo si passa dallo studio delle figure a quello degli “spazi” che le contengono, caratterizzati
da gruppi di trasformazioni, che a loro volta sono caratterizzati dai loro invarianti (le proprietà
geometriche non sono più determinate dalla forma di una figura, ma dalle trasformazioni che su di essa
possono agire).
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Ad esempio, la geometria euclidea del piano è lo studio delle proprietà che sono invarianti per
trasformazioni isometriche (traslazioni, rotazioni e simmetrie) del piano in sé.
La geometria affine è lo studio delle proprietà delle figure che sono invarianti per trasformazioni affini,
la geometria proiettiva quello delle proprietà che sono invarianti per trasformazioni proiettive e così
via.
Questo nuovo metodo di studio non si contrappone a quello della geometria euclidea, ma è
complementare ad essa e più generale; infatti, introducendo il concetto di gruppo di trasformazioni,
Klein riuscì ad unificare tutte le geometrie costruite in precedenza, comprese quelle non euclidee
iperbolica ed ellittica.
Siti interessanti per saperne di più:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/homepage.html#homepage
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