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Cuscinetti radenti Progettazione e prove sperimentali

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METODI DI CALCOLO
Franco Colcli
(fonte ht
tp://w w w
.hbs
-troeller.
de)
I CUSCINETTI RADENTI
SONO ELEMENTI
DI MACCHINE
MOLTO PARTICOLARI,
UTILIZZATI SOLO
IN APPLICAZIONI
SPECIFICHE.
GRAZIE ALL’ASSENZA
DEGLI ELEMENTI
VOLVENTI, INFATTI,
HANNO INGOMBRI
MOLTO CONTENUTI
E POSSONO QUINDI
ESSERE UTILIZZATI
IN APPLICAZIONI
IN CUI LO SPAZIO
È LIMITATO.
NE SONO UN ESEMPIO
I PICCOLI RIDUTTORI
PLANETARI A GIOCO
RIDOTTO PER
APPLICAZIONI
DI PRECISIONE.
Cuscinetti radenti
36
NOVEMBRE 2014
ORGANI DI TRASMISSIONE
Progettazione
e prove sperimentali
I
cuscinetti radenti sono costituiti essenzialmente da un perno e un elemento forato in rotazione relativa. Per velocità
nulle, il perno e il foro sono fisicamente a contatto e non vi è
nessun film di lubrificante a dividere le superfici. Questo fatto fa sì che all’avvio, questo tipo di cuscinetto richieda una
certa coppia per vincere l’attrito statico (attrito di primo distacco). Tipicamente, in un accoppiamento acciaio/bronzo,
l’attrito di primo distacco può valere 0,14.
All’aumentare della velocità relativa il perno diventa sempre più in grado di trascinare del lubrificante sotto di sé,
per cui l’attrito diminuisce rapidamente (condizione di lubrificazione imperfetta). Quando si raggiungono le condizioni di progetto si ha il valore minimo del coefficiente d’attrito (lubrificazione perfetta). Al crescere ulteriore della velocità il
coefficiente d’attrito aumenta poi in maniera quasi lineare con la
stessa per effetto della legge di Newton fino a quanto, oltre un certo punto, comincia a diminuire per effetto dell’aumento di temperatura del lubrificante che ne modifica la viscosità.
Film fluido in condizioni di puro taglio
Il calcolo alla base della seguente analisi si basa sulla teoria elastoidrodinamica sotto opportune ipotesi:
• le due superfici, l’una mobile e l’altra fissa costituenti il cuscinetto,
siano separate da uno spessore di lubrificante;
• l’effetto della perdita di lubrificante lungo i bordi del cuscinetto sia
trascurabile;
• la velocità della superficie mobile sia tale da generare un flusso laminare del lubrificante, che cioè il numero di Reynolds sia sufficientemente basso e che valga quindi la legge di Newton.
Lo scorrimento relativo nella lubrificazione a film d’olio è sempre accompagnato da un effetto di frizione dovuto agli sforzi viscosi nel fluido. Il parametro che governa questo fenomeno è la viscosità μ.
La forza di trascinamento di un piano rispetto all’altro vale
F = μA (V/h)
in cui A è l’area delle superfici, V la velocità relativa e h l’altezza del meato.
Nel caso di cuscinetti veloci non caricati, l’ipotesi che l’eccentricità
durante il funzionamento sia nulla risulta ragionevole: foro e perno
f
possono dunque esser considerati concentrici ed il film che ne risulta
in condizione di puro taglio. Il profilo di velocità nel meato sarà triangolare in accordo con figura 2a e la portata di lubrificante nel meato sarà
Q = (1/2) Vc
in cui V è la velocità periferica del perno e c il gioco radiale del cuscinetto.
Nel caso in cui il cuscinetto sia caricato radialmente, il perno lavorerà in modo eccentrico per cui, nel meato, si instaurerà un gradiente
di pressione ed il profilo di velocità assumerà una forma come da figura 2b.
Definito c il gioco radiale ed e l’eccentricità in esercizio, la portata attraverso una sezione X-X può essere scritta come
v
1
1 dp 3
Q = Vλ –
λ
2
12µ dx
Fig. 1 - Andamento qualitativo del coefficiente di attrito con la velocità.
bearing
in cui vi è una prima parte, (1/2)Vλ, dovuta alla condizione di puro taglio ed una seconda parte,
(-1/12μ) (dp/dx) λ3 , dovuta al solo gradiente di pressione. Λ rappresenta l’altezza del meato in esercizio.
Integrando l’andamento della pressione che si genera nel meato si
può ricavare la forza massima che il meato è in grado di reggere
che risulta
min. pressure
ω
r
journal
λ
x
 µVr 
12πε
P= 2 
 c  (2 + ε 2 1 – ε 2
x
c
a
in cui ε = e/c.
Allo stesso modo integrando gli sforzi viscosi si ottiene il momento resistente.
bearing
x
a)
e
0
M’
e
θ
r
c-e
c+e
θ'
actual
flow
x
c
due to
pressure
x gradient
a
max. press.
0’
θ
due to
simple shear
λ
Dal rapporto tra la coppia trasmissibile ed il carico supportato,
è pos0
sibile definire un coefficiente di attrito virtuale
r
fr = M’/P = 1/3e (c2 + 2e2
x
journal
il cui andamento qualitativo è riportato in ficgura 3.
x
Nella pratica industriale, il calcolo è semplificato dall’utilizzo delx cosiddetto parametro S di Sommerfeld che permette di ricavare i va- c
lori necessari da tabella.
a)
2
1
 r  ηn
S= 
=
12πε
 c p
(2 + ε 2 ) 1 – ε 2
due
simp
b)
min. pressure
ω
actu
flow
r
x
2
 µVr 2  4 π 1 + 2ε 2
M' = 
 c  1 – ε 2 2 + ε 2
M’
e
Fig. 2 - a) Condizioni
di esercizio di cuscinetti
c+e
c-e non caricati; θ
veloci
θ'
b) condizioni di esercizio
di cuscinetti veloci caricati.
c
max. press.
0
c
e
0
Nella comune pratica costruttiva si verifica solamente che la pressione specifica media p (per area proiettata A) sia minore di valori pratici (dipendenti dalle applicazioni e dai materiali accoppiati), in corrispondenza dei quali è assicurata l’azione portante del
lubrificante. Tali valori derivano dalle soluzioni dell’equazione di
Reynolds riportate in un celebre lavoro di Raimondi e Boyd (1958).
fr
c
Sperimentale
Calcolato
S
crescente
e
c
decrescente
Fig. 3 - Andamento del parametro di attrito f .r/c in funzione
dell’eccentricità relativa. In corrispondenza del valore ε = 0,7
si ha un minimo del coefficiente di attrito (punto in cui vi è la
transizione da lubrificazione elastoidrodinamica a lubrificazione
limite). Un valore massimo consigliato di eccentricità relativa e/c
è 0,4 per cui il parametro d’attrito risulta essere 1,1. Al contrario,
valori troppo bassi di eccentricità, portano ad attriti eccessivi.
NOVEMBRE 2014
Progettazione speditiva
b)
ORGANI DI TRASMISSIONE
La curva teorica, per valori elevati di ε (basse velocità di rotazione,
alti carichi), sottostima le misure (nella realtà si passa da condizione
di lubrificazione elastoidrodinamica a lubrificazione limite con contatto tra le asperità a causa di uno spessore del film troppo basso,
cosa che non viene considerata nella teoria).
Per valori bassi di e/c (alta velocità di rotazione, bassi carichi), invece, la curva teorica sovrastima il coefficiente d’attrito in quanto, nella realtà, la viscosità è funzione della temperatura mentre nel calcolo questa è considerata costante.
x
37
METODI DI CALCOLO
Per quanto riguarda il comportamento termico si verifica che il
prodotto pν, con ν velocità periferica del perno, sia minore o uguale al valore ottimale tabellato.
Superamenti del valore suggerito significano solo che occorre una
verifica accurata delle condizioni termiche.
Per quanto riguarda il rapporto l/D in cui l è la lunghezza del cuscinetto e D il diametro del perno, si usano oggi rapporti di 0,250,75, mentre nel passato erano più vicini all’unità. Cuscinetti più
lunghi hanno meno perdite di estremità, quindi, richiedono un
flusso d’olio minore, ma si riscaldano di più.
Per cuscinetti di diametro 25-150 mm, il rapporto c/R, dove c rappresenta il gioco radiale ed R il raggio del cuscinetto, assume valori tra 0,001, per costruzioni molto precise, di 0,002 per costruzioni ordinarie e di 0,004 per macchine grossolane.
In fase di progettazione, rimanendo nel campo utile, si arriveranno a definire, per un dato carico ed una data velocità di rotazione,
il gioco massimo e minimo consigliati per un buon funzionamento del cuscinetto.
P
e
R
h0
Prove sperimentali
p= P
lD
c ideale
F
+
c
-
ω
38
NOVEMBRE 2014
ORGANI DI TRASMISSIONE
Fig. 4 - Formazione del meato e distribuzione della pressione;
andamento qualitativo dei valori ideali di c in funzione della
velocità di rotazione e del carico del cuscinetto.
Fig. 5 - Sistema provato.
Per validare il calcolo, prove ad hoc sono state effettuate su tre cuscinetti aventi uno un gioco ideale, un secondo un gioco eccessivo ed un terzo un gioco troppo contenuto. I tre cuscinetti sono stati caricati allo stesso modo e testati.
Al fine di rendere quanto più possibile uniforme il carico e le condizioni di prova dei tre cuscinetti, questi sono stati montati sul portatreno di un riduttore epicicloidale (figura 5).
Tale portatreno è stato preventivamente misurato con macchina di
misura tridimensionale in modo da garantire lo stesso interasse di
montaggio ai tre perni. In questo modo, essendo la ruota solare e
la corona le stesse con cui ingranano i tre satelliti su cui sono realizzati i cuscinetti, eventuali imperfezioni geometriche portano, durante il funzionamento, allo stesso carico.
Dalle prove ci si attendeva, come poi è stato confermato, come la
condizione più gravosa fosse quella associata a giochi troppo elevati. Superare il gioco cmax (corrispondente a Smin e, quindi, ε elevati) significa arrivare a lubrificazione limite e/o grippaggio. Stare sotto al gioco cmin (corrispondente a Smax e, quindi, ε contenuti) benché non indicato risulta meno gravoso in quanto porta solamente
ad attriti maggiori e, di conseguenza, temperature maggiori. Stringendo troppo i giochi si può comunque arrivare a problemi dovuti
all’eccessiva riduzione della viscosità.
Conclusioni
La progettazione corretta di un accoppiamento lubrificato passa
inevitabilmente dal calcolo della pressione che si genera nel meato. Questa deve essere tale da garantire la completa separazione
delle superfici associata ad una condizione di lubrificazione elastoidrodinamica. Un calcolo rapido può essere condotto appoggiandosi alle soluzioni tabulate delle equazioni di Reynolds.
Dalla sperimentazione condotta è emerso come per giochi eccessivi il film di lubrificante non si formi correttamente portando ad
una rapida usura delle superfici.
Al contrario, un gioco troppo stretto, sebbene non indicato a causa dei maggiori attriti che comporta, ha un impatto minore sull’usura dei componenti, almeno finché le temperature che si generano nel meato non risultano tali da portare ad un drastico calo della viscosità.
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