Cromodinamica Quantistica
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Pisa, 12 Febbraio 2014
i
Indice
1 SU (N )
1.1 Rappresentazione aggiunta di SU (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Secondo operatore di Casimir per SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Indice di Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
2 Rappresentazioni irriducibili di SU (3)
6
2.1 Richiamo: rappresentazioni irriducibili di SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Multipletti di spin isotopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Rappresentazione complessa coniugata in SU (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Prodotto diretto di rappresentazioni irriducibili di SU (3)
15
3.1 Metodo tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Riduzione di un tensore di rango (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Decomposizione del prodotto diretto con il metodo tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Modello a quarks
18
4.1 Evidenze sperimentali (indirette) del numero quantico di colore . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Teoria di campo quantistica per i quarks (QCD)
21
5.1 Trasporto parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Campi di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Lagrangiana della Cromodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 Feynman path integral
6.1 Path integral in QFT (teoria bosonica) .
6.2 Path integral in QFT (teoria fermionica)
6.3 Quantizzazione di una teoria di gauge .
6.4 Metodo di Faddeev-Popov . . . . . . . .
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26
28
32
36
36
7 Regole di Feynmann per la QCD
41
7.1 Propagatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Termini di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Teoria delle perturbazioni rinormalizzata
8.1 Regolarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Rinormalizzazione della QCD a 1 loop nello schema ”Minimal
8.3 A 2 loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Funzione β a 1 loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Subtraction”
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44
47
49
54
55
9 Formulazione euclidea di una teoria di campo
57
9.1 Formulazione euclidea della QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2 Funzione di partizione statistica Z(β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Formulazione su reticolo
60
10.1 Formulazione euclidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.2 Limite continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
63
11 Potenziale qq e qq nel limite statico
11.1 Approccio perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2 Approccio non perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
12 Simmetrie di flavor: SU (2) e SU (3)
66
13 Simmetrie chirali
67
ii
14 Simmetrie in MQ
71
14.1 Realizzazione ”alla Wigner-Weyl” (”simmetria esatta”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
15 Rottura spontanea della simmetria
15.1 Parametro d’ordine per la QCD . . . . . . .
15.2 Modello sigma di Gell-Mann e Levy . . . .
15.3 Decomposizione polare e modello sigma non
15.4 Lagrangiana chirale efficace . . . . . . . . .
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lineare
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72
73
74
77
78
16 Rottura esplicita della simmetria chirale
16.1 Caso L = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Diffusione pione-pione . . . . . . . . . . .
16.3 Caso L = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Correzioni elettromagnetiche alle masse .
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81
82
83
84
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17 Simmetria U (1)A
87
18 Simmetrie anomale e non anomale
89
18.1 Anomalia abeliana (simmetria chirale & teoria di gauge non chirale) . . . . . . . . . . . . 90
18.2 Regolarizzazione gauge-invariante dell’anomalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
18.3 Passaggio da teoria fondamentale a teoria efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
19 Esoterismo e pratiche occulte
19.1 Limite di grandi Nc (Nc → ∞) . . . . . . . . . . . .
19.2 Problema U (1) nel limite Nc → ∞ (Witten, 1979) .
19.3 Lagrangiana efficace di Witten-Di Vecchia-Veneziano
19.4 Istantoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5 Termine θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6 Modello di Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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96
96
96
98
101
101
104
1
SU (N )
Definizione 1.1. SU (N ) `e definito come il gruppo delle matrici U N × N unitarie, cio`e tali che U † U =
U U † = I (da cui segue che U † = U −1 ), aventi det U = +1.
` sempre possibile scrivere un elemento U ∈ SU (N ) come U = eA , con A matrice N × N . La
E
condizione U † = U −1 impone una condizione su A:
†
U † = eA = e−A = U −1
A† = −A
=⇒
ossia A `e una matrice antihermitiana. Inoltre la condizione sul determinante di U impone che
det U = etrA = 1
=⇒
trA = 0
` molto pi`
Riassumendo, A deve essere una matrice antihermitiana a traccia nulla. E
u conveniente (in
virt`
u del significato fisico) scrivere A = iH, con H matrice hermitiana; in definitiva, un generico elemento
U ∈ SU (N ) pu`
o essere scritto come U = eiH con H matrice N × N hermitiana a traccia nulla. Le
matrici hermitiane N × N a traccia nulla sono identificate da N 2 − 1 parametri reali, ossia `e uno spazio
di dimensione N 2 − 1:
2
NX
−1
H=
a Fa
(1.1)
a=1
dove a ∈ R e {Fa , a = 1, . . . , N } sono i generatori del gruppo. L’elemento U del gruppo a questo punto
`e identificato dagli a :
 2

NX
−1
U = exp i
a Fa 
(1.2)
a=1
SU (N ) `e un gruppo di Lie; in quanto gruppo, `e chiuso rispetto al prodotto di elementi, cio`e se U1 , U2 ∈
SU (N ), allora U3 ≡ U1 U2 ∈ SU (N ). La chiusura rispetto al prodotto degli elementi implica che i
generatori del gruppo soddisfino l’algebra di Lie:
c
[Fa , Fb ] = iCab
Fc
(1.3)
c
Cab
sono costanti reali, dette costanti di struttura del gruppo. Dalle propriet`a di antisimmetria del
c
c
commutatore, segue che Cab
= −Cba
(sulle altre coppie di indici non possiamo dire nulla per adesso). I
generatori Fa e i parametri associati a , ossia la rappresentazione, non sono univocamente determinati.
Si pu`
o scegliere quindi una rappresentazione pi`
u congeniale a seconda della situazione. L’esistenza di
una rappresentazione ”comoda” ci `e garantita dal seguente
Teorema 1. Se esiste una rappresentazione hermitiana dei generatori Fa , allora esiste una rappresentazione dei generatori Fˆa = Lab Fb , dove L `e una matrice reale, tale che:
• Fˆa sia hermitiana e a traccia nulla per ogni a.
c
• Cˆab
siano antisimmetrici in tutti e tre gli indici.
• La forma quadratica gab ≡ tr[Fˆa Fˆb ] risulti essere definita positiva. In altre parole esiste un λ > 0
dipendente dalla normalizzazione tale che
gab = tr[Fˆa Fˆb ] = λδab
(1.4)
Alla luce di questo teorema possiamo dare la seguente
Definizione 1.2 (Rappresentazione definente di SU (N )).
[Fa , Fb ] = ifabc Fc
1
tr[Fa Fb ] = δab
2
fabc completamente antisimmetrico
normalizzazione
1
(1.5)
Diamo altre tre definizioni importanti:
Definizione 1.3 (Sottoalgebra di Cartan).
La sottoalgebra di Cartan di un gruppo di Lie `e la sottoalgebra generata dai generatori del gruppo che
commutano fra di loro.
Definizione 1.4 (Rango di un gruppo).
Il rango di un gruppo di Lie `e la dimensione della relativa sottoalgebra di Cartan. Per SU (N ) il rango
vale N − 1.
Definizione 1.5 (Operatore di Casimir).
Un operatore di Casimir `e un operatore costruito a partire dai generatori del gruppo che commuta con
tutti i generatori e quindi con tutti gli elementi del gruppo.
Si dimostra che il rango coincide anche con il numero di operatori di Casimir linearmente indipendenti.
Un esempio di operatore di Casimir `e il Casimir quadratico, dato da
F
(2)
≡
2
NX
−1
Fa2
(1.6)
a=1
Questo operatore `e un Casimir, infatti
[F (2) , Fb ] =
=
2
NX
−1
2
NX
−1
a=1
a=1
[Fa2 , Fb ] =
2
NX
−1
(Fa [Fa , Fb ] + [Fa , Fb ]Fa )
ifabc (Fa Fc + Fc Fa ) = 0
a=1
in quanto abbiamo contratto fabc , completamente antisimmetrico negli indici a, c, con la quantit`
a
simmetrica Fa Fc + Fc Fa .
1.1
Rappresentazione aggiunta di SU (N )
(f )
(f )
(f )
Nella rappresentazione fondamentale (indice f ) di SU (N ), si ha [Fa , Fb ] = ifabc Fc (questa con1
(f ) (f )
dizione vale per qualsiasi rappresentazione) e tr[Fa Fb ] = δab . In una rappresentazione generica
2
(r)
(r) (r)
(indice r), la forma quadratica gab tr[Fa Fb ] sar`a ancora diagonale se e solo se la sua rappresentazione
(r)
(r)
(r)
aggiunta `e irriducibile. In tal caso, gab = TR δab , dove TR prende il nome di indice di Dynkin e dipende
dalla rappresentazione.
Per definire la rappresentazione aggiunta, partiamo dall’identit`a di Jacobi
[Fa , [Fb , Fc ]] + [Fc , [Fa , Fb ]] + [Fb , [Fc , Fa ]] = 0
(1.7)
Usando l’algebra di Lie, questa identit`
a pu`o essere scritta come
− (faed fbce + fbed fcae + fced fabe )Fd = 0
(1.8)
Dato che gli Fd sono linearmente indipendenti, l’equazione (8) `e soddisfatta se e solo se
faed fbce + fbed fcae + fced fabe = 0
(1.9)
Questa relazione prende il nome di identit`
a di Jacobi per le costanti di struttura del gruppo. Definiamo
a questo punto
Fa(agg)
≡ −ifabc
(1.10)
bc
che sono N 2 − 1 matrici hermitiane N 2 − 1 × N 2 − 1 a traccia nulla. Verifichiamo che queste siano in
effetti una rappresentazione di SU (N ). Dobbiamo far vedere che queste matrici obbediscano all’algebra
di Lie. Per far ci`
o, riscriviamo l’identit`
a di Jacobi sfruttando l’antisimmetria delle costanti di struttura:
−face fbed + fbce faed = fabe fecd = ifabe · (−ifecd ) = ifabe Fe(agg)
cd
2
(agg)
(agg)
(agg)
mentre il primo membro sar`
a proprio uguale a [Fa
, Fb
]cd . Concludiamo che le Fa
l’algebra di Lie e pertanto costituiscono una rappresentazione di SU (N ).
verificano
Esempio 1.
Fissiamo N = 2. Per SU (2) l’algebra prende la forma [Fa , Fb ] = iabc Fc , dove abc `e il tensore completa(f )
mente antisimmetrico di Levi-Civita. Nella rappresentazione fondamentale, Fa = σa /2, dove σa sono
le matrici di Pauli
0 1
0 −i
1 0
σ1 =
, σ2 =
, σ3 =
1 0
i 0
0 −1
1
(f ) (f )
con tr[σa σb ] = 2δab , che implica tr[Fa Fb ] = δab . In SU (2) la sottoalgebra di Cartan `e triviale ed
2
esiste un solo operatore di Casimir, quello quadratico.
(f )
Per N = 3, invece, i generatori nella rappresentazione fondamentale sono otto matrici 3×3, Fa = λa /2,
dove λa sono le matrici di Gell-Mann:






0 1 0
0 −i 0
1 0 0
λ1 = 1 0 0 , λ2 =  i 0 0 , λ3 = 0 −1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0




0 0 1
0 0 −i
λ4 = 0 0 0 , λ5 = 0 0 0 
1 0 0
i 0 0






1 0 0
0 0 0
0 0 0
1
λ6 = 0 0 1 , λ7 = 0 0 −i , λ8 = √ 0 1 0 
3 0 0 −2
0 i 0
0 1 0
(f )
(f )
con tr[λa λb ] = 2δab e quindi tr[Fa Fb ] =
1
δab . Le costanti di struttura non nulle sono
2
f123 = 1
f147 = f246 = f257 = f345 =
1
2
1
f156 = f367 = −
√2
3
f458 = f678 =
2
(f )
(f )
e le varie permutazioni di queste. Notiamo che F3 e F8 sono gi`a diagonali e automaticamente
commutano tra di loro. Questo ci dice che esse generano la sottoalgebra di Cartan (che in questo caso
ha dimensione 2). In SU (3) vi saranno pertanto due operatori di Casimir linearmente indipendenti: uno
`e quello quadratico. Vogliamo trovare il secondo.
1.2
Secondo operatore di Casimir per SU (3)
(f )
(f )
Diamo innanzitutto una definizione preliminare: in SU (N ) consideriamo l’anticommutatore {Fa , Fb } =
(f ) (f )
(f ) (f )
Fa Fb +Fb Fa . Questa `e ancora una matrice hermitiana (a traccia non nulla stavolta) che possiamo
scrivere come
(f )
{Fa(f ) , Fb } = Cab I + dabc Fc(f )
(1.11)
Il valore di Cab possiamo ottenerlo prendendo la traccia di entrambi i membri:
h
i
(f )
(f )
tr {Fa(f ) , Fb } = 2tr[Fa(f ) Fb ] = δab = Cab trI = Cab N
quindi Cab = δab /N e la relazione (11) pu`
o essere riscritta come
(f )
{Fa(f ) , Fb } =
1
δab I + dabc Fc(f )
N
3
(1.12)
in cui dabc `e un tensore reale completamente simmetrico. La simmetria nei primi due indici `e un’immediata conseguenza della definizione, infatti l’anticommutatore `e simmetrico negli indici. Per vede(f )
re la simmetria anche sul terzo indice, ”proiettiamo” la (12) su Fc , usando come prodotto scalare
(f )
(f )
(f ) (f )
(Fa , Fb ) = tr[Fa Fb ], ottenendo
i
i
h
hn
o
(f )
(f )
(f )
dabc = 2tr Fa(f ) , Fb
Fc(f ) = 2tr Fa(f ) Fb Fc(f ) + Fb Fa(f ) Fc(f )
o
i
hn
(f )
= 2tr Fa(f ) , Fc(f ) Fb
i
o
hn
(f )
= 2tr Fb , Fc(f ) Fa(f )
dove negli ultimi due passaggi `e stata usata la ciclicit`a della traccia negli indici. Concludiamo dunque
che dabc = dbac = dacb = dcab = dcba , cio`e il tensore `e completamente simmetrico nei tre indici. Inoltre,
(f )
esso `e reale (si vede dalla precedente equazione che d∗abc = dabc , sfruttando il fatto che i generatori Fa
sono hermitiani).
Usiamo quindi la seconda identit`
a di Jacobi, valida in ogni rappresentazione,
[Fa , {Fb , Fc }] + [Fc , {Fa , Fb }] + [Fb , {Fc , Fa }] = 0
(1.13)
insieme alla definizione (12) (valida nella rappresentazione fondamentale), per trovare l’identit`a
fade dbce + fbed dcae + fced dabe = 0
(1.14)
2
u dell’identit`a (14), si dimostra che vale la seguente
Introduciamo l’operatore Da ≡ dabc Fb Fc . In virt`
3
regola di commutazione
[Da , Fb ] = ifabc Dc
(1.15)
2
In virt`
u di questa regola di commutazione, si deduce che l’operatore G(3) ≡ Fa Da = dabc Fa Fb Fc `e un
3
operatore di Casimir (Casimir cubico), cio`e [G(3) , Fa ] = 0 per ogni a = 1, . . . , N 2 − 1.
N.B. In SU (2) i dabc sono tutti nulli, in quanto {σi , σj } = 2δij I, quindi, come ci aspettavamo, G(3) ≡ 0
per SU (2), e l’unico Casimir indipendente `e quello quadratico.
1.3
Indice di Dynkin
(r)
L’indice di Dynkin TR `e definito dalla relazione, valida in ogni rappresentazione,
(r)
(r)
tr[Fa(r) Fb ] = TR δab
(1.16)
e dipende dalla particolare scelta della rappresentazione. Sia ”r” una rappresentazione irriducibile. In
questa rappresentazione, per il lemma di Schur, gli operatori di Casimir sono tutti multipli dell’identit`
a,
in particolare, per il quadratico, si ha
(r)
F (2) {r} = CF Id(r)×d(r)
(r)
(1.17)
(r)
e si pu`
o trovare una relazione tra TR e CF :
(r)
TR =
1
(r)
d(r)CF
N2 − 1
(1.18)
Esempio 2.
(f )
1. Nella rappresentazione fondamentale, TR =
1
N2 − 1
(f )
, d(f ) = N , da cui segue che CF =
.
2
2N
(agg)
2. Nella rappresentazione aggiunta, d(agg) = N 2 − 1, che implica TR
(f )
il valore `e necessario usare la relazione di completezza per gli Fa :
2
NX
−1 a=1
Fa(f )
ij
Fa(f )
kl
4
1
=
2
(agg)
= CF
1
δil δjk − δij δkl
N
= N . Per ricavare
(1.19)
da cui si ottengono le seguenti relazioni:
2
NX
−1 Fa(f ) Fa(f )
a=1
2
NX
−1 =
ij
(f )
Fa(f ) Fb Fc(f )
a=1
N2 − 1
δij
2N
=−
ij
1 (f ) Fb
2N
ij
(1.20)
(1.21)
Queste, unitamente all’algebra, servono per dimostrare che
facd fbcd = N δab
(1.22)
Questa relazione pu`
o essere letta in due modi: il primo membro pu`o essere visto come la traccia del
(agg)
prodotto di due generatori nella rappresentazione aggiunta, che implica TR
= N , oppure pu`
o
(agg)
essere visto come il valore del Casimir quadratico in rappresentazione aggiunta, cio`e CF
= N.
5
2
2.1
Rappresentazioni irriducibili di SU (3)
Richiamo: rappresentazioni irriducibili di SU (2)
Siano T1 , T2 , T3 i generatori di SU (2). L’algebra di SU (2) `e data da
[Ta , Tb ] = iabc Tc
(2.1)
In SU (2) abbiamo un solo Casimir, il quadratico:
T
(2)
≡
2
NX
−1
Ta2 .
a=1
Scegliamo come osservabili compatibili T3 , T (2) e definiamo gli operatori di salita e di disceda T± =
T1 ± iT2 , tali che
[T3 , T± ] = ±T±
[T+ , T− ] = 2T3
e fissiamo un autostato simultaneo di T (2) e T3 , |j, t3 i:
T (2) |j, t3 i = j(j + 1)|j, t3 i
T3 |j, t3 i = t3 |j, t3 i
con j ∈ {0, 1/2, 1, 3/2, . . .} e t3 ∈ {−j, −j + 1, . . . , j − 1, j}. Fissato j, abbiamo una rappresentazione
irriducibile di SU (2) per spin j, che ha dimensione 2j + 1 (il numero dei possibili valori di t3 ). Sugli
autostati |j, t3 i si ha
p
T± |j, t3 i = j(j + 1) − t3 (t3 ± 1)|j, t3 ± 1i
Possiamo infine introdurre il diagramma ”peso” di SU (2), in cui vengono riportati su un grafico i possibili
valori di t3 :
6
Passiamo quindi a SU (3). Dobbiamo innanzitutto trovare un insieme completo di operatori che
commutano. Abbiamo immediatamente i due Casimir F (2) e G(3) . Come lo completiamo? Siano Fa i
generatori di SU (3) e definiamo
F1,2,3 = T1,2,3
T± = T1 ± iT2
V± = F4 ± iF5
U± = F6 ± iF7
2
Y = √ F8
3
(2.2)
Notiamo subito che {T1 , T2 , T3 } generano un sottogruppo SU (2) detto sottogruppo di T-spin. Riscriviamo
quindi l’algebra di SU (3) in termini di questi nuovi operatori:
1
[T3 , U± ] = ± U±
2
[T3 , T± ] = ±T±
[Y, U± ] = ±U±
[Y, T± ] = 0
[T+ , V+ ] = 0
[T+ , V− ] = −U−
[T+ , U− ] = 0
[T+ , U+ ] = V+
1
[T3 , V± ] = ± V±
2
(2.3a)
[Y, V± ] = ±V±
(2.3b)
[U+ , V+ ] = 0
(2.3c)
[U+ , V− ] = T−
[T3 , Y ] = 0
(2.3d)
Inoltre
[T+ , T− ] = 2T3
3
[U+ , U− ] = Y − T3 ≡ 2U3
2
3
[V+ , V− ] = Y + T3 ≡ 2V3
2
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
Concludiamo perci`
o che esistono altri due sottogruppi SU (2) generati da {V1 = F4 , V2 = F5 , V3 } e
{U1 = F6 , U2 = F7 , U3 }, detti rispettivamente sottogruppo di V-spin e sottogruppo di U-spin.
Possiamo adesso completare l’insieme completo di operatori prendendo {F (2) , G(3) , T (2) , T3 , Y }, dove
T (2) `e il Casimir quadratico del sottogruppo di T -spin. Allora le rappresentazioni irriducibili di SU (3)
saranno classificate da due indici, corrispondenti ai valori dei due Casimir di SU (3).
Il diagramma peso di SU (3) sar`
a dato quindi dal grafico bidimensionale in cui vengono riportati i valori
degli operatori T3 in ascissa e Y in ordinata (v. figura):
Gli effetti dei vari operatori definiti su un autostato simultaneo degli operatori di base sono i seguenti
• T+ aumenta di 1/2 il valore di T3 , mentre T− lo diminuisce di 1/2.
• V+ aumenta di 1/2 il valore di T3 e di 1 il valore di Y , mentre V− diminuisce di 1/2 il valore di T3
e di 1 il valore di Y .
• U+ diminuisce di 1/2 il valore di T3 e aumenta di 1 il valore di Y , mentre U− aumenta di 1/2 il
valore di T3 e diminuisce di 1 il valore di Y .
7
Data una rappresentazione (p, q) irriducibile di SU (3), il suo diagramma peso avr`a struttura esagonale,
con lati di lunghezza p e q. In generale
d(p, q) =
1
(p + 1)(q + 1)(p + q + 2)
2
(2.5)
In analogia con SU (2), definiamo uno stato di ”peso massimo” |ψmax i come lo stato avente t3 massimo,
che per una rappresentazione (p, q) vale tmax
= (p + q)/2:
3
T3 |ψmax i =
p+q
|ψmax i
2
(2.6)
Inoltre si osserva che |ψmax i appartiene a un multipletto di U -spin (con valore di U3 minimo) e a un
multipletto di V -spin (con valore di V3 massimo):
q
U3 |ψmax i = − |ψmax i
2
V3 |ψmax i =
p
|ψmax i
2
(2.7a)
(2.7b)
con
T+ |ψmax i = V+ |ψmax i = U− |ψmax i = 0
Sommando le definizioni di U3 , V3 otteniamo Y =
valore di Y su |ψmax i:
2
(U3 + V3 ). Da questa relazione possiamo trovare il
3
1
2
(U3 + V3 )|ψmax i = (p − q)|ψmax i
3
3
Vogliamo infine valutare il Casimir quadratico su una rappresentazione irriducibile (p, q):
Y |ψmax i =
(2)
(p,q)
F(p,q) = CF
(2.8)
Id(p,q)×d(p,q)
(p,q)
cio`e vogliamo determinare CF . Per farlo, `e sufficiente calcolare l’operatore sullo stato |ψmax i, scrivendolo come
1
1
1
3
(2)
F(p,q) = {T+ , T− } + {U+ , U− } + {V+ , V− } + T32 + Y 2
(2.9)
2
2
2
4
e usando le relazioni trovare in precedenza. Il risultato `e dato da
(p,q)
CF
=
1 2
(p + pq + q 2 ) + (p + q)
3
(2.10)
Scriviamo adesso le rappresentazioni irriducibili di SU (3) pi`
u semplici e i relativi diagrammi peso:
• (p, q) = (0, 0). Questa `e la rappresentazione triviale, di dimensione d(0, 0) = 1 e diagramma peso
8
• (p, q) = (1, 0). Questa `e la rappresentazione fondamentale di SU (3), con dimensione d(1, 0) = 3. Il
suo diagramma peso `e
• (p, q) = (0, 1). Questa `e la rappresentazione complessa coniugata della fondamentale, e la sua
dimensione `e indicata con d(0, 1) = 3∗ . Il suo diagramma peso si ottiene da quello della (1, 0)
scambiando i segni in ordinata.
• (p, q) = (2, 0). Questa rappresentazione ha dimensione d(2, 0) = 6. Il suo diagramma peso `e
9
• (p, q) = (0, 2). Rappresentazione complessa coniugata di (2, 0), d(0, 2) = 6∗ . Diagramma peso:
10
• (p, q) = (1, 1). Questa `e la rappresentazione aggiunta, d(1, 1) = 8. Diagramma peso:
Lo stato con (t3 , y) = (0, 0) `e doppiamente degenere. In un generico diagramma peso vale la
seguente regola: lo strato pi`
u esterno `e non degenere, quello immediatamente pi`
u interno `e due
volte degenere e cos`ı via. L’aumento della degenerazione si interrompe quando lo strato a cui si
arriva ha una struttura triangolare.
• (p, q) = (3, 0)
11
• (p, q) = (2, 1)
2.2
Multipletti di spin isotopico
Negli anni ’60 le particelle conosciute, gli adroni, si dividevano in due famiglie: i mesoni (di spin intero)
e i barioni (di spin semi-intero). Era stato osservato che nelle interazioni forti il numero barionico B
si conservasse (ogni barione coinvolto nel processo da un +1, ogni antibarione un −1 e i mesoni 0).
All’epoca era nota una simmetria SU (2) (spin isotopico) per le interazioni forti. I multipletti noti erano:
• t = 0:
η, η 0 , ω, φ
Q = t3 = 0, B = 0
0
Λ
Q = t3 = 0, B = 1
• t = 1/2:
1
Q = t3 + , B
2
1
Q = t3 + , B
2
1
Q = t3 − , B
2
1
Q = t3 − , B
2
n, p
K 0, K +
K −, K
0
Ξ− , Ξ0
=1
=0
=0
=1
• t = 1:
π− , π0 , π+
−
0
Q = t3 , B = 0
+
ρ ,ρ ,ρ
−
0
Σ ,Σ ,Σ
Q = t3 , B = 0
+
Q = t3 , B = 1
• t = 3/2:
∆− , ∆0 , ∆+ , ∆++
Q = t3 +
12
1
2
Fu osservato che per molti multipletti di isospin vale la relazione Q = t3 + B2 . Quelli che non rispettavano
questa regola vennero chiamati strani. La relazione venne quindi corretta da Gell-Mann e Nishijima
(1953):
Y
Q = t3 +
,
Y =B+S
(2.11)
2
dove Y `e l’ipercarica forte, B il numero barionico e S la stranezza. Questi numeri quantici si conservano
nei processi forti.
I multipletti di isospin possono quindi essere ”graficamente impilati”, ottenendo alcune rappresentazioni
irriducibili di SU (3). Questa osservazione fece pensare che la simmetria SU (2) di isospin poteva essere
generalizzata ad una simmetria approssimata SU (3) di sapore. Questa `e una simmetria peggiore, in
quanto le differenze di massa all’interno dei multipletti di sapore sono pi`
u consistenti rispetto a quelle
+
tipiche dell’isospin. Questa impilazione aiut`o a predirre l’esistenza di un barione con J P = 23 , Y =
−
−2, S = −3 che andava a completare il diagramma peso del decupletto barionico, ossia l’Ω (che all’epoca
non era ancora noto). Fu inoltre osservato che tutte le componenti di un multipletto di U -spin hanno la
stessa carica.
2.3
Rappresentazione complessa coniugata in SU (N )
Data una certa rappresentazione di SU (N ), U = exp(ia Fa ), con [Fa , Fb ] = ifabc Fc , prendiamone il
complesso coniugato (l’operazione preserva la struttura di gruppo):
∗
ˆ
U ∗ = e−ia Fa = eia Fa
dove Fˆa ≡ −Fa∗ soddisfano l’algebra di Lie: [Fˆa , Fˆb ] = ifabc Fˆc .
Definizione 2.1.
U e U ∗ si dicono equivalenti se esiste una matrice S invertibile tale che SU S −1 = U ∗ per ogni U ∈ SU (N ).
In termini dei generatori:
SU S −1 = Seia Fa S −1 = eia SFa S
−1
ˆ
= U ∗ = eia Fa
∀a
da cui la condizione di equivalenza sui generatori si legge come SFa S −1 = Fˆa = −Fa∗ .
Esempio 3.
Consideriamo la rappresentazione fondamentale di SU (2), Fa = σa /2. Si ha σ2 σa σ2 = −σa∗ (cio`e S = σ2 ),
quindi la rappresentazione fondamentale e la sua complessa coniugata sono equivalenti. Per SU (3) invece
questo non `e vero.
Teorema 2.
Se una data rappresentazione hermitiana `e reale (cio`e `e equivalente alla sua complessa coniugata), allora
i generatori hanno autovalori in coppie di segno opposto.
Esempio 4.
Consideriamo la rappresentazione fondamentale di SU (3)

1 0
1 
0 1
λ8 = √
3 0 0
e il generatore λ8 , dato da

0
0
−2
questo non rispetta la condizione sugli autovalori, e quindi la rappresentazione non `e reale.
Esempio 5.
(agg)
(agg) ∗
La rappresentazone aggiunta di SU (N ) `e reale, infatti Fˆa
= −(Fa
) = Fa
Dimostrazione.
Per ipotesi SFa S −1 = −Fa∗ per ipotesi. Sia |λi un autostato di Fa , i.e. Fa |λi = λ|λi, con λ ∈ R perch´e
Fa `e hermitiano. Allora
Fa∗ S|λi = −(SFa S −1 )S|λi = −SFa |λi = −λS|λi
13
coniugando questa relazione si ottiene
Fa (S|λi)∗ = −λ(S|λi)∗
cio`e (S|λi)∗ `e autostato di Fa per −λ.
Le particelle note all’epoca di Gell-Mann non si disponevano nella rappresentazione fondamentale
di SU (3). Questa peculiarit`
a fece sorgere il dubbio che dovessero esistere particelle fondamentali che
occupavano la rappresentazione (1, 0), i quarks, i cui stati legati costituivano le particelle adroniche
osservate.
14
3
Prodotto diretto di rappresentazioni irriducibili di SU (3)
Esempio 6.
In SU (2) consideriamo due particelle di spin J1 , J2 : lo stato complessivo trasforma sotto rotazioni come
il prodotto diretto delle due rappresentazioni, i.e.
(J )
(J )
DM11M 0 (R)DM22M 0 (R)
1
2
Per SU (2) il prodotto diretto si pu`
o scrivere in termini della serie di Clebsch-Gordan:
(J )
(J )
DM11M 0 (R)DM22M 0 (R) =
1
JX
1 +J2
XX
2
J=|J1 −J2 | M
(J)
J1 J2 J
J1 J2 J
CM
CM
0 M 0 M DM M 0 (R)
1 M2 M
M0
1
(3.1)
2
Se non si `e interessati ai particolari coefficienti, il risultato si pu`o ottenere con il metodo grafico, sfruttando
l’additivit`
a di Jz .
Il metodo grafico pu`
o essere esteso a SU (3), in cui stavolta sfruttiamo l’additivit`a di y e t3 1 .
3.1
Metodo tensoriale
Definizione 3.1.
1. Un vettore controvariante q i `e un oggetto che trasforma sotto SU (N ) come
q i −→ q 0i = Uij q j ≡ Uji q j
(3.2)
con U in rappresentazione fondamentale di SU (N ).
2. Un vettore covariante q i `e un oggetto che trasforma sotto SU (N ) come
∗
q i −→ q 0i = Uij
q j = (U † )ij q j ≡ (U † )ji q j
(3.3)
∗
con U in rappresentazione complessa coniugata della fondamentale di SU (N ).
i ···i
3. Un tensore (misto) di rango (p, q) Tj11···jqp trasforma sotto SU (N ) come
i ···i
0i ···i
β
α ···α
Tj11···jqp −→ Tj11···jqp = Uαi11 · · · Uαipp (U † )βj11 · · · (U † )jqq Tβ11···βqp
(3.4)
cio`e trasforma come il prodotto di p rappresentazioni fondamentali e q rappresentazioni antifondamentali.
4. La delta di Kroenecker `e un tensore invariante per SU (N ),
(
1
i=j
i
δj =
0
i 6= j
(3.5)
infatti δji −→ δj0i = Uαi (U † )βj δβα = (U U † )ij = δji . Anche il tensore completamente antisimmetrico,


+1 se (i1 , . . . , iN ) `e una permutazione pari di (1, . . . , N )
i1 ···iN
(3.6)
= i1 ···iN = −1 se (i1 , . . . , iN ) `e una permutazione dispari di (1, . . . , N )


0 altrimenti (almeno due indici uguali)
`e invariante sotto SU (N ):
0i1 ···iN = Uαi11 · · · UαiNN α1 ···αN = det U i1 ···iN = i1 ···iN
(3.7)
in quanto det U = 1.
5. La traccia di un tensore su una coppia di indici `e data da
αi ···i
i ···i
Tαj22···jqp = Tj11···jpp δij11
(3.8)
i ···i
Abbandoniamo adesso il caso generale e focalizziamoci su SU (3). Un tensore Tj11···jqp di rango (p, q)
avr`
a in generale 3p+q componenti.
1 Non
sar`
a riportato qui perch´
e i grafici sono difficili da gestire.
15
3.2
Riduzione di un tensore di rango (p, q)
Definiamo tre operazioni di riduzione di un tensore.
1. Contrazione di un indice controvariante e uno covariante tramite la delta di Kroenecker:
i ···i
Tj11···jqp δijba .
Il tensore risultante avr`
a rango (p − 1, q − 1).
2. Contrazione su due indici covarianti tramite il tensore completamente antisimmetrico:
i ···i
Tj11···jqp ja jb ip+1 .
Il tensore risultante avr`
a rango (p + 1, q − 2).
3. Contrazione su due indici controvarianti tramite il tensore completamente antisimmetrico:
i ···i
Tj11···jqp ia ib jq+1
Il tensore risultante avr`
a rango (p − 2, q + 1).
Definizione 3.2.
Un tensore T di rango (p, q) si dice irriducibile se, tramite le operazioni di riduzione (1),(2),(3), si ottiene
sempre il tensore identicamente nullo. Altrimenti, il tensore `e detto riducibile.
Teorema 3.
Sia T un tensore di rango (p, q) e siano φ1 , . . . , φd le componenti linearmente indipendenti di T . Se le
incolonniamo in un vettore e trasformiamo sotto SU (N ) T in T 0 , avremo una trasformazione indotta
 0
 
 
φ1
φ1
φ1
 .. 
 .. 
 .. 
(3.9)
 .  −→  .  = Vd×d  . 
φd
φ0d
φd
con Vd×d rappresentazione di SU (3) di dimensione d. Allora Vd×d `e irriducibile se T `e irriducibile.
I tensori cδji , cijk , cijk (c costante) sono invarianti, e quindi irriducibili. Corrispondono alla rappresentazione irriducibile (0, 0) = 1. Un generico tensore di rango (p, q) sar`a irriducibile se e solo se `e simmetrico
sugli indici controvarianti e sugli indici covarianti, cos`ı che le contrazioni con il tensore completamente
antisimmetrico siano nulle, ed `e a traccia nulla, cos`ı che la contrazione con la delta sia nulla.
Il numero di componenti linearmente indipendenti di un tensore irriducibile di rango (p, q) e d(p, q) =
1
2 (p + 1)(q + 1)(p + q + 2). Quindi le componenti indipendenti di un tensore irriducibile di rango (p, q)
trasformano sotto SU (3) come la rappresentazione irriducibile (p, q).
(p, q)
d(p, q)
(0, 0)
(1, 0)
(0, 1)
(2, 0)
(0, 2)
(1, 1)
(3, 0)
(0, 3)
(2, 1)
1
3
3∗
6
6∗
8
10
10∗
15
tensore irriducibile
I
qi
qi
S ij (simmetrico)
Sij (simmetrico)
Tji (traceless)
S ijk (completamente simmetrico)
Sijk (completamente simmetrico)
Skij (simmetrico negli indici in altro e traceless)
16
3.3
Decomposizione del prodotto diretto con il metodo tensoriale
Esempio 7.
Prendiamo un tensore riducibile di rango (2, 0) T ij . Possiamo decomporlo in somma di tensore irriducibili:
1
1
T ij = (T ij + T ji ) + (T ij − T ij ) ≡ S ij + Aij
(3.10)
2
2
con S ij = S ji , quindi S ij ∈ 6 ed `e irriducibile. Quello che resta `e una 3 oppure una 3∗ ? Eseguiamo la
riduzione
q k ≡ ijk T ij = ijk (S ij + Aij ) = ijk Aij
con q k ∈ 3∗ . Calcoliamo adesso
ijk q k = ijk abk T ab = (δai δbj − δbi δaj )T ab = T ij − T ji = 2Aij
cio`e
Aij =
1 ijk
qk
2
da cui
1
T ij = S ij + ijk q k
(3.11)
2
cio`e 3 ⊗ 3 = 6 ⊕ 3∗ . Notiamo che la decomposizione in parte simmetrica e antisimmetrica `e invariante
sotto SU (3).
Esempio 8.
Sia Tji ∈ 3 ⊗ 3∗ . In generale avremo 9 componenti. Per avere un tensore irriducibile manca la condizione
di traccia nulla. Allora possiamo decomporre come
1 k i
1
1
i
i
Tj = Tj − Tk δj + Tkk δji ≡ Tˆji + Tkk δji
(3.12)
3
3
3
adesso Tˆji `e a traccia nulla, e quindi irriducibile, cio`e Tˆji ∈ 8. Il resto `e proporzionale al tensore invariante
δji , quindi concludiamo che 3 ⊗ 3∗ = 8 ⊕ 1.
i ···i
i ···i
Vale inoltre la seguente relazione: se Tj11···jqp `e un tensore irriducibile di rango (p, q) e Sj11 ···jqp `e un
tensore irriducibile di rango (q, p), allora le componenti di T trasformano come le componenti di S ∗ , cio`e
(p, q) = (q, p)∗ .
17
4
Modello a quarks
Proposto nel 1964 da Gell-Mann e Zweig, il modello introduce delle particelle fondamentali dette quarks
che popolano la rappresentazione fondamentale di SU (3). I quarks si presentano in tre flavors: u (up), d
(down), s (strange). Le corrispondenti antiparticelle popolano la rappresentazione complessa coniugata
della fondamentale. I numeri quantici di questi tra quarks sono riassunti nella seguente tabella:
flavor
t
t3
y
Q = t3 + y/2
B
S
u
d
s
1
2
1
2
1
2
− 12
0
0
1
3
1
3
− 32
2
3
− 13
− 13
1
3
1
3
1
3
0
0
−1
I mesoni e i barioni sono quindi stati legati di questi quarks: i mesoni, aventi spin intero, saranno
formati da una coppia quark-antiquark, mentre i barioni, di spin semi-intero saranno formati da tre
quark. La simmetria SU (2) di isospin coinvolge solo i quarks u, d.
Paradossi del modello a quarks
1. Non sono mai stati osservati i quarks, n´e stati legati qq oppure qqq,qqqq, etc...
2. Problemi con la statistica di Fermi-Dirac: lo stato |∆++ , J = 3/2i = |u↑(1) u↑(2) u↑(3) i`=0 `e completamente simmetrico (spin, orbitale e flavor), quando in realt`a dovrebbe essere completamente
antisimmetrico (in quanto stato legato di tre fermioni identici).
Entrambi i paradossi furono risolti con la cosiddetta proposta del colore: per rendere antisimmetrico
lo stato di cui sopra fu proposto un numero quantico aggiuntivo detto appunto colore. Per ogni sapore,
si hanno tre colori:
ui = (u1 , u2 , u3 )
di = (d1 , d2 , d3 )
si = (s1 , s2 , s3 )
Usando il colore, possiamo facilmente antisimmetrizzare |∆++ i:
1
|∆++ , J = 3/2i = √ ijk |ui(1) ↑, uj(2) ↑, uk(3) ↑i`=0
3!
(4.1)
L’introduzione del numero quantico di colore mette in luce una nuova simmetria:
Simmetria SU (3) di colore
ui −→ u0i = Uji uj
con Uji ∈ SU (3)C (mescola le componenti di colore). Applicando una trasformazione SU (3)C allo stato
|∆++ i si ottiene
ijk u0i u0j u0k = ijk Uai Ubj Uck ua ub uc = det U abc ua ub uc = abc ua ub uc
Quindi lo stato |∆++ i `e invariante per trasformazioni SU (3)C , in particolare, `e un singoletto di colore.
Il discorso viene esteso a tutti gli stati adronici tramite il
Postulato del confinamento: tutti gli stati adronici (e le corrispondenti osservabili fisiche) sono
singoletti di colore.
Per i mesoni, si postula che gli stati |qi q j i (a priori 9 stati di colore) siano singoletti di colore dati dalla
contrazione tra gli indici i, j:
3
1 X i
|q i q j i −→ √
|q q i i
3 i=1
18
Notiamo che i q i trasformano secondo la rappresentazione 3C , mentre i q i secondo la 3∗C , cio`e
q i −→ q 0i = Uji q j
q i −→ q 0i = (U † )ji q j
(4.2)
Estendendo quello che abbiamo ricavato sui prodotti diretti si hanno le seguenti relazioni:
3C ⊗ 3∗C = 1C ⊕ 8C
3C ⊗ 3C ⊗ 3C = 1C ⊕ 8C ⊕ 8C ⊕ 10C
(4.3)
Per il postulato del confinamento, in natura si realizza solo la rappresentazione 1C .
4.1
Evidenze sperimentali (indirette) del numero quantico di colore
1. Decadimento π 0 → γγ. Si pu`
o mostrare che la larghezza di decadimento del processo `e
2 2 3
α2 m3π
NC
α mπ
Γ(π o → γγ) = NC2 (Q2u − Q2d )
=
≈ NC2 × 0.84 eV
3
2
64π Fπ
3
64π 3 Fπ2
(4.4)
dove NC `e il numero di colori, Qu e Qd sono rispettivamente la carica del quark up e del down,
α ≈ 1/137 `e la costante di struttura fine, mπ ≈ 135 MeV, Fπ ≈ 92 MeV `e la costante di decadimento
del π 0 . Confrontando con il valore sperimentale della larghezza Γexp ≈ 7.48 eV, si ha perfetto
accordo per NC = 3.
2. Annichilazione e− e+ → adroni. Si suppone che alla base di questo processo vi sia un processo
fondamentale e− e+ → qq → (adronizzazione) → adroni. Ad alte energie si osserva che
X
σ(e− e+ → adroni) ≈
σ(e− e+ → q if q f,i
(4.5)
f,i
√
con f = 1, . . . , Nf (s) numero di flavors che possono contribuire
al processo ( s `e l’energia nel
√
sistema del centro di massa), cio`e i flavors tali che 2mf < s, e i = 1, . . . , Nc `e il numero di colori.
N.B. La carica dei quark dipende dal flavor e non dal colore:
Le.m.
=−
I
Nf
X
Qf |e|
i=1
Nc
X
ψ i γ µ ψi Aµ
i=1
Quindi la corrente elettromagnetica `e invariante per SU (Nc ), in particolare `e un singoletto di colore (in accordo con il postulato del confinamento). Allora la corrente e.m. avr`a una simmetria
U (1)e.m. × SU (Nc )c .
Nel limite s m2f , m2e la sezione d’urto differenziale, mediata sulle polarizzazioni iniziali e sommata
su quelle finali sar`
a data da
dσ + −
α2 2
(e e → qfi q f,i ) '
Q (1 + cos2 θ)
dΩ
4s f
(4.6)
da cui
4πα2 2
Qf
3s
Si definisce quindi il rapporto R (o rapporto di Drell) come
σ(e+ e− → qfi q f,i ) '
R=
Nf (s)
X
σ(e+ e− → adroni)
'
N
Q2f
c
+
−
+
−
σ(e e → µ µ )
(4.7)
(4.8)
f =1
√
Sperimentalmente, si osserva che la dipendenza di R da 2 `e costante e vale circa 2 fino a energie
di 3 GeV. Tra 3 e 4 GeV si hanno delle risonanze, dopodich´e il valore di R rimane costante fino a
19
9 GeV e vale 10/3 = 2 + 4/3. Tra 9 e 10 GeV si hanno altre risonanze, e poi di nuovo costanza a
11/3 = 2 + 4/3 + 1/3. Le risonanze furono spiegate con l’attivazione dei canali per dei nuovi quarks
che contribuiscono alla sezione d’urto. Tra 3 e 4 GeV si apre il canale del quark charm (c). Il 4/3
di differenza rappresenta la carica al quadrato del c moltiplicata per il suo Nc . Si ottiene quindi
Qc = 2/3, Nc = 3, mc ≈ 1.5 GeV. Tra 9 e 10 GeV si apre il canale del quark bottom (b). Con gli
stessi ragionamenti si ottiene Qb = −1/3, mb ≈ 4.5 GeV. L’accordo tra esperimento e teoria si ha,
ad alte energie, per Nc = 3.
20
5
Teoria di campo quantistica per i quarks (QCD)
Esempio 9 (QED).
Fermioni di spin 1/2 e carica q = Q|e|. La Lagrangiana `e
1
/ − m)ψ − Fµν F µν = LF + LG
L = ψ(iD
4
(5.1)
/ = γ µ Dµ e Dµ = ∂µ + iQ|eAµ . Concentriamoci inizialmente sulla parte fermionica:
con D
/ − m)ψ = ψ(i∂/ − m)ψ − Q|e|ψ Aψ
/ ≡ L0 + LI
LF = ψ(iD
L0 , LI , LF , LG sono invarianti per trasformazioni di gauge U (1) globali
ψ(x) → ψ 0 (x) = eiQθ ψ(x)
(θ = cost.)
Aµ (x) → Aµ (x)
(5.2)
mentre LF , LG sono invarianti anche per trasformazioni di gauge U (1) locali
ψ(x) → ψ 0 (x) = eiQθ(x) ψ(x)
Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) −
1
∂µ θ(x)
|e|
(5.3)
Dµ `e detta derivata covariante perch´e trasforma come ψ sotto trasformazioni locali:
Dµ ψ(x) → Dµ0 ψ 0 (x) = (∂µ + i|e|QA0µ (x))ψ(x) = eiQθ (∂µ ψ + iQ(∂µ θ)ψ + iQ|e|Aµ ψ − iQ(∂µ θ)ψ)
= eiQθ(x) (∂µ + iQ|e|Aµ )ψ = eiQθ(x) Dµ ψ
da cui Dµ0 ψ 0 = eiQθ(x) Dµ ψ = eiQθ(x) Dµ e−iQθ(x) ψ 0 , cio`e l’operatore Dµ trasforma come
Dµ → Dµ0 = eiQθ(x) Dµ e−iQθ(x)
(5.4)
Tensore intensit`
a di campo.
Consideriamo la quantit`
a [Dµ , Dν ]ψ = [(∂µ + iQ|e|Aµ ), (∂ν + iQ|e|Aν )]ψ. Nel caso abeliano della QED,
rimangono solo i termini misti perch´e Aµ commuta con se stesso, quindi
[Dµ , Dν ]ψ = iQ|e| ([∂µ , Aν ] + [Aµ , ∂ν ]) ψ
= iQ|e|(∂µ (Aν ψ) − Aν ∂µ ψ + Aµ ∂ν ψ − ∂ν (Aµ ψ))
= iQ|e| ((∂µ Aν )ψ + Aν ∂µ ψ − Aν ∂µ ψ + Aµ ∂ν ψ − (∂ν Aµ )ψ − Aµ ∂ν ψ)
= iQ|e|(∂µ Aν − ∂ν Aµ )ψ ≡ iQ|e|Fµν ψ
cio`e Fµν ≡ [Dµ , Dν ].
Passiamo adesso al caso non abeliano di SU (Nc ). Abbiamo
L0 =
Nc
X
ψ i (i∂/ − m)ψi
(5.5)
i=1
con m uguale per tutti i colori. Definiamo


ψ1


ψ =  ... 
ψNc
(5.6)
L0 = ψ(i∂/ − m)ψ
(5.7)
Allora la Lagrangiana libera sar`
a
21
Abbiamo una simmetria globale SU (Nc ):
ψ → ψ0 = U ψ
0
ψ → ψ = ψU †
(5.8)
con U ∈ SU (Nc ). Le ψ trasformano come la rappresentazione fondamentale di SU (Nc ) (perch´e hanno
proprio Nc componenti), quindi (indichiamo con Ta i generatori nella rappresentazione fondamentale)
 2

Nc −1
X
U = exp i
θa Ta 
a=1
[Ta , Tb ] = ifabc Tc
1
tr[Ta Tb ] = δab
2
(5.9)
Vogliamo quindi passare al caso locale: L0 non sar`a pi`
u invariante a causa del termine cinetico. Per generalizzare la simmetria dobbiamo allora aggiungere a L0 un termine di interazione di tipo accoppiamento
minimale (come nel caso della QED): L0 → L0 + LI ≡ LF .
5.1
Trasporto parallelo
Definizione 5.1.
Sia ψ ∈ Vx un vettore. Definiamo il trasporto parallelo lungo una curva Cy←x come una trasformazione
W (Cy←x : Vx → Vy , W (Cy←x ) ∈ SU (Nc ), con le seguenti propriet`a:
1. W (0) = I (dove 0 indica una curva di lunghezza nulla).
2. W (C2 ◦ C1 ) = W (C2 )W (C1 ).
3. W (−C) = W (C)−1
4. Sotto una trasformazione di gauge locale
ψ(x) → ψ 0 (x) = U (x)ψ(x)
ψ(y) → ψ 0 (y) = U (y)ψ(y)
∼
si abbia W (Cy←x ) → W 0 (Cy←x ) = U (y)W (Cy←x )U † (x). In questo modo, se ψ (y) ≡ W (Cy←x )ψ(x)
allora
∼
∼
ψ 0 (y) = W 0 (Cy←x )ψ 0 (x) = U (y)W (Cy←x )U † (x)U (x)ψ(x) = U (y) ψ (y)
5.2
Campi di gauge
Consideriamo il trasporto parallelo infinitesimo da x a x + dx:
W (Cx+dx←x ) ≡ exp(−igAµ (x)dxµ ) ' 1 − igAµ (x)dxµ
(5.10)
con Aµ (x) ∈ su(Nc ) (algebra di SU (Nc )), cio`e tale che A†µ = Aµ e trAµ = 0, quindi scrivibile in termini
dei generatori
Nc2 −1
X
Aµ (x) =
Aaµ Ta
(5.11)
a=1
Gli Aaµ sono detti campi di gauge. Vediamo come trasformano gli Aµ (x) sotto trasformazione di gauge:
W 0 (Cx+dx←x ) = 1 − igA0µ (x)dxµ = U (x + dx)W (Cx+dx←x )U † (x)
= U (x + dx)(1 − igAµ (x)dxµ )U † (x)
= U (x + dx)U † (x) − igU (x + dx)Aµ (x)U † (x)dxµ
22
Sviluppando U (x + dx) e ritenendo solo il primo ordine in dx otteniamo
1 − igA0µ (x)dxµ = [U (x) + ∂µ U (x)dxµ ]U † (x) − igU (x)Aµ (x)U † (x)dxµ
i
†
†
= 1 − ig U (x)Aµ (x)U (x) + (∂µ U (x))U (x) dxµ
g
(5.12)
Dal confronto otteniamo infine
i
A0µ (x) = U (x)Aµ (x)U † (x) − (∂µ U (x))U † (x)
g
(5.13)
Definizione 5.2.
Il differenziale covariante Dψ `e definito come
Dψ(x) ≡ W (Cx←x+dx )ψ(x + dx) − ψ(x) = W (Cx+dx←x )−1 ψ(x + dx) − ψ(x)
(5.14)
Espandendo al prim’ordine:
Dψ(x) = (1 + igAµ (x)dxµ )ψ(x + dx) − ψ(x)
= ψ(x + dx) − ψ(x) + igAµ (x)dxµ
' [∂µ ψ(x) + igAµ (x)ψ(x)]dxµ
Definiamo quindi la derivata covariante
Dµ ≡ ∂µ + igAµ
(5.15)
In questo modo, in analogia al caso elettromagnetico
D0 ψ 0 = U (x)ψ
Dµ0 ψ 0 = U (x)Dµ ψ(x) = U Dµ U † ψ 0
Dµ0 = U Dµ U †
Possiamo adesso scrivere la Lagrangiana fermionica tramite l’accoppiamento minimale
L0 = ψ(i∂/ − m)ψ
−→
/ − m)ψ
LF = ψ(iD
(5.16)
LF adesso `e invariante per trasformazioni SU (Nc ) locali. LF pu`o essere scritta come L0 + LI , dove
/
LI = −gψ Aψ
(5.17)
Nella nostra descrizione manca solamente il termine di pura gauge (l’analogo a Fµν F µν in QED).
Partiamo dall’introduzione di un tensore di campo per la QCD definito allo stesso modo che in QED:
[Dµ , Dν ]ψ = [(∂µ + igAµ ), (∂ν + igAν )]ψ
= ig ([∂µ , Aν ]ψ + [Aν , ∂ν ]ψ + ig[Aµ , Aν ]ψ)
= ig (∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ]) ψ ≡ igFµν ψ
cio`e
Fµν ∈ su(Nc ), quindi Fµν
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ]
PNc2 −1 a
= a=1 Fµν Ta . Allora la (5.18) diventa, in componenti,
(5.18)
a
Fµν = Fµν
Ta = (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )Ta + ig[Tb , Tc ]Abµ Acν
= (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )Ta + igifbca T a Abµ Acν
= (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gfabc Abµ Acν )Ta
(5.19)
cio`e
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gfabc Abµ Acν
23
(5.20)
Vediamo come trasforma Fµν . Usando la definizione, si ha che
1 0
1
0
0
Fµν = [Dµ , Dν ] = U
[Dµ , Dν ] U † = U Fµν U †
ig
ig
(5.21)
Concludiamo che, nel caso non abeliano, il tensore dei campi non `e un invariante di gauge (trasforma in
particolare come la rappresentazione aggiunta di SU (Nc ).
Consideriamo adesso un percorso chiuso infinitesimo dato dal parallelogramma avente per vertici i punti
x,x + dx,x + dx + dy,x + dy. Il trasporto parallelo sul percorso chiuso `e dato da
W (Cx←x ) = W (Cx←x+dy )W (Cx+dy←x+dx+dy )W (Cx+dx+dy←x+dx )W (Cx+dx←x )
Usando la formula di Baker-Campbell-Haussdorf
eλA eλB = eλ(A+B)+
λ2
2
[A,B]+O(λ3 )
(5.22)
si ottiene
W (Cx←x ) = exp[−igFµν (x)dxµ dy ν ]
(5.23)
Operatore di Wilson (trasporto parallelo su percorsi finiti).
Consideriamo due punti x, y e una curva che li connette z µ (τ ), τ ∈ [0, 1], con z µ (0) = x, z µ (1) = y. Consideriamo un punto intermedio s ∈ [0, τ ] a cui `e associato un cammino Cτ , e un punto infinitesimamente
vicino, a cui `e associato un cammino Cτ +dτ . Allora
dz µ
dτ W (Cτ )
Cτ +dτ = W Czµ + dzµ dτ ←zµ W (Cτ ) ' 1 − igAµ (z(τ ))
dτ
dτ
da cui
W (Cτ +dτ ) − W (Cτ ) ' −igAµ (z(τ ))
dz µ
dτ W (Cτ )
dτ
dividendo per dτ si ottiene l’equazione
dz µ
dW (Cτ )
= −igAµ (z(τ ))
W (Cτ ),
W (Cτ =0 ) = 1
(5.24)
dτ
dτ
Riconosciamo la forma dell’equazione che descrive l’operatore di evoluzione temporale. La soluzione `e
data dalla formula di Dyson:
Z τ
dz µ (s)
W (Cτ ) = P(τ ) exp −ig
Aµ (z(s))
ds
(5.25)
ds
0
dove P(τ ) indica il path-ordering, cio`e l’ordinamento dei parametri s in modo tale da avere gli s pi`
u
piccoli a destra.
Il termine invariante di gauge e di Lorentz e quadratico in Fµν che completa la Lagrangiana `e dato
da tr[Fµν F µν ]. In componenti,
1 a µν
F F
2 µν a
La Lagrangiana di gauge LG `e dunque proporzionale a questo termine. Se avessimo assorbito la costante
a
tr[Fµν F µν ] = Fµν
Fbµν tr[Ta Tb ] =
∼
∼
g nel campo Aµ (x), avremmo avuto W (Cx+dx←x ) = exp[−i Aµ (x)dxµ ], Aµ (x) = gAµ (x). La derivata
∼
∼
∼
∼
∼
∼
covariante sarebbe stata Dµ = ∂µ + i Aµ e il tensore dei campi F µν = ∂µ Aν −∂ν Aµ +i[Aµ , Aν ] e dunque
κ ∼a ∼µν
κ ∼ ∼µν
LG = − tr[F µν F ] = − F µν F a
2
4
Imponiamo che la normalizzazione sia uguale a quella della QED riscalando i campi, Aaµ ≡
definiamo g ≡ κ−1/2 . Allora
LG = −
√
∼a
κ Aµ e
∼
∼µν
1
1 ∼a ∼µν
1
µν
tr[
]
=
−
F
F
F F = − tr[Fµν F ]
µν
2g 2
4g 2 µν a
2
Otteniamo quella che prende il nome di Lagrangiana di Yang-Mills:
1 a µν
LG = − Fµν
Fa
4
24
(5.26)
5.3
Lagrangiana della Cromodinamica
Mettendo insieme i vari pezzi, la Lagrangiana che troviamo `e
Nf
1 a µν X
L = − Fµν
Fa +
ψ f (iγ µ Dµ − mf )ψf
4
(5.27)
f =1
Oppure, esplicitando anche la somma sui colori:
Nf N
c
1 a µν X X
L = − Fµν
Fa +
ψ f,i (iγ µ (Dµ )ij − mf δij )ψf,j
4
i=1
(5.28)
f =1
con (Dµ )ij = ∂µ δij + ig(Aµ )ij = ∂µ δij + igAaµ (Ta )ij . Nel caso fisico Nc = 3, abbiamo otto campi di
gauge Aaµ che nel formalismo quantistico prendono il nome di gluoni (l’analogo dei fotoni per la QED).
Nel caso della Cromodinamica, la Lagrangiana di pura gauge contiene termini cubici e quartici in Aµ
che danno origine ad equazioni del moto non lineari. Notiamo che un altro termine di gauge possibile
poteva essere µνρσ tr[F µν F ρσ ], ma `e stato scartato in quanto non conserva la parit`a.
Equazioni del moto.
Le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma
(iγ µ Dµ − mf )ψf = 0
(5.29)
(Dµ(agg) F µν )a
gJaν
(5.30)
ψ f γ ν Ta ψf
(5.31)
=
dove le Jaν sono le correnti di colore dei quarks, date da
Jaν =
Nf
X
f =1
(agg)
e Dµ
denota la derivata covariante in rappresentazione aggiunta, ossia
(agg)
(Dµ(agg) )ac = ∂µ δac + igAbµ (Tb
Definendo J ν ≡ Jaν Ta e
(agg)
Dµ F µν
≡
Dµ(agg) F µν
(agg)
(Dµ F µν )a Ta ,
= ∂µ F
µν
)ac = ∂µ δac − gfabc Abµ
(5.32)
l’equazione (5.30) diventa
+ ig[Aµ , F µν ] = [Dµ , F µν ] = gJ ν
(5.33)
Le correnti Jaν non sono conservate in quanto le derivate covarianti non commutano. Riscriviamo allora
l’equazione come
ν
∂µ Faµν = g(Jaν + fabc Abµ Fcµν ) ≡ gJ a
(5.34)
ν
ν
Adesso ∂µ ∂ν Faµν = 0 e di conseguenza ∂ν J a = 0. Le J a rappresentano le correnti di colore conservate.
Il termine aggiuntivo `e dovuto al fatto che i mediatori non sono neutri in colore e pertanto interagiscono
a loro volta. Si pu`
o arrivare alla stessa conclusione notando che la Lagrangiana fermionica
/ − m)ψ
LF = ψ(iD
non `e invariante per trasformazioni di gauge globali ψ → U ψ, ψ → ψU † e pertanto le correnti conservate
non possono essere le Jaν . Per avere invarianza, bisogna cambiare anche il campo di gauge, Aµ → U Aµ U †
e questo porta un contributo al calcolo della corrente di Noether, che appunto restituisce come correnti
ν
conservate le J a .
Identit`
a di Bianchi.
Dall’identit`
a di Jacobi per le derivate covarianti
[Dµ , [Dν , Dρ ]] + [Dν , [Dρ , Dµ ]] + [Dρ , [Dµ , Dν ]] = 0
(5.35)
unitamente alla definizione del tensore intensit`a di campo, [Dµ , Dν ] = Fµν si ottiene l’identit`a di Bianchi
µνρσ [Dν , Fρσ ] = 0
che rappresenta l’analogo delle equazioni di Maxwell omogenee in elettromagnetismo.
25
(5.36)
6
Feynman path integral
ˆ a e impulsi coniugati Pˆa che soddisfano [Q
ˆ a , Pˆb ] = iδab , [Q
ˆa, Q
ˆb] =
Consideriamo un sistema con ”coordinate” Q
0
(3)
0
ˆ
ˆ
ˆ
[Pa , Pb ] = 0. Per una teoria di campo Qa → Qm (x) e [Qn (x), Pm (x )] = δnm δ (x−x ). Indicheremo con
l’indice a indistintamente l’insieme degli indici discreti e continui. Gli operatori avranno i loro autostati
ed autovalori:
ˆ a |qi = qa |qi,
Q
Pˆa |pi = pa |pi
(6.1)
e valgono le relazioni di ortonormalit`
a
Y
hq 0 |qi =
δ(qa0 − qa ) ≡ δ(q 0 − q)
(6.2)
δ(p0a − pa ) ≡ δ(p0 − p)
(6.3)
a
Y
hp0 |pi =
a
e di completezza
1=
Z Y
dqa |qihq| =
Z Y
a
dpa |pihp|
(6.4)
a
Inoltre
hq|pi =
Y
a
1
√ eiqa pa
2π
(6.5)
Introduciamo gli operatori in rappresentazione di Heisenberg
ˆ ˆ −iHt
ˆ
ˆ a (t) = eiHt
Q
Qa e
Pˆa (t) = e
ˆ
iHt
Pˆa e
(6.6)
ˆ
−iHt
(6.7)
ˆ Hamiltoniana del sistema (indipendente dal tempo). Notiamo che se |qi `e autostato di Q
ˆ a con
con H
ˆ
iHt
ˆ
autovalore qa , allora lo stato |q; ti = e |qi `e autostato di Qa (t) con lo stesso autovalore (stessa cosa
per Pˆa ), infatti
ˆ ˆ −iHt
ˆ iHt
ˆ
ˆ
ˆ a (t)|q; ti = eiHt
Q
Qa e
e |qi = eiHt qa |qi = qa |q; ti
A istante fissato valgono sempre la relazione di ortonormalit`a e completezza:
hq 0 ; t|q; ti = δ(q 0 − q)
hp0 ; t|p; ti = δ(p0 − p)
Z Y
Z Y
1=
dqa |q; tihq; t| =
dpa |p; tihp; t|
a
a
hq; t|p; ti =
Y
a
1
√ eiqa pa
2π
Siamo interessati a calcolare l’ampiezza di transizione da uno stato |qi al tempo t ad uno stato |q 0 i al
tempo t0 , cio`e
ˆ 0
hq 0 |e−iH(t −t) |qi = hq 0 ; t0 |q; ti
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
0
Possiamo scrivere inoltre |q 0 ; t0 i = eiHt |q 0 i = eiH(t −t) eiHt |q 0 i = eiH(t −t) |q 0 ; ti, dunque
ˆ
0
ˆ
0
hq 0 |eiH(t −t) |qi = hq 0 ; t|e−iH(t −t) |q; ti.
(6.8)
Consideriamo una transizione infinitesima, t → τ, t0 → τ + dτ , allora la (6.8) diventa
ˆ
hq 0 ; τ |e−iHdτ |q; τ i
ˆ ˆ ˆ ˆ −iHτ
ˆ
ˆ ≡ H(
ˆ Q,
ˆ Pˆ ) = eiHτ
ˆ Q(τ
ˆ ), Pˆ (τ ), Hamiltoniana in funzione degli operatori di
con H
H(Q, P )e
= H(
ˆ sono a sinistra dei Pˆ (sostituendo
Heisenberg. Fissiamo come ordinamento standard quello in cui i Q
26
ˆ sono ordinati a sinistra di Pˆ , insieriamo prima del
altrimenti usando i commutatori). Una volta che i Q
ˆ
ket un set completo di autostati di P :
Z Y
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
0
iHdτ
hq ; τ |e
|q; τ i =
dpa hq 0 ; τ |e−iH(Q(τ ),P (τ ))dτ |p; τ ihp; τ |q; τ i
a
=
Z Y
0
0
dpa e−iH(q ,p )dτ hq 0 ; τ |p; τ ihp; τ |q; τ i
a
=
Z Y
dpa
2π
a
"
#
0
0
exp −iH(q , p )dτ + i
X
(qa0
− qa )pa
(6.9)
a
L’espressione per una transizione finita si ottiene componendo transizioni infinitesime. Sia [t, t0 ] l’intervallo finito di interesse, che dividiamo in N + 1 intervalli infinitesimi di ampiezza dt = (t0 − t)/(N + 1)
ed estremi τ0 = t, τ1 = τ0 + dt, . . . , τN , τN +1 = t0 . Allora
Z Y
Y
0 0
hq ; t |q; ti =
dq1,a · · ·
dqN,a hq 0 ; t0 |qN , τN ihqN ; τN |qN −1 ; τN −1 i . . . hq2 ; τ2 |q1 ; τ1 ihq1 ; τ1 |q; ti
a
=
Z Y
N Y
a
dqk,a
k=1 a
N Y
Y
dpk,a
2π
k=0 a
(
exp i
N
+1
X
"
#)
X
(qk,a − qk−1,a )pk−1,a − H(qk , pk−1 )dτ
a
k=1
con q0 = q, qN +1 = q 0 . Possiamo riscrivere tutto in termini di una funzione di τ che interpola tutti gli
N + 1 intervalli. Per N → ∞, gli integrali in dqk,a rappresentano l’integrale su tutti i possibili cammini
da q a q 0 con q, q 0 che rimangono fissati. Introduciamo quindi le funzioni interpolanti qa (τk ) ≡ qk,a e
pa (τk ) ≡ pk−1,a . L’esponente dell’espressione precedente diventa, al primo ordine in dτ ,
"
# N +1 "
#
N
+1 X
X
X X
(qk,a − qk−1,a )pk−1,a − H(qk , pk )dτ =
q˙a (τk )pa (τk ) − H(q(τk ), p(τk ) dτ
a
k=1
k=1
a
Quindi, nei limiti N → ∞ e dτ → 0,
0
Z
0
0
qa (t0 )=qa
hq ; t |q; ti =
qa (t)=qa
Y
τ,a
dqa (τ )
Y dpb (τ )
τ,b
2π
( Z
exp i
t
t0
"
dτ
#)
X
q˙a (τ )pa (τ ) − H(q(τ ), p(τ ))
(6.10)
a
Questa formula pu`
o essere generalizzata al caso in cui prendiamo l’elemento di matrice del prodotto di
un certo numero di operatori di campo, i.e.
ˆ a (ta )Q
ˆ B (tB ) · · · |q; ti
hq 0 ; t0 |Q
L’elemento di matrice pu`
o essere riscritto in termini di un integrale funzionale se e solo se t0 > tA >
tB > · · · > t. Iterando il ragionamento appena svolto, si ottiene
( Z 0
"
#)
Z qa (t0 )=qa0 Y
t
Y dpb (τ )
X
=
dqa (τ )
qA (tA )qB (tB ) · · · exp i
dτ
q˙a (τ )p(τ ) − H(q(τ ), p(τ ))
2π
qa (t)=qa
t
τ,a
a
τ,b
(6.11)
ˆ A (tA ), Q
ˆ B (tB ), . . .. La relazione pu`o essere
dove qA (tA ), qB (tB ), . . . sono gli autovalori degli operatori Q
ˆ
letta pure all’inverso: in questo caso, i valori dei tA , tB , . . . ci dicono di quale prodotto di operatori Q(t)
`e l’elemento di matrice. In generale, possiamo pertanto scrivere
( Z 0
"
#)
Z qa (t0 )=qa0 Y
t
X
Y dpb (τ )
dqa (τ )
(qA (tA )qB (tB ) · · · ) exp i
dτ
q˙a (τ )p(τ ) − H(q(τ ), p(τ ))
2π
qa (t)=qa
t
τ
a
a
τ,b
ˆ A (tA )Q
ˆ B (tB ) · · · ]|q; ti
= hq ; t |T [Q
0
0
(6.12)
dove T `e il prodotto T-ordinato bosonico. Vogliamo capire adesso in quali casi possiamo passare dal
formalismo Hamiltoniano a quello Lagrangiano (che `e covariante). In generale, le q˙ e le p che compaiono
27
non sono legate dalle equazioni canoniche e di conseguenza l’esponente non `e la Lagrangiana.
Integrali multipli Gaussiani.
Consideriamo l’integrale
I=
Z Y
dαr e−Q(α) ≡
Z
[dα]e−Q(α)
(6.13)
r
con Q(α) = 21 t αAα + t Bα + C forma quadratica e A reale, simmetrica, invertibile e definita positiva.
2
Per calcolare I, vogliamo ridurlo al prodotto di integrali della funzione e−x . Innanzitutto, effettuiamo
la traslazione
1
1
α = β − A−1 B
=⇒
Q(β) = t βAβ − t BA−1 B + C
2
2
e successivamente diagonalizziamo A tramite un opportuna matrice ortogonale, ottenendo
I=e
−1
1 t
B−C)
2 ( BA
Z
1 t
+∞
[dβ]e
− 21 t βAβ
−∞
−1
e 2 ( BA
= q
det
B−C)
A
2π
Il risultato si pu`
o scrivere come
I=q
1
det
−Q(α)
A
2π
e
dove α = −A−1 B `e il punto stazionario di Q(α), i.e.
∂ Q(α) =0
∂α α=α
Nell’ipotesi che H sia quadratica negli impulsi, gli integrali in pb dell’equazione (6.12) sono di tipo
Gaussiano. Applichiamo quanto appena trovato: il punto stazionario della forma quadratica `e
∂
[q˙a (τ )pa (τ ) − H(q(τ ), p(τ ))] = 0
∂pa
cio`e
∂ H(q(τ ), p(τ )) q˙a (τ ) =
∂pa (τ )
pa =p
(6.14)
a
Adesso le q˙a e le pa sono legate dalle equazioni canoniche. Ne segue che
X
[q˙a (τ )pa (τ ) − H(q(τ ), p(τ ))] = L(q(τ ), q(τ
˙ ))
(6.15)
a
Otteniamo in definitiva l’espressione fondamentale dell’integrale funzionale nel formalismo lagrangiano:
( Z 0
)
Z qa (t0 )=qa0 Y
t
q
(t
)q
(t
)
·
·
·
A
A
B
B
0 0
ˆ A (tA )Q
ˆ B (tB ) · · · ]|q; ti =
exp i
dτ L(q(τ ), q(τ
˙ ))
hq ; t |T [Q
dqa (τ ) p
det(2πA[q])
t
qa (t)=qa
τ,a
(6.16)
6.1
Path integral in QFT (teoria bosonica)
Supponendo che l’Hamiltoniana sia quadratica nelle variabili coniugate pa ,
ˆ A (xA )Q
ˆ B (xB ) · · · }|q; ti
hq 0 ; t0 |T {Q
0
Z qm (x,t0 )=qm
(x) Y
=
dqm (x, τ )qA (xA )qB (xB ) · · · p
qm (x,t)qm (x)
τ,x,m
28
1
det(2πA[q])
( Z
exp i
t
t0
)
L[q(τ ), q(τ
˙ )]dτ
dove con xi abbiamo indicato le coordinate spazio-temporali. Se A non dipende da q (come nel caso
fisico), il determinante esce dall’integrale sotto forma di costante di normalizzazione N :
( Z 0
)
0
Z qm (x,t0 )=qm
(x) Y
t
=N
dqm (x, τ )qA (xA )qB (xB ) · · · exp i
dτ L[q(τ ), q(τ
˙ )]
qm (x,t)=qm (x)
t
τ,x,m
Da questa espressione vogliamo quindi estrarre la funzione di Green, ossia il valor medio del prodotto
T-ordinato sullo stato di vuoto. Per far questo, consideriamo la variabile temporale come complessa:
l’integrale sull’asse reale andr`
a da −T a T (con T che andr`a a infinito). Ruotiamo quindi l’asse reale di
→ 0+ in senso orario. Allora
t ≡ −T → −T e−i ' −T (1 − i)
t0 ≡ T → T e−i ' T (1 − i)
ˆ
ˆ
|q; ti = eiHt |qi → |q, −T e−i i = e−iHT (1−i) |qi
ˆ
0
ˆ
hq 0 ; t0 | = hq 0 |e−iHt → hq 0 ; T e−i | = hq 0 |e−iHT (1−i)
ˆ e Pˆ , allora
Sia quindi {|ni} un insieme completo di autostati di H
X
X
ˆ
|q, −T e−i i =
|nihn|e−iHT (1−i) |qi =
|nie−iEn T (1−i) hn|qi
n
hq 0 ; T e−i | =
X
(6.17)
n
ˆ
hq 0 |e−iHT (1−i) |nihn| =
n
X
hq 0 |nie−iEn T (1−i) hn|
(6.18)
n
Per T → ∞, l’esponenziale ha una parte reale descrescente: il termine dominante risulta essere quello
ad energia pi`
u bassa, cio`e lo stato di vuoto |Ωi
|q; −T e−i i → |Ωie−iEΩ T (1−i) hΩ|qi
hq 0 ; T e−i | → hq 0 |Ωie−iEΩ T (1−i) hΩ|
(questo discorso vale solo nel caso in cui il livello energetico del vuoto `e separato nettamente dal livello
successivo)
Sostituendo nell’espressione dell’integrale funzionale vediamo che compare la funzione di Green:
ˆ A (xA ) · · · }|q; −T e−i i → e−2iT EΩ e−i hq 0 |ΩihΩ|qi hΩ|T {Q
ˆ A (xA ) · · · }|Ωi
hq 0 ; T e−i |T {Q
{z
}
|
funzione di Green
(6.19)
Osserviamo inoltre che (assumendo hΩ|Ωi = 1)
hq 0 ; T e−i |q; −T e−i i → e−2iT EΩ e
−i
hq 0 |ΩihΩ|qi
Formula di Feynman-Kac
(6.20)
Facendo il rapporto tra la (6.19) e la (6.20), i fattori moltiplicativi si elidono. La funzione di Green sar`
a
pertanto data da
0
−i
−i
ˆ
ˆ A (xA ) · · · }|Ωi = lim lim hq ; T e |T {QA (xA ) · · · }|q; −T e i
hΩ|T {Q
T →∞ →0+
hq 0 ; T e−i |q; −T e−i i
n R −i
o
RQ
∞e
dq
(x,
τ
)q
(x
)q
(x
)
·
·
·
exp
i
dτ
L[q(τ
),
q(τ
˙
)]
m
A
A
B
B
τ,m,x
−∞e−i
n R −i
o
=
RQ
∞e
˙ )]
τ,m,x dqm (x, τ ) exp i −∞e−i dτ L[q(τ ), q(τ
(6.21)
0
con condizioni al contorno qm (x, t) = qm (x), qm (x, t0 ) = qm
(x). Queste sono del tutto arbitrarie (purch´e
0
`
hq |Ωi, hΩ|qi =
6 0). E conveniente fissare condizioni al contorno periodiche, i.e. q 0 = q e integrare su tutte
le q. In tal caso otterremo
Z Y
dqm (x)hΩ|qihq|Ωi = hΩ|Ωi = 1
m,x
29
Con questa scelta, la funzione di Green diventa
R
ˆ A (xA )Q
ˆ B (xB ) · · · }|Ωi =
hΩ|T {Q
con [dq] =
Q
x,m,τ
n R −i
o
∞e
[dq]qA (xA ) · · · exp i −∞e−i dτ L[q(τ ), q(τ
˙ )]
o
n R −i
R
∞e
˙ )]
[dq] exp i −∞e−i dτ L[q(τ ), q(τ
dqm (x, τ ) e condizioni al contorno qm (x, t = −∞) = qm (x, t = ∞). Inoltre,
Z
L[q(τ ), q(τ
˙ )] =
d3 x L(q(x, τ ), ∂q(x, τ ))
(6.22)
dove L `e la densit`
a di Lagrangiana. In notazione compatta si ha, in conclusione,
ˆ A (xA ) · · · }|Ωi =
hΩ|T {Q
R
R
[dq](qA (xA ) · · · ) exp i d4 x L(x)
R
R
[dq] exp i d4 x L(x)
(6.23)
Il denominatore si usa indicarlo con Z (”funzione di partizione”).
Consideriamo per semplicit`
a un campo scalare neutro ϕ con una perturbazione V (ϕ) alla Lagrangiana
libera:
1
1
(6.24)
L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − V (ϕ) ≡ L0 + V (ϕ)
2
2
Definizione 6.1.
Definiamo il funzionale generatore di una teoria di campo come
Z
Z
Z[J] = [dϕ] exp i d4 x(L(x) + ϕ(x)J(x))
(6.25)
e la derivata funzionale di un generico funzionale Z[J] rispetto alla funzione J(x) (detta sorgente esterna)
come
δZ[J]
Z[J(x) + δ (4) (x − y)] − Z[J(x)]
= lim
(6.26)
δJ(y) →0
Indichiamo quindi la funzione di Green a n punti con Gn (x1 , . . . , xn ) ≡ hΩ|T {ϕ(x
ˆ 1 ) · · · ϕ(x
ˆ n )}|Ωi. Si
ha allora
(−i)n
δ n Z[J]
Gn (x1 , . . . , xn ) =
(6.27)
Z[J] δJ(x1 ) · · · δJ(xn ) J=0
Sviluppo perturbativo di Z[J].
Z
[dϕ] exp i d4 x[L0 (x) − V (ϕ(x)) + ϕ(x)J(x)]
Z
Z
Z
= [dϕ] exp −i d4 xV (ϕ) exp i d4 x(L0 (x) + ϕ(x)J(x))
Z
Z
Z
δ
= [dϕ] exp −i d4 xV −i
exp i d4 x(L0 (x) + ϕ(x)J(x))
δJ(x)
Z
Z
Z
δ
= exp −i d4 xV −i
[dϕ] exp i d4 x(L0 (x) + ϕ(x)J(x))
δJ(x)
Z
δ
= exp −i d4 x V −i
Z0 [J]
δJ(x)
Z
N
∞
X
(−i)N
δ
4
=
d x V −i
Z0 [J]
N!
δJ(x)
Z
Z[J] =
(6.28)
N =0
da questa relazione ricaviamo la Z[J] a qualunque ordine k e, di conseguenza, la funzione di Green all’ordine k. Il calcolo di Z0 [J] si riesce a fare analiticamente in quanto la teoria libera `e quadratica nel campo.
30
Calcolo di Z0 [J].
Integriamo l’esponente in Z0 [J] per parti ed introduciamo una variabile y tramite una delta:
Z
Z
1 2 2
1
µ
4
Z0 [J] = [dϕ] exp i d x ∂µ ϕ∂ ϕ − m ϕ (x) + ϕ(x)J(x)
2
2
Z
Z
Z
Z
i
4
4
(4)
2
4
= [dϕ] exp −
d x d yϕ(x)δ (x − y)(y + m )ϕ(y) + i d x ϕ(x)J(x)
2
Usando gli integrali gaussiani sulla forma quadratica K(x, y) = δ (4) (x − y)(y + m2 ) troviamo
Z
Z
i
d4 x d4 y J(x)K −1 (x, y)J(y)
= Z0 [0] exp
2
Calcolo di K −1 (x, y).
Nel continuo, l’inversa `e definita da
Z
cio`e nel nostro caso
Z
(6.29)
(6.30)
d4 z K(x, z)K −1 (z, y) = δ (4) (x − y)
(6.31)
d4 z δ (4) (x − z)(z + m2 )K −1 (z, y) = δ (4) (x − y)
(6.32)
Integrando in z troviamo l’equazione
(x + m2 )K −1 (x, y) = δ (4) (x − y)
(6.33)
che possiamo risolvere in trasformata di Fourier usando le relazioni
Z
d4 k −ik(x−y)
δ (4) (x − y) =
e
(2π)4
Z
d4 k ˆ −1
K −1 (x − y) =
K (k)e−ik(x−y)
(2π)4
(6.34)
(6.35)
da cui otteniamo
1
(6.36)
−k 2 + m2
Ricordando per`
o adesso che l’asse temporale `e ancora ruotato nel piano complesso, abbiamo la cosiddetta
prescrizione ”i”: x0 → x00 = e−i x0 , valida per le componenti temporali di tutti i quadrivettori.
x ≡ (x0 , x) −→ x0 = (x00 , m) = (e−i x0 , x). Ritornando indietro, dobbiamo scrivere tutto in termini
delle quantit`
a primate:
Z
d4 z 0 K(x0 , z 0 )K −1 (z 0 , y 0 ) = δ (4) (x0 − y 0 )
(6.37)
ˆ −1 (k) = 1
(−k 2 + m2 )K
ˆ −1 (k) =
K
=⇒
Essendo δ(x00 − y 00 ) = ei δ(x0 − y 0 ), si ha δ (4) (x0 − y 0 ) = ei δ (4) (x − y). Passando in trasformata,
00
00
δ(x − y ) = e
i
Z
dk 0 −ik0 (x0 −y0 )
≡
e
2π
Z
∞ei
−∞ei
0
dk 0 −ik00 (x00 −y00 )
e
2π
dove abbiamo posto k 00 = ei k 0 , e
δ (4) (x − y) =
d(4) k 0 −ik0 (x0 −y0 )
e
(2π)4
Z
Rifacendo i conti otteniamo
ˆ −1 (k 0 ) =
K
1
−k 02 + m2
ma k 02 = (k 00 )2 − k2 = e2i (k 0 )2 − k2 ' k 2 + i (avendo inglobato 2(k 0 )2 → ). In conclusione, si ha
ˆ −1 (k) =
K
−k 2
31
1
+ m2 + i
(6.38)
da cui
K −1 (x, y) =
Z
1
d4 k
e−ik(x−y)
4
2
(2π) −k + m2 + i
(6.39)
Adesso abbiamo l’espressione di Z0 [J] e, eseguendo le derivate funzionali, possiamo calcolare la funzione
di Green a due punti:
Z
Z
δZ0 [J]
i
i
4
−1
4
−1
d y K (x1 , y)J(y) +
d x J(x)K (x, x1 )
= Z0 [J]
δJ(x1 )
2
2
i −1
δ 2 Z0 [J] i −1
= Z0 [0]
K (x1 , x2 ) + K (x2 , x1 )
δJ(x1 )δJ(x2 ) J=0
2
2
Usando la simmetria di K −1 nei suoi argomenti si ottiene infine
G2 (x1 , x2 ) = −iK
−1
Z
(x1 − x2 ) =
i
d4 k
e−ik(x1 −x2 )
(2π)4 k 2 − m2 + i
(6.40)
Notiamo che la prescrizione i pu`
o essere letta anche come la sostituzione m2 → m2 − i. Cosa implica
questa situazione? Ricordando che l’integrale da calcolare `e dato da
Z
Z
1
1
[dϕ] exp i d4 x ∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2
2
2
si ha che l’esponente `e puramente immaginario, quindi l’esponenziale `e oscillante e di conseguenza non
converge. Con la sostituzione m2 → m2 − i spunta fuori un fattore esponenziale reale decrescente, che
migliora la convergenza dell’integrale.
Esempio 10 (Funzione di Green a quattro punti).
δ 4 Z0 [J]
(−i)4
G4 (x1 , x2 , x3 , x4 ) ≡
Z0 [J] δJ(x1 )δJ(x2 )δJ(x3 )δJ(x4 ) J=0
= G2 (x1 , x2 )G2 (x3 , x4 ) + G(x1 , x3 )G2 (x2 , x4 ) + G(x1 , x4 )G(x2 , x3 )
6.2
Path integral in QFT (teoria fermionica)
Per estendere il formalismo dell’integrale funzionale ai campi fermionici, useremo una formulazione ad
hoc, sostituendo l’integrazione su c-numeri commutanti (nel caso bosonico) con l’integrazione su variabili
di Grassmann, cio`e c-numeri che anticommutano.
Consideriamo un certo numero di variabili di Grassmann η1 , . . . , ηN , con {ηi , ηj } = 0 ∀i, j. In particolare,
seguir`
a che ηi2 = 0 ∀i. Prendiamo adesso una funzione di queste variabili f (η). Se la sviluppiamo in
serie, il numero di termini rimane finito in quanto ηi2 = 0:
X
X
f (η) = f0 +
fi ηi +
fij ηi ηj + · · · + f12···N ηN · · · η2 η1
(6.41)
i
i6=j
avremo quindi in generale 2N termini.
Integrazione di Berezin.
Siamo interessati a calcolare integrali sulle variabili di Grassmann del tipo
Z Y
N
dηi f (η)
i=1
L’integrazione di Berezin si fonda su due semplici regole:
R
1. dηi 1 = 0
32
2.
R
dηi ηi = 1
Inserendo lo sviluppo (6.41) nell’integrale, in virt`
u delle due regole, l’unico termine che non si annulla `e
l’ultimo, che contiene appunto tutti le ηi :
Z Y
N
dηi f (η) = f12···N
(6.42)
i=1
Nota.
Sia α ≡ (α1 , . . . , αN ) un set di variabili di Grassman ”costanti” (i.e. su cui non integriamo), allora
Z Y
N
dηi f (η + α) =
i=1
Z Y
N
dηi f (η)
(invarianza per traslazioni della variabile di Grassmann)
i=1
(6.43)
Consideriamo adesso 2N variabili di Grassmann ψ1 , . . . , ψN , ψ 1 , . . . , ψ N e calcoliamo


Z Y
N
N
 X

ψ i Aij ψj
I[A] ≡
dψ ` dψ` exp −


(6.44)
i,j=1
`=1
Sviluppiamo l’esponenziale: possiamo trasformare l’esponenziale della somma nel prodotto degli esponenziali in quanto il prodotto di due variabili anticommutanti `e di tipo commutante e commuta con tutte
le altre. Nello sviluppo, i termini di ordine successivo al secondo sono tutti nulli. Si ha pertanto






N
N
N
 X
 Y

 Y
X
X
1 − ψ i
exp −
ψ i Aij ψj =
exp −ψ i
Aij ψj =
Aij ψj 




i,j=1
i=1
j
i=1
j

 

X
X
= 1 − ψ 1
(6.45)
A1j1 ψj1  · · · 1 − ψ N
AN jN ψjN 
j1
jN
Notiamo che integrando sulle variabili di Grassmann, l’unico termine che sopravvive `e quello dato dal
prodotto dei secondi addendi in ogni parentesi (in quanto contiene tutte le variabili di Grassmann una
sola volta).
X
=
ψj1 ψ 1 ψj2 ψ 2 · · · ψjN ψ N A1j1 A2j2 · · · AN jN
j1 ,...,jN
Nella somma per`
o non vanno considerati tutti i ji , ma solo le combinazioni in cui tutti i ji sono diversi. La
somma `e quindi ristretta a {j1 , . . . , jN } appartenenti alle permutazioni di {1, . . . , N }. Inoltre il prodotto
delle ψi , ψ j `e antisimmetrico per scambio di qualunque coppia di variabili. In conclusione abbiamo
X
=
ψ1 ψ 1 ψ2 ψ 2 · · · ψN ψ N j1 ···jN A1j1 · · · AN jN
j1 ,...,jN
= (ψ1 ψ 1 · · · ψN ψ N )
X
j1 ···jN A1j1 · · · AN jN
j1 ···jN
= (ψN ψ N · · · ψ1 ψ 1 ) det A
e di conseguenza
I[A] =
Z Y
N
`=1
dψ ` dψ` exp


−

N
X
ψ i Aij ψj


= det A
(6.46)

i,j=1
Funzionale generatore per i fermioni.
Abbiamo per i fermioni due tipi di sorgenti che indicheremo con ρ, ρ (anch’esse variabili di Grassmann):


Z
N

 X
X
Z[ρ, ρ] = [dψdψ] exp −
ψ i Aij ψj +
(ψ i ρi + ρi ψi )
(6.47)


i,j=1
33
i
Possiamo ricondurci al caso precedente effettuando la traslazione
X
ψi = ψi0 +
(A−1 )ik ρk
k
ψi =
0
ψi
+
X
ρk (A−1 )ki
(6.48)
k
0
cio`e ψ = ψ 0 + A−1 ρ e ψ = ψ + t ρA−1 , ottenendo
Z[ρ, ρ] = det A exp

X

ρi (A−1 )ij ρj


(6.49)

i,j
Dobbiamo adesso introdurre, al fine di ricavare la funzione di Green, il concetto di
Derivata rispetto a variabili di Grassmann.
1. Derivata sinistra.

0
se (...) non contiene ηi
∂
(...) =
∂

∂ηi
(ηi R) = R
dopo aver spostato ηi a sinistra con le regole di anticommutazione
∂ηi
(6.50)
2. Derivata destra.

←

se (...) non contiene ηi
0
∂
←
(...)
=
∂

∂ηi
(Lηi )
= L dopo aver spostato ηi a destra con le regole di anticommutazione
∂ηi
(6.51)
Esempio 11.


X
Y
∂
∂ Y
∂
exp 
(1 + ρj ψj ) =
(1 + ρi ψi ) (1 + ρj ψj )
ρj ψj  =
∂ρi
∂ρi j
∂ρi
j
j6=i
Y
Y
= ψi (1 + ρj ψj ) = ψ(1 + ρi ψi ) (1 + ρj ψj )
j6=i
j6=i

= ψi exp 

X
ρj ψj 
j
Allo stesso modo




←
X
X
∂
exp 
ψ j ρj 
= ψ i exp 
ψ j ρj 
∂ρ
i
j
j
Definizione 6.2.
Definiamo la funzione di correlazione di 2` variabili di Grassmann come
P
R
[dψdψ]ψi1 · · · ψi` ψ j1 · · · ψ j` exp − i,j ψ i Aij ψj
P
hψi1 · · · ψi` ψ j1 · · · ψ j` i =
R
[dψdψ] exp − i,j ψ i Aij ψj
La funzione di correlazione pu`
o essere scritta in termini del funzionale generatore come
←
← !
∂
∂
i
∂
∂
Z[ρ, ρ]
hψi1 · · · ψi` ψ j1 · · · ψ j` i =
···
···
Z[ρ, ρ] ∂ρi1
∂ρi`
∂ρj1
∂ρj` ρ=ρ=0
34
(6.52)
(6.53)
Esempio 12 (Funzione di correlazione a due punti).
Calcoliamo
P
R
← [dψdψ]ψi ψ j exp − k,l ψ k Akl ψl
1
∂
∂ P
=
Z[ρ, ρ]
hψi ψ j i = R
Z[ρ,
ρ]
∂ρ
∂ρ
j
i
[dψdψ] exp − k,l ψ k Akl ψl
ρ=ρ
con


X
Z[ρ, ρ] = det A exp 
ρk (A−1 )kl ρl 
k,l
Sviluppando al solito modo l’esponenziale si trova
X
X
Y
∂
Z[ρ, ρ] = det A
(A−1 )il ρl
(A−1 )kl ρl
1 + ρk
∂ρi
l
e
Quindi hψi ψ j i = (A
−1
l
k6=i
← ∂
∂ Z[ρ, ρ]
∂ρi
∂ρj !
= det A(A−1 )ij
ρ=ρ=0
)ij .
Colleghiamo adesso la funzione di correlazione alla Fisica. Definiamo
Z
Z
Z
Z
Z = [dψdψ] exp i d4 x ψ α (x)(iγ µ ∂µ − m)αβ ψβ (x) ≡ [dψdψ] exp i d4 x LF
(x)
0
LF
e la Lagrangiana di Dirac libera. Notiamo che
0 `
Z
Z
Z
4
d4 x LF
(x)
=
d
x
d4 y ψ α (x)δ (4) (x − y)(iγ µ ∂µ − m)αβ ψβ (y)
0
Z
Z
≡ d4 x d4 y ψ α (x)Kαβ (x, y)ψβ (y)
(6.54)
(6.55)
Dunque possiamo indentificare A = iK. Allora per il calcolo della funzione di correlazione ci serve K −1 .
Calcolo di K −1 .
K `e definita da
−1
Z
−1
d4 z Kαβ (x, z)Kβρ
(z, y) = δαρ δ (4) (x − y)
(6.56)
cio`e
Z
−1
−1
d4 z δ (4) (x − z)(iγ µ ∂µz − m)αβ Kβρ
(z, y) = (iγ µ ∂µx − m)αβ Kβρ
(x, y) = δαρ δ (4) (x − y)
Passando in trasformata
−1
Kβρ
(x, y)
Z
=
(6.57)
d4 p ˆ −1
K (p)e−ip(x−y)
(2π)4 βρ
otteniamo
(γ µ pµ − m)αβ = δαρ
e quindi
ˆ −1 (p) =
K
βρ
1
p
/−m
=
βρ
p
/+m
p2 − m2
(6.58)
βρ
Usando la prescrizione i:
ˆ −1 (p) =
K
βρ
da cui
Z
hψα (x)ψ β (y)i =
d4 p
(2π)4
p
/+m
2
p − m2 + i
i
p
−
m
+ i
/
(6.59)
βρ
ˆ
e−ip(x−y) ≡ hΩ|T {ψˆα (x)ψ(y)}|Ωi
αβ
Questo ragionamento vale per qualsiasi Lagrangiana quadratica nei campi fermionici.
35
(6.60)
6.3
Quantizzazione di una teoria di gauge
Nel quantizzare una teoria di gauge sorgono alcuni problemi nella definizione del propagatore. Prendiamo
ad esempio la QED e concentriamoci sul termine di pura gauge
1
LG = − Fµν F µν
4
ˆ → Aµ , allora
1. Problema con la quantizzazione canonica. Se identifichiamo Q
∂ LG
Pˆ → Πµ ≡
= −F0µ
∂ A˙ µ
e dovrebbero valere le regole di commutazione canonica
[Aµ (x, t), Πν (y, t)] = iδνµ δ (3) (x − y)
Ma Π0 = −F00 = 0 e quindi le regole non possono essere soddisfatte. Questo segue dal fatto che
questo sistema ha dei ”vincoli”, occorre fissare quindi la gauge.
2. Problemi nel definire il propagatore fotonico. Scriviamo l’azione di gauge
Z
Z
1
4
d4 x Fµν F µν
SG [A] = d x LG [A] = −
4
Z
1
=−
d4 x[∂ν Aµ ∂ ν Aµ − ∂ν Aµ ∂ µ Aν ]
2
Z
1
d4 x Aµ (x)[g µν − ∂ µ ∂ ν ]Aν (x)
=
2
Adesso l’operatore g µν − ∂ µ ∂ ν `e singolare, quindi non pu`o essere invertito per ricavare il propagatore. La non invertibilit`
a emerge dall’esistenza dei cosiddetti modi zero: infatti l’operatore
applicato ad un quadrigradiente fa zero
(g µν − ∂ µ ∂ ν )∂µ θ = 0
L’esistenza di un kernel non banale si interpreta come la presenza di una ridondanza nella nostra
descrizione mediante l’integrale funzionale, che si risolve con il metodo di Faddeev-Popov.
6.4
Metodo di Faddeev-Popov
L’idea che sta alla base del cosiddetto metodo di Faddeev-Popov `e che nell’integrale
Z
Z
1
iSG [A]
4
µν
Z = [dA] e
SG [A] = d x − Fµν F
4
l’integrazione `e estesa anche a tutte le trasformate di gauge di Aµ , che dal punto di vista fisico sono equivalenti, e quindi fattivamente abbiamo una ridondanza. Nel caso non abeliano, una generica
trasformazione di gauge `e data da
i
)
Aµ −→ A(U
≡ U Aµ U † + (∂µ U )U †
µ
g
(6.61)
Al variare di U , questa relazione definisce un’orbita di gauge. Per ovviare alla ridondanza, `e sufficiente
integrare considerando un solo rappresentante per ogni orbita di gauge (ossia per ogni classe di equivalenza), cio`e fissare la gauge. Il gauge fixing si esprime mediante la relazione Gµ Aaµ = B a , dove i B a sono
quantit`
a arbitrarie e Gµ `e un operatore. Ad esempio, Gµ = ∂ µ (gauge di Lorenz), Gµ = (0, −∇) (gauge
di Coulomb), Gµ = nµ (gauge assiale), Gµ = (1, 0) (gauge temporale).
Primo ”trucco” di Faddeev-Popov.
Definiamo
∆G [A] ≡ R
1
[dU ]δ
36
(U )
Gµ Aµ
−B
(6.62)
dove
δ (Gµ Aµ − B) ≡
Y ),a
a
δ Gµ A(U
(x)
−
B
(x)
µ
(6.63)
a,x
e
[dU ] ≡
Y
dU (x)
(6.64)
x
`e detta misura invariante (o di Haar ).
Definizione 6.3 (Misura invariante).
Per un generico gruppo si hanno due misure invarianti: la misura invariante destra, con la propriet`a
Z
Z
dU f (U U0 ) = dU f (U )
⇐⇒
dU = dU U0
e la misura invariante sinistra
Z
Z
dU f (U0 U ) = dU f (U )
⇐⇒
dU = dU0 U
con U, U0 elementi del gruppo.
In generale, le due misure non coincidono. Per SU (N ), tuttavia, le due misure coincidono (a meno
di normalizzazione), i.e. dU U0 = dU0 U = dU per ogni U0 ∈ SU (N ). In rappresentazione fondamentale,
U = exp(iθa Ta ) e si ha
2
NY
−1
dU = J(θ)
dθa
(6.65)
a=1
con J(θ → 0) = cost 6= 0.
Esempio 13.
Nel caso di SU (2) si ha
dU = K
sin2 (|θ|/2) 1 2 3
dθ dθ dθ
|θ|2
con θ ≡= (θ1 , θ2 , θ3 ).
Il primo trucco di Faddeev-Popov consiste nell’inserire nella funzione di partizione 1 scritto come
Z
)
1 = ∆G [A] [dU ]δ Gµ A(U
µ −B
quindi
Z
Z=
Z
[dA]
)
iSG [A]
[dU ]δ Gµ A(U
µ − B ∆G [A]e
(6.66)
Se adesso eseguiamo una trasformazione di gauge, sicuramente l’azione sar`a invariante (lo `e per costruzione), SG [A(U ) ] = SG [A]. Facciamo vedere che ∆G [A(U ) ] = ∆G [A]. Si ha
∆G [A(U ) ] = R
1
[dU 0 ]δ
(U )
Gµ (Aµ )(U 0 )
−B
Osserviamo quindi che
)
A(U
µ
i
)
Aµ −→ A(U
= U Aµ U † + (∂µ U )U †
µ
g
(U 0 )
i
)
) 0†
0
0†
−→ A(U
= U 0 A(U
µ
µ U + (∂µ U )U
g
i
= U 0 U Aµ U † U 0† + (∂µ (U 0 U ))U 0† U †
g
= A(U
µ
0
U)
37
da cui
∆G [A] = R
1
[dU 0 ]δ
(U 0 U )
Gµ Aµ
−B
=R
1
[dU 0 U ]δ
(U 0 U )
Gµ Aµ
−B
= ∆G [A]
dove abbiamo sfruttato le propriet`
a della misura invariante. Infine si ha anche [dA] = [dA(U ) ], in quanto
la trasformazione di gauge pu`
o essere scritta come
(agg)
),a
A(U
(x) = Dab
µ
(U )Abµ (x) + cost
La ”costante” (costante in Aµ ) `e una traslazione del campo di gauge, e quindi ai fini della misura non
contribuisce. La matrice D `e una rotazione dei campi, quindi una matrice unitaria con Jacobiano unitario
che non cambia la misura. Concludiamo quindi che la misura [dA] `e invariante di gauge.
Adesso scriviamo
Z
Z
)
iSG [A]
Z = [dU ] [dA]∆G [A]δ Gµ A(U
(6.67)
µ −B e
(U 0 )
in cui abbiamo invertito l’ordine di integrazione, e cambiamo variabile, Aµ → Aµ :
Z
Z
(U )
0
0
0
(U 0 )
)
= [dU ] [dA(U ) ]∆G [A(U ) ]δ Gµ A(U
−
B
eiSG [A ]
µ
Z
Z
U 0)
= [dU ] [dA]∆G [A]δ Gµ A(U
−
B
eiSG [A]
µ
in cui abbiamo usato l’invarianza di gauge. Questa espressione vale per U 0 arbitraria. Scegliamo in
particolare U 0 = U † , ottenendo
Z
Z
Z = [dU ] [dA]∆G [A]δ (Gµ Aµ − B) eiSG [A]
(6.68)
L’integrale interno adesso non dipende pi`
u da U . Definiamo
Z
Z ≡ [dA]∆G [A]δ (Gµ Aµ − B) eiSG [A]
(6.69)
e calcoliamo esplicitamente ∆G [A]. Usando la propriet`a della delta di Dirac
Z
J(x)
dx J(x)δ(f (x) − B) = df
dx x=x
dove x `e l’unico x tale che f (x) = B, troviamo
∆G [A] = R
1
[dU ]δ
(U )
Gµ Aµ
−B
=R
[J(θ)
Q
a
dθa ] δ
1
(U (θ))
Gµ Aµ
−B
det MG
det MG
=Q
≡
J[θ]
x J(θ(x))
con
(MG (x, y))ab
(6.70)
(U (θ)),a
δ Gµ Aµ
(x) =
δθb (y)
(6.71)
(U (θ(x)))
=B(x)
Gµ Aµ
A questo punto
Z
Z=

 µ (U (θ)),a
A
(x)
δ
G
µ
1

[dA]
det 
δθb (y)
J[θ]
δ (Gµ Aµ − B) eiSG [A]
(U (θ))
Gµ A µ
38
=B
U (θ)
La presenza della delta di Dirac ci consente di fare la semplificazione Gµ Aµ
= B = Gµ Aµ , da cui
segue θ = 0. Di conseguenza, ponendo la costante J[θ = 0] uguale a uno, troviamo

 (U (θ)),a
Z
δ Gµ Aµ
(x)
 |θ=0 δ (Gµ Aµ − B) eiSG [A]
Z = [dA] det 
δθb (y)
Z
= [dA] det MG δ (Gµ Aµ − B) eiSG [A]
(6.72)
dove
(MG (x, y))ab

 (U (θ)),a
δ Gµ Aµ
(x)

=
δθb (y)
(6.73)
θ=0
prende il nome di matrice di Faddeev-Popov.
Nella gauge di Lorenz, ad esempio, si trova
(MG (x, y))ab = −
1 ab
δ x + gfabc ∂xµ Acµ (x) δ (4) (x − y)
g
L’espressione (6.72) per Z `e indipendente da B, quindi abbiamo due scelte: o porre direttamente B = 0,
oppure scrivere
Z
Z
i
1
[dB] exp −
d4 x(B a (x))2 Z
Z=
N
2α
Z
Z
1
i
=
[dA] det MG exp iSG [A] −
d4 x (Gµ Aµ (x))2
N
2α
Z
Z
1
=
[dA] det MG exp i d4 x (LG + LGF )
(6.74)
N
1
interpretando quindi il termine LGF = − 2α
(Gµ Aµ (x))2 come un termine lagrangiano aggiuntivo, detto
termine di gauge fixing. Il parametro α `e reale, e le quantit`a gauge-invarianti non vi dipendono.
Nelle gauge pi`
u comunemente usate, la matrice di Faddeev-Popov `e data da
Gµ = (0, −∇)
Gµ = ∂ µ
(Coulomb)
(Lorenz)
Gµ = nµ , n2 < 0
Gµ = (1, 0)
(assiale)
(temporale)
1
− (−δab ∇2x + gfabc ∇x · Ac (x))δ (4) (x − y)
g
1
− (δab x + gfabc ∂xµ Acµ (x))δ (4) (x − y)
g
1
− (δab n · ∂x + gfabc n · Ac (c))δ (4) (x − y)
g
1
− (δab ∂x0 + gfabc Ac0 (x))δ (4) (x − y)
g
Nel caso abeliano i termini in fabc sono nulli, quindi risulta che det MG `e una costante dal punto di vista
dell’integrale funzionale (i.e. non dipende dal campo di gauge Aµ ) e quindi diventa semplicemente una
costante moltiplicativa.
Notiamo inoltre che in gauge assiale e temporale, la presenza nell’integrale di δ(Gµ Aµ ) fa s`ı che siano
nulli rispettivamente n · Ac (x) oppure Ac0 (x) e pertanto anche in questi due casi non abeliani il determinante non dipende dal campo di gauge.
Secondo trucco di Faddeev-Popov
Consiste nel trasformare det MG in un ulteriore termine lagrangiano che si aggiunge a LG e LGF .
Mettiamoci in gauge di Lorenz e scriviamo
1
(MG (x, y))ab = − (δab x + gfabc ∂xµ Acµ (x))δ (4) (x − y)
g
1
= − ∂xµ (δab ∂µx + gfabc Acµ (x))δ (4) (x − y)
g
1 ≡ − ∂xµ Dµ(agg)
δ (4) (x − y)
g
ab
39
(6.75)
Sfruttiamo adesso la propriet`
a dell’integrazione di Berezin su variabili di Grassmann
Z
[dηdη] exp t ηAη = det A
scegliendo come variabili di Grassmann dei campi ca (x), ca (x), a = 1, . . . , N 2 − 1. Allora
Z
Z
Z
[dcdc] exp − d4 x d4 yca (x)(−ig)(MG (x, y))ab cb (y) = det(−igMG )
(6.76)
cio`e
Z
cost × det MG =
Z
[dcdc] exp i d4 xca (x)(−∂ µ ) Dµ(agg)
ab
Z
cb (x) = [dcdc] exp {iLF P }
(6.77)
cb (x)
(6.78)
dove
LF P = ca (x)(−∂ µ ) Dµ(agg)
ab
`e la Lagrangiana di Faddeev-Popov. Questa `e equivalente, una volta integrata per parti nell’azione, alla
Lagrangiana
L0F P = ∂ µ ca (x) Dµ(agg)
cb (x)
(6.79)
ab
Le quantit`
a ca , ca sono variabili di Grassmann che per`o descrivono campi scalari, cio`e dal punto di vista
del gruppo di Lorentz hanno spin zero. Se corrispondessero a particelle reali, queste costituirebbero una
violazione del teorema spin-statistica, in quanto avremmo fermioni di spin intero. In realt`a i campi ca , ca
non corrispondono a particelle reali e pertanto sono chiamati campi ghost.
A questo punto possiamo costruire l’ansatz di Faddeev-Popov per la funzione di partizione della QCD:
(F P )
ZQCD
Z
=
Z
(F P )
4
[dA][dψdψ][dcdc] exp i d xLQCD
(6.80)
con
(F P )
LQCD = LG + LF + LGF + LF P
40
(6.81)
7
Regole di Feynmann per la QCD
7.1
Propagatori
La Lagrangiana totale della QCD pu`
o essere naturalmente separata in una parte quadratica (corrispon(F P )
dente alla teoria libera) e una di interazione, LQCD = L0 + L1 . Concentriamoci in un primo momento
sulla parte quadratica L0 , data da
F
FP
L0 = LG
0 + L0 + L0
1 µ a 2
1
a
a
µ ν
ν µ
(∂ Aµ )
LG
0 = − (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ Aa − ∂ Aa ) −
4
2α
Nf
Nf Nc
X
X
X
/
LF
=
ψ
(i
∂
−
m
)ψ
=
ψ f,i (i∂/ − mf )ψf,i
f
f
f
0
(7.1)
(7.2)
f =1 i=1
i=1
P
LF
= ca (−)ca
0
P
L0F
= ∂ µ ca ∂µ ca
0
⇐⇒
(7.3)
Dalle parti quadratiche ricaviamo i propagatori.
1. Propagatore del gluone.
k
kµ kν
−iδab gµν − (1 − α) 2
k + i
k 2 + i
(7.4)
dove gli indici latini si riferiscono al colore e quelli greci sono indici di Lorentz.
2. Propagatore dei quarks.
p
δij
i
p
/ − mf + i
"
= δij
αβ
i(p
/ + mf )αβ
2
p − m2f + i
#
(7.5)
in cui gli indici latini si riferiscono al colore e quelli greci sono indici di Dirac. Il propagatore `e
inteso per flavor fissato.
41
3. Propagatore dei ghosts.
k
δab
i
k 2 + i
(7.6)
dove gli indici si riferiscono al colore.
7.2
Termini di interazione
La Lagrangiana di interazione L1 `e somma di quattro termini, L1 = L1F + L3A + L4A + LccA , quindi
avremo quattro diversi vertici di interazione.
1. L1F
L1F =
Nf
X
(f )
(f )
L1F = −gψ f T a γ µ ψf Aaµ
L1F ,
f =1
L’interazione `e diagonale nel flavor, che quindi si conserva nei vari processi. Il vertice di interazione
(f )
associato a L1F `e dato da
aµ
jβ
iα
vertex = −ig(γ µ )αβ (T a )ij
2. L3A
L3A =
g
fabc (∂µ Acν − ∂ν Acµ )Aµb Aνc = gfabc (∂µ Aaν )Aµb Aνc
2
42
(7.7)
k
p
q
vertex = gfabc [g µν (k − p)ρ + g νρ (p − q)µ + g ρµ (q − k)ν ] ≡ gfabc V µνρ
3. L4A
(7.8)
1
L4A = − g 2 fabe fcde Aaµ Abν Aµc Aνd
4
dσ
bν
aµ
cρ
vertex = −ig 2 [fabe fcde (g µρ g νσ − g µσ g νρ ) + face fbde (g µν g ρσ − g µσ g νρ ) + fade fbce (g µν g ρσ − g µρ g νσ )]
µνρσ
≡ −ig 2 Wabcd
(7.9)
4. LccA
LccA = ca (−∂ µ )(gfabc Acµ cb )
cio`e
L0ccA = gfabc ∂ µ ca cb Acµ
p
vertex = −gfabc pµ
43
(7.10)
8
Teoria delle perturbazioni rinormalizzata
Il problema che sta alla base della rinormalizzazione `e che quando si vanno a calcolare diagrammi
contenenti un certo di numero di loop, questi danno luogo a divergenze. Per esempio il diagramma
diverge quadraticamente (detta divergenza ultravioletta (UV)). Per ovviare a queste divergenze, si
regolarizza la teoria imponendo un cutoff, ossia si integra fino ad un impulso finito Λ (detto cutoff
infrarosso). A questo punto, le varie quantit`a Aµ , ψf , ca , g, m, α che compaiono nella Lagrangiana vanno
intese come quantit`
a nude che dipendono dal cutoff, quindi non sono quantit`a osservabili. La dipendenza
dal cutoff viene scelta in modo tale da eliminare le divergenze. A questo punto si riscalano le quantit`
a
con delle costanti di rinormalizzazione da determinare, ottenendo i campi rinormalizzati (suffisso R):
1/2
Aaµ = Z3 AaR,µ ,
1/2
ψ = Z2 ψR ,
1/2
ca = Zˆ3 cR,a
(8.1)
e i parametri rinormalizzati
g = Zg gR ,
m = Zm mR ,
α = Z3 αR
(8.2)
Scriviamo adesso la Lagrangiana in termini delle quantit`a rinormalizzate:
(F P )
LQCD = L0 + L1 −→ LR,0 + LR,1 + LCT
in cui LR,0 , LR,1 sono date rispettavimente da L0 , L1 in cui sostituiamo le quantit`a nude con quelle
rinormalizzate e LCT rappresenta i cosiddetti controtermini.
Esempio 14.
1
1
− (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )(∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa ) −→ − Z3 (∂µ AaR,ν − ∂ν AaR,µ )(∂ µ AνR,a − ∂ ν AµR,a )
4
4
1
1
a
a
µ ν
ν µ
= − (∂µ AR,ν − ∂ν AR,µ )(∂ AR,a − ∂ AR,a ) − (Z3 − 1)(∂µ AaR,ν − ∂ν AaR,µ )(∂ µ AνR,a − ∂ ν AµR,a )
4
4
|
{z
} |
{z
}
va in LR0
va in LCT
Questo ragionamento va esteso per tutti i termini della Lagrangiana. Si trova infine, che la parte dei
controtermini `e costituita da sette termini:
1
LCT = − (Z3 − 1)(∂µ AaR,ν − ∂ν AaR,µ )(∂ µ AνR,a − ∂ ν AµR,a )
4
Nf
X
+
ψ R,f [i(Z2 − 1)∂/ − (Z2 Zm − 1)mR,f ]ψR,f
f =1
+ (Zˆ3 − 1)cR,a (−)cR,a
− gR
Nf
X
1/2
(Zg Z2 Z3
− 1)ψ R,f T a γ µ ψR,f AaR,µ
f =1
0
3/2
+ gR (Zg Z3 − 1)fabc ∂λ AaR,λ0 AλR,b AλR,c
1 2 2 2
− gR
(Zg Z3 − 1)fabe fcde AaR,µ AbR,ν AµR,c AνR,d
4
1/2
+ gR (Zg Zˆ3 Z3 − 1)fabc cR,a (−∂ µ )(AcR,µ cR,b )
44
(8.3)
che definiscono altri sette vertici di interazione:
• − 14 (Z3 − 1)(∂µ AaR,ν − ∂ν AaR,µ )(∂ µ AνR,a − ∂ ν AµR,a )
aµ
bν
i(Z3 − 1)δab (kµ kν − k 2 gµν )
•
PNf
f =1
(8.4)
ψ R,f [i(Z2 − 1)∂/ − (Z2 Zm − 1)mR,f ]ψR,f
p
i[(Z2 − 1)p
/ − (Z2 Zm − 1)mR,f ]δij
(8.5)
• (Zˆ3 − 1)cR,a (−)cR,a
k
i(Zˆ3 − 1)δab k 2
• −gR
PNf
1/2
f =1 (Zg Z2 Z3
− 1)ψ R,f T a γ µ ψR,f AaR,µ
45
(8.6)
− igR (Z1F − 1)(T a )ij (γ µ )αβ ,
3/2
• gR (Zg Z3
1/2
Z1F ≡ Zg Z2 Z3
(8.7)
0
− 1)fabc ∂λ AaR,λ0 AλR,b AλR,c
gR (Z3A − 1)fabc V µνρ (k, p, q),
3/2
Z3A ≡ Zg Z3
(8.8)
2
• − 41 gR
(Zg2 Z32 − 1)fabe fcde AaR,µ AbR,ν AµR,c AνR,d
µνρσ
− igR (Z4A − 1)Wabcd
,
1/2
• gR (Zg Zˆ3 Z3 − 1)fabc cR,a (−∂ µ )(AcR,µ cR,b )
46
Z4A = Zg2 Z32
(8.9)
1/2
ZCCA = Zg Zˆ3 Z3
− gR (ZCCA − 1)fabc pµ ,
(8.10)
Usiamo quindi questi nuovi vertici per fare teoria delle perturbazioni.
8.1
Regolarizzazione
Abbiamo visto che integrali del tipo
Z
1
d4 k
4
2
(2π) k + a2
divergono nella regione ultravioletta e che la divergenza poteva essere eliminata imponendo un cutoff
UV, cio`e
Z
d4 k
1
∼ O(Λ2 )
4
2
2
|k|=Λ (2π) k + a
La regolarizzazione tramite cutoff UV `e quella pi`
u intuitiva, per`o l’inserimento del cutoff ha come controindicazione la perdita sia dell’invarianza di Lorentz che di gauge.
Allora la regolarizzazione viene fatta seguendo un altro schema, proposto da ’t Hooft.
Regolarizzazione dimensionale.
Se consideriamo l’integrale sopra in D dimensioni,
Z
1
dD k
(2π)D k 2 + a2
questo pu`
o essere resto convergente per un opportuno numero D di dimensioni. L’idea `e quindi di
regolarizzare cambiando il numerod in dimensioni dello spazio-tempo:
g µν = (+, −, −, −)
−→
g µν = (+, −, . . . , −)
| {z }
D−1
pµ = (p0 , p1 , p2 , p3 ) −→
δµµ = gµν g µν = 4
−→
R d4 k
[·
·
·
]
−→
(2π)4
pµ = (p0 , p1 , . . . , pD−1 )
δµµ = gµν g µν = D
R dD k
[· · · ]
(2π)D
L’invarianza per traslazioni `e preservata se l’integrale converge:
Z
Z
dD k
dD k
f
(k
+
a)
=
f (k)
(2π)D
(2π)D
∀a
e in generale tutte le simmetrie dello spazio tempo 3+1 sono preservate:
Z
dD k µ
k f (k 2 ) = 0
(2π)D
Z
Z
dD k µ ν
1 µν
dD k 2
2
k
k
f
(k
)
=
g
k f (k 2 )
(2π)D
D
(2π)D
47
(8.11)
(8.12)
Una volta regolarizzata la teoria, dovremo tornare indietro a D = 4 tramite la continuazione analitica
degli integrali, in quanto per D → 4 le funzioni avranno dei poli del tipo 1/, con = (4 − D)/2.
Tecniche fondamentali.
1. Parametrizzazione di Feynman. Se A, B sono due propagatori, valgono le seguenti identit`a:
Z 1
1
dx
(8.13)
=
2
AB
0 [xA + (1 − x)B]
Z 1
1−x
1
=
dx
(8.14)
2
3
AB
0 [xA + (1 − x)B]
2. Rotazione di Wick. Invece di integrare sull’asse reale (per le componenti temporali), integriamo
D
D
sull’asse immaginario, cio`e k 0 → ikE
, con kE
∈ R (il suffisso E indica ”euclideo”). L’elemento di
D
D
volume d k diventa id kE e
D−1 D
D
1
2
)
kE = (kE
, kE
, . . . , kE
, kE ) = (k 1 , . . . , k D−1 , kE
{z
}
|
kE =k
D 2
2
2
con k 2 = (k 0 )2 − k2 → −(k2E + (kE
) ) = −kE
, dove kE
indica il quadrato con metrica euclidea.
3. Coordinate sferiche euclidee D-dimensionali. Scriviamo
dD kE = |kE |D−1 d|kE |dΩD
dove dΩD denota l’elemento di angolo solido in D dimensioni, avente integrale
Z +∞
Z
2π D/2
,
Γ(p) ≡
dΩD =
e−x xp−1 dx
Γ(D/2)
0
Esempio 15.
dD kE
1
Γ(1 − D/2)
=
D
2
(2π) |kE | + L
(4π)D/2 L1−D/2
Z D
1
Γ(a − D/2)
d kE
,
=
D
2
a
(2π) (|kE | + L)
(4π)D/2 Γ(a)La−D/2
Z
∀a ∈ C, < a > 0
4. Poli per D → 4.
(a) Per → 0+ ,
1
− γ + O()
con γ ≈ 0.577 costante di Eulero-Mascheroni.
Γ() '
(b) Per z → −n, n ∈ N,
Γ(z) '
(−1)n 1
n! z + n
(8.15)
(8.16)
Note.
1. Matrici γ in D dimensioni.
Le matrici γ in D dimensioni soddisfano la stessa algebra di Clifford e hanno la stessa normalizzazione del caso quadridimensionale,

µ
ν
µν

{γ , γ } = 2g
(8.17)


µ ν
µν
tr[γ γ ] = 4g
48
e valgono anche le relazioni γ µ γµ = D, γµ γ ν γ µ = (2 − D)γ ν .
Ci sono tuttavia problemi nella definizione di γ 5 . Se γ 5 ≡ iγ 0 · · · γ D−1 , con D dispari, risulta
γ 5 ∝ 1 e commuterebbe con le altre matrici γ, anzich´e anticommutare. Si introduce allora ”a
mano” una γ 5 tale che {γ 5 , γ µ } = 0.
2. Dimensioni delle quantit`
a fisiche.
In QCD, la costante di accoppiamento g `e adimensionale per D = 4. In dimensione D arbitraria,
g → gˆ, con dim[ˆ
g ] = (4 − D)/2 ≡ (dimensione in massa). Infatti,
in unit`a naturali ~ = 1, l’azioe
R
S `e adimensionale (ha le stesse dimensioni di ~). Essendo S = dD x L ed essendo le dimensioni in
massa dell’elemento di volume dim[dD x] = −D, segue che dim[L] = D. Di conseguenza si hanno
per i campi
dim[A] = dim[c] =
dim[ψ] =
D−2
2
D−1
2
Per ricavare quindi le dimensioni di gˆ basta considerare un vertice, per esempio L1F ∼ gˆψAψ, da
cui
D−1
4−D
D−2
+2
=⇒
dim[ˆ
g] =
=
dim[L1F ] = D = dim[ˆ
g] +
2
2
2
La costante di accoppiamento rinormalizzata ha le stesse dimensioni di g in D dimensioni,
dim[ˆ
gR ] =
4−D
=
2
(8.18)
Per D → 4, gˆR → gR , allora possiamo scrivere
gˆR = gR µ
(8.19)
dove µ `e una scala di massa arbitraria (detta scala di rinormalizzazione).
Esempio 16.
2
gˆR
g 2 µ2
g2
g2 = R 2− = R 2 (4πµ2 ) ' R2 1 + ln(4πµ2 ) + O(2 )
D/2
(4π)
(4π)
4π
(4π)
Notiamo che la presenza del termine in compensa il polo della funzione Γ in 1/.
8.2
Rinormalizzazione della QCD a 1 loop nello schema ”Minimal Subtraction”
Definizione 8.1.
Un diagramma proprio (o one-particle irreducible, 1PI) `e un diagramma di Feynman troncato (senza
propagatori esterni), connesso e irriducibile (i.e. se si taglia un propagatore interno non `e possibile
separare il diagramma in due diagrammi distinti).
I diagrammi 1PI costituiscono un sottoinsieme fondamentale dei diagrammi di Feynman, con cui `e
possibile ottenere tutti gli altri, quindi possiamo ridurci a studiare questo tipo di diagrammi. Le funzioni
proprie che presentano divergenze in QCD sono di sette tipi e sono quelli aventi come gambe esterne
quelle dei vertici di interazione.
49
1. Self-energy del gluone.
k
k
=
+
+
+
+
aµ
bν
Dove il ”blob” del diagramma a sinistra indica l’insieme di tutti i diagrammi 1PI che contribuiscono.
La funzione propria Πab
e data da
R,µν (k) dei diagrammi 1PI a due linee gluoniche esterne `
2
2
iΠab
R,µν (k) = δab (kµ kν − k gµν )ΠR (k )
2
4
1
13
1
gR
2
ΠR (k ) =
TR Nf − CG
− αR
+ (Z3 − 1) + termini finiti
2
(4π) 3
2
3
(8.20)
(8.21)
in cui TR `e l’indice di Dynkin, Nf `e il numero di flavor e CG `e il valore del Casimir quadratico
nella rappresentazione aggiunta. Il propagatore esatto del gluone `e dato invece da
δab gµν − kµ kν /k 2
−i 2
+ αR kµ kν
(8.22)
k
1 + ΠR (k 2 )
In cui notiamo che il contributo di self-energy `e solo sulla parte trasversale. Questo giustifica a
posteriori il fatto di non aver inserito un controtermine nella Lagrangiana per la parte longitudinale.
Lo schema di ”minimal subtraction” consiste nello scegliere Z3 in modo tale da eliminare il termine
in 1/ che da origine al polo:
2
gR
4
1
13
1
(MS)
4
TR Nf − CG
− αR
+ O(gR
)
(8.23)
Z3
=1−
(4π)2 3
2
3
2. Self-energy del ghost.
=
+
k
da cui, eseguendo la sottrazione minimale,
g2
(MS)
Zˆ3
= 1 + R 2 CG
(4π)
50
3 − αR
4
1
4
+ O(gR
)
(8.24)
3. Self-energy del quark.
p
=
+
da cui si ottiene
(MS)
Z2
(MS)
Zm
2
1
gR
4
CF αR + O(gR
)
(4π)2
1
g2
4
= 1 − R 2 3CF + O(gR
)
(4π)
=1−
(8.25)
(8.26)
4. Vertice a tre gluoni
=
+
+
+
+
con
(MS)
Z3A
=1−
2
17 3αR
4
1
gR
4
C
−
+
+
T
N
+ O(gR
)
G
R
f
2
(4π)
2
4
3
51
(8.27)
5. Vertice CCA
=
+
+
con
(MS)
ZCCA = 1 −
2
αR 1
gR
4
CG
+ O(gR
)
2
(4π)
2 (8.28)
6. Vertice quark-quark-gluone.
=
+
+
con
(MS)
Z1F
g2
= 1− R2
(4π)
3 + αR
CG + αR CF
4
1
4
+ O(gR
)
(8.29)
7. Vertice a quattro gluoni
(MS)
Z4A
g2
= 1− R2
(4π)
2
4
1
4
− + αR CG + TR NF
+ O(gR
)
3
3
52
(8.30)
Adesso notiamo che
1/2
Z1F = Zg Z2 Z3
3/2
Z3A = Zg Z3
3/2
Z4A = Zg2 Z3
∼
1/2
ZCCA = Zg Z 3 Z3
da queste si ottiene una sola costante di rinormalizzazione per la costante di accoppiamento g tramite
l’identit`
a di Slavnov-Taylor
2
Z1F
3 + αR 1
ZCCA
Z4A
gR
Z3A
1/2
4
=
C
= ∼
=
≡ Zg Z3 = 1 −
+ O(gR
)
(8.31)
2 G
Z3
Z
Z
(4π)
4
2
3A
Z3
da cui segue
ZG = 1 −
2
1
gR
1
4
(11CG − 4TR NF ) + O(gR
)
(4π)2 6
(8.32)
che `e l’espressione a 1 loop per la costante di rinormalizzazione di g. Possiamo studiare la dipendenza
di gR dalla scala di massa arbitratia µ:
∼
g = gµ0
∼
= Zg g R = Zg gR µ
da cui
gR (µ) =
µ0
µ
Zg−1 g
(8.33)
Introduciamo a questo punto la funzione beta di Gell-Mann e Low :
β≡µ
dgR (µ)
dµ
(8.34)
Usando l’espressione (8.33) per gR :
β = −gR −
µ dZg
gR
Zg dµ
in quanto Zg dipende da gR e quindi da µ. In questo particolare schema, µ non compare esplicitamente
in Zg , quindi
gR dZg
µ dZg dgR
gR = −gR −
β
β = −gR −
Zg dgR dµ
Zg dgR
da cui
β=−
gR
gR dZg
1+
Zg dgR
(8.35)
In generale si avrebbe β ≡ β(gR , αR , mR /µ) = µdgR /dµ e quindi per integrare dovremmo conoscere le
altre dipendenze
dmR
= −mR γm (gR , αR , mR /µ),
dµ
dαR
µ
= −2αR γG (gR , αR , mR /µ),
dµ
µ
53
µ dZm
Zm dµ
µ dZ3
γG ≡
2Z3 dµ
γm ≡
(8.36)
Nello schema MS, tuttavia, β non dipende n´e da αR n´e da mR (a tutti gli ordini), quindi possiamo
integrare semplicemente la prima relazione, trovando
gR
2
1
gR
1
4)
1−
(11CG − 4TR Nf ) + O(gR
2
(4π) 3
g2
11CG − 4TR Nf 1
4
= −gR 1 + R 2
+ O(gR
)
(4π)
3
11CG − 4TR Nf
1
3
5
=−
gR
+ O(gR
, )
(4π)2
3
β(gR ) = −
3
5
≡ −β0 gR
+ O(gR
, )
dove
β0 =
1
(4π)2
11Nc − 2Nf
3
(8.37)
per la QCD, β0 > 0 (il segno `e strettamente legato alla libert`a asintotica).
8.3
A 2 loop
A due loop si trova per la funzione β l’espressione
3
5
7
9
β = −β0 gR
− β1 gR
− β2 gR
− β3 gR
+ ···
con
34 2
5
34 2
13
1
1
1
C −4
CG + CF TR Nf =
N −
Nc −
β1 =
Nf
(4π)4 3 G
3
(4π)4 3 c
3
Nc
(8.38)
Teorema 4. β0 e β1 non dipendono dal particolare schema di rinormalizzazione.
Esempio 17. Schema MS
Γ() '
1
− γ + O()
∼2
gR
(4π)D/2
=
( → 0)
2
gR
1 + ln(4πµ2 ) + O(2 )
2
(4π)
∼
( g R = gR µ )
Adesso, anzich´e togliere semplicemente il polo 1/ (schema MS), si toglie 1/ − γ + ln(4π), cio`e
1
2
4
Zg(MS) (µ) = 1 − AgMS
(µ) + O(gMS
)
1
2
4
(µ)
)
Zg(MS) (µ) = 1 − AgMS
− γ + ln(4π) + O(gMS
1 11Nc − 2Nf
A=
(4π)2
6
(MS)
(MS)
e cos`ı via per tutte le altre costanti di rinormalizzazione. Zg
e Zg
zazione finita.
µ0
Zg(MS) (µ)−1 g
gMS (µ) =
µ
µ0
gMS (µ) =
Zg(MS) (µ)−1 g
µ
sono legate da una rinormaliz-
quindi
(MS)
gMS (µ) =
Zg
(µ)
gMS (µ)
(MS)
Zg
(µ)
54
∼
≡Z g (µ)gMS (µ)
(8.39)
∼
dove Z g (µ) `e la rinormalizzazione ”finita”, data da
1
2
4
1 − AgMS
− γ + ln(4π) + O(gMS
)
∼
Z g (µ) =
2 1 + O(g 4 )
1 − AgMS
MS
1
1
2
4
)
' 1 − AgMS
− γ + ln(4π) −
+ O(gMS
2
4
= 1 + AgMS
(γ − ln(4π)) + O(gMS
)
∼
∼
2
4
+ O(gMS
),
≡ 1+ Z 0 gMS
Z 0 = A(γ − ln(4π))
cio`e
h
i
∼
∼
2
4
gMS (µ) = gMS (µ) 1+ Z 0 gMS
+ Z 1 gMS
+ ···
(8.40)
0
In generale, la relazione tra due schemi di rinormalizzazione generici gR , gR
alla stessa scala di massa
µ `e data da
∼
∼
∼
0
02
04
0
gR =Z g gR
= 1+ Z 0 gR
+ Z 1 gR
+ · · · gR
(8.41)
Nota la funzione beta del primo schema
β=µ
dgR
3
5
7
= −β0 gR
− β1 gR
− β2 gR
+ ···
dµ
β0 = µ
0
dgR
03
05
07
= −β00 gR
− β10 gR
− β20 gR
+ ···
dµ
si pu`
o calcolare
e dimostrare che β0 = β00 ,β1 = β10 e β2 6= β20 , fintanto che µ mR .
8.4
Funzione β a 1 loop
β=µ
dgR (µ)
3
= −β0 gR
(µ) + · · · ,
dµ
1
(4π)2
β0 =
11Nc − 2Nf
3
(8.42)
Abbiamo visto che per la QCD β0 > 0. Notiamo che al crescere di µ, gR diminuisce verso 0, detto punto
fisso ultravioletto. Risolviamo l’equazione differenziale per gR (µ):
β(gR ) = µ
Z
dgR (µ)
3
= −β0 gR
(µ)
dµ
µ2
=⇒
µ1
dµ
=
µ
Z
gR (µ2 )
gR (µ1 )
dgR
β(gR )
(8.43)
troviamo l’equazione di Gell-Mann e Low :
(Z
gR (µ2 )
µ2 = µ1 exp
gR (µ1 )
dgR
β(gR )
)
(8.44)
A 1 loop
µ2 = µ1 exp
1
1
1
−
2 (µ )
2 (µ )
2β0 gR
gR
2
1
da cui, per ogni µ1 , µ2 arbitrari si ha
1
1
1
1
µ2 exp −
= µ1 exp −
2 (µ )
2 (µ )
2β0 gR
2β0 gR
2
1
(8.45)
cio`e
2
µe−1/2β0 gR (µ) = cost = ΛQCD
55
(8.46)
ΛQCD `e la scala di massa della QCD, indipendente da µ. Possiamo quindi riscrivere
1
2
gR
(µ) =
β0 ln
µ2
(8.47)
!
Λ2QCD
Distinguiamo due casi
1. β0 > 0 (e.g. QCD). Il regime di validit`a `e µ > ΛQCD e si hanno i fenomeni della libert`
a asintotica,
ossia gR → 0 per µ → ∞ (giustifica a posteriori l’aver troncato lo sviluppo di β al primo ordine)
e della schiavit`
u infrarossa, ossia gR aumenta per µ → 0 (anche se in questa zona i risultati non
sono affidabili).
−1
2
, ΛL scala di Landau. Il regime di validit`a `e µ < ΛL
2. β0 < 0 (e.q. QED), gR
(µ) = β0 ln(µ2 /Λ2L )
e abbiamo il comportamento opposto.
Riprendiamo adesso in considerazione il processo e+ e− −→ adroni. Avevamo visto che, trascurando le
interazioni forti, per s → ∞
X
σ(e+ e− −→ adroni)
'
N
R≡
Q2f
(8.48)
c
σ(e+ e− → µ+ µ−
f
2
gR
Se adesso consideriamo le interazioni forti, al termine leading
si trova la correzione
X
αS (µ)
3
2
R = Nc
Qf 1 + CF
+ ···
4
π
(8.49)
f
2
(µ)/4π. In generale
con αS (µ) = gR
R≡R
#
"
2
X
s
s
3
αS (µ)
αS (µ)
2
+A
+ ···
, gR (µ) = Nc
Qf 1 + CF
µ2
4
π
µ2
π
(8.50)
f
Se f `e una certa quantit`
a fisica (ad esempio il rapporto R), in due schemi di rinormalizzazione si ha
2
4
f = f0 + f1 gR
+ f2 gR
+ ···
02
04
= f00 + f10 gR
+ f20 gR
+ ···
Le due serie complete sono uguali, e in pi`
u si pu`o dimostrare che f00 = f0 , f10 = f1 , f20 6= f2 .
Deve essere inoltre µdR/dµ = 0, che ci fornisce indicazioni sul tipo di dipendenza A ≡ A(s/µ2 ). Quello
che si trova `e
s
s
A
=
a
+
b
ln
(8.51)
µ2
µ2
√
con a dipendente dallo schema e b indipendente dallo schema. Se scegliamo µ = s allora
√
• gR (µ = s) → 0 per s → ∞, in virt`
u della libert`a asintotica.
• ln(s/µ2 ) = 0, non abbiamo cio`e divergenze per s → ∞.
Otteniamo pertanto uno sviluppo perturbativo ”migliorato”:


√ √ 2
X
√
3
s
αS ( s)
αS ( s)
Q2f 1 + CF
R
, gR (µ) = R(1, gR ( s)) = Nc
+ A(1)
+ · · ·  (8.52)
| {z }
µ2
4
π
π
f
a
con
√
√
g 2 ( s)
=
αS ( s) = R
4π
1
4πβ0 ln
s
”Running coupling constant”
!
Λ2QCD
56
(8.53)
9
Formulazione euclidea di una teoria di campo
∼
Avevamo visto che per aggirare i poli nei calcoli dei propagatori bisognava effettuare la rotazione x0 =
∼
x0 e−i per la coordinata temporale, a cui corrispondeva la rotazione k 0 = k0 ei per la coordinata zero
del quadri-impulso. Prendiamo adesso = π/2, cio`e eseguiamo la rotazione di Wick, allora
∼
∼0 ∼
∼
∼0
∼0
x = (x0 , x) −→x= (x , x) ≡ (x ≡ −ixE4 , xE )
k = (k 0 , k) −→ k = ( k ≡ ikE4 , −kE )
Applichiamo la rotazione di Wick al caso di una teoria scalare neutra:
1
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2
2
2
Z
4
i
d k
G2 (x, y) = h0|T {ϕ(x)ϕ(y)}|0i =
e−ik(x−y)
(2π)4 k 2 − m2 + i
LM =
∼ ∼
Passando quindi all’euclideo, ottieniamo la funzione di Schwinger a due punti, S2 (xE , yE ) = G2 (x, y ).
Per scriverla, notiamo che
0 2 2
∼
∼
2
2
− k2E = −kE
− k = −kE4
k
∼
∼
∼
k ·(x − y ) = kE · (xE − yE )
dove il prodotto scalare tra due quadrivettori aventi il suffisso E `e il prodotto scalare euclideo. Si ha
quindi
Z 4
d kE
1
S2 (xE , yE ) =
eikE ·(xE −yE )
(9.1)
2
4
(2π) kE + m2
La funzione di Schwinger a due punti pu`
o essere ottenuta come risultato del prolungamento analitico
nell’euclideo dell’integrale funzionale:
n R ∼0
o
R
∼
∼
∼0
4x
y
x)ϕ(
x
[dϕ]ϕ(
)
exp
i
d
L
(
)
M
∼ ∼
n R ∼0
o
G2 (x, y ) =
R
∼0
[dϕ] exp i d4 x LM (x )
∼
Definiamo ϕ(x) ≡ ϕE (xE ), dunque
Z
Z
1 2 2 ∼
∼
∼ µ
∼
4∼
4∼ 1
xL
x)
x
x)∂
x)
x)
iSM = i d
=i d
∂µ ϕ(
ϕ( − m ϕ (
M(
2
2
Z
1
1
1 2 2
4
= d xE − ∂E,4 ϕE (xE )∂E,4 ϕE (xE ) − ∂E,i ϕE (xE )∂E,i ϕE (xE ) − m ϕE (xE )
2
2
2
Z
1
1
= − d4 xE
∂E,µ ϕE (xE )∂E,µ ϕE (xE ) + m2 ϕ2E (xE )
2
2
|
{z
}
≡LE (xE )
Z
=−
d4 xE LE (xE ) = −SE
cio`e
∼ ∼
G2 (x, y ) =
R
[dϕE ]ϕE (xE )ϕE (yE )e−SE
R
[dϕE ]e−SE
(9.2)
Notiamo che nell’euclideo la convergenza della funzione a due punti `e migliore (le configurazioni con SE
grande sono esponenzialmente soppresse). Altre osservazioni importanti sono:
• LE (xE ) ha la stessa struttura dell’Hamiltoniana minkowskiana.
• e−SE assomiglia al fattore di Boltzmann.
Il gruppo di simmetria di LE `e O(4) (che ha rimpiazzato l’invarianza di Lorentz SO(3, 1)).
57
9.1
Formulazione euclidea della QCD
Partiamo dalla Lagrangiana minkowskiana
1
/ − m)ψ
LM = − tr[Fµν F µν ] + ψ(iD
2
(9.3)
∼
Come definiamo AE,µ (xE )? Aµ deve ”trasformare” (per x →x) come ∂µ . Dato che ∂µ = (∂0 , ∇) −→
(i∂E,4 , ∇E ), allora
∼
A0 (x) ≡ iAE,4 (xE )
∼
∼
Ai (x) ≡ −AE,i (xE )
A0 (x) ≡ iAE,4 (xE )
∼
Ai (x) ≡ AE,i (xE )
Componenti di Fµν
∼
∼
F0i (x) = (∂0 Ai − ∂i A0 + ig[A0 , Ai ])(x)
= i(∂E,4 AE,i − ∂E,i AE,4 + ig[AE,4 , AE,j ])(xE )
≡ iFE,4i (xE )
∼
∼
Fij (x) = (∂i Aj − ∂j Ai + ig[Ai , Aj ])(x)
= (∂E,i AE,j − ∂E,j AE,i + ig[AE,i , AE,j ])(xE )
≡ FE,ij (xE )
Di conseguenza
∼
∼
∼
∼
Fµν (x)F µν (x) = 2F0i F 0i (x) + Fij F ij (x)
∼
∼
= −2[F0i (x)]2 + [Fij (x)]2
= 2(FE,4i (xE ))2 + (FE,ij (xE ))2 ≡ FE,µν FE,µν (xE )
dove la contrazione `e effettuata con la metrica euclidea δµν . Otteniamo in conclusione la Lagrangiana di
Yang-Mills euclidea:
1
G ∼
(9.4)
LG
E (xE ) = −LM ( x) = tr[FE,µν FE,µν ]
2
Per i fermioni
∼
∼
∼
F
µ
LF
E (xE ) = −LM ( x) = −ψ( x)(iγ Dµ − m)ψ( x)
= −ψ E (xE )(iγ 0 iDE,4 + iγ i DE,i − m)ψE (xE )
= ψ E (xE )(γ 0 DE,4 − iγ i DE,i − m)ψE (xE )
Introduciamo quindi delle matrici γ euclidee
γE,4 ≡ γ 0 ,
γE,i ≡ −iγ i
(9.5)
L’algebra di Clifford diventa quindi {γE,µ , γE,ν } = 2δµν . Le matrici γE sono tutte hermitiane. Con
queste possiamo scrivere
LF
(9.6)
E = ψ E (xE )(γE,µ Dµ + m)ψE (xE )
Riassumendo
QCD
SE
=
Z
d4 xE
1
tr[FE,µν FE,µν ](xE ) + ψ E (xE )(γE,µ DE,µ + m)ψE (xE )
2
58
(9.7)
9.2
Funzione di partizione statistica Z(β)
ˆ
ˆ `e l’Hamiltoniana del sistema
La funzione di partizione statistica `e definita come Z(β) = tr[e−β H ], dove H
e β = 1/kT . Possiamo ottenere la Z da una teoria di campo euclidea. Partiamo da
0
0
ˆ f −ti )
−iH(t
hq ; tf |q; ti i = hq |e
Z
q(x,tf )=q 0 (x)
|qi = N
Z
[dq] exp i
q(x,ti )=q(x)
tf
dx
0
Z
3
d xLM
(9.8)
ti
ed eseguiamo in primo luogo la rotazione di Wick:
x0 −→ −ix4
ti −→ −itE,i
tf −→ −itE,f
ˆ
ˆ
da cui e−iH(tf −ti ) −→ e−H(tE,f −tE,i ) . Scegliamo adesso tE,i = 0, tE,f = β e consideriamo la traccia
( Z
)
Z
Z
β
X
ˆ
−β H
3
hq|e
|qi = Z(β) = N
[dqE ] exp −
dxE,4 d xE LE (xE )
q
qE (xE ,0)=qE (xE ,β)
0
dove abbiamo messo condizioni al contorno periodiche per i campi (valgono per campi bosonici). Per
campi fermionici, le condizioni al contorno sono antiperiodiche.
59
10
Formulazione su reticolo
10.1
Formulazione euclidea
Sostituiamo lo spazio-tempo euclideo con un reticolo ipercubico di passo a, quindi xE,µ = anµ , nµ ∈ Z.
La formulazione su reticolo `e una regolarizzazione non perturbativa. Il passo a rappresenta una distanza
minima, che equivale ad un cutoff ultravioletto negli impulsi ΛUV ∼ 1/a. In trasformata di Fourier,
k ∈ [−π/a, π/a] (zona di Brillouin). Alla fine del procedimento, si ritorner`a al continuo mediante il
limite a → 0.
L’introduzione del reticolo rompe l’invarianza O(4), per`o si pu`o fare in modo di preservare l’invarianza di
gauge usando come variabili i trasporti paralleli tra due siti vicini dei campi di gauge, anzich´e i campi di
gauge stessi. Siano i, j due siti primi vicini, con j = i + (a)ˆ
µ, allora indichiamo la variabile connessione
o link con
Uj←i = exp[−igAE,µ (i)a]
(10.1)
Nota. Il trasporto parallelo euclideo `e uguale in forma a quello minkowskiano (si vede eseguendo la
rotazione di Wick).
0
Sotto trasformazione di gauge Gi ∈ SU (3), Uj←i −→ Uj←i
= Gj Uj←i G†i . L’idea di Wilson `e stata di
scrivere il trasporto parallelo su un percorso chiuso formato da un ipercubo di un solo passo reticolare detto placchetta - per arrivare (in analogia al caso continuo) Fµν .
Azione di Wilson.
Consideriamo una placchetta avente come vertici i siti i, j, k, l, con
j = i + (a)ˆ
µ
k = i + (a)ˆ
µ + (a)ˆ
ν
l = i + (a)ˆ
ν
Allora
SW =
X
Spl
placchette
con
1
†
tr Upl + Upl
Spl = β 1 −
2Nc
(10.2)
Upl = Ui←l Ul←k Uk←j Uj←i
(10.3)
dove
Verifichiamo che nel limite del continuo ritroviamo la Lagrangiana di Yang-Mills:
h
i
(L)
Upl(µ,ν) = exp −iga2 FE,µν
(L)
con FE,µν = FE,µν + O(a) (L = lattice) e FE,µν = ∂E,µ AE,ν − ∂E,ν AE,µ + ig[AE,µ , AE,ν ]. Quindi, per
una trasformazione infinitesima
Upl(µ,ν) ' 1 − iga2 FE,µν
†
Upl(µν)
' 1 + iga2 FE,µν
e di conseguenza
1
1
†
tr[Upl + Upl
]=
tr[2 − g 2 a4 FE,µν FE,µν + O(a5 )]
2Nc
2Nc
g 2 a4 a
=1−
F
F a + O(a5 )
4Nc E,µν E,µν
(10.4)
L’azione per una placchetta sar`
a quindi
Spl(µ,ν) = β
g 2 a4 a
F
F a + O(a5 )
4Nc E,µν E,µν
60
(10.5)
Sommiamo adesso su tutte le placchette
SW =
XX
i
Spl(µ,ν) = β
µ<ν
g 2 a4 X 1 X a
F
F a + O(a5 )
4Nc i 2 µ,ν E,µν E,µν
2
=
per a → 0,
P
i
a4 →
R
βg X 4 a
a
a FE,µν FE,µν
8Nc i
d4 xE , quindi
=
βg 2
8Nc
Z
a
a
d4 xE FE,µν
FE,µν
(xE )
Se adesso scegliamo β = 2Nc /g 2 , l’azione di Wilson rappresenta in effetti una versione discretizzata
dell’azione di Yang-Mills.
Possiamo scrivere la versione discretizzata della funzione di partizione:
Z
Y
Z = [dU ]e−SW [U ] ,
[dU ] ≡
dUj←i
i,j
con dUj←i misura invariante di Haar, data da, nel limite a → 0,
Y
dUj←i ' const ×
dAaE,µ
a
Il valore di aspettazione di una generica osservabile sar`a
R
[dU ] O(U )e−SW [U ]
R
hO[U ]i =
[dU ] e−SW [U ]
Il volume spaziale di una placchetta risulta essere V = Ns a3 , dove Ns `e il numero di siti nelle direzioni
spaziali, mentre il volume temporale di una placchetta `e TE = Nτ a, con Nτ numero di siti nella direzione
temporale. Il quadrivolume di una placchetta sar`a quindi V4 = V TE = Ns Nτ a4 . Considerando reticoli
asimmetrici in cui Nτ Ns , nei limiti V → ∞, Ns → ∞, a → 0, Nτ → ∞ con Nτ a = cost 1/kT
otteniamo la funzione di partizione termica.
10.2
Limite continuo
La costante di accoppiamento `e funzione del cutoff, g ≡ g(a), ma come vi dipende? Consideriamo gR in
uno schema di rinormalizzazione compatibile con il reticolo.
a→0
gR (g(a), aµ) −→ gR (µ)
=⇒
g = Zg gR ⇔ gR = Zg−1 g
con gR (µ) = g + Ag 3 + O(g 5 ) = g[1 + Ag 2 + O(g 4 )]. Per a → 0
dgR
∂ gR dg
∂ gR d(aµ)
0=a
=a
+
a
da
∂g aµ da
∂(aµ) g da
∂ gR ∂ gR dg
=−
−a
+ (aµ)
∂g da
∂(aµ) aµ
g
Il termine nella prima parentesi rappresenta la funzione beta di reticolo, βLAT , allora
∂ gR dgR ∂ gR 0=−
β
+
µ
≡
−
βLAT + β
LAT
∂g aµ
dµ g
∂g aµ
da cui
βLAT ≡ −a
dgR
β
=
∂gR da
∂g aµ
61
(10.6)
Dal risultato perturbativo sapevamo che
∂ gR = 1 + 3Ag 2 + O(g 4 ),
∂g aµ
dgR 3
5
β(gR ) = µ
= −β0 gR
− β1 gR
+ ···
dµ g
Allora
3
5
−β0 gR
− β1 gR
+ ···
1 + 3Ag 2 + · · ·
= −β0 g 3 (1 + Ag 2 + · · · )3 − β1 g 5 (1 + Ag 2 + · · · )5 (1 − 3Ag 2 + · · · )
βLAT (g) =
= −β0 g 3 − (β1 + 3Aβ0 − 3Aβ0 )g 5
= −β0 g 3 − β1 g 5
(10.7)
Osserviamo che i coefficienti β0 , β1 sono sempre gli stessi, anche per il reticolo. Da questo fatto possiamo
ricavare, procedendo per analogia con il caso della β(gR ), la dipendenza g(a):
µ
dgR (µ)
3
= β(gR ) = −β0 gR
(µ) + · · ·
dµ
=⇒
1
gR (µ) =
β0 ln
µ2
!
Λ2QCD
2
con la condizione µ ΛQCD = µ exp[−1/(2β0 gR
(µ)]. Traduciamo quindi al caso reticolare,
−a
dg(a)
= βLAT (g) = −β0 g 3 + · · ·
da
Le espressioni sono uguali in forma, a patto di identificare µ → 1/a, gR (µ) → g(a). Con questa
identificazione, abbiamo quindi
1
1
1
g(a) =
,
ΛLAT = exp −
(10.8)
1
a
2β0 g 2 (a)
β0 ln
a2 Λ2LAT
con la condizione a Λ−1
LAT , parametro di scala del reticolo. Nel limite continuo a → 0 deve essere
g(a) → 0.
Assumiamo adesso una misura su reticolo di un’osservabile Θ(g(a), a). Per a → 0, Θ(g(a), a) → Θfisico .
Sia dθ la dimensione in massa di Θ, allora
dθ
1
ˆ L (g(a))
Θ(g(a), a) =
Θ
a
(10.9)
ˆ L adimensionale (stiamo qui assumendo che non vi siano altre scale di massa, i.e. quarks a massa
con Θ
nulla). Invertendo la relazione, troviamo la relazione si scaling asintotico:
dθ
Θfisico
1
a→0 dθ
dθ
ˆ
ΘL (g(a)) = a Θ(g(a), a) −→ a Θfisico ' dθ
exp −
2β0 g 2 (a)
ΛLAT
ΛLAT pu`
o essere determinata fissando un’altra osservabile, dopodich´e rimane sempre la stessa.
62
(10.10)
11
Potenziale qq e qq nel limite statico
11.1
Approccio perturbativo
Per determinare il potenziale qq o qq nel limite statico in maniera perturbativa, si procede per analogia
con il caso della QED. Consideriamo due quarks di flavor arbitrario aventi numeri quantici di colore
α1 , α2 nello stato iniziale e α10 , α20 nello stato finale. Distinguiamo quattro casi
1. Stato simmetrico di colore. Possiamo avere α1 = α2 = α10 = α20 = A che porta nello stato iniziale
un fattore δα1 A δα2 A e nello stato finale δα01 A δα02 A , oppure uno stato simmetrico del tipo
1 (1) (2)
(1) (2)
(1) (2)
|(qA qB )sim i = √ |qA qB i + |qB qA i
2
√
con A 6= B che porta un fattore (δα1 A δα2 B + δα1 B δα2 A )/ 2 nello stato iniziale e (δα01 A δα02 B +
√
δα01 B δα02 A )/ 2 nello stato finale. In questo caso si trova
1 g2
3 4πr
(sim)
Vqq
=
(11.1)
2. Stato antisimmetrico di colore. In questo caso
1 (1) (2)
(1) (2)
(1) (2)
| qA qB
i = √ |qA qB i − |qB qA i
anti
2
e si ha
(anti)
Vqq
=−
2 g2
3 4πr
(11.2)
3. qq in singoletto.
3
1 X
|(qq)1 i = √
|qA q A i
3 A=1
e
(1)
Vqq = −
4 g2
3 4πr
(11.3)
4. qq nell’ottetto (i.e. basta prenderli con colori diversi), |(qq)8 i = |qA q B i, con
(8)
Vqq =
11.2
1 g2
6 4πr
(11.4)
Approccio non perturbativo
Consideriamo il caso di qq in singoletto di colore nel limite statico Mq → ∞. Definiamo un operatore
ˆ tale che O(t)|Ωi
ˆ
interpolante O
abbia gli stessi numeri quantici dello stato che vogliamo studiare e
ˆ O
ˆ † (0)|Ωi. Inseriamo un set completo {|ni} di
ci concentriamo sulla funzione di correlazione hΩ|O(t)
autostati di H (con H|Ωi = 0):
X
ˆ O
ˆ † (0)|Ωi =
ˆ
ˆ † (0)|Ωi
hΩ|O(t)
hΩ|O(t)|nihn|
O
n
X
−iHt
ˆ
ˆ † (0)|Ωi
=
hΩ|eiHt O(0)e
|nihn|O
n
=
X
ˆ
ˆ † (0)|Ωi
e−iEn t hΩ|O(0)|nihn|
O
n
Eseguendo adesso la rotazione di Wick t → −itE , otteniamo
X
ˆ
ˆ † (0)|Ωi
e−En tE hΩ|O(0)|nihn|
O
n
63
(11.5)
Per tE → ∞, il contributo dominante sar`
a dato dallo stato con i numeri quantici giusti (altrimenti gli
elementi di matrice sono nulli) ad energia pi`
u bassa. Questo stato per`o potrebbe essere proprio |Ωi. Lo
escludiamo considerando solo la parte connessa:
→∞ −En
ˆ
ˆ † (0)|Ωi
ˆ O
ˆ † (0)|Ωi − hΩ|O(t)|ΩihΩ|
ˆ
ˆ † (0)|Ωi tE−→
nih¯
n|O
hΩ|O(t)
O
e ¯ tE hΩ|O(0)|¯
(11.6)
dove |¯
ni `e lo stato ad energia pi`
u bassa avente elemento di matrice non nullo.
Applichiamo dunque questo discorso al problema del potenziale q q¯: cerchiamo un operatore interpolante
per q q¯ in singoletto di colore. Siano i, j gli indici di colore, α, β indici di Dirac e q ≡ (x, t = 0), q¯ ≡
(y, t = 0), con |x − y| = r, a cui corrisponderanno le funzioni d’onda
(Q)
(Q)
overlinepsiα,i (x, t = 0), ψβ,j (y, t = 0). Il loro prodotto non `e invariante di gauge: per renderlo tale, eseguiamo un trasporto parallelo W ((x, 0) ←− (y, 0))ij cos`ı che ψ (Q) (y, 0) → U (y, 0)ψ (Q) (y, 0) e
(Q)
(Q)
ψ (x, 0) → ψ (x, 0)U † (x, 0), con W → U W U † . Γαβ `e funzione delle matrici γ e saturer`a gli indici
di Dirac (per ora non ci interessa la sua forma esplicita). Allora definiamo
ˆ
ˆ αβ (x, y; 0)Γαβ |Ωi
|φ(x, y; 0)i = O(x,
y; 0)|Ωi = O
e studiamo la funzione di correlazione
ˆ † (x0 , y; t)O(x,
ˆ
G(x0 , y0 ; x, y; t) ≡ hΩ|T {O
y; 0)}|Ωi
0 † 0
= Gα0 β 0 ,αβ Γαβ γ Γ γ β 0 α0
con
(Q)
(Q)
(Q)
(Q)
Gα0 β 0 ,αβ = hΩ|T {ψ β 0 j 0 (y, t)W ((y, t) ← (x, t))j 0 i0 ψα0 i0 ψ αi (x, 0)W ((x, 0) ← (y, 0))ij ψβj (y, 0)}|Ωi
(11.7)
In generale, non si riesce a scrivere l’elemento di matrice in termini di integrale funzionale. Per`o il limite
statico MQ → ∞ ci consente di fare un passo in avanti, ottenendo
MQ →∞
G(x0 , y0 ; x, y; t) −→ δ (3) (x − x0 )δ (3) (y − y0 )C(x, y)e−E(r)tE
(11.8)
con E(r) = 2MQ + V (r). Proviamo adesso a scrivere l’integrale funzionale:
Z
1
(Q)
(Q)
(Q)
Gα0 β 0 ,αβ =
[dA][dψ dψ (Q) ](ψ β 0 j (y, t) · · · ψβj (y, 0))eiSTOT
ZTOT
Z
(Q)
ZTOT = [dA][dψ dψ (Q) ]eiSTOT
STOT = SG + SQ = SG + ψ
(Q)
(iγ µ Dµ − MQ )ψ (Q)
e SG `e l’azione di Yang-Mills. Dato che l’azione fermionica `e bilineare, possiamo svolgere prima l’integrale
fermionico come avevamo fatto per la teoria libera:
Z
1
Gα0 β 0 ,αβ =
[dA] {Sββ 0 (y, y 0 |A)jj 0 Sα0 α (x0 , x|A)i0 i − Sα0 β 0 (x0 , y 0 |A)i0 j 0 Sβα (y, x|A)ji }
ZTOT
× W ((x, 0) ← (y, 0))ij W ((y0 , t) ← (x0 , t))j 0 i0 × det K (Q) [A]eiSG
dove S ≡ K (Q)
−1
e
(Q)
Kiαx,jβy [A] = δ (4) (x − y)[iγ µ (∂µ + igAµ ) − MQ ]αβ,ij
(11.9)
Fin qui `e tutto esatto, per`
o non si riesce ad andare avanti. Adesso usiamo il limite MQ → ∞; in questo
limite la soluzione `e analitica. Nell’equazione che definisce S:
[iγ µ (∂µ + igAµ ) − MQ ] S(z, z 0 |A) = δ (4) (z − z 0 )δDirac δcolore
(11.10)
possiamo trascurare la parte spaziale
0
iγ (∂0 + igA0 ) − MQ S(z, z 0 |A) = δ (4) (z − z 0 )δDirac δcolore
(11.11)
64
1. Risolviamo prima per A0 = 0:
ˆ − x0 ) = δ (4) (x − x0 )
(iγ 0 ∂0 − MQ )S(x
1 − γ0
1 + γ0
−iMQ (x0 −x00 )
0
iMQ (x0 −x00 )
0
(3)
0
0
ˆ
e
+ θ(x0 − x0 )
e
S(x − x ) = −iδ (x − x ) θ(x0 − x0 )
2
2
(11.12)
2. La soluzione generica sar`
a quindi data da
(
"
0
S(x, x |A) = P
Z
#)
x0
exp −ig
dt A0 (x, t)
ˆ − x0 )
S(x
(11.13)
x00
Inseriamo adesso tutto nella funzione di correlazione:
1 + γ0
1 − γ0
t>0,MQ →∞
(3)
0 (3)
0
Gα0 β 0 ,αβ
−→
−δ (x − x )δ (y − y )
e−2iMQ t hWC [A]i
2
2
αα0
ββ 0
R
[dA]WC [A]eiSG [A]
R
hWC [A]i =
[dA]eiSG [A]
Z
µ
WC [A] = tr P exp −ig dz Aµ (z)
C
e C `e il cammino chiuso (x, 0) ← (y, 0) ← (y, t) ← (x, t) ← (x, 0). In conclusione
G(x0 , y0 ; x, y; t) → −δ (3) (x − x0 )δ (3) (y − y0 )tr[P+ ΓP− γ 0 Γ† γ 0 ]e−2iMQ t hWC [A]i
(11.14)
con P± = (1 ± γ0 )/2. Tramite rotazione di Wick t → −iT otteniamo
→ −δ (3) (x − x0 )δ (3) (y − y0 )tr[P+ ΓP− γ 0 Γ† γ 0 ]e−2MQ T hWC [AE ]iE
con
R
hWC [AE ]iE =
(11.15)
[dAE ]WC [AE ]e−SG,E
R
[dAE ]e−SG,E
Nel limite di grandi T , G ∼ exp(−E(r)T ), con E(r) = 2MQ + V (r). Dal confronto concludiamo che
hWC [AE ]iE ≡ W (r, T ) ∼ e−V (r)T per T → ∞. Allora
V (r) = − lim
T →∞
1
ln W (r, T )
T
(11.16)
Criterio di Wilson ”per il confinamento: se V (r) → σr per r → ∞, allora
R,T →∞
W (r, T ) −→ F (r)e−σrT = F (r)e−σ·Area
σ `e detta tensione di stringa, le linee di flusso del campo cromoelettrico si addensano mano a mano che
la distanza aumenta.
Traiettorie di Regge-Chew-Frautschi. Consideriamo il sistema qq come un rotatore rigido di lunghezza d che ruota attorno al centro, con i quarks agli estremi. La stringa ha densit`a lineare di massa
(nel sistema di quiete) σ e il potenziale `e V (r) = 2r/d. Vogliamo scrivere l’energia e il momento angolare
del sistema. Se consideriamo un segmento infinitesimo dr, questo avr`a una massa dm = σdr a riposo.
Se inseriamo il γ relativistico e integriamo otteniamo la relazione
J=
1
M2
2πσ
(11.17)
dove J `e il momento angolare e M `e l’energia totale. In generale, J = α0 + α0 M 2 ed esistono delle
traiettorie massimali su cui si distribuiscono alcuni mesoni. Si trova per α0 il valore α0 ' 0.9 ÷ 1.0 GeV−2
che corrisponde a una tensione di stringa σ ' (0.40 ÷ 0.42 GeV)2 .
65
12
Simmetrie di flavor: SU (2) e SU (3)
Nf =6
LF =
X
/ − mf )ψf
ψ f (iD
(12.1)
i=1
Se le masse sono tutte diverse, abbiamo una simmetria U (1) globale per ogni flavor:
U (1)f : ψf −→ eiαf ψf
(12.2)
Quindi senza conoscenze specifiche possiamo dire che LF ha una simmetria
U (1)u ⊗ U (1)d ⊗ U (1)s ⊗ U (1)c ⊗ U (1)b ⊗ U (1)t
(12.3)
cio`e i flavor si conservano separatamente. Le correnti associate (una per ogni flavor) a questa simmetria
sono
µ
µ
µ
∂µ J(f
(12.4)
J(f
) =0
) = ψ f γ ψf
Ora sia L = {2, 3}, con
(
(L)
L = 2 : u, d
L = 3 : u, d, s
(L)
e LF = LF + · · · . Concentriamoci su LF , cio`e
(L)
/ − M )ψ
LF = ψ(iD
in cui


ψ1
 
ψ =  ... 
ψL
ψ = (ψ 1 , · · · , ψ L )

m1

..
M =
.



mL
(L)
Se M = m1L×L , cio`e m1 = · · · = mL ≡ m, allora LF ha un gruppo di simmetria pi`
u grande del
(L)
semplice U (1)1 ⊗ · · · ⊗ U (1)L , ossia LF `e invariante sotto U (L):


ψ → U ψ
U ∈ U (L)
(12.5)

 †
† †
ψ →ψ U
Ma U (L) = U (1) ⊗ SU (L), dove l’U (1) corrisponde a una rotazione di tutti gli L flavor della stessa fase
e SU (L) `e per L = 2 l’isospin, mentre per L = 3 `e l’SU (3) di Gell-Mann.
Possiamo giustificare la presenza delle simmetrie SU (L) non dal confronto diretto tra le masse dei quarks,
bens`ı dicendo che u, d, s hanno masse ΛQCD , e quindi hanno tutti e tre approssimativamente massa
nulla. Considerando quindi u, d, s a massa nulla, troviamo altre simmetrie.
66
13
Simmetrie chirali
m1 , . . . , mL ΛQCD −→ m1 = · · · = mL = 0 (limite chirale). Definiamo i bispinori
ψR,L ≡
1 ∓ γ5
ψ ≡ PR,L ψ
2
(13.1)
con
0 1 2 3
γ5 ≡ −iγ γ γ γ =
=
−1 0
0 1
0 −1
−1 0
rappresentazione spinoriale
rappresentazione standard
e γ52 = 1. Vogliamo riscrivere la Lagrangiana in termini di ψR,L . Notiamo che
† 0
ψ R = ψR
γ = ψ † PR† γ 0 = ψ † PR γ 0 = ψ † γ 0 PL = ψPL
ψ L = ψPR
Allora il termine di massa diventa
ψψ = (ψ R + ψ L )(ψR + ψR )
= ψ(PR + PL )(PR + PL )ψ = ψ(PL PL + PR PR )ψ
= ψ R ψL + ψ L ψR
cio`e accoppia componenti con chiralit`
a opposta. Il termine cinetico invece diventa
ψγ µ ψ = ψ R γ µ ψR + ψ L γ µ ψL
quindi accoppia componenti con la stessa chiralit`a. In definitiva
(L)
/ − M )ψ = ψ L iDψ
/ L + ψ R iDψ
/ R − ψ L M ψR − ψ R M ψL
LF = ψ(iD
(13.2)
Nel limite chirale M = 0, la Lagrangiana `e diagonale nelle componenti chirali, quindi `e invariante sotto
il gruppo chirale U (L)L ⊗ U (L)R , cio`e
(
ψL → UL ψL
U (L)L ⊗ U (L)R :
,
UR , UL ∈ U (L)
(13.3)
ψR → UR ψR
Possiamo scrivere il gruppo di simmetria chirale come
U (L)L ⊗ U (L)R = U (1)L ⊗ U (1)R ⊗ SU (L)L ⊗ SU (L)R
(13.4)
1. U (1)L ⊗ U (1)R pu`
o essere riscritto ulteriormente come U (1)V ⊗ U (1)A (V = vettoriale, A= assiale):
(
(
0
ψL → ψL
= eiαL ψL
ψL → ψL
U (1)L =
U (1)R =
0
ψR → ψR
ψR → ψR
= eiαR ψR
La U (1)V si ottiene nel caso in cui αL = αR ≡ α, mentre la U (1)A si ottiene nel caso in cui
αL = −αR ≡ β:
(
(
0
0
ψL → ψL
= eiα ψL
ψL → ψL
= eiβ ψL
U (1)V =
U
(1)
=
A
0
0
ψR → ψR
= eiα ψR
ψR → ψR
= e−iβ ψR
Se adesso prendiamo una trasformazione U (1)V ⊗U (1)A con parametri α, β, allora ψL → ei(α+β) ψL
0
e ψR → ψR
= ei(α−β) ψR . Posti θL ≡ α + β, θR ≡ α − β, troviamo una trasformazione U (1)L ⊗
U (1)R . Concludiamo che la generica trasformazione U (1)L ⊗ U (1)R pu`o essere scritta come una
trasformazione U (1)V ⊗ U (1)A .
67
2. Possiamo applicare lo stesso ragionamento a SU (L)L ⊗ SU (L)R :
(
0
ψL → ψL
= VL ψL
SU (L)L ⊗ SU (L)R =
,
VL , VR ∈ SU (L)
0
ψR → ψR
= V R ψR
Otteniamo una trasformazione SU (L)V se VL = VR ≡ V , mentre una trasformazione SU (L)A si
ha quando VL = VR† ≡ A:
(
(
0
0
ψL → ψL
= V ψL
ψL → ψL
= AψL
SU
(L)
=
(13.5)
SU (L)V =
A
0
0
ψR → ψR = V ψR
ψR → ψR = A† ψR
con V, A ∈ SU (L). Notiamo che SU (L)V `e un sottogruppo del gruppo G = SU (L)L ⊗ SU (L)R ,
mentre SU (L)A in generale non lo `e.
Teorema 5. La pi`
u generale trasformazione di G pu`o essere scritta come la composizione di una
trasformazione vettoriale e una assiale
!
0
ψL → ψL
= AV ψL = VL ψL
!
0
ψR → ψR
= A† V ψR = VR ψR
ricordando che ψL = PL ψ =
1+γ5
2 ψ
1−γ5
2 ψ
e ψ R = PR ψ =
e osservando che γ5 ψL = ψL , γ5 ψR = −ψR .
Possiamo riscrivere la U (1)V ⊗ U (1)A in termini di bispinori ψ = ψL + ψR :
U (1)V : ψ → ψ 0 = eiα ψ
U (1)A : ψ → ψ 0 = eiβ ψL + e−iβ ψR = eiβγ5 (ψL + ψR ) = eiβγ5 ψ
(13.6)
La stessa cosa pu`
o essere fatta per SU (L)V ⊗ SU (L)A :
SU (L)V : ψ → ψ 0 = V ψ
SU (L)A : ψ → ψ 0 = AψL + A† ψR = eiωa Ta ψL + e−iωa Ta ψR = eiωa Ta γ5 ψ
(13.7)
dove abbiamo usato il fatto che A ∈ SU (L). A questi gruppi di simmetria corrispondo delle correnti di
Noether conservate, definite da
Jaµ = −
L
X
i=1
∂L
δa ψi
∂(∂µ ψi )
ψ → ψi0 = ψi + δψi
δψi = a δa ψi
e che sono date, nei quattro casi, dalle seguenti espressioni
U (1)V : JVµ =
L
X
ψ i γ µ ψi ≡ ψγ µ ψ
i=1
U (1)A : J5µ =
L
X
ψ i γ µ γ 5 ψi ≡ ψγ µ γ 5 ψ
i=1
SU (L)V :
SU (L)A :
Vaµ
Aµa
= ψγ µ Ta ψ
= ψγ µ γ 5 Ta ψ
con
∂µ JVµ = 0
∂µ J5µ = 2iψγ5 M ψ
L
X
∂µ Vaµ = iψ[M, Ta ]ψ = i
(mi − mj )ψ i (Ta )ij ψj
i,j=1
∂µ Aµa = iψ{M, Ta }ψ = i
L
X
(mi + mj )ψ i (Ta )ij ψj
i,j=1
68
(13.8)
A livello quantistico, consideriamo una trasformazione G di un campo bosonico φi :
G : φi → φ0i = φ + δφi = φi + a δa φi
con corrente associata
Jaµ = −
X
i
(13.9)
∂L
δ a φi
∂(∂µ φi )
(13.10)
Promuoviamo quindi φi ad operatore quantistico. Il suo campo coniugato `e
Πj (y) =
∂L
∂(∂0 φj (y))
(13.11)
φ e P i soddisfano le regole di commutazione canonica [ψi (x), Πj (y)]x0 =y0 = iδij δ (3) (x − y). Allora


X
Πj δa φj (x), φi (y)
[Ja0 (x), φi (y)]x0 =y0 = − 
j
=−
X
x0 =y 0
[Πj (x), φi (y)]x0 =y0 δa φj (x) −
X
j
=−
X
j
Πj (x) [δa φj (x), φi (y)]x0 =y0
|
{z
}
=0
[Πj (x), φi (y)]x0 =y0 δa φj (x)
j
=
X
iδij δ (3) (x − y)δa φj (y) = iδa φi (x)δ (3) (x − y)
(13.12)
j
Integrando la (13.12) sul volume e usando la definizione
Z
Qa (t) ≡ d3 x Ja0 (x, t)
(13.13)
troviamo il commutatore
[Qa (x0 ), φi (y)]x0 =y0 = iδa φi (y)
(13.14)
Nel caso fermionico, i campi ψi , Πj soddisfano le regole di anticommutazione canonica, {ψi (x), Πj (y)}x0 =y0 =
iδij δ (3) (x − y). Usando lo sviluppo
[AB, C] = A{B, C} − {A, C}B
possiamo scrivere
[Ja0 (x), ψi (y)]x0 =y0 = iδa ψi (x)δ (3) (x − y)
(13.15)
che integrata restituisce una relazione analoga al caso bosonico:
[Qa (x0 ), ψi (y)]x0 =y0 = iδa ψi (y)
Usando adesso le relazioni tra le correnti SU (L)L ⊗ SU (L)R e quelle SU (L)V ⊗ SU (L)A :


1

µ
µ
µ

J µ = (Vaµ + Aµa )


 L,a
Va = JL,a + JR,a
2
⇐⇒



 µ
µ
µ
1

µ
µ
µ
Aa = JL,a
− JR,a
J
=
(V
−
A
)
a
a
R,a
2
(13.16)
(13.17)
otteniamo l’algebra delle correnti e delle cariche:
µ
µ
[QL
a (t), JL,b (y, t)] = ifabc JL,c (y, t)
µ
µ
R
[QL
a (t), JR,b (y, t)] = 0 = [Qa (t), JL,b (y, t)]
µ
µ
[QR
a (t), JR,b (y, t)] = ifabc JR,c (y, t)
69
(13.18)
Ponendo µ = 0 e integrando in d3 y otteniamo l’algebra delle cariche di SU (L)L ⊗ SU (L)R :
L
L
[QL
a (t), Qb (t)] = ifabc Qc (t)
R
R
[QR
a (t), Qb (t)] = ifabc Qc (t)
R
[QL
a (t), Qb (t)] = 0
(13.19)
R
A
L
R
In termini di SU (L)V ⊗ SU (L)A , QVa = QL
e
a + Qa , Qa = Qa − Qa , l’algebra delle cariche `
[QVa (t), QVb (t)] = ifabc QVc (t)
A
V
[QA
a (t), Qb (t)] = ifabc Qc (t)
A
[QVa (t), QA
b (t)] = ifabc Qc (t)
70
(13.20)
14
14.1
Simmetrie in MQ
Realizzazione ”alla Wigner-Weyl” (”simmetria esatta”)
ˆ che agisce sullo spazio
Una simmetria esatta `e una simmetria implementata da un operatore unitario U
ia Qa
ˆ
di Hilber H delle teoria. Si ha U = e
, dove le Qa sono le corrispondenti cariche conservate.
L’operazione di esponenziazione `e lecita solo se le Qa sono ben definite, cio`e se Qa |Ωi = 0 (che corrisponde
ˆ ) e dQa /dt = 0, ossia [H, Qa ] = 0 per ogni a e di
alla condizione che il vuoto sia invariante sotto U
0
ˆ
ˆ
ˆ con U
ˆ unitario, allora per una trasformazione
conseguenza [H, U ] = 0. Infatti, se φi → φi = U † φi U
infinitesima a 1
φ0i = e−ia Qa φi eia Qa ' (1 − ia Qa )φi (1 + a Qa )
= φi − ia [Qa , φi ] + O(2 )
= φi + a δa φi ≡ φi + δφi
Esempio 18 (Simmetria SU (2)V ).
Abbiamo in questo caso tre cariche costanti QVa , a = 1, 2, 3 tali che QVa |Ωi = 0 per ogni a e [Qa , H] = 0,
ˆ , H] = 0 ⇒ U
ˆ †H U
ˆ = H. L’algebra di SU (2)V
cio`e H `e invariante per trasformazioni SU (2)V : [U
V
V
V
`e [Qa , Qb ] = iabc Qc , quindi i Qa sono difatto i generatori della trasformazione. Introduciamo gli
operatori di creazione e distruzione QV± = QV1 ± iQV2 . Un multipletto di stati di singola particella `e
indicato con |t, t3 i, con t3 ∈ {−t, −t + 1, . . . , t − 1, t} e
QV3 |t, t3 i = t3 |t, t3 i
p
QV± |t, t3 i = t(t + 1) − t3 (t3 ± 1)|t, t3 ± 1i
Ad esempio consideriamo il doppietto di isospin |pi = |1/2, 1/2i, |ni = |1/2, −1/2i: QV+ |ni = |pi, QV− |pi =
|ni.
In generale
ˆ |t, t3 i = eia QVa |t, t3 i =
U
X
dove
(t)
Dt0 t3 ()|t, t03 i
V
(t)
(14.1)
3
t03
Dt0 t3 () ≡ ht, t03 |eia Qa |t, t3 i
(14.2)
3
`e detta funzione di Wigner.
Lo stesso discorso pu`
o essere esteso per la SU (3) di Gell-Mann (anche se matematicamente molto pi`
u
complicato). Vediamo se funziona per il gruppo chirale. Se SU (L)V ⊗ SU (L)A fosse realizzata ”alla
2
Wigner-Weyl”, avremo le cariche costanti QVa , QA
a , a = 1, . . . , L − 1. Consideriamo un certo stato
0
A
adronico |hi e studiamo |h± i ≡ Q± |hi. Allora
0
A
A
A
0
1. Assumento ph = 0, da [QA
a , H] = 0 segue che H|h± i = HQ± |hi = Q± H|hi = Mh Q± |hi = Mh |h± i
0
cio`e h e h sono degeneri in massa.
V
2. h e h0± hanno lo stesso numero barionico, in quanto QA
a commuta con Q ≡ QU (1)V .
3. Sia Pˆ l’operatore parit`
a e ηh (data) la parit`a di |hi:Pˆ |hi = ηh |hi. Allora
A
0
ˆ A ˆ† ˆ
Pˆ |h0± i = Pˆ QA
± |hi = P Q± P P |hi = −ηh Q± |hi = −ηh |h± i
dove abbiamo usato il fatto che QA
e un operatore pseudoscalare. Concludiamo quindi che |hi e
a `
|h0 i hanno parit`
a opposta.
Sperimentalmente, non sono mai stati osservati stati adronici |h0± i siffatti, quindi la simmetria chirale
non `e esatta.
71
15
Rottura spontanea della simmetria
Ad una simmetria G dell’Hamiltoniana corrispondono delle correnti conservate, ∂µ Jaµ = 0. Se la carica
associata Qa `e tale che Qa |Ωi =
6 0, allora si parla di rottura spontenea di simmetria, in quanto non `e ben
definito l’operatore unitaria per cui |Ωi `e invariante. Infatti, consideriamo
Z
hΩ|Q2 (t)|Ωi = hΩ|Q2 (0)|Ωi = d3 xd3 yhΩ|J 0 (x, 0)J 0 (y, 0)|Ωi
Q costante
Z
= d3 xd3 yhΩ|J 0 (0, 0)J 0 (y − x, 0)|Ωi
invarianza per traslazioni
Z
= d3 xd3 y 0 hΩ|J 0 (0, 0)J 0 (y0 , 0)|Ωi
y − x = y0
Z
= d3 xhΩ|J 0 (0, 0)Q|Ωi
che diverge in x.
Teorema 6 (Goldstone).
Se una simmetria `e spontaneamente rotta, per ogni generatore rotto esiste almeno uno stato di massa
zero e spin zero, detto bosone di Goldstone, che ha gli stessi numeri quantici del rispettivo generatore
rotto.
Dimostrazione.
Regolarizziamo l’integrale divergente definendo
Z
QR (t) ≡
d3 x J 0 (x, t)
(15.1)
|x|≤R
Lemma 1.
Dato un generico operatore locale A(x) si ha
d
[QR (t), A(0)] = 0
R→∞ dt
lim
Dimostrazione.
Usando la conservazione della corrente si ha
Z
Z
Z
d
3
0
3
µ
d x [J (x, t), A(0)] +
dS · [J(x, t), A(0)]
0=
d x [∂µ J (x, t), A(0)] =
dt |x|≤R
|x|=R
|x|≤R
(15.2)
(15.3)
Il secondo termine tende a zero per R → ∞ in virt`
u del principio di commutativit`
a locale (per R
sufficientemente grande, i due operatori diventano entrambi di tipo spazio e quindi devono commutare).
Per qualche operatore locale A(0) definiamo il parametro d’ordine δa(t):
δa(t) ≡ hΩ|[Q(t), A(0)]|Ωi =
6 0
(15.4)
dove abbiamo sottointenso l’operazione limR→∞ QR (t) ≡ Q(t). Allora
XZ
δa(t) =
d3 x hΩ|J 0 (x, t)|nihn|A(0)|Ωi − hΩ|A(0)|nihn|J 0 (x, t)|Ωi
n
dove {|ni} `e un set completo di autostati dell’Hamiltoniana e dell’impulso. Trasliamo quindi le correnti,
J 0 (x, t) = eiP·x−iHt J 0 (0)e−iP·x+iHt , e usiamo le relazioni H|Ωi = 0, H|ni = En , P|Ωi = 0, P|ni = pn :
XZ
=
d3 x hΩ|J 0 (0)|nihn|A(0)|Ωie−iEn t+ipn ·x − hΩ|A(0)|nihn|J 0 (0)|ΩieiEn t−ipn ·x
n
=
X
(2π)3 δ (3) (pn ) hΩ|J 0 (0)|nihn|A(0)|Ωie−iEn t − hΩ|A(0)|nihn|A(0)|ΩieiEn t
n
72
Per il lemma,
X
dδa(t)
= 0 = −i
(2π)3 δ (3) (pn )En hΩ|J 0 (0)|nihn|A(0)|Ωie−iEn t + hΩ|A(0)|nihn|J 0 (0)|ΩieiEn t
dt
n
(15.5)
dovr`
a quindi esistere almeno uno stato |ni = |Gi tale che hΩ|J 0 (0)|Gi 6= 0, hG|A(0)|Ωi 6= 0 e EG (pG =
0) = 0 e spin zero in quanto hΩJ 0 (0)|Gi =
6 0, cio`e ha gli stessi numeri quantici di Q|Ωi.
Esempio 19.
rotto spontaneamente
G = SU (L)L ⊗ SU (L)R = SU (L)V ⊗ SU (L)A
−→
simmetria residua esatta (i.e. |Ωi `e invariante sotto H).
H = SU (L)V , cio`e H rimane come
Nota. Se QA |Ωi = QB |Ωi = 0, allora [QA , QB ]|Ωi = 0, quindi l’insieme dei generatori non rotti
costituisce una sottoalgebra dell’algebra di G. I generatori vettoriali QVa non sono rotti, mentre i generatori
2
A
assiali QA
6 0. Esisteranno di conseguenza almeno L2 − 1 bosoni
a , a = 1, . . . , L − 1 lo sono, Qa |Ωi =
di Goldstone aventi massa zero, spin zero e parit`a −1 (essendo i QA
a pseudoscalari). Nel caso L = 2,
G = SU (2)V ⊗ SU (2)A , abbiamo tre bosoni di Goldstone con J P = 0− , che vennero identificati nei
tre pioni π ± , π 0 (mπ ≈ 140 MeV mp ≈ 1 GeV), i quali sono gli adroni pi`
u leggeri (non hanno
propriamente massa nulla perch´e i quarks non hanno massa nulla; il termine di massa dei quarks rompe
esplicitamente la simmetria e corregge le masse previste per i bosoni di Goldstone a 140 MeV; si dice
che π ± , π 0 sono pseudobosoni di Goldstone).
Nel caso L = 3 abbiamo otto bosoni di Goldstone con J P = 0− , cio`e l’ottetto dei mesoni pseudo-scalari
0
K − , K , K 0 , K + , π − , π 0 , π + , η.
15.1
Parametro d’ordine per la QCD
Scegliamo come operatori interpolanti pseudoscalari ψγ5 Tb ψ(0). Si ha
da cui
1
[QA
a (0), ψγ5 Tb ψ(0)] = −ψ{Ta , Tb }ψ(0, 0) = − δab ψψ(0, 0) − dabc ψTc ψ(0, 0)
L
(15.6)
1
hΩ|[QA
a (0), ψγ5 Tb ψ(0, 0)]|Ωi = − δab hΩ|ψψ(0, 0)|Ωi
L
(15.7)
In quanto hΩ|ψTc ψ(0, 0)|Ωi = 0 per l’invarianza di |Ωi sotto il sottogruppo di simmetria residuo SU (L)V .
Nota. Siano A, B ∈ {1, . . . , L} due indici di flavor. Definiamo CBA ≡ hΩ|ψ A ψB |Ωi. SU (L)V `e esatta,
quindi `e implementata da un operatore unitario U tale che U |Ωi = |Ωi. Allora
0
0
CBA = hΩ|U † ψ A ψB |Ωi = hΩ|U † ψ A U U † ψB U |Ωi = hΩ|ψ A ψB
|Ωi
†
†
= hΩ|ψ C VCA
VBD ψD |Ωi = VBD hΩ|ψ C ψD |ΩiVCA
†
= VBC CDC VCA
≡ (V CV † )BA
Quindi C = V CV † , cio`e [C, V ] = 0 per ogni V . C commuta con tutti gli elementi di una rappresentazione
irriducibile di SU (L)V , per il lemma si Schur di conseguenza C = α1L×L . Possiamo scrivere
CBA = αδAB ,
α=
L
1 X
1
hΩ|ψ A ψA |Ωi ≡ hΩ|ψψ|Ωi
L
L
A=1
e pertanto
hΩ|ψTc ψ|Ωi = hΩ|ψ A (Tc )AB ψB |Ωi = (Tc )AB CBA = αδAB (Tc )AB = α trTc = 0
In definitiva, il paramentro d’ordine della QCD `e
1
hΩ|[QA
a (0), ψγ5 Tb ψ(0, 0)]|Ωi = − δab hΩ|ψψ(0, 0)|Ωi
L
73
(15.8)
e prende il nome di condensato chirale. Si ha che hΩ|ψψ(0, 0)|Ωi 6= 0, quindi la simmetria chirale `e
spontaneamente rotta. Con gli stessi passaggi adattati si dimostra che anche la U (1)A `e rotta (ma non si
sa in quale modo). Misurando il condensato chirale in funzione della temperatura, si trova che esiste una
certa temperatura di soglia Tc tale che per T > Tc la simmetria chirale `e restaurata, i.e. hψψi = 0. La
temperatura di soglia `e Tc ≈ 150 ÷ 170 MeV = 2 × 1012 K. Inoltre, per T > Tc , la tensione di stringa σ
va anch’essa a zero. Si ha in queste condizioni un plasma quark-gluone in cui non c’`e pi`
u confinamento.
15.2
Modello sigma di Gell-Mann e Levy
Consideriamo la Lagrangiana
LGL = iψγ µ ∂µ ψ − gσψψ + ig~π · ψγ5~τ ψ + Lσ
(15.9)
ψp
, ~π = (π1 , π2 , π3 ) (con π3 ≡ π 0 ), σ `e un mesone scalare (P = +1) e isoscalare (t = 0) e ~τ
ψn
sono le matrici di Pauli. Gli adroni π ± sono dati da
π1 ∓ π2
π± = √
2
dove ψ =
~π ha J P = 0− , e
Lσ =
1 µ
1
∂ σ∂µ σ + ∂µ~π · ∂µ~π − V (σ 2 + ~π 2 )
2
2
(15.10)
Definiamo quindi il campo
Σ = σ1 + i~π · ~τ =
σ + iπ3
−π2 + iπ1
π2 + iπ1
σ − iπ3
(15.11)
avente le propriet`
a
Σ† Σ = ΣΣ† = (σ 2 + ~π 2 )1
2
det Σ = σ + ~π
2
(15.12)
(15.13)
Unando il campo Σ, possiamo scrivere
LGL = iψγ µ ∂µ ψ − gψ L ΣψR − gψ R Σ† ψL + Lσ
1
1
tr[Σ† Σ]
Lσ = tr[∂ µ Σ† ∂µ Σ] − V
4
2
(15.14)
Questo modello gode di una simmetria chirale G = SU (2)L ⊗ SU (2)R :
0
ψL → ψL
= VL ψL
0
ψR → ψR
= V R ψR
Σ → Σ0 = VL ΣVR†
√
con VL , VR ∈ SU (2). La trasformazione del campo Σ `e lecita in quanto Σ = σ 2 + ~π 2 U , con U ∈ SU (2)
e quindi
p
p
p
Σ0 = VL ΣVR† = σ 2 + ~π 2 VL U VR† = σ 2 + ~π 2 U 0 = σ 2 + ~π 2 (n00 1 + i~n0 · ~τ )
| {z }
∈SU (2)
con (n00 )2 + (~n0 )2 = 1, cio`e Σ0 = σ 0 1 + i~π 0 · ~τ e (σ 0 )2 + (~π 0 )2 = σ 2 + ~π 2 . Possiamo pertanto scrivere le
correnti conservate: per una trasformazione infinitesima (Ta = τa /2)
VL ' 1 + iaL Ta ,
VR ' 1 + iaR Ta
e
δψ = δψL + δψR = iaR Ta ψR + iaL Ta ψL ≡ i(a + a5 γ5 )Ta ψ
a + aL
a − aR
a = R
a5 = L
2
2
δΣ = iaL Ta Σ − iΣaR Ta ≡ δσ1 + i~τ · δ~π
δσ = −~5 · ~π
δ~π = −~ ∧ ~π + ~5 σ
74
1. Correnti vettoriali SU (2)V : aL = aR ≡ a , a5 = 0.
δV ψ = ia Ta ψ,
δV σ = 0,
δV ~π = −~ ∧ ~π
Vµa = ψγµ Ta ψ + abc πb ∂µ πc
(15.15)
2. Correnti assiali SU (2)A : aL = −aR ≡ a5 , a = 0.
δA ψ = ia5 γ 5 ψ,
δA σ = −~5 · ~π ,
δA~π = ~5 σ
Aaµ = ψγµ γ5 Ta ψ − (∂µ πa )σ + (∂µ σ)πa
(15.16)
Specifichiamo adesso la forma del potenziale: prendiamo V del tipo
λ
V =
4
1
tr[Σ† Σ] + A2
2
2
=
λ 2
(σ + ~π 2 + A2 )2
4
(15.17)
Lo stato di vuoto della teoria `e dato dal minimo del potenziale, cio`e σ = 0, ~π = 0, ed `e invariante sotto
G.
λ
1
Lσ = (∂µ σ∂ µ σ + ∂µ~π · ∂ µ~π ) − (A4 + 2A2 (σ 2 + ~π 2 ) + (σ 2 + ~π 2 )2 )
2
4
Segue che la realizzazione `e alla Wigner-Weyl con m2σ = m2π = λA e non c’`e rottura spontanea di
simmetria. Cambiamo quindi forma del potenziale: prendiamo adesso
V =
λ
4
1
tr[Σ† Σ] − v 2
2
2
=
λ 2
(σ + ~π 2 − v 2 )
4
(15.18)
Adesso lo stato di vuoto `e dato da σ 2 + ~π 2 = v 2 . Senza perdere generalit`a (`e sufficiente una ridefinizione
dei campi), possiamo scegliere lo stato |Ωi corrispondente a ~π = 0, σ = hΩ|σ|Ωi = v. Ridefniamo σ come
σ 0 ≡ σ − v, cos`ı che hΩ|σ 0 |Ωi = 0. Sostituendo nella Lagrangiana e sviluppando il potenziale otteniamo
Lσ =
1
λ
(∂µ σ 0 ∂ µ σ 0 + ∂µ~π · ∂ µ~π ] − [(v + σ 0 )2 + ~π 2 − v 2 ]2
2
4
0
λ 2
− (v + 2σ 0 v + σ 2 + ~π 2 − v 2 )2
4
0
λ
− (2σ 0 v + ~π 2 + σ 2 )2
4
0
0
0
λ
− [4v 2 σ 2 + 4vσ 0 (σ 2 + ~π 2 ) + (σ 2 + ~π 2 )2 ]
4
da cui segue che mπ = 0 (in quanto non figura il termine quadratico nel campo ~π ) e mσ0 = 2λv 2 . Quindi
π1 , π2 , π3 sono i tre bosoni di Goldstone, mentre la parte vettoriale continua ad essere realizzata, cio`e
rompe
G = SU (2)L ⊗ SU (2)R −→ H = SU (2)V . Scriviamo adesso le cariche costanti associate alle correnti
conservate
Z
Z
QVa (t) = d3 x Va0 (x, t),
QA
(t)
=
d3 x A0a (x, t)
a
e calcoliamone i commutatori con i campi:
A
[QA
a (t), σ(0)] = [Qa (0), σ(0)] = −iπa
[QVa (t), σ(0)] = [QVa (0), σ(0)] = 0
[QVa (t), πb (0)] = [QVa (0), πb (0)] = iabc πc
(15.19)
Questi tre commutatori hanno valore d’aspettazione nullo sul vuoto. Invece il commutatore
A
[QA
a (t), πb (0)] = [Qa (0), πb (0)] = iδab σ
75
(15.20)
ha valore d’aspettazione hΩ|[QA
a (t), πb (0)]|Ωi = iδab hΩ|σ|Ωi = iδab v 6= 0, quindi siamo nella situazione
di applicabilit`
a del teorema di Goldstone.
Osservazione. Se nella corrente assiale (quella rotta) sostituiamo σ → σ 0 + v, si ha
Aaµ = ψγµ γ5 Ta ψ − (∂µ πa )σ 0 + (∂µ σ 0 )πa − v∂µ πa
(15.21)
La presenza del termine −v∂µ πa , lineare nei campi πa (gli altri termini sono bilineari in ~π , σ 0 ) `e segnale
di rottura di simmetria. Calcoliamo quindi l’elemento di matrice
µ
µ
hΩ|Aaµ (x)|πb (p)i = −vhΩ|∂µ πa (x)|πb (p)i = −v∂µ hΩ|eiPµ x πa (0)e−iPµ x |πb (p)i
= −v∂µ e−ipx hΩ|πa (0)|πb (p)i = ivpµ e−ipx hΩ|πa (0)|πb (p)i
{z
}
|
δab
= ivpµ e
−ipx
δab
Inoltre si ha
hΩ|∂ µ Aaµ (x)|πb (p)i = vp2 e−ipx δab
Ma Aaµ `e conservata, quindi vp2 = 0. Se v 6= 0, allora p2 = 0, cio`e il pione `e proprio un bosone di
Goldstone.
Ricordiamo adesso che hΩ|Aµ (0)|π − (p)i = ifπ pµ , dove fπ ≈ 130 MeV `e la costante di decadimento
del pione e Aµ ≡ ψ u γ µ γ 5 ψd `e la parte assiale della parte adronica della corrente elettrodebole,
τ1 + iτ2
0 1
Aµ = ψ (q) γ µ γ 5
ψ(q) = ψ (q) γ µ γ 5 T1 ψ(q) + iψ (q) γ µ γ 5 T2 ψ(q) ≡ Aµ1 + iAµ2
ψ(q) = ψ (q) γ µ γ 5
0 0
2
(15.22)
e che
|π1 (p)i ± i|π2 (p)i
√
|π ± (p)i =
2
mettendo insieme i vari pezzi, otteniamo
hΩ|Aµ (0)|π − (p)i = hΩ|(Aµ1 (0) + iAµ2 (0)|
√
|π1 (p)i − i|π2 (p)i
√
2
!
2ivpµ = ifπ pµ
√
√
da cui v = fπ / 2. Per convenienza si pone Fπ ≡ fπ / 2, per cui v = Fπ ≈ 92 MeV. Infine
=
hΩ|Aaµ (0)|πb (p)i = iδab Fπ pµ
(N.L.)
Osservazione. δA πb = 5,b σ = 5,b (σ 0 + v) = 5,b v + 5,b σ 0 = δA
alla non-linearit`
a della trasformazione.
(15.23)
(L)
πb + δA πb . Il termine 5,b v porta
Nella Lagrangiana di Gell-Mann e Levy non abbiamo inserito temrini di massa, cio`e abbiamo supposto
i nucleoni non massivi,
LGL = iψγ µ ∂µ ψ − gσψψ + ig~π · ψγ5~τ ψ + Lσ
Dopo la ropttura spontanea di simmetria (σ → σ 0 + v), spunta un termine di massa:
LGL = iψγ µ ∂µ ψ − gvψψ − gσ 0 ψψ + · · ·
Otteniamo cos`ı la relazione di Goldberger-Treiman:
gv ≡ gπN N Fπ ≡ MN
(15.24)
Nota.
(NL)
• −Mn δA (ψψ) + igδA
~π · ψγ5~τ ψ = 0
(L)
• −gδA (σ 0 ψψ) + igδA ~π · ψγ5~τ ψ + ig~π · δA (ψγ5~τ ψ) = 0
Il termine non lineare fa s`ı che la variazione del termine di massa si cancelli con la parte non lineare della
variazione del campo ~π , cos`ı che LGL rimanga invariante.
76
15.3
Decomposizione polare e modello sigma non lineare
~
Prendiamo un campo reale S(x) e una terna di campi reali φ(x).
Decomponiamo quindi il campo Σ(x)
come
!
~
i~
τ
·
φ
~
~
(15.25)
Σ(x) = (v + S(x))U (φ(x)),
U (φ(x))
≡ exp
v
da confrontare con
Σ(x) = σ(x)1 + i~τ · ~π (x) = (v + σ 0 (x))1 + i~τ · ~π (x)
Si ha innanzitutto
(15.26)
!
Σ† Σ = ΣΣ† = (σ 2 + ~π 2 )1 = (v + S)2 1
cio`e (v + S)2 = σ 2 + ~π 2 e da questa relazione possiamo ricavare S al primo ordine:
p
p
S = σ 2 + ~π 2 − v = (σ 0 + v)2 + ~π 2 − v
"r
#
2σ 0
(σ 0 )2 + ~π 2
=v
−1
1−
+
v
v2
σ0
0 2
2
'v 1+
− 1 + O((σ ) , ~π )
v
= σ 0 + O((σ 0 )2 , ~π 2 )
(15.27)
~ ' 1 + i~τ · φ/v,
~
Inoltre, al primo ordine U (φ)
da cui segue
~
φ(x)
= ~π (x) + O((σ 0 )2 , ~π 2 )
(15.28)
Possiamo anche usare la relazione
e
ottenendo
~
i~
τ ·φ/v
= cos
~
|φ|
v
!
~
~τ · φ
1+i
sin
~
|φ|




σ = v + σ 0 = (v + S) cos









~ (v + S) sin
~π = φ

~
|φ|
~
|φ|
v
~
|φ|
v
~
|φ|
v
!
!
(15.29)
!
Vediamo quindi come diventa la trasformazione di simmetria in termini dei nuovi campi. Sotto trasformazioni di G, Σ → Σ0 = VL ΣVR† , che si traduce in
S → S0 = S
U → U 0 = VL U VR†
~ trasformano in modo in generale non lineare.
cio`e il campo S `e invariante mentre i campi φ
Per trasformazione vettoriale VL = VR ≡ V la trasformazione di U `e lineare, infatti
"
#
~ †
V ~τ · φV
~
0
†
i~
τ ·φ/v
†
U = V UV = V e
V = exp i
v
"
#
~0
~τ · φ
~ 0 = V φV
~ †
≡ exp i
,
φ
v
Per trasformazione assiale VL = VR† ≡ A infinitesima, si ha
τa
τa φa
τa
U 0 = AU A ' 1 + iωa + · · ·
1+i
+ ···
1 + iωa + · · ·
2
v
2
iτa φa
=1+
+ iωa τa + · · ·
v
77
~ trasforma in
da confrontare con U 0 = 1 + iτa φ0a /v. Vediamo quindi che per trasformazione assiale φ
maniera non lineare
φ0a = φa + ωa v
(15.30)
~
Riscriviamo quindi Lσ in termini di S e φ:
2
v2
S
1
λ
Lσ →
1+
tr[∂µ U † ∂ µ U ] + (∂µ S∂ µ S − 2λv 2 S 2 ) − λvS 3 − S 4
4
v
2
4
Infatti, ∂ µ Σ = (∂ µ S)U +(v +S)∂ µ U e ∂µ Σ† = (∂µ S)U † +(v +S)∂µ U † . Sviluppando il prodotto, i termini
misti sono nulli: (∂ µ S(v + S)tr[U ∂µ U † + (∂µ U )U † ] = (· · · )tr[∂µ (U U † )] = (· · · )tr[∂µ 1] = 0 e similmente
per l’altro termine misto. Rimaniamo quindi con
1
1
1
tr[∂µ Σ† ∂ µ Σ] = ∂µ S∂ µ S + (v + S)2 tr[∂µ U † ∂ µ U ]
4
2
4
Dallo sviluppo del potenziale
2
λ 2
λ
(v + S)2 − v 2
[σ + ~π 2 − v 2 ]2 =
4
4
λ
λ
2 2
2 2
= (2vS + S ) = λv S + λvS 3 + S 4
4
4
V =
Adesso nella Lagrangiana i campi scalari e pseudoscalari sono disaccoppiati. Possiamo estremizzare la
situazione con il limite λ → ∞, che corrisponde a m2S = 2λv 2 → ∞, cio`e S → 0, che disaccoppia
totalmente il campo scalare. In questo limite troviamo il modello sigma non lineare:
v2
tr[∂µ U ∂ µ U † ]
4
Lσ (S → 0) =
(15.31)
che descrive solo i bosoni di Goldstone a energie pi`
u basse della massa del campo scalare.
15.4
Lagrangiana chirale efficace
Vogliamo adesso costruire una teoria effettiva che abbia come gradi di libert`a i bosoni di Goldstone che
vengono dalla rottura spontanea della simmetria chirale (che chiameremo per semplicit`a pioni ) tale che
preservi tutte le simmetrie della teoria fondamentale.
Variabili di campo di Leff : BOSONI DI GOLDSTONE.
Sia G il gruppo di simmetria chirale e g un suo elemento. Se ~π `e la variabile di campo del pione, allora
la legge di trasformazione sotto g ∈ G sar`a data da ~π 0 = f (g, ~π ) e non `e lineare. Affinch´e si abbia una
rappresentazione del gruppo chirale deve essere
f (g1 , f (g2 , ~π )) = f (g1 g2 , ~π )
Nota. Se abbiamo rottura spontanea G → H, con
H = {h ∈ G | f (h, 0) = 0}
sottogruppo di G, cio`e f (h1 h2 , 0) = f (h1 , f (h2 , 0)) = f (h1 , 0) = 0, ∀h1 , h2 ∈ H, h1 h2 ∈ H. Adesso, siano
g ∈ G, h ∈ H, allora
f (gh, 0) = f (g, f (h, 0)) = f (g, 0)
Per ogni g ∈ G e h ∈ H. Abbiamo quindi una relazione di equivalenza:
g ∼ g0
∃h ∈ H tale che g 0 = gh
⇐⇒
(15.32)
con f (g, 0) = f (g 0 , 0).
∼
Definiamo a questo punto ~π = f ( g , 0). Nel nostro caso G = SU (L)L ⊗ SU (L)R , H = SU (L)V , quindi
∼
∼ ∼
g =V L ⊗ V R = nh, h ∈ SU (L)V , infatti
∼
∼
∼−1 ∼
∼
∼
∼−1
∼
∼
g =V L V R V R ⊗ V R = (V L V R ⊗1) (V R ⊗ V R )
|
{z
}|
{z
}
n
78
h∈H
cio`e
∼−1
∼
n =V L V R ⊗1 ≡ U ⊗ 1
∼
∼
h =V R ⊗ V R ≡ V ⊗ V
Legge di trasformazione.
∼0
∼
g = g g = (VL ⊗ VR )(U V ⊗ V ) = VL U V ⊗ VR V = VL U VR† VR V ⊗ VR V
= VL U VR† ⊗ 1)(VR V ⊗ VR V ) ≡ n0 (VR V ⊗ VR V )
con n0 = U 0 ⊗ 1 e U 0 = VL U VR† . Scegliamo per U le coordinate canoniche:
U =e
iαπ
,
2
NX
−1
π=
πa τa ,
tr(τa τb ) = 2δab
(15.33)
Leff = f0 (U ) + f2 (U ) × ∂µ U × ∂ µ U + O(p4 )
(15.34)
a=1
Sotto G = SU (L)L ⊗ SU (L)R quindi U → U 0 = VL U VR† .
Sviluppo a basse energie (i.e. fino all’ordine O(p2 )).
Non abbiamo termini con una sola derivata in quanto romperebbero l’invarianza di Lorentz. Imponiamo
adesso che Leff sia invariante sotto G : U → U 0 = VL U VR† : abbiamo che f0 (U ) deve dipendere solo da
tr(U U † ), ma U U † = 1, quindi f0 (U ) `e una costante che possiamo omettere. Definiamo adesso
∆µ ≡ −iU † ∂µ U
(15.35)
Si ha che l’operatore ∆µ `e hermitiano, ∆†µ = ∆µ e, sotto l’azione del gruppo chirale G:
∆µ → ∆0µ = −iU 0† ∂µ U 0 = −iVR U † VL† VL ∂µ U VR† = VR (−iU † ∂µ U )VR† = VR ∆µ VR†
(15.36)
∼
cio`e ∆µ `e invariante per SU (L)L . Possiamo scrivere la combinazione f2 (U )×∂µ U ×∂ µ U =f 2 (U )×∆µ ×
∼
∆µ . Sotto trasformazione SU (L)L , U → U 0 = VL U (VR = 1), allora f 2 (U ) deve essere costante in quanto
il prodotto ∆µ × ∆µ `e invariante. La particolare combinazione di ∆µ e ∆µ si ottiene dall’imposizione
dell’invarianza sotto il gruppo di simmetria chirale completo. Abbiamo due possibili candidati:
tr[∆µ ∆µ ],
tr[∆µ ]tr[∆µ ]
ma tr[∆µ ] = 0. Infatti, se usiamo la relazione
∂µ eM =
Z
1
ds esM ∂µ M e(1−s)M
(15.37)
0
abbiamo che (U = eM )
Z
tr[U † ∂µ U ] = tr[e−M ∂µ eM ] = tr e−M
1
ds esM ∂µ M e(1−s)M
0
Z
=
1
ds tr[∂µ M ] = ∂µ trM = 0
0
in quanto U ∈ SU (L).
Nota. Se U 6∈ SU (L), allora tr∆µ 6= 0 e quindi dobbiamo tenere entrambi i termini.
79
In conclusione, all’ordine O(p2 ) si ha
(2)
Leff = gtr[∆µ ∆µ ] = gtr[∂µ U ∂ µ U † ],
U = eiαπ
(15.38)
con g, α costanti da determinare. Abbiamo dunque bisogno di due condizioni per fissarle. La prima viene
immediatamente dalla corretta normalizzazione del termine cinetico del π. Sviluppando la Lagrangiana
in potenze dei campi π:
U = eiαπ ' 1 + iαπ + · · ·
∂µ U † ' −iα∂µ π + · · ·
∂µ U ' iα∂µ π + · · · ,
da cui
(2)
Leff ' gα2 tr[∂µ ∂ µ π] = gα2 ∂µ πa ∂ µ πb tr[τa τb ] = 2gα2 ∂µ πa ∂ µ πa
dove abbiamo utilizzato la condizione di normalizzazione tr[τa τb ] = 2δab . Abbiamo di conseguenza la
prima condizione per le costanti g, α:
1
(15.39)
2gα2 =
2
Per ricavare la seconda condizione, scriviamo le correnti di Noether vettoriali Vaµ ed assiali Aµa :
Vaµ = igtr(τa [∂ µ U, U † ])
Aµa = igtr(τa {∂ µ U, U † }) ' igtr(τa {iα∂µ π, 1})
= −2gαtr(τa ∂µ πb τb ) = −2gα · 2δab ∂µ πb
!
= −4gα∂µ πa = −Fπ ∂µ πa
da cui otteniamo
4gα = Fπ
(15.40)
Risolvendo le due relazioni trovate per g e α si trova
1
Fπ
Fπ
F2
g=
= π
4α
4
α=
(15.41)
Quindi U = eiπ/Fπ e
(2)
Leff =
Fπ2
tr[∂µ U ∂ µ U † ]
4
80
(15.42)
16
Rottura esplicita della simmetria chirale
Aggiungiamo adesso alla Lagrangiana della QCD nel limite chirale un termine di massa
(M =0)
(M )
LQCD = LQCD + δLQCD
(16.1)
dove
(M )
δLQCD = −ψM ψ = −ψ L M ψR − ψ R M ψL ,
M = diag(m1 , . . . , mL )
(16.2)
Questo termine non `e invariante sotto G = SU (L)L ⊗SU (L)R , per`o possiamo renderlo tale rimpiazzando
formalmente M → M, dove M `e un arbitraria matrice complessa:
(M )
(M)
δLQCD → δLQCD = −ψ R MψL − ψ L M† ψR
Questo termine `e invariante sotto G se M → M0 = VR MVL† . Trasportiamo quindi questa propriet`a alla
(M)
Lagrangiana chirale efficace: cerchiamo un termine di rottura esplicita δLeff invariante sotto G : U →
†
†
U 0 = VL U VR se M → M0 = VR MVL . All’ordine pi`
u basso (i.e. lineare in M e senza derivate) si trova
(M)
δLeff
= f (U ) × M =
Reinseriamo la M fisica:
(M )
δLeff =
Fπ2 Btr[MU ] + B ∗ tr[M† U † ]
2
Fπ2 Btr[M U ] + B ∗ tr[M U † ]
2
(16.3)
(16.4)
Imponendo l’invarianza sotto parit`
a:
P
π(x) −→ −π(x0 )
U (x) → U † (x0 )
=⇒
si ottiene la condizione B ∗ = B, da cui
(M )
δLeff =
Fπ2
Btr[M (U + U † )]
2
(16.5)
In definitiva, la Lagrangiana chirale efficace con il termine di rottura esplicita `e data da
Fπ2 tr[∂µ U ∂ µ U † ] + 2Btr[M (U + U † )]
2
(2)
Leff =
16.1
(16.6)
Caso L = 2
Se consideriamo solo i primi due quarks leggeri, l’up e il down, abbiamo
M=
mu
0
0
,
md
U = eiπ/Fπ ,
π=
3
X
πa τa
(16.7)
a=1
Per SU (2) possiamo usare la parametrizzazione
U =e
~ τ /2
iθ·~
da cui
†
U + U = 2 cos
~
|θ|
2
= cos
~
|θ|
2
!
!
θ~
12×2 + i
· ~τ sin
~
|θ|
12×2 = 2 cos
|~π |
Fπ
~
|θ|
2
!
(16.8)
~π 2
12×2 = 212×2 1 −
+
·
·
·
2Fπ2
Quindi
(M )
1 2
~π 2
Fπ Btr[M (U + U † )] = Fπ2 Btr(M ) 1 −
+
·
·
·
2
2Fπ2
1
= Fπ2 B(mu + md ) − B(mu + md )~π 2 + · · ·
2
δLeff =
81
(16.9)
Abbiamo ottenuto cos`ı un termine di massa per i pioni, con Mπ2 = B(mu + md ).
Scriviamo adesso l’espressione del condensato chirale:
hΩ|ψ f ψf |Ωi ≡ −hΩ|
Si ha
∂ Leff
∂ LQCD
!
|Ωi = −hΩ|
|Ωi
∂mf
∂mf
∂ Leff
1
∂
1
= Fπ2 B
tr[M (U + U † )] = Fπ2 B(U + U † )f f
∂mf
2
∂mf
2
(16.10)
Inoltre hΩ|U |Ωi = hΩ|U † |Ωi = 1 (non ci sono π), pertanto otteniamo che la costante B `e legata al
condensato chirale, che all’ordine pi`
u basso non dipende dal flavor:
hΩ|ψ f ψf |Ωi = −Fπ2 B
(16.11)
Inserendo l’espressione per la massa quadra del pione, otteniamo la relazione di Gell-Mann, Oakes,
R`enner :
(mu + md )hΩ|ψ f ψf |Ωi = −Fπ2 Mπ2
(16.12)
16.2
Diffusione pione-pione
Sviluppando la Lagrangiana chirale efficace all’ordine O(π 4 ) ricaviamo i termini di interazione tra i pioni.
Per L generico
i 3
π2
π
−
π + ···
−
2
Fπ
2Fπ
6Fπ3
i
i 1
∂µ U =
[(∂µ π)π + π(∂µ π)] −
(∂µ π)π 2 + π(∂µ π)π + π 2 (∂µ π)
∂µ π −
Fπ
2Fπ2
6Fπ3
Fπ2
1
1
tr[∂µ U ∂ µ U † ] = ∂µ πa ∂ µ πa +
tr {[∂µ π, π][∂ µ π, π]}
4
2
48Fπ2
1
1
fabe fcde (∂µ πa )πb (∂µ πc )πd
= ∂ µ πa ∂ µ πa −
2
6Fπ2
U =1+i
Per L = 2, fabc = abc e abe cde = deltaac δbd − δad δbc , da cui
1
1
1
Mπ2 2 2
(2)
µ
2
µ
(~
π
)
Leff ' Fπ2 Mπ2 + ∂µ~π · ∂ µ~π − Mπ2~π 2 +
(~
π
·
∂
~
π
)(~
π
∂
~
π
)
−
~
π
(∂
~
π
·
∂
~
π
)
+
µ
µ
2
2
6Fπ2
4
(16.13)
In questa situazione, l’ampiezza di diffusione πA + πB → πC + πD `e data da
MπA πB →πC πD =
1 δAB δCD (s − Mπ2 ) + δAC δBD (t − Mπ2 ) + δAD δBC (u − Mπ2 )
Fπ2
(16.14)
dove s, t, u sono le variabili di Mandelstam
s = (pA + pB )2 = (pC + pD )2
t = (pA − pC )2 = (pB − pD )2
u = (pA − pD )2 = (pB − pC )2
s + t + u = 4Mπ2
√
In termini delle componenti cariche |π ± i = (|π1 i ± i|π2 i)/ 2, |π 0 i = |π3 i,
s + t + u − 3Mπ2
M2
= 2π
2
Fπ
Fπ
t − Mπ2
Mπ+ π0 →π+ π0 =
Fπ2
t + u − 2Mπ2
2Mπ2 − s
Mπ+ π+ →π+ π+ =
=
2
Fπ
Fπ2
Mπ0 π0 →π0 π0 =
82
(16.15)
La Lagrangiana chirale efficace pu`
o essere scritta nel caso L = 2 anche in coordinate stereografiche:
(2)
Leff =
16.3
1
Mπ2~π 2
1 ∂µ~π · ∂ µ~π
−
2
2
2
~π 2
~π 2
1
+
1+
4Fπ2
4Fπ2
(16.16)
Caso L = 3
Se consideriamo anche il quark strange, avremo


mu 0
0
π
π2
M =  0 md 0  ,
+ ··· ,
U = eiπ/Fπ ' 1 + i
−
Fπ
2Fπ2
0
0 ms
π=
8
X
πa λ a
(16.17)
a=1
Inoltre U + U † ' 2 · 1 − π 2 /Fπ2 + · · · . Sviluppando all’ordine O(π 2 ) otteniamo
(M )
1 2
1
F Btr[M (U + U † )] = Fπ2 Btr(M ) − Btr[M π 2 ] + · · ·
2 π
2
1
= Fπ2 B(mu + md + ms ) − Btr[M λa λb ]πa πb
2
1
= Fπ2 B(mu + md + ms ) − Btr [M {λa , λb }] πa πb
4
δLeff =
(16.18)
quindi
1
1
(2)
Leff = Fπ2 B(mu + md + ms ) + ∂µ πa ∂ µ πa − Btr [M {λa , λb }] πa πb
(16.19)
2
4
Usiamo adesso le relazioni (ricordando che M `e diagonale sar`a combinazione dei generatori lineari e
dell’identit`
a)
4
δab 1 + 2dabc λc
3
= α0 1 + α3 λ3 + α8 λ8
1
= (mu + md + ms )
3
1
= (mu − md )
2√
3
=
(mu + md − 2ms )
6
{λa , λb } =
(16.20)
M
(16.21)
α0
α3
α8
(16.22)
La matrice di massa quadra `e data da
1
Btr [M {λa , λb }]
2
e si trova che i generatori π1 , π2 , π4 , π5 , π6 , π7 sono gi`a diagonali, con masse quadre date da
M2ab ≡=
(16.23)
Mπ21,2 = 2B m
ˆ = Mπ2±
2
Mπ24,5 = B(mu + ms ) = MK
±
2
Mπ26,7 = B(md + ms ) = MK
0 ,K 0
0
dove m
ˆ = (mu + md + ms )/2 e π ± , K ± , K 0 , K sono gli stati fisici, legati ai generatori da
π1 ∓ iπ2
√
2
π
∓
iπ
4
√ 5
K± =
2
π
−
iπ
6
√ 7
K0 =
2
π6 + iπ7
0
√
K =
2
π± =
83
(16.24)
mentre π3 , π8 non sono diagonali, ma ”mescolano” con

2B m
ˆ

M2(π3 ,π8 ) =  1
√ B(mu − md )
3

1
√ B(mu − md )

3

2
ˆ + 2ms )
3 B(m
(16.25)
Il termine fuori diagonale rappresenta una violazione forte della simmetria SU (2) di isospin. Diagonalizzando questa matrice si trovano gli stati fisici π 0 , η 0 :
0 π
cos θ
sin θ
π3
=
(16.26)
η0
− sin θ cos θ
π8
dove θ `e l’angolo di mixing, definito da
√
tan θ =
3 md − mu
1
4 ms − m
ˆ
(16.27)
Nel limite 1:
ˆ − + O(2 )
Mπ20 = 2B m
ˆ + 2ms ) + + O(2 )
Mη20 = 2B(m
B (mu − md )2
4 ms − m
ˆ
=
16.4
(16.28)
Correzioni elettromagnetiche alle masse
Teorema 7 (Dashen).
Z
∆Hem =
µ
d3 x |e|Jem
Aµ
con
2
3

Q=
0

0

J µ = ψγ µ Qψ,
 
ψu
ψ =  ψd  ,
ψs
(16.29)
0
1
−
3
0

0 

0 

1
−
3
Calcoliamo adesso i commutatori (allo stesso tempo):
µ
[QVa , Jem
]t = ψγ µ [Ta , Q]ψ
µ
µ 5
[QA
a , Jem ]t = ψγ γ [Ta , Q]ψ
Ricordando che Q = T3 +
Y
2
= T3 +
T8
√
3
(16.30)
otteniamo
[Q, T3 ] = [Q, T8 ] = [Q, U± ] = 0
(16.31)
√
√
dove U± = T6 ± iT7 , U3 = 12 ( 32 Y − T3 ) = 12 ( 3T8 − T3 ), mentre V± = T4 ± iT5 , V3 = 21 ( 3T8 + T3 ). Allora
Q commuta con tutto l’U -spin, mentre i generatori del V -spin (tranne V3 ) sono rotti. Concludiamo che
l’interazione elettromagnetica rompe la simmetria chirale e rimane una simmetria residua generata dal
sottogruppo di U -spin.
∼
(U−spin)
(U−spin)
(V )
(V )
∆Hem `e invariante sotto G= SU (2)L
⊗ SU (L)R
⊗ U (1)L 3 ⊗ U (1)R 3 , e anche Htot =
(M =0)
HQCD + ∆Hem . Ripetendo il discorso fatto per la simmetria chirale, troviamo che abbiamo rottura
∼
∼
(U−spin)
(V )
spontanea G→H = SU (2)V
⊗ U (1)V 3 .
Quattro generatori assiali rotti corrispondono a quattro bosoni di Goldstone dati dai mesoni scarichi,
che rimangono a massa zero nel limite chirale:
0
A
A
A
(π 0 , K 0 , K , η 0 ) −→ (QA
3 , Q6 ± iQ7 , Q8 )
84
mentre [Q, T± ] = ±T± , [Q, V± ] = ±V± , cio`e i mesoni carichi acquistano massa. La correzione in massa
(U−spin)
sar`
a uguale per i doppietti di U -spin (π + , K + ) e (π − , K − ), in virt`
u della simmetria residua SU (2)V
che rimane esatta nel limite chirale:
µ
[QV6 ± iQV7 , Jem
]=0
=⇒
[QV6 ± iQV7 , ∆Hem ] = 0
=⇒
[QV6 ± iQV7 , Htot ] = 0
Dato che
|K + i = (QV6 + iQV7 )|π + i
si ha
Htot |K + i = (QV6 + iQV7 )Htot |π + i = ∆Mem (π + )(QV6 + iQV7 )|π + i = ∆Mem (π + )|K + i
Adesso possiamo correggere le masse dei mesoni carichi aggiundendo lo stesso termine costante:
2
Mπ2± = B(mu + md ) + ∆Mem
2
2
MK
± = B(mu + ms ) + ∆Mem
Mπ20 = B(mu + md ) − 2
= B(md + ms )
MK
0 ,K 0
Mη20 =
B
(mu + md + 4ms ) + 3
(16.32)
da queste relazioni, usando i dati sperimentali per le masse degli adroni, possiamo determinare i rapporti
tra le masse dei quarks:
1
2
2
(M 2
0 + MK ± − Mπ ± )
2 K 0 ,K
1
2
2
2
Bmd = (MK
− MK
± + Mπ ± )
0 ,K 0
2
2
2
MK
± − Mπ ± = B(ms − md )
Bms =
2
= B(md + ms )
MK
0 ,K 0
da cui
ms
' 20.18
md
(16.33)
usando i dati sperimentali Mππ ≈ 139.57 MeV, Mπ0 ≈ 134.98 MeV, MK ± ≈ 493.68 MeV, MK 0 ,K 0 ≈
497.61 MeV, Mη0 ≈ 547.85 MeV. Se trascuriamo , si trova Mπ20 = B(mu + md ), da cui Bmu =
2
2
Mπ20 −Bmd . Usando quanto trovato precedentemente, si ottiene Bmu ' Mπ20 −(M 2 0 0 −MK
± +Mπ ± )/2
K ,K
da cui ricaviamo
mu
mu
(16.34)
' 0.56
' 0.028
md
ms
2
2
2
Inoltre 3Mη20 = B(mu + md + 4ms ) = Mπ20 + 4Bms = Mπ20 + 2(MK
0 + MK ± − Mπ ± ), da cui si ottiene
2
2
3Mη20 + 2Mπ2± − Mπ20 = 2(MK
0)
± + M 0
K ,K
Relazione di Gell-Mann e Okubo
(16.35)
(G.M.0)
Da questa relazione possiamo estrarre una previsione della massa dell’η 0 , Mη0
≈ 566 MeV da
confrontare con il valore sperimentale Mη0 ≈ 547.85 MeV. La discrepanza `e dovuta al mescolamento tra
ottetto e singoletto (Mη0 ≈ 957.78 MeV).
Possiamo quindi calcolare i valori delle correzioni elettromagnetiche e di violazione dell’isospin:
2
∆Mem
= Mπ2± − Bmu − Bmd ≈ 1242 MeV2
=
B (mu − md )2
≈ 29 MeV2
4 ms − m
ˆ
2
Dunque si ha ∆Mem
e quindi abbiamo una giustificazione a posteriori per averlo trascurato. Come conseguenza, la differenza tra le masse dei pioni carichi e quello scarico `e interamente dovuta alla
2
2
correzione elettromagnetica, Mπ2± − Mπ20 = ∆Mem
+ ' ∆Mem
, mentre per i mesoni K:
2
2
2
MK
− MK
± = B(md − mu ) − ∆Mem > 0
0 ,K 0
85
=⇒
2
B(md − mu ) > ∆Mem
da cui
MK 0 ,K 0 =
2
∆Mem
B(md − mu )
−
= (5.2 − 1.3) MeV
MK 0 ,K 0 + MK ±
MK 0 ,K 0 + MK ±
(16.36)
cio`e vince il termine forte su quello elettromagnetico.
∼
Se invece non avessimo considerato la correzione elettromagnetica, avremmo trovato B mu = Mπ2± −
Bmd = MK ± −Bms = 7789 MeV2 , con Bmd , Bms uguali a prima in quanto indipendenti dalla correzione
elettromagnetica. Questo valore porta ad un valore teorico per la massa del pione scarico
∼
M π0 =
∼
Mπ2±
B (mu −md )2
−
∼
4 m −m
ˆ
s
!1/2
∼
=
Mπ2±
1 (B mu −Bmd )2
−
∼
4 Bm − B m
ˆ
s
!1/2
≈ 139.51 MeV
(16.37)
che `e sostanzialmente errato.
Per determinare le masse dei singoli quarks abbiamo bisogno di un input che non ci viene fornito dalla
QCD. I metodi per determinarle non sono altamente rigorosi. Consideriamo per esempio nell’ottetto dei
mesoni vettoriali J P = 1− i due mesoni K ∗+ (us), ρ+ (ud), con MK ∗+ ≈ 892 MeV, Mρ+ ≈ 770 MeV e
proviamo a dire che MK ∗+ − Mρ+ ≈ ms − md , cio`e che possiamo scrivere
(0)
Mρ+ = Mρ+ + mu + md
(0)
MK ∗+ = MK ∗+ + mu + ms
(0)
(0)
con MK ∗+ = Mρ+ (valori delle masse nel limite chirale). Si ha allora
1−
122 MeV
md
=
ms
ms (MeV)
=⇒
ms =
122 MeV
122 MeV
md ' 1 − 0.05 ≈ 128 MeV
1−
ms
(16.38)
e di conseguenza
mu
ms ≈ 3.6 MeV
ms
md
md =
ms ≈ 6.4 MeV
ms
mu =
Queste stime sono molto grossolane, per`
o, nonostante tutto, sull’ordine di grandezza ci abbiamo preso.
86
17
Simmetria U (1)A
Questa simmetria non `e realizzata alla Wigner-Weyl, per lo stesso motivo della SU (L)A . Possiamo
azzardare come prima ipotesi che la U (1)A sia rotta spontaneamente alla Goldstone. Esister`a pertanto
un bosone di Goldstone con gli stessi numeri quantici di Q5 Ωi, che `e un singoletto mesonico. Il candidato
nello spettro `e l’η 0 .
Estendiamo innanzitutto i gradi di libert`
a della teoria efficace per includere anche il singoletto:
!
8
∼
i X
U = exp
πa λa ∈ SU (3) −→U ≡ U eiSλ0 /Fπ ∈ U (3)
(17.1)
Fπ a=1
con λ0 = cost × p
1. Determiniamo la costante tramite la condizione di normalizzazione tr(λ20 ) = 2,
ottenendo cost = 2/3, quindi
"
!#
r
8
∼
i X
2
πa λa +
S1
U = exp
Fπ a=1
3
A priori, la costante di decadimento potrebbe essere diversa, scriviamo allora Fs = Fπ /λ:
"
i
U = exp
Fπ
∼
8
X
r
πa λa + λS
a=1
2
1
3
!#
(17.2)
Con questa, scriviamo la pi`
u generale Lagrangiana efficace (sensata):
∼†
∼
∼
∆µ = −iU † ∂µ U −→∆µ ≡ −i U ∂µ U
∼†
∼
∼
∼
Adesso, abbiamo sempre ∆µ =∆µ , ∆µ invariante sotto VL , ma non `e pi`
u a traccia nulla: tr ∆µ ∝ ∂µ S.
Allora
h ∼ ∼ µi
∼
∼µ
∼
∼†
(2)
Leff = I1 tr ∆µ ∆ + I2 tr[∆µ ]tr[∆ ] + I3 tr[M (U + U )]
con I3 = Fπ2 B/2 (termine di rottura esplicita). Dalle normalizzazioni dei termini cinetici dell’ottetto e
del singoletto determiniamo I1 , I2 :
Fπ2
4
Fs2 − Fπ2
I2 =
12
I1 =
Pertanto la Lagrangiana
(2)
Leff =
∼
∼†
∼
∼†
1
F2
∂µ S∂ µ S + π tr ∂µ U ∂ µ U +2BM (U + U )
2
4
(17.3)
`e invariante sotto l’azione del gruppo
∼
∼
∼0
∼
∼ ∼†
G= SU (3)L ⊗ SU (3)R ⊗ U (1)A :U →U =V L U V R
∼
∼
con V L , V R ∈ U (3) date da
∼
iα
V L = e VL ,
∼
V R= e
−iα
VR ,
VL , VR ∈ SU (3)
(17.4)
In particolare, sotto G = SU (3)L ⊗ SU (3)R (i.e. α = 0), U → U 0 = VL U VR† , S → S 0 = S. Vogliamo
adesso vedere come trasforma S sotto U (1)A (VL = VR = 1, U → U 0 = U ):
√
√
√
∼
∼0
∼
0
iλ 2/3S/Fπ
→U = e2iα U = U eiλ 2/3S/Fπ +2iα ≡ U eiλ 2/3S /Fπ
U= Ue
87
√
dal confronto otteniamo S 0 = S + αFs 6, dunque possiamo scrivere
√
S → S 0 = S + α 6S
U (1)A : U → U 0 = U,
(17.5)
La corrente di Noether associata alla simmetria U (1)A `e data da
√
J5µ = − 6Fs ∂ µ S
(17.6)
√
e si ha hΩ|J5µ (0)|S(p)i = i 6Fs pµ .
Per semplicit`
a, trascuriamo la differenza md − mu e tutti i termini non diagonali π3 π8 , π3 S in quanto
proporzionali ad essa. L’unica differenza con il caso dei mesoni J P = 0− `e che π8 e S mescolano con
√


2
2 2
B(
m
ˆ
+
2m
)
λ
B(
m
ˆ
−
m
)
s
s 

3
M2(π8 ,S) =  3√
(17.7)

2 2
2
λ
B(m
ˆ − ms ) λ2 B(2m
ˆ + ms )
3
3
1. Se λ = 1, allora gli autovalori della matrice saranno
2
M`(λ=1)
= 2B m
ˆ = Mπ20
2
2
2
2
= 2Bms = MK
Mh(λ=1)
0 − Mπ ±
± + M 0
K ,K
(17.8)
mentre gli autostati saranno
r
1
2
`(λ=1) = √ π8 +
S
3
3
r
2
1
h(λ=1) = −
π8 + √ S
3
3
Ricordando che
1
π0 ∼ √ (uu + dd − 2ss),
6
(17.9)
1
S ∼ √ (uu + dd + ss)
3
inserendo in h, ` troviamo
1
`(λ=1) ∼ √ (uu + dd)
2
h(λ=1) ∼ ss
Questi isosingoletti non sono mai stati osservati. Gli isosingoletti reali sono η, η 0 , mη , mη0 mπ0 ,
quindi siamo fuori.
2. Limite di Weinberg (λ 6= 1, λ > 0).
Diagonalizzando M2(π8 ,S) in questo caso si ha che la massa dell’autostato pi`
u leggero |`i `e limitata
superiormente da
6B mm
ˆ s
< 6B m
ˆ ≡ 3Mπ20
(17.10)
M`2 <
2m
ˆ + ms
Si ottiene cos`ı il limite di Weinberg (1975):
M` <
√
3Mπ0
(17.11)
√
Sperimentalmente, questo limite non `e verificato (Mη , Mη0 > 3Mπ0 ). Concludiamo quindi che
la simmetria U (1)A non pu`
o essere rotta spontaneamente alla Goldstone a causa di un’anomalia
quantistica (’t Hooft, 1976).
88
18
Simmetrie anomale e non anomale
Consideriamo il gruppo di simmetria G : φi → φ0i = φi + δφi = φi + ωa δa φi , con ωa parametri continui.
La corrente associata alla simmetria `e data dall’espressione
Jaµ ≡ −
X
i
∂L
δ a φi
∂(∂µ φi )
A livello classico abbiamo due casi:
1. Se G : L → L0 = L, allora ∂µ Jaµ = 0.
2. Se G : L → L0 = L + δL con δL = ωa δa L, allora ∂µ Jaµ = −δa L.
Dimostrazione.
Dalle equazioni di Eulero-Lagrange
∂µ
∂L
∂L
−
=0
∂(∂µ φi )
∂φi
Scriviamo dalla definizione la quadridivergenza della corrente:
X ∂L
∂L
µ
δ a φi +
∂µ (δφi )
∂µ Ja = −
∂µ
∂∂µ φi
∂(∂µ φi )
i
X ∂L
∂L
=−
δ a φi +
δa (∂µ φi ) ≡ −δa L
∂φi
∂(∂µ φ)
i
(18.1)
(18.2)
Nota.
∂µ (δφi ) = ∂µ (φ0i − φi ) = ∂µ φ0i − ∂µ φ = δ(∂µ φi ) = ωa δa (∂µ φi )
= ∂µ (ωa δa φi ) = ωa ∂µ (δa φi )
da cui segue ∂µ (δa φi ) = δa (∂µ φi ).
A livello quantistico, usiamo il path integral:
Z
Z = [dφ]eiS[φ] ,
Z
S[φ] =
d4 x L(φ, ∂φ)
Consideriamo una versione localizzata della simmetria G,
G(loc) : φi (x) → φ0i (x) = φi (x) + f a (x)δa φi (x)
(18.3)
con i δa φi (x) uguali al caso globale. Le f a (x) sono funzioni infinitesime, arbitrarie, ma tali che f a (x →
∞) → 0 sufficientemente rapidamente (vedremo dopo quanto). Usando queste propriet`a delle f a si trova
che
Z
Z
0
Z = [dφ]eiS[φ] = [dφ0 ]eiS[φ ]
(18.4)
L’uguaglianza deriva dal cambio di variabili, e non da simmetrie. In generale per trasformazioni globali
si ha [dφ0 ] = [dφ], ma per trasformazioni chirali di campi fermionici (e.g. proprio la U (1)A per i campi
dei quarks) [dφ0 ] 6= [dφ].
Nel caso in cui
[dφ0 ] = eiA[f ] [dφ]
(18.5)
dove A[f ] `e detta anomalia:
Z
A[f ] =
d4 x f a (x)Aa (x)
89
(18.6)
si trova che
∂µ Jˆaµ = −δa Lˆ − Aˆa
(18.7)
Per vederlo, sviluppiamo la funzione di partizione Z[φ0 ] = Z[φ + δφ]. In particolare, per l’azione,
S[φ0 ] = S[φ + f a δa φ] ' S[φ] + δS, con
Z
Z
X ∂L
∂L
δφi +
δ(∂µ φi )
δS = S[φ0 ] − S[φ] = d4 x δL = d4 x
∂φi
∂(∂µ φi )
i
Z
X ∂L
∂L
δφi +
∂µ (δφi )
= d4 x
∂φ
∂(∂
µ φi )
i
i
Z
X ∂L
∂L
= d4 x
f a (x)δa φi +
∂µ (f a (x)δa φi )
∂φi
∂(∂µ φi )
i
Z
X ∂ L
∂L
∂L
a
a
4
δ a φi +
δa (∂µ φi ) f (x) +
δa φi ∂µ f (x)
= d x
∂φi
∂(∂µ φi )
∂(∂µ φi )
i
Z
= d4 x [f a (x)δa L − Jaµ ∂µ f a (x)]
Integrando per parti il secondo addendo troviamo (il termine di bordo `e nullo per le propriet`a di f ):
Z
d4 x [δa L + ∂µ Jaµ (x)] f a (x)
δS =
(18.8)
Sviluppiamo adesso il funzionale generatore:
Z
Z
Z
iS[φ]
0 iS[φ0 ]
Z = [dφ]e
= dφ e
= [dφ]eiA[f ] eiS[φ]+iδS
Z
Z
' [dφ](1 + A[f ])eiS[φ] (1 + iδS) = [dφ]eiS[φ] (1 + iδS + iA[f ])
Z
= Z + [dφ]eiS[φ] (iδS + iA[f ])
da cui
Z
0=
[dφ]eiS[φ]
Z
d4 x[δa L + ∂µ Jaµ + Aa ]f a (x)
e cio`e
∂µ Jˆaµ = −δa Lˆ − Aˆa
(18.9)
Se la G globale `e una simmetria, δa L = 0 e di conseguenza
∂µ Jaµ = 0
∂µ Jˆµ − Aˆa
classico
quantistico
a
18.1
Anomalia abeliana (simmetria chirale & teoria di gauge non chirale)
Trasformazione dei campi fermionici ψ(x):
ψn (x) → Unm (x)ψm (x)
dove n, m sono indici (collettivi) di specie (flavor+colore+Dirac). Possiamo riscrivere la trasformazione
come
Z
Z
ψn (x) → d4 y Unm (y)δ (4) (x − y)ψm (y) ≡ d4 y Uxn,ym ψm (y)
(18.10)
mentre per ψ abbiamo
ψ(x) → ψ(x)γ 0 U (x)γ 0 =
90
Z
d4 y ψ(y)U xn,ym
dove U xn,ym = [γ 0 U † (y)γ 0 ]nm δ (4) (x − y). Vogliamo capire come cambia la misura dell’integrale [dψdψ].
Nota. Se consideriamo N variabili di Grassmann φ1 , . . . , φN , allora una generica funzione di esse pu`
o
essere sviluppata come
X
X
f (φ) = f0 +
fi φi +
fij φi φj + · · · + FN φN · · · φ1
i
e
i<j
Z Y
N
dφi f (φ) = FN
i=1
Se consideriamo adesso una trasformazione lineare
X
φ=
Aij ηj
j
con A matrice costante N × N e η1 , . . . , ηN variabili di Grassmann, allora
f (φ(η)) = · · · + FN (det A)ηN · · · η1
dove abbiamo tenuto solo l’unico termine rilevante all’integrale. Infatti, usando l’anticommutativit`a della
variabili di Grassmann si ha
X
X
φ1 · · · φN =
A1α1 · · · AN αN ηα1 · · · ηαN =
A1α1 · · · AN αN α1 ···αN η1 · · · ηN = (det A)η1 · · · ηN
α1 ,...,αN
α1 ,...,αN
Dunque
Z Y
N
dηi f (φ(η)) = FN det A
i=1
e
Z
Z
Z
N
[dη]
1 Y
dηi f (φ(η)) ≡
f (φ(η)) = FN = [dφ] f (φ)
det A i=1
det A
da cui
Nel nostro caso
[dη] = [dφ] det A
(18.11)
[dψ dψ 0 ] = (det U det U)−1 [dψdψ]
(18.12)
0
Abbiamo adesso due casi:
1. Trasformazione non chirale: U (x) = eiα(x)t , con t matrice hermitiana negli indici di colore e sapore
e identit`
a negli indici di Dirac. Allora U † U = U U † = 1. Da questo segue che UU = UU = 1, ossia
U `e una matrice pseudo-unitaria, e quindi det U det U = det(UU) = 1, cio`e per trasformazioni non
0
chirali non c’`e anomalia, in quanto [dψ dψ 0 ] = [dψdψ].
2. Trasformazione chirale: U (x) = eiα(x)γ5 t , con t avente le stesse propriet`a del caso precedente. In
questo caso per`
o U `e pseudo-hermitiana, i.e. U = U in quanto
U = γ 0 U † γ 0 = γ 0 e−iαγ5 t γ 0 = eiαγ5 t = U
Allora
0
[dψ dψ 0 ] = (det U)−2 [dψdψ]
(18.13)
Calcoliamo il determinante:
Uxn,ym = Unm (x)δ (4) (x − y) = eiα(x)γ5 t
da cui (possiamo esponenziare l’identit`a gratuitamente)
U = eiαγ5 t ⊗ 1(x) = eiαγ5 t⊗1(x)
91
nm
⊗ 1xy
Quindi
det U = e
tr ln U
Z
4
(4)
= exp tr[iαγ5 t ⊗ 1(x) ] = exp i d x α(x)δ (x − x)trD,C,F (γ5 t)
(18.14)
dove la traccia `e estesa agli indici di Dirac (D), di flavor (F), e di colore (C). Adesso
Z
R 4
!
−2
4
(4)
(det U) = exp −2i d x α(x)δ (x − x)trD,C,F (γ5 t) = ei d x α(x)A(x)
da cui otteniamo l’espressione dell’anomalia
A(x) = −2tr(γ5 t)δ (4) (x − x)
(18.15)
Questo oggetto `e mal definito e occorre pertanto regolarizzarlo.
18.2
Regolarizzazione gauge-invariante dell’anomalia
Riscriviamo l’anomalia come
2
( "
/x
D
M2
A(x) = −2 tr γ5 tf
!#
)
δ
(4)
(x − y)
(18.16)
y→x
con Dxµ = ∂xµ + igTa Aµa (x), M `e il cut-off ultravioletto (alla fine manderemo M → ∞). f `e quasi
arbitraria, in quanto deve soddisfare
!
2
/x
D
!
lim f
= f (0) = 1
M →∞
M2
lim f (s) = 0
s→∞
lim sf 0 (s) = lim sf 0 (s) = 0
s→0
s→∞
Con questa regolarizzazione, il risultato `e finito nel limite M → ∞:
M →∞
A(x) −→ −
g2
µνρσ Faµν Fbρσ tr[Ta Tb t]
16π 2
(18.17)
Un’altra regolarizzazione possibile `e il metodo del point-splitting. Ad esempio per la U (1)A , J5µ =
ψ(x)γ µ γ5 ψ(x) `e mal definita in quanto mal definito il prodotto di operatori locali nello stesso punto.
Allora splittiamo i punti, ma li colleghiamo con un trasporto parallelo per preservare l’invarianza di
gauge:
Ry
J5µ = ψ(y)γ µ γ5 Wy←x ψ(x),
Wy←x = Pe−ig x Aµ (z)dz
Dimostrazione. (sketch)
Scriviamo la delta in trasformata:
d4 k
(2π)4
Z
A(x) = −2
2 Dx
ik(x−y)
tr γ5 tf
e
M2
y→x
e facciamo agire la derivata covariante
Z
= −2
/ x )2
d4 k
(i/
k+D
tr γ5 tf
(2π)4
M2
Eseguiamo uno scaling: k → k 0 M e richiamiamo k 0 = k,
Z
d4 k / x /M ]2
= −2
tr γ5 tf [i/
k+D
4
(2π)
92
Espandiamo l’argomento di f :
/ x /M )2 = −k 2 +
(i/
k+D
2ikDx
+
M
Dx
M
2
≡ −k 2 + ∆
e sviluppiamo f in serie intorno a −k 2 :
1
f (−k 2 + ∆) = f (−k 2 ) + f 0 (−k 2 )∆ + f 00 (−k 2 )∆2 + · · ·
2
Adesso notiamo che i termini in M −n con n > 4 non contribuiscono in quanto per M → ∞ vanno a zero,
mentre quelli con n < 4 non contribuiscono perch´e non hanno un numero sufficiente di matrici γ per
avere traccia non nulla con γ5 (ne servono almeno quattro). Ne segue che l’unico termine che contribuisce
`e quello in 1/M 4 ; nel limite M → ∞ allora
Z
d4 k 00
4
/ x]
f (−k 2 )tr[γ5 tD
(18.18)
A(x) = −
(2π)4
Adesso possiamo calcolare separatamente il contributo dell’integrale e della traccia.
1. Rotazione di Wick.
Z
Z
Z +∞
0
4
00
2 k →ikE,4
4
00 2
d k f (−k )
=
i d kE f (kE ) = i
d|kE | 2π 2 |kE |3 f 00 (|kE |2 )
0
Z +∞
Z +∞
= iπ 2
ds sf 00 (s) = −iπ 2
ds f (s)
0
0
= −iπ 2 [f (s)]+∞
= iπ 2
0
dove abbiamo prima posto |kE |2 = s e poi abbiamo usato le ipotesi su f per integrare per parti e
calcolare l’integrale.
2. Traccia.
1
1
{Dxµ , Dxν } {γµ , γν } + [Dxµ , Dxν ] [γµ , γν ]
4
4
ν
µ
Usando le relazioni {γµ , γν } = 2gµν 1, [Dx , Dx ] = igTa Faµν troviamo
2
/x =
D
1
2
/ x = Dx2 + igTa Faµν [γµ , γν ]
D
4
(18.19)
L’unico termine rilevante del quadrato che ha traccia non nulla con γ5 `e quello contenente due
commutatori, cio`e
tr {γ5 [γµ , γν ][γρ , γσ ]} = 16iµνρσ
(18.20)
Di conseguenza
2
iπ 2
g µν ρσ
A(x) = −
− Fa Fb
16iµνρσ tr[Ta Tb t]
(2π)4
16
g2
=−
µνρσ Faµν Fbρσ tr[Ta Tb t]
16π 2
dove la traccia `e estesa agli indici di flavor e di colore.
Facciamo adesso due esempi.
1. Interazioni forti.
Dµ = ∂µ + igTa Aaµ ,
93
Ta ∈ su(Nc )
La traccia residua `e nel flavor e nel colore, ma l’interazione forte `e diagonale nel flavor, quindi
Ta = (Ta )(c) ⊗ 1(f ) . Invece t = 1(c) ⊗ t(f ) , con t(f ) ∈ {T1 , . . . , TL2 −1 , 1(f ) }, dove i Ti sono i
generatori di SU (L). In questo caso troviamo che
g2
µνρσ Faµν F ρσ tr(f,c) [(Ta )(c) (Tb )(c) ⊗ t(f ) ]
16π 2
g2
=−
µνρσ Faµν Fbρσ tr(c) [Ta Tb ]tr(f ) (t)
16π 2
g2
=−
µνρσ Faµν Faρσ tr(f ) (t)
(18.21)
32π 2
dove abbiamo usato la normalizzazione standard tr[Ta Tb ] = δab /2. Adesso, se t ∈ {T1 , . . . , TL2 −1 },
(f )
allora tr(t) = 0 e quindi non c’`e anomalia, cio`e ∂µ Aµa = 0 nel limite chirale (Aµa = ψγ µ γ5 Ta ψ),
(f )
mentre per M 6= 0, ∂µ Aµa = iψγ5 {M, Ta }ψ.
Se invece t = 1(f ) , cio`e stiamo trattando una U (1)A , allora tr(t) = L (numero di flavors) e
A(x) = −
AU (1)A (x) = −
g2
!
Lµνρσ Faµν Faρσ = −2LQ(x)
32π 2
(18.22)
dove Q(x) `e la densit`
a di carica topologica
Q(x) =
g2
µνρσ Faµν Faρσ
64π 2
(18.23)
che pu`
o essere scritta in vari modi
g2
µνρσ tr[F µν F ρσ ]
32π 2
g 2 µν ∼
=
F F a,µν
32π 2 a
∼
g2
=
tr[Fµν F µν ]
2
16π
Q(x) =
∼
dove F µν = µνρσ F ρσ /2. Si definisce inoltre la carica topologica q
Z
q = d4 x Q(x)
(18.24)
A livello quantistico e nel limite chirale la corrente U (1)A J5µ = ψγ µ γ5 ψ non `e conservata: ∂µ J5µ =
2LQ(x). Se M 6= 0 si ha invece ∂µ J5µ = 2iψγ5 M ψ + 2LQ(x).
2. Interazioni elettomagnetiche.
2
3

Q=
0

0


0 

Dµ = ∂µ − i|e|QAµ ,
0 

1
−
3
Possiamo usare la stessa formula di prima per l’anomalia, con gli accorgimenti g → |e|, Ta → Q =
1(c) ⊗ Q(f ) , ottenendo
0
1
−
3
0
e2
µνρσ F µν F ρσ tr(c) (1)tr(f ) [Q2 t]
16π 2
Nc e2
=−
F µν F ρσ tr(f ) [Q2 t]
2 µνρσ
16π


4
0
0
9



1
2

Q = 0
0

9

1
0 0
9
A(x) = −
94
(f )
(f )
(f )
(f )
Essendo Q2 diagonale, sar`
a combinazione lineare di {1(f ) , T3 , T8 }, mentre t ∈ {T1 , . . . , T8 , 1(f ) }.
Allora
n
o
(f )
(f )
tr[Q2 t] = 0
se t 6∈ T3 , T8 , 1(f )
(18.25)
Sono pertanto anomale solo le trasformazioni generate da
1
0
2
(f )

t = T3 =  0 − 1
2
0
0
(f )
(f )
T3 , T8 , 1(f ) . Fissiamo per esempio

0


0
0
Allora l’anomalia sar`
a data da
Nc e 2
4 1 1 1
Nc e2 µν ρσ
(em)
2
µν ρσ
F F tr(f ) [Q T3 ] = −
µνρσ F F ×
A3 (x) = −
× − ×
16π 2
16π 2
9 2 9 2
da cui
(em)
A3
(x) = −
Nel limite chirale allora
(18.26)
Nc e 2
µνρσ F µν F ρσ
96π 2
∂µ Aµ3 =
18.3
Nc e2
µνρσ F µν F ρσ
96π 2
Passaggio da teoria fondamentale a teoria efficace
Nell’espressione
Z
Zeff =
[dU ]ei
R
d4 x Leff
la misura [dU ] `e una misura invariante, in quanto questa teoria non contiene fermioni (i campi fondamentali sono i bosoni di Goldstone). Vogliamo comunque inserire l’anomalia quantistica all’interno della
teoria efficace. Ricordiamo che
Z
R 4
Zfond = [dψdψ]ei d x[LQCD +Lem ]
dove la misura fermionica trasforma come
0
[dψ dψ 0 ] = eiα
R
(em)
d4 x A3
(x)
[dψdψ]
Per riprodurre l’anomalia nella teoria efficace dobbiamo richiedere che, sotto la trasformazione
U → U 0 = AU A,
(em)
A = eiαT3 (= VL = VR† )
(0)
si abbia δLeff = αA3 . Ma la Leff costruita precedentemente `e invariante per queste trasformazioni.
(em)
(0)
Allora ci aggiungiamo un termine ∆Leff tale che δ(∆Leff ) = αA3 , cio`e Leff = Leff + ∆Leff .
Ricordando che se A = eiωa Ta , allora sotto U → U 0 = AU A si ha πa0 = πa + Fπ ωa + · · · e in particolare,
se A = eiαT3 , cio`e ωa = αδa3 , allora
π30 = π3 + αFπ
π10 = π1
π20 = π2
e quindi δπ3 = αFπ . Per implementare l’anomalia nelle teoria efficace `e sufficiente scegliere, all’ordine
pi`
u basso nei campi
π3 (em)
Nc e 2
(π γγ)
∆Leff3
=
A3
=−
µνρσ F µν F ρσ π3
(18.27)
Fπ
96π 2 Fπ
Possiamo quindi usare questo vertice per calcolare la larghezza di decadimento del processo π 0 → γγ,
ottenendo
2 2 3
2
α Mπ 0
Nc
Nc
Γ(π 0 → γγ) =
'
× 1.16 × 1016 s−1
3
64π 3 Fπ2
3
da confrontare con il valore sperimentale Γexp ' (1.19 ± 0.08) × 1016 s−1 , che implica Nc = 3.
95
19
19.1
Esoterismo e pratiche occulte
Limite di grandi Nc (Nc → ∞)
Lo sviluppo 1/Nc permette di estendere la teoria delle perturbazioni a basse scale di energia. Quello
che vogliamo fare praticamente `e mandare Nc → ∞, mantenendo tuttavia ΛQCD costante, che implica
mantenere costanti le masse degli adroni (tranne che per casi patologici come i barioni).
1
2
gR
(µ) =
β0 ln
1
β0 =
(4π)2
µ2
!
Λ2QCD
11Nc − 2Nf
3
2
Se ΛQCD = costante, allora gR
(µ) ∼ 1/Nc , cio`e
2
gR
(µ)Nc = costante
(19.1)
Quindi la richiesta `e Nc → ∞ con λ ≡ g 2 Nc = costante (omettiamo il pedice R).
Esempio 20.
Consideriamo l’operatore corrente gauge-invariante J(x) = ψ(x)Γψ(x), con Γ = Γf,D ⊗1(c) e studiamone
la funzione di correlazione a due punti
Z
hJJi(k) = −i d4 keikx hΩ|T {J(x)J(0)}|Ωi
(19.2)
Vogliamo risommare i diagrammi di Feynman in base alle loro potenze in Nc .
diagramma, il suo ordine in Nc `e dato dalla regola di ’t Hooft:
Dato un generico
Nc2−2H−L
(19.3)
dove L `e il numero di loop di quark e H `e il numero topologico della superficie (H = 0 per la sfera e
H = 1 per il toro). Quindi i loop di quark sopprimono quindi le funzioni di correlazioni di un fattore
1/Nc ciascuno, mentre la topologia sopprime invece di 1/Nc2 . L’ordine leading `e dato dai diagrammi con
L = 1 e H = 0, cio`e O(Nc ).
19.2
Problema U (1) nel limite Nc → ∞ (Witten, 1979)
Nel limite chirale M = 0, la quadridivergenza della carica assiale era proporzionale alla densit`a di carica
topologica:
g 2 µνρσ a a
∂µ J5µ = 2LQ(x),
Q(x) =
Fµν Fρσ
64π 2
Q(x) ∼ 1/Nc , quindi la speranza `e che nel limite Nc → ∞ l’anomalia possa essere trattata come una
piccola perturbazione. Witten propose di considerare la funzione di correlazione a due punti della Q:
Z
χ(k) ≡ hQQi(k) = −i d4 keikx hΩ|T {Q(x)Q(0)}|Ωi
(19.4)
Si trova in questo caso (gli operatori sono gluonici e non fermionici):
r = (g 2 )2 Nc2−2H−L = Nc−2H−L
L’ordine leading `e H = L = 0, cio`e O(Nc= 0) (contributo di pura gauge). Espandiamo χ(k):
χ(k) = A0 (k) + A1 (k) + A2 (k) + · · ·
96
(19.5)
con A0 (k) = O(Nc0 ), A1 (k) = O(Nc−1 ), A2 (k) = O(Nc−2 ). Ad A1 (k) contribuiscono tutti i diagrammi
planari (H = 0) aventi un solo loop di quark (L = 1) e vengono dal contributo di stati intermedi di
singola particella di tipo mesonico, quindi
X
A1 (k) =
n (mesoni)
|hΩ|Q(0)|ni|2
k 2 − Mn2
(19.6)
Quindi
X
χ(k) = A0 (k) +
n (mesoni)
|hΩ|Q(0)|ni|2
k 2 − Mn2
Per k → 0, χ(0) ≡ χ (suscettivit`
a topologica), poniamo A0 (0) ≡ A, allora
X
χ=A−
n (mesoni)
|Ω|Q(0)|ni|2
Mn2
(19.7)
Problema: nel limite chirale si ha χ = 0, infatti
Z
1
i ∂ 2 Z[θ] 4
χ(k = 0) = −i d khΩ|T {Q(x)Q(0)}|Ωi =
V T Z[θ] ∂θ2 θ=0
dove
(19.8)
Z
h
i
(M =0)
[dA][dψdψ] exp i d4 x LQCD + θQ(x)
Z
Z[θ] =
(19.9)
Allora
Z
Z
Z
Z
i ∂ 2 Z[θ] 4
4
4
= −i d x d yhΩ|T {Q(x)Q(y)}|Ωi = −i d x d4 yhΩ|T {Q(x)Q(0)}|Ωi
Z ∂θ2 θ=0
dove abbiamo usato l’invarianza per traslazioni. Adesso regolarizziamo l’integrale in d4 y integrando su
un quadrivolume finito V T :
Z
= −iV T d4 xhΩ|T {Q(x)Q(0)}|Ωi
Cambiamo adesso variabili ”mute” di integrazione:
0
ψ → ψ 0 = eiαγ5 ψ,
Allora
0
[dψdψ] → [dψ dψ 0 ] = [dψdψ]eiα
R
ψ → ψ = ψeiαγ5
d4 x AU (1) (x)
,
AU (1) (x) = −2LQ(x)
e di conseguenza
Z
h
i
0
(M =0)
0
4
Z[θ] = [dA][dψ dψ ] exp i d x LQCD (ψ , ψ , A) + θQ(x)
Z
Z
h
i
(M =0)
4
= [dA][dψdψ] exp i d x LQCD (ψ, ψ, A) + (θ − 2Lα)Q(x)
Z
Z[θ − 2Lα]
0
0
∀α
cio`e Z[θ] = Z[0] per ogni θ, quindi ∂Z/∂θ e χ(k = 0) = 0.
Se χ(0) = 0 ma A0 (0) ≡ A 6= 0, allora come possiamo annullare la suscettivit`a topologica? Dato che
A0 (0) ∼ O(Nc0 ) e A1 (0) ∼ O(Nc−1 ), non riusciamo mai a cancellare il contributo del termine leading.
Possiamo avere la cancellazione tra i due termini se esiste un mesone di singoletto |si tale che hΩ|Q(0)|si =
6
0 e |hΩ|Q(0)|si|2 = O(1/Nc ) e Ms2 = O(1/Nc ) tale che
A=
|hΩ|Q(0)|si|2
.
Ms2
97
(19.10)
Da questa relazione possiamo estrarre la massa quadra del singoletto. Usando ∂µ J5µ = 2LQ(x), possiamo
scrivere
1
hΩ|∂µ J5µ (x)|s(p)i
2L
1
=
∂µ hΩ|J5µ (x)|s(p)i
2L
√
1
=
∂µ [i 2LFs pµ e−ipx ]
2L
1
= √ Fs Ms2 e−ipx
2L
hΩ|Q(x)|s(p)i =
In definitiva
1
hΩ|Q(0)|s(p)i = √ Fs Ms2
2L
(19.11)
che sostituito nella (19.10) porta alla formula di Witten per la massa del singoletto:
2LA
2LA
=
(19.12)
Fs2
Fπ2
√
dove abbiamo usato che A = O(Nc0 ), Fs ' Fπ = O( Nc ). Dimostriamo quest’ultima uguaglianza:
consideriamo, nel limite Nc → ∞,
Ms2 =
hAµ3 A3µ i(k) '
Fπ2 Mπ23 |O(Nc0 )
hΩ|Aµ3 (0)|π3 (p)ihπ3 (p)|A3µ (0)|Ωi
= 2
2
2
k − Mπ3
k − Mπ23 |O(Nc0 )
hJ5µ J5µ i(k) '
6Fs2 Ms2 |O(Nc0 )
hΩ|J5µ (0)|s(p)ihs(p)|J5µ (0)|Ωi
=
k 2 − Ms2
k 2 − Ms2 |O(Nc0 )
(19.13)
Nel limite chirale le masse sono zero e otteniamo l’identit`a banale 0 = 0. Per ottenere un’identit`a non
banale, prendiamo allora mu = md = ms ≡ m, che implica Ms2 , Mπ23 6= 0. In questo caso
1
1
Aµ3 (x) = ψγ µ γ5 T3 ψ = ψ u γ µ γ5 ψu − ψ d γ µ γ5 ψd
2
2
X
µ
µ
µ
J5 (x) = ψγ γ5 ψ =
ψ f γ γ5 ψf
f =u,d,s
I contributi dominanti sono quelli aventi lo stesso flavor, in quanto sono realizzati da diagrammi aventi
un solo loop di quark. Essendo le masse uguali, si trova la relazione
hJ5µ J5µ i(k)|O(Nc ) = 6hAµ3 A3µ i|O(Nc )
(19.14)
Usando le espressioni trovate per le funzioni di correlazione a due punti, questa uguaglianza implica che
Ms2 |O(Nc0 ) = Mπ23 |O(Nc0 )
p
Fs = Fπ = O( Nc )
19.3
Lagrangiana efficace di Witten-Di Vecchia-Veneziano
Consideriamo la Lagrangiana chirale efficace nel limite M = 0 e per L = 3 flavors:
(2)
Leff (π, S) =
1
F2
∂µ S∂ µ S + π tr[∂µ U ∂ µ U † ]
2
4
che `e invariante sotto trasformazioni U (1)A :
U → U0 = U
√
S → S 0 = S + αFπ 6
=⇒
98
√
δS = αFπ 6
a cui avevamo aggiunto un termine ∆Leff che implementava l’anomalia tale che
AU (1) = −6Q(x)
δ(∆Leff ) = αAU (1) ,
Usiamo quindi Q(x) come campo ausiliario per scrivere
(2)
Leff (π, S, Q)
√
6
Q2
Fπ2
1
µ
µ †
tr[∂µ U ∂ U ] −
QS +
= ∂µ S∂ S +
2
4
Fπ
2A
}
| {z
(19.15)
∆Leff
dove l’ultimo termine `e stato aggiunto affinch´e la funzione a due punti di pura gauge sia diverso da zero
(ipotesi di Witten), cio`e
Z
−i d4 x hQ(x)Q(0)iY.M. = A
Adesso vogliamo integrare via il campo ausiliario Q(x). Possiamo procedere in due modi:
1. Integrazione gaussiana. Scriviamo
√
6
1
1 2
Q −
QS =
2A
Fπ
2A
√ !2
1 6A 2
A 6
−
S
Q−
S
Fπ
2 Fπ2
che dopo integrazione gaussiana in [dQ] diventa
=−
1 6A 2
S
2 Fπ2
2. Equazioni del moto. Scrivendo l’equazione di Eulero-Lagrange per il campo Q:
√
(2)
∂ Leff
Q
6
=
−
0=
S
∂Q
A
Fπ
troviamo allo stesso modo
√
A 6
Q=
S
Fπ
La Lagrangiana adesso diventa
(2)
Leff (π, S)
1
1
= ∂µ S∂ µ S −
2
2
6A
Fπ2
S2 +
Fπ2
tr[∂µ U ∂ µ U † ]
4
(19.16)
Abbiamo quindi ottenuto un termine di massa per il singoletto da cui si ottiene esattamente la formula
di Witten:
6A
Ms2 = 2
(19.17)
Fπ
Nel caso M 6= 0 la Lagrangiana sar`
a
(2)
(2)(M =0)
Leff (π, S) = Leff
con
∼
U= Ue
iS
√
∼
∼†
1
(π, S) + Fπ2 Btr[M (U + U )]
2
(
2/3
= exp
i
Fπ
8
X
a=1
r
πa λa + S
2
1
3
!)
Partiamo adesso dalla Lagrangiana
(2)
Leff
√
∼
∼†
1
Fπ2
1 2
1 2
6σ
µ
µ †
= ∂µ S∂ S +
tr[∂µ U ∂ U ] + Fπ Btr[M (U + U )] +
Q −
QS
2
4
2
2A
Fπ
∼
∼†
∼
∼†
∼
∼†
F2
1 2 i
= π tr[∂µ U ∂ µ U +2BM (U + U )] +
Q + Qtr[ln U − ln U ]
4
2A
2
99
(19.18)
Integrando quindi in [dQ]:
(2)
2
∼
∼†
∼
∼†
∼
∼†
1
Fπ2
tr[∂ µ U ∂µ U +2BM (U + U )] + A tr[ln U − ln U ]
4
8
2
∼
∼†
F
1
3A
= ∂µ S∂ µ S + π tr[∂ µ U ∂µ U † + 2BM (U + U )] − 2 S 2
2
4
Fπ
Leff =
(19.19)
da qui si trova che

√
2
2 2
B(m
ˆ + 2ms )
B(
m
ˆ
−
m
)
s
3


M2(π8 ,S) =  3√

2 2
6A
2
ˆ + ms ) + F 2
B(m
ˆ − ms ) 3 B(2m
π
3
cio`e il π8 e il singoletto S mescolano. Gli autovalori e gli autovettori di questa matrice sono
0 η
cos q
sin q
π8
=
η0
− sin q cos q
S

dove
tan q =
√
2
2
3 Mη 0 − Mπ
2− √
2 − M2
2 2 MK
π
(19.20)
(19.21)
(19.22)
Ricaviamo inoltre la formula di Witten-Veneziano
2
Mη20 − Mη20 − 2MK
=
6A
Fπ2
(19.23)
Questa relazione `e fondamentale in quanto collega A (che `e calcolabile su reticolo) a grandezze sperimentali. I dati sono in accordo con la teoria
A ≈ (180 MeV)4
Tuttavia sorge un problema: si pu`
o vedere che
Q(x) =
∼µν
g2
g 2 µνρσ
!
tr[F
]
=
tr[Fµν Fρσ ] = ∂µ K µ
F
µν
16π 2
16π 2
(19.24)
con
g 2 µνρσ
2
tr
A
igA
A
∂
A
+
ν
ρ σ
ρ σ
16π 2
3
g 2 µνρσ
2
tr Aν Fρσ − igAρ Aσ
=
16π 2
3
Kµ =
(19.25)
detta corrente di Chew-Simons. Questo fatto rappresenta un problema nella misura in cui, essendo
l’anomalia una quadridivergenza, si pensava che questa dovesse sparire ad infinito. Invece, fu dimostrato
che esistevano soluzioni euclidee nell’azione finita e topologia non banale chiamate istantoni,
Z
ϕE = d4 x QE (x) ∈ Z
Se cos`ı non fosse, allora A = 0 perch´e non potrebbe esserci suscettivit`a topologia non nulla. Infatti
Z
Z
Z = [dA] exp i d4 x[LY M (A) + θQ(x)]
ma, essendo Q(x) una quadridivergenza il suo contributo all’integrale sarebbe nullo. Esistono delle azioni
euclidee aventi carica topologica non banale,
Z
ZE [θ] = [dAE ] exp {−SE + iθϕE }
100
C’`e anche un altro aspetto del problema, cio`e che ∂µ J5µ = 2LQ(x) = 2L∂µ K µ . Sappiamo che, essendo in
presenza di anomalia, non possiamo applicare il teorema di Goldstone. Tuttavia, possiamo trovare una
corrente conservata:
∼µ
∼µ
µ
µ
∂µ J 5 = 0
(19.26)
J 5 ≡ J5 − 2LK ,
A questa `e possibile applicare il teorema di Goldstone e di conseguenza dovrebbe esistere un bosone
di Goldstone. In realt`
a cos`ı non `e in quanto questa corrente non `e invariante di gauge e quindi non
pu`
o essere applicata a stati fisici. Dunque, abbiamo il ”polo” del teorema di Goldstone ma ad esso non
corrisponde uno stato fisico. Questa `e una conseguenza dell’aver richiesto la conservazione della chiralit`
a:
non si pu`
o avere invarianza di gauge se si vuole conservare la chiralit`a e viceversa.
19.4
Istantoni
Gli istantoni sono chiamati in questo modo in quanto hanno un’ampiezza finita anche nel tempo.
Partiamo dall’azione
Z
1
d4 xE tr[FE,µν FE,µν ]
SE =
2
Z
Z
∼
∼
∼
1
1
=
d4 xE tr[(FE,µν ∓ F E,µν )(FE,µν ∓ F E,µν )] ±
d4 xE tr[FE,µν F E,µν ]
2
2
8π 2
≥ ± 2 ϕE
(ϕE ∈ Z)
(disuguaglianza di Bogomol’ny)
(19.27)
g
∼
†
2
†
dove F E,µν = 12 E
µνρσ FE,µν . Sappiamo che se H = H , allora trH = tr[HH ] ≥ 0. Adesso distinguiamo
i due casi (±):
∼
• Se ϕE > 0 (+), allora SE `e minima se FE,µν =F E,µν (auto-duale) e quindi SE = 8π 2 ϕE /g 2 .
∼
• Se ϕE < 0 (−), allora SE `e minima se FE,µν = − F E,µν (anti auto-duale)e SE = 8π 2 |ϕE |/g 2 .
detti rispettivamente istantoni e anti-istantoni. Questo non dimostra l’esistenza degli istantoni, ma
fornisce solo le condizioni che devono essere rispettate qualora esistano. Teniamo presente che per
contare questi oggetti devono avere un’azione finita, altrimenti nell’esponenziale e−S non conterebbero.
Per avere azione finita, il tensore Fµν deve essere tale che Fµν → O(r−2− ) per r → ∞, dove r `e la
funzione che definisce la trasformazione di gauge, mentre sul campo di gauge la richiesta `e
r→∞
Aµ −→
i
(∂µ r)r + O(r−2+ )
g
Nota. La carica topologica dipende da quante volte viene ricoperto il codominio dal dominio della trasformazione. Ad esempio, se si passa da SU (2) a SO(3), la carica topologica `e 1 in quanto i due gruppi
sono isomorfi.
La domanda adesso `e: possiamo avere un termine nella Lagrangiana con θ 6= 0, cio`e con carica topologica
non nulla? Cosa dice la fenomenologia in tal senso?
19.5
Termine θ
1
/ − M )ψ − tr[Fµν F µν ] + θQ(x)
LQCD = ψ(iD
2
∼
∼µν
g2
Q(x) =
tr[F µν F ] ∼ tr[E · B]
16π 2
Il termine θQ(x) era stato scartato all’inizio in quanto violava P, T, CP . Sappiamo che
(
(
E → −E
E→E
P :
T :
B→B
B → −B
101
Fenomenologicamente queste simmetrie non sono violate. Una verifica pu`o essere fatta con il momento
di dipolo elettrico del neutrone: questo `e messo in relazione con θ da
dn ' |θ|e
Mπ2
≈ 10−16 |θ|e · cm
Mn3
(19.28)
I limiti sperimentali danno un valore
dn ≤ 10−25 e · cm
cio`e
|θ| ≤ 10−9
I meccanismi per spiegare questo valore estremamente piccolo all’interno della QCD non funzionano.
Volendo, il termine θ si pu`
o spostare nel termine di massa, ma cos`ı facendo questo non sarebbe pi`
u
invariante sotto U (1). Pi`
u in generale, possiamo scrivere
1
/ + δL(massa) (ψ, ψ) + θQ(x)
LQCD (ψ, ψ, A) = − tr[Fµν F µν ] + ψiDψ
2
(19.29)
con
δL(massa) = −ψ R mψL − ψ L m† ψR = −ψ
m + m†
2
ψ−ψ
m − m†
2
γ5 ψ ≡ −ψ(A + iγ5 B)ψ
m + m†
2
m
− m†
B = B † = −i
2
A = A† =
se B 6= 0, abbiamo violazione di P, T, CP . Facciamo adesso un cambio di variabile nell’integrale
funzionale


ψ1
Z
R 4


Z = [dA][dψdψ]ei d x LQCD (ψ,ψ,A) ,
ψ =  ... 
(19.30)
ψNf
dato da
(
∼
0
ψL → ψL
=V L ψ L
ψR →
∼
0
=V R
ψR
e siano
,
ψR
∼
∼
∼
V L , V R ∈ U (Nf )
∼
det V L ≡ eiϕL ,
det V R ≡ eiϕR
(19.31)
(19.32)
Definiamo quindi
∼
VL = e−iϕL /Nf V L
∼
VR = e−iϕR /Nf V R
con VL , VR ∈ SU (Nf ). Se adesso eseguiamo la trasformazione U (1) ⊗ SU (Nf ):
0
ψL → ψL
= eiαL VL ψL ,
ψR →
0
ψR
=e
iαR
V R ψR ,
αL ≡ ψL /Nf ,
αR ≡ ψR /Nf ,
VL ∈ SU (Nf )
VR ∈ SU (Nf )
(19.33)
ricordando che U (Nf ) ⊗ U (Nf ) = U (1)L ⊗ U (1)R ⊗ SU (Nf )L ⊗ SU (Nf )R = U (1)V ⊗ U (1)A ⊗ SU (Nf )L ⊗
SU (Nf )R , con

ϕL − ϕR
αL − αR



=
∈ U (1)A
α=
iαL
i(β+α)



U
(1)
=
e
=
e
2
2Nf
L


=⇒




iαR
i(β−α)
β = αL + αR = ϕL + ϕR ∈ U (1)
U (1)R = e
=e


V
2
2Nf
102
quello che troviamo `e che solo la U (1)A porta una variazione sulla misura dell’integrale funzionale della
forma
Z
0
0
4
[dψ dψ ] = [dψdψ] exp −2iNf α d x Q(x)
e si avr`
a
Z
0
0
[dA][dψ dψ 0 ] exp i d4 x[LQCD (ψ 0 , ψ , A) + θQ(x)]
Z
Z
4
/ + δL(massa) (ψ, ψ) + (θ − 2Nf α)Q(x)]
= [dA][dψdψ] exp i d x[LY M (A) + ψiDψ
Z
ZQCD =
Notiamo che se m = 0, per quanto visto, allora anche θ = 0 (basta anche un solo quark a massa nulla).
Inoltre
0
0
0
0
0
δL(massa) (ψ , ψ 0 ) = −ψ R mψL
− ψ L m† ψR
= −ψ R m0 ψL − ψ L m0† ψR
∼†
∼
con m0 =V R m V L Concludiamo che ZQCD `e invariante se
∼†
∼
m → m0 =V R m V L
θ → θ0 = 2Nf α
Osservazione.
θ0 + arg(det m0 ) = θ + arg(det m) ≡ θfisico
∼
∼
`e invariante. Infatti det m0 = (det V R )2 det m(det V L )2 ei(ϕL −ϕR ) . Se det m 6= 0, allora arg(det m0 ) =
arg(det m) + ϕL − ϕR = arg(det m) + 2Nf α, da cui la tesi.
Notiamo adesso due cose:
1. Possiamo eliminare il termine θ scegliendo α = θ/2Nf , cos`ı che
θ0 = 0
arg(det m0 ) = arg(det m) + θ = θfisico
2. Con un’oppoertuna trasformazione U (Nf ) ⊗ U (Nf ) si pu`o ottenere
∼†
∼
m0 =V R m V L = md = diag(m1 , . . . , mNf ),
m1 , . . . , mNf > 0
quindi det m0 = det md ∈ R+ e arg(det m0 ) = 0, da cui θ0 = θ + arg(det m) = θfisico
In altre parole, se θ 6= 0, non possiamo eliminarlo, al pi`
u possiamo spostarlo dal termine di massa al
termine θ. Supponiamo invece che det m = det m0 = 0, ad esempio md = diag(0, m2 , . . . , mNf ). Con
una trasformazione del tipo
0
ψ10 → ψ100 = eiθ γ5 /2 ψ10
ψi0 → ψi00 = ψi0 ,
∀i 6= 1
riusciamo ad eliminare il termine θ senza modificare la matrice di massa:
θ0
=0
2
m0 = md → m00 = md
θ0 → θ00 = θ0 − 2
cio`e ZQCD non dipende da θ. Il problema che abbiamo visto prende il nome di problema CP forte. La
soluzione sarebbe trovare un quark a massa nulla (il candidato sarebbe l’up), ma ci`o `e in contrasto con
i risultati sperimentali. Una soluzione alternativa `e usare un modello al di fuori del modello standard.
103
19.6
Modello di Peccei-Quinn
L’idea `e di trovare un’altra simmetria che annulli il problema delle anomalie. Partiamo da
∼ ∼†
Leff (U , U , N, N † , Q) =
∼†
∼
∼
∼†
F2
Fπ2
tr[∂ µ U ∂µ U +2BM (U + U ] + a ∂ µ N † ∂µ N
4
4
∼
∼†
i
1 2
Q + θQ
+ Q[tr(ln U − ln U )] + aP Q [ln N − ln N † ] +
2
2A
con simmetria aggiuntiva
∼
∼0
∼
N → N 0 = eiγ N
U →U =U ,
U (1)P Q :
(19.34)
con l’ipotesi che questa sia rotta sia spontaneamente sia tramite anomalia (aP Q `e il coefficiente dell’anomalia) e scriviamo
√
N = ei 2Sa /Fπ
dove Sa `e il campo dell’assione e Fπ `e la scala di rottura spontanea di U (1)P Q . L’assione dovrebbe
accoppiare ”tipo Yukawa”: ψ R Sa ψL + h.c.. Con questo modello si riesce a spiegare la violazione di CP :
integrando infatti in [dQ] si ottiene
∼ ∼†
Leff (U , U , N, N † ) =
∼†
∼ ∼†
∼
Fπ2
F2
tr[∂ µ U ∂µ U ] + a ∂ µ N ∂µ N † − V (U , U , N, N † )
4
4
(19.35)
con V della forma
∼
∼†
A
BFπ2
tr[M (U + U )] +
V =−
2
2
2
∼
∼†
1
†
θ + tr[ln U − ln U ] + aP Q (ln N − ln N )
2
(19.36)
Cerchiamo i termini che minimizzano questo potenziale. Definiamo
∼
∼
U ≡ hΩ| U |Ωi,
N ≡ hΩ|N |Ωi
∼
con U ij = δij eiφi , N = eiϕa . Quello che si trova `e che il minimo si ha per
ϕi = 0
(i = 1, 2, 3),
ϕa =
θ
(19.37)
aP Q
con U (1)P Q : Leff → Leff −aP Q γQ. Eliminiamo θ scegliendo γ = θ/aP Q , allora ϕi = ϕa = 0 e si recupera
l’invarianza sotto P, T, CP . Il prezzo da pagare `e l’introduzione di una nuova particella di massa molto
piccola. Osserviamo che se poniamo θ = 0,
∼
∼0
∼
U (1)A ⊗ U (1)P Q :U →U = eiβ U ,
N → N 0 = eiγ N
e
(M =0)
Leff
(M =0)
→ Leff
⇐⇒
3β + aP Q γ = 0
Questo implica che nel limite chirale il modello ha una buona simmetria, che per`o `e spontaneamente
rotta, ci sar`
a di conseguenza un bosone di Goldstone a massa nulla. Se invece M 6= 0, allora tale particella
ci sar`
a ancora, ma sar`
a uno pseudobosone di Goldstone a massa Ma 6= 0 data da
b1
Ma2 ≈ 2b2 B
mu md ms
,
mu md + mu ms + ms md
b=
aP Q
Fπ
Fa
Questa particella `e un candidato per la dark matter e ha come scala di rottura della simmetria
Fa
& 109 GeV
aP Q
=⇒
104
Ma . 0.01 eV

Mia mamma è un gorilla, e allora?

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Document 5220791

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