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Compitone 2014 - Liceo Copernico

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Anno Scolastico 2013 - 2014
29 maggio 2014 - Esercitazione Prova Scritta di Matematica
Corso Tradizionale
Il candidato svolga, a sua scelta, uno dei problemi e quattro dei quesiti proposti.
Ê Assegnata la famiglia F di funzioni reali di variabile reale il cui termine generale `e definito da
fa (x) =
2x
,
x2 + a2
per ogni valore del parametro reale a > 0, il candidato:
1. verifichi che il grafico γa di ciascuna funzione fa ammette esattamente un punto di massimo e uno
di minimo assoluti;
2. verifichi che la retta passante per i suddetti punti di massimo e minimo di γa , racchiude con γa
stesso una regione finita di piano la cui area, al variare dal parametro a, rimane costante;
3. determini il valore del parametro a tale per cui la distanza tra il punto di massimo e quello di
minimo del grafico γa di fa risulta minima;
4. fissato a = 1, indichi con f la relativa funzione e ne tracci il grafico γ;
5. calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa dai grafici di f e della funzione g definita per
ogni x ∈ R ponendo g(x) = xf (x).
Ë In una semisfera di raggio R e centro O si indichi con OH il raggio perpendicolare alla base della
semisfera. Si consideri quindi la superficie C formata da tutte le semirette con origine in O che formano
con il segmento OH un prefissato angolo x acuto e non nullo.
1. Il candidato dimostri che C interseca la calotta semisferica in una circonferenza γ e ne determini il
raggio in funzione dell’angolo x.
2. Il candidato prenda tra i cilindri inscritti nella semisfera, quell’unico avente γ come circonferenza
di base; determini per quale ampiezza dell’angolo x `e massima la superficie totale di tale cilindro,
dopo avere verificato che la funzione da studiare `e proporzionale a f (x) = sin 2x − cos 2x + 1.
3. Indipendentemente dalle limitazioni geometriche, il candidato effettui uno studio e disegni il grafico
Γ della funzione f indicata al punto 2, osservando che risulta una sinusoide traslata.
4. Il candidato calcoli l’area della superficie di ciascuno dei due tipi di regioni finite e convesse di piano
che Γ forma con l’asse delle ascisse.
5. Il candidato risolva l’equazione f (x) = 2.
Quesiti
À Nel 1484 il matematico francese Nicolas Chuquet (1445?-1488?), nella sua opera Triparty en la science
des nombres, espose la “r`egle des nombres moyens” (regola dei numeri medi): dati 4 numeri positivi non
nulli a, b, c e d, il numero a+c
b+d risulta sempre compreso fra a/b e c/d. Dimostri il candidato la correttezza
di tale regola.
x
cos x
Á Date le funzioni fn (x) = sin
xn e gm (x) = xm , il candidato dimostri che, per ogni possibile valore
naturale non nullo assunto dai parametri n e m, entrambe le funzioni tendono a zero al tendere di x a
+∞. Discuta quindi, al variare dei valori assunti dai parametri, l’esistenza e l’eventuale valore del limite
lim
x→+∞
fn (x)
.
gm (x)
1
 Data una parabola P, si consideri l’insieme di tutte le corde di P avente una direzione prefissata.
Dimostri il candidato che il luogo dei loro punti medi `e una semiretta parallela all’asse della parabola.
à Novecento anni fa, nel 1114, nacque il famoso matematico indiano Bhaskara (1114-1185). Nella sua
opera Lilavati, Bhaskara propone una serie di problemi, tra cui il seguente: un pavone `e appollaiato sulla
cima di un palo di altezza a, alla cui base si trova la tana di un serpente. Il serpente si trova inizialmente
a distanza 3a dalla tana e si muove verso di essa mentre il pavone vola in linea retta per catturarlo; se
nel momento della cattura il pavone e il serpente hanno percorso la stessa lunghezza, a quale distanza
dalla tana il serpente viene preso?
Ä Il candidato costruisca, definendola eventualmente a tratti, una funzione continua e derivabile su R
tale per cui M1 (2, 2) e M2 (−2, 2) risultino punti di massimo assoluto del suo grafico, mentre O(0, 0)
sia punto di minimo relativo.
Å Noto che l’angolo fra due rette sghembe r e s `e definito come l’angolo (acuto o retto) fra due rette
parallele rispettivamente a r e a s e concorrenti in un punto qualsiasi dello spazio, il candidato commenti
la seguente proposizione, specificando se essa `e vera o falsa: una retta t `e perpendicolare al piano α se e
solo se essa `e perpendicolare a qualsiasi ogni retta di α.
Æ Sia P la parabola di equazione y = x2 . Il candidato calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa
fra la parabola, la sua tangente in un punto (x0 , y0 ), di ascissa positiva, e l’asse x, dimostrando che essa
`e proporzionale a x30 .
Ç Il candidato stabilisca quante sono le soluzioni dell’equazione
3
3
2x = p + 1;
|x|
determini quindi, per ciascuna delle soluzioni trovate, un intervallo di ampiezza unitaria ed estremi interi
che la contenga.
2
Anno Scolastico 2013 - 2014
29 maggio 2014 - Esercitazione Prova Scritta di Matematica
Corso P.N.I.
Il candidato svolga, a sua scelta, uno dei problemi e quattro dei quesiti proposti.
Ê Assegnata la famiglia F di funzioni reali di variabile reale il cui termine generale `e definito da
fa (x) =
x2
2x
,
+ a2
per ogni valore del parametro reale a > 0, il candidato:
1. verifichi che il grafico γa di ciascuna funzione fa ammette esattamente un punto di massimo e uno
di minimo assoluti;
2. determini il valore del parametro a tale per cui la distanza tra il punto di massimo e quello di
minimo del grafico γa di fa risulta minima;
3. fissato a = 1, indichi con f la relativa funzione e ne tracci il grafico γ;
4. verifichi che l’affinit`
a del piano Ta di equazioni
(
x0 = x/a
y 0 = ay
trasforma γa in γ, mettendo in corrispondenza i punti estremanti dei due grafici; deduca dalle
caratteristiche di Ta che l’area della regione finita di piano racchiusa tra γa , l’asse x e le parallele
all’asse y passanti per i punti estremanti `e, al variare dal parametro a, necessariamente costante;
5. calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa dai grafici di f e della funzione g definita per
ogni x ∈ R ponendo g(x) = xf (x).
Ë In una semisfera di raggio R e centro O si indichi con OH il raggio perpendicolare alla base della
semisfera. Si consideri quindi la superficie C formata da tutte le semirette con origine in O che formano
con il segmento OH un prefissato angolo x acuto e non nullo.
1. Il candidato dimostri che C interseca la calotta semisferica in una circonferenza γ e ne determini il
raggio in funzione dell’angolo x.
2. Il candidato prenda tra i cilindri inscritti nella semisfera, quell’unico avente γ come circonferenza
di base; determini per quale ampiezza dell’angolo x `e massima la superficie totale di tale cilindro,
dopo avere verificato che la funzione da studiare `e proporzionale a f (x) = sin 2x − cos 2x + 1.
3. Indipendentemente dalle limitazioni geometriche, il candidato effettui uno studio e disegni il grafico
Γ della funzione f indicata al punto 2, osservando che risulta una sinusoide traslata.
4. Il candidato calcoli l’area della superficie di ciascuno dei due tipi di regioni finite e convesse di piano
che Γ forma con l’asse delle ascisse.
5. Il candidato stimi i valori della maggiore delle aree calcolate al punto precedente tramite uno dei
metodi di quadratura conosciuti e calcoli il relativo errore di approssimazione.
Quesiti
À Nel 1484 il matematico francese Nicolas Chuquet (1445?-1488?), nella sua opera Triparty en la science
des nombres, espose la “r`egle des nombres moyens” (regola dei numeri medi): dati 4 numeri positivi non
3
nulli a, b, c e d, il numero
di tale regola.
a+c
b+d
risulta sempre compreso fra a/b e c/d. Dimostri il candidato la correttezza
cos x
x
Á Date le funzioni fn (x) = sin
xn e gm (x) = xm , il candidato dimostri che, per ogni possibile valore
naturale non nullo assunto dai parametri n e m, entrambe le funzioni tendono a zero al tendere di x a
+∞. Discuta quindi, al variare dei valori assunti dai parametri, l’esistenza e l’eventuale valore del limite
lim
x→+∞
fn (x)
.
gm (x)
 Data una parabola P, si consideri l’insieme di tutte le corde di P avente una direzione prefissata.
Dimostri il candidato che il luogo dei loro punti medi `e una semiretta parallela all’asse della parabola.
à Novecento anni fa, nel 1114, nacque il famoso matematico indiano Bhaskara (1114-1185). Nella sua
opera Lilavati, Bhaskara propone una serie di problemi, tra cui il seguente: un pavone `e appollaiato sulla
cima di un palo di altezza a, alla cui base si trova la tana di un serpente. Il serpente si trova inizialmente
a distanza 3a dalla tana e si muove verso di essa mentre il pavone vola in linea retta per catturarlo; se
nel momento della cattura il pavone e il serpente hanno percorso la stessa lunghezza, a quale distanza
dalla tana il serpente viene preso?
Ä Il candidato costruisca, definendola eventualmente a tratti, una funzione continua e derivabile su R
tale per cui M1 (2, 2) e M2 (−2, 2) risultino punti di massimo assoluto del suo grafico, mentre O(0, 0)
sia punto di minimo relativo.
Å Noto che l’angolo fra due rette sghembe r e s `e definito come l’angolo (acuto o retto) fra due rette
parallele rispettivamente a r e a s e concorrenti in un punto qualsiasi dello spazio, il candidato commenti
la seguente proposizione, specificando se essa `e vera o falsa: una retta t `e perpendicolare al piano α se e
solo se essa `e perpendicolare a qualsiasi ogni retta di α.
Æ La trattoria Va per storto `e frequentata da 100 clienti che vi pranzano e cenano regolarmente ogni
giorno della settimana, a dispetto sia del nome poco raccomandabile, sia del cameriere, il quale `e talmente
scorbutico che il 20% degli avventori abituali ci ha litigato almeno una volta. Qual `e la probabilit`a che in
una tavolata a cui si sono seduti casualmente 7 clienti regolari nessuno di questi abbia mai litigato con il
cameriere? Qual `e invece la probabilit`
a che scegliendo a caso sette clienti abituali, uno in ciascun giorno
della settimana, nessuno di questi abbia mai litigato con il cameriere?
Ç Il candidato dimostri che esiste un’unica soluzione reale x
¯ dell’equazione
2
1
2x = √ ;
x
√
2
definita la funzione h(x) = x · 2x − 1, studi, senza far uso della calcolatrice, il segno assunto da h nei
punti 1/4, 1/2, 3/4, 1 e deduca infine un valore approssimato di x
¯ con un errore inferiore a 1/8.
4
Svolgimento Problema 1
•[...] verifichi che il grafico γa di ciascuna funzione fa ammette esattamente un punto di massimo e uno di
minimo assoluti;
La funzione fa `e definita su R dove risulta dispari, continua e derivabile un numero arbitrario di volte.
Il segno di fa (x) `e lo stesso di x, quindi il grafico giace nel primo e terzo quadrante, tagliando gli assi
coordinati nell’origine. La derivata prima risulta
a2 − x2
(x2 + a2 )2
Dfa (x) = 2
pertanto la funzione `e monotona:
- strettamente crescente se a2 − x2 > 0, ovvero per x nell’intervallo [−a, a],
- strettamente decrescente negli intervalli ] − ∞, −a] e [a, +∞[.
Si hanno quindi solo due punti estremanti nel grafico γa : M (a, 1/a) di massimo relativo e N (−a, −1/a)
di minimo relativo. Essendo fa (x) rapporto tra un infinito di primo ordine al numeratore e un infinito
di secondo ordine al denominatore, risulta
lim fa (x) = 0
x→±∞
Pertanto la funzione ha come asintoto orizzontale l’asse delle ascisse e di conseguenza i punti di massimo
e minimo relativo trovati sono anche assoluti.
y
M
1
a
γa
−a
O
a
x
− a1
N
•[...] verifichi che la retta passante per i suddetti punti di massimo e minimo di γa , racchiude con γa stesso
una regione finita di piano la cui area, al variare dal parametro a, rimane costante;
La retta passante per M e N passa anche per l’origine e ha evidentemente equazione y = x/a2 . Per
simmetria del grafico rispetto all’origine, sar`a sufficiente provare che l’area della regione racchiusa tra la
retta M N e il grafico γa nel primo quadrante ha area costante, ovvero che il seguente integrale definito
`e indipendente dal parametro a > 0:
Z
Ia =
0
a
2x
x
− 2
x2 + a2
a
5
dx.
y
y=
x
a2
M
1
a
γa
−a
O
N
a
x
− a1
Si tratta di un integrale elementare che risulta
a
2a2 1
x2
1
1
Ia = ln(x2 + a2 ) − 2 = ln(2a2 ) − − ln(a2 ) = ln
− = ln 2 − ,
2
2a 0
2
a
2
2
quindi indipendente dalla scelta del parametro a > 0.
•[BASE][...]determini il valore del parametro a tale per cui la distanza tra il punto di massimo e quello di
minimo del grafico γa di fa risulta minima;
Si `e trovato precedentemente che massimo e minimo sono rispettivamente i punti M (a, 1/a) e N (−a, −1/a),
pertanto M N 2 = h(a) = a2 + a12 . Derivando rispetto ad a la funzione h si ottiene
Dh(a) = 2a − 2
a4 − 1
1
=
2
a3
a3
Pertanto h risulta monotona decrescente se 0 < a ≤ 1 e decrescente se a ≥ 1. Se ne deduce che la minima
distanza `e assunta per a = 1.
Ci`
o poteva essere costatato pi`
u agevolmente osservando che al variare di a > 0, i due punti estremanti descrivono rispettivamente i due rami dell’iperbole equilatera xy = 1 e quindi M N `e minimo
in corrispondenza ai vertici di detta iperbole, ovvero quando M N coincide con la bisettrice del primo
quadrante.
•[...] fissato a = 1, indichi con f la relativa funzione e ne tracci il grafico γ;
Le caratteristiche principali della funzione sono state studiate nel primo punto, rimane solo l’analisi della
derivata seconda. Ricordiamo che
1 − x2
f 0 (x) = 2
2
(x2 + 1)
e i minimo e massimo assoluti del grafico sono N (−1, −1) e M (1, 1). La derivata seconda risulta
00
f (x) = 4
x x2 − 3
(x2 + 1)
3
Il segno di funzione, derivate prima e seconda `e riassunto nella seguente tabella:
6
√
− 3
−1
0
1
√
3
x
sgn f (x)
sgn f ′ (x)
sgn f ′′ (x)
monotonia
concavità
La concavit`
a del grafico risulta quindi:
√
√
- verso l’alto negli intervalli − 3, 0 e
3, +∞ ;
√ √ - verso il basso negli intervalli −∞, − 3 e 0 3 .
Vi sono quindi
√ punti di flesso obliquo:
√
√ tre
- F1 (− 3, − 3/2) con tangente di pendenza f 0 (− 3) = −1;
- O(0,√0) √
con tangente di pendenza f 0 (0) = 2;√
- F2 ( 3, 3/2) con tangente di pendenza f 0 ( 3) = −1.
Il grafico γ risulta quindi il seguente:
y
M
1
√
− 3
F1
−1
N
O
1
F2
√
3
γ
x
−1
•[PNI] [...] verifichi che l’affinit`a del piano Ta di equazioni
(
x0 = x/a
y 0 = ay
trasforma γa in γ, mettendo in corrispondenza i punti estremanti dei due grafici; deduca dalle caratteristiche
di Ta che l’area delal regione finita di piano racchiusa tra γa , l’asse x e le parallele all’asse y passanti per i
punti estremanti `e, al variare dal parametro a, necessariamente costante;
Le equazioni della trasformazione inversa sono
(
x = x0 a
y = y 0 /a ,
7
pertanto γa viene trasformata da Ta nella curva di equazione cartesiana
y 0 /a =
2x0 a2
2x0 a
2x0
↔ y0 = 2 0 2
↔ y0 = 0 2
,
2
+a
a (x + 1)
x +1
(x0 a)2
quindi la trasformata di γa , coincidendo la sua equazione cartesiana con quella di γ, `e γ stessa. Di
immediata verifica `e che
T (N (−a, −1/a)) = (−a/a, (−1/a) · a) = N (−1, −1)
e
T (M (a, 1/a)) = (a/a, (1/a) · a) = M (1, 1) ,
quindi Ta trasforma i punti estremanti di γa in quelli di γ.
La trasformazione in esame `e una equivalenza poich´e il determinante della matrice associata `e unitario,
pertanto la regione racchiusa tra γa e l’asse x `e equivalente a quella racchiusa tra γ, l’asse x e le rette
x = 1 e x = −1, la cui area `e finita ed evidentemente indipendente da a.
•[...] calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa dai grafici di f e della funzione g definita per ogni
x ∈ R ponendo g(x) = xf (x).
La funzione g, definita per ogni x ∈ R da
g(x) =
2x2
,
+1
x2
`e evidentemente pari, nulla nell’origine e di segno positivo altrove. Essa ha la stessa regolarit`a di g, con
derivata prima
x
g 0 (x) = 4
2.
2
(x + 1)
La funzione g `e quindi monotona:
- strettamente crescente se x ≥ 0;
- strettamente decrescente se x ≤ 0,
con l’origine unico punto estremante in cui g assume il suo minimo assoluto. Poich´e
lim
2x2
2
= lim
= 2,
+ 1 x→±∞ 1 + x12
x→±∞ x2
la retta y = 2 `e asintoto orizzontale del grafico di g in entrambe i versi. I grafici di f e g s’incontrano
necessariamente nei punti con ascissa soluzione dell’equazione
2x2
2x
=
←→ 2x = 2x2 ←→ x = 0 ∨ x = 1,
x2 + 1
x2 + 1
cio`e nell’origine degli assi O(0, 0) e nel punto M (1, 1) in cui f assume massimo assoluto. Nell’intervallo
[0, 1] la funzione h(x) = f (x) − g(x) risulta quindi nulla agli estremi, mentre negli altri punti `e positiva.
Riguardo a questo ultimo punto, si ossservi innanzitutto che h(1/2) > 0, quindi se per assurdo si ammette
che h assuma un valore negativo, considerata la continuit`a di h, dal Teorema degli Zeri seguirebbe
necessariamente l’esistenza di un terzo punto di intersezione tra i due graficie, in contraddizione con
quanto mostrato precedentemente.
8
y
y=2
y = g(x)
M
γ
O
1
x
L’area A della regione cercata `e quindi data dal seguente integrale definito:
Z 1
Z 1
Z 1
2x2 1 2x
2x
−
−
2
+
2
A=
dx
=
dx =
h(x)) dx =
x2 + 1 x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
0
0
0
h
i1
= ln(x2 + 1) − 2x + 2 arctg x = ln 2 − 2 + π/2.
0
9
Svolgimento Problema 2
Ê [...] Il candidato dimostri che C interseca la calotta semisferica in una circonferenza γ e ne determini il
raggio in funzione dell’angolo x.
H
J ≡ J0
A
x
A0
γ
x
O
Si consideri una qualunque coppia di semirette distinte che formano C e si indichino con A e A0 i punti in
cui queste semirette intersecano la calotta e, rispettivamente, con J e J 0 , le proiezioni di detti punti sul
raggio OH. Per costruzione i triangoli (OAJ) e (OA0 J 0 ) sono rettangoli, con ipotenuse congruenti poich´e
raggi della semisfera e gli angoli di vertice O congruenti poich´e entrambi di ampiezza x. Dal Criterio
di Congruenza dei Triangoli Rettangoli si deduce quindi che i detti triangoli sono congruenti, per cui,
essendo OJ = OJ 0 , i punti J e J 0 risultano coincidenti. I segmenti JA e JA0 , entrambi perpendicolari a
OH, sono quindi contenuti nel piano α perpendicolare a OH passante per J; ci`o garantisce che la figura
γ sia piana. Ricordando che JA e JA0 sono segmenti congruenti si pu`o quindi concludere che γ `e una
circonferenza di centro J e raggio di lunghezza JA = R sen x, mentre la distanza del piano α dal piano
di base risulta JO = R cos x.
Ë [...] Il candidato prenda tra i cilindri inscritti nella semisfera, quell’unico avente γ come circonferenza di
base; determini per quale ampiezza dell’angolo x `e massima la superficie totale di tale cilindro, dopo avere
verificato che la funzione da studiare `e proporzionale a f (x) = sin 2x − cos 2x + 1.
H
J
A
γ
x
O
Ricordando quanto trovato nel punto precedente, il cilindro cercato ha basi di raggio JA = R sen x tra
loro distanti KO = R cos x, quindi l’area della sua superficie totale risulta:
AT = 2AB + AL = πJA 2 + 2πJA · JO = 2πR2 (sin2 x + sin x · cos x).
Per le formule di bisezione e duplicazione del seno valgono le uguaglianze
sin2 x =
1 − cos 2x
2
e
sin x · cos x =
che permettono di scrivere AT nella forma
AT = πR2 (sin2 x − cos 2x + 1).
10
1
sin 2x
2
Pertanto AT = πR2 f (x) con
f (x) = sin2 x − cos 2x + 1 ,
con la limitazione 0 < x < π/2.
Il massimo assoluto di f `e assunto quando l’argomento della funzione seno `e π/2, cio`e per 2x − π/4 =
π/2 + 2kπ, ovvero x = 3π/8 + kπ.
Tenuto conto delle limitazioni geometriche su x, la funzione f risulta monotona:
- crescente per 0 < x < 3π/8,
- decrescente per 3π/8 < x < π/2 .
Pertanto in x = 3π/8 la f assume il valore massimo
√
cilindro ha valore massimo 2πR2 ( 22 + 12 ).
√
2
2
+ 12 , mentre l’area della superficie totale del
Ì [...] Indipendentemente dalle limitazioni geometriche, il candidato effettui uno studio e disegni il grafico Γ
della funzione f indicata al punto 2, osservando che risulta una sinusoide traslata.
Per tracciare il grafico Γ di f conviene osservare sin da subito che esso `e una sinusoide traslata. Ci`o `eu`
o
essere messo in evidenza manipolando la funzione con la tecnica dell’angolo aggiunto, ottenendo:
f (x) =
√
√
√ √ 2
2
π
π
2
sin 2x −
cos 2x − 1 = 2 sin 2x · cos − sin · cos 2x + 1 =
2
2
4
4h √
√
π
π i
= 2 sin 2x −
+ 1 = 2 sin 2 x −
+ 1.
4
8
Il grafico Γ della funzione f si ottiene traslando di vettore ~v (π/8, 1) la curva
∆: y=
√
2 sin 2x.
La periodicit`
a della funzione `e quindi π e, come visto precedentemente:
√
- i massimi sono assunti per x = 3π/8 + kπ e hanno valore 1 + 2;
√
- i minimi sono assunti per x = −π/8 + kπ e hanno valore 1 − 2.
I cambiamenti di concavit`
a avvengono in corrispondenza ai valori x in cui la funzione seno si annulla e
quindi per 2x − π/4 = kπ, pertanto:
- i flessi obliqui sono assunti per x = π/8 + kπ e hanno valore 1.
Il grafico Γ interseca l’asse x nei punti di ascissa x soddisfacenti la condizione
√
2
2 sin 2x − π/4 + 1 = 0 ↔ sin 2x − π/4 = −
↔
2
2x − π/4 = −π/4 + 2kπ ∨ 2x − π/4 = −3π/4 + 2kπ ↔ x = kπ ∨ x = −π/4 + kπ.
√
11
y
1+
√
M1
2
Γ
1
F1
F2
− π8
− π4
7π
8
O
N1
π
8
−1 −
√
3π
8
5π
8
3π
4
2
π
x
N2
Í [...] Il candidato calcoli l’area della superficie di ciascuno dei due tipi di regioni finite e convesse di piano
che Γ forma con l’asse delle ascisse.
y
Γ
A1
− π4
A2
O
3π
4
Le regioni nel semipiano y ≥ 0 hanno area
A1 =
Z
0
3
4π
√
√
x
i 34 π
2
2 sin(2x − π/4) + 1 dx = −
=
cos(2x − π/4) + x
2
0
√
√
2
2
=−
cos(5π/4) + 3π/4 +
cos(−π/4) = 1 + 3π/4 ≈ 3, 356.
2
2
h
12
quelle nel semipiano y ≤ 0 hanno area
A2 = −
Z
0
− 14 π
√
√
i− 41 π
2
=
cos(2x − π/4) + x
2
0
√
√
2
2
=−
cos(−3π/4) − π/4 +
cos(−π/4) = 1 − π/4.
2
2
h
2 sin(2x − π/4) + 1 dx = −
Î(BASE) [...] Il candidato risolva l’equazione f (x) = 2.
Si tratta di risolvere l’equazione
√2
2 sin 2x − π/4 + 1 = 2 ↔ sin 2x − π/4 =
↔
2
2x − π/4 = π/4 + 2kπ ∨ 2x − π/4 = 3π/4 + 2kπ ↔ x = π/4 + kπ ∨ x = π/2 + kπ.
√
Î(PNI) [...] Il candidato stimi i valori delle aree calcolate al punto precedente tramite uno dei metodi di
quadratura conosciuti e determini il relativo errore di approssimazione.
Per la stima dell’area si user`
a il metodo dei trapezi, suddividendo l’intervallo [0, 3π/4] in 10 parti. Posto
quindi
3π
xk =
· k per k = 0, . . . , 10
40
e
yk = f (xk ) per k = 0, . . . , 10.
la stima cercata `e
3π 3π y0 + y10
A˜1 =
+ y1 + . . . y9 =
y1 + . . . y9 ≈ 3, 338 ;
40
2
80
l’errore `e quindi
A1 − A˜1 ≈ 0, 018 ≈ 2 × 10−2 .
13
Svolgimento Quesiti
À Nel 1484 il matematico francese Nicolas Chuquet (1445?-1488?), nella sua opera Triparty en la science des
nombres, espose la “r`egle des nombres moyens” (regola dei numeri medi): dati 4 numeri positivi non nulli a,
b, c e d, il numero a+c
b+d risulta sempre compreso fra a/b e c/d. Dimostri il candidato la correttezza di tale
regola.
Comunque si scelgano i 4 numeri a, b, c e d, deve risultare vera una delle seguenti: (1) ad < bc, (2)
ad > bc, oppure (3) ad = bc. Se si suppone vera la (1), ricordando che i 4 numeri sono strettamente
positivi, e quindi lo sono anche le loro somme e i loro prodotti a due a due, si possono eseguire le seguenti
operazioni:
(1)
ad < bc
→
ad + ab < bc + ab
→
a(b + d) < b(a + c)
→
a+c
a
<
;
b
b+d
(1)
ad < bc
→
ad + cd < bc + cd
→
d(a + c) < c(b + d)
→
a+c
c
< .
b+d
d
Ne consegue che
a
a+c
c
<
< ,
b
b+d
d
come richiesto. Se vale invece la condizione (2), si pu`o dimostrare, con lo stesso procedimento, che e
diseguaglianze sono rovesciate, e cio`e che
c
a+c
a
<
< .
d
b+d
b
Nel caso (3), invece, valgono le uguaglianze:
a
a+c
c
=
= .
b
b+d
d
In generale, dunque, `e sempre vero che
c
a+c
a
≤
≤
d
b+d
b
c
a+c
a
≤
≤ .
d
b+d
b
oppure
x
cos x
Á Date le funzioni fn (x) = sin
xn e gm (x) = xm , il candidato dimostri che, per ogni possibile valore naturale
non nullo assunto dai parametri n e m, entrambe le funzioni tendono a zero al tendere di x a +∞. Discuta
quindi, al variare dei valori assunti dai parametri, l’esistenza e l’eventuale valore del limite
lim
x→+∞
fn (x)
.
gm (x)
La funzione seno `e limitata con insieme immagine [−1, 1]; se si prendono i valori di x positivi, risulta
−1 ≤ sin x ≤ 1
⇒
−1
sin x
1
≤ n ≤ n;
xn
x
x
nell’ultima relazione `e possibile passare al limite per x → +∞; e dal momento che le due funzioni
maggiorante e minorante tendono ambedue a zero, per il teorema del confronto anche il limite della
funzione fn (x) sar`
a uguale a zero. Ragionamento analogo porta alla conclusione che anche la funzione
gm (x) si comporta allo stesso modo.
Si discuta ora il
fn (x)
xm · sin x
lim
= lim
= lim xm−n · tg x .
x→+∞ gm (x)
x→+∞ xn · cos x
x→+∞
14
Si osservi ora che la funzione tg x `e illimitata e periodica, pertanto non ammette limite al tendere di
x a +∞; la moltiplicazione per il termine xm−n non modifica la propriet`a di funzione illimitata. In
particolare la funzione rimane non definita in x = kπ, dove ammette sempre un asintoto verticale; quindi
il limite non esiste per nessuna coppia di valori n e m.
 Data una parabola P, si consideri l’insieme di tutte le corde di P avente una direzione prefissata. Dimostri
il candidato che il luogo dei loro punti medi `e una semiretta parallela all’asse della parabola.
Dal momento che tutte le parabole sono simili fra loro, `e possibile dimostrare la propriet`a, senza alcuna
perdita di generalit`
a, per la parabola y = x2 . Si intersechi tale parabola col fascio improprio di rette
y = Ax + q avente A fissato e q variabile. Mettendo a sistema il fascio di rette e la parabola si ottiene
l’equazione x2 − Ax − q = 0, che ovviamente ammette soluzioni se e solo se A2 + 4q ≥ 0. In tal caso le
due soluzioni (eventualmente coincidenti) sono
p
A ± A2 + 4q
x1,2 =
2
Le ascisse dei punti medi di ciascuna corda si otterranno col seguente calcolo:
xm =
A
x1 + x2
= .
2
2
I punti medi hanno dunque ascissa costante A/2. Pertanto fanno parte della retta verticale di equazione
x = A/2. Il luogo `e quindi una semiretta verticale, uscente dal punto di tangenza fra la parabola e la
retta del fascio tangente alla parabola medesima, e quindi `e parallelo all’asse della parabola. Qualunque
altra parabola del piano `e ottenibile da y = x2 tramite una similitudine, trasformazione che conserva il
parallelismo; dunque per ogni parabola il luogo `e parallelo all’asse.
à Novecento anni fa, nel 1114, nacque il famoso matematico indiano Bhaskara (1114-1185). Nella sua opera
Lilavati, Bhaskara propone una serie di problemi, tra cui il seguente: un pavone `e appollaiato sulla cima di un
palo di altezza a, alla cui base si trova la tana di un serpente. Il serpente si trova inizialmente a distanza 3a
dalla tana e si muove verso di essa mentre il pavone vola in linea retta per catturarlo; se nel momento della
cattura il pavone e il serpente hanno percorso la stessa lunghezza, a quale distanza dalla tana il serpente viene
preso?
Sia A la cima del palo e B la sua base, ove `e posta la tana; sia invece C il punto in cui si trova il serpente.
Il triangolo ABC `e rettangolo in B. Il pavone e il serpente si incontrano in un punto D tale che AD sia
uguale a CD. Detta x la distanza BD, la condizione appena esposta equivale ad AD = 3a − x; perci`
o,
15
applicando il Teorema di Pitagora al triangolo (ABD), si trova l’equazione a2 + x2 = (3a − x)2 , la cui
immediata risoluzione conduce a x = 34 a.
Ä Il candidato costruisca, definendola eventualmente a tratti, una funzione continua e derivabile su R tale per
cui M1 (2, 2) e M2 (−2, 2) risultino punti di massimo assoluto del suo grafico, mentre O(0, 0) sia punto di
minimo relativo.
La risposta, ovviamente, non `e unica. La funzione algebrica pi`
u semplice che rispetti le condizioni
richieste `e un polinomio, che dovendo presentare tre punti di estremo deve essere almeno di quarto grado.
Si scelga allora di costruire un polinomio di quarto grado: i punti di estremo sono simmetrici rispetto
all’asse delle ordinate, dunque `e possibile annullare i termini di gradi dispari; ma `e nullo anche il termine
noto perch´e l’origine appartiene al grafico della funzione. Il polinomio si presenter`a dunque nella semplice
forma y = ax4 + bx2 . I coefficienti si ricavano ponendo la condizione di passaggio per M1 (M2 risulter`
a
automaticamente soddisfatto per la simmetria), e annullando la derivata in x = 2. I semplice sistema
fornisce a = −1/8 e b = 1. Il polinomio `e quindi y = − 18 x4 + x2 , di cui viene di seguito rappresentato il
grafico.
Un’altra possibilit`
a `e costruire una funzione goniometrica: il testo infatti non esclude che la funzione
abbia altri estremanti oltre a quelli richiesti. La funzione dovr`a avere periodo 4 ed essere pari, quindi
16
si presenter`
a nella forma f (x) = A cos( π2 x) + B. Semplici ragionamenti geometrici sull’ampiezza e sulla
fascia di piano che conterr`
a il grafico conducono ad A = −1 e B = 1: f (x) = − cos( π2 x) + 1.
Un’ulteriore possibilit`
a `e quella di costruire la funzione a tratti, seguendo il suggerimento del testo.
Il metodo pi`
u agevole `e quello di prendere archi di parabola. Per semplicit`a si prendano parabole di
apertura unitaria, aventi vertici negli estremanti richiesti: si partir`a dalla parabola P: y = x2 , che
ammette appunto minimo (vertice) nell’origine. Le due parabole (aventi concavit`a rivolta verso il basso)
P1 : y = −x2 + 4x − 2 e P2 : y = −x2 − 4x − 2 hanno invece vertice, rispettivamente, in (2, 2) e in (−2, 2).
Si verifica facilmente che la parabola P incontra P1 nel punto (1, 1) e P2 in (−1, 1). La funzione cos`ı
costituita risulta quindi

2

−x − 4x − 2 se x < −1
f (x) = x2
se x ∈ [−1, 1]

 2
−x + 4x − 2 se x > 1
La derivabilit`
a (e continuit`
a) della funzione `e senz’altro assicurata in R−{±1}, poich´e in ciascun intervallo
aperto contenuto in tale insieme essa coincide con un polinomio. Rimangono quindi da discutere i due
punti x = 1 e x = −1, ma a questo proposito, vista la parit`a di f , ci si potr`a limitare a considerare il
solo punto x = 1. Poich´e
lim x2 = lim (−x2 + 4x − 2) = 1
x→1−
x→1+
la funzione `e continua, inoltre `e facile costatare l’uguaglianza
lim D[x2 ] = lim+ D[−x2 + 4x − 2] = 2,
x→1−
x→1
che, in virt`
u del Criterio di Derivabilit`
a, assicura la derivabilit`a in x = 1.
17
Å Noto che l’angolo fra due rette sghembe r e s `e definito come l’angolo (acuto o retto) fra due rette parallele
rispettivamente a r e a s e concorrenti in un punto qualsiasi dello spazio, il candidato commenti la seguente
proposizione, specificando se essa `e vera o falsa: una retta t `e perpendicolare al piano α se e solo se essa `e
perpendicolare a qualsiasi ogni retta di α.
La definizione classica di perpendicolarit`
a fra una retta e un piano, reperibile in qualunque testo di
geometria solida, `e la seguente: una retta t `e perpendicolare al piano α se e solo se essa ha in comune con
α un punto P ed `e perpendicolare a tutte le rette di α passanti per P (si dimostra che se t `e perpendicolare
a due rette di α passanti per P , allora `e perpendicolare ad α). La richiesta dell’esercizio `e di verificare, in
ambedue i versi, l’implicazione che estende la propriet`a a tutte le rette del piano. Detta d la definizione di
perpendicolarit`
a e p la proposizione proposta, si inizi con lo studio dell’implicazione d ⇒ p. Sia quindi d
vera per ipotesi; presa allora un’altra retta s del piano α, esiste una retta s0 parallela ad s passante per P ;
e dal momento che s0 `e perpendicolare ad α per ipotesi, lo `e anche s. Per quanto riguarda l’implicazione
inversa, essa `e immediata: se una retta t `e perpendicolare a tutte le rette di α, allora `e perpendicolare a
tutte le rette di α passanti per il piede P ; quindi `e perpendicolare al piano α. Con ci`o `e stata dimostrata
anche l’implicazione p ⇒ d. La proposizione `e dunque vera.
Æ (Versione per il corso base) Sia P la parabola di equazione y = x2 . Il candidato calcoli l’area della regione
finita di piano racchiusa fra la parabola, la sua tangente in un punto (x0 , y0 ), di ascissa positiva, e l’asse x,
dimostrando che essa `e proporzionale a x30 .
Si prenda quindi un arbitrario punto (x0 , y0 ) della parabola all’interno del primo quadrante; le sue
coordinate possono ovviamente essere riscritte nella forma: (x0 , x20 ). La tangente alla parabola nel punto
avr`
a coefficiente angolare 2x0 e dovr`
a passare per tale punto; la sua equazione `e dunque: y = (2x0 )x − x20 .
L’area richiesta equivale all’area racchiusa sotto la parabola fra l’origine e il punto B, a cui sia sottratta
l’area del triangolo ABP . L’area sottostante la parabola si calcoler`a in questo modo:
Z
x0
x2 dx =
0
18
x30
.
3
Per calcolare l’area di ABP , si osservi innanzitutto che la tangente per P alla parabola interseca l’asse
delle ascisse in A, avente coordinate (x0 /2, 0). Pertanto la sua base vale x0 /2, mentre la sua altezza `e
x20 ; la sua area `e dunque x30 /4. La differenza fra le due aree appena calcolate `e
x3
x3
x30
− 0 = 0.
3
4
12
Ç (Versione per il corso base)Il candidato stabilisca quante sono le soluzioni dell’equazione
3
3
2x = p + 1 ;
|x|
determini quindi, per ciascuna delle soluzioni trovate, un intervallo di ampiezza unitaria ed estremi interi che
la contenga.
3
Il quesitop
equivale alla ricerca delle intersezioni fra i grafici F e G delle due funzioni f (x) = 2x e
g(x) = 3/ |x| + 1. Si verifica agevolmente che la f `e definita su tutto l’asse reale ed `e non decrescente;
la g `e definita per ogni valore di x eccetto lo 0, ed `e strettamente crescente per valori di x negativi, e
decrescente per valori di x positivi. Ambedue i grafici sono situati nel semipiano delle ordinate positive.
Nel semiasse delle x negative ambedue le funzioni sono crescenti; ma, dal momento che g(x) → 1 per
x → −∞, dovr`
a essere g(x) > 1, d’altra parte la f tende a 1 quando x → 0 e quindi assume valori
nell’intervallo ]0, 1]. Non `e dunque possibile che vi siano punti di intersezione in questa regione dell’asse
x. Viceversa nel semiasse delle x positive le funzioni hanno monotonia opposta. Si calcola facilmente,
con l’ausilio di una calcolatrice, che per x = 1 il grafico G `e situato superiormente a F; mentre per x = 2
accade il contrario. L’intervallo di ampiezza unitaria cercato `e pertanto [1, 2].
19
Æ (Versione per il corso P. N. I.) La trattoria Va per storto `e frequentata da 100 clienti che vi pranzano
e cenano regolarmente ogni giorno della settimana, a dispetto sia del nome poco raccomandabile, sia del
cameriere, il quale `e talmente scorbutico che il 20% degli avventori abituali ci ha litigato almeno una volta.
Qual `e la probabilit`a che in una tavolata a cui si sono seduti casualmente 7 clienti regolari nessuno di questi
abbia mai litigato con il cameriere? Qual `e invece la probabilit`a che scegliendo a caso sette clienti abituali,
uno in ciascun giorno della settimana, nessuno di questi abbia mai litigato con il cameriere?
Si tratta di un semplice esercizio in cui `e richiesto di applicare la regola per la probabilit`
a composta. Nel
primo caso, la probabilit`
a che uno degli avventori seduto a una tavolata non abbia mai litigato con il
cameriere `e 80/100; ma per i successivi clienti `e, rispettivamente, 79/99, 78/98, e cos`ı via fino a 74/94.
Dunque la probabilit`
a che nessuno di essi abbia litigato con l’insopportabile cameriere `e
80 79 78 77 76 75 74
·
·
·
·
·
·
' 0, 1984 .
100 99 98 97 96 96 94
Nel secondo caso, a differenza del primo, la probabilit`a di scegliere un cliente che non abbia mai litigato con
il cameriere non cambia da una serata all’altra, ed `e sempre dell’80 per cento (=4/5). Quindi, trattandosi
di eventi indipendenti, la probabilit`
a che nessuno dei 7 clienti abbia mai litigato con il cameriere `e
(4/5)7 ' 0, 2097.
Ç (Versione per il corso P. N. I.) Il candidato dimostri che esiste un’unica soluzione reale x
¯ dell’equazione
2
1
2x = √ ;
x
√
2
definita la funzione h(x) = x · 2x − 1, studi, senza far uso della calcolatrice, il segno assunto da h nei punti
1/4, 1/2, 3/4, 1 e deduca infine un valore approssimato di x
¯ con un errore inferiore a 1/8.
2
Sia f la funzione y = 2x ; il suo dominio `e l’insieme dei reali, essa risulta pari e ammette un minimo
per x = 0, dove la funzione vale 1. Nel semiasse delle x positive la f `e monotona crescente; essa diverge
quando x tende a +∞. Si dica invece g la funzione y = √1x ; tale funzione `e definita solo nel semiasse
delle x positive, dove risulta sempre decrescente; i suoi asintoti sono l’asse delle ordinate quando x tende
a zero, e l’asse delle ascisse quando x tende all’infinito. A seguito di tali considerazioni `e evidente che
esiste un’intersezione fra i grafici di f e di g `e che essa `e unica.
20
Sia ora h(x) =
√
2
x · 2x − 1; quando x = 1/4 si ottiene
r
1
15
1
1 ( 41 )2
1
− 1 = · 2 16 − 1 = 2− 16 − 1 = 15 − 1 .
h(1/4) =
·2
4
2
2 16
Una qualsiasi potenza di 2 a esponente positivo `e sempre maggiore di 1, pertanto la frazione
di 1. Quindi il segno di h(1/4) `e negativo. Col medesimo procedimento:
r
1
1
1
1 ( 12 )2
h(1/2) =
·2
− 1 = 2− 2 · 2 4 − 1 = 2− 4 − 1 .
2
1
15
2 16
`e minore
Per lo stesso motivo del caso precedente, il segno di h(1/2) `e negativo. Si proceda con le stesse modalit`
a:
r
√
√
9
7
3 ( 34 )2
3
−1=
·2
· 2 16 − 1 = 3 · 2− 16 − 1 .
h(3/4) =
4
2
Questo caso `e maggiormente laborioso. Si faccia l’ipotesi che h(3/4) sia una quantit`a positiva; si ottiene:
√
√
7
7
1
7
3 · 2− 16 − 1 > 0 ↔
3 > 2 16 ↔ 3 2 > 2 16 ↔ 38 > 27 ;
quindi, per la transitivit`
a della relazione d’ordine la diseguaglianza che si era ipotizzata `e vera, e h(3/4) >
0. Da ultimo si osservi che h(1) risulta banalmente una quantit`a positiva. Infine, il valore x
¯, di cui si `e
dimostrata l’unicit`
a, sar`
a situato nell’intervallo ]1/2, 3/4[ . Se si prende dunque come stima di x
¯ il punto
medio dell’intervallo appena individuato, 5/8, esso rappresenta un’approssimazione con un errore minore
di 1/8, come richiesto.
21
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