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A.A. 2014/15

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A.A. 2014/15
CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1
PER I CORSI DI LAUREA IN
MATEMATICA, FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI
I° semestre
10 crediti per Matematica, 12 crediti per Fisica e Scienze dei Materiali
COMMISSIONE D’ESAME
Presidente: Prof. Giuseppe MARINO
Membri: Dott.ssa Filomena Cianciaruso e Dott. Luigi MUGLIA
ATTENZIONE!!!!!
Quando volete prenotarvi per sostenere l’esame, dovete
prenotarvi a
ANALISI MATEMATICA 1
(con 1 numero arabo).
Se vi prenotate a
ANALISI MATEMATICA I
(CON I NUMERO ROMANO)
LA COSA NON FUNZIONA.
MODALITA’ E DATE DEGLI ESAMI
In conformità al Calendario Accademico del Dipartimento di Matematica e Informatica, gli
appelli d’esame PER GLI ISCRITTI A MATEMATICA si svolgeranno nei seguenti periodi:
Primo Appello di fine semestre: Lunedì 19 Gennaio 2015, Aula MT1 ore 9.
Secondo appello di fine semestre: Lunedì 9 Febbraio 2015, Aula MT1, ore 9.
Primo appello di recupero: Settembre 2015, luogo e data da stabilire
Secondo appello di recupero: Settembre 2015,, luogo e data da stabilire
In conformità al Calendario Accademico del Dipartimento di Fisica, gli appelli d’esame
PER GLI ISCRITTI A FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI si svolgeranno nei seguenti
periodi:
Primo Appello di fine semestre: Martedì 10 Febbraio 2015, ore 9, aula E/F.
Secondo Appello di fine semestre: Mercoledì 25 Febbraio 2015, ore 9, aula A.
Primo appello di recupero: Giovedì 30 Luglio 2015, ore 9, aula E/F
Secondo appello di recupero: Mercoledì 2 Settembre 2015, ore 9, aula E/F
Per poter sostenere gli esami e’ obbligatoria la prenotazione col sistema Uniwex.
Gli esami saranno costituiti da una prova scritta seguita da una orale. La prova scritta sarà diversa
per ogni studente. E’ dunque inutile venire a vedere se si riesce a copiare. La prova scritta è
superata se si ottiene un voto maggiore o uguale a 18 trentesimi.
Non sono disponibili compiti dell’anno passato perché quest’anno lo scritto sarà molto
diverso, e verterà su tanti esercizi che saranno esplicitati a lezione.
PROVA SCRITTA
Considero molto importante una giusta autovalutazione. Così, SOLO PER LA PRIMA VOLTA
CHE UNO STUDENTE AFFRONTA LA PROVA SCRITTA E LA SUPERA, OTTIENE UN
BONUS COSI’ DIFFERENZIATO:
- se ha ottenuto un voto fra 18 e 21, bonus di 1 punto
- se ha ottenuto un voto fra 22 e 26, bonus di 2 punti
- se ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 27, bonus di 3 punti, fino a raggiungere il voto
massimo di 30.
LO STUENTE CHE NON SUPERA LA PROVA SCRITTA LA PRIMA VOLTA CHE SI
PRESENTA, PERDE IL BONUS. IL BONUS E’ UN PREMIO PER CHI SA AUTOVALUTARSI.
ESERCIZI DELLA PROVA SCRITTA PER GLI STUDENTI DI MATEMATICA
1. Risolvere una disequazione o un sistema di disequazioni polinomiali o con radicali
2. Trovare la definizione esplicita del prodotto di composizione di funzioni espresse tramite
più formule
3. Trovare inf e/o sup di f([a,b])
4. Dimostrazione della validità di una formula col principio di induzione
5. Applicazione dell’algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata di un numero
6. Un esercizio di calcolo combinatorio
7. Una derivata
8. Ricerca di max e/o min per funzioni continue
9. Carattere di una serie
10. Un integrale (definito o indefinito o un’area o un volume di rotazione)
RISULTATI DELLA
PROVA SCRITTA DI
STAMATTINA, 19 GENNAIO 2015.
HANNO SUPERATO LA PROVA SCRITTA GLI
STUDENTI CON LE MATRICOLE
- 171189 (VOTO 19)
-
169761 (VOTO 22)
169762 (VOTO 26)
171251 (VOTO 19)
169758 (VOTO 19)
ORALE DOMATTINA, MARTEDI 20 GENNAIO
2015 ALLE 9.OO NELLA MT1
ESERCIZI DELLA PROVA SCRITTA PER GLI STUDENTI DI FISICA E SCIENZE DEI
MATERIALI
1. Risolvere una disequazione o un sistema di disequazioni polinomiali o con radicali
2. Trovare la definizione esplicita del prodotto di composizione di funzioni espresse tramite
più formule
3. Trovare inf e/o sup di f([a,b])
4. Dimostrazione della validità di una formula col principio di induzione
5. Applicazione dell’algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata di un numero
6. Un esercizio di calcolo combinatorio
7. Una derivata
8. Ricerca di max e/o min per funzioni continue
9. Carattere di una serie
10. Un integrale (definito o indefinito o un’area o un volume di rotazione)
11. Un’equazione differenziale o un problema di Cauchy lineare (primo o secondo ordine) o di
Bernoulli o a variabili separabili.
12. Ricerca di massimi e minimi per funzioni di due variabili
PROVA ORALE
Nella prova orale lo studente sarà invitato ad esporre due teoremi e/o lemmi e/o proposizioni e/o
definizioni e/o assiomi trattati nel corso ed estratti a sorte dalla Commissione. A partire da tali
risultati faranno seguito le domande della commissione.
VIA VIA CHE IL PROGRAMMA VERRA’ SVOLTO, INSERIRO’ QUI TUTTE LE
DOMANDE CHE POI VERRANNO ESTRATTE A SORTE.
L’esame e’ strutturato in modo che uno studente che ha seguito il corso e studiato regolarmente
cogliendo il significato dei concetti e dei risultati esposti, lo possa superare senza difficoltà.
L’orale si sosterrà, di norma, il pomeriggio dello stesso giorno in cui in mattinata si è
sostenuta la prova scritta o al più il giorno successivo.
…………………………….
ELENCO DEFINITIVO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE
NELL’ESAME ORALE RIGUARDANTI LA PRIMA PARTE DEL CORSO,
(prime 140 pagine del libro di testo + gli argomenti che non sono sul libro di testo ma
sono stati esposti a lezione).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Proposizione sulla caratterizzazione del supA
Teorema: Equivalenza fra l’AX di Completezza e l’AX del sup.
Non esiste alcun numero razionale c tale che c2 = p, con p numero primo
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi e controesempi
Proprietà della funzione Valore Assoluto
Le funzioni potenza, radici, esponenziali e logaritmiche
Le funzioni trigonometriche e le loro inverse
Teorema fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza. Insieme Quoziente
Congruenza modulo p sugli interi. Operazioni di somma e prodotto sulle classi di resti
modulo p. Dimostrazione che le operazioni non dipendono dai rappresentanti
10. Relazione di equipotenza fra insiemi. Potenza di un insieme come classe di equipotenza
11. Teorema 2: N, Z e Q sono numerabili.
12. Teorema 3: Non numerabilità di R: Dimostrazione mediante l’argomento diagonale di
Cantor.
13. Teorema 4: Lemma della Concordia: Supponiamo di avere f : X Y iniettiva e
g :Y X iniettiva. Allora h: X Y biunivoca.
14. Teorema 5: Teorema di Cantor-Bernstein : un insieme non è mai equipotente al suo
insieme delle parti.
15. Teorema 6: Disuguaglianza di Bernoulli.
16. Teorema 7: Algoritmo di Erone per il calcolo di
17. Teorema 8: Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio
18. Permutazioni semplici, Permutazioni con ripetizione, Disposizioni semplici,
Disposizioni con ripetizione, Combinazioni semplici, Coefficienti binomiali
19. Teorema 9: Formula del binomio di Newton. Dimostrazione combinatoriale
20. Costruzione del triangolo di Tartaglia utilizzando le proprietà dei coefficienti binomiali
21. Forma geometrica, algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi.
22. Definizioni di limiti di successioni, successioni regolari e irregolari
23. Teorema dell’Unicità del Limite
24. Teoremi sulle operazioni aritmetiche con i limiti
25. Forme indeterminate
26. Teorema della permanenza del segno
27. Primo teorema di confronto
28. Secondo teorema di confronto
29. Teorema dei Carabinieri
30. Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
31. Limiti notevoli
32. Teorema fondamentale sulle successioni monotone
33. Definizione del numero e.
34. Successioni definite per ricorrenza
35. Criterio del rapporto per le successioni
36. Teorema di Bolzano-Weierstras
37. Criterio di convergenza di Cauchy
ELENCO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE NELL’ESAME
ORALE RIGUARDANTI LA SECONDA PARTE DEL CORSO:
1. Tutte le definizioni di limite per funzioni reali di variabile reale
2. Teorema Ponte
3. Tipi di discontinuità ed esempi
4. Teorema della permanenza del segno per funzioni
5. Teorema di esistenza degli zeri
6. Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi
7. Teorema di Weierstrass
8. Secondo teorema di esistenza dei valori intermedi
9. Teorema: funzioni continue mandano intervalli in intervalli
10. Criterio di invertibilità per funzioni continue
11. Metodo di bisezione per il calcolo delle radici di un’equazione.
12. Teorema sul limite delle funzioni monotone
13. Criterio di continuità per le funzioni monotone
14. Teorema di continuità della funzione inversa
15. Operazioni aritmetiche con le derivate
16. Teorema di derivazione delle funzioni composte
17. Teorema di derivazione della funzione inversa
18. Derivate delle funzioni elementari
19. Funzioni iperboliche e loro inverse
20. Teorema sul significato geometrico della derivata:
21. Primo Teorema di Fermat
22. Secondo Teorema di Fermat
23. Teorema di Rolle
24. Teorema di Lagrange
25. Criterio di monotonìa.

26. Teorema di L’H o pital
27. Funzioni derivabili convesse e concave
28. Criterio di convessità con la derivata seconda.
29. Criterio della derivata seconda per la determinazione di max e min

30. Teorema di L’H o pital
31. Polinomio di Taylor
32. Formula di Taylor e di Mac Laurin
33. Polinomio di Taylor di exp(x), log(1 + x), senx, cosx
34. Formula di Taylor con il resto di Peano
35. Serie numeriche: Criterio di Cauchy
36. Serie numeriche: condizione necessaria per la convergenza di una serie
37. Serie numeriche: la serie armonica (dimostrazione della sua divergenza)
38. Serie numeriche: serie armonica generalizzata (dimostrazione della sua convergenza col
criterio di condensazione
39. Serie numeriche: la serie geometrica (dimostrazione della sua convergenza)
40. Serie numeriche positive: criterio del confronto
41. Serie numeriche positive: criterio degli infinitesimi
42. Serie numeriche positive:criterio del rapporto
43. Serie numeriche positive: criterio della radice
44. Serie numeriche a segni alterni: Teorema di Leibnitz
45. Teorema: Sia f([a,b]) = [m,M]. Allora, per ogni coppia di partizioni P e Q di [a,b] si ha M(b
– a)  s(f,P)  S(f,Q)  M(b – a)
46. Teorema : Ogni funzione monotona è integrabile su [a, b]
47. Definizione di continuità uniforme
48. Teorema di Cantor: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è
uniformemente continua
49. Teorema di Riemann: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è
integrabile.
50. Primo Teorema della media (per gli integrali definiti)
51. Secondo Teorema della media (per gli integrali definiti delle funzioni continue)
52. Teorema: Tutte le primitive differiscono per una costante
53. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
54. FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
55. Formula di integrazione per parti
56. Formula di integrazione per sostituzione
57. Formula del salame per il volume di solidi di rotazione del grafico di una funzione attorno
all’asse x
58. Formula dei rotoli di carta igienica per i volumi di solidi di rotazione del grafico di una
funzione attorno all’asse y
QUI’ TERMINANO LE DOMANDE PER I MATEMATICI.
LE SEGUENTI SARANNO PER FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI
59. Equazioni differenziali lineari del I ordine
60. Equazioni differenziali di Bernoulli
61. Equazioni differenziali a variabili separabili
62. Equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienti costanti
63. Teorema: La soluzione generale di un’equazione differenziale del II ordine a coefficienti
costanti è data da tutte le soluzioni del sistema omogeneo sommate ad una soluzione
particolare.
64. Teorema su come trovare la soluzione generale dell’equazione omogenea associata
65. Teorema sul metodo di variazione delle costanti arbitrarie ( o metodo di Lagrange)
66. Teorema del differenziale totale
67. Teorema sulla matrice hessiana.
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