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Analisi di Fourier e applicazioni - Dipartimento di Matematica e

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A NALISI DI F OURIER E APPLICAZIONI
G.Di Fazio
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Catania
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
O RIGINE DELLE S ERIE DI F OURIER
Problema della propagazione del calore in una sbarra.
Fourier - 1822 (caso unidimensionale)
La temperatura u è una funzione della variabile spaziale x e del
tempo t. Essa è espressa da una funzione u(x, t) e verifica la
seguente condizione
∂2u
∂u
=
2
∂t
∂x
per ogni x ∈ Ω e per ogni t > 0.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
O RIGINE DELLE S ERIE DI F OURIER
Problema della propagazione del calore in una sbarra.
Fourier - 1822 (caso unidimensionale)
La temperatura u è una funzione della variabile spaziale x e del
tempo t. Essa è espressa da una funzione u(x, t) e verifica la
seguente condizione
∂2u
∂u
=
2
∂t
∂x
per ogni x ∈ Ω e per ogni t > 0.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
O RIGINE DELLE S ERIE DI F OURIER
Problema della propagazione del calore in una sbarra.
Fourier - 1822 (caso unidimensionale)
La temperatura u è una funzione della variabile spaziale x e del
tempo t. Essa è espressa da una funzione u(x, t) e verifica la
seguente condizione
∂2u
∂u
=
2
∂t
∂x
per ogni x ∈ Ω e per ogni t > 0.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
O RIGINE DELLE S ERIE DI F OURIER
Fourier ipotizza la temperatura (incognita) come la
sovrapposizione degli effetti di funzioni di tipo coseno e risolve
così l’equazione.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
D EFINIZIONE (S ERIE TRIGONOMETRICA )
Siano {an } e {bn } due successioni reali. la serie
+∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sen nx)
2
n=1
si chiama serie trigonometrica di coefficienti {an }, {bn }.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Casi particolari
D EFINIZIONE (S ERIE DI S ENI )
+∞
X
bn sen nx
n=1
D EFINIZIONE (S ERIE DI C OSENI )
+∞
X
an cos nx
n=0
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Casi particolari
D EFINIZIONE (S ERIE DI S ENI )
+∞
X
bn sen nx
n=1
D EFINIZIONE (S ERIE DI C OSENI )
+∞
X
an cos nx
n=0
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Casi particolari
D EFINIZIONE (S ERIE DI S ENI )
+∞
X
bn sen nx
n=1
D EFINIZIONE (S ERIE DI C OSENI )
+∞
X
an cos nx
n=0
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
D EFINIZIONE (S ERIE IN FORMA COMPLESSA )
+∞
X
cn einx
n=−∞
dove {cn } è una successione di numeri complessi.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di
periodo 2π.
Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie
trigonometrica ?
In generale la risposta è no.
Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da
una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente
determinati.
Risulta
Z
1 π
an =
f (x) cos nx dx
π −π
e
bn =
1
π
Z
π
f (x) sen nx dx
−π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di
periodo 2π.
Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie
trigonometrica ?
In generale la risposta è no.
Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da
una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente
determinati.
Risulta
Z
1 π
an =
f (x) cos nx dx
π −π
e
bn =
1
π
Z
π
f (x) sen nx dx
−π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di
periodo 2π.
Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie
trigonometrica ?
In generale la risposta è no.
Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da
una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente
determinati.
Risulta
Z
1 π
f (x) cos nx dx
an =
π −π
e
bn =
1
π
Z
π
f (x) sen nx dx
−π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di
periodo 2π.
Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie
trigonometrica ?
In generale la risposta è no.
Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da
una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente
determinati.
Risulta
Z
1 π
f (x) cos nx dx
an =
π −π
e
bn =
1
π
Z
π
f (x) sen nx dx
−π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
In questo caso, la serie trigonometrica si chiama Serie di
Fourier di f .
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
La serie di Fourier di f converge alla funzione f da cui è stata
generata?
In generale la risposta è no.
Sotto opportune condizioni è possibile dimostrare che la serie
di Fourier converge alla funzione.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
La serie di Fourier di f converge alla funzione f da cui è stata
generata?
In generale la risposta è no.
Sotto opportune condizioni è possibile dimostrare che la serie
di Fourier converge alla funzione.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S ERIE DI F OURIER
La serie di Fourier di f converge alla funzione f da cui è stata
generata?
In generale la risposta è no.
Sotto opportune condizioni è possibile dimostrare che la serie
di Fourier converge alla funzione.
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
S IGNIFICATO DELLA CONVERGENZA
Posto
f (x + ) = lim+ f (t)
t→x
f (x − ) = lim f (t)
t→x −
la serie converge al numero
f (x + ) + f (x − )
2
che - in generale - non è f (x).
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
E SEMPIO
E SEMPIO (O NDA QUADRA )
La funzione f : R → R definita dalla legge
(
1 se 2k π ≤ x < (2k + 1)π
f (x) =
−1 se (2k − 1)π ≤ x < 2k π
k ∈ Z,
è periodica di periodo 2π in R. La serie di Fourier è
+∞
4 X sen((2n + 1)x)
.
π
2n + 1
n=0
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
E SEMPIO
E SEMPIO (O NDA A DENTE DI SEGA )
La funzione f : R → R definita dalla legge
f (x) = x − [x] ,
periodica di periodo T = 1 in R si chiama dente di sega. La serie di
Fourier è
∞
1 1X1
−
sen(2nπx) .
2 π
n
n=1
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
C ONVERGENZA
Quando converge una serie di Fourier ?
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U NA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA
D EFINIZIONE (C ONDIZIONE DI D IRICHLET )
Sia f : R → R una funzione reale di variabile reale. Diciamo che
la funzione f verifica la condizione di Dirichlet in un punto
x0 ∈ R se è verificata almeno una delle seguenti affermazioni.
1. La funzione f è derivabile nel punto x0 .
2. La funzione f è continua nel punto x0 ed esistono entrambi
finiti i seguenti limiti
f+0 (x0 ) ≡ lim+
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 ) 0
, f− (x0 ) ≡ lim
.
−
x − x0
x − x0
x→x0
3. La funzione f ha un salto in x0 ed esistono entrambi finiti i
seguenti limiti
0
f+∗ (x0 ) ≡ lim+
x→x0
f (x) − f (x0+ ) 0 ∗
f (x) − f (x0− )
f− (x0 ) ≡ lim
.
x − x0
x − x0
x→x0−
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U NA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA
D EFINIZIONE (C ONDIZIONE DI D IRICHLET )
Sia f : R → R una funzione reale di variabile reale. Diciamo che
la funzione f verifica la condizione di Dirichlet in un punto
x0 ∈ R se è verificata almeno una delle seguenti affermazioni.
1. La funzione f è derivabile nel punto x0 .
2. La funzione f è continua nel punto x0 ed esistono entrambi
finiti i seguenti limiti
f+0 (x0 ) ≡ lim+
x→x0
f (x) − f (x0 ) 0
f (x) − f (x0 )
, f− (x0 ) ≡ lim
.
−
x − x0
x − x0
x→x0
3. La funzione f ha un salto in x0 ed esistono entrambi finiti i
seguenti limiti
0
f+∗ (x0 ) ≡ lim+
x→x0
f (x) − f (x0+ ) 0 ∗
f (x) − f (x0− )
f− (x0 ) ≡ lim
.
x − x0
x − x0
x→x0−
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U NA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA
D EFINIZIONE (C ONDIZIONE DI D IRICHLET )
Sia f : R → R una funzione reale di variabile reale. Diciamo che
la funzione f verifica la condizione di Dirichlet in un punto
x0 ∈ R se è verificata almeno una delle seguenti affermazioni.
1. La funzione f è derivabile nel punto x0 .
2. La funzione f è continua nel punto x0 ed esistono entrambi
finiti i seguenti limiti
f+0 (x0 ) ≡ lim+
x→x0
f (x) − f (x0 ) 0
f (x) − f (x0 )
, f− (x0 ) ≡ lim
.
−
x − x0
x − x0
x→x0
3. La funzione f ha un salto in x0 ed esistono entrambi finiti i
seguenti limiti
0
f+∗ (x0 ) ≡ lim+
x→x0
f (x) − f (x0+ ) 0 ∗
f (x) − f (x0− )
f− (x0 ) ≡ lim
.
x − x0
x − x0
x→x0−
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U NA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA
T EOREMA (S VILUPPABILITÀ IN SERIE DI F OURIER )
Sia f : R → R una funzione periodica di periodo 2π e
localmente integrabile in R. La serie di Fourier associata alla
funzione è convergente in ogni punto x in cui la funzione f
soddisfi la condizione di Dirichlet e si ha
+∞
X
f (x − ) + f (x + )
1
a0 +
.
(an cos nx + bn sen nx) =
2
2
n=1
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
P ROBLEMA
E se la funzione non è periodica ?
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
T RASFORMATA DI F OURIER
LA TRASFORMATA DI FOURIER
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
T RASFORMATA DI F OURIER
D EFINIZIONE (T RASFORMATA DI F OURIER DI UNA FUNZIONE
SOMMABILE )
Sia f : R → R una funzione sommabile. Per ogni ξ ∈ R la
funzione
f (x)e−2πixξ
è sommabile. Ponendo
ˆf (ξ) =
Z
+∞
f (x)e−2πixξ dx
−∞
definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di
Fourier della funzione f .
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
T RASFORMATA DI F OURIER
D EFINIZIONE (T RASFORMATA DI F OURIER DI UNA FUNZIONE
SOMMABILE )
Sia f : R → R una funzione sommabile. Per ogni ξ ∈ R la
funzione
f (x)e−2πixξ
è sommabile. Ponendo
ˆf (ξ) =
Z
+∞
f (x)e−2πixξ dx
−∞
definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di
Fourier della funzione f .
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
T RASFORMATA DI F OURIER
D EFINIZIONE (T RASFORMATA DI F OURIER DI UNA FUNZIONE
SOMMABILE )
Sia f : R → R una funzione sommabile. Per ogni ξ ∈ R la
funzione
f (x)e−2πixξ
è sommabile. Ponendo
ˆf (ξ) =
Z
+∞
f (x)e−2πixξ dx
−∞
definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di
Fourier della funzione f .
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
T RASFORMATA DI F OURIER
D EFINIZIONE (T RASFORMATA DI F OURIER DI UNA FUNZIONE
SOMMABILE )
Sia f : R → R una funzione sommabile. Per ogni ξ ∈ R la
funzione
f (x)e−2πixξ
è sommabile. Ponendo
ˆf (ξ) =
Z
+∞
f (x)e−2πixξ dx
−∞
definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di
Fourier della funzione f .
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U N ESEMPIO
E SEMPIO
Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita
dalla legge
(
sen x se −π < x < π
f (x) =
0
altrimenti
La funzione è sommabile.
Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione.
eix − e−ix
si ha
Ricordando che sen x =
2
Z π
ˆf (ξ) = 1
e−2πixξ (eix − e−ix ) dx .
2i −π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U N ESEMPIO
E SEMPIO
Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita
dalla legge
(
sen x se −π < x < π
f (x) =
0
altrimenti
La funzione è sommabile.
Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione.
eix − e−ix
Ricordando che sen x =
si ha
2
Z π
ˆf (ξ) = 1
e−2πixξ (eix − e−ix ) dx .
2i −π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U N ESEMPIO
E SEMPIO
Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita
dalla legge
(
sen x se −π < x < π
f (x) =
0
altrimenti
La funzione è sommabile.
Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione.
eix − e−ix
Ricordando che sen x =
si ha
2
Z π
ˆf (ξ) = 1
e−2πixξ (eix − e−ix ) dx .
2i −π
G.Di Fazio
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U N ESEMPIO
E SEMPIO
Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita
dalla legge
(
sen x se −π < x < π
f (x) =
0
altrimenti
La funzione è sommabile.
Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione.
eix − e−ix
Ricordando che sen x =
si ha
2
Z π
ˆf (ξ) = 1
e−2πixξ (eix − e−ix ) dx .
2i −π
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U N E SEMPIO
Eseguendo i calcoli troviamo
2
ˆf (ξ) = 2i sen(2π ξ)
4π 2 ξ 2 − 1
G.Di Fazio
∀ξ 6= ±2πξ .
Analisi di Fourier e applicazioni
A PPLICAZIONI
1. Audio
2. Immagini e video
3. Sicurezza Informatica
4. Telecomunicazioni
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A PPLICAZIONI
1. Audio
2. Immagini e video
3. Sicurezza Informatica
4. Telecomunicazioni
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A PPLICAZIONI
1. Audio
2. Immagini e video
3. Sicurezza Informatica
4. Telecomunicazioni
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A PPLICAZIONI
1. Audio
2. Immagini e video
3. Sicurezza Informatica
4. Telecomunicazioni
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G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
U NA APPLICAZIONE MUSICALE
Ascoltiamo le serie di Fourier
G.Di Fazio
Analisi di Fourier e applicazioni
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