ThermalFEM

Problemi Termici nelle Strutture
Introduzione agli Elementi Finiti
INTRODUZIONE agli ELEMENTI FINITI
Gli elementi finiti nascono per risolvere problemi nell
nell’ambito
ambito dell
dell’ingegneria
ingegneria delle
strutture.
Tale tecnica è oggi ampiamente utilizzata anche in altri campi dell’ingegneria per
analizzare complessi problemi riguardanti:
Termo-elasticità
Fluidodinamica
Interazione Fluido-Struttura
Bio-ingegneria
Introduzione agli elementi finiti
INTRODUZIONE agli ELEMENTI FINITI
P bl
Problema
fisico
fi i
PRE-PROCESS
Generazione della geometria
Definizione proprietà
materiale
Creazione della MESH
IImposizione
i i
dei
d i vincoli
i li
Applicazione dei carichi
del
PROCESS
Risoluzione numerica del problema
POST-PROCESS
Visualizzazione grafica dei risultati ottenuti
Introduzione agli elementi finiti
INTRODUZIONE agli ELEMENTI FINITI
Queste
Q
t 3 fasi
f i possono essere incluse
i l
all’interno
ll’i t
d ll stesso
dello
t
pacchetto
h tt software
ft
come nell
caso di ADINA o in software distinti come nel caso di PATRAN/NASTRAN
Introduzione agli elementi finiti
ADINA
Introduzione agli elementi finiti
ADINA
Introduzione agli elementi finiti
STEP 1
[CREAZIONE della GEOMETRIA]
CREAZIONE GEOMETRIA
Più punti definiscono 1 linea
Più linee definiscono 1 superficie
Più superfici definiscono 1 volume
Introduzione agli elementi finiti
STEP 2
Introduzione agli elementi finiti
[TIPOLOGIA MATERIALE]
STEP 3
[IMPOSIZIONE dei VINCOLI]
Definizione della tipologia del vincolo
e applicazione sugli enti geometrici
creati
Condizioni al Contorno
B.C.
C di i i Iniziali
Condizioni
I i i li
I.C.
Introduzione agli elementi finiti
STEP 4
Introduzione agli elementi finiti
[IMPOSIZIONE dei CARICHI]
STEP 5
Introduzione agli elementi finiti
[SCELTA TIPOLOGIA ELEMENTO]
Elemento Conduction 1D
2 Nodi
1 D.O.F per nodo
Richiede di specificare
la sezione
El
Elemento
t Conduction
C d ti 2D
Modello Assialsimmetrico: Flusso di calore assialsimmetrico
Introduzione agli elementi finiti
Modello Piano: Flusso di calore nel piano YZ
Elemento Conduction 2D
33-99 Nodi
1 D.O.F per nodo
Degenerazione
g
da q
quadrilatero a triangolare
g
Raccomandati 8-9 nodi
Introduzione agli elementi finiti
Elemento Conduction 3D
4-27 Nodi
1 D.O.F per nodo
Raccomandati
Degenerazione da esaedri a tetraedri
Introduzione agli elementi finiti
STEP 6
[CREAZIONE MESH]
Selezione dell’ente
dell ente geometrico da
discretizzare
Proprietà della
discretizzazione
Introduzione agli elementi finiti
STEP 7
[TIPOLOGIA di ANALISI]
STAZIONARIO
TRANSIENTE
A S
ANALISI agli
g
AUTOVALORI
Introduzione agli elementi finiti
STEP 8
[SCELTA METODO INTEGRAZIONE TEMPORALE]
Eulero indietro
(implicito)
α =1
Eulero in avanti α = 0
((esplicito)
p
)
1
Crank Nicolson α =
Crank-Nicolson
2
(implicito)
Introduzione agli elementi finiti
ALPHA METODO
ALPHA-METODO
L’equazione
q
da discretizzare nel tempo
p sia la seguente:
g
Discretizzata assume l’espressione:
M
dU
+ KU = 0
dt
1
1
MU n +1 + αKU n +1 =
MU n − (1 − α )KU n
Δt
Δt
Eulero indietro (implicito) α = 1
1
2
Eulero in avanti (esplicito) α = 0
Crank-Nicolson (implicito) α =
Scelta del passo di Integrazione Temporale
Introducendo la diffusività termica a =
Metodo Esplicito
1
FoΔ ≤
4
⇒
k
at
e il numero di Fourier Fo = 2
ρc
L
⇒ FoΔ = a
Δt
(Δx )2
Metodo Implicito
2
(
Δx )
Δt ≤
4a
Introduzione agli elementi finiti
FoΔ ≤ 1 ⇒
2
(
Δx )
Δt ≤
a
STEP 9
[SCELTA DEL SOLUTORE]
PRE PROCESS CONCLUSO
PRE-PROCESS
Introduzione agli elementi finiti
TRASFERIMENTO di CALORE: CONDUZIONE
Postulato di Fourier
∂T
dq = − k
∂n
k è la conducibilità termica
⎡ W ⎤
⎢m K ⎥
⎣
⎦
rappresenta fisicamente la capacità del materiale di condurre calore
Equazione di Fourier
ρc
∂T
= div{k grad T }+ qv
∂t
In generale la conducibilità k è funzione di (x,y,z,T)
Ipotizzando il materiale termicamente isotropo e la conducibilità non sia funzione della temperatura T:
∂T
= k∇2T + qv
ρc
∂t
⇒
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞
∂T
= k ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ + qv
ρc
∂t
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
Il prodotto ρc rappresenta il termine capacitivo, una sorta di inerzia termica che dice quanto il materiale è
reattivo ai cambi di temperatura in base alla somministrazione di calore.
α=
k
ρc
2
prende il nome di diffusività termica ⎡ m ⎤
Introduzione agli elementi finiti
⎢ s ⎥
⎣ ⎦
TRASFERIMENTO di CALORE: CONDUZIONE
Condizioni al contorno essenziali (Dirichlet)
Assegno la temperatura ai bordi (esempio)
T (x = 0) = T
T ( x = L ) = Tˆ
Condizioni al contorno naturali (Neumann)
Assegno il flusso (esempio)
−k
∂T
∂x
Condizione Adiabatica (flusso nullo)
=q
x =0
−k
∂T
∂x
=0
x =0
Condizioni iniziali
Assegno il profilo di temperatura su tutto il dominio all’istante iniziale t0 (esempio)
Introduzione agli elementi finiti
T ( x, y , z, t = 0) = f ( x, y , z )
PRINCIPIO DELLE TEMPERATURE VIRTUALI
~T
~ B
~S S
~i i
∫ θ ′ kθ ′dV =∫ θ q dV + ∫ θ q dS +∑θ Q
V
~T
&dV
′
(
)
θ
ρ
c
θ
∫
V
Transitorio
(inerzia termica)
S
i
⎡ ∂θ
θ ′T = ⎢
⎣ ∂x
∂θ
∂y
∂θ ⎤
∂z ⎥⎦
V
[c]{θ&}+ [k ]{θ } = {q}
Introduzione agli elementi finiti
⎡k x
k = ⎢⎢ 0
⎣⎢ 0
0
ky
0
0⎤
0 ⎥⎥
k z ⎥⎦
UN SEMPLICE ESEMPIO
LAlluminio = LAcciaio = 0.25 m
Equazione di Fourier stazionaria monodimensionale
k Alluminio = 247
T = 100 °C
Alluminio
Acciaio
T = 50 °C
k Acciaio = 52
Equazione di Fourier
d 2T
=0
dx 2
T ( x = 0) = 100 °C
T ( x = L ) = 50 °C
Interfaccia
dT
dT
= −k2
dx
dx
−
+
⎛
⎛
L ⎞
L ⎞
⎟ = T⎜x =
⎟
T ⎜⎜ x =
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
− k1
Introduzione agli elementi finiti
T=91.30
T
91.30 °C
C
B.C.
B.C.
W
mK
W
mK
SBARRETTA completamente COIBENTATA
LAlluminio = LAcciaio = 0.25 m
Equazione di Fourier stazionaria monodimensionale
Alluminio
k Alluminio = 247
Acciaio
k Acciaio = 52
Equazione di Fourier
∂T
∂ 2T
ρc
=k 2
∂x
∂t
∂T
kAlluminio
= 0 ∀t
∂x x =0
kAcciaio
∂T
∂x
=0
B.C.
∀t
B.C.
x=L
T ( x, t = 0 ) = f ( x ) = 100 sin
Introduzione agli elementi finiti
πx
L
I .C.
T=63.66 °C
W
mK
W
mK
K

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