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476 点(x+y,xy)

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476_点 ( x +
y , xy ) の存在範囲問題の解法
点 ( x + y , xy ) の存在範囲問題の解法
y
2
x,y がすべての実数値をとるとき,点 ( x + y , xy ) の
存在範囲は,x,y の実数条件から
y ( 1 x2
4
したがって,xy 平面上に図示すると,右図の斜線部
1
y= x 2
4
1
-2
分となる.ただし,境界線上の点も含む.
-1
O
1
2
x
-1
Step1. α ,
β を 2 解とする x についての 2 次方程式は
x 2 − (α + β ) x + αβ = 0
x = α , β を解にもつ 2 次方程式は ( x − α )( x − β ) = 0
2
展開して整理すると x − (α + β ) x + αβ = 0
■
r 2 , − 5 を解とする 2 次方程式は
2 + (−5) = −3 , 2 × (−5) = −10
x 2 − (−3) x + (−10) = 0 ⇔ x 2 + 3 x − 10 = 0
より
説明
⎧ x+ y = p
を満たす x , y を解とする t についての 2 次方程式は
⎩ xy = q
Step2.連立方程式 ⎨
t 2 − pt + q = 0
説明
t = x , y を解とする t についての 2 次方程式は
x + y = p , xy = q を代入して
t 2 − ( x + y ) x + xy = 0
t 2 − pt + q = 0
■
⎧ x + y = 1 "" ①
r 連立方程式 ⎨
の解法として,基本的には“1 文字消去”の方針から
⎩ xy = −6 "" ②
s ①より y = 1 − x これを②に代入して
x(1 − x) = −6 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 ⇔ ( x − 3)( x + 2) = 0
⇔ x =3, −2
x = 3 のとき y = −2 , x = −2 のとき y = 3
よって, ( x , y ) = (3 , − 2) , ( −2 , 3)
このように求めてもよいが,Step2 を利用すると
x , y を解とする t についての 2 次方程式は
t 2 − t − 6 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔ t = 3 , − 2
よって, ( x , y ) = (3 , − 2) , ( −2 , 3)
t
どちらかが x で,他方が
として解くと手際がよくなる.
y だから組合せは 2 通り
−1−
http://www.geocities.jp/ikemath
⎧ x+ y = p
が実数解 x , y をもつための必要十分条件は
⎩ xy = q
Step3.連立方程式 ⎨
p 2 − 4q ) 0
Step2 から x , y を解とする t についての 2 次方程式は
説明
t 2 − pt + q = 0
この方程式の判別式を D とすると,実数解条件から
D = p 2 − 4q ) 0
■
⎧ x+ y = a
例題1.連立方程式 ⎨
2
2
⎩ x + y =a+4
が実数解をもつ必要十分条件は ア ( a ( イ
(関東学院大)
である.
( x + y ) 2 − 2 xy = a + 4
s 第 2 式を変形して
x + y = a "" ① より
xy = 1 (a 2 − a − 4) "" ②
2
したがって,①,②より, x , y を 2 解とする 2 次方程式は
t 2 − at + 1 (a 2 − a − 4) = 0
2
上式の判別式を D とすると,実数解条件から
D = a 2 − 2(a 2 − a − 4) ) 0 ⇔ a 2 − 2a − 8( 0
⇔ (a + 2)(a − 4) ( 0
a 2 − 2 xy = a + 4 ⇔
よって,求める必要十分条件は - 2 ( a ( 4
■ 練 習 問 題.
1.x,y,z を実数とする. x + y + z = 0 , xyz = 2 であるとき,z のとりうる値の範囲を求
めよ.
(熊本県立大)
2. x + y + z = a , x + y + z = 2a を同時に満たす実数 x,y,z が存在するときの a の値
の範囲を次のようにして求める.
(1) x,y に注目して, x + y と xy を z,a で表すことを考える.
2
2
2
x + y = a − z "" ① , x 2 + y 2 = 2a − z 2 "" ②
であるが,①,②から
xy = ア
したがって,x,y を解とする 2 次方程式を 1 つ考えると,この方程式が実数解をもつ条
件から z と a の関係式 イ ( 0 "" ③ が得られる.
(2)
関係式③を満たす実数 z が存在する条件を考えて,a の値の範囲を求めよ.
(神戸学院大)
−2−
476_点 ( x +
y , xy ) の存在範囲問題の解法
例題2.実数 x,y が x + y = 1 という関係を満たしながら動くとき,点 P ( x + y , xy ) の
軌跡を求め,図示せよ.
(名古屋市立大)
2
s
2
x + y = p , xy = q とおくと,x,y は 2 次方程式
t 2 − pt + q = 0 "" ①
の解である.①の判別式を D とすると,実数解条件から
D = p 2 − 4q ) 0 ⇔ q ( 1 p 2 "" ②
4
y
このとき,条件式を変形して
1
( x + y ) − 2 xy = 1 ⇔ p − 2q = 1
y= x 2
4
1
⇔ q = 1 p 2 − 1 "" ③
2
2
2
1
1
1
2
2
O
1 U2
2 x
q = p と q = p − を連立させて解くと
-U 2 -1
4
2
2
1
1
1
1 p2 = 1 p2 − 1 ⇔ p2 = 2
y= x 2 2
2
2
4
2
2
⇔ p=± 2
1 2 1
よって,点 P の軌跡は,放物線 y = x − の − 2 ( x ( 2 の部分で,図示すると上図
2
2
2
2
の実線部分となる.
■ 練 習 問 題.
3.a,b が実数のとき x = a + b , y = ab とすると,a,b は t に関する方程式 t − xt + y = 0
2
の解であるから, y (
x2
ア
が成り立つ.したがって,実数 a,b が
a 2 + 4ab + b 2 + 4a + 4b − 8 = 0 を満足しながら変化するとき,( x , y ) を座標とする点 P の
軌跡は,
y=−
x2
イ
− ウ x+ エ
( x(−
オ
, x) カ
)
(東京薬科大)
となる.
4.実数 x,y について, 3 x − 2 xy + 3 y = 16 が成り立つとする.
2
(1)
2
x + y = u , xy = v とおくと, 3x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 16 は
v = ア u2 + イ
"" ①
と表せる.また,t に関する 2 次方程式 t − ut + v = 0 が実数解 x,y をもつので,u,v
2
は u − 4v ) 0 を満たす.この不等式に①を代入して得られる 2 次不等式を解けば
2
ウ ( u ( エ である.
(2)
(上智大)
xy のとりうる値の範囲を求めよ.
−3−
http://www.geocities.jp/ikemath
例題3.実数 x,y が x + y (1 を満たしながら変化するとする.
2
2
s = x + y , t = xy とするとき,点 ( s , t ) の動く範囲を st 平面上に図示せよ.
(2) 負でない定数 m をとるとき, xy + m( x + y ) の最大値,最小値を m を用いて表せ.
(1)
(東京工業大)
s(1) x,y を 2 解とする 2 次方程式は
X 2 − sX + t = 0 "" ①
①の判別式を D とすると,実数解条件から
D = s 2 − 4t ) 0 ⇔ t ( 1 s 2 "" ②
4
t
1
1
2
O
-U 2 -1
このとき
t=
1 2
s
4
1 U2
s
1
x 2 + y 2 (1 ⇔ ( x + y ) 2 − 2 xy (1
1
1
2 -1
t= s 22
2
1
1
"" ③
⇔ s 2 − 2t (1 ⇔ t ) s 2 −
2
2
よって,②,③から点 ( s , t ) の動く範囲は右上図の斜線部分となる.ただし,境界線上の
点も含む.
(2) x + y = s , xy = t とおくと
xy + m( x + y ) = t + ms
ここで, t + ms = k とおくと
t = −ms + k (m ) 0) "" ④
④は st 平面上では,傾きが − m ( ( 0) ,t 切片が k の
t
k:最大
1
1
2
直線を表す.
直線④が(1)で求めた領域を通るとき,t 切片 k が最大 -U 2 -1
となるのは,点
(
)
2 , 1 を通るときで,このとき k
2
-
O
1 U2
s
1
2
1 + 2 m をとる.
2
1 2 1 "" ⑤ 上の点 − 2 , 1 における接線の傾きは,t ′ = s より,
次に,放物線 t = s −
2
2
2
− 2 である.このことから
t
(ⅰ) − 2 ( − m ( 0 ,すなわち 0 ( m ( 2 のとき,
直線④が放物線⑤に接するとき k は最小となる.
は最大値
(
)
④,⑤より
1 s 2 − 1 = −ms + k
2
2
⇔ s 2 + 2ms − (2k + 1) = 0
判別式を D′ とすると重解条件から,求める最小値
は
D′ = m 2 + 2 k + 1 = 0 ⇔ k = − m 2 + 1
4
2
−4−
1
2
-U 2
O
U2
k:最小
-m = -U 2
s
476_点 ( x +
y , xy ) の存在範囲問題の解法
(
)
− m < − 2 ,すなわち m > 2 のとき,直線④が点 − 2 , 1 を通るとき k は最小
2
(ⅱ)
となる.
したがって,求める最小値は
t
1 − 2m
2
1
2
以上から, xy + m( x + y ) の最大値は
1 + 2m
2
最小値は
O
-U 2
⎧
m2 + 1
0
m
2
−
(
(
のとき
⎪
2
⎨
1
⎪ m> 2
のとき − 2 m
2
⎩
U2
s
-m = -U 2
k:最小
■ 練 習 問 題.
5.点 P (α ,
図示せよ.
β ) が α 2 + β 2 + αβ < 1 を満たして動くとき,点 Q (α + β , αβ ) の動く範囲を
(岐阜大)
6.s,t を実数とする.
(1) x = s + t + 1 , y = s − t − 1 とおく.s,t が s ) 0 , t ) 0 の範囲を動くとき,点 ( x , y ) の
動く範囲を座標平面内に図示せよ.
(2) x = st + s − t + 1 , y = s + t − 1 とおく.s,t が実数全体を動くとき,点 ( x , y ) の動く
範囲を座標平面内に図示せよ.
(東北大)
7.2 つの数 x,y に対し, s = x + y , t = xy とおく.
(1)
x,y が実数を動くとき,点 ( s , t ) の存在範囲を求めよ.
(2)
実数 x,y が ( x − y ) + x y = 4 を満たしながら変化するとする.
2
2
2
(ア) 点 ( s , t ) の描く図形を st 平面上に図示せよ.
(イ)
(1 − x)(1 − y ) のとりうる値の範囲を求めよ.
−5−
(東京理科大)
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