Modèle mathématique.

Exercices type brevet : Trigonométrie
Exercice 1 :
La distance entre le phare P et le ponton O est égale environ à
4,65km. Un bateau B se trouve au large de ce ponton.
Le triangle OPB est rectangle en B et des visées ont permis
d’établir que la mesure de l’angle OPB est égale à 30°.
1. Calculer la distance séparant le bateau B du ponton 0.
2. Sachant que le bateau se déplace à une vitesse supposée
constante de 15,5 km/h, déterminer le temps ( en minutes )
qu’il lui faudra pour rejoindre le ponton O.
Exercice 2 : En se retournant lors d’une marche arrière,
le conducteur d’une camionnette voit le sol à 6 mètres
derrière son camion. Sur le schéma, la zone grisée
correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu’il
regarde en arrière.
On sait que DC = 5,40m.
1. Calculer ED.
2. Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m
derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir ? Expliquer.
3. (AE) est perpendiculaire à (CE). Donner la valeur arrondie au degré près de l’angle ACE.
Exercice 3 : Sur la figure ci-contre, les points A,B et E sont
alignés, et C le milieu de [BD].
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. En déduire la nature du triangle BDE.
3. Calculer ED. Arrondir le résultat au dixième.
4. Calculer au degré près la mesure de l’angle DEB.
Plusieurs exercices pour un problème :
Les trois exercices qui suivent se rapporte à l’écluse décrites ci-dessous.
Les exercices sont indépendants.
On étudie plus précisément le remplissage d’une
écluse pour faire passer une péniche de l’amont
vers l’aval.
Principe : il s’agit de faire monter le niveau de
l’eau dans l’écluse jusqu’au niveau du canal en
amont afin que l’on puisse ensuite faire passer la
péniche dans l’écluse.
Ensuite l’écluse se vide et le niveau descend à
celui du canal en aval. La péniche peut alors sortir
de l’écluse et poursuivre dans le canal en aval.
Toutes les mesures sont exprimées en mètres.
On notera h la hauteur du niveau de l’eau en amont et x la hauteur du niveau de l’eau dans l’écluse
( voir schéma ci-contre).Ces hauteurs sont mesurées à partir du radier ( fond ) de l’écluse.
Lorsque la péniche se présente à l’écluse, on a :
h = 4,3 m et x = 1,8 m.
Exercice 1 :
La vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle (vanne)
est donnée par la formule suivante :
V = 2g(h – x) où
g = 9,81 ( accélération en m par seconde au carré noté
m.s-2 ) et v la vitesse ( en mètre par seconde noté m.s-1.
1. Calculer l’arrondi à l’unité de la vitesse de l’eau
s’écoulant par la vantelle à l’instant de son
ouverture
( on considère l’ouverture conne étant
instantanée).
2. Pour quelle valeur de x, la vitesse d’écoulement
de l’eau sera-t-elle nulle ? Qu’en déduit-on
pour le niveau de l’eau dans l’écluse dans ce
cas-là ?
3. Le graphique donné ci-contre représente la
vitesse d’écoulement de l’eau par la vantelle en
fonction du niveau x de l’eau dans l’écluse.
Déterminer, par lecture graphique, la vitesse
d’écoulement lorsque la hauteur de l’eau dans
l’écluse est de 3,4 m.
Exercice 2 :
Le débit moyen q d’un fluide dépend de la vitesse v du fluide et de l’aire de la section d’écoulement S. Il est
donné par la formule suivante :
q = S× v où
3 -1
q est exprimé en m .s ; S en m² et v en m.s-1.
On considérera que la vitesse d’écoulement de l’eau à travers la vantelle durant le remplissage est v=2,8 m.s-1.
La vantelle a la forme d’un disque de rayon R = 30 cm.
1. Quelle est l’aire exacte, en m², de la vantelle ?
2. Déterminer le débit moyen arrondi au millième de cette vantelle durant le remplissage.
3. Pendant combien de secondes, faudra-t-il patienter pour le remplissage
d’une écluse de capacité 756 m3 ? Est-ce qu’on attendra plus de 15 minutes ?
Exercice 3 :
Certaines écluses ont des portes dites
« busquées » qui forment un angle pointé vers
l’amont de manière à résister à la pression de
l’eau.
En vous appuyant sur le schémas ci-dessous,
déterminer la longueur des portes au cm près.

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