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7.1 Influence de la géométrie et du nombre de Reynolds
7.2 Expression de la quantité de mouvement
7.3 Les équations de la couche limite
7.4 Couche limite sur une plaque plane
7.5 Couche limite avec gradient de pression
7.6 Écoulements externes
Écoulement externe?
Il s’agit d’un phénomène dans lequel le fluide est en contact ou
limité par une paroi physique, mais que son déplacement est
illimité dans les autres directions.
On trouve un écoulement de cette nature lorsqu’un corps se
déplace au sein d’un fluide, ce qui revient à imaginer que le fluide
s’écoule autour du corps, mais avec celui-ci étant fixe dans
l’espace.
En principe on considère qu’un seul objet. S’il y en a plusieurs, il
sont regardés comme étant assez loin les uns des autres pour
avoir une influence réciproque quelconque.
L’étude des écoulements externes a été fondamentalement
effectuée dans le domaine de l’aéronautique. Cependant, il y en
a d’autres applications telles que l’aérodynamique des véhicules
terrestres, les d’éoliennes, ou l’écoulement autour de bâtiments
urbains et industriels, qui intéressent également l’ingénieur.
Les écoulements externes génèrent deux forces importantes: la
traînée, dans la direction de l’écoulement sur l’objet, et la force
normale à l’écoulement appelée portance. Cette dernière
concerne les corps aérodynamiques plutôt que les corps
émoussés
Dès nos jours, une grande quantité d’études sont consacrées au
contrôle des écoulements autour de véhicules de toute sorte pour
la réduction de la trainée. Cette force est directement liée à la
consommation d’énergie et les enjeux environnementaux et
économiques sont donc importants. Réduire la consommation des
véhicules de transport est une priorité!
À titre d’exemple, notons que la traînée aérodynamique d’une
voiture de taille moyenne qui roule à 100 km/h, contribue entre
75% et 80% à la résistance totale à l’avancement.
Dans le domaine sportif on effectue également des d’études,
complémentaires à la réduction de la trainée, pour agir aussi sur
la déportance (portance négative) et augmenter ainsi la stabilité
de la voiture. Pour ce faire, on utilise des ailerons ayant la forme
de profils d’aile d’avion.
En effet, une portance (positive) élevée est clairement bénéfique
pour un avion, mais elle pourrait être nuisible sur une voiture,
puisque dans ce cas on veut garder l’adhérence du véhicule à la
route.
On regarde maintenant quelques détails sur les forces qui
s’exercent sur un corps en mouvement immergé dans un fluide.
La première, la force de traînée D(Fd), correspond à la résistance
du fluide au déplacement du corps, ou encore, à celle qui
impose un obstacle immobile à l’écoulement. L’intérêt sur cette
grandeur se retrouve dans l’équation définissant la puissance
associée à cette force: P=FdV
Dans cette expression P indique la puissance et V la vitesse du
corps (véhicule).
La force de traînée Fd provient de diverses sources. Pour un
corps profilé (aéro ou hydrodynamique), le frottement tangentiel à
la surface du corps, généré par la viscosité et la différence de
vitesse entre le fluide et la paroi, est dominant. On appelle cette
force traînée de frottement. Elle est importante alors pour un
corps profilé, mais sa pondération diminue pour un corps épais.
Une deuxième sorte de traînée est la trainée de forme ou de
pression. Cette force (la résistance à l’écoulement) dépendra
incontestablement de la forme du corps. Si celui-ci est émoussé,
le fluide se détachera, ce qui entrainera une chute de pression en
aval d’un obstacle. Il y aura donc une dissymétrie des forces de
pression. La zone de séparation sera suivie d’un sillage, où les
effets visqueux sont importants.
Il faut noter, cependant, que pour un corps profilé, la pondération
entre le cisaillement et la forme par rapport à leur influence sur les
forces aéro(hydro) dynamiques, dépend aussi de la position du
profil. Spécifiquement, de l’angle formé entre le profil et la
direction de l’écoulement.
200
traînée de forme
20
traînée dans le sillage
Dans ce module, on considérera que ces deux types de traînée.
Ces forces sont présentes en 2D ou en 3D et en régime
compressible et/ou incompressible.
On note cependant qu’en régime compressible et dans les
écoulements tridimensionnels on retrouve deux autres formes de
traînée.
Dans le domaine de l’aéronautique, on analyse en particulier la
résistance à l'avancement induite par la portance qu’on nomme
traînée induite . En fait, c’est la plus importante traînée de l'avion.
En effet, à cause de la différence de pression entre l’intrados et
l’extrados des ailes d’avion, un mouvement tourbillonnaire s’établit
aux extrémités des ailes. Ces tourbillons “parasites” sont
transportés vers l’aval en consommant de l’énergie.
Les tourbillons marginaux
occasionnent des pertes
Lors d’un écoulement compressible, il peut y avoir une force dite
traînée d’onde. Celle-ci est reliée à l'approche de la vitesse
sonique.
Très sommairement, lors d’un choc normal (module sur les
écoulements compressibles), la vitesse de l'écoulement passe
fortement de supersonique à subsonique. Ce phénomène
engendre une nouvelle traînée et une augmentation de la
consommation d'énergie.
En régime transsonique, le choc peut se situer sur l'extrados de
l’aile. En régime supersonique, il est détaché devant l’aile.
Lorsqu’un objet se déplace sur une surface libre (la surface de
l’eau) il génère des vagues, qui sont la contrepartie des ondes dans
un écoulent compressible. Les vagues peuvent produire une zone
de haute pression ou « mur de vague » devant l’objet qui ralentit
son déplacement. Dans ce cas on dit qu’une traînée de vague a
lieu.
http://tpe-les-progres-dans-le-domaine-de-la-natation.e-monsite.com/pages/les-forces-de-resistance.html
La deuxième force exercée par un fluide sur un obstacle est
appelée portance, notée par L(ou FL). La portance est
fondamentalement une conséquence de la pression que le fluide
impose à la surface du corps. Cette force est définie dans la
direction perpendiculaire à celle de l’écoulement .
Puisque la portance dépend essentiellement de la pression et que
l’effet des contraintes de cisaillent est négligeable, aucun autre
élément n’est nécessaire pour la décrire.
Maintenant que nous avons identifié la nature et l’importance des
forces aèro(hydro)dynamiques, nous pouvons considérer
quelques équations fondamentales.
De façon générale, les forces aéro(hydro)dynamiques sont
fonction de la rugosité, de la géométrie du corps et des rapports
entre la force d’inertie et les forces: visqueuses, gravitationnelles
et élastiques (les nombres de Reynolds ,Froude et Mach; à venir).
Dans cette partie, on regardera davantage les écoulements
incompressibles avec une force gravitationnelle négligeable.
Ainsi, le nombre de Reynolds et la géométrie, et/ ou la position
d’un corps par rapport à l’écoulement, joueront un rôle central.
Pour simplifier, on distinguera alors deux situations: l’une lorsque
les forces visqueuses sont dominantes et l’autre, lorsque la
géométrie perturbe fortement la trajectoire d’un écoulement.
Les effets visqueux sont beaucoup plus importants dans le sillage
et dans une zone proche des parois qu’on appelle couche limite.
Ainsi, l’étude des objets immergés dans un écoulement de fluide
est fortement liée à la théorie de couche limite.
Si le nombre de Reynolds est suffisamment élevé, loin de l’objet,
le fluide peut être considéré parfait (inviscide).
U0
y=δ
U0
Couche limite
0
u(y)
L
On appelée couche limite la région proche des parois solides où
la vitesse dévient progressivement nulle.
δ
Cette région s’amincit au fur et à mesure que le nombre de
Reynolds augmente
U
U
U
δ
CL turbulente
δ
δ
CL laminaire
Sur une plaque plane, la transition d’un écoulement de couche limite laminaire à
turbulente a lieu à partir d’un nombre de Reynolds (Rex = ρU x/μ) de 5x105
Couche limite
Frontière de la couche limite
Paroi
T
CLT
CLL
T
CLT
point d’arrêt
CLL: couche limite laminaire
T : transition
CLT: couche limite turbulente
•
•
Le nombre de Reynolds Rex = ρU x/μ, est défini à partir du bord
d’attaque de la plaque, et sa valeur change en fonction de la position
τw
Le coefficient de frottement est donné par c f =
1 / 2 ρU 2
y
Taux de cisaillement
pariétal
U
Bord d’attaque
x
U
τw
δ(x)
Épaisseur de la couche
limite: u(δ)=0,99 U
Couche limite:
∂u ∂y
est important
Exemple 6.1
Un écoulement d’eau (à 68°F) se développe parallèlement à une plaque plane
avec une vitesse de 20 pi/s. A partir de quelle distance x du bord d’attaque de
la plaque l’épaisseur de la couche limite atteint 1 po?
Solution
On suppose que l’écoulement laminaire (𝑅𝑅𝑅𝑅 ≤ 5𝑋𝑋105)et on calcule x.
On calcule le nombre de Reynolds Rex. On vérifie ensuite le choix d’un
écoulement laminaire. Si l’écoulement est turbulent on recalcule x.
Formule
donnée
 5.0
 Re1/ 2
δ

x
≈
x
 0.16
1/ 7

 Re x
laminaire 103 < Re x < 106
turbulent
106 < Re x
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
(suite)
=
Re
L
δ
x
≈
Eau
UL (1 pi / s ) × (1 pi )
=
= 6200
1.61×10−4
υ
5.0
=
Re1/x 2
5.0
= 0.0634
6200
=
δ 0.0634 × 1 pi
= 0.0634 pi
Air
Re
=
L
δ
x
≈
UL (1 pi / s ) × (1 pi )
=
= 92600
1.08 ×10−5
υ
5.0
=
Re1/x 2
5.0
= 0.0164
92600
=
δ 0.0164 × 1 pi
= 0.0164 pi
Information: Re=500 000 est le seuil laminaire-turbulent
7.1 Influence de la géométrie et du nombre de Reynolds
7.2 Expressions de la quantité de mouvement
7.3 Les équations de la couche limite
7.4 Couche limite sur une plaque plane
7.5 Couche limite avec gradient de pression
7.6 Écoulements externes
3 Amigos
Les trois quantités suivantes: épaisseur de la couche limite,
épaisseur de déplacement et épaisseur de la quantité de
mouvement sont utilisées pour mesurer des écarts produits par la
présence de la couche limite par rapport à la situation décrite par
l’écoulement d’un fluide parfait
Amigo No 1
a) Épaisseur δ: distance à la paroi à partir de laquelle la vitesse
devient 99% de la vitesse de l’écoulement uniforme
U
u(y=δ)=0.99U
δ
36
Amigo No 2
b) Épaisseur de déplacement δ*: quantité définie en fonction du
déficit de débit causé par le déplacement des couches de fluide par
rapport à celles lors de l’écoulement d’un fluide parfait
y
y
U
U
∞
u

=
δ ∫ 1 −  dy
U
0
*
δ*
∞
=
A
∫ (U − u ) dy
0
u
u
aires égales
A = δ *U
Amigo No 3
c) Épaisseur de la quantité de mouvement θ: quantité définie en
fonction de la perte de quantité de mouvement causé par le
ralentissement du fluide proche de la paroi
y
∞
=
M
U
U
u
∫ ρu ( U − u ) dy
0
y
u
M = ρU 2θ
∞
u
u
=
θ ∫ 1 −  dy
U U
0
1
u
U
u

1
−


 U
δ*
θ
u
u
1 − 
U U
y
Rappel( chapitre 3)
Un écoulement arrive sur une plaque plane avec une vitesse uniforme V = U0î. La plaque arrête
complétement l’écoulement à la surface et modifie alors le profil de vitesse. À la position x= L,
on trouve des couches ralenties par rapport à U0, ce qui donne lieu à une zone d’épaisseur y = δ.
Cette zone est dite couche limite, où la vitesse varie de la valeur zéro à U0 . Le phénomène génère
un force de trainée D sur la plaque. On doit faire une analyse intégrale pour trouver cette force
en fonction de ρ, U0, et δ, ainsi que des dimensions L et b.
Ligne de courant juste à
l’extérieur de
la region visqueuse
U0
p=pa
U0
y=δ
2
y=h
3
1
D
u(y)<U0
4
0
épaisseur b
L
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
Considérant l’état stationnaire, on appliquera des bilans sur le trapézoïde 1-2-3-4
Conservation de la la masse
 
d
dV
v
+
ρ
ρ
0
∫sc r ⋅ ndA =
dt vc∫
Ligne de courant juste à
l’extérieur de la région visqueuse
δ
∫ u ( y)dy = U 0 h
0
p=pa
y
U0
U0
y=δ
2
y=h
3
δ
u( y)
h=∫
dy
U
0
0
Il n’y a pas de flux dans le
sens transversal (vertical)
D
1
u(y)
4
0
dy
épaisseur b
L
dy
x
Conservation de la Q.deM.


 
d
F
v
dV
v
vr ⋅ ndS
=
ρ
+
ρ
∑ VC dt ∫
∫
VC
SC
∑M
h
x
δ
0
=
− ρ ∫ U 0U 0bdy + ρ ∫ u ( y )u ( y )bdy =
0
SC2
SC1
0
 2 δ

ρ b  U 0 h − ∫ u ( y )u ( y )dy 
D=
−∑ M x =
0


δ
u( y) 
2 u( y) 
D ρ bU 0 ∫
1 −
 dy
U0 
U0 
0
δ
u( y)
dy
U
0
0
h=∫
Dans l’expression pour la traînée, on reconnait l’épaisseur de la
quantité de mouvement θ (solution de Theodore von Kármán), alors:
δ
u( y)  u( y) 
D( x) ρ bU ∫
=
1 −
 dy
U
U
0 
0 
0
=
θ
2
0
U
y
δ(x)
p=pa
u
u
1
−
∫0 U  U  dy
 D ( x) = ρ bU 2θ

x


 D ( x) = b τ w ( x)dx

0

∫
U
τw(x)
(1)
(2)
En dérivant (1) et (2)
x
U = U0
∞
 D ( x) = ρ bU 2θ

x


 D ( x) = b τ w ( x)dx

0

∫
(1)
(2)
dD
2 dθ
= ρ bU
dx
dx
dD
= bτ w
dx
dθ
τ w = ρU
dx
2
Pour un écoulement laminaire, von Kármán suppose
un profil parabolique décrivant la vitesse dans la CL
Conservation de la masse entrée-sortie:
 2 y y2 
− 2
u=
( x, y ) U 
 δ δ 
δ* : épaisseur de déplacement de la CL
y=h+δ*
U
Quelles sont le valeurs de τ et
de δ ?
U
y=h
h
u
δ*
x
∞
u
u
=
θ ∫ 1 −  dy
U U
0
∞
=
δ*
u

−
1
∫0  U  dy
 2 y y2 
− 2
u=
( x, y ) U 
 δ δ 
δ
δ
u

δ* =
1
−
dy
=
∫0  U 
3
δ
θ =∫
0
τw
δ2
dθ
2
2 dδ
∂u
µ= µ =
U ρU 2= ρU 2
δ
dx
∂y
15 dx
15ν x
U
2
x 0)= 0
δ (=
=
δ
=
x
τ w = ρU 2
30ν
5.5
=
Ux Re1/2
x
u
u
2
1
−
dy
=
δ


U U
15
δ dδ =
15µ
dx
Uρ
dθ
dx
cf
cf =
τw
µU 2 / δ
=
=
2
1/ 2 ρU
1/ 2 ρU 2
4µ
8ν
= =
15Ux
30ν x
ρU
U
8
15 Re x
0.73
Re1/x 2
Les solutions pour δ/x et cf proposées par von Kármán sont à 10%
près de la solution exacte (à venir).
δ* =
θ=
δ
3
2
δ
15
2
τw = µ U
δ
Exemple 7.2
Un écoulement de type couche limite sur plaque plane est étudié pour une
vitesse extérieure U = 1 pi/s. La longueur de la plaque est de 1 pi. Calculer
l’épaisseur de CL au niveau du bord de fuite de la plaque pour : a) de l’air à
68°F b) de l’eau à 68°F. νair=1.61x10-4pi2/s, νeau=1.08x10-5pi2/s
Solution
a)
UL
Re
=
= 6200
L
υ
Écoulement
laminaire
δ
x
≈
5.0
0.0634
=
Re1/x 2
x = 1pi
≈
5.0
0.0164
=
Re1/x 2
x = 1pi
δ ≈ 0.76 po
b)
Re
=
L
UL
= 92600
υ
Écoulement
laminaire
δ
x
δ ≈ 0.20 po
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7.1 Influence de la géométrie et du nombre de Reynolds
7.2 Expression de la quantité de mouvement
7.3 Les équations de la couche limite
7.4 Couche limite sur une plaque plane
7.5 Couche limite avec gradient de pression
7.6 Écoulements externes
Dans la majorité des applications industrielles, on cherche à
fournir des résultats concernant le frottement, qui est étroitement
lié aux pertes et à l’énergie. Cependant, le champ de vitesses
requis pour l’obtention du cisaillement est difficile à obtenir. Ainsi,
on fait recours à des méthodes approchées qui conduisent
néanmoins à des résultats satisfaisants.
Puisque les pertes sont concentrées dans la région pariétale, on
regardera d’abord la forme réduite des équations de N-S proche
de la paroi. Cette simplification, qui a révolutionné la mécanique
des fluides, a été proposée par Ludwig Prandtl en 1904
Ludwig Prandtl
1875-1953
Pour un écoulement stationnaire, 2 D, en régime incompressible,
les équations de N-S sont:
∂u ∂v
+
=
0
∂x ∂y
 ∂ 2u ∂ 2u 
 ∂u
∂u 
∂p
+v
−
+µ 2 + 2 
ρ u
=
∂y 
∂x
∂y 
 ∂x
 ∂x
 ∂ 2v ∂ 2v 
 ∂v
∂v 
∂p
−
+µ 2 + 2 
ρ u + v  =
x
y
y
∂
∂
∂
∂y 


 ∂x
L’hypothèse de base de l’analyse de la couche limite et que
δ/L<<1, où L est une dimension caractéristique du corps dans le
sens de l’écoulement
Suite à l’hypothèse δ/L<<1, Prandtl a montré que certains termes
jouent un rôle négligeable par rapport à d’autres. Notamment:
v << u
∂u
∂u
∂v
∂v
et
<<
<<
∂x
∂y
∂x
∂y
Ux
=
>> 1
Re
x
υ
Après quelques étapes simplification on peut trouver
∂u ∂v
+
=
0
∂x ∂y
 ∂u
∂u 
∂p
∂ 2u
− +µ 2
ρ u + v  =
∂y 
∂x
∂y
 ∂x
dpe
dU
= − ρU e e
dx
dx
à l’extérieur de la CL
∂p
=0 ⇒ p = p ( x )
∂y
On remarque que l’équation pour la quantité de mouvement dans le sens
des y (normal à la paroi), est négligeable. On voit aussi que la pression
varie seulement le long de la couche limite (x), et pas dans le sens
transversal (δ). Dans ces expressions, on considère que le gradient de
pression est obtenu appliquant les équations à l’extérieur de la CL
(écoulement inviscide et irrotationnel, sans gradient de vitesse: Bernoulli)
avec un champ de vitesses Ue(x) connu.
Finalement, les deux équations de Prandtl pour une couche limite
en 2D incompressible sont
∂u ∂v
+
=
0
∂x ∂y
∂u
∂u
dU 1 ∂τ
+v
≈U
+
u
∂x
∂y
dx ρ ∂y
τ
µ
∂u
∂y
2 conditions
aux limites :
écoulement laminaire
τ =µ
∂u
− ρ u ′v′
∂y
écoulement turbulent
en y= 0
: u= v= 0 (adhérence à la paroi )
=
en y δ=
( x) : u U ( x)
7.1 Influence de la géométrie et du nombre de Reynolds
7.2 Expression de la quantité de mouvement
7.3 Les équations de la couche limite
7.4 Couche limite sur une plaque plane
7.5 Couche limite avec gradient de pression
7.6 Écoulements externes
U
U
U
δ
CL turbulente
δ
δ
CL laminaire
La transition d’un écoulement de couche limite laminaire à la turbulente a lieu à
partir d’un nombre de Reynolds (Rex = ρU x/μ) autour de 5x105
c
Bien qu’il soit possible d’obtenir une solution des équations de
Prandtl pour la couche limite (et celles de Navier-Stokes) par voie
numérique, il est utile cependant de regarder quelques solutions
analytiques classiques.
C.L.sur une plaque plane
C.L.sur une plaque plane
Heinrich Blasius a montré que, si on utilisait un changement de
variable basé sur la fonction de courant, tous les profils de
vitesse dans la couche limite pouvaient être obtenus d’une seule
solution. Il a trouvé l’expression
1/2
u
U 

′(η ) avec η y  
= f=
U
ν x 
En substituant dans les équations de la CL en 2D, Blasius a
obtenu une équation différentielle ordinaire. Notamment:
Note: Blasius était élève de Prandtl
ff ′′
f ′′′ +
=
0
2
η = 0, f = f ′ = 0
η → ∞, f ′(∞) =1
1
f '=
u
U
Tableau pour la
solution laminaire
0
0
η
3
Écoulement laminaire sur une plaque plane
η
η-f(η)
f(η)
f(1)(η)
f(2)(η)
0
0
0
0
0.3321
1
0.8344
0.1656
0.3298
0.3230
2
1.6032
0.6500
0.6298
0.2667
3
1.6942
1.3968
0.8461
0.1613
4
1.7166
2.3058
0.9555
0.0643
5
1.7202
3.2834
0.9916
0.0159
6
1.7206
4.2798
0.9990
0.0024
7
1.7205
5.2794
1.0000
0.0002
8
1.7205
6.2795
1.0000
0.0000
9
1.7204
7.2795
1.0000
0.0000
10
1.7157
8.2796
1.0000
0.0000
1/ 2
 U 
δ 99% 

υ x 
≈ 5.0
profil turbulent
profil laminaire de Blasius
1
• La solution de Blasius est similaire à
celle qu’on obtient si on suppose un
profil parabolique pour décrire la
couche limite. Ce n’est pas le cas pour
les profiles turbulents (profiles plats)
u
U
• Avec un profil parabolique imposé,
l’épaisseur
de
la
quantité
de
mouvement est obtenue à 10% près
0
y
δ
1
Blasius
Pour la solution Blasius, les trois grandeurs: l’épaisseur de la
couche limite, l’épaisseur de déplacement et l’épaisseur de la
quantité de mouvement, définis en fonction du nombre de
Reynolds local, sont
δ ( x)
δ * ( x ) 1.721
θ ( x ) 0.664
5
= =
=
1/2
Re x
Re x1/2
Re x1/2
x
x
x
Le cisaillement peut être calculé au moyen du gradient de vitesse
à la surface
τw = µ
∂u
∂y
u
= f ′(η )
U
y =0
∂η
τ w = µUf ''(0)
∂y
1/2
U 
η = y 
ν x 
U
τ w = 0.3321µ 
x
 1/2
 Rex

La valeur 0.3321, pour f ’’ (0)
est lue du tableau( η=0)
Le cisaillement peut être calculé au moyen du gradient de vitesse
à la surface
U
x
τ w = 0.3321µ 
τw
Cf =
1 2 ρU 2
 1/2
 Rex

τ w = 0.3321ρU 2 Re1/2
x
C=
f ( x)
0.664 θ
=
Re x x
Coefficient de traînée local
La force totale de traînée sur une plaque de longueur l , par unité
de profondeur, est alors donnée par
ν 
FD = 0.332 ρU 2 ∫ 
dx
0 Ux 


l
1/2
ν 
FD = 0.664 ρU 2l  
 Ul 
1/2
On peut définir alors, le coefficient de friction global comme le
rapport entre la force de traînée et la force qui serait exercée par
la pression dynamique sur la plaque, soit:
FD
−1/2
=
1.328
Re
CD =
l
1/ 2( ρU 2 )l
5x
δ ( x) =
Re x1/2
Epaisseur de la couche limite
0.332ρ U 2
τp =
R1/2
x
Cisaillement pariétal
C f ( x) =
0.664
Re x
Coefficient de traînée local
L
1
− 12
=
CD =
C f ( x) dx 1.33Re L
∫
L0
Coefficient de traînée global
Connaissant la vitesse en amont de l’écoulement, la viscosité
cinématique du fluide, ainsi que la longueur de la plaque, on peut
obtenir le nombre Reynolds ReL et, par la suite, le coefficient de
traînée global CD
L
1
− 12
(
)
1.33Re
=
CD =
C
x
dx
f
L
L ∫0
Puisque CD correspond à la traînée référée au terme 1/2ρU2 , la
force de traînée est simplement donnée par:
FD = CD AρU 2 2
Aire caractéristique
Pour des écoulements laminaires, la valeur du coefficient de
friction obtenue pour le cas d’une plaque plane, est une bonne
approximation pour les corps profilés pourvu que l’angle entre le
corps et la direction de l’écoulement soit faible.
Les formules développées pour la plaque plane cessent d’être
valables lorsque la couche limite devient turbulente o bien si
l’angle entre le solide et l’écoulement est suffisamment grand
pour entrainer un décollement.
Exemple 7.3
Une couche limite laminaire se développe sur une plaque plane d’une longueur
L = 50 cm et d’une largeur b = 3m. La vitesse extérieure est de 2.5 m/s.
Calculer la traînée sur une face de la plaque ainsi que l’épaisseur de couche
limite au bord de fuite pour: a) Air à 20°C et 1 atm, b) Eau à 20°C et 1 atm
Solution: a) Air
1) Calcul du nombre de Reynolds
Re L=
UL
= 83300 < 5 × 105
υair
Écoulement laminaire
2) Calcul de la traînée
1.328
C=
= 4.6 × 10−3
D
1/ 2
Re L
3) Calcul de l’épaisseur
=
δ L 5=
Re1/L 2
0.0173
=
Dune face CD
ρ
2
U 2bL ≈ 0.026 N
δ x = L = 8.7 mm
Version adaptée du livre: Fluid Mechanics, par Frank M. White, 7e édition
Exemple 7.3 (suite)
Solution: b) eau
1) Calcul du nombre de Reynolds
Re L=
UL
= 1.24 × 106 > 5 × 105
υeau
Probablement turbulent
2) Calcul de la traînée
1.328
C=
= 1.2 × 10−3
D
1/ 2
Re L
=
Dune face CD
ρ
2
U 2bL ≈ 5.6 N
Comme si la CL était laminaire
3) Calcul de l’épaisseur
=
δ L 5=
Re1/L 2
0.00448
Comme si la CL était laminaire
δ x = L = 2.2mm
C.L.sur une plaque plane
δ :hauteur
Couche limite turbulente y+>30
de la
couche limite
Zone logarithmique
Sous-couche visqueuse
C.L.sur une plaque plane
u + = u / u*
Zone externe
u 1  yu * 
=
ln 
+ B
*
u κ  ν 
Région de la paroi
Sous-couche
visqueuse
Zone
mixte
Zone logarithmique
κ = 0.41
La constante de Von Karman
B = 5.0
Pour une paroi lisse
1/ 2
τ 
u = w 
 ρ 
y
*
 yu * 
log y = log 

 ν 
+
La vitesse de frottement
La distance normale à la paroi
C.L.sur une plaque plane
Loi phénoménologique suggérée par l’expérience
profil turbulent
1
1/7
u
 y
  ≈ 
 U turb  δ 
u
U
θ=
7
δ
72
et
Reδ ≈ 0.16 Re6/7
x
0
y
δ
1
(Prandtl)
δ
x
≈
0.16
Re1/7
x
0.014
CD
Coefficient de traînée
−2.5
ε
300
500
0.010
1000
0.008
2000
coefficient
0.006
0.004
Transition
0.002
Laminaire
Turbulent lisse
C D =1.328/Re1/L 2
CD = 0.031 Re1/7
L
1E+05
1E+06
1E+07
Re=VD/ν
1E+08
rugosité rélative inverse L/
L

CD 1.89 + 1.62 log 
=
ε

0.012
Coefficient de traînée pour
la couche limite sur une
plaque plane
200
Totalement turbulent
5000
104
2x104
5x104
2x105
106
1E+09
 0.031 1440
Retrans =
5 ×105
 Re1/7 − Re
 L
L
CD = 
 0.031 − 8700 Re
6 ×105
trans =
1/7

Re L
 Re L
Plaque plane
Connaissant les propriétés du fluide (μ,ρ), la vitesse de
l’écoulement U et la longueur L de la plaque:
1) Calculer le nombre de Reynolds ReL
2) Si ReL< 5x105, l’écoulement est laminaire sur toute la plaque
3) Si ReL> 5x105, déterminer la rugosité relative et chercher la
valeur de CD à partir de l’abaque
4) Utiliser la valeur de CD dans la formule
FD = CD AρU 2 2
L’aire caractéristique A est connue
Fin de la
première partie

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