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Cours et exercices - Page personnelle de Mourad Bellassoued

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Mourad Bellassoued
Cours et exercices d’Analyse Fonctionnelle
Maˆıtrise de Math´ematiques
Facult´e des Sciences de Bizerte
D´epartement de Math´ematiques
1
Avertissement
Ce document est conc¸u comme support de cours. Il ne poss`ede ni la compl´etude ni
l’exhaustivit´e d’un livre, voire d’un polycopi´e, qu’il ne saurait remplacer. Le contenu est tr`es
classique et doit beaucoup a` des ouvrages c´el`ebres que l’on trouvera dans la bibliographie.
Table des mati`eres
3
Table des mati`eres
Partie I Analyse fonctionnelle
1
Rappel de quelques notions de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 G´en´eralit´es sur les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Le cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
11
11
13
14
14
14
17
18
19
21
2
Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Topologie de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.2 Equicontinuit´
e, Th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.2.1 Equicontinuit´
e.......................................................
2.2.2 Th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Th´eor`eme de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
25
25
26
28
29
3
Les grands th´eor`emes de l’Analyse Fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Le th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
35
36
39
4
Th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Notions de convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach (forme analytique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Le th´eor`eme de Hahn-Banach (forme g´eom´etrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Suppl´ementaires topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
44
48
50
5
Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Produit Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Le cas d’un espace vectoriel r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Le cas d’un espace vectoriel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Th´eor`emes de Riesz-Fr´echet et Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Bases hilbertiennes et espaces de Hilbert s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 La convergence faible dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
53
56
58
62
63
67
69
71
6
Topologie faible et topologie faible e´ toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1 La Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7
Espaces r´eflexifs et espaces s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Partie II Sujets d’examens
Partie III Exercices
Litt´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5
Partie I
Analyse fonctionnelle
1
Rappel de quelques notions de topologie
1.1 G´en´eralit´es sur les espaces topologiques
Le but de ce chapitre est de formaliser les concepts intuitifs de proximit´e de deux objets
math´ematiques de mˆeme nature, et de continuit´e des applications agissant sur ces objets.
Durant l’ann´ee de M3, nous avons vu que l’introduction d’une m´etrique (i.e., d’une distance)
permettait d’atteindre ce but. Dans ce cours, nous serons parfois amen´es a` manipuler des
objets pour lesquels l’introduction d’une m´etrique ne permet pas de mesurer la proximit´e
de fac¸on ad´equate, et nous aurons besoin de d´efinir une notion encore plus g´en´erale. Cela
peut eˆ tre fait par le biais de la d´efinition suivante.
D´ 1.1.1 Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E la donn´ee d’un ensemble T de
parties de E poss´edant les propri´et´es suivantes :
i- T contient ∅ et E,
ii- la r´eunion quelconque d’´el´ements de T est encore dans T ,
iii-l’intersection finie d’´el´ements de T est encore dans T .
Les e´l´ements de T sont appel´es ouverts et les compl´ementaires des ouverts sont appel´es ferm´es. Le
couple (E,T ) est appel´e espace topologique.
E 1.1.1
1. Soit E un ensemble. Alors T = {∅,E} est une topologie sur E, parfois appel´ee topologie
grossi`ere.
2. Si l’on prend pour T l’ensemble de toutes les parties de E, on obtient e´ galement une
topologie, appel´ee topologie discr`ete.
D´ 1.1.2 Soit E un ensemble et T1 , T2 deux topologies sur E. On dit que T1 est plus fine
(ou plus forte) que T2 si T2 ⊂ T1 .
Ainsi, la topologie discr`ete est la plus fine et la topologie grossi`ere, la moins fine de toutes
les topologies. La donn´ee d’une topologie T sur l’ensemble E permet de d´efinir les notions
de voisinage, adh´erence, int´erieur, fronti`ere, etc.
8
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
D´ 1.1.3 Soit (E,T ) un espace topologique.
• Soit x ∈ E et V ⊂ E. On dit que V est un voisinage de x si V contient un ouvert contenant x.
L’ensemble des voisinages de x est not´e V(x).
• L’adh´erence A d’une partie A de E est le plus petit ferm´e contenant A. On dit que A est dense dans
E si A = E.
◦
• L’int´erieur A d’une partie A de E est le plus grand ouvert contenu dans A. On dit qu’un point x
◦
de A est int´erieur a` A s’il est dans A.
◦
• L’ensemble A\ A est appel´e fronti`ere de A.
Retenons la caract´erisation suivante de l’adh´erence et de la densit´e :
P 1.1.1 Soit A une partie d’un espace topologique (E,T ) et x ∈ E. Alors x est dans A si
et seulement si tout voisinage de x rencontre A. L’ensemble A est dense dans E si et seulement si A
rencontre tout ouvert non vide de E.
D´ 1.1.4 Soit x ∈ E et W un sous-ensemble de V(x). On dit que W est une base de
voisinages de x si tout e´l´ement de V(x) contient un e´l´ement de W.
Attention : La d´efinition de boule (que vous avez vue dans le cours de M3) n’a pas d’´equivalent
dans un espace topologique g´en´eral.
La notion de s´eparation des points est fondamentale dans les espaces topologiques.
D´ 1.1.5 On dit qu’un espace topologique (E,T ) est s´epar´e si pour tout couple (x,y) de
points distincts de E il existe un voisinage V de x et un voisinage V 0 de y tels que V ∩ V 0 = ∅.
E 1.1.2
1. Soit E un ensemble contenant au moins deux e´ l´ements et muni de la topologie grossi`ere
{∅,E}. Alors (E,T ) n’est pas s´epar´e.
2. Un ensemble muni de la topologie discr`ete est toujours s´epar´e. En effet, tout singleton est
un voisinage !
La preuve de la proposition suivante constitue un excellent exercice.
P 1.1.2 Soit (E,T ) un espace topologique et A ⊂ E. L’ensemble TA des parties B de A
telles qu’il existe B0 ∈ T v´erifiant B = B0 ∩ A est une topologie sur A. On l’appelle topologie induite
par T sur A.
R 1.1.1 Sauf avis contraire, on munit toujours les parties d’un ensemble topologique de la
topologie induite.
Venons-en maintenant a` la d´efinition de la compacit´e.
D´ 1.1.6 Un espace topologique E est compact s’il est s´epar´e et si tout recouvrement de E
par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.
Mourad Bellassoued
1.1 – G´en´eralit´es sur les espaces topologiques
9
R 1.1.2 On retiendra qu’une partie A d’un espace topologique
(E,T ) est compacte si et
[
seulement si pour toute famille (Oi )i∈I d’ouverts de E telle que A ⊂
Oi on peut trouver un nombre
i∈I
fini d’indices i1 , · · · ,iN tels que A ⊂
N
[
Oik .
k=1
Il est maintenant temps d’aborder la deuxi`eme partie du but recherch´e : g´en´eraliser la notion
de continuit´e aux fonctions d´efinies sur des espaces topologiques. Sans distance, il n’est plus
question de donner une d´efinition a` l’aide d’ε et de η . Dans le cours de licence, nous avons
vu que dans un espace m´etrique la continuit´e pouvait eˆ tre caract´eris´ee a` l’aide d’images
r´eciproques d’ouverts ou de ferm´es. C’est cette caract´erisation que l’on retient pour d´efinir
la continuit´e dans des espaces topologiques g´en´eraux.
D´ 1.1.7 Soit (E,T ) et (E0 ,T 0 ) deux espaces topologiques et f ∈ F (E,E0 ). On dit que f est
continue sur E si l’image r´eciproque par f de tout ouvert de E0 pour la topologie T 0 est un ouvert de
E pour la topologie T .
R 1.1.3
1. Il est e´quivalent d’exiger que l’image r´eciproque de tout ferm´e de E0 soit un ferm´e de E.
2. On peut donner une d´efinition de continuit´e en un point a` l’aide de voisinages: la fonction
f ∈ F (E; E0 ) est continue en x ∈ E si pour tout voisinage V 0 de f (x) il existe un voisinage V de x
tel que f (V) ⊂ V 0 . Le lecteur pourra v´erifier que la continuit´e en tout point est e´quivalente a` la
d´efinition de continuit´e donn´ee ci-dessus.
E 1 Soit (E,T ), (E0 ,T 0 ) et (E00 ,T 00 ) trois espaces topologiques. Montrer que la compos´ee d’une fonction continue f : E −→ E0 et d’une fonction continue g : E0 −→ E00 est une
fonction continue g ◦ f : E −→ E00 .
P 1.1.3 L’image d’un espace topologique compact par une application continue est compacte.
P . Soit (E,T ) et (E0 ,T 0 ) deux espaces topologiques, le premier e´ tant compact, et
f : E −→ E0 continue. Soit (Oi )i∈I un recouvrement ouvert de f (E). On v´erifie facilement que
( f −1 (Oi ))i∈I est un recouvrement de E. De plus, par continuit´e de f, chaque ensemble f −1 (Oi )
N
[
est ouvert. On peut donc trouver un nombre fini d’indices i1 , · · · ,iN tels que E ⊂
f −1 (Oik ),
k=1
d’ou` l’on tire f (E) ⊂
N
[
Oik .
•
k=1
En pratique, il est souvent souhaitable de pouvoir exprimer les notions de topologie abstraite
a` l’aide de suites. Pour cela, il faut avant tout donner un sens a` la notion de convergence.
10
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
D´ 1.1.8 Soit (E,T ) un espace topologique, a ∈ E et (xn )n∈IN une suite d’´el´ements de E. On
dit que la suite (xn )n∈IN converge vers a si pour tout voisinage V de a il existe N ∈ IN tel que xn ∈ V
pour tout n ≥ N.
E 2 Dans le cas d’un espace topologique s´epar´e, montrer l’unicit´e de la limite d’une
suite. Que dire pour un espace topologique non s´epar´e ?
P 1.1.4 Soit F un ferm´e de (E,T ) et (xn )n∈IN une suite convergente de points de F. Alors
la limite de cette suite est encore dans F. On dit que F est s´equentiellement ferm´e.
P . Supposons par l’absurde que la suite (xn )n∈IN admette une limite x dans le
compl´ementaire O de F. Comme O est un voisinage (ouvert) de x, les termes de la suite
doivent tous se trouver dans a` partir d’un certain rang, ce qui est contraire aux hypoth`eses.
•
R 1.1.4 Nous verrons plus loin que la r´eciproque est vraie dans un espace m´etrique (ou
plus g´en´eralement dans tout espace topologique admettant des bases de voisinages d´enombrables en
chaque point).
On laisse au lecteur le soin d’´etablir le r´esultat suivant :
P 1.1.5 Soit (E,T ) et (E0 ,T 0 ) deux espaces topologiques, x ∈ E et f : E −→ E0 continue
en x. Alors pour toute suite (xn )n∈IN d’´el´ements de E convergeant vers x, on a f (xn ) n converge vers
f (x).
La deuxi`eme propri´et´e exhib´ee ci-dessus est appel´ee continuit´e s´equentielle. D’apr`es la proposition ci-dessus, la continuit´e s´equentielle est donc une propri´et´e plus faible que la continuit´e. Il existe des espaces topologiques pour lesquels la notion de continuit´e s´equentielle
est strictement plus faible que celle de continuit´e.
E 3 Donner un exemple d’espaces topologiques (E,T ) et (E0 ,T 0 ) et de fonction f :
E −→ E0 continue s´equentiellement mais non continue.
Terminons ces g´en´eralit´es par la d´efinition de valeur d’adh´erence.
D´ 1.1.9 Soit (E,T ) espace topologique et (xn )n∈IN suite d’´el´ements de E. On dit que a ∈ E
est valeur d’adh´erence de (xn )n∈IN si pour tout voisinage V de a et pour tout N ∈ IN, il existe un n ≥ N
tel que xn ∈ V.
Mourad Bellassoued
1.2 – Espaces m´etriques
11
1.2 Espaces m´etriques
1.2.1 D´efinitions
D´ 1.2.1 Soit E un ensemble. On dit qu’une application d : E × E −→ IR+ est une m´etrique
sur E si les trois propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
i- sym´etrie: pour tout (x,y) ∈ E × E, on a d(x,y) = d(y,x),
ii- s´eparation : pour tout (x,y) ∈ E × E, d(x,y) = 0 si et seulement si x = y,
iii-in´egalit´e triangulaire: pour tout (x,y,z) ∈ E × E × E on a:
d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).
Le couple (E,d) est alors appel´e espace m´etrique.
De la d´efinition d’une m´etrique, on peut d´eduire la deuxi`eme in´egalit´e triangulaire valable
pour tout (x,y,z) ∈ E3 :
d(x,y) − d(y,z) ≤ d(x,z).
D´ 1.2.2 Soit (E,d) un espace m´etrique, x0 un e´l´ement de E et r un r´eel positif.
• L’ensemble BE (x0 ,r) = {x ∈ E, d(x0 ,x) < r} est appel´e boule ouverte de centre x0 et de rayon r.
• L’ensemble BE (x0 ,r) = {x ∈ E, d(x0 ,x) ≤ r} est appel´e boule ferm´ee de centre x0 et de rayon r.
• L’ensemble SE (x0 ,r) = {x ∈ E, d(x0 ,x) = r} est appel´e sph`ere de centre x0 et de rayon r.
Nous pouvons maintenant d´efinir les ouverts d’un espace m´etrique:
D´ 1.2.3 On dit qu’une partie A d’un espace m´etrique (E,d) est un ouvert pour la m´etrique
d si pour tout x ∈ A il existe r > 0 tel que BE (x,r) ⊂ A.
On v´erifie ais´ement que l’ensemble des ouverts de E pour la m´etrique d est une topologie
sur E et que l’ensemble des boules ouvertes (ou ferm´ees) constitue une base de voisinages
en chaque point. Un espace m´etrique (E,d) est donc un espace topologique particulier. Nous
allons voir que la pr´esence d’une m´etrique conf`ere a` (E,d) de nombreuses propri´et´es que
les espaces topologiques g´en´eraux n’ont pas. La premi`ere propri´et´e (´evidente a` d´emontrer a`
l’aide de boules) est celle de s´eparation:
P 1.2.1 Tout espace m´etrique est un espace topologique s´epar´e.
Les deux propositions suivantes garantissent que dans un espace m´etrique, les propri´et´es
de fermeture et de continuit´e peuvent eˆ tre caract´eris´ees a` l’aide de suites (dans un espace
topologique g´en´eral, seule une implication est vraie):
P 1.2.2 Dans un espace m´etrique un ensemble est ferm´e si et seulement si il est s´equentiellement
ferm´e.
R 1.2.1 Dans un espace m´etrique, on peut alors caract´eriser l’adh´erence A d’une partie A
comme e´tant l’ensemble des limites des suites convergentes d’´el´ements de A.
12
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
P 1.2.3 Une application entre deux espaces m´etriques est continue si et seulement si elle
est s´equentiellement continue.
Dans un espace m´etrique, la continuit´e en un point peut eˆ tre caract´eris´ee de la fac¸on suivante :
P 1.2.4 Une application f : E −→ E0 entre deux espaces m´etriques (E,dE ) et (E0 ,dE0 ) est
continue en x ∈ E si et seulement si on a
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ y ∈ E, dE (x,y) < η ⇒ dE0 ( f (x), f (y)) < ε .
La continuit´e en tout point est donc e´quivalente a` :
∀ ε > 0, ∀ x ∈ E,∃ η > 0, ∀ y ∈ E, dE (x,y) < η ⇒ dE0 ( f (x), f (y)) < ε .
On peut d´efinir une deuxi`eme notion de continuit´e appel´ee continuit´e uniforme :
D´ 1.2.4 On dit qu’une application f : E −→ E0 entre deux espaces m´etriques (E,dE ) et
(E0 ,dE0 ) est uniform´ement continue si l’on a :
∀ ε > 0,∃ η > 0, ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E0 , dE (x,y) < η ⇒ dE0 ( f (x), f (y)) < ε .
Bien sur
ˆ continuit´e uniforme entraˆıne continuit´e. La r´eciproque est fausse en g´en´eral. Retenons cependant le r´esultat suivant :
T´` 1.2.1 (de Heine). Soit (E,dE ) et (E0 ,dE0 ) deux espaces m´etriques. Supposons (E,dE ) compact. Alors toute fonction continue de E vers E0 est uniform´ement continue sur E.
P . Fixons ε > 0. Par d´efinition de la continuit´e, pour chaque x ∈ E, il existe ηx > 0 tel
que
ε
dE (x,y) < ηx ⇒ dE0 ( f (x), f (y)) < .
2
Par compacit´e de E, on peut trouver un nombre fini de points x1 , · · · ,xN tels que
E⊂
N
[
k=1
BE (xk ,
ηx
).
2
Posons η = min1≤k≤N . Pour tout couple (x,y) tel que dE (x,y) <
tel que x et y soient dans BE (xk ,ηxk ). On a alors
η
2
, on peut trouver un indice k
dE0 ( f (x), f (y)) ≤ dE0 ( f (x), f (xk )) + dE0 ( f (xk ), f (y)) < ε,
d’ou` l’uniforme continuit´e.
•
Mourad Bellassoued
1.2 – Espaces m´etriques
13
1.2.2 Compacit´e
Dans les espaces m´etriques, la compacit´e aussi peut se caract´eriser a` l’aide de suites. Ce fait
fondamental est l’objet du th´eor`eme ci-dessous.
T´` 1.2.2 (de Bolzano-Weierstrass). Un espace m´etrique (E,d) est compact si et seulement si
toute suite d’´el´ements de E admet une sous-suite convergente.
La preuve de la partie directe repose sur la proposition suivante :
P 1.2.5 Soit (E, d) un espace m´etrique\
compact et (Fn )n∈IN une suite d´ecroissante (au
sens de l’inclusion) de ferm´es non vides de E. Alors
Fn n’est pas vide.
n∈IN
Nous pouvons maintenant donner les e´ l´ements principaux de la preuve du th´eor`eme de
Bolzano-Weierstrass.
Supposons (E,d) compact. Soit (xn )n∈IN une suite d’´el´ements de E. Pour n ∈ IN, posons
An = {xi , i ≥ n}. La suite (An )n∈IN est une suite d´ecroissante de ferm´es non vides. En vertu de
la proposition ci-dessus, il existe donc un point a se trouvant dans tous les ferm´es Fn . On
peut alors construire une suite extraite de (xn )n∈IN qui converge vers a par le proc´ed´e suivant
• On choisit pour n0 le plus petit entier se trouvant dans BE (a,1) ∩ A0 (un tel n0 existe car
tout voisinage de a rencontre A0 ).
1
• On choisit pour n1 le plus petit entier se trouvant dans BE (a, ) ∩ An0 +1 , et ainsi de suite.
2
Inversement: Soit E un espace m´etrique pour lequel toute suite a une valeur d’adh´erence.
Soit (Oi )i∈I un recouvrement de E par des ouverts. Il s’agit d’extraire de cette famille un
sous-recouvrement fini de E.
X Premi`ere e´ tape : On se ram`ene a` un recouvrement par des boules ouvertes de mˆeme rayon.
Plus pr´ecis´ement, on montre qu’il existe un ε > 0 tel que pour x ∈ E il existe un indice ix
tel que BE (x,ε) ⊂ Oix ,
X Deuxi`eme e´ tape : On montre que E peut eˆ tre recouvert par un nombre fini de boules
ouvertes d’un rayon donn´e.
X Troisi`eme e´ tape : On conclut en remarquant que si la famille de boules (BE (xk ,ε))1≤k≤N
N
[
constitue un recouvrement de E alors, en vertu de la premi`ere e´ tape, on a E ⊂
Oixk .
i=1
D´ 1.2.5 On dit qu’une partie A d’un espace topologique s´epar´e E est relativement compacte
si A est compacte.
C 1.2.1 Soit (E,d) un espace m´etrique. Une partie A de E est relativement compacte si et
seulement si de toute suite d’´el´ements de A, on peut extraire une sous-suite qui converge dans E.
C 1.2.2 Dans un espace m´etrique, toute partie relativement compacte est born´ee et toute
partie compacte est ferm´ee born´ee.
14
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
1.2.3 Compl´etude
Rappelons tout d’abord la d´efinition de suite de Cauchy.
D´ 1.2.6 Soit (E,d) un espace m´etrique. On dit qu’une suite (xn )n∈IN d’´el´ements de E est
une suite de Cauchy si elle v´erifie:
∀ ε > 0, ∃ N ∈ IN, p,n ≥ N ⇒ dE (xn ,xp ) < ε .
L’espace m´etrique (E,d) est dit complet si toute suite de Cauchy d’´el´ements de E converge.
Dans un espace complet, on dispose du r´esultat de prolongement suivant :
T´` 1.2.3 Soit (E,dE ) et (E0 ,dE0 ) deux espaces m´etriques. Supposons (E0 ,dE0 ) complet. Soit A
une partie dense de E et f : A −→ E0 uniform´ement continue. Alors il existe une unique application
f˜ d´efinie et uniform´ement continue sur E qui prolonge f sur E tout entier.
Dans un espace m´etrique complet, on peut donner une caract´erisation de la compacit´e
l´eg`erement plus pr´ecise que celle donn´ee par le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
T´` 1.2.4 Supposons (E,dE ) complet. Alors E est compact si et seulement si pour tout ε > 0
l’ensemble E peut eˆtre recouvert par un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε.
P . La d´emonstration de la partie directe r´esulte de la d´efinition de la compacit´e et ne
n´ecessite pas la compl´etude.
R´eciproquement, supposons que pour tout ε > 0 l’ensemble E puisse eˆ tre recouvert par un
nombre fini de boules ouvertes de rayon ε. Soit (xn )n∈IN une suite d’´el´ements de E. Par extractions successives puis proc´ed´e diagonal, on construit une sous-suite (xϕ(n) )n∈IN de (xn )n∈IN , et
une suite (yn )n∈IN de E telles que pour tout n ∈ IN et p ∈ IN on ait xϕ(n+p) ∈ BE (yn ,2−n ). La suite
extraite (xϕ(n) )n∈IN est de Cauchy donc converge.
•
1.3 Espaces vectoriels norm´es
1.3.1 D´efinitions
D´ 1.3.1 Soit E un e.v sur IK = IR ou C. Une fonction k · k : E −→ IR+ est appel´ee norme
sur E si
i- kxk = 0 ⇔ x = 0,
ii- ∀λ ∈ IK, ∀x ∈ E, kλxk = |λ| kxk, iii-∀(x,y) ∈ E × E, x + y ≤ kxk + y.
Le couple (E, k · k) est alors appel´e espace vectoriel norm´e.
R 1.3.1 Soit (E, k · k)un espace
vectoriel norm´e sur IR ou C.
1. En introduisant d(x,y) = x − yE , l’espace vectoriel norm´e E peut eˆtre muni d’une structure
d’espace m´etrique.
Mourad Bellassoued
1.3 – Espaces vectoriels norm´es
15
2. On dispose toujours d’une in´egalit´e suppl´ementaire
∀(x,y) ∈ E × E, kxk − y ≤ x − y .
appel´ee deuxi`eme in´egalit´e triangulaire.
E 1.3.1 Soit E = IRn . Il est facile d’´etablir que la fonction x 7→ kxk1 = sup1≤i≤n |xi | est
une norme sur IRn .
Fixons maintenant un r´eel p ≥ 1. Pour x ∈ IRn , on pose
 n
1
X p  p
kxkp = 
|xi |  .
i=1
Alors k · kp est une norme sur IRn . L’in´egalit´e triangulaire
kx + ykp ≤ kxkp + kykp
qui n’est pas triviale si p > 1 est appel´ee in´egalit´e de Minkowski. L’in´egalit´e de Minkowski
peut eˆ tre montr´ee a` l’aide de l’in´egalit´e de Holder
valable sur IRn ou Cn :
¨
n
X
xi yi ≤ kxkp kykp ,
i=1
1 1
1
+ = 1 (avec la convention
= 0). Le cas p = q = 2 n’est autre
p q
+∞
que l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Le cas g´en´eral repose sur l’in´egalit´e de Young :
ou` 1 ≤ p,q ≤ +∞ v´erifient
∀(a,b) ∈ IR+ × IR+ ,ab ≤
ap bq
+ .
p
q
On dit que q est l’exposant conjugu´e de p. En effet, si l’on e´ carte les cas triviaux ou` x ou y est
nul, on peut diviser par kxkp kykq et l’on a, d’apr`es l’in´egalit´e de Young :
q
p
y
i
1 |xi |
1 yi |xi |
∀i ∈ {1, · · · ,n} ,
≤
.
p +
kxkp kykq p kxkp q kykqq
Une simple sommation sur i donne l’in´egalit´e de Holder.
¨
Revenons a` la preuve de l’in´egalit´e de Minkowski. En appliquant deux fois l’in´egalit´e de
Holder,
on obtient:
¨
16
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
n n
n p X
p−1 X
p−1 X
p−1
x + y =
xi + yi xi + yi ≤
x
+
y
+
y
x
+
y
|x
|
i
i
i
i
i
i
p
i=1
i=1
i=1
 n
 p−1
 n
 p−1
p  p
X
p  p
X xi + yi  + y 
xi + yi 
≤ kxkp 
p
i=1
i=1
p−1
= (kxkp + y ) x + y
p
p
E 1.3.2 L’ensemble C ([0,1]; IR) peut eˆ tre muni d’une norme en posant
f = sup f (t) .
∞
t∈[0,1]
La norme k · k∞ ainsi d´efinie est appel´ee norme uniforme.
E 1.3.3 L’ensemble Mn (IR) des matrices carr´ees de taille n a` coefficients r´eels peut
eˆ tre muni des normes
kAk∞ = max aij 1≤i,j≤n
ou
n X
n X
aij .
kAk1 =
i=1 j=1
Bien d’autres choix sont possibles.
D´ 1.3.2 Soit (E, k · k) un espace vectoriel norm´e, x0 ∈ E et r ≥ 0.
• On appelle boule ouverte de centre x0 et de rayon r l’ensemble
BE (x0 ,r) = {x ∈ E, kx − x0 k < r} .
• On appelle boule ferm´ee de centre x0 et de rayon r l’ensemble
BE (x0 ,r) = {x ∈ E, kx − x0 k ≤ r} .
• On appelle sph`ere de centre x0 et de rayon r l’ensemble
SE (x0 ,r) = {x ∈ E, kx − x0 k = r} .
R 1.3.2 Lorsqu’on travaille dans un e.v.n fixe, on omet en g´en´eral l’indice E dans les
notations ci-dessus.
D´ 1.3.3 Soit (E, k · k) un espace vectoriel norm´e sur IR ou C. La topologie associ´ee a` k · k
(parfois appel´ee topologie forte) est la topologie engendr´ee par les boules ouvertes de E, c’est-`a-dire
l’ensemble des r´eunions quelconques d’intersections finies de boules ouvertes.
Mourad Bellassoued
1.3 – Espaces vectoriels norm´es
17
D´ 1.3.4 Soit E un e.v muni de deux normes k · k1 et k · k2 . On dit que k · k2 est plus forte
que k · k1 s’il existe une constante C > 0 telle que
kxk1 ≤ C kxk2 .
∀x ∈ E,
On dit que k · k1 et k · k2 sont e´quivalentes s’il existe C > 0 telle que
∀x ∈ E, C−1 kxk2 ≤ kxk1 ≤ C kxk2 .
P 1.3.1 Soit k · k1 et k · k2 deux normes sur E. Alors k · k2 est plus forte que k · k1 si et
seulement si tout ouvert de E pour la topologie associ´ee a` k · k1 est ouvert pour la topologie de k · k2 .
C 1.3.1 Les topologies engendr´ees par deux normes e´quivalentes sont les mˆemes.
On retiendra que plus la norme est forte plus la topologie associ´ee est fine (c’est-`a-dire plus
elle a d’ouverts).
E 1.3.4 Dans Mn (IR), les normes k · k1 et k · k∞ sont e´ quivalentes.
E 1.3.5 On peut munir C ([0,1]; IR) des deux normes
1
Z
kuk1 =
|u(t)| dt,
0
et
kuk∞ = sup |u(t)| .
t∈[0,1]
On v´erifie que la norme k · k∞ est (strictement) plus forte que k · k1 .
R 1.3.3 Si (E, k · kE ) et (F, k · kF ) sont deux espaces vectoriels norm´es, on peut munir E × F
d’une norme produit en posant pour tout (u,v) ∈ E × F,
k(u,v)k1 = kukE + kvkF
ou
k(u,v)k∞ = max(kukE , kvkF ).
On constate que ces deux normes sont e´quivalentes. D’autres choix du mˆeme type sont possibles.
1.3.2 Applications lin´eaires
P 1.3.2 Soit (E, k · kE ) et (F, k · kF ) deux e.v.n sur IK = IR ou C, et L : E −→ F une
application lin´eaire. Les e´nonc´es suivants sont e´quivalents :
i- L est continue sur E,
ii- L est continue en 0,
iii-Il existe C > 0 tel que ∀x ∈ E, kL(x)kF ≤ C kxkE .
18
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
L’ensemble des applications lin´eaires continues de E sur F est not´e L (E; F).
D´ 1.3.5 On d´efinit une norme k · kL (E;F) sur L (E; F) en posant
kL(x)kF
= sup kL(x)kF = sup kL(x)kF .
x∈SE (0,1)
x∈E\{0} kxkE
x∈B (0,1)
kLkL (E;F) = sup
E
On a donc
∀x ∈ E,
kL(x)kF ≤ kLkL (E;F) kxkE .
R 1.3.4 La d´efinition de L (E; F) d´epend du choix des normes sur E et F.
Pour illustrer ce fait, prenons E = C ([0,1]; IR) et F = IR. On munit F de la norme donn´ee par la
valeur absolue. Consid´erons la forme lin´eaire L d´efinie sur E par L( f ) = f (0). On peut v´erifier que L
est continue si l’on munit E de la norme k · k∞ alors qu’elle ne l’est pas si l’on munit E de la norme
k · k1 .
R 1.3.5 Cependant, changer la norme sur E et la norme sur F en des normes e´quivalentes
ne modifie pas L (E; F), et change k · kL (E;F) en une norme e´quivalente.
1.3.3 Espaces de Banach
D´ 1.3.6 Un espace vectoriel norm´e complet est appel´e espace de Banach.
P 1.3.3 L’espace vectoriel norm´e C ([0,1]; IR) muni de la norme k · k∞ est complet.
P . Soit ( fn )n∈IN une suite de Cauchy de E = C ([0,1]; IR). Il s’agit de montrer que ( fn )n∈IN
converge vers un e´ l´ement f de E. Donnons les e´ tapes principales de la preuve :
X Convergence simple : On montre que pour tout t ∈ [0,1] la suite r´eelle ( fn (t))n∈IN est une
suite de Cauchy. Comme IR est complet, elle converge vers un r´eel f (t).
X Convergence en norme : On montre que ( fn )n∈IN converge uniform´ement vers f .
X Conclusion: L’´etape pr´ec´edente permet de conclure que f ∈ E.
•
R 1.3.6 En revanche l’espace C ([0,1]; IR) muni de la norme k · k1 n’est pas complet. Pour
le voir, on peut par exemple consid´erer la suite ( fn )n d´efinie par


1
si t ∈ [0, 12 ]


 1 1
n( 2 + n − t) si t ∈ [ 12 , 12 + n1 ]
fn (t) = 


0
si t ∈ [ 1 + 1 ,1].
2
n
Elle est de Cauchy au sens de la norme k · k1 mais ne converge pas dans C ([0,1]; IR).
Mourad Bellassoued
1.3 – Espaces vectoriels norm´es
19
Donnons un autre r´esultat de compl´etude fort utile:
P 1.3.4 Soit (E, k · kE ) un e.v.n et (F, k · kF ) un Banach. Alors (L (E,F), k · kL (E,F) ) est un
Banach.
P . La structure de la preuve est identique a` celle de la proposition pr´ec´edente :
on consid`ere une suite de Cauchy (Ln )n∈IN d’´el´ements de L (E; F). Il s’agit de montrer la
convergence vers un e´ l´ement L de L (E; F).
X Convergence simple : On montre que pour tout x ∈ E la suite r´eelle (Ln (x))n∈IN est une
suite de Cauchy d’´el´ements de F. Comme F est complet, elle converge vers un e´ l´ement
L(x) de F.
X Etude de la limite : On v´erifie d’abord que L est lin´eaire de E dans F puis que L est
continue.
X Convergence en norme : On v´erifie que (Ln )n∈IN converge vers L dans L (E; F).
•
1.3.4 Le cas de la dimension finie
Commenc¸ons par rappeler un r´esultat bien connu :
T´` 1.3.1 Sur un e.v de dimension finie, les compacts sont les ferm´es born´es et toutes les
normes sont e´quivalentes.
P . Nous avons d´ej`a vu qu’un compact est toujours ferm´e born´e. Pour e´ tablir la
r´eciproque ainsi que la propri´et´e d’´´equivalence des normes, on proc`ede comme suit :
X Premi`ere e´ tape : en partant du r´esultat sur IR, on e´ tablit que dans IRn muni de la norme
k · k∞ tout ferm´e born´e est compact.
X Deuxi`eme e´ tape : on montre que la compacit´e est pr´eserv´ee par hom´eomorphisme.
X Troisi`eme e´ tape : on en d´eduit que si E est un espace vectoriel de dimension finie n et
si (e1 , · · · ,en ) est une base de E alors tout ferm´e born´e de E muni de la norme kxk∞ =
n
X
max1≤i≤n |x|i pour x =
xi ei est compact.
i=1
X Quatri`eme e´ tape : soit maintenant k · kE une norme quelconque sur E. En remarquant que
l’application identit´e de (E, k · k∞ ) dans (E, k · kE ) est continue, et que la sph`ere unit´e de
(E, k · k∞ ) est compacte, on montre que k · kE est e´ quivalente a` k · k∞ .
X Cinqui`eme e´ tape : comme toute norme de E est e´ quivalente a` k · k∞ , on peut maintenant
conclure que tout ferm´e born´e de E est compact.
•
En dimension infinie, les sous-espaces vectoriels ne sont pas n´ecessairement ferm´es. Par
exemple, si l’on consid`ere l’espace vectoriel E des suites r´eelles tendant vers 0 a` l’infini, muni
20
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 1 – Rappel de quelques notions de topologie
de la norme kxk∞ = sup |xn |, et le sous-espace vectoriel F de E constitu´e par les suites r´eelles
n∈IN
nulles a` partir d’un certain rang, alors F est un s.e.v de E qui n’est pas ferm´e. Nous disposons
cependant du r´esultat suivant:
T´` 1.3.2 Soit (E, k · kE ) un e.v.n quelconque et F un s.e.v de E de dimension finie. Alors F est
ferm´e dans E.
P . Fixons une base (e1 , · · · ,ep ) de F. Comme toutes les normes sont e´ quivalentes en
dimension finie, la norme de E restreinte a` F est e´ quivalente a` la norme k · k∞ sur F associ´ee
a` (e1 , · · · ,ep ).
Soit (xn )n∈IN une suite convergente de F. Elle est donc de Cauchy au sens de la norme k · k∞
introduite ci-dessus et il alors imm´ediat que toutes les composantes de la suite par rapport
a` (e1 , · · · ,ep ) sont des suites de Cauchy de IR, donc convergent.
•
T´` 1.3.3 (de Riesz). Soit (E, k · kE ) un e.v.n et M un s.e.v ferm´e de E distinct de E. Alors
pour tout ε > 0, il existe xε ∈ E tel que
kxε k = 1
et
inf kxε − mk ≥ 1 − ε.
m∈M
P . Soit y ∈ E\M. Posons α = d(y,M). Comme M est ferm´e et y < M, on a α > 0. Pour
α
. Un calcul facile montre que
ε ∈]0,1[ fix´e, on choisit alors mε ∈ M tel que y − mε E ≤
(1 − ε)
y − m
r´epond a` la question.
le point xε = y − mε En effet si m ∈ M on a
y − mε
− m ≥ 1 − ε
kxε − mk = y − mε puisque mε + y − mε m ∈ M.
•
R 1.3.7 Dans un espace euclidien, en faisant appel a` l’orthogonalit´e, on peut facilement
construire un x ∈ E correspondant a` ε = 0. Mais pour un e.v.n g´en´eral, on ne peut pas faire mieux
que le th´eor`eme de Riesz.
T´` 1.3.4 La boule unit´e ferm´ee d’un e.v.n est compacte si et seulement si l’e.v.n est de
dimension finie.
P . Seule l’implication directe reste a` prouver. On raisonne par contraposition : supposons E de dimension infinie. On peut alors construire par r´ecurrence une suite (ek )k∈IN de
vecteurs lin´eairement ind´ependants. La suite (Vk )k∈IN de sous-espaces vectoriels d´efinie par
Vk = Vect(e0 , · · · ,ek ) est une suite strictement croissante de s.e.v ferm´es distincts de E. En
Mourad Bellassoued
1.3 – Espaces vectoriels norm´es
21
appliquant le th´eor`eme de Riesz, on peut construire une suite (xn )n∈IN de vecteurs unitaires
telle que d(xn ,Vn−1 ) ≥ 12 . On a visiblement kxn − xm k ≥ 12 pour n , m. En cons´equence la suite
(xn )n∈IN n’a pas de valeur d’adh´erence et la boule BE (0,1) n’est donc pas compacte.
•
E 1.3.6 Consid´erons l’espace E = C ([0,π]; IR) muni de la norme
! 12
Z
2
1 π f (t) dt .
f =
2
π 0
Pour n ∈ IN∗ , posons fn (x) = sin nx. Il est clair que fn 2 = 21 et que fn − fm 2 = 1 pour n , m.
Donc la suite ( fn )n∈IN est une suite de BE (0,1) qui n’a pas de valeur d’adh´erence.
R 1.3.8 Dans un e.v.n (E, k · kE ) de dimension infinie, tous les compacts sont d’int´erieur
vide. En effet si l’ensemble K n’est pas d’int´erieur vide alors il contient une boule ferm´ee BE (x0 ,r) avec
r > 0. Si K e´tait compact alors la boule ferm´ee BE (x0 ,r) serait aussi compacte et donc E, de dimension
finie.
T´` 1.3.5 Soit (E, k · kE ) et (F, k · kF ) deux e.v.n, et f : E −→ une application lin´eaire. Si E est
de dimension finie alors f est n´ecessairement continue.
1.3.5 Sous-espaces vectoriels
P 1.3.5 Soit (E, k · kE ) un e.v.n et F un s.e.v de E. Alors l’adh´erence de F dans E est un
s.e.v de E.
Voici un r´esultat fort utile de prolongement des applications lin´eaires continues (qui est en
fait une cons´equence du r´esultat correspondant pour les espaces m´etriques complets):
T´` 1.3.6 Soit (E, k · kE ) un e.v.n et (G, k · kG ) un Banach. Soit F un s.e.v de E et L ∈ L (F; G).
Alors il existe une unique application e
L ∈ L (F; G) qui prolonge L sur F et telle que
e
LL (F;G) = kLkL (F;G) .
2
Espaces fonctionnels
2.1 Topologie de la convergence uniforme
Dans cette section (E, dE ) et (E0 , dE0 ) d´esignent deux espaces m´etriques. On note C (E; E0 )
l’ensemble des applications continues de E vers E0 . On note par F (E,E0 ) l’ensemble des
fonctions f de E dans E0 .
D´ 2.1.1 Soit ( fn )n∈IN une suite de fonctions de F (E,E0 ), et f une fonction de F (E; E0 ). On
dit que
i- ( fn )n∈IN converge simplement vers f si la suite ( fn (x))n∈IN tend vers f (x) dans E0 pour tout x ∈ E,
ii- ( fn )n∈IN converge uniform´ement vers f si sup dE0 ( fn (x), f (x)) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
x∈E
Si l’on suppose de plus (E, dE ) compact, les fonctions de C (E; E0 ) sont born´ees et on peut munir
C (E; E0 ) d’une structure d’espace m´etrique en d´efinissant la distance de deux e´ l´ements f et
g de F (E; E0 ) par:
δ( f, g) = sup dE0 ( f (x), g(x)).
x∈E
P 2.1.1 Soient (E, dE ) et (E , dE0 ) deux espaces m´etriques dont E est compact, alors
C (E, E0 ) est un espace m´etrique pour la distance de la convergence uniforme δ.
P . Montrons tout d’abord que δ( f, g) est finie. Soit M f = sup dE0 ( f (x), f (y)) < +∞ de
0
x,y∈E
mˆeme pour M g . Soit x0 ∈ E fix´e. On a
dE0 ( f (x), g(x)) ≤ dE0 ( f (x), f (x0 )) + dE0 ( f (x0 ), g(x0 )) + dE0 (g(x0 ), g(x))
≤ M f + dE0 ( f (x0 ), g(x0 )) + M g < ∞.
On a bien δ( f, g) = 0 ssi f = g, δ( f, g) = δ(g, f ). Il reste a` v´eerifier que l’on a l’in´egalit´e
triangulaire. Soient f , g, h trois fonctions de C (E,E0 ),
dE0 ( f (x), h(x)) ≤ dE0 ( f (x), g(x)) + dE0 (g(x), h(x)) ≤ δ( f, g) + δ(g, h)
donc
24
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 2 – Espaces fonctionnels
δ( f, h) = sup dE0 ( f (x), h(x)) ≤ δ( f, g) + δ(g, h).
x∈E
•
Pour cette distance la convergence d’une suite ( fn )n vers une fonction f est e´ quivalente a` la
convergence uniforme.
T´` 2.1.1 Supposons (E, dE ) compact et (E0 , dE0 ) complet. Alors l’ensemble (C (E,E0 ), δ) est
un espace m´etrique complet.
P . Si ( fn )n∈IN est une suite de Cauchy de (C (E,E0 ), δ) alors:
∀ε > , ∃n0 ∈ IN,
n,m ≥ n0
∀x ∈ E,
⇒
dE0 ( fn (x), fm (x)) ≤ ε.
Douc pour tout x ∈ E, ( fn (x))n∈IN est une suite de Cauchy de E0 . Comme E0 est complet, cette
suite converge dans E0 vers une limite not´ee f (x). On d´efinit ainsi une fonction f : E −→ E0 .
Soit ε > 0 et n ≥ n0 ∈ IN. En passant a` la limite m → ∞ dans l’in´egalit´e pr´ec´edente on obtient
ainsi
∀ x ∈ E, dE0 ( fn (x), f (x)) ≤ ε.
et donc pour tout n ≥ n0 , on a δ( fn , f ) ≤ ε.
Il reste a` montrer la continuit´e de la fonction f . Soit ε > 0 et x0 ∈ E. Pour tout x ∈ E et n ∈ IN
on a
dE0 ( f (x), f (x0 )) ≤ dE0 ( f (x), fn (x)) + dE0 ( fn (x), fn (x0 )) + dE0 ( fn (x0 ), f (x0 )).
ε
D’apr`es l’´etape pr´ec´edente il existe n0 ∈ IN tel que pour n ≥ n0 , sup dE0 ( fn (x), f (x)) ≤ . On
3
x∈E
trouve donc pour tout n ≥ n0 et x ∈ E
2
dE0 ( f (x), f (x0 )) ≤ ε + +dE0 ( fn (x), fn (x0 )).
3
Comme fn est continue au point x0 il existe η > 0 tel que
∀ x ∈ E,
Donc
∀ x ∈ E,
D’ou` la continuit´e de f .
dE (x, x0 ) ≤ η
dE (x, x0 ) ≤ η
⇒
⇒
ε
dE0 ( fn (x), fn (x0 )) ≤ .
3
dE0 ( f (x), f (x0 )) ≤ ε.
•
Mourad Bellassoued
´
2.2 – Equicontinuit´
e, Th´eor`eme d’Ascoli
25
´
2.2 Equicontinuit´
e, Th´eor`eme d’Ascoli
´
2.2.1 Equicontinuit´
e
D´ 2.2.1 Soit A une partie de C (E,E0 ) et x0 un point de E. On dit que A est e´quicontinue
en x0 si
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ f ∈ A , dE (x0 ,y) < η ⇒ dE0 ( f (x0 ), f (y)) < ε.
On dit que A est e´quicontinue sur E si A est e´quicontinue en tout point de E.
Si l’on a la condition plus forte :
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ f ∈ A ,∀(x,y) ∈ E × E, dE (x,y) < η ⇒ dE0 ( f (x), f (y)) < ε.
(?)
on dit que A est uniform´ement e´quicontinue.
Rappelons que sur un compact, continuit´e entraˆıne uniforme continuit´e (c’est le th´eor`eme
de Heine). Nous disposons d’un r´esultat analogue pour l’´equicontinuit´e:
P 2.2.1 Soit A une partie e´quicontinue de C (E,E0 ). Supposons (E, dE ) compact. Alors
A est uniform´ement e´quicontinue sur E.
P . Il s’agit d’une variation sur la d´emonstration du th´eor`eme de Heine.
•
E 2.2.1
1. Une partie A de C (E,E0 ) comportant un nombre fini d’´el´ements est toujours e´ quicontinue.
Si de plus les e´ l´ements de F sont uniform´ement continus alors A est uniform´ement
e´ quicontinue.
2. Si A est une partie e´ quicontinue de C (E,E0 ) et g ∈ C (E,E0 ) alors A ∪ g est e´ quicontinue.
3. Fixons M ∈ IR+ . L’ensemble A des fonctions f : E −→ E0 lipschitziennes de rapport M est
e´ quicontinu.
4. On prend E = [0,1] et E0 = R munis tous les deux de la distance d(x, y) = x − y. Soit
(
A =
1
Z
f ∈ C ([0,1]; IR),
1
)
2
0
f (t) dt ≤ 1 .
0
Alors A est e´ quicontinue sur [0,1].
5. Prenons maintenant
A = fn : x 7→ e−nx , n ∈ IN .
Alors A est e´ quicontinue en tout point de ]0,1] mais pas en 0.
6. Consid´erons enfin
A = fn : x 7→ sin(nx), n ∈ IN .
Alors A n’est e´ quicontinue en aucun point de [0,1].
26
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 2 – Espaces fonctionnels
En g´en´eral la propri´et´e de convergence uniforme est strictement plus forte que celle de
convergence simple.
P 2.2.2 Supposons (E, dE ) compact. Soit A une partie uniform´ement e´quicontinue de
C (E; E0 ) et ( fn )n∈IN une suite de fonctions de A . On a l’´equivalence suivante :
( fn )n∈IN converge simplement vers f ⇔ ( fn )n∈IN converge uniform´ement vers f.
P . Il suffit de justifier l’implication directe. Soit ε un r´eel strictement positif arbitraire.
Par hypoth`ese, il existe un r´eel η strictement positif tel que pour tout n ∈ N, on ait
ε
dE (x,x0 ) < η ⇒ dE0 ( fn (x), fn (x0 )) < .
3
Par passage a` la limite n → +∞, on constate que l’in´egalit´e ci-dessus est aussi v´erifi´ee par
f . (En particulier f est donc uniform´ement continue.) On recouvre ensuite le compact E par
une famille finie de boules (BE (x j ,η))1≤ j≤Nε .
Soit x ∈ E et x j tel que x ∈ BE (x j ,η). On a
dE0 ( fn (x), f (x)) ≤ dE0 ( fn (x), fn (x j )) + dE0 ( fn (x j ), f (x j )) + dE0 ( f (x j ), f (x)),
2
≤ ε + max dE0 ( fn (xi ), f (xi )).
1≤i≤Nε
3
Par hypoth`ese, il existe n0 tel que
∀n ≥ n0 ,
D’ou` le r´esultat
max dE0 ( fn (xi ), f (xi )) <
1≤i≤Nε
ε
3
•
2.2.2 Th´eor`eme d’Ascoli
Il s’agit d’un r´esultat fondamental d’analyse fonctionnelle qui a des applications dans de
nombreux domaines des math´ematiques (comme nous le verrons dans la suite du cours ainsi
que dans le module e´ quations aux d´eriv´ees partielles). Pour le d´emontrer, nous ferons appel
aux propositions 2.2.1 et 2.2.2, ainsi qu’au r´esultat suivant:
P 2.2.3 Tout espace m´etrique compact admet une partie d´enombrable dense.
P . Pour tout p ∈ IN, l’ensemble Enpeut eˆ tre recouvert par
o un nombre fini Np de boules
p −p
p
BE (xi ; 2 ). Par construction, l’ensemble xi ; p ∈ IN,1 ≤ i ≤ Np est d´enombrable et dense dans
E.
•
Nous pouvons maintenant e´ noncer le th´eor`eme d’Ascoli :
T´` 2.2.1 (d’Ascoli). Soit (E, dE ) un espace m´etrique compact et (E0 , dE0 ) un espace m´etrique
complet. Soit A une partie e´quicontinue de C (E,E0 ). On suppose que:
i- La partie A est e´quicontinue sur E.
Mourad Bellassoued
´
2.2 – Equicontinuit´
e, Th´eor`eme d’Ascoli
27
ii- Pour tout x ∈ E l’ensemble f (x), f ∈ A est relativement compact dans E0 .
Alors A est relativement compacte dans C (E,E0 ).
P . Soit ( fn )n∈IN une suite d’´el´ements de A . Nous allons en extraire une sous-suite
convergente. D’apr`es la prposition 2.2.3, il existe une suite (xp )p∈IN dense dans E. Par hypoth`ese, l’ensemble
f (x0 ), f ∈ A
est d’adh´erence compacte. Donc il existe une fonction ϕ0 strictement croissante de IN dans
IN et un e´ l´ement g(x0 ) de E0 tels que
lim fϕ0 (n) (x0 ) = g(x0 ).
n→∞
De mˆeme, il existe un point g(x1 ) de E0 et une fonction ϕ1 strictement croissante de IN dans
IN telle que
lim fϕ0 ◦ϕ1 (n) (x1 ) = g(x1 ).
n→∞
On d´efinit ainsi par r´ecurrence une sous-suite (ϕp )p∈IN de fonctions strictement croissantes
de IN dans IN telle que
∀p ∈ IN,∀k ≤ p,
lim fϕ0 ◦···◦ϕp (n) (xk ) = g(xk ).
n→∞
On souhaite maintenant obtenir une sous-suite de ( fn )n∈IN qui converge simplement pour
tout point xp . Cela peut se faire a` l’aide du proc´ed´e diagonal de Cantor: on d´efinit la fonction
ψ de IN dans IN par
ψ(n) = ϕ0 ◦ · · · ϕn (n).
C’est clairement une fonction strictement croissante de IN dans IN qui, par construction,
v´erifie
∀p ∈ IN, lim fψ(n) (xp ) = g(xp ),
(??).
n→∞
L’ensemble E e´ tant compact, la proposition 2.2.1 assure que A est uniform´ement ne´ quicontinue.
o
D´emontrons maintenant que la fonction g est uniform´ement continue sur xp , p ∈ IN .
Soit ε un r´eel strictement positif et η v´erifiant (?). Pour tout couple d’entiers (p,q) tel que
dE (xp ,xq ) < η , on a
dE0 (g(xp ),g(xq )) ≤ dE0 (g(xp ), fψ(n) (xp )) + dE0 ( fψ(n) (xp ), fψ(n) (xq )) + dE0 ( fψ(n) (xq ),g(xq ))
≤ ε + dE0 (g(xp ), fψ(n) (xp )) + dE0 ( fψ(n) (xq ),g(xq )).
L’in´egalit´e ci-dessus e´ tant vraie pour tout n, on obtient, en passant a` la limite n → ∞
dE (xp ,xq ) < η ⇒ dE0 (g(xp ),g(xq )) ≤ ε.
(2.1)
28
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 2 – Espaces fonctionnels
n
o
La fonction g est donc uniform´ement continue sur xp , p ∈ IN qui est une partie dense de
E. Comme l’espace m´etrique (E0 ,dE0 ) est complet, le th´eor`eme de prolongement 1.2.3 garantit
que g peut eˆ tre prolong´ee de mani`ere unique en une application uniform´ement continue
d´efinie sur E entier. Notons encore g ce prolongement. Pour conclure la preuve du th´eor`eme
d’Ascoli, il suffit de d´emontrer que ( fψ(n) )n converge vers g(x) dans C (E,E0 ).
En effet, A est une partie uniform´ement e´ quicontinue. En vertu de la proposition 2.2.2, il
suffit donc d’´etablir la convergence simple. Soit ε un r´eel strictement positif arbitraire et x un
e´ l´ement de E. Il existe un r´eel δ > 0 tel que
∀n ∈ IN,
ε
dE (x,x0 ) < δ ⇒ sup dE0 ( fψ(n) (x), fψ(n) (x0 )) + dE0 (g(x),g(x0 )) < .
2
n∈IN
Il existe un entier p tel que dE (x,xp ) < δ. Il en r´esulte que
dE0 ( fψ(n) (x),g(x)) ≤ dE0 ( fψ(n) (x), fψ(n) (xp )) + dE0 ( fψ(n) (xp ),g(xp )) + dE0 (g(xp ),g(x))
ε
≤ + dE0 ( fψ(n) (xp ),g(xp )).
2
La relation (??) permet de conclure a` la convergence simple. Ceci ach`eve la preuve du
th´eor`eme d’Ascoli.
•
n
f =
C
2.2.1
Soit
K
un
compact
de
IR
.
Munissons
l’ensemble
C
(K,IR)
de
la
norme
∞
supx∈K f (x). Soit A une partie e´quicontinue de C (K,IR) telle que l’ensemble f (x), f ∈ A soit
born´e pour tout x ∈ K. Alors A est relativement compacte dans C (K,IR).
(
)
Z 1
Z 1
0 2
0 2
1
E 2.2.2 Soit A = f ∈ C ([0,1]; IR),
f (t) dt +
f (t) dt ≤ 1 . Alors A est
0
0
relativement compacte dans C ([0,1]; IR). Autrement dit de toute suite ( fn )n∈IN de fonctions de
C 1 ([0,1]; IR) telles que
1
Z
0
Z
2
fn (t) dt +
1
2
fn0 (t) dt ≤ 1,
0
on peut extraire une sous-suite convergente dans C ([0,1]; IR).
2.3 Th´eor`eme de Dini
P 2.3.1 Soient E un espace topologique compact et (E0 , d0 ) un espace m´etrique. Soient
( fn )n≥1 une suite d’´el´ements de C (E,E0 ) et f ∈ C (E,E0 ). Si pour tout x ∈ E la suite des distances
dE0 ( f (x), fn (x)) n est d´ecroissante et tend vers 0, la suite ( fn )n∈IN∗ converge uniform´ement vers f .
Mourad Bellassoued
2.4 – Th´eor`eme de Stone-Weierstrass
29
P . Pour tout ε > 0, En = x ∈ E, dE0 ( f (x), fn (x)) ≥ ε est une partie ferm´ee de \
E, comme
la suite des distances (dE0 ( f (x), fn (x)))n est d´ecroissante, la suite En est emboˆıt´ee et
En = ∅
n∈IN∗
(Parce que la suite des distances dE0 ( f (x), fn (x)) converge vers z´ero). Comme E est compact,
il existe n0 tel que En0 = ∅ par cons´equent pour tout n ≥ n0 et tout x ∈ E, dE0 ( f (x), fn (x)) < ε et
la suite ( fn )n∈IN∗ converge donc uniform´ement vers f sur E.
•
C 2.3.1 (Th´eor`eme de Dini) Soit E un espace topologique compact et ( fn )n∈IN une suite de
fonctions continues de E dans IR. On suppose que la suite ( fn )n∈IN est monotone et qu’elle converge
simplement vers f ∈ C (E, IR), alors elle converge uniform´ement vers f sur E.
P . C’est une cons´equence imm´ediate du lemme pr´ec´edent. La d´ecroissance de la suite
et
simple vers f assurent que, pour tout x de E , la suite de terme g´en´eral
sa convergence
f (x) − fn (x) tend vers z´ero en d´ecroissant.
•
R 2.1 Dans l’´enonc´e du corollaire c’est la suite ( fn )n∈IN qui est monotone, pas les
fonctions fn (E n’est pas ordonn´e en g´en´eral).
2.4 Th´eor`eme de Stone-Weierstrass
Le but de cette section est de prouver que si une famille de fonctions continues sur un
espace m´etrique (E, d) a` valeurs r´eelles est assez riche et est stable par certaines op´erations,
elle est dense dans C (E,IR), c’est-`a-dire que toute fonction continue sur E a` valeurs r´eelles
peut-ˆetre approch´ee uniform´ement sur E par des fonctions de la famille.
P 2.4.1 Soit (E, d) un espace m´etrique compact et H une partie de C (E,IR) poss´edant
les propri´et´es suivantes:
i- Si u ∈ H et v ∈ H , alors sup(u, v) ∈ H et inf(u, v) ∈ H.
ii- Si x et y sont des points de E et si α et β sont des nombres r´eels (avec α = β si x = y), il existe
u ∈ H telle que u(x) = α et u(y) = β.
Alors toute fonction de C (E,IR) est limite uniforme d’une suite de fonctions de H , i.e., H = C (E,IR).
P . Soit f ∈ C (E,IR) et ε > 0. Il s’agit de construire g ∈ H telle que supx∈E g(x) − f (x) < ε,
i.e., f (x) − ε < g(x) < f (x) + ε, pour tout x ∈ E.
i- Soit x0 ∈ E. Montrons qu’il existe une fonction u ∈ H telle que u(x0 ) = f (x0 ) et pour tout
x ∈ E, u(x) > f (x) − ε.
Pour tout y ∈ E , il existe u y ∈ H telle que u y (x0 ) = f (x0 ) et u y (y) = f (y). L’ensemble
n
o
V y = x ∈ E, u y (x) > f (x) − ε
30
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 2 – Espaces fonctionnels
est un ouvert et y ∈ V y , donc (V y ) y∈E est un recouvrement ouvert de E . Puisque E est
compact, on peut en extraire un recouvrement fini (V yi )1≤i≤n . Soit u = sup(u y1 , . . . ,u yn ) ∈ H.
On a u yi (x0 ) = f (x0 ) pour tout i, donc u(x0 ) = f (x0 ). Si x ∈ E, il existe un indice i tel que
x ∈ V yi et alors u(x) ≥ u yi (x) > f (x) − ε. Ainsi u v´erifie les conditions annonc´ees.
ii- La fonction u construite en i− d´epend de x0 . Pour tout x ∈ E, d´efinissons de mˆeme vx ∈ H
telle que vx (x) = f (x) et vx > f − ε. L’ensemble
Wx = z ∈ E, vx (z) < f (z) + ε
est ouvert et on a x ∈ Wx ; donc E est recouvert par les Wx . De la compacit´e de E on
d´eduit l’existence d’un recouvrement fini (Wx j )1≤ j≤p de E. Soit g = inf(vx1 , . . . ,vxp ) ∈ H. On
a vx j > f − ε pour tout j = 1, . . . ,p, donc g > f − ε. Soit x ∈ E, il existe un indice j tel que
x ∈ Wx j et donc g(x) ≤ vx j (x) < f (x) + ε.
•
√
P 2.4.2 La fonction t 7→
polynˆomes en t a` coefficients r´eels.
t sur l’intervalle [0,1] est la limite uniforme d’une suite de
P . D´efinissons les polynomes
pn (t), n ≥ 0 sur [0,1] par r´ecurrence de la mani`ere
ˆ
suivante : pour t ∈ [0,1]
p0 (t) = 0
1
pn+1 (t) = pn (t) + (t − pn (t)2 )
2
Les fonctions pn , n ∈ IN, sont des polynomes.
Montrons par r´ecurrence sur n que pour tout
ˆ
t ∈ [0,1] on a
√
0 ≤ p0 (t) ≤ p1 (t) ≤ · · · ≤ pn (t) ≤ t.
Il en est bien ainsi pour n = 0, supposons donc que c’est encore le cas pour n. Comme t ≥ p2n (t)
on a pn+1 (t) ≥ pn (t) et de plus
√
√
1
t + t − pn (t)2
2
√ √ 1
= (pn (t) − t) 1 − (pn (t) + t)
2
√
√
√
√
√
or pn (t) + t ≤ 2 t, donc 1 − 21 (pn (t) + t) ≥ 1 − t ≥ 0 et pn (t) − t ≤ 0 et par suite
√
pn+1 (t) − t ≤ 0.
√
Pour tout t ∈ [0,1] la suite (pn (t))n∈IN est croissante et major´ee par t, elle a donc une limite
finie f (t) ≥ 0 qui v´erifie
pn+1 (t) −
t = pn (t) −
Mourad Bellassoued
2.4 – Th´eor`eme de Stone-Weierstrass
31
1
f (t) = f (t) + (t − f (t)2 ).
2
√
Par cons´equent f (t) = t. La suite (pn )n∈IN e´ tant croissante, il r´esulte alors du th´eor`eme de
Dini qu’elle converge uniform´ement vers f sur [0,1].
•
T´` 2.4.1 (Th´eor`eme de Stone-Weierstrass) Soit E un espace m´etrique compact, H une partie
C (E,IR) qui v´erifie les propri´et´es suivantes:
i- Les fonctions constantes appartiennent a` H.
ii- Si u, v ∈ H , alors u + v ∈ H et uv ∈ H.
iii-Si x, y ∈ E sont deux points distincts de E , il existe u ∈ H telle que u(x) , u(y).
Alors toute fonction de C (E,IR) est limite uniforme d’une suite de fonctions de H, i.e., H = C (E,IR).
P . Soit H l’adh´erence de H dans C (E,IR) pour la distance δ( f,g) = supx∈E f (x) − g(x).
On va montrer que H satisfait les hypoth`eses de la prposition ??, ce qui entraˆınera que
H = H = C (E,IR).
i- Si u, v ∈ H, on a u + v ∈ H car il existe des suites (un )n∈IN et (vn )n∈IN d’´el´ements de H
qui convergent respectivement vers u et v dans (C (E,IR), δ), il en r´esulte que (un + vn )n∈IN
converge vers u + v qui appartient donc a` H . De mˆeme uv ∈ H et si λ ∈ IR on a λu ∈ H.
Donc tout polynome
en u, c’est-`a-dire toute fonction de la forme λ0 + λ1 u + . . . + λn un , ou`
ˆ
λ0 , . . . λn ∈ IR, appartient a` H.
ii- Prouvons que |u| ∈ H. La fonction u est continue sur E donc born´ee. En la multipliant
par une constante convenable, on peut se ramener au cas ou` −1 ≤ u ≤ 1. Alors 0 ≤
u2 ≤ 1. Soit ε > 0, d’apr`es la proposition ??, il existe
une
(pn (t))n a`
ˆ
√ suite de polunomes
coefficients r´eels et n0 ∈ IN, tel que pour n ≥ n0 pn (t) − t < ε pour tout t ∈ [0,1]. Alors
p
pn (u(x)2 ) − u(x)2 < ε pour tout x ∈ E, donc,
sup pn (u(x)2 ) − |u(x)| < ε.
x∈E
Or pn (u2 ) ∈ H d’apr`es i−, par cons´equent |u| ∈ H.
iii-Si u, v ∈ H, on a compte tenu de i− et ii−
1
sup(u, v) = (u + v + |u − v|) ∈ H.
2
1
inf(u, v) = (u + v − |u − v|) ∈ H.
2
32
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 2 – Espaces fonctionnels
iv-Soient x et y des points distincts de E et α,β ∈ IR. Il existe v ∈ H tel v(x) , v(y). Posons
v0 =
1
(v − v(y)).
v(x) − v(y)
On a v0 ∈ H et v0 (x) = 1, v0 (y) = 0. Soit maintenant u = β + (α − β)v0 , on a u(x) = α et
u(y) = β.
Ce qui ach`eve la preuve.
•
C 2.4.1 Soit E un espace m´etrique compact et H un ensemble de fonctions continues sur
E a` valeurs complexes qui v´erifie les conditions suivantes:
i- Les fonctions constantes complexes appartiennent a` H.
ii- Si u, v ∈ H , alors u + v ∈ H , uv ∈ H et u ∈ H.
iii-Si x,y ∈ E sont deux points distincts de E , il existe u ∈ H telle que u(x) , u(y).
Alors toute fonction de C (E,C) est limite uniforme d’une suite de fonctions de H.
P . Soit H 0 l’ensemble des fonctions de H a` valeurs r´eelles. Alors H 0 v´erifie les
conditions (i−) et (ii−) du th´eor`eme Stone-Weierstrass r´eel. Si x et y sont deux points distincts
de E, il existe u ∈ H telle que u(x) , u(y), alors soit Re(u(x)) , Re(u(y)) soit Im(u(x)) , Im(u(y)).
Or Re(u) = 21 (u + u) ∈ H 0 et Im(u) = 2i1 (u − u) ∈ H 0 , donc H 0 v´erifie aussi la condition (iii−)
du th´eor`eme ??.
Soit g ∈ C (E,C). On a g = g1 + ig2 avec g1 ,g2 ∈ C (E,IR). D’apr`es le th´eor`eme ??, g1 et g2 sont
limites uniformes de fonctions de H 0 donc g est limite uniforme de fonctions de H.
•
C 2.4.2 Soit K une partie compacte de IRn et f ∈ C (K,C). Alors f est limite uniforme sur
K d’une suite de polynˆomes en n variables a` coefficients complexes.
P . Soit P l’ensemble des polynomes
en n variables a` coefficients complexes. Ce sont
ˆ
des fonctions continues sur IRn dont les restrictions sur K forment une partie H de C (K,C)
satisfaisant aux conditions du corollaire ??.
•
3
Les grands th´eor`emes de l’Analyse
Fonctionnelle
3.1 Le th´eor`eme de Baire
On peut donner deux e´ nonc´es e´ quivalents du th´eor`eme de Baire.
T´` 3.1.1 (de Baire).
[ Soit (E,d) un espace m´etrique complet et (Fn )n∈IN une suite de ferm´es de
E, d’int´erieur vide. Alors
Fn est d’int´erieur vide.
n∈IN
T´` 3.1.2 (de
\ Baire). Soit (E,d) un espace m´etrique complet et (On )n∈IN une suite d’ouverts
denses de E. Alors
On est dense dans E.
n∈IN
Pour voir que les deux e´ nonc´es sont e´ quivalents, il suffit de passer au compl´ementaire et
d’utiliser le fait que pour toute partie A d’un espace topologique (W,O), l’adh´erence de W\A
◦
est e´ gale au compl´ementaire de A.
Donnons maintenant une d´emonstration du deuxi`eme e´ nonc´e du th´eor`eme de Baire. Soit
(On )n∈IN une
[ suite d’ouverts denses de E et V un ouvert non vide de E. Il s’agit de montrer
que V ∪ (
On ) n’est pas vide.
n∈IN
T
´
X Etape
0. Par densit´e de O1 , l’ouvert O0 V est non vide. Donc il existe x0 ∈ E et r0 > 0 tels
que B(x0 ,r0 ) ⊂ O0 ∩ V.
´
X Etape
1. De mˆeme, par densit´e de O1 , il existe x1 ∈ E et r1 > 0 tels que
B(x1 ,r1 ) ⊂ O1 ∩ B(x0 ,r0 ) ⊂ O0 ∩ O1 ∩ V.
r0
.
2
´
X Etape
n. Supposons construits une famille (x0 ,x1 , · · · ,xn ) de points de E, et une famille
(r0 ,r1 , · · · ,rn ) de r´eels strictement positifs tels que pour j = 1, · · · ,n on ait
Quitte a` diminuer r1 , on peut toujours supposer que r1 ≤
B(x j ,r j ) ⊂ B(x j−1 ,r j−1 ) ∩ O j ,
et
rj ≤
r j−1
.
2
34
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 3 – Les grands th´eor`emes de l’Analyse Fonctionnelle
rn
Comme On+1 ∩ B(xn ,rn ) n’est pas vide, on peut choisir un xn+1 ∈ E et un r´eel rn+1 de ]0, ]
2
tels que
B(xn+1 ,rn+1 ) ⊂ On+1 ∩ B(xn ,rn ).
On a donc construit une suite (xn )n∈IN de points de E, et une suite (rn )n∈IN de r´eels strictement
positifs v´erifiant
∀n ∈ IN, B(xn ,rn ) ⊂ O0 ∩ · · · ∩ On ∩ V,
B(xn+1 ,rn+1 ) ⊂ B(xn ,rn )
et
rn+1 ≤
rn
.
2
Il est clair que la suite (xn )n∈IN construite est de Cauchy. Comme E est complet, elle converge
vers un e´ l´ement x de E qui, par construction, appartient a` toutes les boules ferm´ees B(xn ,rn )
donc a` V ∩ (∩n∈IN On ).
En relation avec le th´eor`eme de Baire, nous pouvons introduire la d´efinition suivante :
D´ 3.1.1 On dit qu’un espace topologique
s´epar´e E a la propri´et´e de Baire si pour toute suite
\
(On )n∈IN d’ouverts denses de E, l’ensemble
On est dense.
n∈IN
R 3.1.1 Le th´eor`eme de Baire assure que tout espace de Banach a la propri´et´e de Baire. Mais
on peut construire des e.v.n (forc´ement non complets !) qui n’ont pas la propri´et´e de Baire. C’est le cas
Z 1
par exemple de E = C([0,1]; IR) muni de la norme f 1 =
f (t) dt. En effet, si l’on d´efinit
0






Fn = 
f
∈
E,
sup
f
(t)
≤
n


,
t∈[0,1]
on a
[
Fn = E (´evident) bien que chaque Fn soit ferm´e d’int´erieur vide (moins e´vident).
n∈IN
R 3.1.2 Sachant que IR est un espace m´etrique complet, le th´eor`eme de Baire permet de
retrouver le fait que R n’est pas d´enombrable (Indication : consid´erer l’intersection de tous les ouverts
R\ {a} avec a ∈ IR.)
P 3.1.1 Soit E un espace topologique s´epar´e ayant la propri´et´e de Baire et O un ouvert
de E. Alors O muni de la topologie induite par E a aussi la propri´et´e de Baire.
P . Soit (On )n∈IN une suite d’ouverts denses de O. Comme O est ouvert, on v´erifie
facilement
que (On ∪ (E\O))n∈IN est une suite d’ouverts denses de E. On est donc assur´e que
\
(On ∪ (E\O)) est dense dans E. Maintenant si V est un ouvert arbitraire de O, c’est un
n∈IN
ouvert de E tel que V ∩ (E\O) = ∅. Donc
Mourad Bellassoued
3.2 – Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus
35







 \

 \ 

 \ 
V ∩  (On ∪ (E\O)) = V ∩ 
On  ∪ (E ∩ O) = V ∩ 
On  .
n∈IN
n∈IN
n∈IN
•
est non vide, d’ou` le r´esultat.
T´` 3.1.3 Soit E un espace topologique de Baire et (Fn )n∈IN une suite de ferm´es de E telle que
[ ◦
[
Fn = E. Alors
Fn est dense dans E.
n∈IN
n∈IN
P . Soit O un ouvert de E. Comme E est un espace de Baire, O aussi. Chaque ensemble
Fn ∩ O est un ferm´e de O pour la topologie induite. En raisonnant par l’absurde, on en d´eduit
[ ◦
facilement que
(Fn ∩O) n’est pas vide.
•
n∈IN
C 3.1.1 Soit O un ouvert non vide et non born´e de IR+ . Alors il existe T > 0 tel que
{n ∈ IN,
nT ∈ O}
ait une infinit´e d’´el´ements.
P . On veut trouver un T > 0 tel que


\ [ 1 

T∈
O .

p
n≥1 p≥n
[1
O est un ouvert dense de IR+ . Comme
p
p≥n
\
+
IR est un espace m´etrique complet, on l’ensemble
On est dense dans IR+ . En particulier,
On v´erifie que pour tout n ∈ IN∗ , l’ensemble On =
il contient un e´ l´ement T > 0.
n≥1
•
3.2 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus
T´` 3.2.1 (de Banach-Steinhaus). Soit E un Banach, F un e.v.n et (Ti )i∈I une famille d’applications de L (E; F). On suppose que pour tout x ∈ E, l’ensemble {Ti (x), i ∈ I} est born´e dans F. Alors
il existe M > 0 tel que ∀ i ∈ I, kTi kL (E;F) ≤ M.
36
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 3 – Les grands th´eor`emes de l’Analyse Fonctionnelle
P . L’ensemble A = x ∈ E, ∀ i ∈ I, kTi (x)kF ≤ 1 est un ferm´e de E. De plus A n’est
◦
pas d’int´erieur vide car si l’on avait A= ∅ alors tous les ensembles
[nA avec n ∈ IN seraient
e´ galement d’int´erieur vide, donc, d’apr`es le th´eor`eme de Baire,
nA aussi. Mais les hyn∈IN
[
nA = E. Donc A n’est pas d’int´erieur vide.
poth`eses sur (Ti )i∈I garantissent justement que
n∈IN
Soit x0 ∈ E et r0 > 0 tels que B(x0 ,r0 ) ⊂ A. En e´ crivant que
kTi kL (E,F) ≤
1
1 + kTi (x0 )kF .
r0
•
on obtient la conclusion souhait´ee.
C 3.2.1 Soit E un Banach, F un e.v.n, et (Tn )n∈IN une suite de L (E; F). On suppose que
pour tout x ∈ E, la suite (Tn (x))n∈IN converge dans F vers une limite not´ee T(x). Alors T ∈ L (E; F).
R 3.2.1 Attention : Pour appliquer le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, il est essentiel que
l’espace de d´epart soit complet. En effet, consid´erons E = C 1 ([0,1]; IR) et F = C ([ 14 , 34 ]; IR). On munit
E et F de la norme de la convergence uniforme. Pour tout h ∈]0, 14 [ et f ∈ E on note Th ( f ) la fonction
d´efinie sur [ 41 , 34 ] par Th ( f ) (x) = h−1 ( f (x + h) − f (x)). On constate alors que chaque Th est lin´eaire
continue de E sur F, et que
Th ( f ) ≤ f 0 , et lim Th f = f 0 .
F
∞
h→0
Autrement dit, en notant T : f −→ f 0 , on remarque que (T2−n ( f ))n≤2 converge vers T( f ) pour tout
f ∈ F 2.
Il est par ailleurs facile de montrer que T < L (E; F), ce qui semble contredire le corollaire ci-dessus.
En fait, toutes les hypoth`eses du corollaire sont v´erifi´ees sauf une : la compl´etude de E.
3.3 Le th´eor`eme de l’application ouverte
D´ 3.3.1 Soit (E,T ), (E0 ,T 0 ) deux espaces topologiques. On dit que f : E −→ E0 est une
application ouverte si l’image de tout ouvert de E par f est un ouvert de E0 .
R 3.3.1 Attention : Si f est une fonction continue de E sur E0 alors l’image r´eciproque de
tout ouvert de E0 est un ouvert de E. On ne peut rien dire a priori sur la nature topologique de l’image
(directe) d’un ouvert de E par f . Pour s’en persuader, on peut consid´erer le cas d’une application
constante de IR dans IR. Pour tout ouvert non vide O ⊂ IR, f (O) est un singleton, et n’est donc pas
ouvert (pour la topologie usuelle de IR), bien que f soit continue.
Mourad Bellassoued
3.3 – Le th´eor`eme de l’application ouverte
37
T´` 3.3.1 (de l’application ouverte). Soit E et F deux Banach, et T ∈ L (E; F) surjective.
Alors T est une application ouverte.
P . Il suffit de v´erifier qu’il existe c > 0 tel que
BF (0,c) ⊂ T(BE (0,1)).
En effet, si O est un ouvert non vide de E et y = T(x) avec x ∈ O tel que BE (x,r) ⊂ O alors (2.1)
assure que
BF (y,rc) ⊂ T(BE (x,r)) ⊂ T(O).
Premi`ere e´ tape : on cherche un c >[0 tel que BF (0,4c) ⊂ T(BE (0,1)).
[ Soit Xn = T(BE (0,n)).
Comme T est surjectif, on a F =
Xn et donc a fortiori F =
Xn . L’espace F e´ tant
n∈IN∗
n∈IN∗
∗
complet, le th´eor`eme de Baire assure l’existence d’un entier n0 ∈ IN tel que l’int´erieur de Xn0
ne soit pas vide.
Soit donc y0 ∈ F et r0 > 0 tels que
BF (y0 ,r0 ) ⊂ T(BE (0,n0 )).
Par lin´earit´e de T, on v´erifie que
−1
−1
−1
BF (n−1
0 y0 ,n0 r0 ) ∪ BF (−n0 y0 ,n0 r0 ) ⊂ T(BE (0,1)).
La lin´earit´e et la continuit´e de T assurent aussi que T(BE (0,1)) est convexe.
On en d´eduit que
1
1
−1
−1
−1
−1
BF (0,n−1
0 r0 ) = BF (n0 y0 ,n0 r0 ) + BF (−n0 y0 ,n0 r0 ) ⊂ T(BE (0,1)).
2
2
On peut donc prendre c = (4nr00 ) .
Deuxi`eme e´ tape : on montre que BF (0,c) ⊂ T(BE (0,1)).
Soit y ∈ BF (0,c). On construit par r´ecurrence une suite (xn )n∈IN∗ d’´el´ements de E telle que
∀n ∈ IN∗ , kxn k < 2−n+1 , et y − T(x1 + · · · + xn )F < 2−n c.
En effet, l’´etape
pr´ec´edente implique que BF (0,c) ⊂ T(BE (0, 14 ). Il existe donc x1 ∈ E tel que
kx1 kE < 41 et y − T(x1 )F < 2c . Ensuite, si x1 , · · · ,xn ont e´ t´e construits, on remarque que
2n y − T(2n x1 + · · · + 2n xn ) < c
et l’on obtient comme pr´ec´edemment un xn+1 ∈ E tel que k2n xn+1 kE <
1
4
et
38
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 3 – Les grands th´eor`emes de l’Analyse Fonctionnelle
c
2n y − T(2n x1 + · · · + 2n xn ) − T(2n xn+1 ) < .
F
2
Il est e´ vident que la suite (
n
X
xp )n∈IN est de Cauchy. Par compl´etude de E, elle converge donc
p=1
vers un e´ l´ement x de E v´erifiant kxk ≤
1
2
< 1. De plus, par continuit´e de T, on a y = T(x). Donc
1
BF (0,c) ⊂ T(BE (0, )) ⊂ T(BE (0,1)).
2
•
R 3.3.2 La compl´etude de F est utilis´ee dans la premi`ere e´tape alors que celle de E intervient
dans la deuxi`eme e´tape.
C 3.3.1 Soit E et F deux Banach, et T ∈ L (E; F) bijective. Alors T−1 est continue.
P . Soit c > 0 tel que BF (0,c) ⊂ T(BE (0,1)). Comme T est bijective, on a
c
T−1 BF (0, ) ⊂ T−1 (BF (0,c)) ⊂ BE (0,1) ⊂ BE (0,1).
2
En effectuant un changement d’´echelle, on en d´eduit que T−1 est born´ee sur la boule unit´e
ferm´ee, donc continue.
•
C 3.3.2 Soit E un e.v.n que l’on munit de deux normes k · k1 et k · k2 . On suppose que
(E, k · k1 ) et (E, k · k2 ) sont complets et qu’il existe c > 0 tel que
∀x ∈ E, kxk1 ≤ c kxk2 .
Alors les normes k · k1 et k · k2 sont e´quivalentes.
P . Soit T l’application identit´e de l’e.v.n. E muni de la norme k · k2 dans E muni
de la norme k · k1 . Vues les hypoth`eses, le th´eor`eme de l’application ouverte (ou plutot
ˆ son
corollaire) s’applique. L’application identit´e de E muni de la norme k · k1 dans E muni de la
norme k · k2 est donc continue. Autrement dit, il existe c0 > 0 telle que
∀x ∈ E,
d’ou` l’´equivalence des normes.
kxk2 ≤ c0 kxk1 ,
•
Mourad Bellassoued
3.4 – Le th´eor`eme du graphe ferm´e
39
3.4 Le th´eor`eme du graphe ferm´e
D´ 3.4.1 Soit E, F deux e.v.n et T une application lin´eaire de E vers F. On appelle graphe
de T (not´e G(T)) le sous-ensemble de E × F suivant:
G(T) = (x,y) ∈ E × F, y = T(x) .
Il est facile de v´erifier que T continue entraˆıne que G(T) est ferm´e (au sens de la topologie
produit de E × F ). Sous de bonnes hypoth`eses, il y a en fait e´ quivalence entre la continuit´e
et la fermeture du graphe :
T´` 3.4.1 (du graphe ferm´e). Soit E et F , deux Banach, et T une application lin´eaire de E
vers F. Alors T est continue si et seulement si G(T) est un ferm´e de E × F.
P . Seule l’implication r´eciproque n’est pas triviale. Supposons donc que G(T) est
ferm´e dans
E × F. Comme E et F sont complets, on v´erifie ais´ement que E × F muni de la
norme (x,y)E×F = max(kxkE , yF ) est aussi complet puis que l’e.v. G(T) muni de la topologie
induite est complet (c’est ici qu’intervient l’hypoth`ese que G(T) est ferm´e). D´efinissons
P : G(T) −→ E
(x,y) 7−→ x.
L’application P est bijective par construction. De plus, pour tout (x,y) ∈ G(T), on a
P(x,y) = kxkE ≤ (x,y) .
E×F
E
Donc P est continue. Le corollaire du th´eor`eme de l’application ouverte assure donc que P−1
aussi est continue. Autrement dit, il existe C > 0 tel que
∀x ∈ E,
d’ou` le r´esultat.
kT(x)kF ≤ max(kxkE , kT(x)kF ) ≤ C kxkE ,
•
R 3.4.1 Soit E et F des Banach et T lin´eaire de E vers F. Pour montrer la continuit´e de T
, il suffit donc d’´etablir que pour toute suite (xn )n∈IN de E telle que (xn ,T(xn ))n∈IN converge vers (x,y),
on a y = T(x).
E 4 Soit T un endomorphisme sur L2 ([0,1]) qui est continu de L2 ([0,1]) dans L1 ([0,1]).
` l’aide du th´eor`eme du graphe ferm´e, montrer que T est aussi continue de L2 ([0,1]) dans
A
L2 ([0,1]).
4
Th´eor`eme de Hahn-Banach
4.1 Notions de convexit´e
Soit E un e.v sur IR et (x,y) un couple de vecteurs de E. On appelle segment ferm´e d’origines
x et y , not´e [x,y], l’ensemble
[x,y] = αx + (1 − α)y,α ∈ [0,1] .
D´ 4.1.1 Une partie A d’un e.v E est dite convexe si
∀ (x,y) ∈ A × A,
[x,y] ⊂ A.
P 4.1.1 Soit A convexe. Alors pour tout n-uplet (x1 , · · · ,xn ) d’´el´ements de A et tout
n-uplet
(α1 , · · · ,αn ) ∈ [0,1]n v´erifiant α1 + · · · + αn = 1, on a
n
X
αi xi ∈ A.
i=1
P . On raisonne par r´ecurrence sur n. Le cas n = 1 est e´ vident. Supposons le r´esultat
e´ tabli pour tout (x1 , · · · ,xn ) ∈ En et (α1 , · · · ,αn ) ∈ [0,1]n v´erifiant α1 + · · · + αn = 1. Soit
(x1 , · · · ,xn+1 ) ∈ An+1 et (β1 , · · · ,βn+1 ) ∈ [0,1]n+1 tel que β1 + · · · + βn+1 = 1. On peut de plus
supposer que tous les coefficients βi sont dans ]0,1[ (sinon le r´esultat est contenu dans
P
l’hypoth`ese de r´ecurrence). Soit x = n+1
i=1 βi xi . On constate que
x = βn+1 xn+1 + (1 − βn+1 )y
avec
y=
n
X
i=1
Comme
n
X
(1 − βn+1 )−1 βi xi .
| {z }
αi
αi = 1, l’hypoth`ese de r´ecurrence assure que y ∈ A. Par convexit´e de A, on a
i=1
donc x ∈ A comme souhait´e.
•
42
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 4 – Th´eor`eme de Hahn-Banach
E 4.1.1 Soit f : E −→ IR une fonction affine. Alors les ensembles f −1 ([0, + ∞[),
f −1 (]0, + ∞[), f −1 (] − ∞,0[) et f −1 (] − ∞,0]) sont convexes.
Nous laissons au lecteur le soin de v´erifier les propri´et´es suivantes:
– L’image d’une partie convexe par une application lin´eaire est convexe.
– L’image r´eciproque d’un convexe par une application lin´eaire est convexe.
– L’intersection d’une famille quelconque de convexes est convexe.
– Soit A et B deux convexes, et (α,β) ∈ IR2 . Alors αA + βB est convexe.
D´ 4.1.2 Soit A une partie quelconque de E. On appelle enveloppe convexe de A le plus
petit ensemble convexe contenant A.
P 4.1.2 Soit A une partie de E. L’enveloppe convexe de A est l’ensemble des combinaisons
lin´eaires finies a` coefficients positifs dont la somme vaut 1, d’´el´ements de A.
P . Notons B l’ensemble des combinaisons lin´eaires finies a` coefficients positifs dont
la somme vaut 1, d’´el´ements de A. Il est clair que cet ensemble est convexe. Par ailleurs,
si C est un autre ensemble convexe contenant A, il doit en particulier contenir toutes les
combinaisons convexes d’´el´ements de A, donc B.
•
P 4.1.3 L’adh´erence et l’int´erieur d’un ensemble convexe sont convexes.
2
P . Soit A un convexe non vide, (x,y) ∈ A et t ∈ [0,1]. Il existe alors deux suites (xn )n∈IN
et (yn )n∈IN d’´el´ements de A telles que
lim xn = x
n→+∞
et
lim yn = y.
n→+∞
Par convexit´e de A, on a txn + (1 − t)yn ∈ A pour tout n ∈ IN. De plus il est clair que
limn→+∞ txn + (1 − t)yn = x + (1 − t)y donc tx + (1 − t)y ∈ A. Ceci montre que A est convexe.
◦
◦
Montrons maintenant que A est aussi convexe. On e´ carte le cas A= ∅ qui est trivial. Soit
◦
(x,y) ∈ (A)2 . Il existe alors r > 0 tel que les boules ouvertes B(x,r) et B(y,r) soient incluses
dans A. Par convexit´e de A, on a donc tB(x,r) + (1 − t)B(y,r) ⊂ A pour tout t ∈ [0,1]. On e´ tablit
facilement que
tB(x,r) + (1 − t)B(y,r) = B(tx + (1 − t)y,r).
◦
◦
Donc tx + (1 − t)y ∈A, et A est bien convexe.
D´ 4.1.3 Soit A une partie convexe de E et f : A −→ R. On dit que f est convexe si
∀α ∈ [0,1], ∀(x,y) ∈ A2 , f (αx + (1 − α)y) ≤ α f (x) + (1 − α) f (y).
•
Mourad Bellassoued
4.1 – Notions de convexit´e
43
P 4.1.4 Soit f : A −→ IR une fonction convexe et c un r´eel. Alors l’ensemble f −1 (]−∞,c])
est convexe.
P . Supposons f −1 (] − ∞,c]) non vide et donnons nous x et y deux e´ l´ements de
f −1 (] − ∞,c]) et t ∈ [0,1]. Par convexit´e de f , on a
f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y) ≤ tc + (1 − t)c = c,
•
d’ou` le r´esultat.
En raisonnant par r´ecurrence, on obtient le r´esultat suivant:
P 4.1.5 Si f : A −→ IR est convexe alors pour tout (α1 , · · · ,αn ) ∈ [0,1]n tel que
n
X
αi = 1, on a
i=1
 n

n
X
 X
f 
αi xi  ≤
αi f (xi ).
i=1
i=1
T´` 4.1.1 Soit U un ouvert convexe de IRn et f : U −→ IR une fonction convexe. Alors f est
continue.
P . On munit IR de la norme kxk =
n
n
X
|xi | (ce qui n’influe en rien sur les propri´et´es de
i=1
continuit´e de f puisqu’en dimension finie toutes les normes sont e´ quivalentes). Fixons un
b ∈ U. Il s’agit de montrer la continuit´e de f en b.
1. R´eduction au cas b = 0, f (0) = 0 et B(0,1) ⊂ U. Quitte a` consid´erer la fonction g : x −→
f (ax + b) − f (b) avec a > 0 bien choisi, on peut se ramener a` e´ tudier la continuit´e en 0
pour une fonction convexe d´efinie sur un ouvert contenant la boule unit´e ferm´ee B(0,1)
et s’annulant en 0. On remarquera en effet que f et g sont simultan´ement convexes et que
f est continue en b si et seulement si g est continue en 0.
2. On montre que f est major´ee sur B(0,1). Notons a0 l’origine et
a±i = (0, · · · ,0, ±1 ,0, · · · ,0).
|{z}
i
On remarque que tout point x = (x1 , · · · ,xn ) de B(0,1) se d´ecompose en
x = (1 − kxk)a0 +
n
X
i=1
|xi | aεi i
avec
εi = ” + ” si xi ≥ 0, et εi = ” − ” sinon.
44
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 4 – Th´eor`eme de Hahn-Banach
Il est clair que 1 − kxk ∈ [0,1], |xi| ∈ [0,1] pour i ∈ {1, · · · ,n} et
1 − kxk +
n
X
|xi | = 1.
i=1
Par convexit´e de f et comme f (a0 ) = 0, on a donc, d’apr`es la proposition pr´ec´edente,
f (x) ≤ M kxk
avec
M = max( f (a+1 ), · · · , f (a+n ), f (a−1 ), · · · , f (a−n ))
3. Fin de la preuve. En e´ crivant que 0 =
x
2
+
(−x)
2
(?)
et en utilisant f (0) = 0, on obtient
f (x) ≥ − f (−x) ≥ −M kxk .
On conclut que
∀x ∈ B(0,1),
f (x) ≤ M kxk .
Donc f est continue en 0.
•
R 4.1.1 Attention : Le r´esultat ci-dessus est faux en g´en´eral si l’on ne suppose pas que U
est ouvert ou si l’on se place en dimension infinie.
4.2 Th´eor`eme de Hahn-Banach (forme analytique)
T´` 4.2.1 (Hahn-Banach, version analytique). Soit E un espace vectoriel sur IR et p une
fonction de E dans IR+ v´erifiant:
i- ∀λ ≤ 0, ∀x ∈ E, p(λx) = λp(x).
ii- ∀(x,y) ∈ E2 , p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Soit F un s.e.v de E et L une forme lin´eaire sur F telle que
L(x) ≤ p(x),
∀x ∈ F.
Alors il existe une forme lin´eaire e
L d´efinie sur E, qui prolonge L (i.e e
L(x) = L(x) pour tout x ∈ F ) et
telle que
e(x) ≤ p(x).
∀x ∈ E, L
Mourad Bellassoued
4.2 – Th´eor`eme de Hahn-Banach (forme analytique)
45
La d´emonstration de ce th´eor`eme repose sur un r´esultat c´el`ebre de la th´eorie des ensembles,
le lemme de Zorn qui est lui-mˆeme e´ quivalent a` l’axiome du choix. Avant d’´enoncer le
lemme de Zorn, nous avons besoin de rappeler quelques notions provenant de la th´eorie des
ensembles.
D´ 4.2.1 Soit E un ensemble. On dit que 4 est une relation d’ordre sur E si
i- ∀(x,y,z) ∈ E3 , (x 4 y et y 4 z) ⇒ x 4 z
ii- ∀(x,y) ∈ E2 , (x 4 y et y 4 x) ⇒ x = y.
iii-∀x ∈ E, x 4 x.
On dit que l’ordre est total si de plus pour tout (x,y) ∈ E2 , on a x 4 y ou y 4 x. Un couple
(E, 4) avec 4 relation d’ordre sur E est appel´e ensemble ordonn´e.
E 4.2.1
1. L’ensemble IN muni de la relation d’ordre usuel est totalement ordonn´e.
2. Si A est un ensemble ayant au moins deux e´ l´ements, l’ensemble F (A; IR) muni de la
relation d’ordre
f 4 g si f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ A
n’est pas totalement ordonn´e.
D´ 4.2.2 Soit (E, 4) un ensemble ordonn´e et X une partie de ε. On dit que x est un majorant
de X si ∀y ∈ X, y 4 x. On dit que x est un e´l´ement maximal de E si
∀y ∈ E,
x 4 y ⇒ y = x.
D´ 4.2.3 On dit qu’un ensemble ordonn´e (ε, 4) est inductif si toute partie totalement
ordonn´ee de ε admet un majorant.
Lemme 4.1 (de Zorn). Tout ensemble inductif admet un e´l´ement maximal.
Preuve du th´eor`eme de Hahn-Banach: On note ε l’ensemble des couples (V,u) tels que V soit
un sous-espace vectoriel de E contenant F, et u une forme lin´eaire sur V qui co¨ıncide avec L
sur F et v´erifie u(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ V. On munit ε de la relation d’ordre 4 d´efinie par
(V1 ,u1 ) 4 (V2 ,u2 )
si
V1 ⊂ V2
et
u2 = u1 sur V1 .
On montre facilement que (ε, 4) est un ensemble ordonn´e non vide et inductif. D’apr`es
˜ Supposons par l’absurde que
le lemme de Zorn, ε admet donc un e´ l´ement maximal (V,L).
V , E. Alors E\V contient au moins un e´ l´ement x. Pour a r´eel donn´e, on d´efinit alors une
forme lin´eaire L˜ a sur V ⊕ IR · x par
˜
L˜ a (y) = L(y)
si
y ∈ V,
et
L˜ a (x) = a.
46
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 4 – Th´eor`eme de Hahn-Banach
Grˆace aux propri´et´es de L˜ et de p, on peut ajuster a de telle sorte que
∀y ∈ V,
˜
∀λ ∈ IR, L˜ a (y + λx) = L(y)
+ λa ≤ p(y + λx).
(?)
En effet, (?) est clairement v´erifi´ee pour tout y ∈ V si λ = 0. Par ailleurs, l’in´egalit´e (?)
restreinte aux λ > 0 est e´ quivalente a`
∀y ∈ V,
˜
L(y)
+ a ≤ p(y + x)
alors que pour λ < 0, elle est e´ quivalente a`
˜ − a ≤ p(z − x).
∀z ∈ V,L(z)
Finalement (?) est donc v´erifi´ee si et seulement si a est choisi de telle sorte que
˜ − p(z − x)) ≤ a ≤ inf(p(y + x) − L(y)).
˜
sup(L(z)
z∈V
y∈V
˜
˜
Comme pour tout (y,z) ∈ V 2 , on a L(y)
+ L(z)
≤ p(y + z) ≤ p(y + x) + p(z − x), un tel choix de
˜ 4 (V ⊕ IRx,L˜ a ). Comme x < V, cela contredit la maximalit´e de
a est possible. On a donc (V,L)
˜
(V,L).
Avant de d’´enoncer un corollaire fondamental du th´eor`eme de Hahn-Banach, d´efinissons le
concept de semi-norme.
D´ 4.2.4 Soit E un e.v sur IK = IR ou C. On dit qu’une application p : E → IR+ est une
semi-norme si
i- ∀λ ∈ IK, x ∈ E, p(λx) = |λ| p(x).
ii- ∀(x,y) ∈ E2 , p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
E 4.2.2 i- Une norme est toujours une semi-norme.
ii- Soit E = C1 ([0,1]; IR). Pour f ∈ E, posons
p( f ) = sup f 0 (t) .
t∈[0,1]
Alors p est une semi-norme mais pas une norme car p( f ) = 0 n’entraˆıne pas f = 0 (en fait
dans cet exemple, p( f ) = 0 si et seulement si f est constante).
C 4.2.1 Sous les hypoth`eses du th´eor`eme de Hahn-Banach, si de plus p est une seminorme
alors on peut trouver une forme lin´eaire L˜ qui prolonge L sur E et telle que
˜ ≤ p(x).
∀x ∈ E, L(x)
Mourad Bellassoued
4.2 – Th´eor`eme de Hahn-Banach (forme analytique)
47
P . Notons L˜ le prolongement fourni par le th´eor`eme de Hahn-Banach.
Comme
˜L(−x) = −L(x)
˜
˜
pour tout x ∈ E et comme p(x) = p(−x), on obtient clairement L(x) ≤ p(x). •
C 4.2.2 Le corollaire pr´ec´edent reste valable pour les espaces vectoriels sur C a` condition
de supposer de plus que |L(x)| ≤ p(x) pour tout x ∈ F et d’interpr´eter | · | comme le module.
P . On consid`ere E comme un IR-espace vectoriel. Il est alors clair que l’application
lin´eaire <L v´erifie les hypoth`eses du corollaire 4.2.1. Soit φ une forme lin´eaire de E sur IR qui
prolonge ReL sur E entier et v´erifie
∀x ∈ E, φ(x) ≤ p(x).
˜
Pour tout x ∈ E, on pose alors L(x)
= φ(x) − iφ(ix). Il est imm´ediat que φ est une forme lin´eaire
˜
˜
˜
de E sur C et que L co¨ıncide avec L sur F. Enfin, si l’on note L(x)
= reiθ , on a e−iθ L(x)
∈ IR donc
˜ −iθ x) = φ(e−iθ x) ≤ p(e−iθ x) = p(x).
˜ = L(e
L(x)
•
C 4.2.3 Soit F un s.e.v de E et L une forme lin´eaire continue sur F . Alors on peut
prolonger L en une forme lin´eaire L˜ continue sur E et de mˆeme norme que L.
P . On applique l’un des deux corollaires pr´ec´edents avec p(x) = kLkL(F;IK) kxkE .
•
D´ 4.2.5 On appelle dual topologique de E l’ensemble des formes lin´eaires continues sur E.
On note E0 le dual topologique.
C 4.2.4 Soit E un e.v.n et x0 ∈ E. Alors il existe f ∈ E0 telle que
f 0 = kx0 k et f (x0 ) = kx0 k2 .
E
P . Apr`es avoir e´ cart´e le cas x0 = 0 qui est trivial, on applique le corollaire pr´ec´edent
a` F = IK · x0 et L d´efinie sur F par L(λx0 ) = λ kx0 k2E pour tout λ ∈ IR.
•
On en d´eduit que pour tout x ∈ E non nul, on peut trouver une forme lin´eaire f continue sur
E telle que f (x) , 0. On a en fait bien mieux :
C 4.2.5 Soit E un e.v.n. Pour tout x ∈ E, on a
kxk =
et le sup est atteint.
sup
L∈E0 ,kLkE0 =1
|L(x)| ,
48
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 4 – Th´eor`eme de Hahn-Banach
P . Le r´esultat est trivial si x = 0.
Supposons donc que x , 0. Soit L ∈ E0 de norme 1. Alors, par d´efinition de la norme sur E0 ,
on a |L(x)| ≤ kxkE pour tout x ∈ E. Donc supL∈E0 ,kLkE0 =1 |L(x)| ≤ kxkE . Par ailleurs, le corollaire 4
assure l’existence de L ∈ E0 telle que kLkE0 = kxkE et |L(x)| = kxk2E . La forme lin´eaire L˜ = kxk−1 L
˜
est continue, de norme 1 et telle que L(x)
= kxkE . D’ou` le r´esultat.
•
4.3 Le th´eor`eme de Hahn-Banach (forme g´eom´etrique)
Sauf mention contraire, on supposera dans la suite que les espaces vectoriels consid´er´es
sont r´eels.
D´ 4.3.1 On dit que M ⊂ E est un sous-espace affine de E s’il existe x0 ∈ E et un s.e.v. M0
de E tels que M = x0 + M0 . On dit alors que M est le sous-espace affine passant par x0 et dirig´e par
M0 .
D´ 4.3.2 On dit que H est un hyperplan de E s’il existe une forme lin´eaire L non nulle et
un r´eel α tels que
H = {x ∈ E; L(x) = α} .
R 4.3.1 Un hyperplan est donc un espace affine dirig´e par le noyau d’une forme lin´eaire. Si
de plus cette forme lin´eaire est continue alors l’hyperplan est n´ecessairement ferm´e. En fait, on a un
r´esultat plus pr´ecis :
Lemme 4.2 Tout hyperplan de E est ou bien dense dans E ou bien ferm´e dans E.
P . Soit H = x ∈ E ; φ(x) = α avec α ∈ IR et φ une forme lin´eaire un hyperplan de
E. Supposons que H ne soit pas dense dans E. Il existe alors x0 ∈ E et r0 > 0 tels que
B(x0 ,r0 ) ⊂ E\H. On a donc
α − φ(x0 )
∀x ∈ B(0,1), φ(x) ,
.
r0
Comme B(0,1) est convexe
et φ, lin´eaire, l’ensemble φ(B(0,1)) est un convexe de IR. On en
α−φ(x0 )
garde un signe constant sur B(0,1) puis que φ est born´ee sur la boule
d´eduit que φ −
r0
unit´e, donc continue. En cons´equence, H est ferm´e.
•
D´ 4.3.3 Soit A et B deux sous-ensembles de E et H = L−1 ({α}) (avec α ∈ IR et L forme
lin´eaire) un hyperplan de E. On dit que H s´epare A et B si l’on a
∀x ∈ A,
L(x) ≤ α
et
∀x ∈ B,
L(x) ≥ α.
On dit que H s´epare A et B strictement si les in´egalit´es ci-dessus sont strictes.
Mourad Bellassoued
4.3 – Le th´eor`eme de Hahn-Banach (forme g´eom´etrique)
49
T´` 4.3.1 (Hahn-Banach, version g´eom´etrique). Soit A et B deux parties convexes disjointes
de E avec A ferm´e et B compact. Alors il existe un hyperplan ferm´e s´eparant strictement A et B. Plus
pr´ecis´ement, il existe α ∈ IR et L ∈ E0 tels que
∀x ∈ A,
L(x) < α
et
∀x ∈ B,L(x) > α.
P . La preuve de ce th´eor`eme repose sur les deux r´esultats interm´ediaires suivants :
1. Si A est une partie convexe ouverte non vide de E et M est un sous-espace affine de E,
disjoint de A alors il existe un hyperplan ferm´e contenant M et disjoint de A.
2. Si A et B sont convexes disjoints avec A ouvert alors il existe un hyperplan ferm´e s´eparant
A et B.
Preuve du premier r´esultat interm´ediaire:
Supposons pour simplifier que 0 ∈ A. On introduit alors la fonction de Minkowski p d´efinie
pour tout x ∈ E par
n
o
p(x) = inf λ > 0 ; λ−1 x ∈ A .
En utilisant le fait que A est ouvert et convexe, on montre que p v´erifie les hypoth`eses du
th´eor`eme de Hahn-Banach et que A = p−1 ([0,1[).
Soit x0 ∈ E et M0 un s.e.v. de E tels que M = x0 + M0 . Comme 0 ∈ A et M ∩ A = ∅, on sait que
x0 < M0 . Le s.e.v V engendr´e par x0 et M0 est donc V = M0 ⊕ IRx0 . On d´efinit alors la forme
lin´eaire L sur V par L(x) = λ pour x = λx0 + y avec λ ∈ IR et y ∈ M0 . On v´erifie facilement
que L ≤ p sur V. Le th´eor`eme de Hahn-Banach nous permet donc de prolonger L en L˜ ∈ E0
telle que L˜ ≤ p sur E. Il est clair que l’hyperplan H = L−1 (1) contient M et est disjoint de A.
Enfin, cet hyperplan est ferm´e. En effet, s’il ne l’´etait pas, il serait dense d’apr`es le lemme 1
et donc intersecterait l’ouvert A. Le cas g´en´eral ou` A ne contient pas 0 peut se ramener au
cas pr´ec´edent par translation. Les d´etails sont laiss´es au lecteur. Remarque. De ce premier
r´esultat, on d´eduit facilement que si 0 ∈ M alors il existe L ∈ E0 telle que L = 0 sur M et L > 0
sur A.
Preuve du deuxi`eme r´esultat interm´ediaire Sous les hypoth`eses A ouvert convexe et B
convexe, l’ensemble C = A − B est ouvert, convexe, non vide et ne contient pas 0. Grˆace a` la
remarque pr´ec´edente (appliqu´ee avec M = 0 et A = C), il existe L ∈ E0 telle que L > 0 sur C.
Autrement dit,
∀(a,b) ∈ A × B,L(a) > L(b).
On pose α = infa∈A L(a). L’hyperplan L−1 ({α}) r´epond alors a` la question.
Conclusion Soit A et B v´erifiant les hypoth`eses du th´eor`eme de Hahn-Banach (forme
g´eom´etrique). Pour tout ε > 0, on pose
Aε = A + B(0,ε),Bε = B + B(0,ε).
Les ensembles Aε et Bε sont ouverts, convexes, et non vides. De plus, les hypoth`eses A
compact, B ferm´e et A ∩ B = ∅ assurent que d(A,B) > 0. Donc Aε et Bε sont disjoints pour ε
50
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 4 – Th´eor`eme de Hahn-Banach
suffisamment petit. Fixons un tel ε. Soit α ∈ IR et L ∈ E0 tels que l’hyperplan H = L−1 ({α})
s´epare Aε et Bε . On a donc
∀(x,y) ∈ A × B,∀(z,z0 ) ∈ B(0,1)2 ,
L(x + εz) ≤ α ≤ L(y + εz0 ).
On en d´eduit alors facilement que
∀(x,y) ∈ A × B,L(x) + ε kLkE0 ≤ α ≤ L(y) − ε kLkE0
•
d’ou` le r´esultat.
C 4.3.1 Soit F un sous-espace vectoriel de E non dense. Alors F est inclus dans un
hyperplan ferm´e de E.
P . Soit x0 ∈ E\F. On applique le th´eor`eme de Hahn-Banach avec A = F et B = {x0 }. Il
existe donc α ∈ IR et L ∈ E0 tels que
∀x ∈ F,
L(x) < α < L(x0 ).
On a donc L(λx) < α pour tout x ∈ F et λ ∈ IR. Cela entraˆıne la nullit´e de L sur F. Par ailleurs
L , 0 puisque L(x0 ) > L(x) pour tout x ∈ F. Donc F est inclus dans l’hyperplan ferm´e Ker L. •
Donnons un dernier corollaire fort utile.
C 4.3.2 Soit F un s.e.v de E. Alors F est dense si et seulement si toute forme lin´eaire
L ∈ E0 s’annulant sur F s’annule aussi sur E tout entier.
P . L’implication directe est e´ vidente car une application continue s’annulant sur une
partie dense de E est forc´ement nulle.
Montrons la r´eciproque par contraposition en supposant que F est un s.e.v non dense de
E. Alors le corollaire pr´ec´edent assure l’existence d’une forme lin´eaire continue L non nulle
telle que F ⊂ Ker L, d’ou` le r´esultat.
•
4.4 Suppl´ementaires topologiques
Dans toute cette section, E est un Banach.
P 4.4.1 Soit F et G deux sous-espaces vectoriels ferm´es de E tels que F + G soit aussi
ferm´e. Alors il existe C ∈ IR+ tel que tout e´l´ement z de F + G puisse se d´ecomposer en z = x + y avec
kxk ≤ C kzk et y ≤ C kzk .
Mourad Bellassoued
4.4 – Suppl´ementaires topologiques
51
P . On munit F × G de la norme (x,y)F×G = kxkE + yE et F + G, de la norme induite
par E. L’application
(
F×G→F+G
T:
(x,y) 7→ x + y
est lin´eaire, continue et surjective. Comme F × G et F + G sont ferm´es, le th´eor`eme de
l’application ouverte s’applique. Il existe donc c > 0 tel que
BF+G (0,c) ⊂ T(BF×G (0,1)).
Autrement dit, pour tout z ∈ F + G tel que kzkE < c, il existe (x,y) ∈ F × G tel que kxkE + yE < 1
et z = x + y.
c
Pour z ∈ F + G non nul arbitraire, on pose z0 = 2kzk
z. On a z0 ∈ BF+G (0,c). Donc il existe
E
(x,y) ∈ F × G tel que kxkE + yE < 1 et z˜ = x + y. En multipliant par 2c−1 kzkE , on obtient le
r´esultat voulu.
•
D´ 4.4.1 Soit F un s.e.v ferm´e de E. On dit que F admet un suppl´ementaire topologique G
s’il existe un s.e.v ferm´e G de E tel que E = F ⊕ G.
D´ 4.4.2 Soit F et G deux s.e.v de E tels que E = F ⊕ G. On appelle projecteur sur F
parall`element a` G l’endomorphisme π sur E d´efini par
∀x ∈ E,
(x = y + z, y ∈ F, z ∈ G) ⇒ π(x) = y.
Grˆace au th´eor`eme ci-dessus, on en d´eduit le
C 4.4.1 Soit F un s.e.v ferm´e de E admettant un suppl´ementaire topologique G. Alors le
projecteur π sur F parall`element a` G est continu, ainsi que le projecteur π0 sur G parall`element a` F.
T´` 4.4.1 Soit T ∈ L (E; F) avec E et F espaces de Banach. On suppose de plus que T est
surjective. Alors les deux propositions suivantes sont e´quivalentes :
• T admet un inverse a` droite continu (i.e il existe S ∈ L (F; E) tel que T ◦ S = IdF ).
• Ker T admet un suppl´ementaire topologique.
P . Si T admet un inverse a` droite S qui est continu, on constate que S(F) est un
suppl´ementaire alg´ebrique de Ker T. En effet, il est clair que S(F) et Ker T sont en somme
directe, et comme tout x ∈ E peut se d´ecomposer en
x = (x − S(T(x))) + S(T(x))
on a bien Ker T ⊕ S(F) = E.
Le fait que S(F) soit ferm´e se v´erifie facilement a` l’aide de la propri´et´e T ◦ S = IdF .
52
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 4 – Th´eor`eme de Hahn-Banach
R´eciproquement, supposons que Ker T admette un suppl´ementaire topologique G. Soit π la
projection sur G parall`element a` Ker T. Soit y ∈ F et x ∈ E tel que T(x) = y (existe car T est
surjective). On pose alors S(y) = π(x).
On v´erifie facilement que S est bien d´efinie (i.e ne d´epend pas du choix de x) et lin´eaire, et
que T ◦ S = IdF .
Enfin, d’apr`es le th´eor`eme de l’application ouverte, il existe c > 0 tel que
∀x ∈ E, kT(x)kF < c ⇒ kxkE < 1.
En prenant x de la forme x = S(y) avec y ∈ F, on en d´eduit que
∀y ∈ BF (0,c), S(y)E < 1.
Cela assure la continuit´e de S.
•
5
Espaces de Hilbert
Les espaces de Hilbert sont les plus simples et les plus importants des espaces vectoriels
norm´es. Ils permettent d’employer des raisonnements g´eom´etriques pour r´esoudre de nombreux probl`emes concernant les e´ quations aux d´eriv´ees partielles et les e´ quations int´egrales,
pos´es par la physique math´ematique. Leur th´eorie a e´ t´e e´ labor´ee, au d´ebut du si`ecle, par
D.Hilbert et E.Schmidt.
5.1 Produit Scalaire
Dans toute la suite IK d´esignera le corps IR ou le corps C. E d´esigne un espace vectoriel
sur IK ou sur C.
5.1.1 Le cas d’un espace vectoriel r´eel
Dans cette section, E d´esigne un IR-espace vectoriel.
D´ 5.1.1 On dit qu’une forme bilin´eaire b sur E est un produit scalaire si elle est
i- sym´etrique :
∀(x, y) ∈ E × E, b(y, x) = b(x, y),
ii- d´efinie positive :
∀x ∈ E\ {0} ,
b(x, x) > 0.
E 5.1.1
1. Sur IRn , l’application
(x, y) −→
n
X
xi yi
i=1
est un produit scalaire, appel´e produit scalaire canonique de IRn .
54
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
2. Sur l’ensemble `2 (IR) des suites r´eelles de carr´es sommables, l’application
(x, y) −→
∞
X
xn yn
n=0
est un produit scalaire.
3. Soit K un compact de IRn . Sur C (K; IR), l’application
Z
( f, g) −→
f (x)g(x)dx
K
est un produit scalaire.
D´ 5.1.2 On appelle espace pr´ehilbertien
√ r´eel muni d’un produit
r´eel un espace vectoriel
scalaire. Le produit scalaire b(x, y) est alors not´e x, y . On note kxk = hx, xi.
R 5.1 On appelle espace euclidien un espace pr´ehilbertien r´eel de dimension finie.
P 5.1.1 Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel. Alors l’in´egalit´e suivante (dite in´egalit´e de
Cauchy-Schwarz) est v´erifi´ee :
∀(x,y) ∈ E × E, x, y ≤ kxk kyk.
Si de plus on a l’´egalit´e x, y = kxk kyk, les vecteurs x et y sont proportionnels.
P . Pour λ ∈ IR, x et y dans E, y , 0, on consid`ere
f (λ) = x + λy, x + λy .
En d´eveloppant l’expression de f , on trouve
f (λ) = λ2 y, y + 2λ x, y + hx, xi .
Comme y, y > 0 (puisque l’on a suppos´e que y , 0), la fonction f est un polynome
de
ˆ
degr´e 2 en λ qui reste positif pour tout λ ∈ IR. Son discriminant r´eduit
2
∆0 = x, y − hx, xi y, y
est donc n´egatif, ce qui montre l’in´egalit´e voulue.
Si on a e´ galit´e dans la formule pr´ec´edente, le discriminant ∆0 = 0 ce qui revient a` dire que f
peut s’annuler sur IR, i.e., il existe λ0 ∈ IR tel que x + λ0 y = 0.
•
C
5.1.1 Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel. L’application de E dans IR qui a` x ∈ E associe
√
kxk = hx, xi est une norme sur E. On dit que c’est la norme associ´ee au produit scalaire.
Mourad Bellassoued
5.1 – Produit Scalaire
55
P . Il r´esulte imm´ediatement de la d´efinition d’un produit scalaire que la fonction
x −→ kxk est bien d´efinie sur E entier, et que le vecteur x est nul si et seulement si kxk = 0. Il
est aussi imm´ediat que kλxk = |λ| kxk. Reste a` prouver l’in´egalit´e triangulaire. On a
kx + yk2 = kxk2 + 2 x, y + kyk2 .
D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a x, y ≤ kxk kyk. Donc
kx + yk2 ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .
D’ou` le r´esultat en prenant la racine carr´ee.
•
R 5.2 Dans le cas ou` E est un espace euclidien, la norme associ´ee au produit scalaire
est appel´ee norme euclidienne .
P 5.1.2 Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel. Alors l’identit´e du parall´elogramme suivante
est v´erifi´ee :
∀(x,y) ∈ E × E, kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2
ainsi que l’identit´e de polarisation :
∀(x,y) ∈ E × E,
1
kx + yk2 − kx − yk2 .
x, y =
4
P . En effet, par d´efinition de la norme, on a
kx + yk2 = kxk2 + 2 x, y + kyk2 ,
kx − yk2 = kxk2 − 2 x, y + kyk2 .
Il suffit d’additionner les deux e´ galit´es pour obtenir l’identit´e du parall´elogramme, et de
retrancher la deuxi`eme a` la premi`ere pour obtenir l’identit´e de polarisation.
•
E 5 D´emontrer la r´eciproque : si E est un espace vectoriel norm´e r´eel muni d’une
norme v´erifiant l’identit´e du parall´elogramme alors c’est un espace pr´ehilbertien.
Indication : utiliser l’identit´e de polarisation pour d´efinir le produit scalaire.
Il est bien connu que les isom´etries du plan ou de l’espace conservent les angles (ou, de
fac¸on e´ quivalente, le produit scalaire). Cette propri´et´e se g´en´eralise ais´ement a` tout espace
pr´ehilbertien r´eel :
P 5.1.3 Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel et f une isom´etrie sur E. Alors on a
∀(x,y) ∈ E × E, f (x), f (y) = x, y .
56
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
P . D’apr`es l’identit´e de polarisation, on a pour tout (x,y) ∈ E × E,
2 2
4 f (x), f (y) = f (x) + f (y) − f (x) − f (y) .
Comme f est lin´eaire, on a
f (x) + f (y) = f (x + y)
f (x) − f (y) = f (x − y),
et
d’autre part f est une isom´etrie, alors f conserve la norme,
f (x + y) = x + y et f (x − y) = x − y .
on obtient donc
2 2
4 f (x), f (y) = x + y − x − y
et l’identit´e de polarisation appliqu´ee aux vecteurs x et y permet de conclure.
5.1.2 Le cas d’un espace vectoriel complexe
Dans toute cette partie, E d´esigne un espace vectoriel complexe.
D´ 5.1.3 On dit qu’une application h : E × E −→ C est un produit scalaire si elle est
i- lin´eaire par rapport a` la premi`ere variable :
h(x1 + λx2 , y) = h(x1 , y) + λh(x2 , y) pour tout
x1 , x2 , y ∈ E, λ ∈ C,
ii- antilin´eaire par rapport a` la deuxi`eme variable :
h(x, y1 + λy2 ) = h(x, y1 ) + λh(x, y2 ),
iii-hermitienne :
∀(x,y) ∈ E × E,
iv- d´efinie positive :
pour tout
x, y1 , y2 ∈ E, λ ∈ C,
h(y, x) = h(x, y),
∀x ∈ E\ {0} ,
h(x, x) > 0.
E 5.1.2
1. L’application d´efinie sur Cn par
(x, y) −→
n
X
xi yi
i=1
est un produit scalaire, appel´e produit scalaire canonique de Cn .
•
Mourad Bellassoued
5.1 – Produit Scalaire
57
2. Sur l’ensemble `2 (C) des suites complexes de carr´es sommables, l’application
(x, y) −→
∞
X
xn yn
n=0
est un produit scalaire.
3. Soit K un copmact de IRn . Sur C (K; C), l’application
Z
( f, g) −→
f (x)g(x)dx
K
est un produit scalaire.
D´ 5.1.4 Un espace pr´
complexe est un espace vectoriel complexe muni
√ d’un
ehilbertien
produit scalaire est. On note par x, y le produit scalaire hermitien h(x, y) et on pose kxk = hx, xi.
D´ 5.1.5 On appelle espace hermitien tout espace pr´ehilbertien complexe de dimension finie.
P 5.1.4 Soit E un espace pr´ehilbertien complexe. Alors on a l’in´egalit´e suivante (dite de
in´egalit´e de Cauchy-Schwarz):
∀(x,y) ∈ E × E, x, y ≤ kxk kyk
Si de plus on a l’´egalit´e x, y = kxk kyk, les vecteurs x et y sont proportionnels (colin´eaires).
P . Le cas x, y = 0 e´ tant trivial, on suppose d´esormais que x, y , 0 (ce qui entraine
que y , 0). On pose f (λ) = kx + λyk2 pour λ ∈ C, alors
f (λ) = kxk2 |λ|2 kyk2 + 2Re λ x, y .
Pour ρ ∈ R, posons g(ρ) = f (ρeiθ0 ) ou` θ0 est un argument de x, y . On a donc
∀ρ ∈ IR, g(ρ) = ρ2 kyk2 + 2ρ x, y + kxk2 .
Comme g est une fonction positive, on peut conclure comme dans le cas r´eel a` l’in´egalit´e de
Cauchy-Schwarz.
•
C √
5.1.2 Soit un espace pr´ehilbertien complexe. L’application de E dans IR qui a` x ∈ E
associe kxk = hx, xi est une norme sur E. On dit que c’est la norme associ´ee au produit scalaire.
58
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
P . Il r´esulte imm´ediatement de la d´efinition d’un produit scalaire que la fonction
x −→ kxk est bien d´efinie sur E entier, et que le vecteur x est nul si et seulement si kxk = 0. Il
est aussi imm´ediat que kλxk = |λ| kxk. Reste a` prouver l’in´egalit´e triangulaire. On a
kx + yk2 = kxk2 + 2Re( x, y ) + kyk2 .
Utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on obtient Re x, y ≤ | x, y | ≤ kxk kyk. Ce qui
prouve le r´esultat.
•
P 5.1.5 Soit E un espace pr´ehilbertien complexe, alors on a les identit´es suivantes:
identit´e du parall´elogramme:
∀(x, y) ∈ E2 ,
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ,
et l’identit´e de polarisation:
∀(x, y) ∈ E2 ,
1
x, y =
kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 .
4
P . D’apr`es la d´efinition de la norme, on a
kx + yk2 = kxk2 + 2Re x, y + kyk2 ,
kx − yk2 = kxk2 − 2Re x, y + kyk2 ,
kx + iyk2 = kxk2 + 2Im x, y + kyk2 ,
kx − iyk2 = kxk2 − 2Im x, y + kyk2 .
Additionner les deux e´ galit´es donne l’identit´e du parall´elogramme. On constate aussi que
kx + yk2 − kx − yk2 = 4Re x, y
et kx + iyk2 − kx − iyk2 = 4Im x, y ,
ce qui permet d’obtenir l’identit´e de polarisation.
•
5.2 Orthogonalit´e
D´
5.2.1 On dit que deux vecteurs x et y d’un espace pr´ehilbertien E sont orthogonaux si

x, y = 0. On note x⊥y .
E 5.2.1 Dans E = IR2 , pour le produit scalaire usuel, on a (−1, 1)⊥(1, 1).
R 5.3 Notons que la relation d’orthogonalit´e ⊥ est sym´etrique : si x⊥y, alors y⊥x.
Mourad Bellassoued
5.2 – Orthogonalit´e
59
T´` 5.2.1 (de Pythagore) Soient E un espace pr´ehibertien, x, y ∈ E. Supposons que x⊥y .
Alors on a
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
P . On a kx + yk2 = kxk2 + 2Re x, y + kyk2 . Or x, y = 0 d’ou` le r´esultat.
•
D´ 5.2.2 Soit E un espace pr´ehibertien. On d´efinit l’orthogonal d’une partie A ⊂ E par
l’ensemble:
A⊥ = y ∈ E, y⊥x, ∀x ∈ A = y ∈ E, y, x = 0, ∀x ∈ A .
En particulier si A est r´eduit a` un seul e´l´ement x, on d´efinit
x⊥ = y ∈ E, y, x = 0, .
R 5.4 Si A ⊂ B alors B⊥ ⊂ A⊥ , donc en particulier (A)⊥ ⊂ A⊥ .
P 5.2.1 Soit E un espace pr´ehilbertien. Alors pour tout partie A ⊂ E non vide, l’ensemble
A⊥ est un sous-espace vectoriel ferm´e de E, et on a A ∩ A⊥ ⊂ {0}.
P . Montrons que A⊥ est ferm´e. Soit (xn )n∈IN une suite convergente d’´el´ements de A⊥
et x ∈ E, sa limite. On a pour tout y ∈ A et n ∈ IN,
x, y = xn , y + x − xn , y = x − xn , y ≤ kx − xn k kyk.
Le dernier terme tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Cela permet de conclure que x ∈ A⊥ .
Montrons maintenant que A⊥ est un sous-espace vectoriel de E. Il est imm´ediat que A⊥
contient 0. Il suffit donc de v´erifier que A⊥ est stable par combinaisons lin´eaires. C’est une
cons´equence imm´ediate de la lin´earit´e (ou de l’antilin´earit´e) du produit scalaire par rapport
a` chaque variable.
Enfin, si A ∩ A⊥ contient un e´ l´ement x alors hx, xi = 0, donc x = 0 .
•
P 5.2.2 Soit E un espace pr´ehilbertien. Alors pour tout sous-espace vectoriel F de E, on
a:
F ⊂ (F⊥ )⊥ .
P . On a F ⊂ (F⊥ )⊥ . D’autre part d’apr`es la proposition pr´ec´edente, un orthogonal est
toujours ferm´e, donc (F⊥ )⊥ doit contenir l’adh´erence de F.
•
R 5.5 En dimension infinie, l’inclusion F ⊂ (F⊥ )⊥ peut eˆ tre stricte. Il y a bien sur
ˆ
e´ galit´e si E est de dimension finie.
60
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
D´ 5.2.3 Soit E un espace de pr´ehilbertien. On dit qu’une famille (xi )i∈I d’´el´ements de E est
orthogonale si
D
E
∀i, j ∈ I, i , j ⇒
xi , x j = 0.
On dit que (xi )i∈I est orthonormale si elle est orthogonale et si de plus kxi k = 1 pour tout i ∈ I.
P 5.2.3 Soit E un espace pr´ehilbertien. Soit (x1 , . . . , xp ) une famille orthogonale constitu´ee
de vecteurs tous non nuls. Alors cette famille est libre.
P . Supposons que
p
X
αi xi = 0. En prenant le produit scalaire de cette e´ galit´e avec x j ,
i=1
tous les termes disparaissent, sauf celui correspondant a` i = j . On obtient donc α j kx j k2 = 0.
Mais comme x j , 0, on conclut que α j = 0. Donc finalement tous les αi sont nuls, ce qui
donne le r´esultat voulu.
•
P 5.2.4 Soit E un espace pr´ehilbertien. Soit (e1 , . . . , en ) une famille orthonormale de E et
x un e´l´ement de Vect(e1 , . . . , en ). Alors on a
n
X
x=
hx, ei i ei .
i=1
P . Par hypoth`ese, il existe un n-uplet (α1 , . . . , αn ) tel que x =
que
n
D
E X
D
E
x, e j =
αi ei , e j = α j .
Pn
i=1
αi ei . On en d´eduit
i=1
•
C 5.2.1 Soit E un espace pr´ehilbertien, B = (e1 , . . . , en ) une famille orthonormale de E et
(x, y) un couple d’´el´ements de Vect(e1 , . . . , en ). Alors on a
n
∀(x, y) ∈ E ,
2
X
x, y =
hx, ei i y, ei .
i=1
P . Soit x =
Pn
i=1
xi ei et y =
Pn
i=1
yi ei , alors
x, y =
n
X
xi yi .
i=1
D’apr`es la proposition pr´ec´edente, on a xi = hx, ei i et yi = y, ei , d’ou` le r´esultat.
•
Mourad Bellassoued
5.2 – Orthogonalit´e
61
T´` 5.2.2 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt) Soient E un espace pr´ehilbertien et (a1 , . . . , ap )
une famille libre de E. Alors il existe une unique famille orthonormale (e1 , . . . , ep ) telle que
i- Vect(e1 , . . . , e j ) = Vect(a1 , . . . , a j ), pour tout j ∈ 1, . . . , p ,
D
E
ii- a j , e j > 0, pour tout j ∈ 1, . . . , p .
P . La preuve consiste a` construire explicitement (e1 , . . . , ep ) a` l’aide d’une r´ecurrence
limit´ee. On pose e1 = kaa11 k . Ce vecteur est de norme 1, son produit scalaire avec le vecteur a1
vaut ka1 k donc est strictement positif, et bien sur
ˆ e1 et a1 engendrent la mˆeme droite vectorielle.
Supposons que l’on ait construit une famille orthonormale (e1 , . . . , ek ) v´erifiant i− et ii− pour
j ∈ {1, . . . , k}. Si k = p, la preuve est termin´ee. Sinon, on cherche ek+1 sous la forme


k
X


ek+1 = λ ak+1 +
αi ei  avec λ , 0.
i=1
Prenons le produit scalaire de cette e´ galit´e avec ei (pour i ∈ {1, . . . , k}). Pour que ek+1 soit
orthogonal a` e1 , . . . , ek , il est n´ecessaire et suffisant que hak+1 , ei i + αi = 0. Donc


k
X


ek+1 = λ ak+1 −
hak+1 , ei i ei  .
i=1
Comme ak+1 < Vect(e1 , . . . , ek ) (car (a1 , . . . , ak+1 ) est libre), le terme entre parenth`eses n’est pas
nul.
Pour rendre ek+1 de norme 1, il suffit donc de choisir
1
.
λ = k
X
ak+1 −
hak+1 , ei i ei i=1
En cons´equence,
ak+1 −
k
X
hak+1 , ei i ei
i=1
.
ek+1 = k
X
ak+1 −
hak+1 , ei i ei i=1
En prenant le produit scalaire de ek+1 avec cette e´ galit´e, on obtient de plus
hak+1 , ek+1 i
.
1 = k
X
ak+1 −
hak+1 , ei i ei i=1
62
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
ce qui montre que hak+1 , ek+1 i > 0. Ceci ach`eve la preuve de l’existence.
L’unicit´e se d´emontre en reprenant la construction pr´ec´edente et en v´erifiant qu’`a chaque
e´ tape il n’y a pas d’autre choix possible que celui que l’on a fait ci-dessus.
•
C 5.2.2 En dimension finie, toute famille orthonormale peut eˆtre completee en une base
orthonormale. En particulier, tout espace euclidien (ou hermitien) admet une base orthonormale.
P . Soit ( f1 , . . . , fp ) une famille orthonormale de E (avec e´ ventuellement p = 0). On
commence par compl´eter cette famille en une base ( f1 , . . . , fp , ep+1 , . . . , en ) de E. Le proc´ed´e
d’orthonormalisation de Gram-Schmidt permet alors de transformer cette base en une base
orthonormale de E. Clairement, les p premiers vecteurs de la base resteront inchang´es.
•
En effectuant une r´ecurrence compl`ete, on obtient une version infinie du proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt:
T´` 5.2.3 Soient E un espace pr´ehilbertien et (an )n∈IN une famille libre de E. Alors il existe
une unique famille orthonormale (en )n∈IN telle que
i- Vect(e1 , . . . , e j ) = Vect(a1 , . . . , a j ), pour tout j ∈ IN,
D
E
ii- a j , e j > 0, pour tout j ∈ IN.
5.3 Espaces de Hilbert
D´ 5.3.1 On appelle espace de Hilbert tout espace pr´ehilbertien complet pour la norme
associ´ee au produit scalaire.
E 5.3.1
1. Tout espace euclidien ou hermitien est complet car de dimension finie. C’est donc un
espace de Hilbert. En particulier, IRn et Cn munis du produit scalaire canonique sont des
espaces de Hilbert.
2. L’ensemble des suites r´eelles ou complexes de carr´es sommables muni du produit scalaire
n
X
x, y =
xi yi
i=1
est un espace de Hilbert.
Mourad Bellassoued
5.4 – Projecteurs orthogonaux
63
Un espace de Hilbert est en particulier un espace de Banach. De ce fait, toute s´erie absolument
convergente y est convergente. Mais on dispose d’une propri´et´e plus forte qui peut eˆ tre vue
comme une g´en´eralisation du th´eor`eme de Pythagore a` une suite de vecteurs orthogonaux:
X
P 5.3.1 Soit (xn )n∈IN une famille orthogonale d’un espace de Hilbert H. Alors
xn
n∈IN
X
converge dans H si et et seulement si
kxn k2 < +∞. Si cette derni`ere condition est v´erifi´ee, on a
n∈IN
alors l’´egalit´e de Parseval :
2
X
X xn =
kxn k2 .
n∈IN n∈IN
P . Notons Sn =
n
X
xk . Pour p > n, on a Sp − Sn =
k=0
famille (xk )k∈IN , on a donc
p
X
xk . Par orthogonalit´e de la
k=n+1
p
X
2
Sp − Sn =
kxk k2 .
k=n+1
Si l’on suppose que
X
kxk k2 < ∞ alors le terme de droite tend vers 0 (unifom´ement en p > n)
k∈IN
quand n tend vers +∞. Donc (Sn )n∈IN est une suite de Cauchy de H, donc converge vers une
limite S car H est complet. En reprenant le calcul ci-dessus, on obtient
kSn k2 =
n
X
kxk k2 .
k=0
En faisant tendre n vers +∞, on conclut que kSk2 =
X
kxk k2 . Cela ach`eve la preuve de la
k∈IN
X
r´eciproque de la proposition. Pour la partie directe, on utilise le fait que si
xn converge
n∈IN
alors on peut passer a` la limite dans la derni`ere identit´e.
•
5.4 Projecteurs orthogonaux
Dans cette section H d´esigne un espace de Hilbert r´eel ou complexe.
T´` 5.4.1 Soit H un espace de Hilbert et K un convexe ferm´e non vide de H. Alors pour tout
x ∈ H, il existe un unique point pK (x) ∈ K tel que
x − pK (x) = d(x, K) = inf x − y .
y∈K
64
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
Le point pK (x) est appel´e projection de x sur K. C’est l’unique point de K v´erifiant
∀y ∈ K, Re x − pK (x), y − pK (x) ≤ 0,
(?).
P .
i- Existence: Soit d = dist(x, K) = inf y∈K kx − yk. Si d = 0, alors x ∈ K (car K est ferm´e), et px = x
est l’unique point de K tel que kx − px k = d. On supposera donc d > 0. Pour tout n > 1, il
existe yn ∈ K tel que :
1
kx − yn k2 ≤ d2 + .
n
Appliquons alors, pour n,p > 1, l’identit´e du parall´elogramme a` u = x − yn et v = x − yp ;
on obtient :
2
2 2 yn + yp 2 4 x −
+ yn − yp = 2 x − yn + x − yp .
2 Mais, K e´ tant convexe, on a
yn +yp
2
∈ K; donc :
yn + yp ≤ d;
x −
2 de sorte que l’on obtient :
!
!
1
1
1 1
2
2
kyn − yp k ≤ 2 d + + d +
− 4d = 2
+ .
n
p
n p
2
2
La suite (yn )n est par cons´equent une suite de Cauchy. Comme H est complet, elle converge
donc vers un e´ l´ement y ∈ H. Mais comme K est ferm´e, on a en fait, puisque les yn sont
dans K, y ∈ K.
De plus, le fait que kx − yn k2 ≤ d2 + 1/n entraˆıne, en passant a` la limite, que kx − yk ≤ d. On
a donc kx − yk = d, puisque y ∈ K.
ii- Unicit´e: Si kx − y1 k = kx − y2 k = d, avec y1 , y2 ∈ K, alors, comme ci-dessus, l’identit´e du
parall´elogramme donne :
y1 + y2 2
+ ky1 − y2 k2 = 2 d2 + d2
4d + ky1 − y2 k ≤ 4 x −
2
2
2
d’ou` ky1 − y2 k2 ≤ 0, ce qui n’est possible que si y1 = y2 .
iii-Preuve de (?):
a- Si z ∈ K, on a (1 − t)y + tz ∈ K pour 0 ≤ t ≤ 1, par la convexit´e de K, donc :
kx − (1 − t)y − tzk2 ≥ kx − yk2 ,
Mourad Bellassoued
soit en d´eveloppant :
5.4 – Projecteurs orthogonaux
65
t2 ky − zk2 + 2tRe x − y, y − z ≥ 0.
Pour t , 0, divisons par t, puis faisons ensuite tendre t vers 0; il vient Re x − y, y − z ≥
0, soit :
Re x − y, z − y ≤ 0.
b- R´eciproquement, si y v´erifie (?), on a, pour tout z ∈ K :
kx − zk2 = k(x − y + (y − z)k2 = kx − yk2 + ky − zk2 + 2Re x − y, y − z ≤ kx − yk2 .
Donc y = pK (x), par unicit´e.
Ce qui prouve le th´eor`eme.
•
P 5.4.1 Soit H un espace de Hilbert et K un ferm´e convexe non vide de H. L’application
pK : H −→ K est continue, plus pr´ecis´ement, on a, pour tous x1 , x2 ∈ H:
kpK (x1 ) − pK (x2 ) ≤ kx1 − x2 k.
P . Posons y1 = pK (x1 ) et y2 = pK (x2 ); la condition (?) donne :
Re x1 − y1 , z − y1 ≤ 0, ∀ z ∈ K,
Re x2 − y2 ,,z0 − y2 ≤ 0, ∀z0 ∈ K.
En prenant z = y2 et z0 = y1, et en additionnant, il vient :
Re (x1 − y1 ) − (x2 − y2 ), y2 − y1 ≤ 0.
On obtient donc :
ky1 − y2 k2 = Re (y2 − x2 ) + (x2 − x1 ) + (x1 − y1 ), y2 − y1
= Re (x1 − y1 ) − (x2 − y2), y2 − y1 + Re x2 − x1 , y2 − y1
≤ Re x2 − x1 , y2 − y1 ≤ x2 − x1 , y2 − y1 ≤ kx2 − x1 k ky2 − y1 k.
par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Il en r´esulte, en divisant par ky2 − y1 k (que l’on peut
supposer non nul, car sinon le r´esultat est e´ vident), que l’on a bien ky1 − y2 k ≤ kx2 − x1 k.
Ce qui ach`eve la preuve.
•
Dans le cas ou` le convexe K est un sous-espace vectoriel, on a de meilleures propri´et´es.
T´` 5.4.2 Si F est un sous-espace vectoriel ferm´e de l’espace de Hilbert H, alors l’application
pF : H −→ F est une application lin´eaire continue, et pF (x) est l’unique point y ∈ F tel que :
y∈F
et
(x − y) ∈ F⊥ .
66
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
P . D’abord, si y ∈ F et (x − y) ∈ F⊥ , on a :
d(x, F)2 = inf kx − zk2 = inf kx − yk2 + ky − zk2 = kx − yk2 ,
z∈F
z∈F
donc kx − yk = d(x, F) et y = pF (x).
La r´eciproque r´esulte de la condition (?) :
Re x − y, z − y ≤ 0,
∀z ∈ F,
en effet, comme F est un sous-espace vectoriel, on a :
z = y + λw ∈ F,
∀w ∈ F
et
∀λ ∈ IK.
Lorsque H est r´eel, on a donc :
λ x − y, w = λ(x − y), w , ∀w ∈ F, ∀λ ∈ IR,
ce qui n’est possible que si x − y, w = 0 pour tout w ∈ F.
Lorsque l’espace H est complexe, on a:
λRe x − y, w = Re λ(x − y), w ≤ 0, ∀w ∈ F, ∀λ ∈ IR,
et
λIm x − y, w = Re −iλ(x − y), w ≤ 0, ∀w ∈ F, ∀λ ∈ IR,
ce qui, de nouveau, n’est possible que si x − y, w = 0 pour tout w ∈ F. La lin´earit´e de pF
est alors facile a` voir, grˆace a` l’unicit´e ; en effet, si y1 = pF (x1 ), y2 = pF (x2 ), alors (x1 − y1 ),
(x2 − y2 ) ∈ F⊥ ; donc, pour α1 , α2 ∈ IK, (α1 x1 + α2 x2 ) − (α1 y1 + α2 y2 ) ∈ F⊥ ; donc pF (α1 x1 + α2 x2 ) =
α1 y1 + α2 y2 .
•
T´` 5.4.3 Si H est un espace de Hilbert, alors, pour tout sous-espace vectoriel ferm´e F, on a :
H = F ⊕ F⊥ ,
et la projection sur F parall`element a` F⊥ associ´ee est pF . Elle est donc continue, de sorte que la somme
directe est une somme directe topologique. On dit que pF est la projection orthogonale sur F.
P . On a x = pF (x) + x − pF (x) , avec x − pF (x) ∈ F⊥ , par le Th´eor`eme ??. D’autre part, si
x ∈ F ∩ F⊥ , on a, en particulier, hx, xi = 0, donc x = 0.
•
C 5.4.1 On a (F⊥ )⊥ = F pour tout sous-espace vectoriel F de l’espace de Hilbert H.
Mourad Bellassoued
5.5 – Th´eor`emes de Riesz-Fr´echet et Lax-Milgram
67
P . F⊥ est un sous-espace vectoriel ferm´e, par la Proposition ??, on peut lui appliquer
le Th´eor`eme ?? : H = F⊥ ⊕ (F⊥ )⊥ , que l’on peut aussi e´ crire : H = (F⊥ )⊥ ⊕ F⊥ .
D’autre part, on peut aussi appliquer ce th´eor`eme au sous-espace vectoriel ferm´e F : H =
F ⊕ F⊥ . Il en r´esulte, puisque F ⊂ F, que (F⊥ )⊥ = F.
•
On en d´eduit, puisque H⊥ = {0} et {0}⊥ = H, le crit`ere tr`es pratique suivant de densit´e.
C 5.4.2 Soit H un espace de Hilbert, et F un sous-espace vectoriel de H. Alors F est dense
dans H si et seulement si F⊥ = {0}.
5.5 Th´eor`emes de Riesz-Fr´echet et Lax-Milgram
Dans le th´eor`eme ci-dessous, nous allons e´ tablir qu’il existe une isom´etrie bijective entre un
espace de Hilbert et son dual topologique. Cette propri´et´e est bien connue en dimension finie.
Elle demeure vraie pour les espaces de Hilbert. C’est une cons´equence facile du th´eor`eme
suivant :
T´` 5.5.1 (de repr´esentation de Riesz-Fr´echet). Soit H un espace de Hilbert. Alors pour tout
f ∈ H0 , il existe un unique x ∈ H tel que
∀y ∈ H, f (y) = y, x , (??).
De plus, kxk = k f kH0 .
P . Tout d’abord, si f (y) = y, x = y, x0 pour tout y ∈ H, alors on a
∀y ∈ H,
y, x − x0 = 0,
et donc x = x0 . Cela donne l’unicit´e.
L’existence dans le cas f = 0 est e´ vidente (prendre x = 0). Supposons maintenant que
f ∈ H0 \ {0}. Alors ker f est un hyperplan ferm´e de H et admet donc un suppl´ementaire
orthogonal (ker f )⊥ qui n’est pas r´eduit a` {0}. Fixons un vecteur x0 non nul de (ker f )⊥ . On a
donc f (x0 ) , 0 et on constate que
∀y ∈ H,
y−
∀y ∈ H,
f (y)
x0 ∈ ker f.
f (x0 )
En cons´equence, on a
f (y)
y, x0 =
kx0 k2 .
f (x0 )
−2
Il ne reste plus qu’`a poser
x = x0 f (x0 )kx0 k pour e´ tablir (??).
Enfin, puisque f (y) = y, x pour tout y ∈ H, l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz assure que
k f (y)k ≤ kxk kyk, et donc k f kH0 ≤ kxk. Mais comme f (x) = kxk2 , on a en fait k f kH0 = kxk.
•
68
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
T´` 5.5.2 (de Lax-Milgram). Soit H un espace de Hilbert r´eel et a une forme bilin´eaire
continue sur H. On suppose que a est coercive, c’est-`a-dire qu’il existe C0 > 0 tel que
∀x ∈ H,
a(x, x) ≥ C0 kxk2 .
Alors pour tout f ∈ H0 il existe un unique x ∈ H v´erifiant
∀y ∈ H,
a(x, y) = f (y).
P . Comme a est par hypoth`ese continue, pour tout x ∈ H, l’application y −→ a(x, y)
est une forme lin´eaire continue sur H. En cons´equence, le th´eor`eme de Riesz-Fr´echet assure
l’existence d’un unique e´ l´ement Ax de H tel que
∀y ∈ H, a(x, y) = Ax , y .
Par continuit´e de a, il existe donc un r´eel positif C tel que
∀x ∈ H,
kAx k2 = hAx , Ax i = a(Ax , x) ≤ CkAx k kxk.
Cela assure que l’application A : x −→ Ax est lin´eaire continue de H dans H.
Par ailleurs, toujours d’apr`es le th´eor`eme de Riesz-Fr´echet, il existe un (unique) x0 ∈ H tel
que
∀y ∈ H, f (y) = x0 , y .
Nous sommes donc ramen´es a` la r´esolution de l’´equation A(x) = x0 .
Pour ρ > 0 consid´erons l’application Sρ : H −→ H d´efinie par
Sρ (x) = x + ρ (x0 − A(x)) .
Clairement a` ρ fix´e r´esoudre A(x) = x0 revient a` trouver un point fixe pour Sρ . On a pour tout
(x, x0 ) ∈ H2 ,
kS(x) − S(x0 )k2 = kx − x0 k2 + 2ρ hx − x0 , A(x0 − x)i + ρ2 kA(x0 − x)k2 .
Donc, en notant c la norme de l’application lin´eaire A et en utilisant la coercivit´e de a,
∀(x, x0 ) ∈ H2 ,
kS(x) − S(x0 )k2 ≤ (1 − 2ρC0 + ρ2 C2 2)kx − x0 k2 .
On choisit ρ > 0 de telle sorte que 1 − 2ρC0 + ρ2 C2 < 1. Le calcul ci-dessus montre alors
que S est contractante. Comme H est un espace m´etrique complet (car c’est un Hilbert), le
th´eor`eme du point fixe permet de conclure qu’il existe un unique x ∈ H tel que Sρ (x) = x. •
Mourad Bellassoued
5.6 – Bases hilbertiennes et espaces de Hilbert s´eparables
69
5.6 Bases hilbertiennes et espaces de Hilbert s´eparables
D´ 5.6.1 On dit qu’un sous-ensemble A d’un espace de Hilbert H est total si le sous-espace
vectoriel Vect A engendr´e par A est dense dans H.
P 5.6.1 Soit A un sous-ensemble de H. Alors A est total si et seulement si A⊥ = {0}.
P . Supposons d’abord que A soit total. Soit x ∈ A⊥ . Alors par lin´earit´e du produit
scalaire par rapport a` la premi`ere variable, on d´eduit que x est aussi orthogonal a` toute
combinaison lin´eaire d’´el´ements de A, donc a` Vect A qui, par hypoth`ese est dense dans H.
Soit (xn )n∈IN une suite d’´el´ements de Vect A qui converge vers x. On a bien sur
ˆ hx, xn i = 0 pour
2
tout n ∈ IN. En passant a` la limite, on en conclut que kxk = 0. Donc x = 0.
R´eciproquement, supposons que A⊥ = {0}. Alors on a (A⊥ )⊥ = H. Mais il est clair que
A⊥ = (Vect A)⊥ . En cons´equence, on a
Vect A = (Vect A)⊥
Donc A est total.
⊥
= (A⊥ )⊥ = H.
•
R 5.6 Comme cas particulier tr`es important, on obtient le fait qu’un s.e.v F est dense
si et seulement si F⊥ = {0}.
P 5.6.2 Un espace de Hilbert est s´eparable si et seulement si il admet un sous-ensemble
total d´enombrable.
P . La partie directe est triviale.
R´eciproquement, soit A un sous-ensemble total d´enombrable de l’espace de Hilbert H
consid´er´e. Alors on v´erifie ais´ement que l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’´el´ements
de A a` coefficients rationnels (cas r´eel) ou a` parties r´eelles et imaginaires rationnelles (cas
complexe) est dense dans H. Cet ensemble est d´enombrable, donc H est bien s´eparable. •
D´ 5.6.2 Soit H un Hilbert et (en )n∈IN une suite d’´el´ements de H. On dit que (en )n∈IN est
une base hilbertienne de H si:
i- (en )n∈IN est une famille orthonormale de H,
ii- l’ensemble {en , n ∈ IN} est total.
P 5.6.3 Un espace de Hilbert de dimension infinie est s´eparable si et seulement si il admet
une base hilbertienne.
70
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
P . Si l’espace de Hilbert H admet une base hilbertienne (ek )k∈IN , alors l’ensemble
constitu´e par ces vecteurs est total et d´enombrable. Donc H est s´eparable.
R´eciproquement, supposons H s´eparable. Soit (an )n∈IN une suite d´enombrable dense de H.
Quitte a` supprimer des e´ l´ements de cette suite, on peut se ramener au cas ou` cette famille est
lin´eairement ind´ependante (il suffit de raisonner par r´ecurrence en supprimant de la suite
(an )n∈IN tout vecteur qui est combinaison lin´eaire des pr´ec´edents). La famille ainsi obtenue
est libre, et d´enombrable non finie (sinon H serait de dimension finie).
Notons (bk )k∈IN cette famille. Le proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt permet alors de
construire a` partir de (bk )k∈IN une suite orthonormale (ek )k∈IN telle que pour tout n ∈ IN, on ait
Vect (e0 , . . . , en ) = Vect (b0 , . . . , bn ).
V´erifions que l’ensemble {ek , k ∈ IN} est total. Soit x ∈ H et ε > 0. Comme {bk , k ∈ IN} est total,
il existe n ∈ IN et y ∈ Vect (b0 , . . . , bn ) = Vect (e0 , . . . , en ) tel que kx − yk ≤ ε. Cela ach`eve la
d´emonstration.
•
P 5.6.4 Soit H un espace de Hilbert s´eparable et (en )n∈IN une base hilbertienne de H.
Alors pour tout x ∈ H, on a
X
X
2
x=
hx, en i en , et kxk =
|hx, en i|2 , (´egalit´e de Parseval).
n∈IN
n∈IN
R´eciproquement, si (αn )n∈IN est une suite de ` alors
2
X
en converge dans H et l’on a
n∈IN
∀ m ∈ IN,
*X
+
αn en , em = αm .
n∈IN
P . Soit x ∈ H. Posons xn =
Pn
k=1
hx, ek i ek . On a, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore,
hx, xn i =
n
X
|hx, ek i|2 = kxn k2 .
k=0
A l’aide de l’in´egalit´eP
de Cauchy-Schwarz, on en d´eduit que kxn kH ≤ kxkH pour tout n ∈ IN. En
2
cons´
Pequence, la s´erie |hx, ek i| est convergente. La proposition ?? assure donc la convergence
de hx, ek i ek . De plus, en notant y la somme de cette s´erie, on a
X
kyk2 =
|hx, en i|2 .
n∈IN
Il est aussi clair que y − x, ek = 0 pour tout k ∈ IN. Comme (en )n∈IN est totale, on en conclut
que y − x = 0.
Mourad Bellassoued
5.7 – La convergence faible dans les espaces de Hilbert
Reste a` d´emontrer la r´eciproque. La convergence de la s´erie
X
71
αn en est un cas particulier de
n∈IN
la proposition ??. Maintenant, si la s´erie converge, on a, par continuit´e du produit scalaire,
et grˆace a` hek , em i = δk,m ,
*X
+
αk ek , em = lim
n→∞
k∈IN
*X
n
+
αk ek , em = αm .
k=0
•
5.7 La convergence faible dans les espaces de Hilbert
D´ 5.7.1 Soient (xn )n∈IN une suite d’´el´ements d’un espace de Hilbert H et x un e´l´ement de
H. On dit que la suite (xn )n∈IN converge faiblement vers x si
∀h ∈ H,
lim hh, xn i = hh, xi .
n→∞
On utilise alors la notation xn * x.
T´` 5.7.1 Soit (xn )n∈IN et (yn )n∈IN deux suites d’´el´ements d’un espace de Hilbert H et x, y
deux e´l´ements de H. On a alors :
i- xn * x ⇒ (xn )n∈IN est born´ee et kxk ≤ lim inf kxn k.
ii- xn → x ⇒ xn * x.
iii-xn * x et lim kxn k = kxk ⇒ lim kxn − xk = 0.
n→∞
n→∞
iv- xn → x et yn * y
⇒ lim xn , yn = x, y .
n→∞
P . La preuve du premier point du th´eor`eme d´ecoule du th´eor`eme de Banach- Steinhaus. En effet, pour n ∈ IN, notons Tn l’application d´efinie sur H par Tn (h) = hh, xn i. Il
s’agit clairement d’une forme lin´eaire continue sur H. Par ailleurs, pour h fix´e, la suite
de terme g´en´eral (Tn )(h) est convergente donc born´ee. En cons´equence, le th´eor`eme de
Banach-Steinhaus assure que la suite (Tn )n∈IN est born´ee et que l’application lin´eaire limite
T : h −→ hh, xi est continue et v´erifie
kTk kH0 ≤ lim inf kTn kH0 .
Mais il est clair que kTkH0 = kxkH et que kTn k = kxn kH , ce qui ach`eve la d´emonstration de la
premi`ere propri´et´e.
Le deuxi`eme point r´esulte simplement du fait que
72
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 5 – Espaces de Hilbert
|hh, xn i − hh, xi| ≤ khk kxn − xk.
Pour le troisi`eme point, il suffit d’´ecrire que
kxn − xk2 = kxn k2 − 2Re hx, xn i + kxk2 ;
Comme (xn )n∈IN tend faiblement vers x, on a
−2 lim Re hx, xn i = −2kxk2 .
n→∞
Cela assure (iii−).
La d´emonstration de la derni`ere propri´et´e est tr`es simple. Il suffit d’´ecrire que
xn , yn − x, y ≤ xn − x, yn + x, yn − y ≤ kxn − xk kyn k + x, yn − y .
Le th´eor`eme pr´ec´edent affirme que la (yn )n∈IN est born´ee. Donc, on a
xn , yn − x, y ≤ Ckxn − xk + x, yn − y ,
•
d’ou` la proposition.
P 5.7.1 En dimension finie, la convergence faible est e´quivalente a` la convergence forte.
P . D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, la convergence forte entraˆıne toujours la convergence faible. R´eciproquement, supposons que l’espace hilbertien H soit de dimension finie
et donnons nous une base orthonormale (e1 , . . . , ep ) de H, et une suite faiblement convergente
(xn )n∈IN . Soit x sa limite faible. On a
kxn − xk =
2
p
X
|hei , xn − xi|2 .
i=1
Par convergence faible, on a limn→∞ hei , xn − xi = 0 pour tout i ∈ 1, . . . , p . Donc limn→∞ kxn −
xk = 0.
•
P 5.7.2 Soit C un ensemble convexe de l’espace de Hilbert H. Alors les deux e´nonc´es
suivants sont e´quivalents :
i- l’ensemble C est ferm´e,
ii- pour toute suite (xn )n∈IN faiblement convergente d’´el´ements de C, la limite faible x est dans C.
Mourad Bellassoued
5.7 – La convergence faible dans les espaces de Hilbert
73
P . Sachant que toute suite fortement convergente est faiblement convergente, l’implication r´eciproque est e´ vidente.
Supposons donc C ferm´e et consid´erons une suite (xn )n∈IN de C convergeant faiblement vers
x ∈ H. Il s’agit de d´emontrer que x est dans C. Comme C est convexe ferm´e, le point x admet
une projection pC (x) sur C. Cette projection est l’unique point de C tel que
∀y ∈ C,
x − pC (x), y − pC (x) ≤ 0.
En appliquant cette relation a` y = xn puis en faisant tendre n vers l’infini (c’est ici qu’intervient
l’hypoth`ese de convergence faible), on obtient
kx − pC (x)k2 ≤ 0.
En cons´equence x = pC (x) ∈ C.
•
T´` 5.7.2 (de compacit´e faible). De toute suite born´ee d’un espace de Hilbert, on peut extraire
une sous-suite faiblement convergente.
6
Topologie faible et topologie faible e´ toile
6.1 La Topologie faible
Soit E un espace topologique, et (Yi ,Ti )i∈I une famille d’espaces topologiques. On se donne
une famille d’applications ϕi : X −→ Yi . On cherche a` d´eterminer une topologie sur E qui
rende toutes les applications ϕi continues. Il est clair que si l’on munit E de la topologie
discr`ete (celle qui rend toutes les parties de E ouvertes) alors toutes les applications ϕi sont
continues. Mais cette topologie n’est pas tr`es int´eressante : elle rend continue n’importe
quelle application sur E. On cherche a` d´eterminer la topologie sur E la plus la moins fine
rendant toutes les applications ϕi continues. Cette topologie est d´ecrite dans la proposition
suivante.
P 6.1.1 L’ensemble T constitu´e par les r´eunions arbitraires d’intersections finies de
ϕ−1
(wi ) avec wi ouvert de Yi est une topologie sur E. C’est la topologie la moins fine rendant toutes
i
les applications ϕi continues.
P . Tout d’abord, remarquons qu’une condition n´ecessaire pour que toutes les applications ϕi soient continues est que pour tout i ∈ I et ouvert wi de Yi , l’ensemble ϕ−1
(wi )
i
soit un ouvert de E. Donc une topologie rendant toutes les applications ϕi continues doit
n´ecessairement contenir tous les ϕ−1
(wi ) avec wi ouvert de Yi puis les r´eunions quelconques
i
d’intersections finies de tels ensembles, donc T . Par ailleurs, il est clair que T contient E
et ∅, et est stable par intersection finie et r´eunion quelconque. Enfin, par construction, pour
tout i ∈ I et wi ouvert de Yi , l’ensemble ϕ−1
(wi ) est dans T . Donc chaque application ϕi est
i
continue.
•
R 6.1 Faire l’op´eration contraire (intersection finie de r´eunions quelconques) ne
donne pas forc´ement une topologie (exercice : pourquoi?)
Dans (E,T ), on dispose d’un crit`ere simple pour d´eterminer si une suite converge :
P 6.1.2 Une suite (xn )n∈IN d’´
el´ements de E converge vers x ∈ E au sens de la topologie
T si et seulement si chaque suite ϕi (xn ) n converge vers ϕi (x).
76
Mourad Bellassoued, F.S.B,
Chapitre 6 – Topologie faible et topologie faible e´ toile
P . Supposons que (xn )n∈IN une suite de E converge vers x ∈ E. Comme chaque ϕi est
continue, on a bien ϕi (xn ) converge vers ϕi (x).
R´eciproquement, supposons que ϕi (xn ) tend vers ϕi (x) pour tout i ∈ I, x ∈ E et suite (xn )n∈IN
de E convergente vers x. Soit Ω un voisinage de x. Il existe alors un nombre fini d’´el´ements
i1 , . . . ,ik de I et d’ouverts wi1 , . . . ,wik appartenant respectivement a` Yi1 , . . . ,Yik tels que
x∈
k
\
ϕ−1
i j (wi j ) ⊂ Ω.
j=1
Mais il existe des entiers N1 , . . . ,Nik tels que
∀j ∈ {1, . . . ,k} ,
n ≥ Nj
⇒
ϕi j (xn ) ∈ wi j .
Pour n ≥ max(N1 , . . . ,Nk ), on a donc xn ∈ Ω . D’ou` la convergence de la suite (xn )n∈IN vers x. •
P 6.1.3 Soit F un espace topologique et ψ : F −→ E. L’application ψ est continue si et
seulement si chaque application ϕi ◦ ψ : F −→ Yi est continue.
Dans la suite, E est un espace de Banach. On rappelle que E0 d´esigne le dual topologique
de E, c’est-`a-dire l’ensemble des formes lin´eaires continues sur E. On veut munir E de la
topologie la moins fine possible rendant continues toutes les applications de E0 .
D´ 6.1.1 On appelle topologie faible sur E (not´ee σ(E, E0 )) la topologie la moins fine rendant
continues toutes les formes lin´eaires de E0 .
En appliquant la construction de la partie pr´ec´edente a` la famille comprenant tous les
e´ l´ements de E0 , on voit que les ouverts pour la topologie faible sont les r´eunions quelconques
d’intersections finies d’ensembles du type L−1 (w) avec w ouvert de IR (ou de C si E est un e.v.
sur C).
´
Etant
donn´e que les intervalles ouverts (ou des disque ouverts si l’on travaille dans e.v.n
sur C) constituent une base de voisinages pour IR, on en d´eduit le r´esultat suivant.
7
Espaces r´eflexifs et espaces s´eparables
79
Partie II
Sujets d’examens
81
Facult´e des Sciences de Bizerte
D´epartement de Math´ematiques
A.U: 2006-2007
Ann´ee d’Etude: M-4
Examen du module Analyse Fonctionnelle
Session de Janvier, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 1 Soient E un espace vectoriel r´eel muni d’une norme k · k, F et G deux sous-espaces
vectoriels de E tels que F ∩ G = {0}. On consid`ere le sous espace H = F ⊕ G muni de la norme
induite de E. Pour z = x + y ∈ H, x ∈ F et y ∈ G, on pose
kzk0 = kxk + y .
1. Montrer que k · k0 est une norme sur l’espace H et que: ∀z ∈ H, kzk ≤ kzk0 .
2. On suppose dans cette question qu’il existe une constante M > 0 telle que
∀z ∈ H,
kzk0 ≤ M kzk .
Soient f ∈ F0 une forme lin´eaire continue sur F et g ∈ G0 une forme lin´eaire continue sur
G. On consid`ere l’application L d´efinie sur H par:
L : H = F ⊕ G −→ IR
z = x + y 7−→ L(z) = f (x) + g(y).
-a-Montrer que L est une formelin´
eaire continue sur l’espace H muni de la norme induite
de E et que: kLkH0 ≤ M. max f F0 , g G0 .
-b-En d´eduire qu’il existe e
L ∈ E0 telle que:
e
L|F = f, e
L|G = g, e
LE0 ≤ M. max f F0 , gG0 .
E 2 Soient E un espace vectoriel r´eel muni de la norme k · kE et f une application de
E dans IR. On munit E × IR de la norme k(x,t)k = kxkE + |t|. Soit D f l’´epigraphe de f c’est a` dire
D f = (x,t) ∈ E × IR; f (x) ≤ t .
1. Montrer que si f est continue alors D f est ferm´e dans E × IR.
82
2. Montrer que f est convexe si et seulement si D f est convexe.
3. Soit L une forme lin´eaire continue sur E × IR. Montrer qu’il existe k ∈ IR et u ∈ E0 tels que
L(x,t) = u(x) + k.t.
∀(x,t) ∈ E × IR,
4. On suppose que f est convexe et continue. Soient x0 ∈ E et ε > 0. En appliquant
la forme
g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn-Banach a` A := D f et B := (x0 , f (x0 ) − ε) , montrer qu’il
existe v ∈ E0 , λ ∈ IR tels que:
f (x0 ) − ε ≤ v(x0 ) + λ
E 3 Soit E = C([0,1]; IR) muni
tout f ∈ E on note
et ∀x ∈ E, v(x) + λ ≤ f (x).
de la norme de la convergence uniforme k · k∞ . Pour
Z
f 1 =
1
f (t) dt.
0
1. Montrer que pour tout f ∈ E on a: f 1 ≤ f ∞ .
2. Montrer que les normes k · k1 et la norme k · k∞ ne sont pas e´ quivalentes. (On pourra
raisonner par l’absurde et consid´erer la suite gn (t) = tn ).
n
o
3. Soit B0∞ := B0∞ (0,1) = f ∈ E; f ∞ ≤ 1 la boule unit´e ferm´ee de E pour la norme k · k∞ .
0
a- Soit (fn )n une suite
d’´el´
ements de B∞ qui converge vers f pour la norme k · k1 . Montrer
que: f 1 ≤ 1 + fn − f 1 .
b- En d´eduire que B0∞ est un ferm´e de E pour la norme k · k1 .
4. Le but de cette question est de montrer que B0∞ est d’int´erieur vide pour la norme k · k1 .
◦
Supposons donc qu’il existe un point a ∈B0 ∞ .
a- Montrer qu’il existe r > 0 tel que:
B1 (a,r) ⊂ B0∞ ,
et
B1 (−a,r) ⊂ B0∞ .
(B1 d´esigne la boule ouverte de E pour la norme k · k1 ).
b- Montrer que pour tout t ∈ [0,1], on a: B1 (ta − (1 − t)a, r) ⊂ B0∞ .
◦
c- En d´eduire que 0 est dans B0 ∞ .
d- Montrer que cela implique que les normes k · k1 et k · k∞ sont e´ quivalentes. Conclure.
5. Montrer que E, muni de la norme k · k1 , n’est pas un espace de Baire.
6. E muni de la norme k · k∞ est-il un espace de Baire?
83
Facult´e des Sciences de Bizerte
D´epartement de Math´ematiques
A.U: 2006-2007
Ann´ee d’Etude: M-4
Examen du module Analyse Fonctionnelle
Session de Rattrapage, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 1 Soit E un espace vectoriel norm´e.
1. Soit a ∈ E et r > 0. Montrer que B(a,r) = a + rB(0,1).
2. En d´eduire que pour tout couple (a,a0 ) de points de E et tout couple (r,r0 ) de r´eels strictement positifs, on a B(a,r) + B(a0 ,r0 ) = B(a + a0 ,r + r0 ).
3. Applications:
a- Soit F un sous espace vectoriel de E distinct de E. Montrer que F est d’int´erieur vide(on
pourra raisonner par l’absurde et montrer qu’il existe r > 0 tel que B(0,2r) ⊂ F).
b- Soit C un convexe de E. Montrer que l’int´erieur de C est convexe.
E 2 Soit k : [0,1] × [0,1] −→ [0,1] une fonction continue. On note E l’ensemble des
fonctions continues de [0,1] dans IR, muni de la norme de la convergence uniforme, et C le
sous-ensemble des fonctions de E qui sont a` valeurs dans [0,1].
1. Soit f0 la fonction constante e´ gale a` 1/2. V´erifier que C = B( f0 , 12 ). En d´eduire que C est
ferm´e. C est-il compact?
2. Soit f ∈ C. Montrer que la fonction g d´efinie sur [0,1] par
1
Z
g(s) =
k(s, f (t))dt
0
est continue sur [0,1] et a` valeurs dans [0,1].
On note ϕ : C −→ C qui a` f associe la fonction g = ϕ( f ) d´efinie ci-dessus.
3. Montrer que l’application ϕ est uniform´ement continue sur C.
4. Montrer que ϕ(C) est une partie uniform´ement e´ quicontinue de E.
5. En d´eduire que ϕ(C) est d’adh´erence compacte dans C.
84
E 3 Dans cet exercice E d´esigne un IR-espace de Banach. On dit que A ⊂ E est un
cone
ˆ si pour tout a ∈ A et tout λ > 0, on a λa ∈ A . On suppose que A est un cone
ˆ convexe
ferm´e non vide contenu dans E, qui v´erifie la condition
∀a1 , a2 ∈ A ,
ka1 k ≤ ka1 + a2 k .
(?)
1. a- V´erifier que 0E ∈ A et que A + A ⊂ A .
b- Montrer que la fonction q d´efinie sur E par
q(x) = d(x,A ) = inf x − y
y∈A
est une fonction sous-lin´eaire sur E (i.e., pour tout x,x0 ∈ E et t ≥ 0, q(tx) = tq(x) et
q(x + x0 ) ≤ q(x) + q(x0 )).
c- V´erifier que q(a) = 0 pour tout a ∈ A , et q(x) ≤ kxk pour tout x ∈ E.
d- Montrer en utilisant (?) que q(−a) = kak pour tout a ∈ A . En d´eduire que
∀a ∈ A ,
kak ≤ q(x − a) + kxk .
2. Soit ϕ ∈ E0 une forme lin´eaire continue telle que ϕ ≤ 1; on pose pour tout x ∈ E
p(x) = inf ϕ(a) + q(x − a); a ∈ A .
∀x ∈ E,
a- Montrer que pour tout x ∈ E et a ∈ A on a
ϕ(a) + q(x − a) ≥ q(x − a) − kak ≥ − kxk
En d´eduire que: − kxk ≤ p(x) ≤ kxk, pour tout x ∈ E.
b- Montrer que p est sous-lin´eaire.
c- V´erifier que pour tout a ∈ A on a: p(a) ≤ 0 et p(a) ≤ ϕ(a).
3. Montrer qu’il existe deux formes lin´eaires continues ϕ1 , ϕ2 sur E telles que
ϕ = ϕ1 − ϕ2
et pour tout a ∈ A on a: ϕ j (a) ≥ 0, j = 1,2.
85
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Corrig´e: Examen du module Analyse Fonctionnelle
Session de Rattrapage, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 1
1. Soit a ∈ E et r > 0. Soit x ∈ B(a,r). On remarque que x = a + ry avec y = r−1 (x − a). Comme
kx − ak < r, on a y ∈ B(0,1). Cela montre que B(a,r) ⊂ a + rB(0,1).
R´eciproquement,
si x ∈ a + rB(0,1) alors il existe y ∈ B(0,1) tel que x = a + ry. Donc
kx − ak = r y < r. Donc a + rB(0,1) ⊂ B(a,r).
2. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a
B(a,r) + B(a0 ,r0 ) = (a + rB(0,1)) + (a0 + rB(0,1)) = (a + a0 ) + (r + r0 )B(0,1) = B(a + a0 ,r + r0 ).
3. a- On raisonne par contraposition. Supposons donc que le sous espace vectoriel F ne
soit pas d’int´erieur vide. Alors il existe a ∈ F et r > 0 tels que B(a,r) ⊂ F. Comme F
est sym´etrique par rapport a` 0, on a aussi B(−a,r) ⊂ F, puis, comme F est stable par
addition, B(−a,r) + B(a,r) ⊂ F, donc d’apr`es la question pr´ec´edente B(0,2r) ⊂ F. Enfin,
comme F est stable par multiplocation par tout scalaire, on a donc B(0,2rλ) ⊂ F pour
tout λ > 0. Comme tout e´ l´ement x de E appartient a` une boule B(0,2rλ), on en conclut
que F = E.
◦
◦
b- On e´ carte le cas e´ vident ou` C= ∅. Soit donc x,y ∈C, donc il existe r1 > 0 et r2 > 0 tels
que B(x,r1 ) ⊂ C et B(y,r2 ) ⊂ C. Par convexit´e de C et grˆace a` la deuxi`eme question, on
peut affirmer que pour tout λ ∈]0,1[, on a
B(λx + (1 − λ)y,λr1 + (1 − λ)r2 ) = λB(x,r1 ) + (1 − λ)B(y,r2 ) ⊂ C.
◦
Donc λx + (1 − λ)y est un point int´erieur a` C. Cela montre que C est convexe.
86
E 2
1. On remarque que C = B( f0 ,1/2) ou` f0 d´esigne la fonction constante e´ gale a` 1/2. L’ensemble
C est une boule ferm´ee, donc est ferm´e. L’espace vectoriel E e´ tant de dimension infinie,
on peut de plus affirmer que C n’est pas compact.
2. Tout d’abord, si f ∈ C, on a (s, f (t)) ∈ [0,1]2 pour tout (s,t) ∈ [0,1]2 . Donc la fonction
F : (s,t) −→ k(s, f (t)) est bien d´efinie sur [0,1]2 . Comme f et k sont continue, le th´eor`eme de
composition assure la continuit´e de F. Comme l’intervalle [0,1] est compact, le th´eor`eme
de continuit´e sous signe int´egrale montre que g est continue sur [0,1]. Enfin, comme F est
a` valeurs dans [0,1], et l’intervalle d’int´egration, de longueur 1, alors g est a` valeurs dans
[0,1].
3. Soit ε > 0. L’application k e´ tant continue sur le compact [0,1]2 , elle est uniform´ement
continue. Il existe donc η > 0 tel que
|s − s0 | + |x − x0 | ≤ η ⇒ |k(s0 ,x0 ) − k(s,x)| ≤ ε (?)
f − f 0 ≤ η. D’apr`es (?) et sachant
Soit ( f, f 0 ) un couple de fonctions de C telles
que
∞ 0
0
que f et f sont a` valeurs dans [0,1], on a k(s, f (t)) − k(s, f (t)) ≤ ε pour tout (s,t) ∈ [0,1]2 .
Apr`es int´egration en t sur [0,1], on obtient
∀s ∈ [0,1] ϕ( f 0 )(s) − ϕ( f )(s) ≤ ε.
∀(s,s0 ),(x,x0 ) ∈ [0,1]2 ,
En cons´equence, ϕ est uniform´ement continue sur C.
4. Pour s,s0 ∈ [0,1] et f ∈ C, on a
Z 1 0
ϕ( f )(s ) − ϕ( f )(s) ≤
k(s0 , f (t)) − k(s, f (t)) dt.
0
Grˆace a` (?), on obtient donc ϕ( f )(s0 ) − ϕ( f )(s) ≤ ε pour tout f ∈ C d`es que s,s0 ∈ [0,1]
v´erifiant |s − s0 | ≤ η. Cela montre que ϕ(C) est une partie uniform´ement e´ quicontinue de
E.
5. L’ensemble [0,1] est un compact de IR, l’ensemble IR est complet, ϕ(C)
est une partie
uniform´ement e´ quicontinue de E et, pour tout s ∈ [0,1], l’ensemble ϕ( f )(s), f ∈ C est
relativement compact dans IR (car inclus dans le born´e [0,1]). Toute les hypoth`eses du
th´eor`eme d’Ascoli sont donc v´erifie´es. En cons´equence, ϕ(C) est d’adh´erence compacte
dans C.
E 3
1. a- Puisque A est non vide, on peut trouver a0 ∈ A , et alors A contient tous les vecteurs
1
a , pour n ≥ 1 tendant vers +∞; puisque A est ferm´e, A contient 0E = limn→+∞ n1 a0 .
n 0
87
Si a1 ,a2 ∈ A on aura a1 + a2 = 2( 12 a1 + 12 a2 ), en utilisant la convexit´e on a ( 21 a1 + 12 a2 ) ∈ A
et la propri´et´e de cone:
2( 12 a1 + 12 a2 ) ∈ A .
ˆ
b- Montrons que q(tx) = tq(x) pour tout t ≥ 0 et x ∈ E. Si t = 0, alors tx = 0E ∈ A , donc
q(0E ) = 0 = tq(x). Supposons que t > 0; pour tout ε > 0 on peut trouver a ∈ A tel que
kx − ak ≤ q(x) + ε; puisque ta ∈ A , il en r´esulte que q(tx) ≤ ktx − tak < t(q(x) + ε) d’ou`
q(tx) ≤ tq(x) puisque ε > est arbitraire. En faisant de mˆeme avec t0 = t−1 et x0 = tx on
d´eduit que q(t−1 tx) ≤ t−1 q(tx), donc q(tx) = tq(x).
Soient x1 ,x2 ∈ E et soit ε > 0 alors il existe a1 ,a2 ∈ A tels que
ε
kx1 − a1 k ≤ q(x1 ) + ,
2
kx2 − a2 k ≤ q(x2 ) +
ε
2
On a a1 + a2 ∈ A donc
q(x1 + x2 ) ≤ k(x1 + x2 ) − (a1 + a2 )k ≤ kx1 − a1 k + kx2 − a2 k ≤ q(x1 ) + q(x2 ) + ε.
On a v´erifi´e que q est sous-lin´eaire.
c- Si a ∈ A on a q(a) ≤ ka − ak = 0. Puisque 0E ∈ A , on a q(x) ≤ kx − 0E k = kxk.
d- Soit a ∈ A d’apr`es (?) on a kak ≤ −a − y pour tout y ∈ A , ce qui donne
kak ≤ inf −a − y = q(−a).
y∈A
et donc q(−a) = kak.
On e´ crit alors pour a ∈ A et x quelconque
kak = q(−a) = q(x − a + (−a)) ≤ q(x − a) + q(−x) ≤ q(x − a) + kxk .
2. a- On a, pour a ∈ A , ϕ(a) ≥ − kak, donc pour x ∈ E, on a
ϕ(a) + q(x − a) ≥ q(x − a) − kak ≥ − kxk
d’apr`es la question pr´ec´edente. Ceci montre en particulier que p(x) > +∞ pour tout
x ∈ E. En choisissant a = 0E on trouve p(x) ≤ q(x) ≤ kxk.
b- Evident
c- Comme 0E ∈ A on a pour tout a ∈ A
p(a) ≤ ϕ(0E ) + q(a) = q(a) ≤ 0
d’apr`es 1.c. De mˆeme on a
p(a) ≤ ϕ(a) + q(0E ) = ϕ(a).
88
3. Soit p la fonction sous-lin´eaire donn´ee par la question 2. D’apr`es le th´eor`eme de HahnBanach, il existe une forme lin´eaire ψ2 telle que ψ2 (x)
≤ p(x) pour tout x ∈ E. On a
ψ2 (x) ≤ p(x) ≤ kxk pour tout x, ce qui implique aussi ψ(x) ≤ kxk et montre que ψ2 est
continue. D’autre part, ψ2 (a) ≤ p(a) ≤ 0 pour tout a ∈ A montre que ψ2 ≤ 0 sur A , et
ψ2 (a) ≤ p(a) ≤ ϕ(a) pour tout a ∈ A montre que ϕ − ψ2 est positive sur A . Pour finir il
suffit de poser ϕ2 = −ψ2 et ϕ1 = ϕ − ψ2 .
89
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Session principale, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 1
1. Enoncer le th´eor`eme de Baire.
2. Soit Q l’ensemble des nombres rationnels et Qc son compl´ementaire dans IR. Montrer que
Qc ne contient aucun intervalle ouvert non vide.
3. On suppose que
[
c
(?)
Q =
Fn
ou` chaque Fn est un ferm´e.
n∈IN
a- Montrer que chaque Fn est d’int´erieur vide.
b- Montrer que (?) implique que IR est r´eunion d´enombrable de ferm´es d’int´erieurs vides.
c- Montrer que Qc n’est pas r´eunion d´enombrable de ferm´es (la supposition (?) est donc
fausse).
E 2 Soient E un IR-espace vectoriel norm´e et C un convexe de E contenant 0. On
d´efinit les ensembles
C0 = {` ∈ E0 ;
∀x ∈ C,
`(x) ≤ 1}
et
C” = {x ∈ E;
∀` ∈ C0
`(x) ≤ 1} .
1. Enoncer le th´eor`eme de Hahn-Banach sous sa forme g´eom´etrique.
2. Montrer que C” est ferm´e et que C ⊂ C”.
3. On se propose d’´etablir que C = C”. Supposons qu’il existe un e´ l´ement x0 ∈ C”\C.
a- Montrer qu’il existe `1 ∈ E0 et α > 0 tels que:
∀x ∈ C,
`1 (x) < α < `1 (x0 ).
90
b- En d´eduire que α−1 `1 ∈ C0 .
c- Conclure.
E 3 Dans cet
l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans IR
exercice, C d´esigne
muni de la norme f ∞ = sup f (t) . On note L2 l’ensemble des fonctions de [0,1] dans IR et
t∈[0,1]
de carr´ees int´egrables. On rappelle que
Z
f =
2
1
! 12
2
f (t) dt
0
est une norme sur L2 , et que (L2 , k · k2 ) est un espace de Banach. Pour tout f ∈ L2 et x ∈ [0,1],
Z 1
on d´efinit T( f )(x) =
cos(xy) f (y)dy.
0
1. Pour tout f ∈ L2 , montrer que T( f ) ∈ C et que T est une application lin´eaire continue de
L2 dans C .
2. Soit ( fn )n∈IN une suite born´ee de L2 , i-e., fn 2 ≤ M pour tout n ∈ IN.
a- Montrer que l’ensemble T( fn ),n ∈ IN est une partie de C uniform´ement e´ quicontinue
sur [0,1].
b- En d´eduire que l’ensemble T( fn ), n ∈ IN est une partie relativement compacte de C .
E 4 On consid`ere E = C 1 ([−2,2],IR) l’espace des fonctions continument d´erivables
sur [−2,2] et F = C ([−1,1],IR) l’espace des fonctions continues sur [−1,1]. On munit E et F de
la norme de la convergence uniforme:
f = sup f (t) ,
f = sup f (t) .
E
F
t∈[−2,2]
t∈[−1,1]
Pour tout h ∈]0,1[ et f ∈ E on note Th ( f ) la fonction d´efinie sur [−1,1] par
Th ( f )(x) =
f (x + h) − f (x)
.
h
1. Enoncer le th´eor`eme de Banach-Steinhaus.
2. Montrer que pour tout f ∈ E, on a : sup Th ( f )F < ∞.
h∈]0,1[
3. Calculer kTh kL (E,F) .
4. Conclure.
91
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Session de rattrapage, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 1
Soit H un espace de Hilbert r´eel, on note h·,·i son produit scalaire et k · k la norme associ´ee.
Soit C un convexe ferm´e de H et soit T : C −→ H une application telle que
(1)
kT(u) − T(v)k ≤ ku − vk ,
∀u,v ∈ C.
On suppose pour commencer (questions 1 et 2) que C = H.
1. Montrer que pour tout v,w ∈ H on a: h(v − T(v)) − (w − T(w)),v − wi ≥ 0.
2. Soit (un )n une suite de H telle que
un * u faiblement et un − T(un ) → f fortement.
a- Montrer que pour tout w ∈ H, on a: f + T(w) − w,u − w ≥ 0.
b- Montrer que pour tout v ∈ H, on a: f − u − T(u),v ≤ 0. (Ind. On pourra prendre
w = u + tv, t > 0).
c- En d´eduire que u − T(u) = f .
On revient au cas g´en´eral ou` C est un convexe ferm´e non vide quelconque de H.
3. Soit PC : H −→ C, x 7→ PC (x) = px l’op´erateur de projectionsur C. Nous rappelons que px
est caract´eris´e par la propri´et´e: (?) ∀y ∈ C, x − px ,y − px ≤ 0.
2 a- En utilisant (?), montrer que pour tout x,x0 ∈ H on a: px − px0 ≤ x − x0 ,px − px0 .
b- En d´eduire que l’application PC est 1-lipschitzienne.
4. Soit maintenant (un )n une suite de C qui satisfait (2).
a- Soit S = T ◦ PC . Montrer que l’application S satisfait (1).
b- En d´eduire que l’on a encore, u − T(u) = f .
(2)
92
5. Soit a ∈ C fix´e. On consid`ere la famille d’applications (Tn )n≥1 avec Tn v = (1 − n1 )Tv + n1 a.
a- Mountrer que pour tout n ≥ 1, l’application Tn est contractante.
b- Montrer que si C est born´e et T(C) ⊂ C alors T admet un point fixe.
E 2 Soit E = E([0,1],C) l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans C et L1 ,
l’ensemble des fonctions int´egrables de [0,1] dans C. Pour f ∈ E et g ∈ L1 , on pose
f = sup f (x)
∞
x∈[0,1]
et
Z
g =
1
1
g(x) dx.
0
On rappelle que E est dense dans L1 pour la norme k · k1 et que E muni de la la norme k · k∞
est un espace de Banach.
Z 1
Pour tout f ∈ E, on consid`ere l’application T f : E −→ C d´efinie par T f (g) =
f (x)g(x)dx.
0
1. Montrer que T f est une forme lin´eaire continue de (E, k · k∞ ) dans C.
2. On note E0 le dual topologique de (E, k · k∞ ). Montrer que l’application T : f 7→ T f est
lin´eaire continue de (E, k · k1 ) dans E0 .
3. En d´eduire que l’application T se prolonge de mani`ere unique en une application lin´eaire
continue de L1 dans E0 . On notera encore T ce prolongement.
4. Pour n ≥ 1, on note ϕn la fonction d´efinie sur [0,1] par


0
si 0 ≤ x ≤ 1/2n



2nx
−
1
si 1/2n ≤ x ≤ 1/n
ϕn (x) = 


1
si 1/n ≤ x ≤ 1
soit f ∈ E\ {0}. On note gn la fonction d´efinie sur [0,1] par
(
f (x)ϕn f (x) / f (x) , si f (x) , 0,
gn (x) =
0
si f (x) = 0.
a- Dessiner le graphe de ϕn .
b- Montrer que gn ∈ E.
gn = 1 puis que pour tout x ∈ IR, on a:
c- Montrer
que
pour
n
assez
grand,
on
a
∞
0 ≤ f (x) − gn (x) f (x) ≤ 1/n.
5. Montrer que T f E0 = f 1 pour tout f ∈ E.
6. En d´eduire que T est une isom´etrie de L1 dans E0 .
93
E 3 Soit H un espace de Hilbert muni d’un produit scalaire h·,·i et T une application
lin´eaire de H dans H.
1. Dans cette
que T est continu. Soit T∗ l’adjoint de T, i.e., T∗ : H −→ H
question,
on suppose
∗
v´erifiant T(x),y = x,T (y) .
En utilisant T∗ , montrer que pour toute suite (xn )n∈N d’´el´ements de H, on a
(1)
(xn * x) ⇒ (T(xn ) * T(x)).
On dit que T est faiblement continu.
2. Dans cette question, on suppose que T est faiblement continu au sens de (1).
a- Rappeler la d´efinition du graphe G(T) de T puis montrer que G(T) est ferm´e.
b- En d´eduire que T est continu.
94
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Examen du module Analyse Fonctionnelle
Session principale, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 1
1. Enoncer le th´eor`eme d’Ascoli.
2. Soit E = C ([0,1],IR) l’espace
de
n des fonctions continues
o la norme k · k∞ . On note A
muni
1
0
l’ensemble suivant: A = f ∈ C ([0,1],IR), f ∞ + f ∞ ≤ 1 .
a- Montrer que A est e´ quicontinu dans E.
b- Montrer que de toute suite d’´el´ements de A , on peut extraire une sous suite uniform´ement convergente sur [0,1].
E 2
Soit E un espace de Banach r´eel et (en )n∈IN une suite d’´el´ements de E. On suppose que (en )n∈IN
est famille g´en´eratrice de E, i.e., si x ∈ E alors il existe une sous famille finie (ei )i∈I , I ⊂ IN, de
(en )n telle que x soit combinaison lin´eaire finie des (ei )i∈I .
Pour tout n ∈ IN [
on note En = vect(e0 , . . . ,en ).
En = E.
1. Montrer que
n∈IN
2. Dans cette question on suppose que En , E.
a- Montrer qu’il existe m ∈ IN tel que em < En . (On pourra raisonner par l’absurde).
b- Montrer que pour tout x ∈ En et λ , 0, y = x + λem n’appartient pas a` En .
c- En d´eduire que En est d’int´erieur vide.
3. Enoncer le th´eor`eme de Baire. En d´eduire que E est de dimension finie.
95
E 3




X




2
Soit l’espace vectoriel `2 (IR) = 
α
=
(α
)
,
α
∈
IR,
α
<
+∞
. On munit E de la norme

n
n∈IN
n
n




n≥0
sX
α2n et on rappelle que (E, k·k) est un espace de Banach.
kαk =
n≥0
Soit a = (an )IN une suite de nombres r´eels.
X
1. Montrer que si a ∈ `2 (IR) alors pour toute suite b = (bn )n∈IN ∈ `2 (IR), on a la s´erie
an bn
n∈IN
X
converge et que l’on a:
|an bn | ≤ kak kbk.
n∈IN
2. On suppose dans cette question que pour toute suite b = (bn )n∈IN la s´erie
X
an bn converge.
n∈IN
Dans la suite, on veut montrer que a ∈ `2 (IR).
Pour k ∈ IN, on note Tk : `2 (IR) −→ IR l’application qui a` b = (bn )n∈IN associe
k
X
Tk (b) =
a jb j.
j=0
a- Montrer que pour tout k ∈ IN, l’application Tk est une forme lin´eaire continue sur `2 (IR)
et que pour tout b ∈ `2 (IR) la suite r´eelle (Tk (b))k est convergente.
b- Enoncer le th´eor`eme de Banach-Steinhaus.
c- En d´eduire que a = (an )n∈IN ∈ `2 (IR).
E 4 Dans cet exercice E d´esigne un IR-espace de Banach. Soit A un convexe ferm´e
non vide contenu dans E tel que pour tout a ∈ A et tout t > 0, on a ta ∈ A . On suppose de
plus que A v´erifie la condition: ∀a1 , a2 ∈ A , ka1 k ≤ ka1 + a2 k .
(?)
1. a- V´erifier que 0E ∈ A et que pour tout t1 > 0, t2 > 0 et x1 ,x2 ∈ A on a t1 x1 + t2 x2 ∈ A .
b- Montrer que la fonction q d´efinie sur E par
q(x) = d(x,A ) = inf x − y
y∈A
est une fonction sous-lin´eaire sur E (i.e., pour tout x,x0 ∈ E et t ≥ 0, q(tx) = tq(x) et
q(x + x0 ) ≤ q(x) + q(x0 )).
c- V´erifier que q(a) = 0 pour tout a ∈ A , et q(x) ≤ kxk pour tout x ∈ E.
d- Montrer en utilisant (?) que q(−a) = kak pour tout a ∈ A . En d´eduire que
∀a ∈ A ,
kak ≤ q(x − a) + kxk .
2. Soit ϕ ∈ E0 une forme lin´eaire continue telle que ϕ ≤ 1; on pose pour tout x ∈ E
∀x ∈ E,
96
p(x) = inf ϕ(a) + q(x − a); a ∈ A .
a- Montrer que pour tout x ∈ E et a ∈ A on a
ϕ(a) + q(x − a) ≥ q(x − a) − kak ≥ − kxk
En d´eduire que: − kxk ≤ p(x) ≤ kxk, pour tout x ∈ E.
b- Montrer que p est sous-lin´eaire.
c- V´erifier que pour tout a ∈ A on a: p(a) ≤ 0 et p(a) ≤ ϕ(a).
3. Montrer qu’il existe deux formes lin´eaires continues ϕ1 , ϕ2 sur E telles que
ϕ = ϕ1 − ϕ2
et pour tout a ∈ A on a: ϕ j (a) ≥ 0, j = 1,2.
97
Facult´e des Sciences de Bizerte
D´epartement de Math´ematiques
A.U: 2008-2009
Ann´ee d’Etude: M-4
Examen du module Analyse Fonctionnelle
Session de rattrapage, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
Justifiez vos affirmations. S´eparez nettement les exercices.
E 5 Soit k : [a,b] × [a,b] −→ IR une fonction continue et soit ( fn )n une suite born´ee de
E = C ([a,b],IR) muni de la norme k · k∞ . Pour tout f ∈ E, on pose
b
Z
∀x ∈ [a,b],
K( f )(x) =
k(x,t) f (t)dt.
a
1. Montrer que l’application K : f 7→ K( f ) est une application lin´eaire continue de E dans E.
2. Montrer l’´equicontinuit´e de A = K( fn ), n ∈ IN .
3. Montrer que la suite (K( fn ))n poss`ede une sous-suite convergente dans E.
E 6 Soient E un espace vectoriel sur IR et φ, φ1 , φ2 trois formes lin´eaire sur E. On
suppose que
ker φ1 ∩ ker φ2 ⊂ ker φ.
Pour tout x ∈ E, on pose F(x) = (φ(x), φ1 (x), φ2 (x)).
1. V´erifier que F est lin´eaire de E dans IR3 et que le point a = (1,0,0) n’appartient pas a` Im(F).
2. Soient L : IR3 −→ IR une forme lin´eaire et (e0 ,e1 ,e2 ) la base canonique de IR3 . Montrer qu’il
2
X
existe λ0 ,λ1 ,λ2 ∈ IR tels que pour tout y = y0 e0 + y1 e1 + y2 e2 , y j ∈ IR, on a L(y) =
λ j y j.
j=0
3. Prouver qu’il existe α ∈ IR et λ0 , λ1 , λ2 ∈ IR tels que, pour tout x ∈ E,
λ0 < α < λ0 φ(x) + λ1 φ1 (x) + λ2 φ2 (x).
4. En d´eduire que λ0 < 0 et que
φ=−
λ1
λ2
φ1 − φ2 .
λ0
λ0
98
E 7
On d´esigne par H l’espace de Hilbert complexe L2 ([0,1]; C) muni du produit scalaire hermitien
1
Z
f,g =
f (t)g(t)dt.
0
On note k · k la norme associ´ee. Pour f ∈ H, on pose
x
Z
∀x ∈ [0,1],
T( f )(x) = ie
iπx
1
Z
−iπt
e
f (t)dt −
0
e
−iπt
!
f (t)dt .
x
1. Prouver l’in´egalit´e suivante pour tout g ∈ H et x,y ∈ [0,1]:
Z y
q
g .
g(t)dt
≤
y
−
x
x
2. Montrer que pour tout f ∈ H, la fonction T( f ) est continue sur [0,1] et born´ee par f .
3. En d´eduire que T : f −→ T( f ) est une application lin´eaire continue de H sur H.
4. Soit ( fn )n une suite de fonctions de la boule unit´e ferm´ee B0 de H qui converge faiblement
dans H vers f .
a- Montrer que f ∈ B0 et que pour tout x ∈ [0,1], la suite T( fn )(x) n∈IN converge vers
T( f )(x).
b- En d´eduire que T( fn ) n∈IN converge fortement vers T( f ). (On pourra faire appel au
th´eor`eme de convergence domin´ee).
c- En d´eduire que T(B0 ) est relativement compact.
5. Soit f ∈ C ([0,1]; IR).
a- Montrer que T( f ) est dans C 1 ([0,1]; IR) et v´erifie l’´equation diff´erentielle
y0 (t) − iπy(t) = 2i f (t).
b- Comparer T( f )(0) et T( f )(1).
6. Soit f ∈ H\ {0} et λ ∈ C∗ tels que T( f ) = λ f . Montrer que λ =
2
avec k ∈ ZZ.
(2k + 1)π
99
Facult´e des Sciences de Bizerte
D´epartement de Math´ematiques
A.U: 2008-2009
Ann´ee d’Etude: M-4
Corrig´e del’examen du module Analyse Fonctionnelle
Session de rattrapage, Dur´ee: 3H. Nbre de pages: 2
E 1
1. Soit f ∈ E. On a


K( f ) ≤ (b − a)
∞
sup
(x,t)∈[a,b]×[a,b]

 |k(x,t)| f ∞ .
2. L’application k est continue sur le compact [a,b] × [a,b] donc est uniform´ement continue.
En particulier on a
∀ε0 > 0, ∃η > 0, ∀ (x,y,t) ∈ [a,b]3 , x − y ≤ η ⇒ k(x,t) − k(y,t) ≤ ε0 .
Comme ( fn )n est born´ee, il existe M > 0 tel que pour tout n ∈ IN, fn ∞ ≤ M. Fixons
ε
x ∈ [a,b]. Soit ε > 0 et posons ε = M(b−a)
. Alors il existe η > 0 tel que pour x − y ≤ η,
k(x,t) − k(y,t) < ε0 . Mais alors pour tout n ∈ IN, et tous (x,y) ∈ [a,b]2 tels que x − y ≤ η on
a
Z b
Z b K( fn )(x) − K( fn )(y) ≤
k(x,t) − k(y,t) fn (t) dt ≤
ε0 Mdt = ε0 M(b − a) = ε.
a
a
D’ou l’´equicontinuit´e de A .
3. On peut alors appliquer le th´eor`eme d’Ascoli a` la famille A = K( fn ), n ∈ IN
. En effet
cette famille est e´ quicontinue, et pour tout x ∈ [a,b], A (x) = K( fn )(x), n ∈ IN est born´ee
dans IR puisque
K( fn )(x) ≤ M(b − a)
sup
|k(x,t)| .
(x,t)∈[a,b]×[a,b]
On en d´eduit que A (x) est relativement compact dans IR, et le th´eor`eme d’Ascoli permet
de conclure que A est relativement compact dans E. La suite (K( fn ))n poss`ede donc une
sous-suite convergente.
E 2
1. Evident.
100
2. Soit L : IR3 −→ IR une forme lin´eaire, (e0 ,e1 ,e2 ) la base canonique de IR3 . Pour y = y0 e1 +
2
X
y1 e1 + y2 e2 , on a L(y) =
λ j y j avec λ j = L(e j ).
j=0
3. Rappelons que tout sous-espace vectoriel de IR3 est ferm´e et convexe. Puisque a < Im(F)
alors on peut appliquer le th´eor`eme de Hahn-Banach (version g´eom´etrique) pour le
compact {a} et le ferm´e Im(F). Il existe alors α ∈ IR et une forme lin´eaire L sur IR3 tel que
L(a) < α < L(F(x)),
∀x ∈ E.
D’apr`es la question 2. il existe λ0 ,λ1 ,λ2 tels que
L(F(x)) = L((φ(x), φ1 (x), φ2 (x))) = λ0 φ(x) + λ1 φ1 (x) + λ2 φ2 (x),
Donc
λ0 < α < λ0 φ(x) + λ1 φ1 (x) + λ2 φ2 (x),
L(a) = λ0 .
∀x ∈ E.
4. En appliquant la conclusion du 3. avec x = 0 on obtient λ0 < 0. La forme lin´eaire
λ0 φ + λ1 φ1 + λ2 φ2 est minor´ee sur E donc λ0 φ + λ1 φ1 + λ2 φ2 = 0 d’ou`
φ=−
λ1
λ2
φ1 − φ2 .
λ0
λ0
E 3
1. Appliquer l’in´egali´e de Cauchy-Schwarz a` f := 1 et g.
2. On a
Z y
Z x
Z
0
y
e−iπt f (t)dt =
e−iπt f (t)dt −
e−iπt f (t)dt.
x
0
Grˆace a` la question pr´ec´edente, on a donc
Z x
Z y
q
−iπt
−iπt
f.
e
f
(t)dt
−
e
f
(t)dt
≤
y
−
x
0
0
x
Z
Donc l’application x 7→
x
Z
e
−iπt
e−iπt f (t)dt
f (t)dt est continue sur [0,1]. De mˆeme x 7→
0
1
est continue sur [0,1]. Il est maintenant clair que T( f ) est continue sur [0,1]. Enfin
∀ x ∈ [0,1],
Z
T( f )(x) ≤
0
x
1
Z
f (t) dt +
x
1
Z
f (t) dt =
0
f (t) dt ≤ f .
101
3. La lin´eairit´e de T r´esulte de celle de l’int´egrale. De plus, pour tout f ∈ H, la fonction T( f )
est continue born´ee sur [0,1] donc est L2 . Donc T est un endomorphisme de H. D’apr`es la
question 1. (avec x = 0 et y = 1), on a
T( f ) ≤ sup T( f )(x) ≤ f .
x∈[0,1]
Donc T ∈ L (H).
4. a- D’apr`es un th´eor`eme du cours, f ≤ lim inf fn ≤ 1. Donc f ∈ B0 . Par ailleurs, pour
tout x ∈ [0,1], on a
Z x
Z 1
D
E
−iπt
e fn (t)dt =
fn (t)1[0,x] (t)eiπt dt = fn ,1[0,x] eiπt .
0
0
Comme fn * f et l’application t 7→ 1[0,x] (t)eiπt ∈ H, on conclut que
Z x
Z x
−iπt
lim
e fn (t)dt =
e−iπt f (t)dt.
n→∞
De mˆeme
0
0
1
Z
e
lim
n→∞
1
Z
−iπt
fn (t)dt =
x
e−iπt f (t)dt.
x
Donc (T( fn ))n converge simplement vers T( f ).
2 2
b- On a ∀x ∈ [0,1], T( fn )(x) − T( f )(x) ≤ fn − f ≤ 4 d’apr`es la question 2. et la question
pr´ec´edente. De plus,
2
lim T( fn )(x) − T( f )(x) = 0.
∀x ∈ [0,1],
n→∞
Comme la fonction constante e´ gale a` 4 est int´egrable sur [0,1], le th´eor`eme de convergence domin´ee assure que
1
Z
lim
n→∞
2
T( fn )(x) − T( f )(x) = 0.
0
Autrement dit (T( fn ))n converge vers T( f ) dans H.
c- Soit ( fn )n une suite de B0 , alors elle est born´ee, il existe f ∈ B0 et une sous-suite ( fϕ(n) )n
tels que fϕ(n) * f . La question pr´ec´edente assure que (T( fϕ(n) ))n converge fortement
vers T( f ). Autrement dit de toute suite (T( fn ))n de T(B0 ) on peut extraire une sous-suite
convergeante. Donc T(B0 ) est relativement compact.
102
x
Z
5. a- Si f est continue, les termes
1
Z
−iπt
e
0
e−iπt f (t)dt sont de classe C 1 car primi-
f (t)dt et
x
tives de fonctions continues. Donc T( f ) est C 1 . Un calcul facile montre alors que
∀ x ∈ [0,1],
T( f )0 (x) − iπT( f )(x) = 2i f (x).
b- T( f )(0) = T( f )(1).
6. Soit λ ∈ C∗ et f ∈ H\ {0} tels que T( f ) = λ f . On a vu que T( f ) est continue. Donc f
l’est aussi. On peut donc appliquer 5.a-,5.b-. On en d´eduit que f v´erifie λ f 0 = i(2 + πλ) f
et f (0) = f (1). Comme f est non nulle, il doit exister β , 0 tel que l’on ait a` la fois
2
f (x) = βei(π+ λ )x pour tout x ∈ [0,1] et f (0) = f (1).
2
Ceci est possible si et seulement si λ =
avec k ∈ ZZ.
π(2k + 1)
103
Partie III
Exercices
105
E 1 Soit E un espace vectoriel sur le corps IK et f : E −→ IR une forme lin´eaire.
1. Montrer que pour tout x ∈ E \ ker f alors E = ker f ⊕ IKx.
2.
a- Soit H un sous-espace vectoriel de E tel qu’il existe a < H et E = H ⊕ IKa. Montrer qu’il
existe une forme lin´eaire f telle que H = ker f .
b- Soit g une autre forme lin´eaire telle que H ⊂ ker g, montrer alors qu’il existe µ ∈ IK tel
que g = µ f .
Le noyau d’une forme lin´eaire non- nulle est appel´e hyperplan.
3. Que peut-on dire d’un sous-espace vectoriel F de E qui contient strictement un hyperplan?
On suppose E muni d’une norme
4. Montrer que si u est une forme lin´eaire (non-nulle) alors u est continue si et seulement
si ker u est ferm´e. [On montrera qu’il existe un a ∈ E tel que u(a) = 1 et un r > 0 tel que
B(0,r) ∩ (a + ker u) =ø. De ceci on montrera que u est born´ee].
5. Montrer que une forme lin´eaire f quelconque alors soit ker f est ferm´e, soit ker f est dense
dans E.
E 2 (Bases et supplementaires d’un espace vectoriel).
1. Soit E un espace vectoriel et G une partie de E g´en´eratrice de E (tout e´ l´ement de E est une
combinaison lin´eaire finie d’ e´ l´ements de G) et L une partie libre de E (toute combinaison
lin´eaire finie qui donne z´ero a` ses coefficients nuls). On suppose L ⊂ G ⊂ E. Montrer qu’il
existe une base B de E telle que L ⊂ B ⊂ G. En d´eduire que tout espace vectoriel admet
une base (d´enombrable ou non). [ On commencera par traiter le cas ou` G est finie. Pour le
cas ou` G est infini, on utilisera le lemme de Zorn avec la relation d’inclusion et l’ensemble
S des parties libres de E contenant L et contenues dans G].
On dit que B est une base de Hamel.
2. Montrer que tout sous-espace vectoriel F de E poss`ede au moins un sous-espace suppl´ementaire
et que celui-ci n’est pas unique si F n’est pas r´eduit a` {0} ou E.
3. Montrer que si E est un Q-espace vectoriel et qu’il admet une base d´enombrable (ei )i∈I (I
e´ quipotent a` IN) alors E est d´enombrable.
4. Montrer que toute base de Hamel de IR (x j ) j∈J vu comme Q-espace vectoriel poss`ede plus
d’un e´ l´ement.
5. Montrer qu’en fait cette base n’est pas d´enombrable mais est e´ quipotente a` IR.
6. Soit j0 ∈ J, et soit ϕ la Q-forme lin´eaire sur IR associant a` tout y ∈ IR, sa coordonn´ee sur
(x j0 ) dans la base (x j ) j . D´emontrer que ϕ n’est pas continue sur IR, que ker ϕ est dense
dans IR, et que pour tout intervalle ouvert non-vide U de IR, l’ensemble ϕ(U) est dense
dans IR.
106
E 3 (Formes lineaires sur les Hilbert). Soit M un sous espace vectoriel d’un espace de
Hilbert H et f : M −→ C une forme lin´eaire continue de norme || f ||M . Montrer qu’il existe
un unique prolongement continu de f sur H de norme || f ||=|| f ||M .
E 4 (Semi-norme).Une semi-norme sur un espace vectoriel E est une application
p : E −→ IR telle que :
i- p(x + y) ≤ p(x) + p(y) pour tout x,y ∈ E.
ii- p(λx) =| λ | p(x), pour tout λ ∈ IR et x ∈ E.
(Si de plus p v´erifie p(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 alors on dit que p est une norme).
Montrer que
1. p(0) = 0.
2. | p(x) − p(y) |≤ p(x − y).
3. p(x) ≥ 0.
4. {x : p(x) = 0} est un sous espace vectoriel de E.
D´efinitions: On pose pour t > 0, tA = {ta,a ∈ A}.
1. A est un ensemble convexe de E si A ⊂ E et pour tout t ∈ [0,1],tA + (1 − t)A ⊂ A.
2. On dit que A ⊂ E est absorbant si pour tout x ∈ E, il existe t = t(x) > 0 tel que x ∈ tA.
3. On dit que A ⊂ E est e´ quilibr´e si pour tout α ∈ IK avec | α |≤ 1 alors αA ⊂ A.
E 5 (Fonctionnelle de Minkowski). Soit A un ensemble convexe de E. On definit la
fonctionnelle de Minkowski (jauge) µA de A par :
µA (x) = inf{t > 0 : tx ∈ A},
x ∈ .E
On suppose que A est convexe et absorbant dans E. Montrer alors que l’on a les propri´et´es
suivantes:
1. µA (x + y) ≤ µA (x) + µA (y) pour tout x,y ∈ E.
2. µA (tx) = tµA (x) pour tout x ∈ E et t ≥ 0.
3. µA est une semi-norme si A est e´ quilibr´e.
4. Si B = {x : µA (x) < 1} et C = {x : µA (x) ≤ 1} alors B ⊂ A ⊂ C et µA = µB = µC .
5. Si p est une semi-norme sur E et si D = {x : p(x) < 1} alors D est convexe, absorbant,
e´ quilibr´e et p = µD .
Un espace vectoriel topologique E est un espace vectoriel tel que les applications :
E × E −→ E, (x,y) −→ x + y et IK × E −→ E, (λ,x) −→ λx sont continues.
E 6 Soient X,Y deux espaces de Banach et B(.,.) une application bilin´eaire de X × Y
dans C. On suppose que :
i- Pour tout x ∈ X fix´e , l’application de Y dans C d´efinie par y −→ B(x,y) est continue.
107
ii- Pour tout y ∈ Y fix´e , l’application de X dans C d´efinie par x −→ B(x,y) est continue.
1. Montrer que B est continue sur X × Y ssi pour toute suite (xn ,yn )n qui tend vers 0 dans
X × Y alors B(xn ,yn ) tend vers 0 dans C.
2. Soit une suite (xn ,yn )n comme ci-dessus. On pose Tn (y) = B(xn ,y) pour y ∈ Y.
a- Prouver que l’ensemble {kTn (y)k} est born´e.
b- En d´eduire qu’il existe C ≥ 0 tel que :
kTn (y)k ≤ Ckyk,
∀y ∈ Y
∀n ∈ IN
c- Conclure que B(xn ,yn ) tend vers 0 dans C.
3. Enoncer le th´eor`eme correspondant a` cette d´emontration.
4. Donner un exemple d’application de f : IR2 −→ IR continue en chacune des variables sur
IR mais non continue sur IR2 .
E 7 Soit f : X −→ Y une application et Γ( f ) = {(x, f (x),x ∈ X} le graphe de f .
1. Soient (X,d) et (Y,δ) deux espaces m´etriques et f comme ci-dessus. Montrer que si f est
continue alors Γ( f ) est ferm´e dans X × Y pour la topologie produit.
2. Montrer que la r´eciproque est fausse avec le contre-exemple suivant sur IR : f (x) = 0 si
x ≤ 0 et f (x) = 1/x si x > 0.
3. Que remarquez-vous sur l’application f ?
E 8 Soit A un op´erateur lin´eaire sur un espace de Hilbert H.
1. On suppose que A v´erifie (Ax,y) = (x,Ay) pour tout x,y ∈ H. Montrer que A est continu.
(Th´eor`eme de Hellinger-Toeplitz).
2. Supposons maintenant qu’il existe un op´erateur B lin´eaire de H dans H tel que : (Ax,y) =
(x,By) pour tout x,y ∈ H. A-t-on la mˆeme conclusion?
E 9 Soit E = (C[0,1], || . ||∞ ) et D = C1 [0,1] . On d´efinit l’op´erateur T f = f 0 pour
f ∈ D.
1. Montrer que T est lin´eaire et non continu sur D muni de la norme || . ||∞ .
2. Montrer que T est ferm´e dans le sens suivant : pour toute suite ( fn )n ∈ D tel que fn
converge vers f pour la norme || . ||∞ et tel que T fn converge vers g dans || . ||∞ alors
T f = g.
108
3. Quelles hypoth`eses du Th´eor`eme du Graphe Ferm´e ne sont pas v´erifi´ees dans cet
exemple?
E 10 On consid`ere des espaces vectoriels sur le mˆeme corps IK (IK = IR ou IK = C).
1. Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de factorisation (alg´ebrique) pour une application
lin´eaire.
2. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E. On d´esigne par E∗ le dual
alg´ebrique de E et on note F0 = { f ∈ E∗ ; ∀y ∈ F f (y) = 0}.
a- Montrer que F∗ s’identifie canoniquement avec E∗ /F0 lorsque F admet un suppl´ementaire
dans E.
b- Si p d´esigne la surjection canonique de E
sur∗E/F, Montrer que l’application f 7→ f op
est un isomorphisme (canonique) entre E/F et F0 .
3. On conserve les donn´ees de la question pr´ec´edente. Montrer que les conditions suivantes
sont e´ quivalentes :
i- E/F est de dimension finie,
ii- F0 est de dimension finie,
iii-F admet un suppl´ementaire G de dimension finie,
iv-Tout suppl´ementaire G de F est de dimension finie.
Lorsque ces conditions sont v´erifi´ees, montrer que l’on a :
dim (E/F) = dim (F0 ) = dim (G)
On pose codimE (F) = dim (G).
4.
a- Montrer que pour tout sous-espace F distinct de E et tout x n’appartenant pas a` F, il
existe f ∈ F0 telle que f (x) , 0.
b- En d´eduire que F est l’intersection de tous les hyperplans qui le contiennent.
Tp
c- codimE (F) = p, montrer qu’il existe (Hi )i=1·p hyperplans tels que F = i=1 Hi .
5. Soient f , f1 , · , fn n + 1 formes lin´eaires sur E. Montrer que
f ∈ Vect({ fi ; i = 1 · n}) ≡
n
\
Ker( fi ) ⊂ Ker( f ).
i=1
(La condition suffisante pourra eˆ tre d´emontr´ee par r´ecurrence sur n en s’int´eressant aux
restrictions des formes lin´eaires a` Ker( fn )).
109
6. On consid`ere l’application ψ de E dans son bidual alg´ebrique E∗∗ qui a` x ∈ E associe x˜
˜ f ) = f (x) pour tout f ∈ E∗ .
d´efini par: x(
a- Montrer que ψ est lin´eaire et injective.
b- Montrer que ψ est surjective si et seulement si E est de dimension finie. (Indication:
si (ei )i∈I est une base infinie de E montrer que la famille (e∗i )i∈I des formes coordonn´ees
n’est pas g´en´eratrice dans E∗ ).
E 11 Soient E un espace vectoriel norm´e et F un sous-espace vectoriel de E. Pour tout
α ∈ E/F on pose p(α) = inf{||x||; x ∈ α}.
1. Montrer que p est une semi-norme sur E/F.
2. Montrer que cette semi-norme est une norme si seulement si F est ferm´e.
On suppose maintenant que F est ferm´e.
3. Montrer que la surjection canonique p de E dans E/F est continue et ouverte c’est a` dire:
l’image directe par p de tout ouvert de E est un ouvert de E/F.
4. Montrer que toute application f de E/F dans un espace vectoriel norm´e G est continue si
seulement si f op est continue de E dans G.
5. Montrer que si E est un Banach alors E/F est un Banach. (on montrera que toute s´erie
absolument convergente est convergente).
6. Etablir un th´eor`eme de factorisation (topologique) pour les applications lin´eaires continues.
E 12 Soit E un espace vectoriel r´eel, p une fonction sous-lin´eaire sur E. Montrer que
pour tout x de E il existe une forme lin´eaire f sur E telle que f (x) = p(x) et f ≤ p. Que peut-on
dire s’il existe une seule forme lin´eaire major´ee par p?
E 13 Soient E un espace vectoriel sur IR, p une fonction sous-lin´eaire sur E, H un
hyperplan de E, f une forme lin´eaire sur H telle que f ≤ p.
On suppose que x < H et inf (p(x + y) − f (y)) = sup( f (y) − p(y − x)). Montrer qu’il existe une
y∈H
y∈H
unique forme lin´eaire g surE prolongeant f et telle que g ≤ p. Que vaut alors g(x)?
E 14 Soient E un espace vectoriel norm´e, x et y des e´ l´ements distincts de E. Montrer
qu’il existe une forme lin´eaire continue f sur E telle que f (x) , f (y).
E 15 Soient E un espace vectoriel norm´e,x ∈ E.montrer que kxk ≤ 1 si et seulement si
pour toute forme lin´eaire continue f sur E telle que k f k ≤ 1, on a, | f (x)| ≤ 1.
110
E 16 Soient E un espace vectoriel norm´e, V un sous-espace vectoriel de E, f une
forme lin´eaire continue sur V. Montrer qu’il existe une forme lin´eaire continue prolongeant
f a` E, de mˆeme norme que f. Ce prolongement est il unique?(Consid´erer une forme lin´eaire
sur une droite de IR2 muni de la norme, k(x1 ,x2 )k = max(|x1 |,|x2 |) puis k(x1 ,x2 )k = |x1 | + |x2 |).
Montrer que si E est un espace de Hilbert ce prolongement est unique et s’annule sur V ⊥ .
E 17 Soient E un espace vectoriel norm´e, V un sous-espace vectoriel de E, x ∈ E tel
que d(x,V) > 0 (on rappelle que d(x,V) = inf{kx − yk / y ∈ V}).
Montrer qu’il existe une forme lin´eaire f , continue sur E, s’annulant sur V et telle que
f (x) = 1 , k f k =
1
d(x,V)
En d´eduire que V est dense dans E si et seulement si la seule forme lin´eaire continue sur E
s’annulant sur V est nulle.
E 18 Montrer qu’il existe une forme lin´eaire L, continue sur l∞ , telle que pour tout
x = (xn ) de l∞ on ait, lim inf xn ≤ L(x) ≤ lim sup xn .
E 19 Soit X un espace m´etrique. On d´esigne par Cb (X) l’espace des fonctions continues et born´ees de X dans IR. Soient V un sous-espace vectoriel de Cb (X) tel que 1 ∈ V et ϕ
une forme lin´eaire sur V telle que pour tout f ∈ V, f ≥ 0 ⇒ ϕ( f ) ≥ 0. (On dit alors que ϕ est
positive).
1. Montrer que ϕ est continue sur V muni de la norme de convergence uniforme.
2. Pour f ∈ Cb (X) on pose, p( f ) = sup( f (x))+ . Montrer que p est une fonction sous-lin´eaire
x∈X
sur Cb (X).
3. En d´eduire qu’il existe une forme lin´eaire φ sur Cb (X) prolongeant ϕ et v´erifiant,
∀ f ∈ Cb (X), f ≥ 0 ⇒ φ( f ) ≥ 0
4. On suppose X compact. A l’aide du th´eor`eme de Riesz, montrer qu’il
R existe une mesure
de Radon positive µ sur X telle que pour toute f de Von ait, ϕ( f ) = f dµ.
111
m
1 X
E 20 Pour tout x = (xn ) ∈ l on pose, p(x) = inf{lim sup
xn+p j / m ∈ N∗ ,p1 , . . . ,pm ∈
m
n→+∞
j=1
∞
IN}.
1. Montrer que p est une fonction sous-lin´eaire sur l∞ . (Majorer p(x + y) par,
m m0
1 XX
lim sup(
xn+p j +qk + yn+p j +qk )
mm0 j=1
n→+∞
k=1
avec m,m0 ,p1 , . . . ,pm ,q1 , . . . ,qm0 convenables).
2. En d´eduire l’existence d’une forme lin´eaire L sur l∞ , v´erifiant les propri´et´es:
i- Si x = (xn ) converge alors L(x) = lim xn .
n→+∞
ii- Si pour tout n,xn ≥ 0, alors L(x) ≥ 0.
iii-Si x = (xn ) et x0 = (xn+1 ), alors, L(x) = L(x0 ).
(Pour ce dernier point on pourra montrer que pour tout entier m, p(x − x0 ) ≤
On appelle L une limite de Banach.
2kxk∞
).
m
E 21 Soit E un espace vectoriel norm´e, x = (xn ) un syst`eme libre d’´el´ements de E, (αn )
une suite de nombres complexes, M un r´eel > 0. Montrer que pour qu’il existe une forme
lin´eaire f continue sur E, de norme ≤ M, v´erifiant f (xn ) = αn pour tout entier n, il faut et il
suffit que pour tout entier n et toute suite finie (λ1 , . . . ,λn ) de nombres complexes on ait,
|
n
X
λk αk | ≤ Mk
k=1
n
X
λk xk k
k=1
E 22 Soient E et F des espaces norm´es, T une application lin´eaire continue de E dans
F. Montrer que , T0 : F0 → E0 , f 7→ f ◦ T, est lin´eaire continue de mˆeme norme que T. (On
appelle T0 l’op´erateur conjugu´e de T).
E 23 Pour 0 < α < 1, soit uα la suite,uα = (αn )n≥0 . Montrer que le sous-espace V de c0
engendr´e par (uα )0<α<1 est dense dans c0 . (On rappelle que le dual de c0 est isom´etriquement
isomorphe a` l1 ).
E 24 Soient X un espace m´etrique compact, F un ferm´e de X. On d´esigne par C (X)
l’espace des fonctions continues sur X a` valeurs r´eelles. Soit V un sous-espace de C (X) tel
que 1 ∈ V et tel que toute f ∈ V a` valeurs positives sur F est positive sur X.
1. a- Montrer que pour toute f ∈ V on a, sup | f (x)| = sup | f (x)|.
x∈X
x∈F
112
b- Soit x ∈ X. Montrer qu’il existe une forme lin´eaire ϕ positive sur VF = { f|F / f ∈ V} telle
que pour toute f ∈ V on ait f (x) = ϕ( f|F ). En d´eduire l’existence d’une forme lin´eaire
ψ positive sur C (F) telle que pour toute f ∈ V, f (x) = ψ( f|F ).
c- A l’aide du th´eor`eme de Riesz, en d´eduire qu’ilR existe une mesure de Radon positive
µ sur F telle que pour toute f ∈ V on ait, f (x) = F f dµ.
2. On suppose que X est le disque unit´e ferm´e du plan complexe, V le sous-espace de C (X)
constitu´e des fonctions harmoniques a` l’int´erieur du disque unit´e. (On rappelle que V
v´erifie les hypoth`eses du d´ebut).
Soit z ∈ X tel que |z| < 1 et µ une mesure de Radon
R
positive sur F telle que f (z) = f dµ pour toute f ∈ V.
R
a- Calculer ζn dµ(ζ) pour n ∈ ZZ. En d´eduire l’unicit´e de µ.
X
b- Soit r = |z| et θ un argument de z. Pour 0 ≤ t < 2π on pose, Pr (t) =
r|n| eint . Montrer
1 − r2
· Montrer que µ est d´efinie par,
que Pr (t) =
1 − 2r cos t + r2
Z
Z 2π
1
f dµ =
Pr (θ − t) f (eit )dt
2π 0
n∈ZZ
E 25 Soit E un espace vectoriel norm´e sur C.
1. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
a- Montrer que F est ferm´e.
b- Montrer que si V est un sous-espace vectoriel ferm´e de E, V + F est ferm´e.
2. Soit V un sous-espace vectoriel de E. On dit qu’un sous-espace vectoriel W de E est un
suppl´ementaire topologique de V si l’application ,
(x,y) 7→ x + y
V×W→E
est un isomorphisme d’espaces norm´es. (i.e: hom´eomorphisme lin´eaire).
a- Montrer que W est un suppl´ementaire topologique de V si et seulement si la projection
sur V parall`element a` W est continue.
b- Montrer que si V admet un suppl´ementaire topologique il est ferm´e. (La r´eciproque
est fausse).
3. Soit V un sous-espace vectoriel de E.
a- Montrer que si V est de dimension finie, il admet un suppl´ementaire topologique.
(Montrer qu’il existe un projecteur continu de E sur V a` l’aide du th´eor`eme de HahnBanach).
113
b- On suppose V ferm´e de codimension finie. Montrer qu’il admet un suppl´ementaire
topologique.
E 26 Soit E un espace vectoriel norm´e sur IR.
1. Soit x ∈ E.
a- Montrer que pour tout h de E l’application, t 7→ kx + thk , est convexe sur IR. En d´eduire
l’existence des limites,
G−x (h) = lim (
t→0−
kx + thk − kxk
)
t
et
G+x (h) = lim (
t→0+
kx + thk − kxk
)
t
b- Montrer que G−x (h) ≤ G+x (h) , G+x (−h) = −G−x (h).
c- Montrer que l’application, h 7→ G+x (h) , est sous-lin´eaire sur E.
d- On suppose que pour tout h ∈ E , G+x (h) = G−x (h). Montrer que l’application, Gx : h 7→
G+x (h), est une forme lin´eaire continue sur E. (On dit alors que la norme est Gˆateauxdiff´erentiable en x et Gx est sa Gˆateaux-diff´erentielle). Montrer que si x , 0 on a,
Gx (x) = kxk et kGx k = 1.
2. a- A l’aide du th´eor´eme de Hahn-Banach montrer que pour tout x ∈ E \ {0} il existe une
forme lin´eaire f continue sur E telle que,
(∗)
f (x) = kxk ,
kfk = 1
Soit x ∈ E \ {0}.
b- On suppose que la norme est Gˆateaux-diff´erentiable en x (cf 1 (d)). montrer que Gx est
la seule forme lin´eaire continue sur E v´erifiant (∗) (cf (a)).
c- On suppose qu’il existe h ∈ E tel que G−x (h) , G+x (h). Soit α un r´eel tel que, G−x (h) < α <
G+x (h). A l’aide du th´eor`eme de Hahn-Banach, montrer qu’il existe une forme lin´eaire
f continue sur E telle que, f (x) = kxk k f k = 1 f (h) = α.
d- Donner une propri´et´e de la norme e´ quivalente a` la propri´et´e suivante: il existe une
unique forme lin´eaire f continue sur E telle que f (x) = kxk et k f k = 1.
E 27 Soient E un espace vectoriel norm´e r´eel, et (xi )i∈I une famille d’´el´ements de E.
On dit que (xi )i∈I est totale si le sous-espace vectoriel engendr´e par cette famille est dense
dans E. A l’aide de la forme g´eom´etrique du Th´eor`eme de Hahn-Banach, montrer que la
famille (xi )i∈I est totale si et seulement si, toute forme lin´eaire continue f telle que f (xi ) = 0
pour tout i ∈ I est nulle.
114
E 28 Soit E un espace de Banach r´eel.
1. Montrer que E est r´eflexif si et seulement si son dual E0 est r´eflexif.
2. Montrer que si E est r´eflexif, tout sous-espace vectoriel ferm´e de E est r´eflexif.
(Utiliser la forme g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn-Banach)
E 29 Soient p une semi-norme sur un espace vectoriel norm´e r´eel E, A et B les sousensembles de E d´efinis par, A = {x/p(x) < 1} , B = {x/p(x) ≤ 1}.
¯
1. Montrer que B0 ⊂ A , B ⊂ A.
2. Si p est continue montrer que B0 = A et A¯ = B.
3. Si p est la jauge d’un voisinage V convexe sym´etrique de 0, montrer que V 0 = A , V¯ = B.
E 30 Soient E un espace norm´e et f, f1 , . . . , fn des formes lin´eaires continues sur E telles
n
\
X
que
Ker fi ⊂ Ker f . Montrer qu’il existe λ1 , . . . ,λn ∈ IR, tels que f =
λi fi . (Consid´erer le
i=1
1≤i≤n
sous-espace vectoriel {( f (x), f1 (x), . . . , fn (x)) | x ∈ E} de IR
du th´eor`eme de Hahn-Banach dans IRn+1 ).
n+1
, appliquer la forme g´eom´etrique
E 31 Soient E un espace norm´e et f1 , . . . , fn des formes lin´eaires continues sur E ,
M > 0, et a1 , . . . ,an des r´eels. On se propose de montrer le r´esultat suivant (th´eor`eme de
Helly): les deux affirmations suivantes sont e´ quivalentes,
1. Pour tout > 0, il existe x ∈ E tel que kxk ≤ M + et fi (x) = ai .
n
n
X
X
2. Pour tous r´eels λ1 , . . . ,λn , on a, |
λi ai | ≤ Mk
λi fi k.
i=1
i=1
I. Montrer que 1. implique 2.
II. On suppose que 2. est v´erifi´ee.
1. Dans un premier temps, on suppose que les formes lin´eaires f1 , . . . , fn sont lin´eairement
ind´ependantes.
a- Soit F = {x ∈ E | fi (x) = ai ,1 ≤ i ≤ n}. Montrer que F est non-vide.
b- Montrer qu’il existe f ∈ E0 tel que, Rk f k ≤ inf f (y). (Appliquer le th´eor`eme Hahny∈F
Banach g´eom´etrique a` B(0,R) et F ).
c- Montrer qu’il existe λ1 , . . . ,λn ∈ IR tels que f =
n
X
i=1
λi fi .
115
d- Montrer que (1.) est satisfaite.
2. On ne suppose plus que les formes lin´eaires f1 , . . . , fn sont lin´eairement ind´ependantes.
En consid´erant un syst`eme libre maximal de l’espace engendr´ee dans E0 par les formes
f1 , . . . , fn . Conclure le cas g´en´eral.
E 32 Soient E un espace norm´e r´eel et A une partie convexe de E.
1. Soient x ∈ A, λ ∈]0,1[, h l’homoth´etie de centre x et de rapport λ. Montrer que h(A) ⊂ A.
◦
Montrer que A est convexe .
◦
2. Soient x ∈ A¯ , x0 ∈ A . On se propose de montrer que l’intervalle ]x0 ,x[ d´efini par, ]x0 ,x[=
◦
{(1 − t)x0 + tx | 0 < t < 1}, est contenu dans A . Soit y ∈]x0 ,x[.
◦
a- Montrer qu’il existe u ∈ A et v ∈ A tels que y ∈]u,v[. (Consid´erer l’homoth´etie de
centre y transformant x0 en x).
◦
b- En d´eduire que y ∈ A .
◦
◦
3. Montrer que si A est convexe et A non vide, on a A¯ = A .
◦
◦
◦
◦
◦
¯ (Si x0 ∈ A et x ∈A,
¯ montrer qu’il existe x1 ∈ A¯
4. Montrer que si A est non vide on a, A =A.
tel que x ∈]x0 ,x1 [.
E 33 Soient A et B des convexes disjoints dans un espace norm´e r´eel.
1. Montrer que si A et B sont ouverts ils peuvent eˆ tre s´epar´es strictement par un hyperplan
ferm´e.
2. On suppose l’int´erieur de A non vide. Montrer que A et B peuvent eˆ tre s´epar´es par un
hyperplan ferm´e.
E 34
1. Donner un exemple dans IR2 de deux convexes ferm´es disjoints qui ne peuvent eˆ tre
s´epar´es strictement par un hyperplan ferm´e.
2. Montrer que deux convexes ferm´es disjoints dans un espace vectoriel de dimension finie
peuvent eˆ tre s´epar´es par un hyperplan ferm´e. (Remarquer que tout convexe ferm´e est
r´eunion d’une suite croissante de convexes compacts).
116
E 35
1. Soient A et B des convexes d’un espace norm´e r´eel tels que A − B soit dense . Montrer que
A et B ne peuvent pas eˆ tre s´epar´es par un hyperplan ferm´e.
2. Soient A et B les parties de l1 d´efinies par A = {(xn ) | ∀n ≥ 1,xn = 0}, B = {(xn ) | ∀n ≥
1,|n3 xn + n| ≤ x0 }. Montrer que A et B sont des convexes ferm´es disjoints qui ne peuvent
pas eˆ tre s´epar´es par un hyperplan ferm´e. (On pourra approcher x ∈ l1 par (a − b) ou` a ∈ A
, b ∈ B et bn = − n12 a` partir d’un certain rang ).
E 36 Soit E un espace norm´e r´eel. On appelle hyperplan d’appui de A ⊂ E un
hyperplan H contenant au moins un point de A et tel que tous les points de A soient d’un
mˆeme cot´
ˆ e de H.
1. Montrer que si H est hyperplan d’appui de A , H ∩ A est contenu dans la fronti`ere de A.
2. Si E est un espace de Hilbert et A la boule unit´e de E, d´eterminer les hyperplans d’appui
de A.
◦
3. Montrer que si A est non vide, les hyperplans d’appui de A sont ferm´es.
E 37 Soit E un espace norm´e r´eel. On d´efinit le polaire Ao (resp.o B) d’une partie A de
E (resp.d’une partie B de E0 ) par, Ao = { f ∈ E0 / < f,x >≤ 1, pour tout x ∈ A}, (resp.o B = {x ∈
E/ < f,x >≤ 1, pour tout f ∈ B}).
1. Quel est le polaire de la boule unit´e?
2. Montrer que le polaire d’une partie de E (resp. E0 ) est convexe et ferm´e.
3. Soit A une partie convexe de E contenant 0. Montrer a` l’aide du th´eor`eme de Hahn-Banach
¯
g´eom´etrique que o (Ao ) = A.
E 38 On rappelle qu’un espace norm´e est s´eparable s’il contient une partie d´enombrable
dense.
1. Montrer qu’un espace norm´e s´eparable contient un sous-espace vectoriel d´enombrable
dense.
2. Montrer que les espaces c0 et lp pour 1 ≤ p < ∞ sont s´eparables.
3. Montrer que l∞ n’est pas s´eparable. (Consid´erer la famille des boules ouvertes (B(χA ,1))A⊂IN ,
ou,
` pour A ⊂ IN, χA d´esigne la fonction caract´eristique de A).
4. Soit E un espace norm´e. On suppose que son dual E0 est s´eparable. Montrer que E est
s´eparable. (Soit ( fn ) une suite dense dans E0 , consid´erer une suite (xn ) dans E telle que
kxn k = 1 , fn (xn ) ≥ 21 k fn k et montrer a` l’aide de la forme g´eom´etrique du th´eor`eme de
Hahn-Banach que (xn ) est totale dans E).
117
E 39 Soient E un espace vectoriel r´eel, C une partie convexe de E, f une application
de E dans IR. On dit que f est convexe sur C si,
∀x,y ∈ C,t ∈]0,1[ , f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y)
1. Soit D le sous-ensemble de E × IR d´efini par, D = {(x,t) ∈ E × IR / f (x) ≤ t} (surgraphe de
f ). Montrer que f est convexe si et seulement si D est un convexe de E × IR.
2. On suppose que E est un espace vectoriel norm´e. Montrer que si f est continue, D est
ferm´e dans E × IR.
3. Soit ϕ une forme lin´eaire continue sur E×IR (muni de la norme , k(x,t)k = kxk+|t|). Montrer
qu’il existe b ∈ IR,v ∈ E0 , tels que pour tout (x,t) ∈ E × IR,ϕ(x,t) = v(x) + bt.
4. On suppose f convexe et continue. Soient x ∈ C et > 0. En appliquant la forme
g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn-Banach a` D et (x, f (x) − ), montrer qu’il existe
u ∈ E0 ,a ∈ IR tels que, f (x) − ≤ u(x) + a , et pour tout y ∈ C,u(y) + a ≤ f (y). En
d´eduire que f restreinte a` C est l’enveloppe sup´erieure d’une famille de fonctions affines
continues de C dans IR.
E 40 Soit E l’espace des fonctions continues 2π-p´eriodiques de IR dans C muni de la
norme k . k∞ de la convergence uniforme.
– Pour n ∈ ZZ, on pose en (t) = eint , et pour f ∈ E on d´esigne par fˆ(n) le coefficient de Fourier
R 2π
de f, fˆ(n) = 1
f (t)en (t)dt.
2π
0
– Soit ϕ ∈ E0 , pour tout f ∈ E on pose, T f (x) = ϕ(τx f ), ou` pour x r´eel, τx f d´esigne la translat´ee
de f,τx f : t 7→ f (t + x).
1. a- Montrer que T est une application lin´eaire continue de E dans lui-mˆeme.
cp (n) pour n,p ∈ ZZ.
b- D´eterminer Te
cf (n) = ϕ(en ) fˆ(n).
c- En d´eduire que pour tout f ∈ E et tout n ∈ ZZ on a, T
2. Soit f ∈ E, on d´esigne par V le sous-espace vectoriel de E engendr´e par les translat´ees
τx f de f . Soit n ∈ ZZ. Montrer que en ∈ V si et seulement si, fˆ(n) , 0. A quelle condition V
est-il dense dans E? (Utiliser la forme g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn-Banach).
E 41
1. Soit E un espace vectoriel A une partie de E. Montrer qu’il existe un plus petit convexe
de E contenant A. (On l’appelle enveloppe convexe de A, not´e Co(A)). Montrer que
l’enveloppe convexe de A est l’ensemble P
des barycentres de suites finies de points de
A, (ie: l’ensemble des points dePla forme, ni=1 λi xi , ou` n ∈ IN,(x1 , . . . ,xn ) est une suite de
points de A, λ1 ≥ 0, . . . ,λn ≥ 0 , ni=1 λi = 1).
118
2. Soit A une partie convexe d’un espace vectoriel r´eel E. On dit qu’un point z de A est un
point extrˆemal de A si, pour tous x,y de A et tout λ ∈]0,1[, on a,
z = λx + (1 − λ)y ⇒ x = y = z
a- Montrer que x est un point extrˆemal de A si et seulement si A \ {x} est convexe.
b- On suppose que E est un espace norm´e (non r´eduit a` z´ero), montrer que tout point
extrˆemal de A appartient a` la fronti`ere de A.
c- On suppose que E est l’espace des suites r´eelles convergeant vers 0 (muni de la norme
usuelle k.k∞ ). Montrer que la boule unit´e de E n’admet pas de point extrˆemal.
d- Montrer que dans un espace pr´ehilbertien l’ensemble des points extrˆemaux de la boule
unit´e est la sph`ere unit´e.
3. Soient E un espace vectoriel norm´e r´eel et K une partie convexe compacte et non vide de
E. On d´esigne par F l’ensemble des parties F compactes et non vides de K telles que pour
tous x,y de K, λ ∈]0,1[, on ait, λx + (1 − λ)y ∈ F =⇒ x,y ∈ F.
a- Soit f ∈ E0 et soit F ∈ F , montrer que l’ensemble S = {x ∈ F, f (x) = sup f (y)} appartient
y∈F
a` F .
b- Montrer que F poss`ede un e´ l´ement minimal pour l’inclusion. (Utiliser le th´eor`eme de
Zorn).
c- Montrer a` l’aide du th´eor`eme de Hahn-Banach qu’un e´ l´ement minimal de F est r´eduit
a` un point. En d´eduire que K poss`ede au moins un point extrˆemal.
d- Montrer que K est e´ gal a` l’adh´erence de l’enveloppe convexe de ses points extrˆemaux.
Enoncer le th´eor`eme (th´eor`eme de Krein-Milman).
E 42 On consid`ere l’alg`ebre A = CIR ([0,1]) des fonctions continues sur [0,1], a` valeurs
r´eelles, munie de la norme de la convergence uniforme. On note G la sous-alg`ebre des
fonctions de classe C 1 .
1. Montrer que G est dense dans A.
2. Soit F un sous-espace vectoriel de G, ferm´e dans A.
a- Montrer que l’application f 7−→ f 0 est continue de F dans A.
b- Montrer que la boule unit´e ferm´e e BF de F est compacte.
c- Quelle conclusion peut-on tirer pour F?
E 43 Soit K : [0,1] × [0,1] −→ C une fonction continue. Si f ∈ C ([0,1]) on pose
Rt
TK f (t) = 0 K(t,s) f (s)ds.
1. Montrer que TK est une application lin´eaire continue de C ([0,1]) dans lui-mˆeme.
119
2. Montrer que {TK f ; k f k∞ ≤ 1} est e´ quicontinu. En d´eduire que, pour tout r > 0, l’ensemble
TK (B(0,r)) est relativement compact.
E 44 Soit E un espace vectoriel norm´e.
1. Soit a ∈ E. Montrer que la translation de vecteur a est un hom´eomorphisme de (E,σ(E,E0 ))
dans lui-mˆeme.
2. Montrer que l’addition est faiblement continue de E × E dans E et que la multiplication
par un scalaire est faiblement continue de IK × E dans E.
E 45 Soit E un espace de Banach. Montrer qu’il existe un compact K tel que E s’identifie (en tant qu’espace vectoriel norm´e) a` un sous-espace ferm´e de (C (K),k k∞ ). (on prendra
pour K la boule unit´e ferm´ee de E0 ).
E 46 Soient E un espace vectoriel norm´e , (xn )n∈IN une suite de E et x ∈ E.
1. Soit F un ensemble total dans E0 . Montrer que la suite (xn )n∈IN converge faiblement vers
x si et seulement si elle est normiquement born´ee et si pour tout f ∈ F la suite ( f (xn ))
converge vers f (x).
2. Si E est un espace de Hilbert admettant (eα )α∈I pour base hilbertienne, montrer que la
suite (xn )n∈IN converge faiblement vers x si et seulement si elle est normiquement born´ee
et si pour tout α ∈ I la suite (< xn , eα >) converge vers < x , eα >.
3. Si E = c0 ou E = `p avec 1 < p < ∞, montrer que la suite (xn )n∈IN converge faiblement vers
x si et seulement si elle est normiquement born´ee et si pour tout k ∈ IN la suite (xkn )n∈IN
converge vers xk . ( Pour tout n ∈ IN, xn = (xkn )k∈IN ).
E 47 Soient H un espace de Hilbert et (xn )n∈IN une suite de H. Montrer que (xn )n∈IN
converge normiquement vers x si et seulement si (xn )n∈IN converge faiblement vers x et
(|| xn ||)n∈IN converge vers || x ||.
E 48 Soient E un espace vectoriel norm´eet E0 son dual topologique.
1. Montrer que la topologie normique de E est plus fine que la topologie faible σ(E,E0 ).
Comparer sur E0 la topologie normique τN et les topologies σ(E0 ,E) et σ(E0 ,E00 ).
2. Montrer que si E est de dimension finie alors la topologie normique et la topologie faible
co¨ıncident.
120
3. On suppose maintenant que E est de dimension infinie.
T
a- Soient f1 , . . . , fn des formes lin´eaires sur E. Montrer que ni=1 Ker( fi ) est un sous-espace
vectoriel de dimension infinie. En d´eduire que tout voisinage faible de 0 contient un
sous-espace vectoriel de dimension infinie.
b- Montrer que l’int´erieur faible de la boule unit´e (normique) est vide, l’adh´erence faible
de la sph´ere unit´e (normique) est la boule unit´e ferm´ee.
c- Montrer que la topologie normique est strictement plus fine que la topologie faible.
E 49 Soit E un espace vectoriel norm´e.
1. Soit f une forme lin´eaire sur E. Montrer que
f est normiquement
continue si et seulement
0
si f est faiblement continue, c’est a` dire E,σ(E,E0 ) = E0 .
2. Soit ` une forme lin´eaire sur E0 .
a- Montrer que ` est continue pour la topologie faible σ(E0 ,E00 ) si et seulement si ` ∈ E00 .
b- Montrer que ` est continue pour la topologie ∗-faible σ(E0 ,E) si et seulement si ` ∈ JE (E).
(Si ` est ∗-faiblement
montrer qu’il existe x1 , · · · ,xn dans E tels que le sousTn continue
0
espace vectoriel i=1 { f ∈ E ; f (xi ) = 0} est inclus dans Ω = { f ∈ E0 ; |`( f )| < 1} ).
E 50 Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es et T une application lin´eaire de E
dans F. Montrer que les conditions suivantes sont e´ quivalentes :
1. T est continue de (E,k k) dans (F,k k) (T normiquement continue).
2. T est continue de (E,σ(E,E0 )) dans (F,σ(F,F0 )) (T faiblement continue).
3. T est continue de (E,k k) dans (F,σ(F,F0 )).
E 51 Montrer que l’adh´erence faible d’une partie convexe d’un espace norm´e est
e´ gale a` son adh´erence normique. (Pour montrer que l’adh´erence faible est contenue dans
l’adh´erence normique, utiliser la forme g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn-Banach).
E 52 Soit E un espace vectoriel norm´e et A une partie de E.
1. Montrer qu’il existe un plus petit convexe contenant A, not´e co(A) et appel´e enveloppe
convexe de A. Montrer que l’enveloppe convexe de A est l’ensemble des barycentres a`
coefficients positifs de suites finies d’´el´ements de A.
2. Montrer que si x ∈ E est limite faible d’une suite d’´el´ements de A, alors il est normiquement
adh´erent a` l’enveloppe convexe de A.
121
E 53
1. Pour tout n ∈ IN et tout x = (xn ) de `∞ on pose δn (x) = xn . Montrer que (δn ) est une suite
de la boule unit´e du dual de `∞ , n’admettant pas de sous-suite ∗-faiblement convergente.
2. En d´eduire qu’un espace compact n’est pas n´ecessairement s´equentiellement compact.
3. Que peut-on d´eduire du 1. a` propos de la s´eparabilit´e de `∞ ?
Litt´erature
123
Litt´erature
1. H. Br´ezis : Analyse fonctionnelle. Th´eorie et applications, Masson.
2. A. Chambert-Loir et S. Fermigier : Agr´egation de math´ematiques, analyse 1,2 et 3, exercices, Dunod.
3. J. Conway : A course in functional analysis, second edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
4. R. Danchin : Notes de cours d’analyse pour la pr´eparation au CAPES, http://perso-math.univ-mlv.fr/users/danchin.raphael/.
5. J. Dieudonn´e : El´ements d’analyse, tomes 1 et 2, Gauthier-Villars.
6. J. Dixmier : Cours de topologie g´en´erale, Presses Universitaires de France.
7. M. Samuelides et L. Touzillier :Probl`emes d’analyse fonctionnelle et d’analyse harmonique, C´epadu`es e´ ditions.
8. M. Schechter : Principles of Functional Analysis, second edition, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical
Society.
Index
Index
e´ quicontinuit´e, 25
application ouverte, 36
applications lin´eaires, 18
convergence simple, 23
convergence uniforme, 23
enveloppe convexe, 42
espaces de Banach, 18
partie convexe, 41
propri´et´e de Baire, 34
Th´eor`eme d’Ascoli, 26
Th´eor`eme de Baire, 33
Th´eor`eme de Banach-Steinhaus, 35
Th´eor`eme de Dini, 28
Th´eor`eme de l’application ouverte, 36
Th´eor`eme de Stone-Weierstrass, 29
fonction convexe, 42
graphe d’une application, 39
uniform´ement e´ quicontinue, 25
125
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