INÉGALITÉS
n 1
1. Montrer que
k!
n! .
k 0
2. Montrer que x, y
2
x
y
xy. Etudier la réciproque.
n 1
3. Pour quelles valeurs de a
ak
1 a-t-on
a n pour tout entier n
1?
k 0
En déduire que le nombre des ancêtres de la n-ième génération au dessus de la nôtre est
supérieur à la totalité de nos ancêtres jusqu’à la n 1ième.
4. :
y
2.
a. Montrer que si x, y 0, alors xy
x
b. En déduire que si x 1 , x 2 , . . . , x n sont n réels strictement positifs,
n
n
1
xk
xk
k 1
n2.
k 1
5. :
2.
a. Montrer que si x 0, alors x 1x
b. En déduire que si a 0, alors la moyenne arithmétique des réels 1, a, a 2 , a 3 , . . , a 2n est
an.
6. Compléter par les bons connecteurs logiques, et justifier :
a. |a| b
a b ... a
b
b. |a| b
a b ... a
b
c. |a| b
a b ... a
b (avec b 0 )
7. Montrer que pour tout réel x et tout entier q 0 il existe un entier p tel que
p
1 . Exemple : x
x q
et q 7.
2q
8. Démontrer par disjonction de cas que pour tout réel x, x x 2 1/2 ; le redémontrer en
utilisant un trinôme.
9. Quel est le plus petit réel a tel que pour tout réel x on ait x x 2 a ?
10. Hachurer la partie du plan définie par y x 2 x y 2
0.
11. Étudier et dessiner la partie du plan définie par 2 |x| ||y| 3| 4.
1 .
12. Montrer, pour x
0, 1 et n entier naturel : 1 nx
1 x n
1 nx
Représenter pour n 2.
13. Soit E l’équation à coefficients réels : a 0 a 1 x . . . a n x n 0 ( n entier naturel non nul).
a. Supposons que cette équation possède une solution x réelle de valeur absolue 1.
n 1
n
Montrer que |a n x |
|x|
n 1
n 1
|a k | ; en déduire que |x|
k 0
|a k |
.
|a n |
k 0
b. En déduire que les solutions de l’équation E ont toutes une valeur absolue
n 1
max
|a k |
,1 .
|a n |
k 0
LOGIQUE
14. Le théorème de Pythagore énonce que si un triangle ABC est rectangle en A alors
. . . . . . 2 . . . 2.
On donne à un élève un triangle de côtés 6, 7 et 8 : il conclut qu’il n’est pas rectangle car
64 61 49 36.
A-t-il utilisé le théorème de Pythagore ou bien sa réciproque ?
15. Soit un connecteur logique tel que si P est vrai et Q vrai, alors P Q est vrai et si P est
vrai et Q faux, alors P Q est faux ; montrer que si P Q prend les mêmes valeurs de vérité
que nonQ nonP , mais pas les mêmes valeurs de vérité que Q P, alors est le connecteur
d’implication.
16. Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Exprimer en langage formalisé
l’énoncé : la fonction f garde un signe constant sur I. En donner la négation.
17. P : Il y a toujours un médecin de garde
Q : Il y a un médecin toujours de garde
Soit M l’ensemble des médecins et G t l’ensemble des médecins de garde à l’instant t.
Écrire P et Q en langage formalisé.
18. Déterminer la valeur de vérité des énoncés suivants (avec justification)
a. m R x R / x 3 mx 1 0.
b.
c.
x
x
R /
R
m
m
R x3
mx
1
0.
3
mx
1
0.
R /x
19. Soit f la fonction carré ; vrai ou faux ?
a. x R / y R f x y
fx
b. y R x R / f x y
20. Vrai ou faux ?
a. x R x 1
x 2
b.
x
R / x
1
x
f x (illustrer)
2
x 2 et x R / x 1
x 2 .
21. Déterminer x R / x 1
22. On considère les énoncés P et Q concernant une fonction f de R dans R.
P: a 0 m 0 x
a, a |f x | m
Q: m 0 a 0
x
a, a |f x | m
Donner un exemple de f ne vérifiant pas P et un exemple de f vérifiant P mais pas Q.
23. Soit A une partie de R ; donner la définition en langage formalisé de "A possède un plus
petit élément" ; donner un exemple de partie n’ayant pas de plus petit élément ; montrer
l’unicité du plus petit élément d’une partie.
24. Soit f , g deux applications de R dans R.
a. Montrer que si f et g sont croissantes alors f g aussi.
b. Montrer que si f f et f f f sont strictement croissantes alors f est strictement
croissante.
25. Sachant que 6 est irrationnel, montrer que 6
3
2 est irrationnel.
26. Rationnels ou irrationnels ?
a.
8
63
8
63
b.
7
48
7
48
27. Montrer que si a, a , b, b sont 4 rationnels, b et b
0, vérifiant a
b
a
b avec
b irrationnel, alors a a et b b .
28. Soit f une application de R 2 dans R ; montrer qu’il existe un unique couple de fonctions
g, h de R 2 dans R tel que f g h, avec g symétrique et h antisymétrique
(g x, y
g y, x et h x, y
h y, x .
29. Soit f une application de R dans R et T 0 ; montrer qu’il existe un unique couple
d’applications g, h de R dans R tel que f g h avec g T-périodique et h nulle sur 0, T .
SOMMES ET PRODUITS
n
n
30. Simplifier
ak
ak bk
1
ak
k 0
n
31. Démontrer que
32. Calculer
Rep :
2
bk
1
b k (formule de ”sommation par parties”).
k.
k n 1
k
1
k
1
k 1
n
4k
k 1
n
1
k 0
2n
.
n
1
n!
.
33. :
n
i2 i en calculant 2T n .
a. Calculer T n
i 0
n
n
2 min i,j .
b. Déterminer S n
i 0 j 0
n 1
Rep : T n
Rep : S n
n 1 2
6. 2 n 2n
n
2
5.
n
2 max i,j
Variante :
2n
1 2n
1
3.
i 0 j 0
n
i2 i en calculant 2T n .
c. Calculer T n
i 0
n
n
2 max i,j .
d. Déterminer S n
i 0 j 0
n 1
Rep : T n
Rep : S n
n 1 2
2n 1 2 n
1
2
3.
n
kp n
34. f p, q
k
q
; montrer que f p, q
f q, p , simplifier f p
1, q
f p, q
1 ;
k 0
en déduire f 1, 1 , ainsi que f 2, 2 en fonction des S p
f p, 0 pour 0
p
4.
n
35. Calculer
1
k 2
1
k2
et déterminer sa limite quand n tend vers l’inifini.
Rep : 1 1 1n
2
36. Montrer qu’il existe a, b, c, d indépendants de k tels que
k
a
c
; en déduire une expression sans somme de
k 2 bk 1
k 2 dk 1
kn4 k 2 1
k
.
k4 k2 1
k 1
RÉCURRENCES
37. Démontrer par récurrence sur n que tout entier n 8 peut s’écrire sous la forme 3a 5b
avec a et b entiers naturels.
38. Démontrer par récurence forte que tout entier 2 est décomposable en produit de facteurs
premiers.
n
39. Soit a un nombre impair ; montrer que pour tout entier n 1, a 2 1 est divisible par 2 n 2 .
40. Démontrer par récurrence forte que tout entier naturel non nul est somme de puissances de
2 distinctes ( n N
K N / n
2k .
k K
41. Démontrer que pour tout entier n
1 et toute famille de n réels strictement positifs
n
x1, x2, . . . , xn,
n
1
xk
xk
k 1
n2.
k 1
42. Démontrer que pour tout entier n 1, 2!4!. . . . 2n !
n 1 ! n.
43. Démontrer que pour tous entiers naturels a et b, ab ! est divisible par a b et b a .
5n !
4n !
44. Démontrer que
est divisible par 24 n ; trouver de même un diviseur de
.
n! n
n!
n!
45. Montrer que
11. 22. . . . nn
1!2!. . . n 1 !
a. Par récurrence sur n.
b. Directement.
46. On définit une suite par u 0 1 et u n 1 u n 4 u n /2 ; calculer u n en fonction de n.
Rep : (2**(2**n)-1)/2**(2**(n)-1).
47. Soit a un réel donné. On définit une suite u n par u 0 1 et pour tout naturel n :
u 2n
un 2
u 2n
a un
1
2
a. Que vaut u n (justifier)?
b. par combien de multiplications obtient-on a 100 par cette méthode ?
n
n
48. Montrer que pour tout entier n et tout entier q,
k
k 0
Fk
q
F 2n q .
n
n
49. Montrer que pour tout entier n
1,
1
k 1
n
k 1
k
n
1.
k
k
k 1
50. Montrer que 2 4 2 est divisible par 7, pour tout naturel n.
51. Montrer par récurrence sur n que l’on peut toujours séparer tous les timbres d’une planche
rectangulaire de n timbres sur m timbres en nm 1 déchirures.
52. Où se trouve l’erreur dans le raisonnement par récurrence forte suivant ?
Soit a un réel ; montrons que a n 1 pour tout naturel n.
C’est vrai pour n 0 ;
H.R. : pour tout entier k de 0 à n, on a a k 1
anan
1. 1
1 , ce qui achève la récurence forte.
Alors a n 1
1
an 1
53. On définit la suite de Fibonacci par F 0 0, F 1 1, F n F n 1 F n 2 .
Montrer que F 2n F n F n 1 F n 1 et F 2n 1 F 2n F 2n 1 .
54. On définit la suite de Fibonacci par F 0 0, F 1 1, F n F n 1 F n 2 . On aimerait trouver
un minorant de F n pour n 1 de la forme a. b n , avec a et b 0 .
a. Déterminer la plus grande valeur de b de sorte que dans la démonstration par récurence
double de F n a. b n , la démonstration de l’hérédité reste valable ; on trouvera b
.
b. Trouver alors la meilleure valeur de a telle que l’initialisation (pour n 1 et 2 soit
valable.
c. Trouver de même une majoration de F n .
n 1
REP : n 2 F n
55. (suite de Sylvester)
Soit u n une suite définie par u 1 2 et u n 1 u 1 . . . u n 1; montrer que pour tout
n 2
n 1
un 22 .
n 1, 2 2
56. Soit u n une suite de réels vérifiant u i
u j pour tous entiers i, j 1 ; montrer que
uk
na 1 (la première inégalité sera
pour tout entier n 1, on a l’encadrement u n
k
k 1
montrée par récurrence forte, la deuxième provenant de u k ku 1 .
Appliquer à u n
n.
57. Soit p n le n ième nombre premier.
a. Montrer (sans récurrence) que p n 1 p 1 . . . p n 1.
n 1
b. Montrer (par récurrence forte) que p n 2 2 .
FORMULE ET COEFFICIENTS DU BINÔME
58. :
a. Montrer que si x 0, alors x 1x
2.
n
n
b. En déduire que si a, b 0, 1 a
1 ba
2n 1.
b
p
n
59. Pour n entier impair, n 2p 1, on pose f a, b
an kbk,
k
0
j
ui
n
k
n
n
g a, b
an kbk
k
k p 1
a. Montrer que g a, b
f b, a à l’aide d’un changement d’indice.
b. En déduire que a
n
p
b
n
akbk an
k
k 0
2k
bn
2k
.
c. Formule similaire pour n pair ?
j
60. Calculer
Rep : 2
de deux façons différentes.
i
0 i j n
n 1
1.
n
n
61. Calculer
i 0 j i
n
j
j
i
(intervertir les deux signes de sommation).
Rep : 3 n .
n
n
Variante :
i 0 j i
n
n
2
n
1
j
i
j
xiyj
i
1
x
y
n
.
i
i 0 j 0
2n
j
i
62. Calculer
Rep :
n
1.
n
63. Montrer que P
k 0
n
k
est égal à 2 3 n . 3 5 n . 4 7 n . . . n n 1 .
FORMULE DE BERNOULLI
64. f x
x n avec n entier 1 : calculer la dérivée de f en utilisant la formule de Bernoulli.
65. Soient trois entiers naturels non nuls m, n, a avec m n
m n a.
a. Montrer que m a n a
a
a
b. Montrer que si m
n a, alors a 1.
ENSEMBLES
66. On a dans les réels : x y z
x y z et x y z
x y z
Pouvez-vous trouver, et démontrer, des formules similaires dans les ensembles ?
67. E, G, F étant 4 ensembles, montrer :
a. E G
F G
E F G
b. E F
G H
E G
F H
68. Soient X, Y, Z 3 parties d’un ensemble E ; montrer que
X Y X Z
X Y X Z
69. Soient X, Y, Z 3 ensembles.
a. Montrer que X Y \ X Y
X\Y
Y\X ; on note cet ensemble X
b. Montrer que Z X Z Y
X Y.
c. Diférence symétrique d n ensembles.
70. E est un ensemble, A et B en sont des parties.
a. Montrer que si A B E alors pour toutes parties X et Y de E,
X A Y A
X Y
X B Y B
Y.
b. Etudier la réciproque de a.
c. Montrer que si A B
alors étant données une partie X 1 de A et une partie X 2 de B,
X A X1
il existe une partie X de E telle que
.
X B X2
d. Etudier la réciproque de c.
TRIGO
3
1
71. : Calculer
.
sin
cos
18
18
Rep 4.
72. a b c
; calculer tan a tan b tan b tan c tan c tan a.
2
73. : P cos cos 2 cos 4
7
7
7
a. Calculer P sin , en déduire P.
7
b. Montrer par linéarisation que 4P cos
cos 3
cos 2
1
7
7
7
c. En déduire une équation du troisième degré dont 2cos est solution.
7
Rep : P
1/8.
74. S cos 2
cos 4
cos 6
7
7
7
a. Linéariser S sin , en déduire S.
7
b. Vérifier que S cos 2
cos 3
cos .
7
7
7
c. En déduire une équation du troisième degré dont 2cos est solution.
7
Rep : S
1/2.
75. Montrer que cos 2
cos 4
cos ; en déduire une équation du troisième degré dont
9
9
9
2cos est solution.
9
cos 4
cos ; en déduire par linéarisation la valeur de
76. Montrer que cos 2
9
9
9
cos 2 cos 4 .
9
9
9
77. Montrer que sin
sin 2
sin 4 ; en déduire par linéarisation la valeur de
9
9
9
P sin sin 2 sin 4 .
9
9
9
78. Soient a, b, c 3 réels ; à l’aide du trinôme du second degré
Px
x 2 2 cos a cos b x cos 2 a cos 2 b 1, déterminer une factorisation (la plus
poussée possible) de l’expression E cos 2 a cos 2 b cos 2 c 2 cos a cos b cos c 1.
79. :
a. Calculer cos 2
cos 2 3
cos 2 5
cos 2 7 .
16
16
16
16
b. Généraliser cette formule.
80. :
a. Vérifier que si 0
, 2 cos
2 2 cos .
2
2
P
cos
b. En déduire la valeur de 2
Rep : 2 cos
2n
1
2 ....
2 (n radicaux).
.
81. On pose f x
|cos x| |sin x| ;
a. Montrer que f x
1 pour tout x.
b. Réduire l’intervalle d’étude et étudier f ; tracer la courbe.
82. Un segment de longueur constante est tel que ses extrémité A et B coulissent sur deux axes
perpendiculaires en C. Pour quelle(s) position(s) du segment AB le triangle ABC a-t-il un
périmètre (resp une aire) maximal(e) (resp minimal(e))?
83. Un point C décrit un cercle de diamètre AB ; I est le milieu de AC . Quel est le
maximum de l’angle ABI ?
Rep : arcsin 1/3.
FONCTIONS, LIMITES
84. Soit f une application de R dans R vérifiant
f T x
fx
T 0 x R f T x
2
2
et g définie par g x
f T x
4
a. Etudier la péridicité et la parité de f et g.
b. Donner un exemple de tel couple f, g
85. Déterminer les limites des fonctions suivantes en x 0 .
x 3 x 2 sin x 3 , x 0
a. f x
x x 2 cos x
x 3
2x 3
b. f x
x 0 6(rep 1/13)
15 x
x 2 27
sin x sin 3x , x 0
c. f x
(rep 2 2
4
1
2 cos x
86. :
x4 1
a. Asymptote en
à la courbe de la fonction f telle que f x
rep: y x 1.
x 1
2 cos x
3
b. Limite en /6 de f telle qu f x
(rep : 1/3)
cos x cos 5x
x 3 2 2 x
c. Limite en 1 de f telle que f x
( rep : 1/2)
x2 3 2 2 x2
87. :
x4 x
à la courbe de la fonction f telle que f x
rep: y x-2
x 2
sin x sin 4x rep -1/2sin(pi/5)
b. Limite en /5 de f telle que f x
cos 2x cos 3x
6 x
x 2
c. Limite en 2 de f telle que f x
. rep : -2
2x
3x 2
DERIVÉES
88. Soit f une fonction continue sur R de limite nulle aux deux infinis. Pour 1 x 1, on
x
pose g x
f
1 |x|
a. Prolonger g par continuité en -1 et 1.
1;
b. Montrer que g est dérivable en 1 de dérivée nulle ssi f x
x
a. Asymptote en
x
c. Donner un exemple avec f non constante et tracer les courbes de f et g.
x 3
2x 3
89. Limite en ??? de f telle que f x
, en utilisant la petite règle de
15 x
x 2 27
l’Hospital.
sin x sin 3x , x 0
90. Limite en ??? de f telle que f x
en utilisant la petite règle de
4
1
2 cos x
l’Hospital (rep 2 2 .
2 cos x
3
91. Limite en ??? de f telle qu f x
, en utilisant la petite règle de l’Hospital
cos x cos 5x
(rep : 1/3).
x 3 2 2 x
92. Limite en ??? de f telle que f x
,en utilisant la petite règle de
x2 3 2 2 x2
l’Hospital ( rep : 1/2).
sin x sin 4x , en utilisant la petite règle de
93. Limite en ??? de f telle que f x
cos 2x cos 3x
l’Hospital.
rep -1/2sin(pi/5).
x 2
6 x
94. Limite en ??? de f telle que f x
. en utilisant la petite règle de
2x
3x 2
l’Hospital.
rep : -2,
95. Etudier la dérivabilité en 0 à droite de f définie par f x
sin x n suivant les valeurs de n
entier 0.
1 cos x .
96. Etudier la fonction f définie par f x
sin 2x
sin 2x .
97. Etudier la fonction f définie par f x
1 cos x
sin 2x .
98. Etudier la fonction f définie par f x
sin 3x
sin
3x .
99. Etudier la fonction f définie par f x
sin 2x
RELATIONS
100. On définit dans l’ensemble des fonctions réelles définies sur 0,
les relations R et S :
fRg
0 A 0 x A |f x g x |
et
fSg
A
0
0
x
A |f x
gx |
a. Vérifier que R est réflexive, symétrique et transitive (on admettra que S aussi).
b. Quelle relation implique l’autre ? Donner un exemple de couple f, g vérifiant l’une et
pas l’autre.
101. On dit qu’une relation R dans un ensemble E est strictement antisymétrique si x, y E
xRy
yRx.
a. Donner un exemple.
b. Une relation strictement antisymétrique est-elle antisymétrique ?
c. Trouver une condition du type : R est strictement antisymétrique ssi R est
antisymétrique et ................
102. Une relation antisymétrique est dite maximale si on ne peut pas rajouter de couple dans
son graphe sans perdre sa propriété d’antisymétrie ; par exemple, la relation de table
a
b
c
a
b
c
est antisymétrique maximale, tandis que la relation de table
a
b
c
a
b
c
est antisymétrique non maximale.
Combien de couples une relation antisymétrique maximale sur un ensemble à n éléments
possède-t-elle dans son graphe ?
Combien existe-t-il de relations antisymétriques maximales dans un ensemble à n
éléments ?
RELATIONS D’ORDRE
103. L’ensemble des nombres entiers naturels est muni de la relation de divisibilité ;
déterminer l’ensemble des majorants (pour cette relation) de l’ensemble
A
1, 2, 3, 4, 6, 12 , puis l’ensemble des majorants de l’ensemble
B
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 .
104. Déterminer toutes les relations d’ordre sur un ensemble à 3 éléments. Indiquer celles qui
sont totales.
n
105. On définit dans R la relation R par uRv
n N / v u2 ;
a. R est-elle une relation d’ordre ?
b. Même question en remplaçant R par C.
106. On définit dans R 2 la relation : x, y R x , y
x x
y y .
Est-ce une relation d’ordre ?
107. On définit dans R 2 la relation d’ordre lexicographique :
x x
x, y
x ,y
.
ou x x et y y
a. Est-elle totale ?
b. Toute partie non vide majorée de R 2 possède-t-elle une borne supérieure ?
108. On définit dans l’ensemble R R des applications de R vers R la relation par
f g
x R fx
gx
a. Vérifier que
est bien une relation d’ordre. Est-elle totale ?
b. Soient f et g appartenant à R R ; à quelle condition A
f, g possède-telle un
maximum ? A possède-t-elle toujours une borne supérieure ?
c. Toute partie non vide majorée de R R possède-t-elle une borne supérieure ?
d. Soit X une partie de R et F X
f RR/ f R
X ; montrer que F X possède un
R
maximum dans R ssi X en possède un dans R.
109. On définit dans l’ensemble des parties non vide de R la relation R par :
A R B
x A y B x y
a. Etudier la réflexivité, la transitivité, et l’antisymétrie de R. Est-ce une relation d’ordre ?
b. On définit maintenant, toujours dans l’ensemble des parties non vide de R la relation S
par :
A S B
A R B ou A B
On admettra que S est bien une relation d’ordre : est-elle totale ?
c. Vérifier que P R \
possède un plus petit élément et un plus grand élément pour S.
110. Théorème du point fixe pour une fonction croissante
a. Soit f une fonction croissante de [0,1] dans lui-même ; montrer qu’elle possède un point
fixe (cad qu’il existe un de [0,1] tel que f
.
x
0, 1 / f x
x ; montrer qu’il n’est pas
Indication : considérer l’ensemble A
vide et considérer sa borne inférieure ; vérifier que
0, 1 et montrer que
f
.
b. Montrer que ce théorème est faux si l’on remplace [0,1] par ]0,1].
111. Déterminer inf a2 b 2 et sup a2 b 2 .
a,b 0
a
b
a,b 0
a
b
LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES
3
ln x
; montrer que f x
112. On pose f x
x cos
f 1x .
6
2
113. M étant le point courant de cordonnées x, ln x de la courbe de la fonction ln, étudier les
variations de la pente de la droite OM en fonction de x.
114. Trouver une formule utilisant la partie entière et le logarithme décimal donnant le premier
chiffre d’un entier écrit en base 10.
115. En physique on définit l’ordre de grandeur f x d’un réel positif x non nul comme la plus
grande puissance de 10 inférieure ou égale à x ; par exemple f 1732
10 3 (attention
"puissance de 10" signifie ici : le nombre 10 élevé à une puissance entière, pouvant être
négative).
a. Donner une formule pour f x en utilisant la fonction partie entière.
b. Donner un exemple où f x 1 x 2 est différent de f x 1 f x 2 mais montrer que cette
formule est exacte si x 2 est une puissance de 10.
116. Tracer les courbes des fonctions f définies par f x
a ln x suivant les diverses valeurs de
a.
117. On pose f x
e x ke x .
Montrer que pour k non nul, C f possède toujours un axe ou un centre de symétrie.
1 ; montrer que la courbe de f possède un centre de symétrie. Etudier f et
118. f x
ex 1
tracer sa courbe.
119. M étant le point courant de cordonnées x, e x de la courbe de la fonction exp, étudier les
variations de la pente de la droite OM en fonction de x.
x
120. Résoudre dans R l’équation x
x x.
APPLICATIONS
121. Soit f l’application de R 2 dans R 2 définie par f x, y
x y, x y et soient a, b, a , b 4
réels vérifiant a b, c d.
c, d est un rectangle plein dont on donnera les
a. Démontrer que R f 1 a, b
coordonnées des sommets.
c , d contenant R.
b. Déterminer le plus petit rectangle du type a , b
122. Soit f l’application de R 2 dans R 2 définie par f x, y
x y, x y et soient a, b, a , b 4
réels vérifiant a b, c d.
a. Démontrer que R f a, b
c, d est un rectangle plein dont on donnera les
coordonnées des sommets.
b. Déterminer le plus petit rectangle du type a , b
c , d contenant R.
2
123. On considère une application f de E dans E vérifiant f
f f
f.
a. Montrer que si f est injective ou surjective alors f id E .
b. Donner un exemple avec E R 2 autre que l’identité.
f.
124. On considère une application f de E dans E vérifiant f 3 f f f
2
a. Montrer que si f est injective ou surjective alors f
id E .
3
b. Donner un exemple avec E R de telle f ne vérifiant ni f 2 f ni f 2 id E .
125. On considère une application f de E dans E vérifiant f 3 f f f
id E .
a. Montrer que f est bijective en utilisant la méthode "deus ex machina".
b. Déterminer toutes les applications f de C dans C définies par une expression du type
fz
az b vérifiant f 3 id E .
Les interpréter géométriquement.
126. Soit f une application de X vers Y. On note F l’application de P X vers P Y qui à toute
partie A de X fait correspondre f A , et G l’application de P Y vers P X qui à toute partie
B de Y fait correspondre f 1 B .
a. Montrer f injective ssi F injective ssi G surjective.
b. Montrer f surjective ssi F surjective ssi G injective.
3
3
127. Soit f de R dans R définie par f
x
x
y
y
y
z
z
z
x
0
a. Déterminer f
1
0
: f est-elle injective ?
0
b. Déterminer f R 3 : f est-elle surjective ?
128. Donner un exemple d’application f de R 2 dans R 2 telle que f R 2 et f 1 0 soient égaux
tous les deux à la droite d’équation y x ; f est-elle surjective? Injective ?
129. Soit S la sphère de R 3 de centre 0, 0, 0 et de rayon 1 et f l’application de R 2 dans S qui à
, fait correspondre cos cos , sin cos , sin .
a. Vérifier que f
,
f , .
b. Montrer que les restrictions de f à
,
,
et
,
0, 2 sont
2 2
2 2
surjectives.
c. Déterminer une partie A de R 2 telle que la restriction de f à A soit bijective.
2
130. Soit f définie de E
0,
dans lui-même par f x, y
xy , xy
; déterminer
pour que f f soit égal à id E ; que peut-on dire de f dans ce cas ?
2 p 2q 1 ; montrer que f est
131. Soit f l’application de N 2 dans N définie par f p, q
bijective.
132. Soit f : R
x
; montrer que f est bijective, préciser
1 |x|
l’application réciproque, et tracer les deux courbes.
133. Si f est une application de E vers F, on dit qu’une partie A de E est un domaine
d’injectivité de f si la restriction de f à A est injective, et ce domaine est dit maximal si le
seul domaine d’injectivité contenant A est A.
1, 1 définie par f x
f:R
a. Déterminer un domaine d’injectivité maximal pour
f:R
x
et pour
R
x3
x
x
R
2
x
b. Montrer que si A est un domaine d’injectivité, A est maximal ssi f A
FONCTIONS HYPERBOLIQUES
134. :
a. Simplifier shx chx ch2x ch4x. . . ch2 n x.
fE .
n
b. On pose f n x
ch
k 1
x
2k
; déterminer lim f n x pour x
0, puis pour x
0.
n
c. Montrer que la fonction f définie par f x
lim f n x est continue sur R.
n
n
n
135. Calculer
ch kx .
k
k 0
n
Rep : 2 ch n x ch x .
2
2
TRIGO RÉCIPROQUE
136. Calculer cos arctan x , cos 2 arctan x ,cos 1/2. arctan x sans faire intervenir de fonction
trigonométrique.
137. f x
arctan 1 sin x .
1 sin x
3 ,3
Simplifier f x pour x
,
et tracer la courbe de f sur
.
2 2
2
2
138. :
a. Montrer que arccos cos x
x 2 . arrondi x
(arrondi x est l’entier le plus
2
proche de x
b. Trouver une formule similaire pour arctan tan x .
n
139. On suppose connu que x
a.
b.
x
x
0,
0, 1
x
2
1
x
x2
0,
sin x
2
sin x
x et y
x
tan x
1
x
2
et y
x
tan x ; en déduire que
0, 1
y
y
0, 1
1
y
arcsin y
y2
.
1
y2
arctan y
y.
140. On pose f x
sin x x ; montrer que f possède une fonction réciproque définie sur R ;
tracer les courbes de f et f 1 ;
déterminer l’ensemble de dérivabilité de f; calculer f
SYSTEMES LINEAIRES
1
0 et f
1
1
2
.
x
141. Résoudre et discuter le système de paramètre m :
x
y
2mz
my
2z
3
m
y
2z
m
1
mx
Rep : m
1:x
y
2z
2;m
2:x
1
2z, y
142. Résoudre et discuter le système de paramètres a, b, c :
n’étudiera complètement que les cas (a
b, b
3
2m
2z ; sinon : x
y
z
x
ay
a2z
a3
x
by
b2z
b 3 On
x cy c 2 z
c et a, b, c distincts.
143. Résoudre et discuter le système de paramètres a, b, c, d :
1.
c3
x
y
z
ax
by
cz
a2x b2y
c et a, b, c distincts.
c2z
1
d
On
d2
n’étudiera complètement que les cas (a b, b
GÉOMÉTRIE
144. Donner un exemple de 4 points qui ne sont pas dans un même plan, et le prouver.
145. L’espace est rapporté à Oxyz ; montrer que toute droite est l’intersection d’un plan
x 3
parallèle à Ox et d’un plan parallèle à Oy. Appliquer à D :
1
146. Valeurs de a pour que A
0
a
1
,B
a
0
y
1
2
z
2
3
a
,C
1
0
1
,D
1
soient coplanaires
1
?
147. Déterminer a pour que les droites AB et A B soient sécantes , sachant
1
0
0
1
,B
,A
,B
; coordonnées du point d’intersection ?
A
2
1
1
1
a
2
2
3
Équation du plan les contenant ?
148. Déterminer a pour que les droites D
AB avec A 1, 1, 1 et B 0, 2, 3 et
2x 3y 3z 0
D
soient sécantes ; déterminer alors leur point d’intersection et
x y z a
l’équation cartésienne du plan les contenant.
COMPLEXES
149. Soit a un complexe de module 1 et U l’ensemble des complexes de module 1 ; pour tout
z a
complexe différent de a, on pose f z
z a ; montrer que f définit une bijection de R sur
U.
150. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : 4z 3 10 4i z 2 9 17i z 3 9i 0
sachant qu’elle a une solution imaginaire pure.
Rep : 3i/2, 1 i /2, 2 i.
151. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : z 3 4 1 i z 2 2 11i z 3 15i 0
sachant qu’elle a une solution imaginaire pure.
Rep : 3i, 3 2i, 1 i.
152. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : 2z 4 6 7i z 2 4 3i 0 .
Rep : 1 i /2, 2 i
0.
153. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z : z 4 3 6i z 2 2 16 63i
Rep :
1 3i , 3 2i
154. Soient u et v deux complexes de module 1 ; construire graphiquement les deux racines
carrées de uv.
155. Soient z, z deux complexes, z 0 ; montrer que
z
R
|z z | |z| |z |
z
a. par le calcul
b. géométriquement
156. Soit u un complexe ; montrer que u est de module 1 ssi 1 u 1u est un réel de 1, 1 .
2
157. Montrer que |u| |v| |w|
|u v w| |uv vw wu|.
158. On pose u n
1 i n , A n le point image de u n ; indiquer comment on construit
géométriquement A n à partir de A n 1 et O; appliquer ceci sur une figure indiquant les
premiers points de la suite.
159. Soit x iy un complexe non nul d’argument
, ; montrer que si x, y 0,
y
y
arccos 2x 2
arcsin 2 2
arctan x . Donner des formules similaires si x 0 et
x
y
x
y
y 0.
160. On considère l’application f du plan complexe dans lui-même qui à tout point d’affixe z
fait correspondre le point d’affixe z 2 .
a. Déterminer l’image par f des droites V a : x a et H a : y a. Nature de ces courbes ?
Comment obtient-on H a à partir de V a ?
2, 1, 0, 1, 2.
b. Représenter graphiquement f V a et f H a pour a
2
161. Montrer que pour tous complexes a et b, on a |a b|
1 |a| 2 1 |b| 2 . Etudier le
cas d’égalité et placer dans le plan les points A a et B b dans ce cas.
3
162. Soient x, y, z et a, b, c
C ; montrer que
x
y
z
a
a
b
c
3x
x
jy
jz
b
a
jb
jc
3z
x
jy
jz
c
a
jb
jc
3y
A quelle CNS portant sur a, b, c les solutions x, y, z du système
sont-elles réelles ?
163. Résoudre le système d’inconnue x, y, z, t
x y z t a
x
x
x
iy
z
it
b
y
z
t
c
iy
z
it
d
x
y
z
a
x
jy
jz
b
x
jy
jz
c
C 3 et de paramètre a, b, c, d
C3 :
A quelle CNS portant sur a, b, c, d les solutions sont-elles réelles ?
n
164. On pose S 0
Exprimer 1
derniers.
0 3k n
n
1 , 1
3k
n
, S1
j n, 1
j
0 3k 1 n
n
3k
1
n
, S2
0 3k 2 n
3k
2
.
en fonction de S 0 , S 1 , S 2 ; en déduire la valeur de ces
2n
2 1
n
rep : S q
cos
n
q 2
3
2n
2 cos
(ou
3
n
2q
3
3
165. On pose
n
S0
4k
0 4k n
n
, S1
0 4k 1 n
n
4k
1
n
, S2
0 3k 2 n
4k
2
n
, S3
0 4k 3 n
4k
Exprimer 1 1 n , 1 i , 1 1 n , 1 i n en fonction de S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ; en déduire la
valeur de ces derniers (on mettra 1 i et 1 i sous forme trigonométrique).
166. Résoudre dans C (n étant un entier 1 fixé) : z n R ; tracer l’ensemble des solutions
pour n 2 puis 3.
167. Soit u une racine cinquième de 1 autre que 1 , A u u 4 , B u 2 u 3 .
Calculer A B et AB ; en déduire cos 2 et sin 2 .
5
5
168. Soit u une racine septième de 1 autre que 1 , A u u 2 u 4 , B u 3 u 5 u 6 .
2i
Calculer A B et AB ; en déduire A et B si u e 7 .
u
u2
u3 .
169. Soit u une racine septième de 1 ; calculer
2
4
1 u
1 u
1 u6
Rep : 2 ou 3/2.
170. Déterminer de deux façons les racines quatrièmes de 3 i et en déduire
cos
, sin
.
24
24
INTÉGRATION
2
x n et sh
171. Montrer par récurrence que pour n naturel et x 0, ch x 1 x
...
2
2n !
3
x 2n 1 .
x x x
...
3!
2n 1 !
172. Calculer
b
a
b
x x
a dx
a. En montrant que la courbe de la fonction à intégrer est un demi-cercle.
b. En faisant un changement de variable correspondant à la paramétrisation par l’angle au
centre de ce demi-cercle.
173. Calculer
1
0
x arcsin x dx
a. En commençant par effectuer une intégration par parties.
b. En commençant par effectuer le changement de variable : t
c. Représenter l’aire calculée.
2
dx
174. Calculer
1
x x2 1
a. En posant t 1/x
b. En posant t
x2 1
c. En posant t x
x2 1
d. En posant t argch x
2 2
dx
175. Calculer
3
x x2 1
a. En posant t 1/x
b. En posant t
x2 1
c. En posant t x
x2 1
d. En posant t argsh x
1
dx
176. Calculer
3 /2
x 1 x2
arcsin x.
3
a. En posant t
b. En posant t
c. En posant t
177. On pose E x
a.
b.
dx
xe x
e x ln xdx
d.
e x dx
x2
1
e x dx
e.
e x dx
x
f.
e
c.
1/x
1 x2
arcsin x
e x dx ; calculer à l’aide de E x les primitives suivantes :
x
2
1
x
dx
cos n xdx ; montrer par IPP que nI n
178. On pose I n
I2, I3, I4.
179. Calculer
0
1
dx , puis
sin x
0
1
sin x cos n 1 x
n
1 I n 2 ; en déduire
xdx .
sin x
Rep : 2 et .
x2
dt
180. Etudier la fonction f définie par f x
; ensemble de définition, signe,
x ln t
prolongements en 0 et 1, dérivée, variations, limites, tracé.
181. Soit f une fonction continue croissante sur R ; on pose, pour x 0, M x valeur
moyenne de f sur 0, x ; montrer que M est croissante sur R .
182. Soit f une fonction dérivable injective de dérivée jamais nulle sur un intervalle I et f 1 sa
fonction réciproque définie sur J f I , F une primitive de f; montrer qu’une primitive de
f 1 est la fonction G définie par xf 1 x F f 1 x . Appliquer au calcul de primitives de ln,
d’arcsin et d’ arctan et comparer avec leur calcul habituel.
OPÉRATIONS
183. Soit une loi associative dans E telle que pour tous x, y, z de E, x x x et
x y z y z x.
Montrer que est commutative.
Rep : xy xxy yxx yx.
184. On définit dans R la loi par x y a x y xy.
a. A quelle condition sur a est-elle associative ?
b. Etudier alors ses autres propriétés.
185. Soit E un ensemble fini, et A l’ensemble des applications de E dans E non bijectives ;
montrer que A est une partie stable de E E pour la loi (ce qui fournit donc un exemple de loi
associative sans élément neutre et non commutative) ; vérifier que cette propriété est fausse
si E R.
186. Etudier les propriétés de la loi définie dans R par x y arrondi x y . Que dire de la
restriction de à Z ?
Idem pour x y arrondi x arrondi y .
187. Etudier les propriétés de la loi définie dans R 2 par x, y
x ,y
x y ,y x .
2
188. Etudier les propriétés de la loi définie dans R par
x, y
x ,y
xx yy , xy yx .
189. Etudier la distributivité de l’intersection sur la différence ensembliste dans P E .
,
la loi par a b arctan sin a sin b
2 2
cos a cos b
cos a cos b et calculer sin a b .
a. Montrer que cos a b
1 sin a sin b
,
,
est un groupe.
b. Montrer que
2 2
2i
191. Soit A
x jy / x, y
Z2
Z jZ où j e 3 .
a. Montrer que A est un sous-anneau de C.
b. Montrer que z A |z| 2 N
c. Montrer qu’un élément de A est inversible ss’il est de module 1. En déduire l’ensemble
G des inversibles de A. En donner la table et la structure.
192. Soit A
x y 3 2 / x, y
Z2
Z 32Z.
a. Montrer que 3 4
A.
b. Montrer que A est un sous-groupe de R mais pas un sous-anneau.
193. Montrer que si dans un anneau intègre A un élément a possède un inverse à droite b, alors
b est aussi inverse à gauche de a.
194. On définit dans R la loi par x y x y xy.
a. Montrer que R, est isomorphe à R, par un isomorphisme du type f x
x a;
en déduire les propriétés de * .
b. Calculer 1 2 . . . n.
DÉNOMBREMENTS
195. Dénombrer les grilles de mots croisés n n ayant exactement une case noire dans chaque
ligne et dans chaque colonne.
196. Dénombrer les couples A, B formés de parties d’un ensemble E ayant n éléments dont
l’intersection est réduite à un élément.
197. On tire au hasard et successivement deux parties A et B de E ayant n éléments ; quelle est
la abilité que ces deux parties
a. soient disjointes
b. soient de réunion égale à E
c. soient incluses l’une dans l’autre ?
198. Quel est la moyenne du nombre d’éléments d’une partie de E, ensemble ayant n éléments
? Quel est son écart-type ?
Rappel : l’écart-type est la racine carrée de la variance et la variance est la moyenne du
carré moins le carré de la moyenne.
Réponse : n/2 et n /2.
199. Soit f une application de E dans E; montrer que f vérifie f 2 f f
f si et seulement si
la restriction de f à f E est l’identité de f E .
En déduire dans le cas où E est fini possédant n éléments un calcul du nombre
d’application f de E dans E vérifiant f 2 f.
200. Déterminer le nombre u n de parties de |1, n| ne contenant pas deux entiers consécutifs.
On rappelle que la suite de Fibonacci F n est définie par F 0 0, F 1 1, F n F n 1 F n 2 .
201. Combien y a t il de types de classements avec ex æquos possibles de n concurrents?
Par exemple, pour n 3 il y en a 4 : soit il n’y a pas d’ex æquos, soit il y a un premier et
deux seconds ex æquos, soit il il y a deux premiers ex æquos et un troisième, soit enfin trois
premiers (et derniers !) ex æquos.
PROBABILITES
202. Soit l’ensemble des couples mariés d’une ville donnée. On considère les évènements
A : l’homme a plus de quarante ans , B : la femme est plus jeune que l’homme et C : la
femme a plus de quarante ans .
190. On définit dans
a. Exprimer, en fonction de A, B et C, l’évènement [le mari a plus de quarante ans mais
pas sa femme] .
b. Décrire, en langage ordinaire, les évènements A B C, A\B, A B C et A B.
203. Une probabilité P sur l’univers
a, b, c vérifie P a, b
, P b, c
.
On demande les conditions sur , pour que P existe et de donner les valeurs des pr
obabilités des évènements élémentaires.
204. On dit que B est presque inclus dans A si P B\A
0. Montrer que
P A P B ssi B est presque inclus dans A. Comment définirait-on le fait que
P A\B
deux évènements sont presque égaux?
n
n
205. Comparer P
Ai
i 1
et
P Ai .
i 1
206. Soient A et B deux évènements.
a. Démontrer que P A B
P A P B 1 et préciser le cas d’égalité.
b. Généraliser à plusieurs évènements.
c. Une enquête tenue secrète révèle qu’au moins 70% des élèves de terminale détestent le
français, au moins 75% la physique-chimie et au moins 80% les mathématiques.
Combien d’élèves au moins détestent toutes ces matières à la fois ?
207. On jette n fois un dé équilibré à n faces.
a. Quelle est la probabilité p n que la face une n’apparaisse jamais ?
b. Limite de p n quand n tend vers l’infini ?
208. On jette n fois un dé équilibré à n faces.
a. Quelle est la probabilité p n que la face une apparaisse un nombre impair de fois ?
b. Limite de p n quand n tend vers l’infini ?
209. 2n électeurs votent pour élire l’un de deux candidats, A et B. Au dépouillement,
exactement n électeurs ont voté pour A et n ont voté pour B. Mais un sondage de 2q
électeurs a eu lieu à la sortie des urnes ( 1 q n (on suppose que les électeurs disent
exactement pour qui ils ont voté).
a. Quelle est la probabilité p q que ce sondage donne exactement q électeurs ayant voté A
et q électeurs ayant voté B ?
b. Etudier le sens de variation de la suite finie p q .
q 1
pq 1
2 . n q .
Aide : on trouvera p q
q 1 n q 1
2
210. On organise une loterie avec n types de tickets vendus chacun à s euros ; il y a k tickets du
k ième type, qui lorsqu’on les achète, donnent chacun un gain de n k euros.
a. Quelle somme S la vente de de tous les tickets rapporte-t-elle à l’organisateur, et quel
est pour lui le coût total S des lots pour l’organisateur?
b. Quelle est l’espérance de gain pour l’acheteur d’un ticket ?
211. L’indépendance des évènements est-elle transitive ?
212. On jette un dé équilibré à n faces jusqu’à ce que le numéro tiré soit supérieur ou égal au
numéro du tirage précédent. On note X n le nombre de tirages effectués.
a. Déterminer X n
.
b. Déterminer P X n k et en déduire la loi de X n .
c. Calculer l’espérance de X n et déterminer la limite de E X n .
213. Un archer tire sur une cible située à 20 m et une cible située à 50 m. Il effectue trois tirs
en changeant de cible à chaque fois. La probabilité d’atteindre la cible à 20 m (resp. 50 m)
est p (respectivement q) avec q p. On suppose que les tirs sont indépendants. Il gagne le
jeu s’il atteint les deux cibles consécutivement. Calculer la probabilité de gagner en
commençant par la cible située à 20 m (resp. 50 m). Par quelle cible a-t-il intérêt à
commencer ?
214. Un club photo est composé de n membres dont f sont des filles. Un premier membre, tiré
au sort, est chargé de photographier un autre membre du club, lui aussi tiré au hasard.
Calculer la probabilité que l’élève pris en photo soit une fille.
215. Une abeille va chaque jour sur l’une des deux fleurs A et B. Au jour 0, elle va à la fleur A.
À chaque nouvelle journée, il y a une probabilité p 0, 1 qu’elle aille sur la même fleur
que la veille. Pour tout entier n, on note A n l’évènement [l’abeille est sur la fleur A au jour n]
et B n l’événement |[l’abeille est sur la fleur B au jour n . On pose a n P A n et
bn P Bn .
a. Déterminer des expressions de a n , puis de b n en fonction de n.
b. Vers quoi tendent les suites a n et b n ? Interpréter.
216. Etant donné un système complet d’évènements A 1 , . . . , A n de probabilités respectives
p 1 , . . . , p n , on considère la succession de tests informatiques : if A 1 then . . . elif A 2 then .....
elif A n then. . . .
a. Quelle est l’espérance du nombre de tests réellement effectués (dès qu’un évènement
est réalisé, les tests suivants ne sont pas effectués).
b. Application numérique : if 0 k 9 elif k 10 elif. . . . elif k 15, puis les tests en
sens inverse.
c. Dans quel ordre effectuer les tests pour minimiser l’espérance du a ?
217. Probabilité d’extinction d’une descendance.
On suppose que chaque individu a, au cours de sa vie, un probabilité p k d’avoir k enfants
(avec 0 k 3 .
a. On désigne par q n la probabilité que la descendance d’un individu comporte au plus n
générations (par exemple, q 1 p 0 .
On demande d’exprimer q n en fonction de q n 1 ; on montrera que q n est un polynôme
de degré 3 en q n 1 .
b. On prend pour la suite p 0 1/8, p 1 3/8, p 2 3/8; p 3 1/8; montrer que q n tend
vers 5 2.
c. Quelle est la probabilité que la descendance d’un individu soit infinie ?
d. Quelle est l’espérance du nombre de générations engendrées par un individu ?
218. Soient a un réel et X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| telle que
k
|1, n| P X k
ka.
a. Déterminer a pour que X soit effectivement une variable aléatoire.
b. Calculer E X et V X .
219. Soient n 2, a R et X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| telle que,
k
|1, n| P X k
ak n k . Déterminer a pour que X soit effectivement une
variable aléatoire et calculer E X .
220. Soient a 0 et X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| telle que, k
|1, n|
P X k
a k . Montrer qu’il existe une unique valeur de a pour laquelle X est
effectivement une variable aléatoire et calculer E X .
221. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans |1, n| avec n 1. Montrer que
n
EX
P X
k .
k 1
222. Montrer qu’une v.a. réelle qui prend trois valeurs distinctes a sa loi déterminée par son
espérance et sa variance.
ARITHMÉTIQUE
223. Montrer qu’une partie de N stable pour l’addition et contenant 0 n’est pas forcément de la
forme aN.
224. On divise deux entiers a b par leur différence a b. Comparer les quotients et les restes
obtenus.
225. Soit a, b, c un triplet pythagoricien, c’est-à-dire un triplet d’entiers 0 vérifiant
c 2 a 2 b 2 . Montrer que a ou b est multiple de 4.
226. Déterminer un critère le plus simple possible permettant de déterminer si un nombre écrit
en base 3 est pair.
227. Montrer de 2 manières différentes que lorsqu’on retranche 1 à un carré impair, on obtient
un multiple de 8.
228. Montrer que les entiers congrus à -1 modulo 8 ne peuvent être somme de trois carrés.
229. Montrer que pour n 2, le dernier chiffre (en base 10) d’un nombre de Fermat
n
F n 2 2 1 est toujours un 7.
230. Montrer que si a et b sont des entiers non multiples de 5, alors un, et un seul, des nombres
a 2 b 2 et a 2 b 2 est multiple de 5.
231. Rappel : on définit la suite de Fibonacci par F 0 0, F 1 1, F n F n 1 F n 2 .
On exécute l’algorithme d’Euclide sur le couple d’entiers a, b , a b 0, et on
constate qu’on a dû effectuer n divisions euclidiennes.
a. Montrer que a F n 2 et b F n 1 et que si a F n 2 et b F n 1 on effectue alors
exactement n divisions euclidiennes.
n 2
b. Vérifier que F n
où est le nombre d’or et en déduire que si b possède k chiffres
en base 10, l’algorithme d’Euclide donne le pgcd en 5k coups au plus quel que soit a.
232. Montrer que si a et b sont deux entiers, a 4 4b 4 n’est jamais premier, sauf si
a 4 b 4 1.
233. Montrer que si p 3 ou 7 et a et b sont des entiers, a 2 b 2 multiple de p implique a et b
multiples de p (on peut montrer que cette propriété est même vraie pour tout premier p non
congru à 1 modulo 4).
234. Soit p un nombre premier impair. On dit qu’un entier r est une racine n ième d’un entier
a modulo p si r n a p .
a. Montrer que que tout entier non multiple de p possède un inverse modulo p et que si
deux entiers a et b ont un produit congru à 0 modulo p, l’un d’entre eux est congru à 0
modulo p.
b. Déterminer les racines carrées de 1 modulo p.
c. Donner un exemple de p tel que 3 possède une racine carrée, et un exemple où il n’en
possède pas.
On se propose dans la suite de déterminer les racines cubiques de 1.
d. Résoudre x 2 x 1 0 p (indication : multiplier par 4 et mettre sous forme
canonique).
e. En déduire que si 3 possède une racine carrée a modulo p alors 1 possède 3 racines
cubiques modulo p, (on les exprimera en fonction de a d’un inverse b de 2) et que
sinon, il n’en possède qu’une. Déterminer par exemple les racines cubiques de 1
modulo 5 et 7.
235. :
a. Déterminer un entier u tel que 4u est congru à 1 modulo 7.
b. On se propose de résoudre en nombres entiers l’équation 7x 4y 100.
i. Montrer que si x, y est solution, y est forcément congru à 4 modulo 7.
ii. En déduire l’ensemble des solutions de cette équation et, parmi celles-ci, celles qui
sont formées de nombres 0.
c. Dans un champ, il y a en tout 100 poules, vaches et cochons, avec plus de vaches que
de cochons. Une vache mange à elle seule 5 tartes ; un cochon en mange 3, et trois
poules en mangent 1. A eux tous, ils mangent 100 tartes. Combien y a-t-il de poules, de
vaches, et de cochons?
236. On suppose connu le théorème de Fermat : si p est premier et a non multiple de p alors
a p 1 1 mod p. Cependant, la réciproque est fausse. On dira donc qu’un entier n est
pseudo-premier en base a si n n’est pas premier mais a n 1 1 mod n.
Soit alors a un entier 2, p un nombre premier ne divisant pas a a 2 1 , et considérons
a 2p 1 .
n
a2 1
a. Montrer que n est un entier non premier.
b. Vérifier que a 2p 1 mod n.
c. Montrer que p divise n 1 (utiliser le théorème de Fermat).
d. En déduire que n est pseudo-premier en base a.
e. En déduire qu’il y a une infinité de pseudo-premiers en base a.
f. Trouver un pseudo premier en base 10.
237. Soient k, n deux entiers, 1 k n 1 ; donner une condition suffisante pour que
a.
b.
n
k
n
k
soit divisible par n.
soit divisible par n n
1 /2.
c. Montrer que le cas b) est obtenu si n et n 1 /2 sont premiers, et 5
ce cas, n est appelé un nombre premier "sûr").
p
238. Montrer que si p est premier, alors
restes dans la division par p de
0 p pour 1
k
p
1
k
et de
p
1
k
k
n
k
n
2
3 (dans
1 ; en déduire les
.
239. Montrer que si un entier 0 est à la fois un carré et un cube alors c’est une puissance
sixième. Généraliser à une puissance n-ième et une puissance m-ième.
240. Le maximum de 2 réels est noté a b et le minimum a b ;
a. En utilisant le fait que a b a b a b, donner une formule exprimant a b c
uniquement à l’aide de et .
abc. pgcd a, b, c
b. Montrer que pour a, b, c entiers 0, ppcm a, b, c
.
pgcd a, b pgcd b, c pgcd c, a
Vérifier par exemple pour le ppcm de 6,10 et 15.
241. Soit p n la suite croissante des nombres premiers.
a. Montrer que p n 1 p 1 . . . . p n 1.
b. Montrer que tout entier 7 est la somme de 2 nombres premiers entre eux 2.
c. En déduire que p n 1 p n 2 p 1 . . . . p n (appliquer b) à p 1 . . . . p n .
SUITES
242. Etudier le sens de variation de la suite u n définie par u n 3 n
2 n.
2n
n
243. Etudier le sens de variation de la suite u n définie par u n
4n
et de la suite v n
définie par v n
2n
nu n ; en déduire un encadrement de
244. Soit a n n 1 une suite croissante ;
a. montrer que pour tout n 1 et tout k
n
|1, n|
k
n
ai
n
k
i 1
k
ai
i 1
n
Indication : étudier u n
.
k
ai
n
ai .
i 1
i 1
b. En déduire que si a n n 1 est une suite croissante à termes strictement positifs alors
pour tout n 1 et tout k
|1, n|
n
k
ai
i 1
k
n
ai
i 1
2n
n
n
4n
a. Montrer que uunn1
245. On pose u n
1
2n 1 , en déduire le sens de variation de u n .
2 nn 1
n
, en déduire que u n est majorée, et que
2n 1
b. Montrer que u n
2n
n
4n .
2n
n
n
1 .
kn
246. Étudier le sens de variation de la suite u n définie par u n
k 1
n
247. On pose r n
k 1
a. Montrer que r n
1
k
n
n
n
.
1
définie par u n
r n est croissante et majorée.
n
248. On dit qu’une suite est "périodique APCR" s’il existe un rang à partir duquel elle est
périodique. Donner un exemple de suite prenant un nombre fini de valeurs et qui n’est pas
périodique APCR. Montrer que ce phénomène ne peut pas se produire si la suite est définie
par récurrence simple.
249. Soit u n une suite numérique ; on pose v 0 u 0 et v n u n au n 1 ; exprimer u n en
fonction des termes de la suite v n . Idem pour w n u n nu n 1 .
250. Soit u n le nombre qui s’écrit 123. . . n en base n 1 ; exprimer u n sous forme d’une somme
et calculer cette somme à l’aide des suites géométriques.
251. 1 1 3 , 3 5 2 3 , 7 9 11 3 3 ; écrire la formule générale et la démontrer.
252. Arthur place S € à un taux mensuel de 1% ; chaque mois est prélevé sur la somme placée
1€ de frais fixes. Quelle somme aura-t-il au bout d’un an ? A partir de quelle somme ce
placement est-il avantageux ?
b. En déduire que la suite u n
n
x k , on définit une suite de fonctions par récurrence en posant : f 0 x
253. Si f x
k 1
fx
et f p 1 x
xf p x .
a. Donner et démontrer une formule développée pour f p x .
n
b. En déduire par cette méthode
k 1
n
k2 .
2k
kx k .
254. Calculer
k 1
a. Par une méthode utilisant les dérivées.
b. Par une méthode n’utilisant pas les dérivées.
255. :
n
n
k
a. Calculer
kx ; en déduire, pour |x|
1, la valeur de f x
kx k .
lim
n
k 1
k 1
b. Calculer f 1/100 et en déduire les 200 premières décimales de 1/9801.
256. :
n
n
k
a. Calculer
; on pose u n
n
k
k 0
1
1
n
.
k
1u .
2n n 1
1 .
c. En déduire u n 2
2n
257. Achille parcourt l’axe des x à la vitesse V et une tortue à la vitesse v V/k ; leurs
positions à l’instant t sont données par X Vt et x a vt ( a 0 .
On pose X 0 0 et x 0 a, positions d’Achille et de la tortue à l’instant 0 , et on définit
deux suites X n et x n , de sorte que X n et x n soient les positions respectives d’Achille et
de la tortue au même instant t n et que x n 1 soit la position de la tortue au moment (t n 1 où
Achille atteint la position x n que la tortue avait à l’instant t n (donc X n 1 x n .
On demande de calculer x n en fonction de n, k, a.
1 n 1 ; écrire ce nombre en base 10 pour a 1 et k 10.
REP : a k
1
k 1
k
258. Déterminer u n en fonction de n sachant que n N u n 2 6u n u n 1 et u 0 2, u 2 13
259. Déterminer u n en fonction de n sachant que n N u n 2 6u n u n 1 et
u 0 u 1 1; 10u 0 u 3 1.
260. Définition d’une suite par accumulateurs.
On définit par récurrence une fonction U de N R dans R par U 0, x
x et
U n, x
U n 1, nx ; que vaut U n, 1 ?
261. Définition d’une suite par accumulateurs.
Une fonction f de R 2 dans R étant donnée, on définit une fonction U de N R 2 dans R
par U 0, a, b
a , U 1, a, b
b et U n, a, b
U n 1, b, f a, b ; montrer que pour a et
b donnés, la suite u n définie par u 0 a, u 1 b, u n f u n 2 , u n 1 vérifie u n U n, a, b .
262. Calculer le terme général de la suite u n la suite définie par
u 0 1, u 1 cos x, u n
2 cos x. u n 1 u n 2 . Que retrouve-t-on ? Idem pour
u 0 0, u 1 sin x, u n
2 cos x. u n 1 u n 2 .
263. Soit u n une suite récurrente double vérifiant u n 2 au n 1 bu n ; montrer que la suite
u 2n est aussi une suite récurrente double et que l’équation caractéristique associée
vn
à v n a pour solutions les carrés des solutions de celle associée à u n .
b. Montrer que u n
1
n
264. Soit F n la suite de Fibonacci définie par F 0 0, F 1 1, F n F n 1 F n 2 . On demande
F n (on vérifiera que c’est un rationnel) et de donner ses 5
de calculer la somme
10 n 1
n 1
premières décimales sans calculatrice.
265. Soit t 0, 1 et u n une suite définie par ses deux premiers termes et la relation
un 1 un 2
; calculer u n et exprimer sa limite comme moyenne de u 0 et
u n moyenne
t 1 t
u1.
u0
266. On donne
N un
n
1
1
u0u1. . un
2
; calculer u n en fonction de n.
1
267. u n
1
n!
1
t n e t dt
0
a. Déterminer une relation de récurrence entre u n et u n 1 ; en déduire u n .
b. Déterminer lim u n à l’aide d’un encadrement.
c. En déduire
p 0
1 .
p!
n
268. u n
ln 1
k 2
1
k2
a. Simplifier u n ; en déduire sa limite.
n
b. En déduire la convergence de q n
k 1
1
k2
.
269. :
a. Une personne décide de manger 1/10 d’une plaque de chocolat, le lendemain 1/10 du
restant et ainsi de suite. Au bout de combien de temps aura-t-elle mangé la moitié ?
Quelle fraction aura-t-elle mangé à l’infini ?
b. Une personne décide de manger 1/4 d’une plaque de chocolat, le lendemain 1/9 du
restant, le surlendemain 1/16 et ainsi de suite. Quelle fraction aura-t-elle mangé à
l’infini ?
270. Soit u n une suite réelle vérifiant u n l et l u n 1 u n 1 u n pour un certain réel l et
tout entier naturel n.
a. Montrer que la suite u n converge vers l.
b. Déterminer les suites de la forme a n b vérifiant la propriété ci-dessus.
c. Soit f une fonction réelle défnie sur un intervalle I et la suite u n définie par u 0 I et
u n f u n 1 ; quelle propriété vérifie f pour que la suite ait la propriété du départ de
l’exercice ?
d. Ecrire alors un algorithme python déterminant l à une précision donnée utilisant f .
271. Un escargot capable de parcourir 1 mètre par jour est situé (jour 1) à l’extrémité d’un
ruban de longueur 10 mètres. Il voudrait parvenir à l’autre extrémité, mais chaque nuit
lorsqu’il se repose, le ruban s’étire uniformément et s’allonge de 10 mètres.
Cet escargot, ou l’un de ses descendants a-t-il des chances de parvenir à ses fins ?
Indication : montrer que la distance u n qu’il lui reste à parcourir à la fin du jour n vérifie
la relation de récurrence : u n 1
1 1n u n 1 , calculer u n et conclure en utilisant un
résultat démontré dans le cours.
272. Nombre moyen de diviseurs.
On pose D n la moyenne arithmétique du nombre de diviseurs des entiers entre 1 et n.
a. Montrer que nD n est le nombre de couples de naturels d, d vérifiant dd
n.
n
1
n .
b. En déduire que D n
n
d
d 1
c. Redémontrer que ln n h n ln n 1 où h n est la série harmonique.
d. En déduire que ln n 1 D n ln n 1.
273. On dit qu’une suite u n est convexe si chaque terme est au-dessous de la moyenne des
u n 1 u n 1 ; montrer qu’une suite convexe bornée est
deux plus proches (u n
2
décroissante convergente.
On montrera successivement : u n 1 u n croissante, u n décroissante (indication :
n k uk 1 uk
u k , u n convergente.
un un un 1 . . . uk 1 uk uk
Donner un exemple non constant.
n
u k ne tend pas vers 0,
274. Soit u n une suite de réels 0 de limite nulle ; montrer que
2k
k 0
n
u n k tend vers 0.
2k
mais que
k 0
275. On pose pour n
1 : un
a. Montrer que u n
n
n
1.
2 un
1
n
2 un
n
c. Vérifier que pour n
d. Calculer à la machine u 100
k 1
n
277. q n
k 1
1
k2
2
1 .
, vn
u n 1 et en déduire lim u n .
n
n
u n 1 et en déduire lim u
n
un
n
n .
100 .
n
1
......
2n
b. Vérifier que pour n
276. u n
1
u n ; montrer que u et v sont adjacentes.
n
n
n
un
1 ; déterminer la plus petite valeur de a de sorte que u n
k2
décroissante ; en déduire la convergence de q n et un calcul de sa limite à 10
n
1 , vn un
a avec
(généralisation facultative : u n
1
k
n 1
k 1
n
2, 12
n
n
1 ; montrer que q n
k2
k n 1
1
k2
1 ,v
k. k! n
279. u n
3
soit
près
k 1
n
278. q n
a
n
qn
1
n2
et q n
1
n
sont adjacentes. En déduire que pour
1.
n
1 ; montrer que u n et v n sont adjacentes (on peut
n 2 n!
un
k 1
1
ex
montrer que la limite est
x
1 dx .
0
280. Étudier la suite récurrente définie par
un
u0
0
1
f un
avec f x
6
x2
2
.
On donne f f x
x
x
1 x
x
2
2 x3
2
2
2x
6
18
n
281. Soit u n une suite décroissante de réels
u k possède une
0 telle que la somme S n
k 0
limite finie S.
a. Donner un exemple.
b. Montrer que forcément u n
n
c. T n
k uk
uk
1
1 (indication : minorer S 2n
n
; exprimer T n en fonction de S n et u n et déterminer sa limite.
k 1
282. Soit
Sn
n
n le plus grand diviseur impair de n et S n
k 1
a. Montrer que si n est impair, S n
Sn 1
calculer par exemple S 100 .
b. Calculer S 2 n .
1
Rep : 2 2 n
3
2n 1
2 n O 1 . Interpréter.
c. Montrer que S n
3
2
2 n 1
Rep : n S n
3
3
k
;
k
1 et sinon, S n
283. Déterminer un équivalent simple quand n tend vers
n
2
1S n
2
2
;
n
k
l’infini de u n
k
1
.
k 1
n
284. Déterminer un équivalent simple quand n tend vers
2 k et de
l’infini de u n
k 1
n
k2
2 .
vn
k 1
285. Soit u n une suite telle que u n u n 1 a n ; montrer que si u n est monotone, alors
a n , mais que ceci est faux dans le cas général.
un
2
n
k ; montrer à l’aide d’une décomposition en éléments simples que
286. On pose u n
2
k 1
k 2
1
un hn 3
o 12 ( h n est la série harmonique).
4
2n 2
n
287. Montrer que n!
n n mais que ln n!
ln n n (à l’aide d’une intégrale).
ESPACES VECTORIELS
288. a. F
x, y, z
R 3 /2x 2 z 2 4y 2 4xy 2xz 0 est-il un sous-R espace
3
vectoriel de R ?
b. G
x, y, z
C 3 /2x 2 z 2 4y 2 4xy 2xz 0 est-il un sous-C espace vectoriel
de C 3 ?
289. Les sous-ensembles suivants de E R N en sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
a.
un
E / u n est bornée
b.
un
E / u n est monotone
c.
un
E / n un 2 un
d.
un
E / n un 1
un
290. Les sous-ensembles suivants de E R N en sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
a.
un
E / u n est croissante
un
E / u n est monotone
b.
c.
un
E / u n est la somme d’une suite croissante et d’une suite décroissante
291. Les sous-ensembles suivants de E R N en sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
a.
un
E / p 1/ n u n p u n
b.
un
E / n p 1 / un p un
Rep : 01010101
0010101010
292. Les sous-ensembles suivants de E R R en sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
a. f E / a 0 / x |f x | a|x|
b. f E / a 0 / x |f x | a|x|
293. L’ensemble des fonctions de R R dont la courbe présente une asymptote (horizontale ou
oblique) au voisinage de
est-il un sous-espace vectoriel de R R ?
294. Libre ou lié ?
a.
1
0
1 2
,
0 1
2 1
,
2
1
3
1
3 3
,
7
1
b. cos, cos ², sin, sin ²
c. f, g, h avec f x
cos 2x cos x, g x
sin 2x sin x, h x
cos x.
295. On pose f x
|x|, g x
|x 1|, h x
|x 1| .
a. Montrer que f, g, h est libre;
b. Soit E le sous-espace vectoriel de R R que cette famille engendre ; ce sous-espace est-il
égal à F, ensemble des fonctions qui sont affines sur
, 1 , affines sur 1, 1 , et
affines sur 1,
?
296. Montrer par récurrence sur n que pour tout réel non entier naturel, et pour tous réels
x 1 . . . x n , la famille f k 1 k n des fonctions définies pour x x 1 par f k x
x x k est
libre.
297. F
M M 2,3 K / les lignes et colonnes de M ont une somme nulle .
Justifier sans calcul que F est un sous-espace vectoriel de M 2,3 K et déterminer sa
dimension.
a b c
298. F
M
M 3,3 K / les lignes, les colonnes et les diagonales de M ont
d e f
g h i
; justifier que F est un sev de M 3,3
une somme alternée nulle
K et déterminer sa dimenson.
a b c
299. F
M
h
d
K8 / a
b
c
c
d
e
e
f
g
g
h
g f e
justifier que F est un sev de K 8 et déterminer sa dimenson.
300. On donne trois réels a c b ; soit
E
f R a,b / f est affine sur a, c et affine sur c, b
a. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension 4.
b. Quelle est la dimension de
f R a,b / f est affine sur a, c et affine sur c, b
F E C 0 a, b , R
a
;
?
x a, f 2 x
b x.
c. Montrer qu’une base de F est f 1 , f 2 , f 3 où f 1 x
|x c|, f 3 x
301. Montrer que l’ensemble des suites périodiques à valeurs dans K de période un entier
p 0 donné est un sous-espace vectoriel de dimension p de K N .
302. Soit B
e 1 , . . . , e n une base de E , u un vecteur de coordonnées a 1 , . . , a n dans B.
e 1 u, . . . , e n u est une base de E (on
Déterminer à quelle condition la famille B
pourra commencer par le cas n 2 .
303. F est l’ensemble des étoiles magiques à 5 branches de somme nulle ; montrer que F est un
sev de dimension 5 de K 10 .
1
304. F
2
2
vect
3
,
3
305. F
3
,
3
4
4
F ? Base simple de F ?
Rep: 11x 9y z t
306. E
R
1,1
1
3
,
4
1
; dim F ? Equations cartésiennes
2
1
1
1
1
,
1
2
; dim F ? Equations cartésiennes de
1
0
1
1
;f x
1
,
1
1
2
2
vect
4
4
,
4
1
de F ? Base simple de F ?
Rep : x z 2t 0
1
3
x ;g x
x
1
1/f x ; h x
1
x
2
x
;k x
1
x2
;
rg f, g, h, k ?
x 1 , . . . x p une famille libre de vecteurs de E et u un vecteur de E; montrer que
307. Soit F
p
G
x1
u, . . . x p
u est liée ssi
1, . . . ,
p
vérifiant
i
i 1
que dans ce cas, le rang de la famille G vaut p
x
y
z
t
0
p
1 tels que u
ixi
et
i 1
1.
; montrer F sev de K 4 , en déterminer une base, un
x 3y 2z 0
supplémentaire G, et définir la projection de base F et de direction G.
309. F : x y z t 0 ,G : x y z t 0; montrer F sev de K 4 de dimension 3 (on
admettra que de même pour G ; déterminer une base B de F G que l’on complètera en
deux bases C et D de F et G.
310. Montrer que les 2 sous-ensembles de R R : F formé des fonctions T-périodiques, et G
formé des fonctions nulles sur 0, T sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de
RR.
RÉELS LIMITES
311. Soit a n une suite de réels 0 non majorée ; montrer que l’ensemble des quotients d’un
entier par un élément de cette suite est dense dans R ; qu’obtient-on si a n n, 10 n , ou 2 n ?
312. :
a. Montrer qu’une fonction lipschitzienne sur un intervalle I borné (non forcément fermé)
est bornée sur cet intervalle.
b. En déduire que le produit de deux fonctions lipschitziennes sur I est une fonction
lipschitzienne. Est-ce encore exact si on remplace I par R ?
313. Equivalent simple quand x tend vers
, 0,
de 3 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 x .
308. F :
314. Equivalent simple quand x tend vers
, 0,
de 3 x 3 x 2 x
x2 x .
x2
ch x ch2x
, de
quand x tend vers 0.
315. Limite de cos x e
cos x cos 2x
cos x cos 2x
tan 3x
316. Limite de tan 3 x
, de tan 9x quand x tend vers .
2
tan 3x
6
ln 1 x x ln x
317. Limite de
quand x tend vers
.
ln x
ln x 4 e x
318. f x
; déterminer l lim f x et un équivalent de f x l.
x
x
x
ln 3e 2e x
319. f x
; D f ? lim f ? lim f ?
x
0
2
320. Equivalent simple quand x tend vers
de e x x .
CONTINUITÉ
321. Montrer que la fonction f définie par f x
x arrondi x (arrondi x est l’entier le
plus proche de x) est continue sur R ; tracer.
322. Montrer que la fonction f définie par f x
x 1
x ( x est la partie fractionnaire
de x) est continue sur R ; tracer.
323. Déterminer toutes les fonctions f continues sur R telles que
x, y R f x y f x y
2fx fy
324. Déterminer toutes les applications f de R dans R continues en 0 et 1 vérifiant
fx .
x R f x2
325. Donner un exemple de fonction discontinue en tout point de R et qui possède une fonction
réciproque (avec justification).
326. :
a. Donner un exemple de fonction non constante dont l’ensemble des périodes soit dense
dans R.
b. Montrer que si une fonction dont l’ensemble des périodes est dense dans R est continue
sur R, alors elle y est constante.
327. Donner un exemple de fonction continue et bornée, qui n’est pas uniformément continue.
328. On pose f x
sin x 2 ; f est-elle continue, uniformément continue, lipschitzienne sur R ?
329. Soit f une fonction uniformément continue sur R .
a. Montrer qu’il existe
0 tel que si n x
n 1 alors |f x | n 1 |f 0 |.
b. En déduire qu’il existe a, b 0 tels que |f x | ax b pour tout x 0 (faire une figure
ilustrative).
330. Soit f une fonction définie sur R vérifiant f x
x pour tout x et dont le taux
d’accroissement reste constamment dans l’intervalle 0, 1 .
a. Vérifier que f est continue et croissante sur R.
b. Donner un exemple autre que f x
x c.
c. Montrer que |f x | |f 0 | |x| pour tout x puis que f x ~ x.
x
331. Soit P X n a n 1 X n 1 . . . a 0 un polynôme à coefficients réels, avec les a i 0, l’un
d’entre eux 0 ; montrer que P possède une unique racine 0.
Px
Indication : considérer f x
pour x 0.
xn
332. Soit f une fonction continue sur 0,
vérifiant f 0
0 ; montrer qu’elle possède un
point fixe dans les cas suivants :
x.
a. f x
x
b. la courbe de f en l’infini possède une asymptote d’équation y
x
a avec a
0.
333. Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un intervalle a, b vérifiant f a
gb
et f b
g a ; montrer qu’il existe c de a, b tel que f c
g c . Montrer que c’est faux si
on ne suppose pas f continue.
334. Soit f une fonction continue sur R possédant un cycle fixe (c’est-à-dire une liste de réels
a k 1 pour 1 k n 1 et f a n
a 1 . Montrer qu’alors elle
a k 1 k n tels que f a k
possède un point fixe (commencer par n 2 . Donner un exemple avec n 3.
335. Soit f une fonction continue sur R ayant des limites finies en
et
; montrer qu’elle
est bornée sur R. Atteint-elle forcément ses bornes sur R ?
336. Soient f et g deux fonctions de R vers R continues sur un intervalle fermé I ; on pose
a sup f, b sup g, c sup f g .
I
I
I
a. Montrer a b c.
b. Rappeler pourquoi il existe x 1 , x 2 de I tels que a f x 1 , b g x 2 .
c. Montrer que si x 1 x 2 , a b c.
d. Montrer que si x 1 x 2 , f x
a pour x x 1 et f x
b pour x x 2 , alors a b c.
337. Soient f et g deux fonctions croissantes sur un intervalle ouvert I , dont la somme est
continue sur I ; montrer que f et g sont continues sur I.
POLYNÔMES
338. Trouver des formules pour deg P Q et val P Q .
339. Résoudre dans K X : P P P.
340. Résoudre dans K X : P P P 2 .
Rep : 1, 0, X 2 .
341. Déterminer les fonctions polynomiales f P R, R bijectives dont la réciproque est aussi
polynomiale.
342. Montrer que la famille X a k X b n k 0 k n où a et b sont deux éléments de K
distincts est une base de K n X .
343. Pour 0 k n, on pose P k
1 X n 2 n X k ; quel est le rang r de la famille
F P0, P1, . . . , Pn ?
344. Pour 0 k n, on pose P k
Xn 1 1
n 1 X 1 X k ; quel est le rang r de la
famille F P 0 , P 1 , . . . , P n ?
345. F
P Kn X / P a
0 où a est un élément de K fixé ; montrer que K est un
supplémentaire de F dans K n X et déterminer une base de F.
346. Déterminer tous les polynômes P K X tels que P 2X
2P X . Donner un exemple
d’application de R dans R non polynomiale vérifiant x R f 2x
2f x .
347. Soit n un entier naturel et F
P K X / XP
1 X P nP 0 .
a k X k appartient à F ssi pour tout k
a. Montrer que P
1 k2ak
k 0
b. En déduire que les éléments de F sont de degré
n
k
1 ak 1.
n
a k X k de F, calculer
n et, pour P
k 0
a k en fonction de a 0 . Quelle est la dimension de F ?
c. Résoudre l’équation différentielle : xy
1 x y 2y 0.
rep : _C1*(2 4*x x^2) _C2*(1/4*(-3-x)*exp(-x) 1/4*Ei(1,x)*(2 4*x x^2))
348. Déterminer le pgcd D de A X 5 X 4 2X 3 X 2 2 et de B X 5 X 3 X 2 2X 2
par l’algorithme d’Euclide ; déterminer U et V tels que AU BV D.
349. Montrer que si n et m sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux, X n 1
X m 1 divise X nm 1 X 1 .
350. Soit a un élément de K différent de 1 et P K X un polynôme tel que P k
a k pour
tout entier k de 1, n . Montrer que P est au moins de degré n.
Indication : P X 1 aP X .
351. Soit P K X un polynôme tel que P k
1/k pour tout entier k de 1, n .
a. En considérant le polynôme Q XP X 1, montrer que P est au moins de degré
n 1.
b. Montrer qu’il existe un et un seul poynôme P n de degré n 1 tel que P n k
1/k pour
tout entier k de 1, n défini par
an X 1 . . . X n 1
Pn
X
(on donnera la valeur de a n .
c. Calculer P n n 1 .
352. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme P R X tel que
a. P n
1/n pour tout naturel non nul n.
b. P n
2 n pour tout naturel n.
c. P x
e x pout tout réel x entre 0 et 1.
353. Déterminer tous les polynômes P à coefficients réels, scindés sur R, tels que
PX PX 1
P X2 .
Indication : montrer d’abord que les seules racines possibles d’un tel polynôme sont 0 et
1.
n’est pas rationnelle, ce qui signifie qu’il n’existe pas de
354. Montrer que la fonction
Px
polynômes P et Q à coefficients réels tels que x 0 x
.
Qx
n
355. Soit P un polynôme de degré n, a un élément de K. Montrer que P X
a
k 0
n
a k X k et en utilisant la formule du binôme.
a. En écrivant P
k 0
b. En utilisant la formule de Taylor pour P en x 0 : P x 0 X . . . .
2
2n
X4
1 n X
sont d’ordre 2 au
356. Montrer que les racines de 1 X
2
4!
2n !
maximum.
357. Déterminer l’ordre de 1 dans P X 2n 1 2n 1 X n 1 X n 1
a. Par les dérivées.
b. En remplaçant X par 1 X.
358. Trouver a, b, c pour que X 2n 1 aX n 1 bX n c P soit divisible par
X 1 3 . Déterminer alors l’ordre de 1 dans P.
359. Que vaut f x ?
ak P k .
k!
360. Déterminer un polynôme P 0 de degré 3 tel que
P0 0
1, P 0 0
0, P 0 1
0, P 0 1
0 ; puis déterminer tous les polynômes P
vérifiant les mêmes propriétés.
361. On rappelle que si x 1 , . . . , x n sont n éléments de K distincts, pour tout i, 1 i n, il
existe un unique polynôme de degré n 1 noté L i tel que L i x k
i,k pour tout k,
X xk
1
k
n, et que L i
1 k n,k i
xi
xk
; on demande de démontrer qu’il existe un unique
1 k n,k i
0 et M i x k
polynôme de degré 2n 1 noté M i tel que M i x k
i,k pour tout k,
1 k n, et d’en donner une expression simple à partir de L i .
Rep : M i
X x i L 2i
362. :
a. Montrer que X 3 X 2 1 possède une unique racine réelle a.
b. Déterminer la décomposition de X 5 X 1 en produit de facteurs irréductibles réels, en
utilisant a.
363. Montrer que le polynôme à coefficients réels X 4 pX 3 qX 2 rX s possède deux
couples de racines réelles opposées ssi p r 0, s 0 et q
2 s.
n 1
n
364. Soit P a 0 a 1 X . . . a n 1 X
X un polynôme normalisé à coefficients complexes
dont toutes les racines ont un module inférieur ou égal à 1 ; montrer en utilisant les relations
n
entre coefficients et racines que |a k |
.
k
365. Soient a, b, c les 3 racines de X 3 px 2 qX 1 ; déterminer le polynôme unitaire ayant
pour racines :
a. 1a , 1 , 1c .
b
b. ab, bc, ca.
c. a b, b c, c a.
366. Soit ABC un triangle du plan complexe, et soient a, b, c les affixes respectives de A, B, C.
a. Montrer que ABC est équilatéral ssi a 2 b 2 c 2 ab bc ca .
b. En déduire la condition sur p, q, r pour que le polynôme X 3 pX 2 qX r ait ses trois
racines formant un triangle équilatéral.
DÉRIVABILITE
367. :
a. Soit V un voisinage de x 0 et f et g deux fonctions définies sur V et dérivables en x 0 ;
montrer que si x V f x
g x , et f x 0
g x 0 alors f x 0
g x0 .
b. Application : f x
x cos x ; calculer f k ( k entier) sans calculer f x d’une façon
générale.
368. Soit f une application de 0, 1 dans lui-même, croissante, vérifiant f f f.
a. On suppose f continue sur 0, 1 ; justifier qu’il existe a b tels que f 0, 1
a, b ;
déterminer alors f sur a, b puis sur 0, a et b, 1 .
b. Montrer que si f est dérivable sur 0, 1 , alors f est constante ou l’identité.
369. :
a. Déterminer toutes les fonctions f définies sur R et continues en 0 telles que f 2x
fx
pour tout x. Montrer que l’hypothèse de continuité en 0 est indispensable pour obtenir
ces solutions.
b. En déduire toutes les fonctions f dérivables sur R et de classe C 1 en 0 telles que
f 2x
2f x pour tout x.
370. :
a. Déterminer toutes les fonctions f définies sur R et continues en 0 telles que f 2x
fx
pour tout x. Montrer que l’hypothèse de continuité en 0 est indispensable pour obtenir
ces solutions.
b. En déduire toutes les fonctions f définies sur R et dérivables en 0 telles que
fx
f 2x
2f x pour tout x (indication : g x
x . Montrer que l’hypothèse de
dérivabilité en 0 est indispensable pour obtenir ces solutions.
371. Déterminer toutes les fonctions f de classe C 2 sur R telles que
x, y R f x y f x y
2fx fy
372. f x
e x ax pour x 0 et b cos x pour x 0.
Quelle est la classe maximale (D 0 , C 0 , C 1 , C 2 ) de f en 0 suivant les valeurs de a et b ?
ln 2e x e x
373. f x
.
x
a. D f ?
b. Prolonger f par continuité.
c. Le prolongement f est il dérivable en 0 (on donne e x 1 x x 2 /2 o x 2 et
ln 1 x
x x 2 /2 o x 2 ?
d. Est-il de classe C 1 ?
374. f x
cos x pour x 0, et f x
ch x pour x 0 ; montrer que f est de classe C 1 sur
R.
375. f x
e x x ; étudier f, définir et étudier f 1 , déterminer la classe de f 1 , tracer les deux
courbes, donner les valeurs exactes de f 1 1 et f 1 1 et des valeurs approchées de f 1 0
et f 1 0 .
1
376. f x
1 sin 1
x
x
a. Prolonger f par continuité en 0.
b. Montrer que f est alors dérivable sur R, strictement croissante sur R, et de dérivée
s’annulant une infinité de fois dans tout voisinage de 0.
377. Calculer la dérivée (n 1 ième de f : x x n ln x.
378. Calculer la dérivée nième de f : x
e x . Montrer que f
x
n
n
1
n
1 e
1
k!
k
k 0
379. Appliquer la formule de Leibniz à la relation tan
1 tan 2 et en déduire que les
dérivées successives de tan sont toutes constamment 0 sur 0, /2 .
e x ; en appliquant la formule de Leibniz à x xf x , déterminer une
380. On pose f x
x
n!.
relation de récurence permettant de calculer les termes de la suite f n x ; calculer f 4 1
par cette méthode.
381. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ayant sur cet intervalle deux racines
distinctes et de même signe ; montrer qu’il existe entre ces racines un point de la courbe de f
où la tangente passe par O.
fx
Indication : x (faire une figure).
382. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I , soit A et B deux points distincts de sa
courbe représentative C tels que la tangente à C en A passe par B ; montrer qu’il existe
un point C de C tel que la tangente à C en C passe par A.
383. Montrer que si P est un polynôme réel de degré n, l’équation P x
e x possède au plus
n 1 solutions et que si P n’est pas constant, l’équation P x
sin x possède un nombre fini
de solutions.
384. Soit f une fonction dérivable sur R telle qu’il existe un réel k 0 tel que pour tout x,
f x
k;
a. Montrer que f est une bijection de R dans R.
Indication : utiliser le TAF sur 0, x .
b. Montrer que ce résultat est faux si l’on suppose seulement f x
0 pour tout x.
385. Soit f une fonction dérivable sur 0,
; étudier les diverses implications entre a), b), c).
l R
a. f x
x
b. f x
a
0 pour tout a
fx
0.
x
c. f x
0.
x
réponse : a
b;c
b ; a et non c : sin(x 2 )/x : c et non a : ln x. le reste s’en déduit...
386. Soit f une fonction de classe C n 1 sur a, b , n fois dérivable sur a, b telle que
fk a
fk b
0 pour 0 k n 1. Montrer qu’il existe n valeurs distinctes dans a, b
n
où f s’annule.
FRACTIONS RATIONNELLES
387. Soit F une fraction rationnelle ; montrer que si F n’est pas de degré nul, alors
deg F
deg F 1, mais que si F est de degré nul alors deg F
2 ; en déduire que par
exemple, il n’existe pas de fraction rationnelle dont la dérivée soit 1/X .
388. Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelle F dont la dérivée soit de degré -1.
389. Soit P/Q la forme irréductible d’une fraction rationnelle F ; donner une CNS sur P et Q
pour que F soit paire (resp. impaire).
n
k4
390. Calculer
k 2
REP : n
k
2
1 4n 4
1
;
14n 3
34n 2
33n 6 /12/n/ n 1
6
4
3
2
391. Décomposer en éléments simples X X 53X 33X 3X 1 :
X 2X X
1/(-1 X)^2 1/X 2/(1 X)^2 X
5
4
3
2
2X 1 :
392. Décomposer en éléments simples X X 4 2X3 3X2
X X X X
X 1/((X-1)^2) 1/X 2/(X 1)
6
5
4
3X 3 3X 2 2X 1 :
393. Décomposer en éléments simples X X X
4
X X3 X2 X
X^2 1/(X-1) 1/X 2/(X 1)
2
n 2 n 1 , sachant que
1
394. Calculer
.
4
2
2
6
n n
n
n 2
n 1
395. Soit P un polynome de degré n à racines simples x 1 , . . . , x n .
a. Décomposer 1/P en éléments simples en utilisant P .
n
b. En déduire que si n
2,
k 1
n
1
P xk
0 et si n
3,
k 1
xk
P xk
0.
396. A
X a n, B
X b m , A B ; montrer que la recherche de la décomposition en
éléments simples de 1/AB revient à la recherche de la relation de Bézout entre A et B.
Appliquer à X 1 3 et X 2 .
APPLICATIONS LINÉAIRES
397. Donner un exemple d’application linéaire de K 3 dans K 4 dont le noyau soit la droite
x y z et dont l’image soit incluse dans l’hyperplan x y z t 0. Quelle est alors
cette image ?
398. Donner un exemple d’endomorphisme de K 3 dont l’image soit la droite x y z et dont
le noyau contienne cette image. Quel est alors ce noyau ?
399. Donner un exemple d’endomorphisme de K 4 dont l’image soit l’hyperplan x y t 0 et
dont le noyau soit inclus dans cette image. Quel est alors ce noyau ?
400. Soit l’application de R R dans lui même qui à toute fonction f fait correspondre la
fonction f définie par f x
f x T f x T 0 fixé) ; vérifier que est linéaire
et déterminer son noyau et son image.
401. Soit l’application de R R dans lui même qui à toute fonction f fait correspondre la
fonction f définie par f x
f x f x ; vérifier que est linéaire et déterminer
son noyau et son image. Pour l’image, on montrera d’abord qu’elle est incluse dans un sev F
de R R bien connu, puis on montrera l’inclusion réciproque ; indication : calculer f pour f
impaire.
402. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie.
a. Montrer que dim ker f dim ker f 2 2 dim ker f (indication : ker f 2 ker f G, et la
restriction de f à G est injective).
b. Qu’en déduit-on pour Im f et Im f 2 ?
c. Exemple où dim ker f 2 2 dim ker f ?
403. Soient f L E, F et g L F, G . Montrer
g f est bijective
f est injective, g est surjective et F Ker g Im f
404. Soient f, g deux endomorphismes bijectifs d’un plan vectoriel E 2 . Montrer que f, g libre
dans L E 2 équivaut à x E 2 / f x , g x libre dans E 2 .
L’une des implications est facile, et on montrera l’autre par contraposée, et en se plaçant
dans une base de E 2 .
405. Soit l’application de E C R, R dans lui même qui à f fait correspondre f f,
vérifier qu’elle est linéaire et étudier son injectivité et sa surjectivité.
406. Montrer que les espaces vectoriels K X 2 et K X sont isomorphes. L’isomorphisme
trouvé est-il un isomorphisme d’anneaux ?
407. Soit T l’application de R R dans lui même qui à f fait correspondre T f définie par
Tf x
fx 1 .
a. Vérifier que T est linéaire.
b. Soit a 0 ; Donner un exemple de f non nulle telle que T f
af ; qu’en déduit-on
pour l’injectivité de T a. Id ?
c. Donner un exemple de f non nulle telle que T f
f.
d. Soit a 0; Donner un exemple de f non nulle telle que T f
af.
2
408. Soit f un endomorphisme d’un plan vectoriel réel E 2 vérifiant f
id.
a. Montrer que f est bijectif et donner son inverse.
b. Montrer qu’il existe une base de E 2 où la matrice de f est
0
1
1
0
.
409. Soit f un endomorphisme de E vérifiant f
id
f
id
0 avec
.
a. Montrer que ker f
id
Im f
id et donner une égalité similaire.
b. Montrer que E ker f
id
ker f
id analyse et synthèse).
c. En déduire que si E est de dimension finie, f possède une matrice diagonale.
d. Qu’obtient-on si
0 et
1?
e. Qu’obtient-on si
1 et
1?
410. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E 3 de dimension 3 tel que f 3 0 mais
f 2 0.
a. Montrer que si f 2 a
0, a, f a , f 2 a
est une base.
b. Quelle est la matrice de f dans cette base ?
c. Déterminer le noyau et l’image de f.
411. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n vérifiant f n 0 mais
f n 1 0.
a. Montrer que si f n 1 a est non nul, alors la famille B
a, f a , . . . , f n 1 a
est
une base de E.
b. Déterminer la matrice de f dans B.
c. Déterminer le noyau et l’image de f.
TAYLOR, DL et ÉTUDE DE FONCTION
412. Soient a x 0 b trois réels fixés et f une fonction numérique de classe C 1 sur a, b , 2
fois dérivable sur a, b . Montrer qu’il existe c a, b tel que :
x0 a b x0
f x0
g x0
f" c où g est l’unique fonction affine prenant les mêmes
2
valeur que f en a et en b.
Indication : poser x
fx gx
x 0 a b x 0 où est un réel (que l’on ne
demande pas de calculer) déterminé de façon à ce que x 0
0, remarquer que s’annule
trois fois et appliquer le théorème de Rolle.
413. Soient a b deux réels fixés et f une fonction numérique de classe C 1 sur a, b , 2 fois
dérivable sur a, b . Montrer qu’il existe c a, b tel que :
b a 2
fb
fa
b a f a
f" c .
2
Indication : poser x
fb fx
b x f x
b x 2 où est un réel (que l’on
ne demande pas de calculer) déterminé de façon à ce que a
0, et appliquer le théorème
de Rolle.
1
414. Déterminer le DLP 3 de f x
e x en x 0 0, sans utiliser la formule de Taylor-Young.
En déduire pour quelle valeur x 0 la courbe de f possède en x 0 , f x 0 un point d’inflexion ;
tracé de la courbe au voisinage de ce point.
415. Déterminer le DLP 3 de f x
xe x en x 0 , sans utiliser la formule de Taylor-Young. En
déduire pour quelle valeur x 0 la courbe de f possède en x 0 , f x 0 un point d’inflexion ;
tracé de la courbe au voisinage de ce point.
ln x en x 0 0, sans utiliser la formule de Taylor-Young.
416. Déterminer le DLP 3 de f x
x
En déduire pour quelle valeur x 0 la courbe de f possède en x 0 , f x 0 un point d’inflexion ;
tracé de la courbe au voisinage de ce point.
1
1 . Montrer que f possède un DLP 3 en 0 ; qu’en déduit-on pour f en 0 ?
417. f x
x
ex 1
Tracer l’allure de la courbe au voisinage de 0.
418. : Inégalités de Huygens.
a. Déterminer a et b de sorte que a sin x b tan x x soit, quand x tend vers 0, un
infiniment petit minimal (c’est-à-dire que la partie principale de a sin x b tan x x soit
de degré maximal) ; ensuite, pour cette valeur de a, b , comparer x et a sin x b tan x
sur 0, /2 .
b. Même question en remplaçant tan x par sin 2x.
419. Soit f une fonction injective et de classe C au voisinage de 0, de DLP 3 en 0 :
fx
x ax 2 bx 3 o x 3 ; déterminer en fonction de a et b le DLP 3 de f 1 en 0. Vérifier
pour f x
ln 1 x .
420. Où est l’erreur dans le raisonnement suivant ( x
?
1 o 1
1
1
1
ln 1 1x
sin 1
o 1x
o 1x
x
x
x
x 1
x 1
x 1
1
1
1
o 1x
xx 1
xx 1
x2
Déterminer le bon équivalent.
421. Equivalent quand x
de f x ch x 1 ch x ; limite quand x
de f x 1/ x .
x 3 1 ; DLP en 0 à l’ordre 2n 1 et DLG en
à la précision 12n (écrit avec un
422. f x
x
x2 1
et avec des ...)
xx 1
423. f x
; DL à tout ordre de f en 0, en 1, en
.
x 1
x
424. Etudier f définie par f x
xx .
425. Un point P t, 1 parcourt la droite y 1 ; soit Q le projeté de P sur Ox et M le projeté de
Q sur OP ; on demande de tracer le lieu C de M quand P varie (appelé cissoïde de
Dioclès).
On montrera que C a pour équation cartésienne x 2 1 y
y 3 , que l’on mettra sous la
forme x
f y et on étudiera f.
426. Etudier une fonction permettant de tracer la courbe d’équation cartésienne
y2 x 1
x 3 . On étudiera la position par rapport aux asymptotes.
427. Etudier une fonction permettant de tracer la courbe d’équation cartésienne
x 2 x 1 . On étudiera la position par rapport aux asymptotes. On montrera
y 2 3x 1
que les 3 asymptotes forment un triangle équilatéral.
x 3 6x ; étudier f ( branches infinies) ; étudier les suites récurrentes associées à
428. f x
3x 2 2
f.
MATRICES
429. Soit A une matrice carrée d’ordre n vérifiant |i j| 2
A i, j
0 ; montrer qu’alors
A 2 i, j
0.
|i j| 3
430. Les ensembles G
x x
/ x
K
et H
0 0
sont-ils des groupes pour la multiplication des matrices ?
x y
0 0
/ x, y
K
0 1 1
431. : A
1 0 1
0 0 1
entier négatif ?
: calculer A n pour n entier naturel ; peut-on étendre les résultats à n
1 1 1
432. A
0 1 1
: calculer A n pour n entier naturel en utilisant la formule du binôme ;
0 0 1
peut-on étendre les résultats à n entier négatif ?
0 1 1
433. A
1 0 1
: calculer A n pour n entier naturel en utilisant la formule du binôme ;
1 1 0
peut-on étendre les résultats à n entier négatif ?
434. Montrer qu’une matrice A de M np K est de rang 1 si et seulement si A est le produit
d’une matrice colonne non nulle par une matrice ligne non nulle.
435. Soit A une matrice de M n K de rang 1 ; montrer qu’il existe un nombre tel que pour
p 1
tout p entier 1 , A p
A
a. Méthode 1 : montrer d’abord que A CL où L est une matrice ligne et C une matrice
colonne et utiliser le fait que LC est un nombre.
b. Méthode 2 : soit f l’endomorphisme de K n associé à A ; montrer que f x
x e et
calculer f p x .
436. Montrer que si A et B sont deux matrices de M n K vérifiant trace AM
trace BM pour
toute matrice M de M n K , alors A B. A l’injectivité de quelle application ceci
équivaut-il ?
437. Déterminer le rang de la matrice
0
1
0
..
0
1
0
1
..
0
1
0
..
..
..
..
..
..
..
..
0
1
0
..
..
1
0
1
0
..
0
1
0
..
.
438. Soit D une matrice diagonale de M n K dont tous les coefficients diagonaux sont
distincts ; on considère l’endomorphisme f de M n K défini par f M
MD DM. On
demande de déterminer le noyau et l’image de f.
439. En dimension 3, un vecteur u a des coordonnées x, y, z dans une base i, j, k et des
coordonnées X, Y, Z dans une base I, J, K vérifiant X x 2y,
Y x y z, Z x y 2z ; on demande les expressions de I, J, K en fonction de i, j, k.
440. On donne dans un espace vectoriel de dimension finie trois bases B 0 , B 1 , B 2 ; On connait
la matrice P 1 de passage de B 0 à B 1 et la matrice P 2 de passage de B 0 à B 2 ; on considère
l’endomorphisme f qui transforme la base B 1 en la base B 2 .
a. Quelle est en fonction de P 1 et P 2 la matrice A de f dans la base B 0 ?
b. Faire une application numérique où B 0 est la base canonique de R 2 et B 1 , B 2 deux
bases très simples.
0 1 0 0
441. Soit f l’endomorphisme de matrice A
1 0 0 0
0 0 0 1
dans une base B ;
0 0 1 0
a. Montrer qu’il existe une base C
B, non obtenue par permutation des éléments de B,
dans laquelle f a aussi pour matrice la matrice A.
b. Si P est la matrice de passage de B vers C, que peut on alors dire de A et P ? Vérifier.
c. Déterminer une base D dans laquelle la matrice de f est diagonale ; donner la nature de
f.
442. Soit f un endomorphisme de E.
a. Montrer que E Im f ker f équivaut à l’existence de deux sous-espaces
supplémentaires F et G et d’un élément f 0 de GL F tels que pour tout x de E
f x
f0 x F .
b. En déduire que si A est une matrice carrée d’ordre n, K n Im f A ker f A ssi A est
semblable à une matrice formée d’une matrice inversible bordée de zéros.
443. Soit M une matrice carrée d’ordre n 2.
a. Montrer que si M est inversible à coefficients tous non nuls, alors M 1 ne peut avoir
plus de n 2 2n coefficients nul (raisonner par contraposée).
b. Donner un exemple de matrice dont tous les coefficients sont non nuls et dont l’inverse
a n² 2n coefficients nuls.
COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE
444. Soit p un projecteur de E, et F un sev de E ; montrer que
pF
F ker p
Im p
p
1
F
F
Im p
ker p
445. Soient p et q deux endomorphismes de E ; montrer que p et q sont deux projecteurs
associés ssi
p q id
Im p
Im q
0
446. Soit s un endomorphisme de E ; montrer que s est une symétrie ssi
Im s id
Im s id
0
447. Soient F 1 , F 2 , . . . F p p sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un même espace
vectoriel.
Montrer que si dim F 1 dim F 2 . . . dim F p dim F 1 . . . . F p , alors les F i sont en
somme directe.
448. Soient F 1 , F 2 , . . . F p p sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel.
Montrer que les F i sont en somme directe ssi
x 1, . . . , x p
F1 . . . Fp
i xi 0
x 1 , . . . , x p libre.
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
449. Résoudre : 1 x 2 y 4xy
2 5x 6x 2 x 3 e x
y
/ x2 1 2 ex x 1 .
1 x 2 y sur R , R , R.
450. Résoudre : x 1 x 2 y
451. Un escargot avance à une vitesse V e sur un élastique rectiligne de longueur L dépendant
du temps, élastique attaché en O et placé sur Ox.
a. Montrer que l’abscisse x de l’escargot est régie par l’équation différentielle :
x
Ve x L
L
et que la longueur y L x restant à parcourir par l’escargot pour atteindre l’extrémité
de l’élastique est régie par
Ve y L
y
L
b. On suppose V e constante 0 et L L 0 Vt avec V constante 0, L 0 0 ; à l’instant 0
l’escargot est en O. Déterminer y en fonction de t.
.
REP : y L 1 V e ln L
V
L0
c. En déduire que l’escargot atteint l’extrémité de l’élastique en un temps fini T à calculer
:
V
L0 e Ve 1
REP : T
V
d. AN : V e 10 m/j, V 100 m/j, L 0 100 m.
REP : 60 ans...
REM : on peut remplacer l’escargot par un vaisseau spatial et l’élastique par l’univers
en expansion...
452. Résoudre : y
2y 2y 5 cos x
x
y
e sin x
e x cos x 2 sin x cos x
453. Résoudre : y
y 4x cos x 5e 2x
y
sin x
cos x x cos x x 2 sin x e 2x
454. Résoudre l’équation différentielle non linéaire : y y y 2 (on ne cherchera que les
solutions qui ne s’annulent jamais).
x
455. Résoudre le système différentiel :
2x
y
2 cos t
sin t
, (c’est-à dire
x 2y 2 cos t sin t
y
déterminer tous les couples de fonctions x et y dérivables sur R vérifiant
x t
2x t y t 2 cos t sin t
t R
; indication : déterminer une équation du
y t
x t 2y t 2 cos t sin t
second ordre vérifiée par x.
Rep : exp(2*t)*(acos(t) bsin(t)) cos(t) , exp(2*t)*(-asin(t) bcos(t)) sin(t)
DÉTERMINANTS
4 1 2
456. Montrer que ce taquin
est impossible à reconstituer.
5 6 3
7 8 ///
4 1 2
Facultatif : montrer que celui-ci est possible :
5 6 3
.
8 7 ///
2b
457. Factoriser
a
b
b
c
2c
458. Factoriser
c
a
2b
2a
2a
2c
c
a
b ab a 2
b2
b
c bc b 2
c2
c
a ca c 2
a2
a
b
459. Soient C 1 , C 2 , C 3 trois colonnes à 3 coordonnées chacunes ; exprimer
det C 1 C 2 , C 2 C 3 , C 3 C 1 en fonction de det C 1 , C 2 , C 3 ; appliquer à
a
b d
c c
d
d
b a
c b
d .
c
b b
c a
d
460. Soient C 1 , C 2 , . . C n n colonnes à n coordonnées chacunes ; simplifier
det C 1 C 2 , C 2 C 3 , . . . , C n 1 C n , C n C 1 .
0 1 2
461. Soit f un endomorphisme de matrice A
; déterminer à l’aide d’un
1 0 2
2 1 0
déterminant les valeurs de telles qu’il existe un vecteur non nul x vérifiant f x
x (ne
pas développer le déterminant, le factoriser à l’aide de combinaisons) ; déterminer l’un des
vecteurs x pour chaque valeur de obtenue.
462. :
a. Soit
S n ; montrer que si n est impair et i
i pour tout i, alors est différente de
son inverse.
b. Soit A une matrice carrée symétrique d’ordre impair à coefficients entiers dont les
éléments diagonaux sont pairs ; montrer que son déterminant est un nombre pair.
463. Montrer que le déterminant d’une matrice d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux à
1 ou 1 est un entier multiple de 2 n 1 .
Indication : faire des combinaisons de colonnes.
t
UU ;
464. Soit U la matrice de M n K telle que U i, j
1 si i divise j, 0 sinon, et soit A
déterminer A i, j et calculer le déterminant de A.
465. :
a. Déterminer la matrice canonique, la trace et le déterminant de l’endomorphisme de
M 2 K qui a toute matrice fait correspondre sa transposée.
b. Quels sont la trace et le déterminant d’une symétrie d’un espace vectoriel de dimension
n?
c. Déterminer la trace et le déterminant de l’endomorphisme de M n K qui a toute
matrice fait correspondre sa transposée.
466. Montrer que
A A n K det A 0
n est pair
467. Soient A,B, C trois matrices carrées d’ordre n.
a. Montrer que det
b. Montrer que det
c. Montrer que det
A B
0 C
A B
B A
A
B
B
A
det A det C
det A
det A
B det A
B
iB det A
ESPACES EUCLIDIENS
468. Soit E un espace euclidien de dimension n et B
p
unitaires de E telle que pour tout vecteur x , x
e 1 , . . . , e p une famille de vecteurs
2
x |e k
k 1
est une base orthonormée de E.
iB
2
; montrer que cette famille
469. Soit E un espace euclidien de dimension n et B
p
vecteurs de E telle que pour tout vecteur x , x
e 1 , . . . , e p une famille libre de
2
2
x |e k .
k 1
a. Montrer que p n (on considérera l’orthogonal de vect B .
Soit i entre 1 et n
b. Montrer que e i
1.
c. Montrer que e i
1 (on considérera un vecteur non nul de l’orthogonal de B\ e i
d. Montrer que B est une base orthonormée de E.
.
b
fn ;
470. Soit f une fonction positive continue, non nulle sur a, b , a b ; on pose I n
a
I n 1 I n 1 ; déterminer le cas d’égalité ; que dire de la suite
montrer que pour n 1, I n
In 1 ?
In
1
471. L’espace E C 0, 1 , R est muni du produit scalaire f | g
fg.
0
Pour toute fonction f de E, on désigne par f n la suite de fonctions définies par
fn x
nxf x pour 0 x 1/n
(faire une figure).
fn x
f x pour 1/n x 1
a.
b.
c.
d.
Vérifier que f n appartient bien à E pour tout n 1.
Montrer que si f est orthogonale à f n pour tout n 1 alors f est nulle.
f E / f0
0 ; montrer que F
0 .
Soit F
Quelle propriété des orthogonaux, vraie dans un espace euclidien, n’est donc pas vraie
ici ?
472. Soient x 1 , . . x n n réels distincts ; on considère l’application de R n 1 X dans R n définie
par P
P x1 , . . . , P xn
a. Montrer que est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
n
b. On définit une application de R n
1
X
2
dans R par P | Q
P x k Q x k ; vérifier
k 1
que cette application est un produit scalaire (on pourra utliser .
c. Trouver une base orthonormée pour ce produit scalaire (penser aux polynômes de
Lagrange).
473. Soit s un endomorphisme de E ev euclidien ; montrer que s est une symétrie orthogonale
ssi Im s id
Im s id .
474. Soit A une matrice orthogonale d’ordre n.
a. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de A est inférieure ou égale
à n. (indication, considérer la colonne Attila C puis AC|C ).
b. Montrer que la somme des valeurs absolue des coefficients est comprise entre n et
n n.
475. L’espace vectoriel euclidien E 4 est rapporté à la base B
F le sous-espace vectoriel de E 4 d’équation
x
y
z
t
i , j , k, l
orthonormée. Soit
.
a. Déterminer une base B 1 orthogonale de F et une base B 2 orthogonale de G F .
b. On oriente F et G de sorte que B 1 et B 2 sont directes ; déterminer la matrice dans
B 1 B 2 puis dans B de l’isométrie f de E 4 dont les restrictions à F et G sont des
rotations d’angle /2.
1
476. Compléter la matrice 1
9
4 .
de sorte à obtenir une matrice orthogonale
8 4 .
4 . .
directe (resp indirecte) et étudier les isométries correspondantes.
477. Soit f l’endomorphisme de E 4 espace vectoriel euclidien de matrice
1 1 1 1
A
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
dans la base B
i , j , k, l
orthonormée.
a. Vérifier que A est orthogonale et déterminer A 2 .
b. Déterminer les caractéristiques géométriques de f.
a b b
478. Déterminer les valeurs possibles de a et b pour que la matrice
b a b
soit
b b a
orthogonale ; étudier les isométries correspondantes.
1
2
1
5
479. Compléter la matrice A
avec des entiers égaux à 1, 2, 4 de
2
4
sorte à obtenir une matrice orthogonale. Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants et
celui des vecteurs anti-invariants de l’endomorphisme associé.
Rep : A
480.
a, b, c, d
1
5
1
2
2
4
2
1
4
2
2
4
1
2
4
2
2
1
0, 0, 0, 0 ; A
a
b .. ..
b
a
c
d a ..
d
c
.. ..
..
; remplacer les .... de sorte que
a
A
soit orthogonale. Déterminer alors l’inverse et le déterminant de A.
a2 b2 c2 d2
SERIES
481. :
a. Déterminer tous les polynômes P tels que la suite de terme général u n n
P n soit
de limite nulle.
b. Déterminer tous les polynômes P tels que la série de terme général u n n
Pn
soit convergente.
c. Facultatif : Montrer que si P 0 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2, le seul
polynôme P tel que la série de terme général u n P 0 n
P n soit convergente est
2
P0.
INTÉGRATION
482. On pose f t
tE t
2
Et
x
a. Représenter les courbes de f et F où F x
f t dt.
0
b. Calculer F n pour n entier naturel.
483. f est continue sur R et a et b sont deux réels ;
b
a. on pose g x
x dt ; montrer que g est de classe C 1 et calculer sa dérivée.
ft
a
x
b. Idem pour h x
ft
x dt .
0
b
484. f est continue sur R ; on pose g x
ft
x . sin t
c dt, avec a
b, c fixés.
a
a. Montrer que g est continue en 0 ; on utilisera la continuité uniforme de f sur
a 1, b 1 .
b. Montrer en se ramenant au a) que g est continue sur R.
c. Calculer g x pour f x
sin x, a 0, b
, c 0.
485. Exercice utilisant les intégrales.
Soit f une fonction de classe C 1 sur a, b , a b ;
fb fa
fb fa
, alors x
a, b f x
a. Montrer que si x
a, b f x
b a
b a
(et f est donc affine sur a, b .
fb fa
b. On suppose que f a et f b sont
et que f est deux fois dérivable sur
b a
a, b ; montrer qu’il existe c a, b tel que f c
0 (figure).
Indication : commencer par le cas f a
fb .
1
486. Soit f une fonction de classe C sur a, b , M max |f |.
a,b
b
a. Montrer que si f a
0, alors
f
b
M
a
2
2
, avec égalité ssi f est affine sur
a
[a, b .
b
b. Montrer que si f a
fb
f
0, alors
M
b
a
4
2
, avec égalité ssi f est nulle
a
sur a, b .
Indication : couper l’intervalle en 2.
c. Vérifier l’inégalité du b pour f x
x
a x
b .
x
f
0
487. Soit f une fonction CM croissante sur R ; on pose, pour x 0, F x
x ; montrer
que F est croissante sur R
a. En supposant f continue sur R
b. Sans supposer f continue sur R
488. Soit f une fonction dérivable injective de dérivée jamais nulle sur un intervalle I et f 1 sa
fonction réciproque définie sur J f I , F une primitive de f; montrer qu’une primitive de
f 1 est la fonction G définie par xf 1 x F f 1 x . Appliquer au calcul de primitives de ln,
d’arcsin et d’ arctan et comparer avec leur calcul habituel.
489. Soit f une fonction dérivable injective sur un intervalle a, b et f 1 sa fonction réciproque ;
b
fb
f 1 ; interpréter géométriquement.
calculer f
a
fa
490. : Soit f la fonction définie par f x
cos 1x pour x 0 et f 0
1 ; on se propose de
démontrer que cette fonction, bien que discontinue en 0, possède une primitive sur R.
0 ; montrer que g
a. Soit g la fonction définie par g x
x 2 cos 1x pour x 0 et g 0
est dérivable sur R et donner l’expression de sa dérivée, sur R et en 0.
b. Démontrer ce qui a été annoncé.
491. Déterminer toutes les fonctions f dérivables sur R à valeurs dans 0, , telles que
f x
sin f x . Tracer la courbe de la solution f vérifiant f 0
.
2
2 arctan ke x .
n
492. u n
1
n
n
1
akbn
k
( a, b
0 ) ; déterminer lim u n .
k 0
n
493. u n
n 1
ka
n
n
k b
( a, b
0 ) ; déterminer lim u n .
k 0
b
REP : 1e b a b a .
a
PROBAS 2
494. On tire au hasard un nombre entre 1 et n et on considère les 3 évènements A : tirer 1 ou 2,
B : tirer 2 ou 3, C : tirer 3 ou 1.
Montrer qu’il n’existe aucune valeur de n pour lesquelles ces 3 évènements sont
mutuellement indépendants, mais une pour laquelle ils sont 2 à 2 indépendants.

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