DS Sciences Physiques N°4. MPSI 2. AS 15-16 - Physique

D.S. Sciences Physiques N°4.
MPSI 2.
A.S. 15-16
Durée : 4 h. Calculatrice autorisée.
Attention à la tenue de la copie : laisser un en-tête et une marge. Souligner les résultats.
Exercice I : Etude d'une bobine réelle
On dispose d’une bobine B que l’on assimilera à
l’association série d’une inductance L et d’une résistance r.
(L et r sont des constantes positives, indépendantes de la
fréquence)
Bobine
r
i(t)
L
u(t)
On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance R = 40,0  et un condensateur de capacité
C = 10,0 µF .
Le GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fréquence
f variable (la pulsation sera notée ).
A
D
r
L
C
ue
i
GBF
R
us
M
1) Proposer un schéma équivalent en basses puis en hautes fréquences et en déduire les valeurs limites du
gain ainsi que la nature du filtre.
2) Exprimer la fonction de transfert H 
Us
en fonction de r, R, L, C, .
Ue
3) Mettre la fonction de transfert sous la forme : H 
H max
. On exprimera littéralement
  0 

1  j  Q  



0


Hmax, le paramètre 0 ainsi que le facteur de qualité Q de ce circuit en fonction de r, R, L, C.
4) La figure ci-dessous représente (en partie) le diagramme de Bode du filtre précédent. Déterminer, à
partir du graphe et des données initiales, les valeurs de r et L.
GdB (dB)
-5
-10
-4,8 dB
-15
196 Hz
-20
-25
-30
10
20
30
50
100
200
300
500
1000
f(Hz)
Exercice II : Simulation d’un élément de radiotélescope
Rappel de trigonométrie :
cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏
Inauguré en 1965, le radiotélescope de Nançay a été créé pour étudier le décalage Doppler de la raie
21cm de l’atome d’hydrogène due au couplage spin nucléaire- spin électronique. C’est un moyen privilégié
d’étude de la cinématique de l’hydrogène interstellaire, et donc des mouvements dans l’univers.
De 1956 à 1967, de nombreux chercheurs ont travaillé à la très délicate mise au point de la chaîne de
réception suivante.
antenne :
cornet focal
de 3m
sur 0,5m
amplificateur
refroidi à 20K
mélangeur
1420 MHz
chaîne amplificatrice
autocorrélateur
signal décalé
1450 MHz
Oscillateur
local
On se propose de reproduire simplement le principe d’un mélangeur en TP en se plaçant 6 décades plus
bas en fréquence.
1- Dédoublement de fréquence
Aucune connaissance préalable du AD633 n'est nécessaire.
On a deux tensions: a(t) = A.cos(2πfat) , avec fa=1420 Hz , e0(t) = E0.cos(2πf0t), avec f0 =1450 Hz.
Mises aux entrées d'un multiplieur AD633 ; on obtient en sortie une tension : m(t) = k. a(t). e0(t) , le
coefficient k étant égal à 1.
1a- Préciser les unités de k.
1b- Démontrer que m(t) est la superposition de deux signaux sinusoïdaux de fréquence f1 et f2 > f1 :
m(t) = M.( cos(2πf1t + φ01 ) + cos(2πf2t + φ02 ) ).
Calculer numériquement f1 , f2 et φ01 , φ02.
2- Filtrage
On utilise le filtre suivant :
R
e(t)
C
R
s(t)
2a- En effectuant un schéma équivalent en BF (basse fréquence), puis un autre en HF (haute fréquence),
déterminer sans calcul le type de ce filtre.
̃ (𝑗𝑥) que l’on présentera sous la forme : 𝐻
̃ (𝑗𝑥) = 𝐻0
2b- Déterminer la fonction de transfert de ce filtre 𝐻
1+𝑗𝑥
avec 𝑥 =
𝜔
𝜔0
, on précisera les termes H0 et ω0.
2c- Déterminer la pulsation de coupure ωc à -3 dB en fonction de R et C.
2d- On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode en gain de ce filtre.
Déterminer un ordre de grandeur du produit RC.
10 Hz
100 Hz
1000 Hz
2e- En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d'une intégration ?
Comment vérifie-t-on cette propriété sur le diagramme de Bode en gain ?
Vers quelle valeur tend alors le déphasage de s(t) par rapport à e(t) ?
3- Le mélangeur
On place à l'entrée de ce filtre le signal m(t).
La sortie est alors s(t)= S1.cos(2πf1t + φ1 ) + S2.cos(2πf2t + φ2 )
Déterminer la valeur numérique du rapport
𝑆1
𝑆2
à partir du diagramme de Bode et donner les valeurs
approchées de φ1 et φ2.
4- Expliquer sans faire de calcul, mais en argumentant, ce que l’on observera comme signal de sortie s(t) si
en entrée du filtre on met un signal e(t) tel que :
e(t) est un signal en créneau de période T = 0,05 ms, de niveau haut E = 10 V et de niveau bas 0 V.
Exercice I : Mobile sur un rail circulaire.
On considère le dispositif ci-contre où un anneau assimilable à un point matériel M et de masse m se
déplace solidairement à une piste fixe formée de deux parties circulaires 1 et  2  de rayon R1 et R2 de
centre C1 et C2 dans un plan vertical.
B
On donne : R1 = 1 m , R2 = 2,5 m.
On considère le référentiel terrestre galiléen.
1
C1
R1
On repère la position de l’anneau par l’angle  pris à
A

partir de C1 pour son mouvement sur la partie 1 et à
g
partir de C2 pour son mouvement sur la partie  2  .
Sur la partie 1 ,  varie entre   2 et  , sur la
partie  2   varie entre  et 5 2 . On note g
l’intensité de la pesanteur. Dans tout le problème, on
suppose que le mouvement de l’anneau s’effectue sans
frottements.
M
E
2
C2 
S

R2
M
On suppose dans un premier temps que le mouvement
de l’anneau s’effectue sur la partie 1 du dispositif.
F
A l’instant t  0 , l’anneau est au point E    0  avec une vitesse angulaire initiale positive  d  dt 0 .
1. Etablir l'équation différentielle du mouvement de M à un instant quelconque.
On fait l’hypothèse pour les deux questions suivantes que M reste au voisinage de θ = 0.
2. Déterminer l’expression de   t  . Exprimer la valeur maximale de   t  que l’on notera max .
3. Application numérique : g  10 m.s 2 et (dθ/dt)0 =0,1 rad.s-1. Calculer la période T et l’amplitude
max du mouvement. Conclure.
On considère maintenant le mouvement de l’anneau sur la piste complète. L’anneau étant initialement en
A      2  , il est lancé avec une vitesse v0 .
4. A quelle condition sur la vitesse v0 l’anneau peut-il atteindre le point F ?
5. La condition précédente étant remplie, calculer vF min , la vitesse minimale de M en F    2  .
6. A quelle condition sur v0 l’anneau sort-il de la piste en S    5 2  ?
On réalise la même expérience avec cette fois une bille, assimilée à un point matériel M de masse m qui
roule sans frottement dans une gouttière de même forme que la piste précédente. La bille n'est pas solidaire
de la gouttière.
7. Exprimer R, la norme de la réaction de la gouttière sur la bille en fonction de θ lorsque M est sur le
cercle de rayon R1, puis quand M est sur le cercle de rayon R2.
8. En déduire la condition sur la vitesse v0 pour que la bille atteigne le point S sans quitter la gouttière .
Exercice II :
1- On considère une masse m accrochée à un ressort idéal de raideur k, de longueur à vide l0, la longueur
du ressort à l'instant t est l. Montrer que l'énergie potentielle associée à la tension du ressort est de la
1
2
forme : Ep = k (l  l 0 )
2
On s'intéresse au système mécanique suivant : un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un
ressort de longueur à vide l0 et de raideur k. La masse m peut coulisser sans frottement horizontalement sur
une tige (voir schéma). On repère la position de M sur cette tige par l'abscisse x, l'axe Ox étant confondu
avec la tige et l'origine O est située sur la même verticale que le point d'attache P du ressort. La tige se
trouve à une distance d du point P : OP = d. On posera  0 
2- Décrire qualitativement (aucun calcul
n'est demandé) le nombre de positions
d'équilibre et la stabilité de celles-ci
suivant que le point P est proche de la
tige ( d < l0 ) ou que P est éloigné de la
tige ( d > l0 ).
3- Exprimer l'énergie potentielle totale
Ep(x) du point M en fonction de k, d, l0
et de la variable x.
4- Déterminer alors la ou les positions
d'équilibre de M, en précisant si la
position d'équilibre est stable ou non
dans les deux cas suivants :
4a-
d < l0
4b-
d > l0
k
.
m
y
P

g
d
M
x
O
5a- On cherche maintenant à déterminer la pulsation des oscillations au voisinage d'une position d'équilibre
stable. Soit xe une position d'équilibre stable. On pose x = xe + ε au voisinage de xe. Etablir l'équation
différentielle du mouvement de M vérifiée par ε et montrer que la pulsation ω du mouvement s'exprime
2
1  d E p 
2
sous la forme générale :  
m  dx 2 
( x  xe )
5b- Pour le système étudié, exprimer ω2 en fonction de k, m, d et l0. On distinguera les cas d < l0 et d > l0.

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