Brochure 2015

PCSI 2
Filtrage linéaire
FILTRAGE LINEAIRE
I Circuit RLC série
Le circuit RLC série suivant est réalisé avec un condensateur de capacité C = 240 nF, un résistor de résistance R = 25 Ω et une bobine
inconnue d’inductance L et de résistance de bobinage RL. On note ub(t) la tension aux bornes de cette bobine (voir figure ci-dessous).
Ce circuit est alimenté par un GBF de f.e.m. e(t) = em cos (ωt). En notation complexe, la fonction de transfert de ce filtre est H = ub/e.
1) En justifiant, déterminer rapidement la nature de ce filtre.
2) Lorsque la pulsation du générateur est égale à la pulsation propre ωo = (LC)-1/2, quelle est la valeur du module de H ?
3) L’amplitude la tension uR passe par un maximum lorsque la fréquence f = 1050 Hz. En déduire la valeur de L.
e(t)
uR(t)
4) On observe sur un oscilloscope (voir figure ci-dessus) les tensions e(t) et uR(t) à une fréquence f1 supérieure à 1050 Hz. Une
demi-période du signal du générateur occupe 9 carreaux de l’axe horizontal. Le calibre vertical est le même sur les deux voies : 1
carreau = 2V. Quel est le déphasage φ de uR par rapport à e ?
5) Déduire de φ la valeur de RL.
6) Sachant que f1 = 1080 Hz, déterminer la valeur du facteur de qualité Q de ce circuit.
Réponse : passe-haut ; H =
€
RL 2 + L2ω o 2
; L = 96 mH ; φ = - 45 ° ; RL = 10 Ω ; Q = 18.
R + RL
II Un gain particulier !
€
Un quadripôle du premier ordre possède la fonction de transfert :
1− jx
H ( jx) =
, où x = RCω est la pulsation réduite.
1+ jx
1) Déterminer le gain G(x) et le déphasage ϕ(x).
Commenter : quel pourrait être l’utilisation d’un tel dispositif ?
2) Le logiciel Scilab fournit le diagramme de Bode ci-contre.
Commenter.
3) On prend R = 1,0 kΩ et C = 0,1 nF. On applique un signal
v e (t) = Vem cos ωt avec Vem = 1,0 V et ω = 1,0.105 rad.s-1.
Déterminer le signal de sortie v s (t) .
4) Même question pour C = 10 nF et 1 µF, les autres valeurs
étant inchangées.
€ = - 2 arctan x ; v s (t) ≈ v e (t) ) puis v s (t) ≈ 1,0sin ωt puis v s (t) ≈ −v e (t) .
Réponse : G(x) = 1 et j(x)
III Filtre de Colpitts
€
€
On considère le quadripôle ci-dessous.
Il est utilisé€en RSF en sortie ouverte.
1) Etudier qualitativement le comportement de ce quadripôle en basse fréquence et en haute fréquence.
De quel type de filtre s’agit-il ?
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A ω
j
A
Q ω0
=
=
2) La fonction de transfert s’écrit : H =
⎛ ω ω ⎞
ue
ω2
j ω
0
1+ jQ⎜
−
⎟ 1− 2 +
Q ω0
ω0
⎝ ω 0 ω ⎠
us
C
R
ue
us
L
3C
R 3C
2
et Q =
.
2 L
3LC
ω
Le diagramme de Bode a€été relevé pour Q = 10 et f0 = 1,0.103 rad.s-1 avec x =
:
ω0
avec A =
€
1
, ω0 =
4
€
€
€
Justifier l’allure des parties rectilignes.
3) Déduire du diagramme la valeur de la fréquence de résonance fr ainsi que des fréquences de coupure f1 et f2.
4) Un circuit multiplieur fournit le signal d’entrée ue(t) = 2B cos(ω3t) cos (ω4t) avec ω3 = 100 ω0 et ω4 = 101 ω0.
Ecrire ue(t) sous la forme d’une somme de cosinus. En déduire le signal obtenu à la sortie de ce filtre.
Réponse : fr = 1 kHz ; f1 = 0,95 kHz et f2 = 1,1 kHz ; u s (t) =
B
cos(ω 0 t ) .
4
IV Suppression de la dérive du signal délivré par un capteur
€
A partir des documents présentés et du questionnaire
l’accompagnant, résoudre la problématique ci-dessous :
Un capteur délivre une tension subissant une dérive, du fait d'un parasitage par l'alimentation du secteur à 50 Hz.
On cherche à concevoir un filtre adapté permettant d'obtenir le signal souhaité, c’est-à-dire déparasité.
1,5 1 0,5 Courbe 1 :
0 -‐0,05 -‐0,04 -‐0,03 -‐0,02 -‐0,01 -‐0,5 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 signal avec dérive
-‐1 -‐1,5 Echelles communes en volt et seconde
1,5 1 0,5 Courbe 2 :
0 -‐0,05 -‐0,04 -‐0,03 -‐0,02 -‐0,01 -‐0,5 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 signal corrigé
-‐1 -‐1,5 2014 – 2015
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1) Quel est le type de filtrage à réaliser ?
2) On dispose d'un résistor et d'un condensateur. Proposer une structure de filtre simple et des valeurs pour les grandeurs
caractéristiques R et C permettant la réalisation du filtrage. On pensera à ce que le filtre ne charge pas trop la sortie du capteur,
c’est-à-dire que le filtre ne prélève pas trop de courant en sortie du capteur.
3) Le filtrage obtenu s'avère peu satisfaisant avec la cellule RC envisagée initialement. Pourquoi ?
Comment améliorer la performance du filtre avec des résistors et des condensateurs supplémentaires ?
Réponse : filtre passe-haut ; RC série en sortie sur R avec fréquence de coupure vers 250 Hz ; R = 100 kΩ et C = 6 nF ; cascade.
V Etude de la suspension d’un véhicule
Dans le cadre d’un modèle simplifié de suspension, on
assimile le véhicule à un point matériel M de masse m posé
sur un ressort dont l’autre extrémité S peut se déplacer le
long d’une route horizontale ou bosselée.
Le ressort a une constante de raideur k et une longueur à
vide L0.
On repère les positions respectives de M et de S par leurs
cotes z et z1 sur un axe vertical Oz ascendant tel que z1 = 0
lorsque S se déplace sur la route horizontale.
En outre, le point matériel M est soumis à l’action d’un
amortisseur fluide, de coefficient d’amortissement α
(positif), disposé entre les points M et S. Le point matériel
subit alors de la part de !cet amortisseur une force de
!
frottement de la forme : F frott = −α ( v − v1 ) u z , en notant
v = z˙ et v1 = z˙1 les vitesses respectives de M et S lors de
!
leurs déplacements verticaux, u z étant les vecteur unitaire
ascendant de l’axe€Oz.
Le coefficient α peut être réglé par la variation du débit
€
d’huile à travers un trou percé dans le piston mobile de
€
l’amortisseur.
z
M (m)
z
α
k, Lo
S
z1
ez
Route horizontale
O
Route bosselée
Le véhicule se déplace d’abord sur une route parfaitement horizontale (z1 = 0). La cote de M est constante, de valeur ze, dans ce régime
dit stabilisé.
1) Déterminer ze en fonction de m, g (accélération de la pesanteur), k et L0. On détaillera soigneusement les étapes de ce calcul.
Le véhicule se déplace à présent sur une route bosselée. On note Z(t) = z(t) – ze l’écart à la position d’équilibre à l’instant t.
m
2) Montrer que Z(t) vérifie une équation différentielle de la forme :
d 2 Z (t)
dZ (t)
+α
+ kZ (t) = F (t) ,
2
dt
dt
F(t) étant une fonction de x1 (t) , de x˙1 (t) , et des constantes α et k que l’on précisera. Commenter la signification de F(t).
Le profil de la route « en tôle ondulée » est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω.
€
En régime sinusoïdal
en notation complexe, le comportement du véhicule est décrit par la fonction de transfert : H =
€ forcé et€
Z
.
z1
ω
k
km
la pulsation propre du véhicule, Q =
son facteur de qualité et x =
la pulsation réduite.
ω0
m
α
€
3) Etablir l’expression de la fonction de transfert et la mettre sous forme canonique H ( jx) en fonction de x et de Q.
On note ω 0 =
€
€
€
On donne ci-dessous le diagramme de Bode en amplitude H dB (log x) pour Q = 2,5.
€
4) En s’appuyant sur ce graphe, répondre aux questions suivantes (elles ne demandent tout au plus qu’une réponse qualitative mais
justifiée, ou quantitative s’appuyant sur quelques lignes de calcul) :
€
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a) Que se passe-t-il si le ressort du système est très
raide (constante de raideur élevée) ?
Est-ce confortable pour les passagers ?
b) Quel phénomène se produit-il vers x = 1 ?
Est-ce confortable pour les passagers ?
A quel vitesse du véhicule en km.h-1 cela
correspond-il si m = 0,5.103 kg, k = 50.103 N.m-1,
et si les bosses sont régulièrement espacées d’une
distance λ = 1 m.
c) Dans le film « Le salaire de la peur » de Henri-Georges Clouzot (1953), Yves Montand conduit un camion chargé de
nitroglycérine. Il passe sur un tronçon de route en tôle ondulée. Afin d’éviter l’explosion du chargement, il décide
paradoxalement de traverser cette partie du trajet à une vitesse élevée.
Justifier qualitativement cette attitude à l’aide des résultats précédents.
Plus précisément, la vitesse du camion étant telle que la fréquence de sollicitation est de 8,0 Hz (et la fréquence propre du
véhicule restant la même qu’à la question précédente), quelle sera l'amplitude des oscillations de la caisse du camion si les
bosses ont une hauteur de 10 cm ?
La force excitatrice F(t) sinusoïdale de pulsation ω et d’amplitude Fm est notée F (t) = Fm cos(ωt ) .
5) Déterminer l’amplitude Vm de la vitesse d’oscillation verticale du véhicule en fonction de Fm, m, k, α et ω.
Pour quelle pulsation ω est-elle maximale ?
€
1+ j
x
Q
mg
; F = kz1 + αz˙1 ; H ( jx) =
; inconfortable car le véhicule reproduit le profil de la route ; résonance
x
k
1− x2 + j
Q
Fm
donc inconfortable
; v = 5,7 km.h-1 ; Zm = 5,0 mm ; Vm =
maximale pour ω = ω0.
€
⎛
k ⎞
€
α + j ⎜ mω − ⎟
⎝
ω ⎠
€
Réponse : z 0 = l 0 −
VI Intermodulation
€ électronique, on applique à son entrée un signal composé de deux termes sinusoïdaux de
En vue de tester la linéarité d’un amplificateur
pulsations différentes. On parle de signal à deux tons, analogue du signal bichromatique en optique dans le cas d’un doublet spectral :
e(t)= E1 cos ω1t + E2 cos ω2t avec ω2 > ω1.
1) Préciser l’expression du signal de sortie et la composition de son spectre dans le cas où la relation entrée-sortie est parfaitement
linéaire : s(t) = a.e(t), à étant le paramètre réel constant appelé coefficient d’amplification (gain).
2) Dans le cas où la relation entrée-sortie est de la forme : s(t) = d + a.e(t)+b.e2(t), quelle est la composition spectrale du signal de
1
sortie ? On donne : cos 2θ = 2 cos 2 θ − 1 et cos a. cos b = [ cos( a − b) + cos( a + b)] .
2
On appelle raies d’intermodulation les composantes sinusoïdales dont la fréquence n’est multiple d’aucune des fréquences du signal
d’entrée.
€ la valeur de la fréquence de la raie d’intermodulation de plus grande période. Dans le cas de deux signaux musicaux,
3) Exprimer
justifier que l’intermodulation de €
deux composantes aigues puisse engendrer une note grave.
4) Quelles mesures de hauteurs de raies spectrales permet l’identification aisée de a et b ? Comment mesure-t-on d ?
Réponse : ω1 et ω2 ; 0, ω1, ω2, 2ω1, 2ω2, ω2 – ω1 et ω1 + ω2 ; f2 – f1.
VII Filtre de Hartley
On étudie le montage ci-contre (en sortie ouverte).
Dans tout le problème, on prendra : L = 1,0 mH, C = 0,10 µF et R = 10 kΩ.
1) Prévoir à l’aide de schémas équivalents BF et HF la nature probable du filtre.
On rappellera les modèles équivalents des dipôles en basse fréquence (BF)
et haute fréquence (HF).
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L
R
e
C
L
s
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L
j ω
s
R
Sa fonction de transfert en sortie ouverte s’écrit : H ( jω ) = =
.
e 1 + 2 j L ω + 2LC jω 2
( )
R
j
x
Q
ω
en notant x =
la pulsation réduite. Donner la valeur de H0.
x
ω0
1− x2 + j
Q
On exprimera la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q en fonction de R, L et C, puis on donnera leurs valeurs numériques.
2) La mettre sous forme canonique :€H ( jx) = H 0
Le diagramme de Bode en amplitude est donné ci-dessous :
€
€
3) Mesurer la pente des asymptotes. Retrouver leur valeur à partir de l’étude de la fonction de transfert.
4) Tracer le diagramme de Bode asymptotique pour la phase. Pour cela, on déterminera la valeur de cette dernière pour x << 1
(BF), x = 1 et x >> 1 (HF).
5) Déterminer les valeurs numériques de a et b définis sur le diagramme à partir de l’expression de la fonction de transfert. Vérifier
la cohérence avec les valeurs du graphe.
6) Ce quadripôle peut-il servir d’intégrateur ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle bande de fréquence ? Justifier.
Quel inconvénient présente néanmoins ce montage utilisé pour réaliser ces opérations ?
On étudie la sortie s1(t) lorsqu’on applique à l’entrée le signal e1 (t) = E0 + E1m cos(ω1t ) avec ω1 = ω 0 .
7) Comment réaliser expérimentalement ce signal au laboratoire d’électronique ?
€
8) Déterminer l’expression littérale du signal de sortie
s1(t).
On applique maintenant un signal créneau e2(t), de pulsation ω 2 =
€
ω0
et d’amplitude E2m = 1 V (figure ci-dessous).
3
9) Calculer la valeur efficace E2 de e2(t).
€
⎤
4E2m ⎡
1
1
1
sin(ω 2 t ) − sin( 3ω 2 t ) + sin( 5ω 2 t ) − sin( 7ω 2 t ) + ...⎥ .
Le signal e2(t) est décomposable en série de Fourier : e2 (t) =
⎦
π ⎢⎣
3
5
7
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€
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10) Tracer l’allure du spectre d’amplitude de e2(t).
Préciser les valeurs numériques des pulsations des trois premiers pics d’amplitudes non nulles.
11) En utilisant la courbe de gain en diagramme de Bode fournie, calculer les valeurs numériques des amplitudes de ces pics dans le
signal de sortie s2(t).
En déduire l’expression numérique approchée du signal de sortie s2(t).
Justifier alors le nom de « tripleur de fréquence » donné à ce filtre.
12) Quelle seraient approximativement l’allure et les caractéristiques du signal de sortie s3(t) si l’on applique un signal triangulaire
e3(t) de pulsation ω 3 =ω 0 et d’amplitude E3m = 1 V dont la décomposition en série de Fourier s’écrit :
e3 (t) =
€
⎤
4E3m ⎡
1
1
1
sin(ω 3 t ) + 2 sin( 3ω 3 t ) + 2 sin( 5ω 3 t ) + 2 sin( 7ω 3 t ) + ...⎥ ?
2 ⎢
⎦
π ⎣
3
5
7
e2
e4
E2m
E4m
€
t
0
-E2m
t
0
On alimente dorénavant le montage avec un échelon e4(t) de hauteur E4m = 1 V (figure ci-dessus). La sortie est alors notée s4(t).
13) En considérant que le condensateur est initialement déchargé, donner la valeur de s4(0+).
⎛ ds ⎞
14) Donner de même la valeur de ⎜ 4 ⎟ .
⎝ dt ⎠O +
15) Etablir rapidement l’équation différentielle vérifiée par s4(t) pour t > 0 à partir de l’expression de la fonction de transfert :
L
j ω
€
s
R
.
H ( jω ) = =
e 1 + 2 j L ω + 2LC jω 2
( )
R
16) A partir des valeurs numériques de R, L et C, prévoir le type de régime du circuit pour la fonction s4(t).
€
17) Compte tenu des résultats précédents,
tracer l’allure du graphe de s4(t). On ne demande pas la résolution de l’équation
différentielle !
1
C
; Q=R
; ± 20 dB/décade ; ϕ = +π/2 en BF, 0 pour x = 1 et –π/2 en HF ;
2L
2LC
E
a = -6,0 dB et b = -43 dB ; dérivateur en BF et intégrateur en HF ; s1 (t) ≈ 1m cos(ω1t ) ; E2 = E2m ;
2
4
-1
4
-1
5
-1
-3
2,4.10 rad.s puis 7,1.10€rad.s puis 1,2.10
rad.s ; 3,4.10 V puis 0,2 V puis 1,7.10-3 V ; s2 (t) ≈ −0,2sin 7,1.10 4 t ;
€
Réponse : passe-bande ; H0 = 1/2 ; ω 0 =
(
)
⎛ ds ⎞
E
2L
s3 (t) ≈ 0,2 cos 7,1.10 4 t ; s4(0+) = 0 ; ⎜ 4 ⎟ =
; 2LC˙s˙4 +
s˙4 + s4 = 0 ; régime pseudopériodique.
⎝ dt ⎠O + 2RC €
R
(
)
€
€
2014 – 2015
€
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