Spéciale PC
Thème TD Physique
Année 2013–2014
1
1.1
TD n° 22.
Bilans dynamiques pour les écoulements 1D.
Donné le : 09 / 01 / 14.
Bilans de quantité de mouvement.
qu’outre les forces de pression, le fluide situé à l’intérieur du cylindre de rayon r d’axe Oz exerce sur
le fluide situé à l’extérieur de ce cylindre des forces
de viscosité réparties sur la surface du cylindre, de
la forme
→
−
−
d F = σ(r)dS →
ur
avec
Disque en lévitation sur un jet
d’eau (d’après oral CCP).
Un disque de rayon R, de centre C et de masse
m, est en équilibre dans le champ de pesanteur
−
−
uniforme →
g = −g →
u z à une altitude h au-dessus
de la section de sortie de centre O d’un jet d’eau
d’axe Oz et de section s < πR2 (fig 1.1). L’écoulement est stationnaire, incompressible et homogène
de masse volumique µ. l’écoulement est uniforme
dans la section de sortie du jet, avec une vitesse
−
v0 →
u z et la pression atmosphérique P0 . Aux bords
extérieurs (r = R) du disque, on suppose l’écoule−
−
ment de la forme →
v = v→
u r , sur une épaisseur e h
avec v constante. L’atmosphère impose aux bords de
l’écoulement une pression P0 uniforme.
σ(r) = σ0 −η
σ(r) > σ0
et
dv
= 0 sinon.
dr
1°) À l’aide d’un bilan de quantité de mouvement
sur le système fermé constitué du fluide contenu à
l’instant t entre les couronnes de rayon r et r + dr et
entre les cotes z = 0 et z = L, établir l’équation différentielle vérifiée par σ(r). En déduire l’expression
de σ(r).
2°) En déduire le champ des vitesses v(r). On montrera notamment que le fluide ne coule pas si R < r0 ,
où r0 est un rayon particulier qu’on explicitera en
fonction de σ0 , µ et g. Pourquoi parle-t-on d’écoulement bouchon ?
Puissance dissipée par viscosité
(d’après e3a).
Une plaque de grande surface S est déplacée hori−
zontalement à vitesse U →
u x constante par un opérateur placé à la cote z = e d’une couche d’un fluide
visqueux newtonien de masse volumique µ et de viscosité η constante. Le fluide repose sur un support
fixe confondu avec le plan z = 0.
Figure 1.1 – disque en équilibre sur un jet d’eau
1°) Établir les relations
On néglige la pesanteur et on suppose le champ de
pression uniforme. On suppose l’écoulement incompressible et stationnaire décrit par un champ des
−
−
vitesses de la forme →
v = v(z)→
u x.
(1)
(2)
Remarque. Ce type d’écoulement est appelé écoulement de Couette plan.
2°) Exprimer v en fonction de v0 , g et h. En déduire
l’expression de meau en assimilant le volume d’eau
à deux cylindres (voir fig 1.1)
1°) Déduire de l’équation de Navier - Stokes la loi
v(z). En déduire la force de viscosité exercée à travers un élément de surface dS = dxdy par le fluide
situé au-delà de la cote z sur le fluide situé en deçà
de la cote z.
3 °) En déduire les valeurs de h et e pour m = 200g,
µ = 103 kg.m−3 , R = 10 cm, s = 10 cm2 , v0 = 2 m/s
et g = 10 m.s−2 .
1.2
si
Remarque. Ce type de comportement caractérise un
fluide visqueux à "seuil" (fluide dit de Bingham).
1.3
2µRev = sv0
(m + meau )g = µsv02
dv
dr
2°) Soit un système fermé constitué du fluide compris à l’instant t dans l’élément de volume compris
entre x et x + dx, y et y + dy, z et z + dz. Que vaut
le taux de variation temporel de l’énergie cinétique
de ce système ? Quelle est la puissance des forces
extérieures qu’il subit ?
Fluide non newtonien (d’après
oral Centrale).
Un fluide non newtonien de masse volumique µ
constante s’écoule dans un tube cylindrique vertical
fixe en régime stationnaire et le champ des vitesses
−
−
−
est de la forme →
v = v(r)→
u z où →
u z est la verticale
−
−
descendante dans le champ de pesanteur →
g = g→
uz
uniforme. L’air impose sa pression p0 aux deux extrémités du tube en z = 0 et z = L. On admet
3°) En déduire la puissance des forces intérieures.
Commenter en admettant que la puissance des forces
intérieures de pression est nulle pour un écoulement
incompressible.
1/ 2
2
2.1
Calculs d’efforts exercés par
un jet.
b) Par un bilan de quantité de mouvement appliqué
au système fermé Σf constitué de l’auget et de l’eau
au contact de l’auget, établir que
Force sur une lance d’incendie.
→
−
d P Σf
−
−
= Dm (→
vs − →
v0 )
dt
On modélise la lance d’un pompier par un tuyau
souple, de section S se terminant par un embout
dont la section terminale s est très petite devant
S. La pression dans le tuyau est P1 et le jet sort
dans l’atmosphère à la pression P0 . L’embout fait
un angle droit avec la partie antérieure du tuyau.
La vitesse du jet sera supposée très grande devant
la vitesse de l’eau dans le tuyau. On négligera la
viscosité de l’eau.
c) Montrer que la projection selon l’axe Ox de
→
−
F bˆati→auget est
Calculer le débit-masse Dm et Fy , composante pa→
−
rallèle au jet de la force F exercée par le pompier
qui tient la lance.
2°) L’auget est maintenant placé sur un chariot en
→
−
−
translation à la vitesse constante V = V →
u x par
rapport à Rlabo .
Données : P1 = 10 bars ; P0 = 1 bar ; s = 1 cm2 .
a) Montrer que l’on peut se ramener à l’étude précédente à condition de considérer l’écoulement de l’eau
sur l’auget dans le référentiel R 0 lié au chariot. On
explicitera la norme de la vitesse de l’écoulement en
entrée v00 .
2.2
où Dm est le débit-masse de l’écoulement (dans
Rlabo ).
Fx (bˆ
ati → auget) = −µsv02 (1 − cosα)
Action d’un jet d’eau sur un auget.
b) On considère le système {auget + chariot} : analyser son mouvement dans Rlabo et en déduire l’expression de la force exercée par le jet d’eau sur l’auget. On montera que la composante selon Ox de
cette force vaut
Un fluide parfait incompressible (ici de l’eau liquide)
de masse volumique µ s’écoule le long d’un auget (fig
2.1). On néglige l’influence de la pesanteur. L’ensemble est plongé dans l’atmosphère à la pression
uniforme p0 .
2
vs
Fx (eau → auget) = µs (v0 − V ) (1 − cosα)
z
c) On note Pinc la puissance due à l’énergie cinétique dégagée par le jet et P la puissance transmise
par le fluide à l’auget. On définit le rendement énergétique par le rapport
a
v0
auget
x
η=
Figure 2.1 – déflexion d’un jet par un auget
On pose r =
1°) On suppose dans un premier temps l’auget immobile par rapport au référentiel du laboratoire
→
−
Rlabo . On note F bˆati→auget la force exercée par le
bâti qui maintient fixe l’auget. On note s la section
−
−
du jet arrivant sur l’auget avec la vitesse →
v 0 et →
vs
la vitesse du jet renvoyé par l’auget.
P
Pinc
V
. Montrer que
v0
2
η = 2r (1 − r) (1 − cosα)
d) Pour quelle valeur r1 de r a-t-on un maximum
de η ? Pour quelle valeur de l’angle α le rendement
maximal ηmax est-il optimal ? Calculer numériqueopt
ment ηmax
. Pour quelle raison pratique cette valeur
de α optimisant le rendement est-elle inexploitable ?
a) En appliquant la relation de Bernoulli sur une
ligne de courant (l.d.c.) bien choisie, montrer que
v0 = vs (en norme).
2/ 2
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