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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Énoncés
Exercice 1
Compléter les phrases suivantes.
a]
b]
c]
Dans un triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est …, le côté adjacent à ̂
ABC est ....et le côté adjacent à ̂
ACB est ....
̂
Dans un triangle DEF rectangle en E, l'hypoténuse est …, le côté opposé à ̂
est
....et
le
côté
opposé
à
EDF
EFD est ....
̂
Dans un triangle GHI rectangle en H, l'hypoténuse est …, le côté adjacent à HIG est ....et le côté opposé à ̂
HGI est ....
Exercice 2
C
Compléter les phrases suivantes quand c'est possible.
a]
b]
c]
d]
e]
f]
g]
G
L'hypoténuse du triangle ABC est ...
L'hypoténuse du triangle AEG est …
Dans le triangle EGA, le côté opposé à ̂
EGA est ....
Dans le triangle ABC, le côté adjacent à ̂
BAC est ....
Dans le triangle AEG, le côté adjacent à ̂
AEG est ....
Dans le triangle ADF, le côté adjacent à ̂
DAF est ....
Dans le triangle BEG, le côté opposé à ̂
EGB est ....
F
A
D
B
E
Exercice 3
Compléter les phrases suivantes :
a]
b]
TV
« Dans le triangle TUV rectangle en V, l'hypoténuse est … , la tangente de ̂
.»
TUV vaut … et le … de l'angle ̂
TUV vaut
TU
HK
HJK )=
« Dans le triangle ... rectangle en ..., on a tan (̂
.»
KJ
Exercice 4
C
G
On considère la figure ci-contre.
1.
Exprimer de trois manières différentes ce que vaut sin(̂
CAD) .
2.
Démontrer que
F
AF AE
=
.
AD AG
A
D
B
E
Exercice 5
À l'aide de la calculatrice, donner la valeur des sinus et des tangentes des angles donnés, arrondies au centième.
Angle
30°
45°
20°
83°
60°
Sinus
Tangente
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Exercice 6
À l'aide de la calculatrice, calcule la valeur arrondie au degré de la mesure des angles.
Sinus
0,4
0,9
1,1
Angle
Tangente
0,28
1
2,3
Angle
Exercice 7
ABC est un triangle rectangle en A, AB = 5 cm et ̂
BCA=35 ° . Calculer la longueur BC arrondie au cm.
Exercice 8
MNP est un triangle rectangle en M tel que PN = 5,4 cm et ̂
MPN = 42° . Calculer MP arrondie au millimètre.
Exercice 9
RST est un triangle rectangle en S tel que RS = 4 cm et ST = 7 cm. Calculer ̂
SRT arrondi au centième de degré.
Exercice 10
1.
2.
3.
Construire un triangle ABC rectangle en A, tel que AC = 5 cm et ̂
ABC =40° . Soit H le pied de la hauteur issue de A.
Calculer la longueur AB arrondie au millimètre.
Calculer la longueur AH arrondie au dixième de millimètre.
Exercice 11
ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD] avec AB = AD = 4,5 cm et DC = 6 cm.
1.
2.
3.
4.
Calculer la mesure de l'angle ̂
ACD arrondie au degré.
Calculer la longueur de la diagonale [AC].
Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
Calculer la longueur BD arrondie au millimètre.
Exercice 12
1.
2.
3.
Trouver à l'aide de la calculatrice l'écriture décimale de sin(30°) et en déduire la valeur exacte de cos(30°).
Déterminer la valeur exacte de tan(30°).
Déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle ABC rectangle en B tel que AB = 8 cm et ̂
BAC=30 ° .
Exercice 13
Dans la nuit, un lampadaire de 2,60 m de haut, dessine sur le sol un disque de 95 cm de rayon.
Quelle est la mesure de l'angle, arrondie au degré, formé par le cône de lumière avec le sol ?
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Exercice 14
Pour effectuer une réparation sur un toit, Arnoul doit poser son échelle contre un mur.
Pour qu'elle soit suffisamment stable et pour éviter de glisser, l'échelle doit former un angle d'au
moins 65° avec le sol.
1.
L'échelle mesure 2,20 m. Gêné par un bassin à poissons rouges, Arnoul n'a pu poser son échelle qu'à 1,20 m du mur.
Cette échelle sera-t-elle suffisamment stable ? Justifier.
2.
À quelle distance maximum du mur en cm Arnoul doit-il placer son échelle pour qu'elle soit stable ?
Exercice 15
Aurea veut connaître la distance entre deux monuments placés en O et en T et alignés
avec le point L.
Elle sait que LP = 2 km, que (LP) est perpendiculaire à (LT) et, par visée à partir du
point P, elle a obtenu les mesures des angles ̂
LPO et ̂
LPT .
1.
Exprimer OT en fonction de LT et LO.
2.
Calculer OT.
Exercice 16
Deux immeubles distants de 10 m sont situés l'un derrière l'autre.
Le premier immeuble mesure 12 m. Eliam se trouve à 14 m du premier immeuble,
ses yeux sont à 1,50 m du sol.
Peut-il voir l'immeuble qui mesure 17 m ?
Exercice 17
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que :
AB = 10 cm ; BC = 4,8 cm ; GC = 6,4 cm.
1.
2.
3.
Calculer FC.
Quelle est la nature du triangle EFC ?
Donner l'arrondi au degré de la mesure de l'angle ̂
FCE .
Exercice 18
̂ )= 2 .
̂ tel que cos( W
Soit un angle aigu W
7
1.
2.
̂ ).
Déterminer les valeurs exactes de sin(Ŵ ) et tan (W
Construire Ŵ sans le calculer.
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Exercice 19
Soit x un angle aigu.
a]
b]
Exprimer cos2 x – sin 2 x en fonction de cos2 x .
Exprimer cos2 x en fonction de tan 2 x .
Exercice 20
A
On considère la figure ci-contre.
1.
2.
3.
Justifier que les angles ̂
ABH et ̂
HAC ont la même mesure.
AH CH
=
Démontrer que
BH AH
Écrire AH 2 en fonction de BH et CH.
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B
H
C
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Corrigés
Exercice 1
a]
b]
c]
Dans ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC], le côté adjacent à ̂
ABC est [AB] et le côté adjacent à ̂
ACB est [AC].
̂
Dans DEF rectangle en E, l'hypoténuse est [DF], le côté opposé à EDF est [EF] et le côté opposé à ̂
EFD est [DE].
Dans un triangle GHI rectangle en H, l'hypoténuse est [GI], le côté adjacent à ̂
HIG est [HI] et le côté opposé à ̂
HGI est [HI].
Exercice 2
a]
b]
c]
d]
e]
f]
g]
Comme ABC n'est pas rectangle, alors on ne peut pas parler de son hypoténuse.
L'hypoténuse du triangle AEG est [AG].
Dans le triangle EGA, le côté opposé à ̂
EGA est [AE].
Comme ABC n'est pas rectangle, alors on ne peut pas parler du côté adjacent à ̂
BAC .
Comme ̂
AEG est l'angle droit du triangle AEG alors on ne peut pas parler de son côté adjacent.
Dans le triangle ADF, le côté adjacent à ̂
DAF est [AF].
Dans le triangle BEG, le côté opposé à ̂
EGB est [BE].
Exercice 3
a]
b]
TV
TV
« Dans TUV rectangle en V, l'hypoténuse est [TU], la tangente de ̂
et le sinus de l'angle ̂
.»
TUV vaut
TUV vaut
TU
UV
HK
HJK )=
« Dans le triangle HJK rectangle en K, on a tan (̂
.»
KJ
Exercice 4
1.
FAD )=
Dans le triangle FAD rectangle en F on a sin(̂
EG
AG
BC
̂
AB)=
Dans le triangle ABC rectangle en C on a sin(C
AB
GAE )=
Dans le triangle AEG rectangle en E on a sin(̂
DF
DF
CAD )=
donc sin (̂
.
AD
AD
EG
CAD )=
donc sin(̂
.
AG
̂ )= BC .
donc sin (CAD
AB
AF
AE
GAE)=
et dans le triangle AEG rectangle en E on a cos( ̂
.
AD
AG
AF AE
=
Comme ̂
.
FAD)=cos( ̂
GAE) donc
FAD= ̂
GAE alors cos( ̂
AD AG
2.
FAD)=
Dans le triangle FAD rectangle en F on a cos( ̂
Exercice 5
Angle
30°
45°
20°
83°
60°
Sinus
0,5
0,71
0,34
0,99
0,87
Tangente
0,58
1
0,36
8,14
1,73
Exercice 6
Sinus
0,4
0,9
1,1
Tangente
0,28
1
2,3
Angle en degré
24
64
Impossible
Angle en degré
16
45
67
Exercice 7
BCA)=
Comme ABC est un triangle rectangle en A, alors sin(̂
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5
AB
5
≈9 cm .
donc sin(35 °)=
d'où BC vaut
sin (35° )
BC
BC
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Exercice 8
MPN )=
Comme MNP est rectangle en M, alors cos( ̂
MP
MP
donc cos(42 °)=
d'où MP vaut 5,4×cos (42 °) ≈4,0 cm .
NP
5,4
Exercice 9
SRT )=
Comme RST est un triangle rectangle en S, alors tan (̂
ST
RT
SRT )=
donc tan (̂
7
d'où SRT ≈60,26 ° .
4
Exercice 10
1.
A
Voir ci-contre.
AC
ABC )=
Comme ABC est un triangle rectangle en A, alors tan (̂
AB
5
≈6,0 cm .
d'où AB vaut
tan (40 °)
donc tan (40 °)=
2.
3.
ABH )=
Comme ABH rectangle en H, alors sin(̂
5 cm
5
AB
B
40°
H
C
5×sin(40° )
AH
donc AH = AB sin( ̂
soit AH ≈ 3,83 cm .
ABH ) d'où AH =
tan (40 °)
AB
Exercice 11
AD
4,5
ACD)=
donc tan (̂
d'où ̂
ACD≈ 37 ° .
CD
6
1.
ACD )=
Comme ADC est un triangle rectangle en D, alors tan (̂
2.
Comme ADC est un triangle rectangle en D, alors AC 2 = AD 2+CD 2 donc AC 2 =56,25 soit AC = √ 56,25 et AC =7,5 cm .
3.
Comme ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD] alors [AB] et [CD] sont parallèles.
Comme [AB] et [CD] sont parallèles avec [CD] perpendiculaire à [AD] alors [AB] est perpendiculaire à [AD].
Comme, en plus, AB = AD , alors le triangle ABD est isocèle rectangle en A.
4.
Comme le triangle ABD est rectangle en A alors BD 2= AD 2+ AB 2 donc BD 2=40,5 donc BD= √ 40,5 soit BD≈6,4 cm
Exercice 12
1.
On a sin(30°) = 0,5.
2
Comme (cos(30°))² + (sin(30°))² = 1 alors on a (cos(30 °)) =1 –
2.
3.
On a tan (30 °)=
2
()
1
2
2
d'où (cos (30 °)) =
3
√3 .
. On a donc cos(30 ° )=
4
2
sin (30° )
1 2
1
1 √3
√3 .
d'où tan (30 °)= :
donc tan (30 °)= ×
soit tan (30 °)=
ou encore tan (30 °)=
2 √3
cos(30 °)
2 2
3
√3
BC
8 √3
d'où BC =8tan (30° ) soit BC =
.
AB
3
1
1
8 √ 3 32 √ 3 2
=
cm .
L'aire du triangle ABC rectangle en B vaut × AB× BC soit ×8×
2
2
3
3
BAC )=
Comme ABC est rectangle en B alors tan (̂
Exercice 13
En admettant que le lampadaire est perpendiculaire au sol, une coupe du cône de lumière forme le triangle
rectangle ci-contre avec AH = 2,6 et BH = 0,95.
AH
2,6
ABH )=
soit tan (̂
.
BH
0,95
On en déduit que le cône de lumière forme un angle d'environ 70° avec le sol.
A
ABH )=
On a par conséquent tan (̂
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H
B
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Exercice 14
1.
A
On schématise la situation par le dessin ci-contre.
ABH )=
Comme ABH est un triangle rectangle en H, alors cos( ̂
BH
1,2
ABH )=
donc cos( ̂
d'où ̂
ABH ≈57° .
AB
2,2
2,2 m
Par conséquent l'échelle risque de glisser.
BH
Cherchons BH lorsque ̂
d'où BH =2,2 cos(65°) .
ABH mesure 65° : on a cos(65°)=
2,2
Par conséquent l'échelle doit être située à moins de 92 cm du mur.
2.
H
1,2 m
B
Exercice 15
1.
2.
Comme O∈[TL] alors OT = LT – LO.
LO
LO
LPO)=
Comme LOP est rectangle en L, alors tan (̂
donc tan (16° )=
d'où LO= 2 tan (16° ) km.
LP
2
TL
TL
LPT )=
Comme LTP est rectangle en L, alors tan (̂
donc tan (16° +70°)=
d'où TL=2 tan (86 °) km.
LP
2
On a donc OT= 2 tan (86 ° )−2 tan (16 °) km soit environ 28 km.
Exercice 16
En admettant que les immeubles sont perpendiculaires au sol et que le regard d'Eliam est parallèle au sol, alors les triangles DEH et
UNH sont rectangles respectivement en E et N avec DE = 17 – 1,5 donc DE = 15,5m et UN = 12 – 1,5 donc UN = 10,5m.
ED
15,5
EHD)=
donc tan (̂
d'où ̂
EHD≈32,9 ° .
EH
24
UN
10,5
UHN )=
UHN )=
Comme UNH est un triangle rectangle en N, alors tan (̂
donc tan (̂
d'où ̂
UHN ≈36,9 ° .
NH
14
EHD)=
Comme DEH est un triangle rectangle en E, alors tan (̂
Comme ̂
EHD<̂
UHN alors Eliam ne pourra pas voir le sommet D du grand immeuble.
Exercice 17
1.
Comme le triangle FCB est rectangle en B alors FC 2= BC 2 + FB2 donc FC 2= 4,82 +6,4 2 d'où FC = 8 cm.
2.
Comme [EF] est perpendiculaire à la face BCGF du pavé alors EFC est un triangle rectangle en F.
3.
FCE)=
Comme EFC est un triangle rectangle en F, alors tan (̂
FE
FC
FCE)=
donc tan (̂
10
d'où ̂
FCE≈51 ° .
8
Exercice 18
1.
2 ̂
=1−
On a cos 2 Ŵ +sin 2 Ŵ =1 donc sin W
4
45
2 ̂
̂ = √ 45 ou sin W
̂ =− √ 45 .
=
donc sin W
d'où sin W
49
49
7
7
̂ = √ 45 .
̂ est un angle aigu alors son sinus est positif d'où sin W
Comme W
7
̂=
On a tan W
2.
sin Ŵ
̂ = √ 45 : 2 donc tan W
̂ = √ 45 × 7 d'où tan W
̂ = √ 45 .
donc tan W
̂
2
7 7
7
2
cos W
Pour construire Ŵ on construit un triangle ABW rectangle en A avec AW = 2 cm et BW = 7 cm.
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Exercices de 3ème – Chapitre 6 – Trigonométrie
Exercice 19
a]
De cos 2 x+sin 2 x=1 on déduit sin 2 x=1−cos 2 x .
On a alors cos 2 x –sin 2 x=cos 2 x –(1−cos 2 x) d'où cos 2 x – sin 2 x=2cos 2 x – 1 .
sin x
.
cos x
sin 2 x
2
On a donc tan x=
d'où cos 2 x×tan 2 x=sin 2 x .
cos 2 x
De plus, on sait que sin 2 x=1−cos 2 x .
b]
On sait que tan x =
On a donc cos 2 x×tan 2 x=1−cos2 x donc cos 2 x+cos2 x×tan 2 x=1 donc cos 2 x(1+ tan 2 x)=1 .
2
D'où cos x=
1
.
1+tan 2 x
Exercice 20
1. Comme la somme des angles du triangle ABC vaut 180° alors ̂
ABC=180 – ̂
BAC – ̂
ACH ou encore ̂
ABH =90 – ̂
ACH .
̂
̂
̂
̂
̂
Comme la somme des angles du triangle AHC vaut 180° alors HAC =180 – AHC – ACH ou encore HAC =90 – ACH .
On a donc bien ̂
ABH = ̂
HAC .
De l'égalité précédente on déduit tan ̂
ABH =tan ̂
HAC .
AH
CH
̂
HAC =
Or dans ABH rectangle en H on a tan ABH =
et dans ACH rectangle en H on a tan ̂
.
BH
AH
AH CH
=
On en déduit que
.
BH AH
2.
3.
De l'égalité précédente on déduit AH × AH =BH ×CH soit AH 2= BH ×CH .
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