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Activité A

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EXERCICES ET PROBLÈMES
Ch. 6 : Trigonométrie
: Oral
. : Application
? : Approfondissement
cos, sin, tan
1 Pour chacun des triangles rectangles cidessous, indiquer l’hypoténuse, le côté adjacent, le
côté opposé à l’angle colorié, puis exprimer le cosinus, le sinus et la tangente de cet angle en fonction
des longueurs des côtés des triangles.
C
10 m
100 m
Calculer une valeur arrondie à 0,1 degré près de la
mesure de l’angle formé par la route et l’horizontale
lorsque la pente est de :
1. 10%
B
E
2. 8%
A
3. 4%
D
1. Construire un triangle T RI rectangle en I.
6 ? Une équerre a la forme d’un triangle rectangle dont le plus grand côté mesure 18 cm et le
plus petit angle mesure 30˚.
Calculer la longueur des deux autres côtés de
l’équerre. On donnera si nécessaire les arrondis au
millimètre.
2. Recopier les égalités suivantes en remplaçant les pointillés par « sin », « cos » ou
« tan ».
Propriétés
F
2 .
IT
RT
dR = IR
(b) . . . IT
IT
dR =
(a) . . . IT
IT
RT
d = IT
(d) . . . IRT
IR
d =
(c) . . . IRT
3 ? Construire le tirangle ABC rectangle en C
[ = 2 sans utiliser ni de calculatrice
tel que sin ABC
5
ni de rapporteur
4 . Avec la calculatrice
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats au centième.
Cb
cos Cb
sin Cb
tan Cb
3˚ 27˚ 45˚ 67˚ 81˚ 85˚
5 ? Une pente de 10% représente une différence
de niveau de dix mètres pour une distance horizontale de cent mètres.
7 Vrai ou faux ?
1. Si la triangle ABC est rectangle en A,
[ = sin ACB.
[
cos ABC
2. sin2 30˚+ cos2 30˚= (sin 30˚+ cos 30˚)2 .
3. sin2 60˚= 1 − cos2 60˚.
45˚
.
4. tan 45˚= cos
sin 45˚
8 . Soit Bb un angle aigu tel que cos Bb = 54 .
b
1. Calculer la valeur exacte de sin B.
b
2. En déduire la valeur exacte de tan B.
9 ? Calculer les expressions suivantes sans utiliser
de calculatrice :
1. A = cos 10˚− sin 80˚.
2. B = sin 45˚− cos 45˚.
3. C = (cos 41˚− cos 49˚) + (sin 41˚− sin 49˚).
10
?
Soit Bb un angle aigu. Démontrer que :
3. Calculer les valeurs exactes de EB et de AB.
4. Calculer la valeur exacte de DB.
b 2 − 2 sin B
b × cos B
b = 1.
(sin Bb + cos B)
5. Calculer la valeur exacte de l’aire du quadrilatère AGF D.
Problèmes
11
?
Soit ABCDEF GH un cube d’arrête 5 cm.
H
13 ? Charlotte navigue le long d’une falaise.
Pour des questions de sécurité, elle ne doit pas aller
au-delà du point C. Elle a jeté l’ancre au point B.
[ = 75˚ et HBS
[ = 65˚.
On a SH = 100 m, HCS
G
E
D
F
C
A
À quelle distance du point C le bateau de Charlotte
se trouve-t-il ? Donner la valeur approchée par excès au dixième de mètre près.
B
14
1. Quelle est la nature du triangle AHG ?
?
1 + tan2 Bb =
2. Dessiner en vraie grandeur le triangle AHG.
3. Calculer les valeurs exactes de AH et de AG.
[ Arrondir
4. Calculer la mesure de l’angle HAG.
à 0,1 degré.
Soit Bb un angle aigu. Démontrer que :
15 ?
que :
√
Sachant que sin 15˚ =
√
12 ? On considère le quadrilatère croisé AGF D
tel que :
— AE = 9 cm ;
— EG = 6√cm ;
— EF = 3 3 cm ;
—
—
—
1
.
cos2 Bb
cos 15˚=
F G = 3 cm ;
[ = 30˚;
BAD
[ = 90˚;
ABE
6+
4
√
√
6− 2
,
4
2
démontrer
.
Vu au brevet
16
?
Amérique du Nord 2009
On donne : BD = 4 cm ; BA = 6 cm et
[
DBC = 60˚.
A
A
D
B
E
F
C
G
D
1. Quelle est la nature du triangle EF G ?
2. Calculer la mesure de chacun des angles du
triangle EF G.
60˚
B
3 cm
4 cm
1. Montrer que BC = 8 cm.
2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au
dixième.
3. Calculer AC.
[?
4. Quelle est la valeur de tan BAC
19
?
Inde 2009
On considère une bougie conique représentée cidessous. Le rayon OA de sa base est égal à 2,5 cm.
La longueur SA est égale à 6,5 cm.
S
5. En déduire la valeur arrondie au degré de
[
l’angle BAC.
17
?
Amérique du Nord 2011
On considère la figure suivante où les points B,
C et D sont alignés. La figure n’est pas l’échelle.
A
A
49◦
1. (a) Quelle est la nature du triangle SAO ?
(b) Construire le triangle SAO en vraie grandeur.
2. Montrer que la hauteur SO de la bougie est
6 cm.
3. Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie. On donnera la valeur arrondie au dixième de cm3.
[ On don4. Calculer la mesure de l’angle ASO.
nera la valeur arrondie au degré.
30 cm
25 cm
B
D
1. Calculer la valeur exacte de la distance BC.
2. Calculer l’arrondi de la distance BD au millimètre près.
18
?
National 2011
Le dessin ci-dessous représente une figure géométrique dans laquelle on sait que :
— ABC est un triangle rectangle en B ;
— CED est un triangle rectangle en E ;
— Les points A, C et E sont alignés ;
— Les points D, C et B sont alignés ;
— AB = CB = 2 cm et CD = 6 cm.
A
D
C
20
?
Nouvelle-Calédonie 2011
Voici une carte découverte par Ruffy, qui lui permettra de déterrer le fabuleux trésor de Math le
Pirate. On note :
— R : le rocher en forme de crâne,
— C : le cocotier sous lequel est enterré le trésor,
— P : le phare.
C est sur le demi-cercle de diamètre [P R] et la distance du phare au rocher est de 3000 brasses.
B
C
E
Le dessin n’est pas en vraie grandeur.
1. Représenter la figure en vraie grandeur.
[?
2. (a) Quelle est la mesure de l’angle ACB
[
(b) En déduire la mesure de l’angle DCE.
(c) Calculer une valeur approchée de DE à
0,1 cm près.
R
60◦
P
1. Démontrer que le triangle P RC est rectangle.
2. Calculer la distance RC en brasses.
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