Durağan ve Durağan Olmayan Zaman Serileri

ZAMAN SERİSİ SÜREÇLERİ
Durağan ve Durağan Olmayan
Zaman Serileri
1
 Zaman Serileri Analizi
 Zaman Serisi Modelleri
 Veri Üretme Süreci(DGP)
 Stokastik Süreçler
 Durağan Stokastik Süreçler
Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri
Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık
Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi
Diğer Durağan Stokastik Süreç Modelleri
 Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
Rassal Yürüyüş Süreci
Kayan Rassal Yürüyüş Süreci
Zaman Trendleri
Genelleştirme
Entegre Seriler
2
Zaman Serileri Analizi
Zaman Serisi Nedir?
Bir
dönemden
diğerine
değişkenlerin
değerlerinin ardışık bir şekilde gözlendiği sayısal
büyüklüklerdir.
Özelliği ve yapısı ile bizzat kendisi geleceğin
tahmininde kullanılan bir bilgi kaynağı olduğu
gibi, aynı zamanda bir yöntem olmaktadır.
Neden- sonuç bağlantısı olmaktan çok,
serinin ileriye doğru güvenilir bir
uzantısının bulunmasıdır.
3
Zaman Serileri Analizi
 Zaman serisi analizinin özet olarak iki amacı:
Tek değişkenli zaman serileri analizi=Tek bir seri
Çok değişkenli zaman serileri analizi=İki veya
daha fazla seri
Öncelleştirme, geciktirme, geri besleme
ilişkileri
 Zaman serisi modeli, X ile Y arasındaki fonksiyonel ilişki
ile değil, Yt ile Yt-(1,2,…t) arasındaki ilişkiyle ilgilenir.
4
Zaman Serileri Analizi
 Geleneksel Zaman Serisi Ayrışım Yöntemi
Trend
Konjonktür
Mevsim etkileri
Düzensiz hareketler
5
Zaman Serileri Analizi
Trend, zamana göre gözlemlenen bir
değişkenin uzun dönemde gösterdiği artış veya
azalışa denir.
Trend, iki şekilde ifade edilebilir:
Doğrusal Trend ve Doğrusal Olmayan Trend
Doğrusal Olmayan Trend
Doğrusal Trend
10
0
1999 2001 2003 2005 2007 2009
10
0
1999 2001 2003 2005 2007 2009
6
Zaman Serileri Analizi
Konjonktürel (Devrevi) Hareketler, 2-10 yıl veya daha
uzun bir dönemde serinin seyrinde oluşan
değişmelerdir ya da zaman serisindeki dalgalanmalar
bir yıldan daha uzun dönemi kapsar şekilde seyir
izliyorsa bu gidişat konjonktür unsuru olarak
adlandırılır.
Konjonktür Etkisi Taşıyan Bir Seri
8
0
1998
2000
2002
2004
2006
2008
7
Zaman Serileri Analizi
Mevsim etkileri, 1 yıl içinde tamamlanan ve
veride yıl bazında tekrarlanan değişmelerin
seyri olarak ifade edilir.
Konjonktürel hareketin özel bir hali olarak
düşünülebilir.
8
Zaman Serileri Analizi
 Düzensiz(rassal) hareketler, zaman serisindeki düzensiz
değişmelerdir ve diğer bileşenlerden hiçbiri bu değişmelerin
nedeni olarak gösterilemez.
 Düzensiz(rassal) hareketlerin tanımlanabilir bir seyirleri yoktur.
 Serideki yanıltıcı hareketlerdir.
 Serinin diğer bileşenleri hesaplandığında geride kalan
büyüklüklerdir.
Düzensiz Değişmeler Sergileyen Seri
15
0
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
9
Zaman Serileri Analizi
Zaman serisi Yt, trend, konjonktürel hareketler,
mevsimsel hareketler ve düzensiz hareketlerin bir
fonksiyonu olarak düşünülebilir.
Zaman Serisi=f(Trend, Konjonktürel Hareketler,
Mevsimsel Hareketler, Düzensiz Hareketler)
Yt=f(Tt,Ct,St,It)
It yerine bir stokastik değişken et tanımlanırsa;
Zaman serisi=İzlenen seyir+hata
Yt=f(Tt,Ct,St,et )
10
Zaman Serileri Analizi
 Geleneksel Zaman Serisi Ayrışım Yöntemi
Toplamsal Ayrıştırma Yöntemi
Yt=f(Tt,Ct,St,It)
Yt= Tt+Ct+St+It
Çarpımsal Ayrıştırma Yöntemi
Yt=f(Tt,Ct,St,It)
Yt=TtCtStIt
 Geleneksel zaman serisi ayrışım yönteminde, özellikle zaman
serilerinin trend, konjonktürel ve mevsimsel hareketlerin
etkisi altında kaldığı versayılır ve ayrıştırma işlemi bu üç
bileşenin It veya et ile tanımlanan düzensiz hareketlerin pür
rassal süreç(temiz dizi) sağlanana kadar devam edilir.
11
Zaman Serileri Analizi
 Zaman serileri analizi, yalnızca serilerdeki trend,
konjonktür ve mevsimsel etkileri arındırma
amacını gütmez.
 Serilerin gelecekte alabilecekleri muhtemel
değerleri önraporlamak ve serilerin temsil ettiği
sistemi kontrol etmek gibi farklı amaçları da
vardır.
 Zaman serisi verilerinin durağan olduğu varsayılır.
Eğer bir zaman serisinin ortalaması, varyansı ve
kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa,
serinin durağan olduğu söylenebilir.
12
Zaman Serileri Analizi
E(Xt) = sabit
(tüm t’ ler için)
Var(Xt) = sabit
(tüm t’ ler için)
Cov(Xt, Xt+k)= sabit (tüm t’ ler için tüm k≠0 için)
13
Zaman Serileri Analizi
Sahte regresyon, modelde yer alan trende
sahip değişkenlerin birbirleriyle tamamen
ilişkisiz olsalar dahi, R2 (belirlilik katsayısı) için
yüksek değerler tahmin edildiğinde ortaya
çıkar.
DW< R2 ise ‘sahte regresyon vardır’ denilebilir.
14
Zaman Serisi Modelleri
Zaman unsuru, modellemede yeni bir boyut
olarak sunulur. Dinamik ekonometride
modeller için kullanılan istatistiksel form,
zaman serisi analizlerinde ele alınan
modellerde kullanılır.
Yt=βXt+et
Statik model
Eğer Xt değişkeninde bir değişme olursa Yt
anında değişime cevap verir. Ancak Xt de bir
değişme söz konusu değilse, Yt
de de
herhangi bir değişme olmayacaktır. Dolayısıyla
sistem dengede kalacaktır.
15
Zaman Serisi Modelleri
Yt=β1Xt+β2Xt-1+ et Dinamik model
Xt bir birim artarsa, Yt nin beklenen değeri
β1 in birim değerine bağlı olarak anında
artacak, fakat β1+β2 nin tam değişimi yalnızca
bütünüyle bir zaman dönemi geçtikten sonra
hissedilir.
Yt=αYt-1 +β1Xt+ et
Dinamik Model
16
Zaman Serisi Modelleri
Ekonomik zaman serilerinde, durağan dışılılığın
nedeni, genellikle trend, konjonktürel ve mevsimsel
hareketlerin etkilediği ileri sürülür.
Durağan dışılılığın bir başka nedeni de stokastik trend
olabilir.
Yt=Yt-1+et t=1,2,…,T Rassal Yürüyüş modeli
Rassal
yürüyüş
modelinde,
bütün
t
zamanlarındaki Y değerlerinin beklenen değeri
yani ortalaması birbirine eşittir. Dolayısıyla
sürecin ortalaması da sabittir.
17
Zaman Serisi Modelleri
Yt=φYt-1+et
Birinci dereceden otoregresif
bir zaman serisi modeli
│φ│<1 koşulunu sağlayan bir modelin durağan
olduğu kabul edilir.
│φ│>1 ise zaman serisi patlayan bir seridir.
Yt nin bağımlılığını onun geçmiş değerlerine
dayanarak açıklamanın alternatif bir yolu bir
hareketli
ortalama
modeli
yardımıyla
oluşturulabilir:
Yt=et+θet-1 Hareketli Ortalama Süreci (MA(1))
18
Veri Üretme Süreci
Zaman serileri analizinin amacı seriyi oluşturan
herhangi bir süreç (yani anakütle) modelini
tanımlamak için bu sürecin gerçekleşmelerini (yani
örneklemini) kullanmaktır.
Yt=φYt-1+et , │φ│<1
Bu modelin veri üretme süreci, p sayıda gecikme
uzunluğunda
Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+ et dir.
 Ya da Yt=et+θ1et-1 │θ│<1 için
q uzunluğunda veri üretme süreci
Yt= et+ θ1et-1+…+ θqet-q dir.
19
Stokastik Süreçler
 Zaman serileri için olasılık modellerinin diğer bir tanımı
stokastik süreçlerdir..
 Literatürde stokastik süreç, hem reel fiziksel süreç hem de
onun matematiksel bir modeli olarak algılanır.
 Rassal süreç kavramı ile stokastik süreç kavramı eşanlamdadır.
 Bir stokastik süreçte her gözlem yani serideki her değer
Y1,Y2,…,Yt bir olasılık dağılımından rassal olarak çekildiğinden
rassal bir değişkendir ve gözlemlerin belirli bir olasılık
dağılımına göre oluştuğu varsayılır.
 Zaman serisi analizlerinin temel amacı gözlenen seride
içerilen bilgiden yararlanarak stokastik sürecin özellikleri veya
temel öğeleri hakkında çıkarımlarda bulunmaktır.
20
Stokastik Süreçler
 Kolmogorov, çalışmasıyla belirli düzenli koşulları sağlayan
stokastik süreçlerin sonlu boyutlu dağılım ile
tanımlanabileceğini göstermiştir.
 Stokastik süreci tasvir etmenin bir yolu, t1,…, tn herhangi
bir seti için Yt1,…,Ytn birleşik olasılık dağılımını
tanımlamaktır.
 Süreci tasvir etmenin bir başka yolu da sürecin
momentlerini oluşturmaktır.
Ortalama=µt=E(Yt)
Varyans=σ2=Var(Yt)
Otokovaryans=gt1,t2=cov(Yt1, Yt2)
 Yt nin dağılımı normal bir dağılım takip ederse, bu dağılımı
Gaussian Süreç olarak adlandırılabilir.
21
Durağan Stokastik Süreçler
Bir zaman serisinin eğer ortalamasında
sistematik bir değişme yoksa (trend
yapmıyorsa), eğer varyansında sistematik bir
değişme yoksa ve eğer düzenli periyodik
değişmeler
ortaya
çıkarmıyorsa,
seri
durağandır denir.
Durağan bir süreçte stokastik sürecin
özellikleri zaman boyunca değişmemektedir.
22
Durağan Stokastik Süreçler
 Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri
 Veri noktaları seti Y1,…,Yt birleşik olasılık dağılım
fonksiyonu P(Y1,…,Yt )’ in özel bir sonucunu
gösterir.
Benzer bir şekilde, gelecek bir gözlem Yt+1 in
koşullu olasılık dağılım fonksiyonu
P(Yt +1│Y1,…,Yt) tarafından ya da başka bir ifadeyle
geçmiş gözlemler Y1,…,Yt veri iken Yt+1 için bir
olasılık dağılımı tarafından elde edildiği
düşünülebilir.
Eğer Yt serisi durağan ise
P(Yt,…,Yt+k)=P(Yt+m,…,Yt+k+m)
P(Yt)= P(Yt+m) olacaktır.
23
Durağan Stokastik Süreçler
Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri
 Eğer Yt serisi durağan ise
Serinin ortalaması=µY=E(Yt)
Serinin varyansı=σ2=Var(Yt)=E[(Yt- µY)2]
herhangi bir k gecikmesi için kovaryans
gk =cov(Yt, Yt+k)= E[(Yt- µY)( Yt+k- µY)] dir.
24
Durağan Stokastik Süreçler
Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık
Bir stokastik sürece karşı gelen zaman serileri eğer,
Ortalama µY=E(Yt)
bütün t’ler için sabitse
Varyansı σ2=Var(Yt)
bütün t’ler için sabitse
Kovaryans gk =cov(Yt, Yt+k) bütün t’ler için sabit ve k≠0
ise zayıf durağan(kovaryans durağan) olarak
adlandırılır. Nedeni ortalama, varyans ve kovaryansın
t’ye bağlı olmamasıdır.
25
Durağan Stokastik Süreçler
 Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık
Yt rassal değişkeninin, zayıf durağanlık özelliklerinin
yanı sıra dağılımın zaman içinde değişmemesi
özelliğine sahip olması halinde güçlü durağanlık söz
konusudur.
Stokastik bir süreç veya karşılığı olan zaman serisi,
eğer n sayıda gözlemin Yt1,…,Ytn herhangi bir setinin
bileşik dağılımı k sayıda gecikmesi ele alındığında
bütün n ve k için Yt1+k,…,Ytn+k in bileşik dağılımının
aynısı ise kesin durağan olduğu söylenir.
Kesin durağanlık bütün n sayıda değer için elde
edilebilir.
26
Durağan Stokastik Süreçler
Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık
gk =cov(Yt, Yt+k)
t ve t+k dönemleri için serilerin
otokovaryans fonksiyonu
k=0 için
g0 =cov(Yt, Yt)= σ2
ρ(k)=gk/ g0
otokorelasyon fonksiyonu yada k
gecikmede otokorelasyon katsayısı
Özet olarak kesin durağan bir seri için Yt nin
dağılımı t’den bağımsızdır.
27
Durağan Stokastik Süreçler
Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi
Kesikli rassal süreç olan Yt , bağımsız özdeş dağılan rassal
değişkenlerin bir dizisini içeriyorsa pür rassal süreç olarak
kabul edilir.
Literatürde temiz dizi, white noise, beyaz gürültü, kuru
gürültü gibi kavramlar pür rassal süreçle aynı anlama
gelmektedir.
Bu sürecin rassal değişkenleri sabit bir ortalamaya ve sabit
bir varyansa sahiptir.
Ortalama E(et)=0 bütün t’ ler için
Varyans Var(et)=σ2 bütün t’ ler için
Kovaryansı Cov(et, et+k)=0 bütün t’ ler için, k≠0
28
Durağan Stokastik Süreçler
Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi
Otokorelasyon fonksiyonu;
ρ(k)=1 (k=0 ise)
ρ(k)=0 (k≠0 ise)
Otokovaryans fonksiyonu ise;
gk=Cov(Yt,Yt+k)=0 k≠0 için
et~IID (0, σ2)
ikinci derece veya
kovaryans durağan
et~NID (0, σ2)
kesin durağan veya
Gaussian Temiz-dizi
29
Durağan Stokastik Süreçler
 Diğer Durağan Stokastik Süreç Modelleri
Otoregresif Süreçler: Ortalaması sıfır ve varyansı σ2
olan pür rassal sürecin { et} kesikli olduğu varsayılsın.
Dolayısıyla { Yt} süreci
Yt=µ+φ1 Yt-1+ φ2 Yt-2+…+ φp Yt-p+et
p’ inci dereceden bir otoregresif süreç veya AR(p)
olarak adlandırılır.
Σφi<1 ise seri durağandır.
Hareketli Ortalama Süreci:Ortalaması sıfır ve varyansı
σ2 olan pür rassal sürecin { et} kesikli olduğu
varsayılsın.Dolayısıyla { Yt} süreci
Yt=δ+et+θ1et-1+…+θqet-q
q’ uncu dereceden bir hareketli ortalama
süreç veya MA(q) olarak adlandırılır.
Σθi<1 ise seri durağandır.
30
Durağan Stokastik Süreçler
 Diğer Durağan Stokastik Süreçler
Otoregresif Hareketli Ortalama Süreci: AR(p) ve MA(q)
modellerinin bir arada ele alındığı karma modeldir. Yine
{ et} ortalaması sıfır ve varyansı σ2 olan pür rassal
süreçtir.
Yt=δ+ φ1 Yt-1+…+ φp Yt-p+et +θ1et-1+…+θqet-q
bu tür modeller ARMA(p,q) veya karma modeller olarak
adlandırılır.
31
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
Bir zaman serisi, durağan zaman serisi
özelliklerinden bir yada birden fazla özelliğini
sağlamıyorsa, bu seriyi temsil eden stokastik
süreç durağan dışı olarak adlandırılır.
Bu tür serilerin durağan hale dönüştürülmesi
için
trend
veya
mevsim
etkisinden
arındırılması gerekir.
Box-Jenkins metodu
Basit bir durağan dışı zaman serisi modeli:
Yt=µt+ et
32
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
Eğer bira yada daha fazla sayıda fark alınarak seri
durağan hale dönüştürülüyorsa , böyle bir durağan
dışı seri homojen olarak ifade edilebilir.
Serinin fark alma sayısı aynı zamanda homojenlik
derecesini tanımlar.
ΔYt= Yt- Yt-1
1. derece homojen durağan dışı
Δ2Yt= Δ(Yt- Yt-1)
2. derece homojen durağan dışı
33
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
 Rassal Yürüyüş Süreci
Hisse senedi gibi finansal verilerin zaman
içerisindeki davranışlarını iyi bir şekilde yansıtan
süreç, rassal yürüyüş süreci olarak adlandırılır.
Örneğin
t günündeki
(t-1) günündeki
rassal
hisse senedi = hisse senedi
+ hata
fiyatları
fiyatları
Birinci derece durağan dışı sürecin basit rassal
yürüyüş süreci:
Yt= Yt-1+et
34
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
Rassal Yürüyüş Süreci
Yt= Yt-1+et
Yt- Yt-1=et
Δ Yt= et
bu ilk farkı alınan yeni değişken durağandır. Çünkü
et ‘nin zamandan bağımsız olduğu varsayıldığından
Δ Yt=et ‘ninde durağan olduğu kabul edilir.
Ayrıca rassal yürüyüş sürecinin diğer önemli bir
özelliği ise uzun dönemli bir belleğe sahiptir.
35
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
Kayan Rassal Yürüyüş Süreci
Kayan rassal yürüyüş, büyüklüğü sıfırdan farklı olan
bir kesme terimi içeren basit bir yürüyüş sürecidir.
Yt= δ+Yt-1+et
δ≠0
Δ Yt= Yt- Yt-1=δ+et
Ortalaması
E(Yt)=µt+δt
Varyansı E(Yt2)=tσ2 dir.
36
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
 Zaman Trendleri
Tek bir yönde hareket eden durağan dışı bir serinin
eğilimi zaman trendi olarak adlandırılır.
Yt=α+βt+φYt-1+ et (α≠0) modeli için
et~IID (0, σ2) , t bir zaman trendi
φ≠0,β=0 için Yt=α+Yt-1+et (α≠0) stokastik trend
Φ=0,β≠0 için Yt=α+βt+et (α≠0) deterministik trend
Φ=1,β≠0 için Yt=α+βt+Yt-1+et (α≠0) birleşik stokastik ve
deterministik trend
37
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
 Genelleştirme
En basit durağan dışı süreç:
Yt= Yt-1+et
Bu sürecin özel bir hali: Yt=φYt-1+ et
Bu özel süreç aslında birinci derece otoregresif
(AR(1)) süreçtir.
Eğer -1<φ<1 ise AR(1) durağan, eğer φ<-1 ve φ>1
ise AR(1) durağan dışıdır.
Yt= φ1 Yt-1+ φ2 Yt-2+…+ φp Yt-p+et AR(p)
AR(p) nin özel bir denklemi olan
1-φ1L1-φ2L2-…-φpLp=0
polinomunun
kökleri
mutlak değerce birimden büyükse durağan, diğer
durumlarda durağan dışıdır.
38
Durağan Olmayan Stokastik Süreçler
 Entegre Seriler
 Durağan dışı bir seri, durağanlık öncesi d kere
ardı ardına farkı alınabiliyorsa orijinal seri Yt, d inci
dereceden entegre seridir ve I(d) ile gösterilir.
I(1)=ΔYt=Yt-Yt-1 birinci derece entegre seridir.
I(0) ile yapılacak tanımlama durağan bir seriyi
temsil edecektir.
Yt~I(d) şeklinde gösterilebilir.
Eğer bir seri, ne kadar farkı alınırsa alınsın hala
durağan hale getirilemiyorsa seriye entegre
olmayan seri denir.
39
E-views : Zaman Serileri Veri Üretme Süreçleri
• Temiz dizi yaratma süreci
– File / New / Workfile ile dosya yaratılır.
• Undated or irregular
• 1-100
– Komut satırı : “series e=@rnorm” veya “series
e=nrnd”
– View / Graph /Line
– View / Descriptive Statistics / Histogram and Stats
40
• AR(1) Modeli Veri Üretme Süreci
– File / New / Workfile ile dosya yaratılır.
• Undated or irregular
• 1-100
– “series e=nrnd”
– “series y=0”
– “Sample 1 100” değiştir “Sample 2 100”
– “series y=0.9*y(-1)+e
– View / Graph / Line
41

Download Report