aylık ortalama göl su seviyesinin bulanık-olasılık

AYLIK ORTALAMA GÖL SU SEVİYESİNİN
BULANIK-OLASILIK YAKLAŞIMI İLE GÖZLENMİŞ
ZAMAN SERİSİNDEN TAHMİNİ
Veysel GÜLDAL1, Hakan TONGAL2
1S.D.Ü.Mühendislik
Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh Böl., Isparta/TÜRKİYE
[email protected]
2S.D.Ü.Fen
Bilimleri Enst. İnşaat Müh. Anabilim Dalı, Isparta/TÜRKİYE
[email protected]
ÖZET
Zaman serisi analizlerinin geleneksel yaklaşımında serinin bir trende sahip olup olmadığı,
konjonktürel dalgalanmaların şiddeti, mevsimsel hareketler ve süreçteki düzensizlikler araştırılıp
seriden arındırılarak temiz bir dizi “white noise (WN)” elde edilmeye çalışılır. Bu amaçla
başvurulan deterministik yaklaşımların çoğunda, serideki rastgele değişkenlerin normal
dağıldığı, serinin stasyoner olduğu vb. bazı ön kabullerin yapılması zorunludur. Stokastik zaman
serilerinin incelenmesinde bu kabullerin uygulanabilirliğinin hemen hemen imkânsız olduğu
söylenebilir. Ayrıca, temiz bir dizi elde edilme süreci çoğu zaman yorucu ve zaman alıcı bir
işlemdir. Bu çalışmada, klasik zaman serisinin analizindeki kabulleri gerektirmeyen ve temiz bir
dizi elde etme amacı da gütmeyen bulanık-olasılık yaklaşımı ile Eğirdir Gölü aylık su seviyeleri
zaman serisinin modellenmesi hedeflenmiştir.
1. GİRİŞ
Zaman serileri bir dönemden diğerine değişkenlerin değerlerinin ardışık bir şekilde gözlendiği
sayısal büyüklüklerden oluşan bir dizidir. Gözlenen verilerin zaman içinde ardışık bir biçimde
gerçekleşmesi bir şart değil ancak dizinin gelişimini düzenli aralıklarla görmek açısından
faydalıdır. Mühendislik, işletme, çevre bilimleri, ekonomi ve diğer birçok bilimsel alanlarda
kullanılan çoğu veriler zaman serisi formundadır. Zaman serileri analizinin ve modellemesinin
temel amacı: (1) tek bir seriye ait gözlemlerin dinamik veya zamana bağlı yapısını anlamaya
çalışmak, (2) iki veya daha fazla seri arasında geciktirme, öncelleştirme ve geri besleme
ilişkilerini ortaya koymak olarak özetlenebilir.
112
Zaman serisi modelleri ile rastgele değişkenin kendi geçmiş değerlerindeki bilgiler kullanılarak
varsayımsal bir açıklama sürecini dikkate alarak aynı değişkenin gelecekte alabileceği değerler
tahmin edilmeye çalışılır. Rastgele değişkene ait model tahminleri belli bir olasılık içerir. Bu
değerlerin gelecekte belli bir değeri aşması veya belli bir değerden küçük kalması olasılığı söz
konusudur. Burada geleneksel deterministik yaklaşımların kullanılması oldukça zaman alıcı ve
yorucu bir işlem gerektirir. Ayrıca deterministik yaklaşımların kullanılmasından önce zaman
serilerinin oluşturulması ve simülasyonunda uygulanabilirliği hemen hemen imkansız olan
verinin normal dağılımı, korelasyon katsayılarının doğrusallığı ve istatistiksel değişkenlerin
kestirimi gibi kabullerin yapılması zorunludur. Oysaki literatürde geniş bir kullanım alanına sahip
bulanık mantık modelleriyle bu türden zorunlu ve kısıtlayıcı kabuller yapılmaksızın eldeki
gözlenmiş seriden kavramsal çıkarımlarla ya da bulanık-olasılık yöntemiyle bulanık kural tabanı
oluşturulmasına dayanarak, zaman serilerinin başarılı bir modelini oluşturmak mümkün
olmaktadır. [1] Modelin oluşturulmasında Markov veya ARIMA modellerindeki (Box-Jenkins
yaklaşımı) gibi herhangi bir iç bağımlılığı belirlemek, klasik zaman serisi modellerinde olduğu
gibi (AR, MA, ARMA) seriden eğilim, sıçrama ve periyodikliğin ayrıştırılması gerekmez. [2,3] Bu
çalışmada, eldeki gözlenmiş seri, iki alt kümeye ayrılarak birinci küme ile model kurulup, ikinci
kümeyle aynı dizilişe sahip serinin bir bulanık-olasılık modeliyle elde edilmesi amaçlanmıştır.
Modelin metodolojisi bulanık kural temeli oluşturulmasında geçiş ve birikimli olasılık
prosedürünün kullanılmasına dayanmaktadır.
2. BULANIK KÜMELER VE BULANIK KURAL TABANI
Bulanık mantık, her şeyden önce düşünce, kavram, terim, önerme ve çıkarımlara dayanır.
Bulanık mantıkta klasik mantık sisteminden farklı olarak sözel belirsizlikleri dikkate almak
mümkündür. Klasik mantıkta görülen siyah-beyaz, evet-hayır gibi kesin kestirimler yerine gri ve
belki gibi ara geçiş bölgeleri mevcuttur. Bu nedenle bulanık mantık çoklu bir mantıktır.
Geleneksel
modellemelerde
gözlenen
olayların
matematik
kurallarına
ve
diferansiyel
denklemlerine ulaşmak amaçlanırken bulanık mantıkta ise olayların temsilinde denklemlere
ulaşılmaya çalışılmaz. Olayları temsil eden sözel değişkenler ve bunlar arasındaki ilişkiler,
matematikteki bağımlı ve bağımsız değişkenler ayrımı gibi göz önüne alınır. Buradaki sözel
değişkenlerin diğer bir ifadeyle bulanık mantık değişkenlerinin herkes için aynı anlamda
olmadığı, kişiden kişiye farklılık gösterebileceği hatırlanmalıdır. Günümüzde insan tecrübesinin
modelleme sürecine katılması büyük önem arz etmektedir. Bilgisayarlar ise yalnızca sayısal
anlayışla çalıştıkları için insan tecrübesinin bilgisayara okutulması ancak sayılarla kodlamalar
yapılırsa mümkün olmaktadır. Bulanık kümeler bu kodlamada önemli bir konumdadır.
Zadeh [4] “bulanık yaklaşım” önerdiği çalışmasında bulanık kümelerde her bir değişkenin 0 ile 1
arasında değişen değerlerle tanımlanabileceğini göstermiştir. Nasıl, ihtimaller hesabında
113
rastgele bir değişkene, değişik “ihtimal yoğunluk fonksiyonları” uydurulabiliyorsa “az, çok, alçak,
yüksek, sıcak, ılık, soğuk” gibi bulanık kavramlar içeren bulanık kümelere de bir “üyelik
fonksiyonu” atamak mümkün olabilmektedir, (Şekil 1). Bu üyelik fonksiyonlarının temsil ettiği
değişkenler arasındaki ilişkileri bulanık kural tabanı ile işlemek mümkündür. Bulanık kural
tabanında “eğer-ise” kelimeleri ile ayrılmış iki kısım ile bilinen bazı bilgilerden faydalı olan diğer
bazı bilgilere ulaşılır. Üyelik fonksiyonları, üyelik fonksiyonlarının temsil ettiği bulanık
değişkenlerin üyelik dereceleri ve bu değişkenler arasındaki ilişkilerin ortaya konduğu bulanık
kural tabanı, tecrübe, sezgi, mertebeleme, açılı bulanık kümeler, yapay sinir ağları, genetik
algoritmalar ve mantıksal çıkarımlar gibi değişik yaklaşımlar [5] ile oluşturulabilmektedir.
1
Ç.alçak
Alçak
Orta
Yüksek
Ç.yüksek
Aşırı yüksek
Üyelik derecesi
0.8
0.6
0.4
0.2
0
SN
S0
Şekil 1. Bulanık alt kümeler
Bulanık kural tabanı sistemi işletilerek elde edilen bulanık çıkarımların kullanılabilmesi için tek
bir sayı haline indirgenmesi gerekir. Bu işleme durulaştırma denir. Literatürde sıkça kullanılan
durulaştırma yöntemlerinden biri ağırlık merkezi (centroid) yöntemidir. Bu yönteminin
matematiksel ifadesi aşağıda verilmiştir. [5]

G

N
i 1
N
y i mY ( y i )
i 1
mY ( y i )
(1)
Burada; G, çıkarım bulanık kümesinin (Y) durulaştırılmış değeridir. mY ( yi ) , Y bulanık çıkarım
kümesinin her bir y i elemanının üyelik derecesidir. N, bulanık çıkarım kümesinin elaman
sayısıdır.
114
3. BULANIK-OLASILIK YAKLAŞIMI
Bu çalışmada Eğirdir Gölü’nde 39 yıllık aylık ortalama göl su kotları zaman serisinin bulanıkolasılık yaklaşımla modellenmesi amaçlanmıştır. Zaman serisinin 1962–1980 yılları arasında
kalan kısmı modelin kurulmasında, 1981–2000 yılları arasında kalan kısmı ise model veriminin
testi aşamasında kullanılmıştır. Zaman serisine ait gözlenen su kotları, genelliği bozulmadan
minimum gözlem kotuna göre 0–5 m aralığındaki su seviyelerine dönüştürülmüştür. Bu
dönüşümdeki amaç bulanık alt kümelerin belirlenmesinde işlem kolaylığı sağlamaktır.
Başlangıçta, aylık göl su seviyeleri normal ve konveks 13 üçgen bulanık alt kümeye
( S i ; i  1,2,3...13 ) ayrılmıştır. Bulanık kümenin normal olması, en az bir üyesinin üyelik
derecesinin 1’e eşit olması, konveks olması ise başlangıç dayanağından itibaren üyelik
derecesinin 1’e eşit oluncaya kadar sürekli artması sonra ise bitiş dayanağına düşen üyeler için
sürekli azalması anlamındadır. Bu 13 bulanık alt küme ayrımı hem gözlenen hem de tahmini göl
seviyeleri için geçerlidir, (Şekil 2). Burada; aylık su seviyesi y (t ) girdisinden takip eden aydaki
su seviyesi
y (t  1) elde edilmiştir.
S1
Üyelik derecesi
1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
0.75
0.5
0.25
0
0
0.7
1.4
2.1
2.8
3.5
4.2
Göl su seviyeleri (m)
Şekil 2. Girdi ve çıktı göl seviyesi bulanık alt kümeleri
Daha sonra, bulanık kümeler arasındaki ilişkileri ortaya koyan bulanık kural tabanının
oluşturulmasında geçiş matrisinden yararlanılmıştır, (Tablo 1). Geçiş matrisi, durum olasılık
uzayını temsil etmektedir ve elemanlarının oluşturulmasında 228 aylık göl su seviyeleri
kullanılmıştır.
Geçiş matrisindeki bu olasılıklardan
oluşturulmuştur.
115
yararlanarak
bulanık kural
tabanı
4.9
Tablo 1. Rölatif geçiş matrisi
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
S11
S12
S13
S1
0,67
0,33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S2
0,08
0,75
0,17
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S3
0
0,08
0,75
0,17
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S4
0
0
0,20
0,70
0,10
0
0
0
0
0
0
0
0
S5
0
0
0
0,22
0,56
0,22
0
0
0
0
0
0
0
S6
0
0
0
0
0,11
0,72
0,17
0
0
0
0
0
0
S7
0
0
0
0
0
0,27
0,63
0,10
0
0
0
0
0
S8
0
0
0
0
0
0
0,08
0,81
0,07
0,04
0
0
0
S9
0
0
0
0
0
0
0
0,15
0,70
0,15
0
0
0
S10
0
0
0
0
0
0
0
0
0,11
0,77
0,12
0
0
S11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,23
0,69
0,08
0
S12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,29
0,71
0
S13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1*
*Tecrübe ile elde edilmiştir.
Bulanık kural tabanının oluşturulması, göl seviyesi tahmininde ilişkileri ortaya koyan en önemli
adımdır. Oluşturulan bu bulanık kural tabanı aşağıda verilmiştir.
Eğer
Y(t)
S1
İse
Y(t+1)
S1
Eğer
Y(t)
S2
İse
Y(t+1)
S2
Eğer
Y(t)
S3
İse
Y(t+1)
S3
Eğer
Y(t)
S4
İse
Y(t+1)
S4
Eğer
Y(t)
S5
İse
Y(t+1)
S5
Eğer
Y(t)
S6
İse
Y(t+1)
S6
Eğer
Y(t)
S7
İse
Y(t+1)
S7
Eğer
Y(t)
S8
İse
Y(t+1)
S8
Eğer
Y(t)
S9
İse
Y(t+1)
S9
Eğer
Y(t)
S10
İse
Y(t+1)
S10
Eğer
Y(t)
S11
İse
Y(t+1)
S11
Eğer
Y(t)
S12
İse
Y(t+1)
S12
Eğer
Y(t)
S13
İse
Y(t+1)
S13
Gözlenen ve kurulan modelden tahmin edilen göl su seviyeleri zaman serisi Şekil 3‘ de
sunulmuştur. Klasik zaman sersisi analizinde serideki periyodikliğin korunması zor ve zaman
alıcıdır. Oysaki Şekil 3’ e bakıldığında kurulan bu modelle, periyodikliğin karmaşık analizlere
ihtiyaç duyulmaksızın başarılı bir şekilde korunduğu görülmektedir.
116
5
Test kısmı
Eğitim kısmı
Gözlemler
4
Göl su seviyeleri (m)
Tahminler
3
2
1
0
0
100
200
300
400
500
Zaman (ay)
Şekil 3. Gözlenen ve tahmini göl su seviye zaman serisi
Bununla birlikte, modelin eğitimindeki ve tahminlerdeki performansını gösteren rölatif hata
kriterinin pratikte kabul edilen limit değerinden (%10) oldukça küçük olduğu (Eğitim kısmı için
OPH:% 5,11; Test kısmı için OPH: % 5,32) görülmektedir.
 y
Ortalama Performans Hata (OPH ) 

N
i
 yi
i
N
i 1
x100
yi
(2)
4. SONUÇLAR
Klasik zaman serisi analizlerinde eldeki zaman serilerinin modellenmesinde, serideki trendin,
periyodikliğin, mevsimsel değişimlerin ve konjonktürel hareketlerin korunması oldukça güçtür.
Halbuki, önerilen bulanık-olasılık yaklaşımlı modelde bu etkenler başarılı bir şekilde korunarak
ileriye dönük etkin tahminler yapmak mümkün olabilmektedir. Ancak bu yaklaşım Markov ya da
ARIMA modelleri gibi, eldeki seriyle aynı istatistiksel özelliklere sahip farklı dizilişte yeni serilerin
elde edilmesinde kullanılmaz.
Bu çalışmada, Eğirdir Gölü’ne ait aylık ortalama göl seviyelerinin tahmininde bulanık-olasılık
yaklaşımının başarılı bir uygulaması gerçekleştirilmiştir.
117
REFERANSLAR
[1] ŞEN, Z. and TATLI, H., A New Fuzzy Modeling Approach for Predicting the Maximum Daily
Temperature from a Time Series, Tr. J. of Engineering and Environmental Science 23 (1999),
173-180.
[2] BOX, G.E.P., JENKINS, G. M., REINSEL G.L. “Time Series Analysis: Forecasting and
Control, 3rd edition, Prentice –Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1994.
[3] FAN, J., YAO, Q., “Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods”,
Secaucus, NJ, USA: Springer-Verlag New York, Inc., 2003.
[4] ZADEH, L.A., “Fuzzy Sets”, Information and Control, 8, 338-353, 1965.
[5] ŞEN, Z., “Bulanık Mantık ve Modelleme İlkeleri”, İ.T.Ü., İnşaat Fak., 2001.
118

Download Report