cs mühendislik proje yazılım hizmetleri

CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ
PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ
Yapı Statiği‘nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve
karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin özel bir halidir. Çerçeve sistemler üzerinde yükler
bulunan, düğüm noktalarına yükler etkiyen, yapı oynak olmayacak şekilde mafsallar kullanılabilen
genel bir sistemdir. Çerçeve sistemlerde, çubuklar düğüm noktalarında birbirlerine mafsalla bağlanırsa
ve yüklerde sadece düğüm noktalarından etki ederse böyle sistemlere kafes sistemler denir. Eğer bir
sistem de hem çerçeve hem de kafes sistem bir arada bulunursa böyle sistemlere de karma sistemler
denir.
Bu üç sistemin analizinde, yapının stabil olması önemlidir. Bunun yanı sıra serbestlik derecesi ve
hiperstatiklik derecesi yapıların en önemli karakteristiklerini belirler. Sistemlere göre; çubuk sayısı
(m), serbestlik derecesi (SD) ve hiperstatiklik derecesi (HD) arasında şu şekilde bir ilişki vardır;
Çerçeve sistemlerde:
HD= 3 . m – SD
Kafes sistemlerde:
HD= m – SD
Karma sistemlerde:
m1= Çerçeve sistemin çubuk sayısı
m2 = Kafes sistemin çubuk sayısı
HD= (3 . m1 + m2) – SD
Hiperstatiklik derecesi eğer sıfırdan küçük çıkarsa sistem oynaktır yani stabil değildir. Ama her
oynak yapının hiperstatiklik derecesi sıfırdan küçük olmayabilir. Hiperstatiklik derecesinin sıfıra eşit
olması durumunda böyle yapılara izostatik sistemler denir. İzostatik sistemlerde bilinmeyen kuvvetler
(mesnet reaksiyonları, çubuk ucu kuvvetleri gibi) üç denge denklemi ile çözülebilirler.
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
ΣFx= 0 (yatay denge şartı)
ΣFy= 0 (düşey denge şartı)
ΣM= 0 (moment şartı)
Ancak; yukarda yazılan denklemlerin matrisi singular olmamalıdır yani determinantı sıfıra eşit
olmamalıdır. Eğer determinant sıfıra eşit olursa yapı oynaktır ve böyle bir yapının çözümü yoktur.
Hiperstatiklik derecesi sıfırdan büyük olan sistemlere ise hiperstatik sistemler denir. Böyle
sistemlerde bilinmeyen reaksiyonlar üç denge denklemi ile bulunamazlar. Bu üç denge denklemine
ilaveten hiperstatiklik derecesi kadar uygunluk denklemi de yazılarak bilinmeyen reaksiyonlar
bulunur. Hiperstatik sistemlerin çözümünde iki metot kullanılır:
1-Kuvvet Metodu
2-Deplasman Metodu
Kuvvet metodu ile yapılan çözümlerde bilinmeyen reaksiyonları bulmak için fazladan kuvvetler
seçilir. Bu fazladan kuvvetler, mesnet reaksiyonları ya da çubuk kuvvetleri olarak seçilir. Gerekli
uygunluk şartları yazılarak bilinmeyen reaksiyonlar bulunur. Deplasman metodunda ise düğüm
noktası deplasmanları bilinmeyenler olarak seçilirler ve düğüm noktası denklemleri bu bilinmeyenler
cinsinden yazılır. Bu durumda yazılan denklemlerin oluşturduğu matris yapının Stifnes matrisidir. Bu
matrisin determinantı sıfır değilse yapı stabildir ve çözümü vardır.
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
2. TEORİK BİLGİLER
2.1. Temel Kavramlar
Düzlem çerçeve sistemlerin düğüm noktaları serbestlikleri yatayda u, düşeyde v ve düğüm
noktasının düzleme dik eksen etrafında dönmesi θ’dır. Düğüm noktası deplasmanları şekil 2.1 deki
yönlerde pozitiftir.
Y
Z
Şekil 2.1
X
Düğüm Noktası Deplasmanlarının Pozitif Yönleri
Global Eksen Takımı: Bütün çubuk sistemleri için geçerli olan eksen takımıdır. (Şekil 2.1)
Çubuk Eksen Takımı: Her çubuk için ayrı ayrı tanımlanan ve çubuk doğrultusunun x ekseni ile
çakışmasıyla oluşan eksen takımıdır.
Referans Düğüm Noktası: Çubuk eksen takımının yerleştirildiği düğüm noktasıdır. Referans düğüm
noktası, her zaman ‘i’ düğüm noktası olarak adlandırılır. Çubuğun diğer noktası ise ‘k’ olarak
adlandırılır.
y
y'
x'
j
θj
'
z=z
x
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
Şekil 2.2 Global Eksen Takımı (x,y,z) ve Çubuk Eksen Takımı (x’,y’,z’)
Çerçeve sistemlerde çubuk yükleri taşıyan herhangi bir çubuktaki kesit tesirleri çubuk eksen
takımına göre Şekil 2.3 teki gibidir.
~
~
~
qj4' + qj4'
~
qj6' + qj6'
~
~
qj5' + qj5'
Pj
Nj
Wj
~
bj
~
qj3' + qj3'
~
~
aj
Lj
qj2' + qj2'
~
~
qj1' + qj1'
Şekil 2.3 Çubuk Eksen Takımına Göre Çubuk Ucu Kuvvetleri
Çubuk ucu kesit tesirleri Şekil 2.2 deki çubuk eksen takımı yönünde pozitiftir. Şekil 2.3’te
görüldüğü gibi (qj ' + qj ' ) çubuk eksen takımına göre çubuk ucu kuvvetleridir.
Şekil 2.3’teki çubuğun üzerine etki eden yüklerden kaynaklanan qj ' çubuk ucu
kuvvetleri şöyle tarif edilir:
(bj . Nj) / Lj
[(wj . Lj) / 2] + [Pj . bj2 . (3 . aj + bj) / Lj3]
[(wj . Lj) / 12] + [(Pj . aj . bj2 / Lj2]
~
qj'
=
(aj . Nj) / Lj
[(wj . Lj) / 2] + [Pj . aj2 . (3 . bj + aj) / Lj3]
[-(wj . Lj) / 12] - [(Pj . bj . aj2 / Lj2]
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
Çerçeve sistemlerde herhangi bir çubuktaki çubuk ucu deplasmanları çubuk eksen takımına göre
Şekil 2.4’teki gibidir.
(-δj)
dj6'
dj5'
k
∆j
dj4'
dj3'
dj2'
i
∆ j = dj4'- dj1'
θi = dj3'
(-δj) = dj5'- dj2'
θk = dj6'
dj1'
Şekil 2.4 Çubuk Eksen Takımına Göre Çubuk Ucu Deplasmanları
Şekil 2.4’teki çubuk ucu deplasmanlarından kaynaklanan qj’ çubuk ucu kuvvetleri şöyle tarif edilir:
Çubuk boy değişikliği Δj ise Hooke kanunda
qj4' =( E . A / L)j . Δj
şeklinde tarif edilir.
Çubuk ucu dönmeleri θ i, θ k ise ve çubuk uçlarının çubuk eksenine dik olan rölatif hareketi δ j ise
eğim – sehim ilişkilerinden çubuk ucu momentleri şöyle yazılırlar:
qj3'= (E . I / L) . (2 .θk + 4 . θi + 6 . δj / Lj)
qj6'= (E . I / L) . (2 . θi + 4 . θk + 6 . δj / Lj)
Şekil 4’teki çubuğun denge denklemlerinden aşağıdaki ilişkiler yazılır:
qj1'= - qj4'
qj2' = +(1 / Lj) . (qj3' + qj6' )
qj5'= - qj2'
Yukarıdaki tarifler kullanılarak; çubuk ucu deplasmanları dj ' cinsinden qj ' tarifi şöyle yapılır:
qj1' = - (E . A / L)j . (dj4' – dj1')
qj2' = (E . I / L2)j . [6 . dj3' + 6 . dj6' + 12 . (dj2' – dj5') / Lj ]
qj3' = (E . I / L)j . [2 . dj6' + 4 . dj3' + 6 . (dj2' – dj5') / Lj ]
qj4' = (E . A / L)j . (dj4' – dj1')
qj5' = - (E . I / L2)j . [6 . dj3' + 6 . dj6' + 12 . (dj2' – dj5') / Lj ]
qj6' =
(E . I / L)j . [2 . dj3' + 4 . dj6' + 6 . (dj2' – dj5') / Lj ]
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
( sj' ) çubuk eksen takımına göre çubuk rijitlik matrisi ise, yukarıdaki tarifler matris formunda
şöyle yazılırlar:
q j' = (sj') . d j'
Bu tarifteki çubuk eksen takımına göre çubuk rijitlik matrisi aşağıdaki gibidir:
(E A / L)j
0
0
-(E A / L)j
0
0
0
12(E I / L3)j
6(E I / L2)j
0
-12(E I / L3)j
6(E I / L2)j
0
6(E I / L2)j
4(E I / L)j
0
-6(E I / L2)j
2(E I / L)j
-(E A / L)j
0
0
(E A / L)j
0
0
0
-12(E I / L3)j
-6(E I / L2)j
0
12(E I / L3)j
-6(E I / L2)j
0
6(E I / L2)j
2(E I / L)j
0
-6(E I / L2)j
4(E I / L)j
Çerçeve sistemlerde herhangi bir çubuktaki kesit tesirleri global eksen takımına göre Şekil 2.5’teki
gibidir.
qj5 + qj5
qj6 + qj6
qj4 + qj4
Pj
k
Nj
Wj
j
qj2 + qj2
i
qj3 + qj3
qj1 + qj1
Şekil 2.5 Global Eksen Takımına Göre Çubuk Ucu Kuvvetleri
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
Bu durumda Şekil 2.3’teki çubuk eksen takımına göre (qj ' + qj ' ) çubuk ucu kuvvetleri, (Rj ) rotasyon
matrisi ile çarpılarak global eksen takımına göre çubuk ucu kuvvetleri (qj ' + qj ' )
haline
dönüştürülebilir.
(qj ' + qj ' ) = ( Rj ) . qj ' + ( Rj ) . qj '
Rotasyon matrisi ( Rj ) şöyle tarif edilir:
cos θj
-sin θj
0
0
0
0
sin θj
-cos θj
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos θj
-sin θj
0
0
0
0
sin θj
cos θj
0
0
0
0
0
0
1
Düğüm noktasındaki deplasmanlar global eksen takımına göre Şekil 2.6 daki gibidir.
dj5
dj6
dj4
k
j
dj2
dj3
i
dj1
Şekil 2.6 Global Eksen Takımına Göre Düğüm Noktası Deplasmanları
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
Şekil 2.4 teki çubuk eksen takımına göre olan çubuk ucu deplasmanları (dj ' ), (RjT) matrisi ile global
eksen takımına göre çubuk ucu deplasmanları (dj ) vektörünün çarpılmasından elde edilir.
dj '= ( RjT ) . dj
Bu durumda global eksen takımına göre çubuk ucu kuvvetleri qj ; global eksen takımına göre çubuk
ucu deplasmanları (dj ) cinsinden şöyle tarif edilir.
qj = ( Rj ) . (sj' ) . ( RjT ) . dj
(sj,) = ( Rj ) . ( sj' ) . ( RjT )
Yukarıda tarif edilen ( sj ) global eksen takımına göre çubuk rijitlik matrisidir.
Global Eksen Takımına Göre Çubuk Rijitlik Matrisi Tablosu:
s(1,1)
s(1,2)
s(1,3)
-s(1,1)
-s(1,2)
s(1,3)
s(2,1)
s(2,2)
s(2,3)
-s(2,1)
-s(2,2)
s(2,3)
s(3,1)
s(3,2)
s(3,3)
-s(3,1)
-s(3,2)
½ s(3,3)
-s(1,1)
-s(1,2)
-s(1,3)
s(1,1)
s(1,2)
-s(1,3)
-s(2,1)
-s(2,2)
-s(2,3)
s(2,1)
s(2,2)
-s(2,3)
s(3,1)
s(3,2)
½ s(3,3)
-s(3,1)
-s(3,2)
s(3,3)
Bu matristeki büyüklüklerin tarifi şöyledir:
θ : Çubuğun referans açısı
A : Çubuğun kesit alanı
I : Çubuğun atalet momenti
E : Çubuğun elastisite modülü
L : Çubuğun boyu
s ( 1,1 ) = ( cos θ ) 2 . (AE / L) + (sin θ ) 2 . (12EI / L 3 )
s ( 2,1 ) = ( cos θ ) . ( sin θ ) . [ ( AE / L ) – (12 EI / L 3 ) ]
s ( 3,1 ) = - [ ( sin θ ) . (6 EI / L 2 ) ]
s ( 1,2 ) = s ( 2,1 )
s ( 2,2 ) = ( sin θ ) 2 . ( AE / L ) + ( cos θ ) 2 . ( 12 EI / L 3 )
s ( 3,2 ) = ( cos θ ) . ( 6 EI / L )
s ( 1,3 ) = s ( 3,1 )
s ( 2,3 ) = s ( 3,2 )
s ( 3,3 ) = ( 4 EI / L )
Yapılan ( sj ) tarifleri iki eksenli bütün çubuk elemanları için geçerlidir.
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
2.2 Özel Durum
Kafes elemanları için çerçevenin özel bir hali demiştik. Çerçevelerde çubuklar birbirlerine
mafsalla bağlanırsa ve yükler düğüm noktalarından etki ederlerse böyle sistemleri kafes
sistemler olarak inceleyebiliriz.Çubuklar üzerinde herhangi bir yatay ya da düşey yük
bulunmamaktadır. Böyle olunca da kafes elemanlarda dönmeler sıfırdır. Şekil 2.4’ü bir kafes
elemanı olarak incelersek ;
dj3 = 0
d j6 = 0
;
ve
I = 0 olarak alınırsa kafes elemanların çubuk ucu
kuvvetleri bulunabilir. Daha önceden yazılan (sj) matrisinde I = 0 olarak alınırsa kafes
elemanları için şu özel durum meydana gelir. Şöyle ki;
I = 0 ( s matrisindeki tüm I = 0 )
s ( 1,1 ) = ( cos θ ) 2 . ( AE / L )
s ( 2,1 ) = s ( 1,2 ) = ( cos θ ) . ( sin θ ) . ( AE / L )
s ( 3,1 ) = s ( 1,3 ) = 0
s ( 2,2 ) = ( sin θ ) 2 . ( AE / L )
s ( 3,2 ) = s ( 2,3 ) = 0
s ( 3,3 ) = 0
2.3 Toplama Yöntemi ile Düğüm Noktası Denklemlerinin Oluşturulması
Sistemlerin deplasman metoduyla çözümünde aşağıdaki düğüm noktası denge denklemleri
kullanılır:
(S) . x +
=
(S ) : Sistemi oluşturan tüm çubukların ( sj ) rijitlik matrislerinden toplama metodu ile
toplanarak oluşturulur. (S) matrisi yapının rijitlik matrisidir ve (SD x SD) boyutunda bir kare matristir.
x : Global eksen takımına göre düğüm noktası deplasmanlarını gösteren vektördür. Boyutu
(SD x 1) dir.
: Çubuğun üzerindeki yüklerden dolayı meydana gelen qj
kesit tesirlerinden toplama
metodu ile toplanması sonucu elde edilir. Boyutu ( SD x 1) dir.
P : Düğüm noktasına etki eden yüklerden oluşur. Boyutu ( SD x 1) dir.
Toplama metodunu bir örnek üzerinde şöyle açıklayabiliriz:
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
W
2
1
1
3
2
1
Kesit alanı, elastisite modülü, atalet momenti ve boyu bilinen yukarıdaki ankastre kirişin 1 nolu
düğüm noktası referans olarak alınır ve buna göre referans açısı belirlenir. Yukarıdaki sistem için
referans açısı θ = 0 olur.Bundan sonra sistemin serbestlik numaralarının bulunduğu dj vekterü yazılır.
0
0
0
dj =
1
2
3
Daha sonra A, E, I, L ve
θ değerleri kullanılarak daha önceden ( sj ) matrisi için verilen formüllerde
yerine konularak ( sj ) rijitlik matrisi oluşturulur. Bu matris 6x6 boyutunda bir matristir.
0
0
0
1
2
3
0
0
0
1
2
3
( sj )
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi
CS MÜHENDİSLİK PROJE YAZILIM HİZMETLERİ
www.csproje.com
Yukarıdaki gibi ( sj ) matrisi oluşturulup serbestlik numaraları üzerine yazılır. Yazılan serbestlik
numaraları şekildeki gibi birbirleriyle kesiştirilir.Kesiştikleri yerdeki değer (S) matrisinin o kısmına
gider. Yani yukarıdaki örneğe göre serbestlik numarası 1 olan değer, serbestlik numarası 2 olan diğer
serbestlik numarası ile kesiştirildiğinde bulunan değer ( S ) matrisinin 2. satır 1. sütununa gider.
Bundan sonraki işlemler de böyle devam eder. Eğer bir daha aynı serbestlikler başka bir s j matrisinde
kesişecek olursa ( çubuk sayısı 1 den fazla ise ) buradan bulunacak değerler de aynı şekilde ( S )
matrisine gider ve orada bulunan değerle toplanır. Bu şekilde ( S ) matrisi oluşturulur.
Q matrisinin toplama metoduyla oluşturulmasına gelince:
Bu matrisin oluşturulmasında çubukların üzerindeki yatay ve düşey yükler etkilidir. Yukarıdaki
örneğe göre çubuk üzerinde bulunan yayılı yüke göre
Daha önce yazılan q
matrisi oluşturulur.Şöyle ki ;
formüllerinde bu yüklerin değerleri, referans noktalarına olan
uzaklıkları ve referans olmayan noktalarına olan uzaklıkları yerlerine yazılarak
q matrisi
oluşturulur.
q =
0
0
wL / 2
0
w L 2 / 12
0
0
1
wL/2
2
- w L 2 / 12
Oluşturulan
q
3
matrisinin yanına hangi çubuğa aitse o çubuğun serbestlikleri yukarıdaki
gibi yazılır. Her serbestliğin karşısındaki değer Q matrisinin o satırına gider. Eğer birden
çubuk
varsa , bu çubuklara
ait
q
matrisleri
yazılır
ve
fazla
yukarıdaki gibi karşılarına
serbestlikleri yazılarak Q matrisine gider.Değerin gittiği satırda başka bir değer varsa o değerle
toplanır.Bu şekilde Q matrisi oluşturulur.
___________________________________________________________________________
Can Okan DÜZGÜNOĞLU
İnşaat Mühendisi

Download Report