s - Düzce Üniversitesi

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
KALICI DURUM HATASI
Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur:
• Geçici Durum Cevabı
• Kararlılık
• Kalıcı Durum Hatası
İlk iki performans spesifikasyonunu daha önce açıkladık. Bugün Kalıcı Durum Hatası
kavramı üzerinde duracağız.
Kalıcı Durum Hatası, belirli bir giriş sinyali için, zaman sonsuza giderken sistem girişi
ile çıkışı arasındaki farktır.
Bir sistemin kalıcı durum hatası performansını test etmek için kullanılan bazı
standart test sinyalleri vardır. Bu sinyalleri hatırlatalım:
1
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
2
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Kalıcı durum hatasının grafik olarak gösterimi için aşağıdaki şekli göz önünde
bulunduralım. Aşağıda iki farklı sisteme adım girişi uygulanmış ve sistemlerden biri
sıfır kalıcı durum hatası üretirken, diğeri sonlu bir kalıcı durum hatası üretmiştir.
3
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Aşağıda ise üç farklı sisteme rampa girişi uygulanmış ve sistemlerden biri sıfır kalıcı
durum hatası üretirken, diğeri sonlu bir kalıcı durum hatası üretmiştir. Üçüncüsü
ise zaman sonsuza giderken sonsuz bir kalıcı durum hatası üretir.
4
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Birim Geribeslemeli Sistemlerde Kalıcı Durum Hatası
Kalıcı durum hatası, sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonundan hesaplanır. Ancak birim
geribeslemeli sistemlerde ileri yol transfer fonksiyonu G(s) kullanılarak da kalıcı durum
hatası hesaplanabilir. Şimdi aşağıdaki birim geribeslemeli sistemi gözönünde bulunduralım
ve hatanın, yani E(s)’in ifadesini türetelim:
E ( s)  R( s)  C ( s)
C ( s)  E ( s )G ( s )
R( s )
 E (s) 
1  G( s)
Elde ettiğimiz bu ifadeye son değer teoremini uygularsak, kalıcı durum hatası için genel
ifadeyi elde etmiş oluruz:
sR( s )
e()  lim
s 0 1  G ( s )
Şimdi sistem girişi R(s) için üç farklı test sinyalinin her birinin uygulanması durumunda, bu
kalıcı durum hatasının ifadesini bulalım:
5
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
sR( s )
e()  lim
s 0 1  G ( s )
Adım Girişi: Eğer R(s)=1/s olursa, kalıcı durum hatasının ifadesi;
s(1 / s)
1
e()  eadım ()  lim

s 0 1  G ( s )
1  lim G( s)
s 0
Rampa Girişi: Eğer R(s)=1/s2 olursa, kalıcı durum hatasının ifadesi;
s(1 / s 2 )
1
1
e()  erampa ()  lim
 lim

s 0 1  G ( s )
s 0 s  sG ( s )
lim sG( s)
s 0
Parabol Girişi: Eğer R(s)=1/s3 olursa, kalıcı durum hatasının ifadesi;
s(1 / s 3 )
1
1
e()  e parabol ()  lim
 lim 2 2

s 0 1  G ( s )
s 0 s  s G ( s )
lim s 2G ( s)
s 0
6
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Özetle,
eadım () 
1
1  lim G ( s)
s 0
erampa () 
1
lim sG ( s)
s 0
1
e parabol () 
lim s 2G ( s)
s 0
7
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemin 5u(t), 5tu(t) ve 5t2u(t) girişleri için kalıcı durum hatasını
bulunuz.
C: 5u(t), yani adım girişi için, girişin Laplace dönüşümü 5/s olur. Bu durumda kalıcı durum
hatası:
5
5
5
e()  eadım () 


1  lim G( s) 1  20 21
s 0
değerini alır. 5tu(t), yani rampa girişin için, girişin Laplace dönüşümü 5/s2 olur. Bu durumda
kalıcı durum hatası:
5
5
e()  erampa () 
 
lim sG( s) 0
s 0
olur.
8
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
değerini alır. 5t2u(t), yani parabol girişi için, girişin Laplace dönüşümü 10/s2 olur. Bu
durumda kalıcı durum hatası:
10
10
e()  e parabol () 
 
2
lim s G( s) 0
s 0
değerini alır. Yani bu sistem, adım girişi için sonlu, rampa ve parabol girişleri için sonsuz
kalıcı durum hatası üretir.
9
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemin 5u(t), 5tu(t) ve 5t2u(t) girişleri için kalıcı durum hatasını
bulunuz.
C: 5u(t), yani adım girişi için, girişin Laplace dönüşümü 5/s olur. Bu durumda kalıcı durum
hatası:
5
5
e()  eadım () 
 0
1  lim G( s) 
s 0
değerini alır. 5tu(t), yani rampa girişi için, girişin Laplace dönüşümü 5/s2 olur. Bu durumda
kalıcı durum hatası:
5
5
1
e()  erampa () 


lim sG( s) 100 20
s 0
olur.
10
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
değerini alır. 5t2u(t), yani parabol girişi için, girişin Laplace dönüşümü 10/s2 olur. Bu
durumda kalıcı durum hatası:
10
10
e()  e parabol () 
 
2
lim s G( s) 0
s 0
değerini alır. Yani bu sistem, adım girişi için sıfır, rampa girişi için sonlu ve parabol girişi için
sonsuz kalıcı durum hatası üretir.
Önceki örnek ve bu örnek bir arada gözönünde bulundurulduğunda, bir sistemin adım,
rampa ve parabol girişleri için üreteceği kalıcı durum hatasının değerini, sistemdeki
integratörün (1/s) varlığı ve üssü belirler. Diğer bir ifadeyle, transfer fonksiyonunun
paydasında çarpan durumundaki s’in varlığı ve üssü belirler. Bir önceki örnekte, transfer
fonksiyonunda integratör yoktu ve sistem adım girişi için sonlu, rampa ve parabol girişleri
için sonsuz kalıcı durum hatası üretti. Bu örnekte sistem bir adet integratöre sahiptir ve
adım girişi için sıfır, rampa girişi için sonlu ve parabol girişi için sonsuz bir kalıcı durum
hatası üretmektedir.
Peki çift integratör (1/s2) olsaydı?
11
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Statik Hata Katsayıları
Sistemlerini geçici durum cevabını incelerken yerleşme zamanı, yüzde aşım, tepe zamanı vs.
gibi ilgili sistemin geçici durum cevabını karakterize eden bazı performans kriterleri
tanımlamıştık. Benzer bir yaklaşım, kalıcı durum hatasının analizinde de kullanılır. Yani bir
sistemin kalıcı durum performansını karakterize etmek için bir takım performans kriterleri
tanımlanır ve performans kriterleri “Statik Hata Katsayıları” olarak adlandırılır. Peki bu hata
katsayıları nasıl tanımlanır?
Daha önce, üç farklı test sinyali için kalıcı durum hatasının ifadesini şu şekilde bulmuştuk:
1
eadım () 
1  lim G ( s)
s 0
1
erampa () 
lim sG ( s)
s 0
1
e parabol () 
lim s 2G ( s)
s 0
Bu üç formülde paydadaki limit ifadeleri Statik Hata Katsayıları olarak tanımlanır. Her birinin
ayrı ayrı isimleri ve ifadeleri şu şekildedir:
Pozisyon Sabiti, Kp: K p  lim G ( s)
s 0
Hız Sabiti, Kv:
İvme Sabiti, Ka:
Kv  lim sG( s)
s 0
K a  lim s 2G( s)
s 0
12
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemlerin her biri için standart adım, rampa ve parabol girişlerine
karşılık gelen kalıcı durum hatası değerlerini bulunuz.
13
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
500  2  5
K p  lim G ( s) 
 5.208
s 0
8  10  12
K v  lim sG ( s)  0
C:
s 0
K a  lim s 2G ( s)  0
s 0
1
eadım () 
 0.161
1 Kp
erampa () 
1

Kv
1
e parabol () 

Ka
K p  lim G ( s)  
s 0
500  2  5  6
 31.25
s 0
8  10  12
K a  lim s 2G ( s)  0
K v  lim sG ( s) 
s 0
1
eadım () 
0
1 Kp
1
1
erampa () 

 0.032
Kv 31.25
1
e parabol () 

Ka
14
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
K p  lim G ( s)  
s 0
K v  lim sG ( s)  
s 0
K a  lim s 2G ( s) 
s 0
eadım () 
500  2  4  5  6  7
 875
8  10  12
1
0
1 Kp
1
erampa () 
0
Kv
e parabol () 
1
 1.14  103
Ka
15
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
SİSTEM TİPİ
Negatif birim geribeslemeli sistemlere odaklanmaya devam edelim. Statik hata
katsayılarının değeri, G(s) transfer fonksiyonundaki integratör sayısına bağlıdır. Kalıcı
durum hatasının değeri G(s) transfer fonksiyonundaki integratör sayısına bağlı olduğu
için, bu integratör sayısına bir isim verilir: Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, paydadaki
n’in değeri Sistem Tipi olarak adlandırılır. Yani n=0 ise bu sistem Tip 0 bir sistemdir, n=1
ise bu sistem Tip 1 bir sistemdir, n=2 ise bu sistem Tip 2 bir sistemdir denir.
16
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Aşağıdaki tablo, Sistem Tipi, Statik Hata Katsayısı ve Kalıcı Durum Hatası kavramlarını
birbirine bağlar.
17
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Tıpkı yerleşme zamanı, tepe zamanı, yüzde aşım, sönüm oranı gibi performans
spesifikasyonların bir sistemin geçici durum cevabını karakterize etmek için
kullanılması gibi, statik hata katsayıları da bir sistemin kalıcı durum cevabını karakterize
etmek için kullanılabilir.
Örneğin bir kontrol sistemi, Kv=1000 gibi bir spesifikasyona sahipse, aşağıdaki sonuçları
çıkarabiliriz:
• Sistem kararlıdır.
• Sistem Tip 1 bir sistemdir. Çünkü sadece Tip 1 bir sistem sonlu bir hız katsayısı
değerine sahip olabilir.
• Test sinyali rampa sinyalidir. Çünkü hız hatası sonlu bir sabittir.
• Kalıcı durum hatasının değeri 1/Kv dir.
Şimdi statik hata katsayılarının bir kontrol sisteminin analizi ve tasarımında bir
performans kriteri olarak kullanılmasına ilişkin iki örnek yapalım.
18
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Bir sistemin Kp=1000 şeklinde bir spesifikasyona sahip olması, bu sistem hakkında
ne tür bir bilgi verir.
C: Sistem kararlıdır. Sistem Tip 0 bir sistemdir çünkü sadece Tip 0 sistemler sonlu bir Kp
değerine sahip olabilir. Test sinyali adım sinyalidir. Kalıcı durum hatasının değeri:
1
1
1
e(  ) 


1  K p 1  1000 1001
19
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen kontrol sisteminde, kalıcı durumda %10 hata olması için K değerini
hesaplayınız.
C: Sistem Tip 1 bir sistem olduğu için, sonlu bir kalıcı durum hatası olması için giriş
sinyalinin rampa girişi olması gerekir, çünkü sadece rampa girişi Tip 1 bir sistem için
sonlu bir kalıcı durum hatası verir. Bu durumda %10 hata olması demek, kalıcı durum
hatasının 0.1 olması demektir. Bu durumda;
e()  0.1 
1
Kv
K 5
 K v  10  lim sG ( s ) 
s 0
678
 K  672
20

Download Report