˙ 2 (2014 YAZ DONEM
¨
˙
MAT 102 - MATEMATIK
I)
ARA SINAV C
¸ ALIS
¸ MA SORULARI
1. A¸sa˘
gıdaki kutupsal denklemlerin yerine ge¸cecek kartezyen denklemleri bulunuz:
(b) r = csc θer cos θ ,
(a) r = cot θ csc θ ,
2
Cevaplar: (a) x = y ,
x
(b) y = e ,
(c) r = 2 cos θ + 2 sin θ
√
2
(c) (x − 1) + (y − 1)2 = ( 2)2
2. A¸sa˘
gıdaki kartezyen denklemlerin dengi olan polar denklemleri bulunuz:
(b) x2 + y 2 = 4 ,
(c) x2 − y 2 = 1 ,
(d) x2 + (y − 2)2 = 4
π
Cevaplar: (a) θ = ,
(b) r = 2 veya r = −2 ,
(c) r2 = sec 2θ ,
(d) r = 4 sin θ
4
(a) x = y ,
3. A¸sa˘
gıdaki kutupsal denklemleri verilen e˘
grileri ¸ciziniz:
(a) r = 1 + 2 sin θ ,
(b) r = 1 + cos θ ,
(d) r2 = cos 2θ
(c) r = cos 3θ ,
4. r = 3 sin θ ¸cemberini ve r = 1 + sin θ kardiyoidini c¸iziniz.
(a) C
¸ emberle kardiyoidin kesim noktalarını bulunuz.
(b) C
¸ emberin i¸cinde ve kardiyoidin dı¸sında kalan b¨olgeyi ¸ciziniz.
(c) (b)’de c¸izilen b¨
olgenin alanını bulunuz.
5. x2 + y 2 = 9 ¸cemberinin ve r = 2(1 + sin θ) kardiyoidinin grafi˘gini ¸ciziniz.
(a) C
¸ emberle kardiyoidin kesim noktalarını bulunuz.
(b) C
¸ emberin i¸cinde ve kardiyoidin dı¸sında kalan b¨olgeyi ¸ciziniz.
(c) (b)’de c¸izilen b¨
olgenin alanını bulunuz.
6. r = 1 + sin θ kardiyoid e˘
grisinin uzunlu˘
gunu bulunuz. (Cevap: 8 )
√
3
π
)
7. r = 2 cos θ ¸cemberinin i¸cinde ve r = 1 c¸emberinin dı¸sında kalan b¨olgenin alanını bulunuz. (Cevap: +
3
2
8. r2 = cos 2θ kutupsal e˘
grisi x-ekseni etrafında d¨
ond¨
ur¨
ul¨
unce meydana gelen d¨onel y¨
uzeyin alanını bulunuz.
√
(Cevap: 2π 2 − 2 )
9. Tabanı 2a b¨
uy¨
uk eksenli, 2b k¨
u¸cu
¨k eksenli elips ile sınırlanan ve b¨
uy¨
uk eksene dik her kesiti kare olan cismin
16ab2
hacmini bulunuz. Cevap :
3
10. y = x ve y = x2 e˘
grileri ile sınırlı R b¨
olgesi x = −1 do˘grusu etrafında d¨ond¨
ur¨
ul¨
uyor. Meydana gelen d¨onel
π
cismin hacmini dilimleme y¨
ontemi (pul metodu) ile bulunuz. Cevap :
2
11. y = 2x2 − x3 ve y = 0 ile sınırlı b¨
olge y-ekseni etrafında d¨ond¨
ur¨
ul¨
uyor. Meydana gelen d¨onel cismin hacmini
16π
bulunuz. Cevap :
5
12. y = x − x2 ve y = 0 ile sınırlı b¨
olge x = 2 do˘
grusu etrafında d¨ond¨
ur¨
ul¨
uyor. Meydana gelen d¨onel cismin
π
hacmini silindirik kabuk y¨
ontemi ile bulunuz. Cevap :
2
1
3
13. y = x4 +
e˘
grisinin x = 1 ’den x = 2 ’ye kadar uzunlu˘gunu bulunuz. Cevap : 15 +
32x2
128
p
1
14. y = 1 − x2 , 0 ≤ x ≤ e˘
grisi x-ekseni etrafında d¨ond¨
ur¨
ul¨
uyor. Meydana gelen d¨onel y¨
uzeyin (k¨
urenin bir
2
par¸cası) alanını bulunuz. Cevap : π
15. x = 21 (ey + e−y ), 0 ≤ y ≤ ln 2 e˘
grisi y-ekseni etrafında d¨ond¨
ur¨
ul¨
uyor. Meydana gelen d¨onel y¨
uzeyin alanını
15
bulunuz. Cevap : π( + ln 2)
16
16. A¸sa˘
gıdaki genelle¸stirilmi¸s (has olmayan) integralleri hesaplayınız:
Z ∞
Z 1
Z 2
2
dx
p
(a)
2xe−x dx ,
(b)
x ln xdx ,
(c)
,
|x − 1|
−∞
0
0
1
Cevaplar: (a) 0 ,
(b) − ,
(c) 4 ,
(d) ıraksak
4
Z
∞
(d)
−∞
2x
dx
+1
x2
17. A¸sa˘
gıdaki has olmayan integrallerin yakınsak veya ıraksaklıklarını belirleyiniz:
Z ∞ −x
Z 1
Z ∞√
Z ∞
e
dt
x+1
dx
√ dx ,
√
(a)
(b)
,
(c)
dx
,
(d)
2
4+1
t
−
sin
t
x
x
x
0
0
1
−∞
Cevaplar: (a) yakınsak ,
(b) ıraksak ,
(c) yakınsak ,
1
(d) yakınsak
18. A¸sa˘
gıdaki has olmayan integrallerin yakınsak veya ıraksaklıklarını belirleyiniz:
Z∞
Zπ
Z3
Z∞
dx
dx
−2x
√
xe
dx
b)
a)
sec xdx
c)
d)
3
x−2
2x − 1
π
0
2
Z∞
e)
e
√
x
dx
f)
1
2
Z2
Z4
ı)
−∞
Z∞
l)
0
Z∞
Z∞
√
− x
i)
g)
dx
x ln x
Z∞ √ 4
6 3x − x
√
dx
j)
x3 − 1
dx
x3 + 1
Z∞
m)
x2
1
dx
ex + e−x
h)
dx
+ ln2 x
k)
Z∞ 2
1
Z1
Z∞
n)
1
e− 2 ln x dx
0
2
0
√
3
Z1
dx
x ln x
π
4x2 − 3
√ dx
5 x
0
Z∞
x2 (ln x)3 dx
0
o)
1
e x − 1 dx
dx
cin yakınsaktır?
p ,hangi p ler i¸
x (ln x)
2
x
dx yakınsak? ıraksak? (Cevap: Yakınsak)
1 + x4
19.
0
Z∞
dx
√ yakınsak? ıraksak? (Cevap: Yakınsak)
e x
20.
0
Z∞
dx
√ yakınsak? ıraksak? (Cevap: Yakınsak)
(1 + x) x
21.
0
Z∞
22.
e−x dx
yakınsak? Iraksak? (Cevap: Iraksak)
1 + x2
−∞
Z1
23.
ln xdx ıraksak? yakınsak? (Cevap: Yakınsak)
0
Z∞
24.
x+1
dx Iraksak? yakınsak? (Cevap: Yakınsak)
2x3 + 1
0
Z∞
25.
1
dx
x sin x
Iraksak? yakınsak? (Cevap: Iraksak)
0
Z∞
26.
3
x2 e−x dx yakınsak? Iraksak? (Cevap: Yakınsak)
1
Z∞
27.
√
1
√ dx yakınsak? ıraksak? (Cevap: Iraksak)
x(1 + 3 x)
0
28. A¸sa˘
gıdaki dizilerin varsa limitini bulunuz:
n
5n + 7
n+1
sin n
(−1)
n!
(a)
,
(b)
,
(c)
,
(d)
,
(e) n
n
2
3n − 1
e
n
n
n
√
29. {an } dizisi a1 = 1, an+1 = 6 + an (n = 1, 2, 3, · · ·) e¸sitlikleri ile tanımlanıyor. Bu dizinin;
(a) artan ,
(b) u
¨stten 3 ile sınırlı , (c) yakınsak ve limitinin 3 oldu˘gunu g¨osteriniz.
30. A¸sa˘
gıdaki dizilerin yakınsaklıklarını veya ıraksaklıklarını inceleyiniz.Yakınsak iseler limitlerini bulunuz.
ln n
a) an =
(yak, 0)
n
1
1
b) an = √
+ √
(yak, 1)
n
8
n
3
n!
c) an = n
(ıraksak)
3
2n − 1
d) an = n
(yak, 1)
2 +1
2
1 + (−1)n
(yak, 0)
2n
1 − 1 , n tek ise
2 n
f) an =
(yak, 12 )
1
1
+ , n ¸cift ise
2 n
1
1
g) an = ln( )
(yak, 0)
n
n
1 + 2 + 3 + ··· + n
(yak, 21 )
h) an =
n2
1
1
1
i) lim ( √
+√
+ ··· + √
) =?
n→∞
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
e) an =
31. A¸sa˘
gıda verilen serilerin yakınsak veya ıraksaklı˘
gını belirleyiniz, Yakınsak seriler i¸cin toplamlarını bulunuz:
k
∞
∞ ∞
∞
X
X
X
X
1 k
1
1
1
2k + 1
(a)
,
(d)
3 ,
(b)
,
(c)
−
5 −
2
3
k 2 (k + 1)2
k 4k
k=0
k=0
k=2
k=1
32. A¸sa˘
gıda verilen serilerin yakınsak veya ıraksaklı˘
gını belirleyiniz:
√
1
∞
∞
∞
∞
−
k
Xe
X ln k
X 2
X
ek
√ ,
(a)
(b)
,
(c)
(d)
k
k ln k
k2
k
k=1
k=2
k=2
k=3
33. Verilen serilerin yakınsak veya ıraksaklı˘
gını belirleyiniz:
∞
∞
∞
−1
4
X tan k
X k + 2k − 1
X
k+1
(a)
,
(b)
,
(c)
,
2
5
2
1+k
k + 3k + 1
k3 + 2
k=1
k=4
k=2
(d)
∞
X
2 + cos k
k=1
k
34. A¸sa˘
gıdaki serilerin yakınsak veya ıraksak olup olmadıklarını belirleyiniz.Yakınsak olanların(toplamını) de˘gerini
bulunuz.
1
1
1
1
a)1 + − 1 − + 1 + − 1 −
+ ···
(ıraksak)
2
4
8
16
∞
X
3
2
b)
( n − n)
(yak, 3)
2
3
n=0
c)
∞
X
e−2n
(yak,
e2
e3 −1 )
n=0
d)
∞
X
cos(
n=0
e)0.91 =
nπ
)
3
∞
X
(ıraksak)
91(
n=1
1 n
)
100
3
5
7
9
−
+
−
+ ···
1.2 2.3 3.4 4.5
f)
g)
∞
X
en π 1−n
(yak,
n=0
∞
X
1
n(n
+
1)(n
+ 2)
n=1
h)
i)
(yak,
∞
X
91
99 )
(yak, 1)
π2
π−e )
(yak, 41 )
(arctan(n + 1) − arctan(n))
(yak,
π
4)
n=1
35. A¸sa˘
gıdaki serilerin yakınsak veya ıraksaklıklarını belirleyiniz, nedenlerini a¸cıklayınız.
∞
X 1 + sin n
a)
(yak)
n2
n=1
b)
∞
X
1
ln k
(ıraksak)
k=2
3
c)
∞
X
n
p
n=1
∞
X
2n − 1
3n − 1
n=1
d)
(yak)
∞
X
arctan(n)
e)
n2 − 5
n=3
f)
∞
X
(1 − cos
n=1
∞
X
g)
h)
i)
k=3
∞
X
(
n=0
(yak)
1
)
n
n2 e−n
n=0
∞
X
(ıraksak)
n(n2 + 3)
(yak)
(yak)
1
k ln k ln(ln k)
(ıraksak)
π
− arctan(n))
2
(yak)
36. A¸sa˘
gıdaki serilerin ıraksaklıklarını veya yakınsaklık t¨
urlerini belirleyiniz.
1
1
1
a)1 − √ + √ − √ + · · · (ko¸sullu yakınsak)
3
5
7
∞
X
n
b)
(−1)n 2n
(mutlak yakınsak)
e
n=1
c)
∞
X
ln n
(−1)n √
n
n=1
∞
X
1
( − 1)n
n
n=1
(ıraksak)
d)
e)
f)
∞
X
cos nπ
2
n
n=1
∞
X
(ko¸sullu yakınsak)
(ko¸sullu yakınsak)
(−1)n+1 ln(
n=1
n+1
)
n
(ko¸sullu yakınsak)
37. A¸sa˘
gıdaki serilerin yakınsaklıklarını veya ıraksaklıklarını belirleyiniz.
∞
X ln n
(yakınsak)
a)
n5
n=1
b)
c)
d)
e)
∞
X
(n!)2
e n2
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
∞
X
(yakınsak)
(2n)n
(n + 1)n
(yakınsak)
n!
1
·
5
·
7
·
9
· · · (4n − 3)
n=1
∞
X
1 · 4 · 7 · · · (3n − 2)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
n=1
f) lim
n!
n→∞ nn
n
g) lim
c
n→∞ n!
(yakınsak)
(ıraksak)
= 0 oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
= 0 , (c ∈ R sabit olmak u
¨zere) oldu˘
gunu g¨osteriniz.
38. A¸sa˘
gıdaki kuvvet serilerinin yakınsaklık k¨
umelerini ve yakınsaklık yarı¸caplarını bulunuz.
∞
n
X
(x + 7)
a)
((−∞, ∞), R = ∞)
n!
n=0
b)
∞
X
n=0
√
xn
n+1
([−1, 1), R = 1)
4
2
∞
X
xn
c)
([−1, 1], R = 1)
2n
n=0
∞ X
2n
1
d)
+ 2 xn ( − 12 , 12 , R = 12 )
n n
n=1
∞
X
n+1
(x + 5)n ([−6, 4] , R = 5)
(n
+
2)(n
+
3)
n=0
n ∞
X
1 3
1
x−1
f)
( ,
,R = )
10n
5
2 2
2
n=0
e)
2
∞
n
X
(x − 4)
g)
n!
n=1
([3, 5] , R = 1)
∞
X
2 · 4 · 6 · · · 2n
x4n ((−1, 1) , R = 1)
1
·
3
· 5 · · · (2n − 1)
n=1
∞
X
1
1 1
i)
,R = )
(1 + 2 + · · · + 2n ) xn ( − ,
2 2
2
n=0
h)
∞
X
n!xn
([−2, 0) , R = 1)
j)
3n2
n=1
39. A¸sa˘
gıdaki fonksiyonların Maclaurin Serileri’ni bulunuz.
∞
X
x
a)
(
(−1)n 2n xn+1 )
2x + 1
n=0
b)
x
(1 + x2 )2
(
x
1 − x3
(−1)n+1 nx2n−1 )
n=1
2
c)
∞
X
(
∞
X
x3n+2 )
n=0
∞
X
1
1
(
(1 − n+1 )xn )
d) 2
x − 3x + 2
2
n=0
∞
X
1+x
x2n+1
e) ln
)
(2
1−x
(2n + 1)
n=1
f)
∞
X
n
1−x
2
3
4
5
6
(=
1
−
x
−
x
+
x
+
x
−
x
−
x
+
·
·
·)
=
(−1)b 2 c xn
2
1+x
n=0
g)f (x) = ln x in x = 1 deki Taylor serilerini bulunuz. (
∞
X
(−1)n−1
n=1
,
(x − 1)n
)
n
h)f (x) = sin x in x = π2 deki Taylor serisini bulunuz.
1
π
1
π
1
π
(sin x = 1 − (x − )2 + (x − )4 − (x − )6 + · · ·)
2!
2
4!
2
6!
2
1
i)f (x) = 2 nin x = 1 deki Taylor serilerini bulunuz.
x
∞
X
(
(−1)n (n + 1)(x − 1)n )
n=0
j)f (x) = ex in x = 2 deki Taylor serisini bulunuz. (e−2
5
n
ger fonksiyonu
2 : tam de˘
∞
X
(x + 2)n
)
n!
n=0
© Copyright 2024 Paperzz
