TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
BİRİM ÇEMBER
Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçapı 1
birim uzunlukta olan çembere, birim çember denir ve denklemi
x 2  y 2  1 biçiminde yazılır.
AOP açısı pozitif yönlü bir açıdır.
AP yayı pozitif yönlü bir yaydır.
POA açısı negatif yönlü bir
açıdır. PA yayı negatif yönlü bir
yaydır.
Açıları ölçmede kullanılan ölçü birimleri derece,
radyan olarak isimlendirilir.
 Derece: Bir çemberin çevresini 360 eş parçaya bölelim.
Birbirine eş olan bu 360 yay parçasından herhangi birini gören
merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve (º) ile gösterilir.
1º ‘nin 60’da birine 1 dakika denir ve (‘) simgesi ile gösterilir.
1’ ‘nin 60’da birine 1 saniye denir ve (‘‘) simgesi ile gösterilir.
 Radyan: Bir çemberde, yarıçap uzunluğundaki bir yayı
gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Öyleyse, bir
çember yayının ölçüsü π radyandır.
Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi
Bir çember yayının ölçüsü 360 derece veya π radyandır. O halde;
D
R
yazılabilir. Bu eşitlik

360
2
sadeleştirilirse;
D
R

180 
elde edilir.
Örnek: Ölçüsü o olan açıyı radyan Türünden yazınız.
Çözüm:
D
R
120
R
2



 R 
180

180

3
Örnek: Ölçüsü
Çözüm:
π

radyan olan açıyı derece türünden yazınız.

D
R
D

 
 6  D.  .180  D  30o
180 
180 
6
TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLAR
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Verilen bir birim
çember üzerinde alınan
P(x,y) noktası
başlangıç noktası ile
birleştirildiğinde
pozitif x ekseni ile
oluşan θ açısı için
aşağıdakiler
söylenebilir:
cos θ = x
x2  y 2  1
sin θ = y
P (x,y) = P(cos θ, sin θ)
olacağından
cos 2   sin 2   1
dır.
DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
y
R(1,t)
P(x,y)
1
O
Buna göre,
y
θ
x K
sin  
cos  
A
x
y
karş

1 hipotenüs
x
komş

1 hipotenüs
t
karş
tan   
1 komş
[OP] doğrusu uzatılarak
birim çembere A
noktasından çizilen teğet
ile R(1,t) noktasında
kesişiyor.
biçiminde tanımlanır.
Oluşan dik üçgen, çemberin dışına
taşındığında;
sin  
c
1
b
 cos ec 

b
sin  c
a
1
b
 sec  

b
cos  a
c
1
a
tan    cot  

a
tan  c
cos  
a
 cos ec (90    )  b
a
b
c
cos(90    )   sec( 90    )  b
c
b
a
tan(90    )   cot(90    )  c
a
c
sin(90    ) 
oranları elde edilir.
Bu oranlar incelendiğinde,
sin(90   )  cos 
cos(90   )  sin 
tan(90   )  cot 
sin 
tan  
cos 
cos 
cot  
sin 
sin 2   cos 2   1

1  tan 2   sec 2 
1  cot   cos ec 
2
2
sonuçları elde edilir.
30º, 45º ve 60º’nin trigonometrik oranları
30º 30º
2a
45º a
2a
2a
a 3
45º
60º
60º
a
a
a
Yukarıdaki şekillerde trigonometrik oranların tanımı yazılırsa
sin 45 
1
2

2
2
cos 45 
1
2

2
2
tan 45 
1
1
1
cot 45 
1
1
1
sin 30  cos 60 
cos 30  sin 60 
tan 30  cot 60 
cot 30  tan 60 
1
2
3
2
1
3

3
3
3
 3
1
sonuçları elde edilir.
Bir trigonometrik oran verildiğinde dik
üçgen yardımı ile diğer trigonometrik
oranlar bulunur.
Örnek 1
3 
sin x  0  x  90
4
olduğuna göre diğer trigonometrik
oranları bulunuz.
Çözüm: Orandan yola çıkılarak bir dik üçgen çizilir. Pisagor
bağıntısı kullanılarak üçüncü kenar bulunur.
2
BC  4 2  32  16  9  7
BC  7
Bu üçgen kullanılarak



 
tan x 



cos x 



 
sec x 




cos ecx 

cot x 
oranları elde edilir.
2
2
AC  AB  BC
2
 Bir sayı birim çember
üzerindeki bir P
noktasına
eşleştirildiğinde tanıma
göre
P=(cosθ, sinθ)
olduğu biliniyor.
 Çemberin yarıçapı 1
olduğuna göre,
P’nin apsis ya da
ordinatının mutlak
değeri en fazla 1’dir.
O halde;
 1  cos  1
ve
 1  sin   1
olur.
y

(0,1)
x<0
y>0
x>0
y>0
І
II
(-1,0)
(1,0)
O
III
x<0
y<0
I. bölge
ise
cos +
sin +
tan +
x
IV
(0,-1)
Birim çember üzerindeki
P(x,y) noktasının
apsisi cos θ,
ordinatı sin θ olduğuna
göre,
I, II, III, IV numaralı
bölgelerde trigonometrik
fonksiyonların işaretleri,
x>0
y<0
II. bölge
ise
cos sin +
tan -
cos 310 > 0,
sin 310 < 0,
tan 310 < 0’ dır.
III. bölge
ise
cos sin tan +
IV. bölge
ise
cos +
sin tan -
Esas Ölçüleri θ, 180-θ, 180+θ, 360-θ Olan
Açılar
y
y
P
P
1
θ
1
180º- θ
θ
x
x
sin(180   )  sin 
cos(180   )   cos 
tan(180   )   tan 
sin(180   )   sin 
cos(180   )   cos 
tan(180   )  tan 
 sin (90º-θ)=cos θ
 sin (90º+θ)=cos θ
 cos (90º-θ)=sin θ
 cos (90º+θ)=-sin θ
 tan (90º-θ)=cot θ
 tan (90º+θ)=-cot θ
 sin (270º-θ)=-cos θ
 sin (270º+θ)=-cos θ
 cos (270º-θ)=-sin θ
 cos (270º+θ)=sin θ
 tan (270º-θ)=cot θ
 tan (270º+θ)=-cot θ
ÖLÇÜLERİ NEGATİF OLAN AÇILAR
sin (-θ)=-sin θ
cos (-θ)=cos θ
tan (-θ)=-tan θ
M(x,-y) noktası P(x,y) noktasının Ox eksenine göre simetriği
ÖRNEK 1:
sin 150º=?
ÇÖZÜM:
sin150º= sin (180º-30º)=sin30º=½
veya
sin 150º=sin (90º+60º)=cos60º=½
ÖRNEK 2:
cos 240º = ?
ÇÖZÜM:
cos 240 º= cos (180 º+60 º)=-cos60 º=-½
veya
cos240 º=cos(270 º-30 º)=-sin30 º=-½
ÖRNEK 6:
sin(-150º)=?
ÇÖZÜM:
sin(-150º)=-sin 150º
-sin(180º-30º)
=-sin30º
=-½
I) SİNÜS TEOREMİ
Herhangi bir ABC üçgeninde üçgenin çevrel
çemberinin yarıçapı R olsun.
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
‘dir.
ÖRNEK 1:
A
Yanda verilen üçgende c
kenarının uzunluğunu ve bu
üçgenin çevrel çemberinin
yarıçapını bulun.
75º
c
10
45º
60º
a
B
C
ÇÖZÜM:
c
10


sin 60
sin 45
c
10

c 5 6
3
2
2
2
10
 2R  R  5 2
2
2
II) KOSİNÜS TEOREMİ
Herhangi bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları
arasında,
A
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
c
b  a  c  2ac cos B
2
2
2
b
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
bağıntıları vardır.
B
a
C
ÖRNEK 1:

Bir ABC üçgeninde a=4 b=3 c=6 ise cos A kaçtır?
ÇÖZÜM:
2
2
2
a  b  c  2bc cos Aˆ

cos A
16=9+36-2.3.6

cos A = 29 36
ÖRNEK 2:
Kenarları arasında a2  b2  c2  bc bağıntısı olan
üçgenin A açısının ölçüsü nedir?

ÇÖZÜM:
Verilen bağıntı a  b  c  bc ‘dır. Kosinüs

2
2
2
teoremine göre a  b  c  2bc cos A ‘dir.
O halde,
b  c  bc  b  c  2bc cos A
bc  2bc cos A
1
cos A  
2
2
2
2
2
2
2





120
A
2

I)TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x tan y
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x tan y
ÖDEV: İSPATLA
II) YARIM AÇI FORMÜLLERİ
si nx   si nx cos x
cos x  cos  x  si n x
  cos  x  
    si n x
 tan x
tan x 
  tan  x
ÖRNEK: sin 105º=?
ÇÖZÜM:
sin 105  sin(60  45 )
 sin 60 cos 45  sin 45. cos 60
3 2
2 1

.

.
2 2
2 2
6 2

4
ÖRNEK:
sin 57  cos 3  cos 57  sin 3
?




cos 4 cos 41  sin 4 sin 41
ÇÖZÜM:
sin( x  y)  sin x cos y  sin y cos x
cos( x  y)  cos x cos y  sin x sin y
sin 57 cos 3  cos 57 sin 3
cos 4 cos 41  sin 4 sin 41
sin(57  3)
sin 60 


cos(4  41) cos 45 

3
6
2


2
2
2
olduğuna göre
ÖRNEK: cos²15º=?
ÇÖZÜM:
cos2x=2cos²x-1
olduğuna göre
cos 30   2 cos 2 15   1

cos
30
1
2

cos 15 
2
3 1
32
2


2
4
ÖRNEK 5: sin75.cos75=?
ÇÖZÜM:
sin2x=2sinxcosx olduğuna göre
sin75 º.cos75 º
=½sin150º
=½sin(180º-30º)
=½sin30 º
=½.½=¼
ÖRNEK:
cos5º=t ise cos40º.cos50º
t cinsinden nedir?
ÇÖZÜM:
cos50º=sin40º ve sinxcosx= ½ sin2x olduğu biliniyor.
cos40ºsin40º= ½ sin80º= ½ cos10º olur.
cos10º’yi hesaplamak için
cos2x=2cos ² x-1 özdeşliğini kullanırsak
cos10º=2cos ² 5º-1=2t ² -1 olur.
cos40º.cos50º= ½ [2t ² -1] sonucu elde edilir.
ÖDEV
3

tan x   , x  ( ,  ) ise sin2x=?
4
2
sin 50 
cos 25  cos 115
cos 2 x  1
 3
sin 2 x

ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?
x  (0 ,90 ) ise cosx=?
I)Çarpım biçimindeki ifadeleri toplam
biçiminde yazmak
cosxcosy=½[cos(x+y)+cos(x-y)]
sinxsiny=-½[cos(x+y)-cos(x-y)]
sinxcosy=½[sin(x+y)+sin(x-y)]
ÖRNEK: sin75º.cos15º=?
ÇÖZÜM:
1
sin 75. cos 15  sin(75  15)  sin(75  15)
2
1
 sin 90  sin 60
2
1
3 2 3
 1 

2
2 
4
ÖRNEK:
cos( x 


) cos( x  )  ?
4
4
ÇÖZÜM:
cos( x 


4
) cos( x 

4
1
2 
cos
2
x

cos
2 
4 
1

cos
2
x

cos
2 
2 
1
 cos 2 x  0
2
1
 cos 2 x
2

)
1



 
cos(
x


x

)

cos(
x


(
x

)

2
4
4
4
4 
II)Toplam biçimindeki ifadeleri çarpım
biçiminde yazmak
x y
x y
sin x  sin y  2 sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 sin
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
sin
2
2
I) sinx=a TÜRÜNDEKİ DENKLEMLER
Bu tür denklemlerin çözümleri bir örnekle açıklanacak
olursa
sinx=½ örneği ele alındığında,
sin x 
1



5

 sin x  sin  x   sin x  sin     x 
2
6
6
6
6

‘dır.
Ancak denklemi sağlayan başka
x değerlerinin var olduğu da
düşünülecek olursa,

5
x   k 2  x 
 k 2
6
6
çözümleri elde edilir.
O halde çözüm;
 x1    k 2
sin x  sin   
 x2      k 2
Genel çözüm,
x x    k 2  x      k 2 , k   
3
ÖRNEK : sin x   denkleminin genel çözümünü bulun.
2
ÇÖZÜM:
3
  sin 60   sin(60)
2
x1  360  k  (60)
sin x  
x1  360k  60
sin x  
3
 sin[180  (60)]  x2  360k  240 
2
GENEL ÇÖZÜM:

 x x  360 k  240  x  360 k  300, k  
ÖRNEK: sin5x=cos2x
ÇÖZÜM:
denkleminin genel çözümünü bulun.
si nx  cos x  si n(   x)
x     x  k  



k
.

x     k   i se x 



x     (   x )  k. 
x     k.  i se x     k. 
GENEL ÇÖZÜM:


90
k 360

 x x 

 x  30  k120 , k  
7
7


II) cosx=a türündeki denklemler
Bu tür denklemlerin çözümleri bir örnekle açıklanacak
olursa cosx=½ örneği ele alındığında
cos x 
1


1

 cos
x
 cos x 
 cos( 2  )
2
3
3
2
3
x  2 

3
veya
x

3
Ancak denklemi sağlayan başka x değerlerinin var
olduğu düşünülecek olursa,
x

3
 k 2  x  2 
çözümleri elde edilir.

3
 k 2  x  

3
 k 2
GENEL ÇÖZÜM:
 x1    k 2
cos x  cos   
 x2    k 2
x x  k 2   , k  
ÖRNEK 1: cos 3x  
3
2
denkleminin genel çözümünü bulun.
ÇÖZÜM:
3
cos 3x  
2
3x  k 360  150  x  k.120  50
GENEL ÇÖZÜM:
x x  k.120


 50  , k  
III) tanx=a türündeki denklemler
Bu tür denklemlerin genel çözümleri
x x    k , k  
biçiminde yazılır.
ÖRNEK 1: tan5x=-1 denkleminin genel çözümünü bulun.
ÇÖZÜM:
tan 5 x   tan 45  tan(45 )
5 x  180  k  (45  )
x  36 k  9


GENEL ÇÖZÜM:
x x  36
o

k 9 ,k 
o
ÖRNEK 2: tan7x.tan3x=1 denkleminin genel çözümünü
bulun.
ÇÖZÜM:
1
tan 7 x 
 cot 3x
tan 3 x
tan 7 x  tan(90   3x)
7 x  180  k  90   3x
10 x  180  k  90 
x  18  k  9 
GENEL ÇÖZÜM:
x x  18 k  9 , k  
o
o
ÖRNEK : 2sin²x-5cosx+1=0 denkleminin genel çözümünü
bulun.
ÇÖZÜM: Önce denklem aynı trigonometrik
fonksiyon cinsinden yazılır.
2(1-cos²x)-5cosx+1=0
2cos²x+5cosx-3=0
(2cosx-1)(cosx+3)
cosx=½ veya cosx=-3
cosx=-3 için çözüm yoktur çünkü;
cosx =½ için
Genel Çözüm:
 1  cos x  1
x x  k.360  60 , k  


Periyodik Fonksiyon :
f(x)  f(x  T) olacak şekilde TR sayısı varsa bu sayıların en küçüğüne f
fonksiyonunun periyodu denir
f(x)  f(x  T) ise f(x)  f(x  kT) , k  Z dir.
f(x)  sin x fonksiyonları periyodik fonksiyonlar olup periyotları T  2π dir.
f ( x  T )  f ( x)  sin( x  T )  sin( x) 
sin x cos T  cos x sin T  sin x 
cos T  1
 3
sin T  0
ve
 2



2

olmalı  T  k .2
  
 
3 4 6
0

6
  
4 3 2

2
sint  sin(2   t) sin(4   t) ...  sin(2k   t)
3
4
I.
y  si nx fonksi yonu nun x  ,π i çi ngrafi gi
II.
y  cos x fonksi yonu nun x  ,π i çi ngrafi gi
7

4
f(x) tan(x)fonksiyonu periyodik olup periyodu T   dir.
tan(x) tan(x  k )dir.
y  tanx fonksiyonu nun grafiği :
1

3 5

4
2

3

4


2


0
4
-1

4

2
3
4

5
4
3
2
7
4
2
Bir f fonksiyonunun tersininde fonksiyon
olabilmesi için hem örten hem de birebir olması
gerekir.
sin: RR, xsinx örten değildir, birebir değildir.
cos: RR, xcosx örten değildir, birebir değildir.
sin: R[-1,1], xsinx örtendir, fakat birebir değildir.
cos: R[-1,1], xcosx örtendir, fakat birebir değildir.
Bu nedenle bunların ters fonksiyonları yoktur.
I.
Ancak kuralı f(x)=sinx olan fonksiyonun birebir ve
örten olabilmesi için tanım kümesi  π , π  , değerler


kümesi [-1,1] alındığında bu fonksiyonun ters
fonksiyonundan söz edilebilir.
Yukarıdaki şekle göre
si n
π 
 π
  Arc si n 
 
 
dır.
π
 π

y  si nx  Arc si ny  x ,    x  ve    y  

 

f(x)  si nx  f(x)  Arc si nx di r.
II.
f(x)=cosx için tanım kümesi , π , değerler kümesi
[-1,1] alındığında bu fonksiyonun ters fonksiyonundan
söz edilebilir.
Yukarıdaki şekle göre
cos
π

 π

 Arc cos





y  cos x  Arc cos y  x,   x  π ve    y  
f(x)  cos x  f(x)  Arc cos x
dır.
III.
 π π
 , 
  
, değerler kümesi
R alındığında bu fonksiyonun ters fonksiyonundan söz
edilebilir.
f(x)=tanx için tanım kümesi
π

 π


Arc
tan

Yukarıdaki şekle göre




π
 π

y  tan x  Arc tan y  x ,    x  ve    y   

 

tan
f(x)  tan x  f(x)  Arc tan x
dır.
ÖRNEK : cos(2Arctan  ) =?
ÇÖZÜM:
cos(2Arctan  ) ifadesinde Arctan  kısmına “a” diyelim.
Arc tan   a  tan a  
Tanım kümemiz
 π π
 , 
  
olduğundan ve tanjantı  olan
sayı (açı) bu aralığa girecek biçimde düşünüldüğünden
π olur.
a

Bu değeri esas ifadede yerine koyduğumuzda
π
π

cos   cos




olduğunu görürüz.
ÖRNEK:



cos  Arc si n  Arc cos   ?



ÇÖZÜM:



cos  Arc si n  Arc cos 





ifadesinde Arc si n  a ve Arc cos  b


adını verirsek sorumuz cos(a+b) şekline gelir.
İhtiyaç duyulduğunda trigonometrik oranları bulmak için;


Arc si n  a  si na 


Arc cos


 b  cos b 


cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb ‘dir.
        
cos( a  b) 
.  .

   

 x   
f
(
x
)

Arc
si
n


ÖRNEK:



olan fonksiyonun en geniş tanım kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
Verilen fonksiyonun tanımlı olabilmesi için
 
x  


olmalıdır.
x  

 
     x        x     x  


Tanım kümesi
 
  , olarak bulunur.

Download Report