BÖLÜM 3 TRİGONOMETRİ 3.1. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR 3.1.1. BİRİM ÇEMBER Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi x 2 + y 2 = 1 dir.Yani birim çember üzerindeki tüm ( x, y ) noktaları bir Ç kümesi oluşturuyorsa Ç = {( x, y ) x, y ∈ ¡ ve x 2 + y 2 = 1} y B(0,1) A(1,0) C(1,0) 0 x D(0,-1) 3.1.2. YÖNLÜ AÇILAR Saat yelkovanının dönme yönünün tersini pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön olarak adlandıracağız. Örnek : 30o ve –45o açılarını trigonometrik çemberde gösteriniz. 63 MATEMATİK I 3.1.3. AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ Genellikle üç birim kullanılır. Bunlar, derece, radyan ve gradtır. Derece Bir çemberin 360 eşit parçasından her birine bir derecelik yay denir. Bir derecelik yayı gören merkez açıya bir derecelik açı denir. Derecenin 60 da birine dakika, dakikanın 60 da birine saniye, daha küçük açılar da saniyenin ondalık kesri olarak yazılır. 10 = 60′ (bir derece 60 dakika) 1′ = 60′′ (bir dakika 60 saniye) 0 1 = 3600′′ (bir derece 3600 saniye Radyan Bir çemberde kendi yarıçapına eşit uzunluktaki bir yaya bir radyanlık yay denir. Bir radyanlık yayı gören merkez açıya da bir radyanlık açı denir. Grad Bir çemberin 400 eşit parçasından her birine bir gradlık yay denir. Bir gradlık yayı gören merkez açıya da bir gradlık açı denir. Bir açının derece cinsinden değeri D , radyan cinsinden değeri R ve grad cinsinden değeri G ise D = R = G bağıntısı vardır. 180 π 200 64 MATEMATİK I Örnek : 75o kaç radyandır? D R = 180 π Dπ 75π 5π R= = = 180 180 12 Çözüm: Örnek : Çözüm: D= 180 R π Örnek : R π = G= π 6 D R = 180 π = π 180 ⋅ π 6 = 180π = 300 6π π 3.π kaç gradtır? 4 G 200 200 R radyan kaç derecedir? = 3π 4 = 200 ⋅ 3π = 150 π 4π 200 ⋅ 3.1.4. ESAS ÖLÇÜ 1) k ∈ ¢ , α > 360 0 ve 0 0 ≤ β < 360 0 şartıyla α = k ⋅ 360 0 + β ise β açısına α açısının esas ölçüsü denir. Örnek : 12560 ‘nin esas ölçüsü nedir? Çözüm: 12560 = 3 ⋅ 3600 + 1760 = 1760 12560 ‘nin esas ölçüsü 1760 dir. Örnek : 5200 ‘nin esas ölçüsü nedir? 65 MATEMATİK I Çözüm: -5200 = −2 ⋅ 3600 + 2000 = 2000 5200 ‘nin esas ölçüsü 2000 dir. 2) k ∈ ¢ , α >2 π ve 0 ≤ β <2 π şartıyla α = k ⋅ 2 π + β ise β açısına α açısının esas ölçüsü denir. Örnek : 29π radyanın esas ölçüsü nedir? 5 Çözüm: 29π 9π 9π 9π = 4π + = 2 ⋅ 2π + = 5 5 5 5 29π 9π radyanın esas ölçüsü tir. 5 5 Örnek : − 7π =? 3 Çözüm: − 7π 5π 5π 5π = −4π + = −2 ⋅ 2π + = 3 3 3 3 − 7π 5π radyanın esas ölçüsü ‘tür 3 3 3.1.5. DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR Dik üçgende α dar açı ise aşağıdaki trigonometrik bağıntılar vardır. sin α = A AC AB sec α = AB BC cos α = Hipotenüs α C B 66 BC AB cos ecα = AB AC tan α = AC BC tan α = sin α cosα cot α = BC AC tan α = 1 cot α MATEMATİK I 3.1.6. 30O VE 60O NİN TRİGONOMETRİK ORANLARI B 30 a a 3 2 o A ABC - bir eşkenar üçgen olsun |AB |=| BC |=| AC |= a AC kenarına ait yüksekliği çizelim. o 60 a 2 D C 2 2 2 Pisagor teoremine göre BD = AB − AD = a 2 − Yani BD = a 3 2 Tanıma göre, a AD 1 = 2 = sin 30 0 = AB a 2 BD = cos 30 0 = AB a 3 2 = 3 a 2 a AD = 2 = tan 30 0 = BD a 3 2 a 3 BD cot 30 0 = = 2 = a AD 2 a 3 BD = 2 = sin 60 0 = AB a 1 3 3 3 2 67 a 2 3a 2 = 4 4 MATEMATİK I a AD 1 = 2= cos 60 0 = AB a 2 a 3 BD tan 60 0 = = 2 = 3 a AD 2 a AD 1 = 2 = cot 60 0 = BD a 3 3 2 3.1.7. 45O NİN TRİGONOMETRİK ORANLARI V ABC ikizkenar dik üçgen olsun. Pisagor teoremine göre | AB |2 =| AC |2 + | CB |2 = 2a 2 AB = a 2 sin 45 0 = 1 AC a = = AB a 2 2 cos 450 = CB a 1 = = AB a 2 2 tan 45 0 = AC a = =1 CB a cot 450 = CB a = =1 AC a 68 MATEMATİK I 3.1.8. BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR Tanıma göre sin α = cosα = PD y1 = = y1 OP 1 OD x1 = = x1 OP 1 tan α = PD y1 = OD x1 cot α = OD x1 = PD y1 Diğer taraftan Pisagor teoremine göre ; | OP |2 =| OD |2 + | PD |2 1 = x12 + y12 veya sin 2 α + cos 2 α = 1 trigonometrinin esas formülü bulunur. Şimdi de bazı özel açıların trigonometrik oranlarını bir tablo ile gösterelim. 69 MATEMATİK I 3.1.9. NEGATİF AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ Çember üzerindeki B ( x1 , y1 ) ve x1 = cos α , y1 = sin α olduğundan Tanıma göre sin α = BK y1 = = y1 OB 1 sin(−α ) = cos α = KC − y1 = = − y1 OC 1 OK x1 = = x1 OB 1 cos(−α ) = OK x1 = = x1 OC 1 70 MATEMATİK I sin(−α ) = − sin α Yani cos(−α ) = cos α tan(−α ) = cot(−α ) = sin(−α ) − sin α = = − tan α cos(−α ) cos α cos(−α ) cos α = = − cot α sin(−α ) − sin α Örnek: Aşağıdakileri hesaplayınız. 1) sin(−300 ) = − sin 300 = − 1 2 1 2 0 0 3) tan(−45 ) = − tan 45 = −1 2) cos(−60 0 ) = cos 60 0 = 4) cot(−60 0 ) = − cot 60 0 = − 1 3 3.1.10. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN BÖLGEDEKİ İŞARETLERİ Örnekler : 1) tan 2830 < 0 2) sin1900 < 0 3) cos 3000 > 0 4) cot(−1100 ) > 0 71 MATEMATİK I 3.2. TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER sin 2 α+cos 2 α=1 İfadesinin önce iki tarafını sin 2 α , sonra ise cos 2 α ya bölelim. Böylece aşağıdaki özdeşlikleri elde ederiz. 1 sin 2 α 1 1 1+ = 2 2 tan α sin α 1 tan 2 α+1= cos 2 α 1 1 +1= 2 cot α cos 2 α 1+cot 2 α= Örnek : Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. 1) 1 − cos 2 α = sin 2 α 2) sin 2 α − 1 = − cos 2 α 3) cos 2 α + (1 − sin 2 α ) = 2 cos 2 α 4) sin 2 α + 2 cos 2 α − 1 = cos 2 α 5) (1 − sin α )(1 + sin α ) = cos 2 α 6) (cos α − 1)(1 + cos α ) = − sin 2 α 7) 1 − sin 2 α − cos 2 α = 0 Örnekler: 1) sin α = 40 π ve < α < π ise cos α , tan α ve cot α = ? 2 41 72 MATEMATİK I Çözüm: a 2 = 412 − 402 = 81 a=9 9 41 40 tan α = − 9 9 cot α = − 40 cos α = − 2) tan α = 1 ve π < α < 3π ise sin α , cos α ve cotα = ? 2 Çözüm: a2 = 1 + 1 = 2 a= 2 sin α = − cos α = − 1 2 1 2 cot α = 1 3) cot α = 2, 2 ve 0 < α < π 2 ise sin α , cos α ve tanα = ? Çözüm: 22 11 = 10 5 a 2 = 25 + 121 = 146 cot α = 2, 2 = sin α = cos α = 5 146 11 146 5 tan α = 11 73 MATEMATİK I 3.2.1. 900 DEN BÜYÜK AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ ˆ =α a) Birim çember üzerinde AOD pozitif yönlü açıyı düşünelim. D noktasını çember üzerinde pozitif yönde hareket ettirelim. Birim çember üzerinde tam bir devir yapalım. Bu durumda 360° lik ya da 2π radyanlık bir açı elde edilmiş olur. Elde ettiğimiz açının ölçüsü 360° + α veya 2π + α radyandır. Tam bir devir sonunda aynı noktaya geldiğimizde elde edilen açı ile α açısının trigonometrik oranları aynıdır. Yani : sin(2π + α ) = sin α cos(2π + α ) = cos α tan(2π + α ) = tan α cot(2π + α ) = cot α Birim çember üzerinde dönme işlemi k ∈ ¢ kere yapılırsa sonuç değişmez. b) ˆ =α AOC ve ˆ = 180° − α DOC 1 ˆ =α D1OC 1 ∆ ∆ OCD ve OD1C1 dik üçgen olduğu için: CD y1 = = y1 OC 1 CD y sin(180° − α ) = 1 1 = 2 = y2 1 OC1 Ama y1 = y2 olduğundan; sin α = 74 ise MATEMATİK I sin(180° − α ) = sin α OD x1 cos α = = = x1 OC 1 OD1 x2 cos(180° − α ) = = = x2 1 OC1 Ama x1 = − x2 olduğundan cos(180° − α ) = − cos α Böylece cot(180° − α ) = tan(180° − α ) = sin(180° − α ) sin α = = − tan α cos(180° − α ) − cos α cos(180° − α ) − cos α = = − cot α sin(180° − α ) sin α c) Şimdi de birim çember üzerinde B noktasını pozitif yönde 90° hareket ettirelim. B noktası C oktasına dönüşür OABK dikdörtgeni ise OPCD ve dikdörtgenine dönüşür ve OA = OP ve olur. BA OK = = OK OB 1 CD OP = = OP sin(90° + α ) = OC 1 OA OA = = OA cos α = 1 OB DO DO = = DO cos(90° + α ) = 1 OC sin α = Diğer taraftan OK = DO ve DO = −OK Yani cos(90° + α ) = − sin α OP = OA ve OP = OA 75 MATEMATİK I sin(90° + α ) = cos α sin(90° + α ) cos α tan(90° + α ) = = = − cot α cos(90° + α ) − sin α cos(90° + α ) − sin α cot(90° + α ) = = = − tan α sin(90° + α ) cos α π 3π mα , 2π mα şeklinde yazılabilir. 0 < α < ve 2 2 2 açının trigonometrik oranları bir dar açı cinsinden ifade edilebilir. Böylece her bir açı π + α , π mα , Kural: Bir geniş açının trigonometrik oranı ile ana trigonometrik oranı eşit olarak alınan açının oluşturduğu eşitlikte, a) Eşitliğin sol tarafında π ’nin katları varsa trigonometrik oranının ismi sağ tarafa π 3π değişmeden geçer. Eğer sol tarafta , gibi değerler varsa trigonometrik oranın 2 2 ismi değişir: (sin α ↔ cos α ve tan α ↔ cot α ) b) Sol tarafta bulunan açının düştüğü bölge tespit edilir. Sol tarafta bulunan trigonometrik oranın bu bölgedeki işareti sağ taraftaki trigonometrik oranın işareti olarak alınır. π + α için: 2 π sin + α = cos α 2 π tan + α = − cot α 2 π cos + α = − sin α 2 π cot + α = − tan α 2 (π − α ) için: sin(π − α ) = sin α cot(π − α ) = − cot α cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α (π + α ) için: sin(π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cos α 76 MATEMATİK I tan(π + α ) = tan α cot(π + α ) = cot α 3π − α için: 2 3π sin − α = − cos α 2 3 π tan − α = cot α 2 3π cos − α = − sin α 2 3 π cot − α = tan α 2 3π + α için: 2 3π sin + α = − cos α 2 3 π tan + α = − cot α 2 3π cos + α = sin α 2 3 π cot + α = − tan α 2 (2π − α ) için: sin(2π − α ) = − sin α tan(2π − α ) = − tan α (2π + α ) cos(2π − α ) = cos α cot(2π − α ) = − cot α için: sin(2π + α ) = sin α tan(2π + α ) = tan α cos(2π + α ) = cos α cot(2π + α ) = cot α Örnek: Aşağıdaki değerleri bulunuz. 1) cos 8π =? 3 Çözüm: cos 8π 2π = cos 2π + 3 3 2π π π 1 = cos π − = − cos = − = cos 3 3 3 2 2) sin(−585°) = ? Çözüm: sin(−585°) = − sin 585° = − sin(360° + 225°) = − sin 225° = − sin(180° + 45°) = 77 MATEMATİK I = −(− sin 45°) = sin 45° = 2 2 2 π 3) tan + α = ? 2 2 π 2 2 Çözüm: tan + α = (− cot α ) = cot α 2 4) cot(−570°) = ? Çözüm: cot(−570°) = − cot 570° = − cot(360° + 210°) = − cot 210° = = − cot(180° + 30°) = − cot 30° = − 3 3.2.2. TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ ∆ ∆ ABC ve APB dik üçgenler olsun. ˆ ) = α ve m( PAB ˆ )=β m( BAC ˆ ) = 90° m( PMB ˆ ) = 90° − α ⇒ m( PKB ˆ ) = 90° − α m( AKD ˆ ) =α Yani m( KPB ∆ BC ACB den sin α = ⇒ BC = AB ⋅ sin α AB ∆ PB AB APB den sin β = ⇒ PB = AP ⋅ sin β ve cos β = ⇒ AB = AP ⋅ cos β AP AP Diğer taraftan PD = PM + MD MD = BC ve ∆ PM PMB den cos α = ve PM = PB ⋅ cos α PB ∆ PD PM + MD PB ⋅ cos α + BC AP ⋅ sin β ⋅ cos α + AB ⋅ sin α APD den sin(α + β ) = = = = = AP AP AP AP 78 MATEMATİK = AP ⋅ sin β ⋅ cos α + AP ⋅ cos β ⋅ sin α = sin α ⋅ cos β + sin β ⋅ cos α AP Yani sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + sin β ⋅ cos α β yerine − β alınırsa sin(α − β ) = sin α ⋅ cos(− β ) + sin(− β ) ⋅ cos α = sin α ⋅ cos β − sin β ⋅ cos α Diğer taraftan π cos(α + β ) = sin − (π + β ) 2 π π π = sin − α − β = sin − α ⋅ cos β − cos − α ⋅ sin β 2 2 2 = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Şimdi de β yerine − β alalım: cos(α − β ) = cos α ⋅ cos(− β ) − sin α ⋅ sin(− β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β tan(α + β ) = sin(α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β = cos(α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Farz edelim ki cos α ≠ 0 ve cos β ≠ 0 Şimdi kesrin pay ve paydasını cos α ⋅ cos β çarpımına bölelim: sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β + tan α + tan β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β tan(α + β ) = = cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β 1 − tan α ⋅ tan β − cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β β yerine − β alalım: tan(α − β ) = tan α + tan(− β ) tan α − tan β = 1 − tan α ⋅ tan(− β ) 1 + tan α ⋅ tan β cot(α + β ) = cos(α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β = sin(α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β 79 MATEMATİK I Farz edelim ki sin α ≠ 0 ve sin β ≠ 0 Şimdi kesirin pay ve paydasını sin α ⋅ sin β çarpımına bölelim: cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β − sin α ⋅ sin β sin α ⋅ sin β cot α ⋅ cot β − 1 cot(α + β ) = = sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β cot β + cot α + sin α ⋅ sin β sin α ⋅ sin β Şimdi de β yerine − β alalım: cot(α − β ) = cot α ⋅ cot(− β ) − 1 cot α ⋅ cot β + 1 = cot(− β ) + cot α cot β − cot α Yani sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β sin(α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β tan α − tan β tan(α − β ) = 1 + tan α ⋅ tan β cot α ⋅ cot β − 1 cot(α + β ) = cot α + cot β cot α ⋅ cot β + 1 cot(α − β ) = cot β − cot α tan(α + β ) = Örnek: Aşağıdaki değerleri bulunuz. 1) sin 75° = ? Çözüm: sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° ⋅ cos 30° + sin 30° ⋅ cos 45° = = 2 3 1 2 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 6+ 2 4 80 MATEMATİK I 2) cos105° = ? Çözüm: cos105° = cos(60° + 45°) = cos 60° ⋅ cos 45° − sin 60° ⋅ sin 45° = = 1 2 3 2 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 2− 6 4 3) Aşağıda verilen ifadelerin değerini bulunuz. a) cos18° ⋅ cos 63° + sin18° ⋅ sin 63° = ? Çözüm: cos18° ⋅ cos 63° + sin18° ⋅ sin 63° = cos(18° − 63°) = cos(−45°) = cos 45° = b) cos 32° ⋅ cos 58° − sin 32° ⋅ sin 58° = ? Çözüm: cos 32° ⋅ cos 58° − sin 32° ⋅ sin 58° = cos(32° + 58°) = cos 90° = 0 3.2.3. YARIM AÇI FORMÜLLERİ sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α ⋅ tan β cot α ⋅ cot β − 1 cot(α + β ) = cot α + cot β olduğundan, α = β alınırsa yukarıdaki bağıntılar yerine Yani sin(α + α ) = sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sin α sin 2a = 2 ⋅ sin a ⋅ cos a 81 2 2 MATEMATİK I cos(α + α ) = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sin α ve sin 2 α + cos 2 α = 1 eşitliğinden bağıntılar elde edilir. Aynı yöntemle cot(α + α ) = tan(α + α ) = tan α + tan α 1 − tan α ⋅ tan α cot α ⋅ cot α − 1 cot α + cot α bağıntılar elde edilir. Örnekler : 1) cos α = −0,8 ve α ∈ III bölgeye ait ise sin 2α = ? Çözüm: Önce sin α yı bulalım: 6 = −0, 6 ve 10 sin 2α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α = 2 ⋅ (−0, 6) ⋅ (−0,8) = 0,96 sin α = − 82 MATEMATİK I 2) Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız: a) 2sin15° ⋅ cos15° = ? 2sin15° ⋅ cos15° = sin 30° = b) 8sin 8sin π 8 π 8 ⋅ cos ⋅ cos π 8 π 8 1 2 =? = 4 ⋅ 2sin π 8 ⋅ cos π 8 = 4sin π 4 = 4⋅ 2 =2 2 2 c) sin105° ⋅ cos105° = ? 1 1 sin105°⋅ cos105° = ⋅ 2sin105°⋅ cos105° = sin 210° 2 2 1 1 1 1 1 = sin(180° + 30°) = (− sin 30°) = ⋅ − = − 2 2 2 2 4 d) cos 2 15° − sin 2 15° = ? cos 2 15° − sin 2 15° = cos 30° = 4 cos 2 4 cos 2 π 8 π 8 − 4sin 2 − 4sin 2 π 8 3 2 =? π π π π 2 = 4 cos 2 − sin 2 = 4 cos = 4 ⋅ =2 2 8 8 8 4 2 7π 7π − sin 2 =? 12 12 7π 7π 7π π π 3 − sin 2 = cos = cos π + = − cos = − cos 2 12 12 6 6 6 2 e) cos 2 83 MATEMATİK I 3.2.4. DÖNÜŞÜM VE TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ Eğer α = x + y ve β = x − y alınırsa x= α+β 2 ve y = α−β 2 olup sin α + sin β = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y − cos x sin y = 2sin x ⋅ cos y sin α + sin β = 2 sin α+β ⋅ cos 2 α−β 2 Eğer β yerine − β alınırsa α−β α+β sin α − sin β = 2 sin ⋅ cos 2 2 Benzer şekilde cos α + cos β = cos( x + y ) + cos( x − y ) = cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y + cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y = 2 cos x ⋅ cos y cos α + cos β = 2 cos α+β cos α − cos β = −2 sin 2 ⋅ cos α+β 2 α−β ⋅ sin 2 α−β 2 Örnekler: Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) sin 12 ° + sin 20 ° = 2 sin 16 ° ⋅ cos 4° b) sin 52 ° − sin 32 ° = 2 sin 10 ° ⋅ cos 42 ° c) cos π 10 − cos π 20 = −2 sin 3π π ⋅ sin 40 40 84 MATEMATİK I π π π d) cos + α + cos − α = 2 cos ⋅ cos α = 2 cos α 4 4 4 ( ) e) sin 15 ° + cos 65 ° = sin 15 ° + cos 90 ° − 25 ° = sin 15 ° + sin 25 ° = 2 sin 20 ° ⋅ cos 5 ° Şimdi de ters dönüşüm formüllerini elde edelim. α − β α + β 2 sin ⋅ cos = sin α + sin β ve 2 2 α +β 2 = x, α −β 2 =y ise α = x + y ve β = x − y 2 sin x ⋅ cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) sin x ⋅ cos y = cos x ⋅ cos y = [sin (x + y ) + sin (x − y )] 2 [cos(x + y ) + cos(x − y )] 2 [cos(x − y ) − cos(x + y )] sin x ⋅ sin y = 2 bağıntıları elde edilir. 3.3. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ 3.3.1. PERİYODİK FONKSİYONLAR VE PERİYOT Tanım : f : A → B fonksiyonunda her bir x ∈ A için f ( x + T ) = f ( x ) olacak şekilde sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T reel sayısına da periyot denir Örneğin her bir k ∈ ¢ için sin ( x + 2πk ) = sin x cos( x + 2πk ) = cos x sec( x + 2πk ) = sec x cos ec(x + 2πk ) = cos ecx olduğu için bu fonksiyonlar periyodiktir ve periyot ise 2π dir: Ayrıca, her bir k ∈ ¢ için 85 MATEMATİK I tan ( x + πk ) = tan x cot ( x + πk ) = cot x olduğu için bu fonksiyonlar da periyodiktir ve periyotları π dir. Şimdi de trigonometrik fonksiyonların periyotlarını nasıl bulacağımızı ortaya koyalım. a) f ( x ) = sin (ax + b ) f ( x ) = cos(ax + b ) f ( x ) = sec(ax + b ) f ( x ) = cos ec(ax + b ) fonksiyonlarının periyodu T = 2π dır. a b) f ( x ) = tan (ax + b ) f ( x ) = cot (ax + b ) fonksiyonlarının periyodu T = π a dır. c) m tek doğal sayı için f ( x ) = sin m (ax + b ) f ( x ) = cos m (ax + b ) f ( x ) = sec m (ax + b ) f ( x ) = cos ec m (ax + b ) fonksiyonlarının periyodu T = 2π dır. a d) m çift doğal sayı için f ( x ) = sin m (ax + b ) f ( x ) = cos m (ax + b ) f ( x ) = sec m (ax + b ) f ( x ) = cos ec m (ax + b ) fonksiyonlarının periyodu T = π a dır. 86 MATEMATİK I e) m ∈ ¥ sayı için f ( x ) = tan m (ax + b ) f ( x ) = cot m (ax + b ) fonksiyonlarının periyodu T = π a dır. Örnekler : π 1) y = 8 sin 4 x + fonksiyonunun periyodu nedir ? 3 2π π T= = 4 2 π 2) y = cot 6 3x − fonksiyonunun periyodu nedir ? 12 T= π 3 tür. 3) y = 3sec x + π x −π + tan fonksiyonunun periyodu nedir ? 8 3 π π 2π x −π 3 sec x + periyodu = 2π ve tan periyodu 1 = 3π olup 8 1 3 3 y fonksiyonu bu iki fonksiyonun toplamından oluştuğu için periyodu okek (2π ,3π ) = 6π dir. Uyarı : f ( x ) , birden fazla fonksiyonun toplamından oluşuyorsa, toplamı oluşturan fonksiyonların periyotları ayrı ayrı bulunur. Bunların okek’ i fonksiyonun periyodunu oluşturur. 3.3.2. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Trigonometrik çemberi göz önüne alalım. Çember üzerinde aldığımız her bir noktanın Pα ( cos α ,sin α ) olduğunu biliyoruz. 87 MATEMATİK I Pα noktası trigonometri çember üzerinde hareket ederse, sonsuz tane α açısı ve ona karşılık gelen Pα ( cos α ,sin α ) noktaları ortaya çıkıyor. Böylece y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarını elde etmiş oluyoruz. Her bir Pα noktası birim çember üzerinde, olduğundan − 1 ≤ sin x ≤ 1 ve − 1 ≤ cos x ≤ 1 olur. Tanım : f : ¡ → [ −1,1] olan y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarına sinüs ve cosinüs fonksiyonları denir Şimdi trigonometrik fonksiyonları sırasıyla inceleyelim. 3.3.3. y = sinx FONKSİYONU Bu fonksiyonun periyodu 2π dir. O halde [0,2π ] aralığında inceleme yapmak yeterli olur. Fonksiyon için değerler tablosu oluşturup, bu tablodan yararlanarak fonksiyonun grafiğini çizelim. 88 MATEMATİK I Grafikten de görüleceği gibi, y = sin x fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olup tek fonksiyondur. Eğer daha geniş bir aralıkta y = sin x fonksiyonunun grafiğini görmek istersek, mesela [− 4π ,4π ] aralığında grafik aşağıdaki gibidir. 89 MATEMATİK I 3.3.4. y = cosx FONKSİYONU Bu fonksiyon için de periyot 2π dir. Fonksiyona ait değerler tablosu ve grafiği aşağıdaki gibidir. y = cos x için [− 4π ,4π ] aralığında grafik aşağıda verilmiştir. Benzer şekilde daha geniş aralıklar için de grafik çizilebilir. y = cos x fonksiyonu, Oy eksenine göre simetriktir ve çift fonksiyondur. 3.3.5. y = tanx FONKSİYONU Bu fonksiyonun periyodu π dir. O halde π uzunluğunda bir aralıkta tanjant fonksiyonunun bütün özelliklerini gözleme imkanı vardır. Genel olarak tanjant fonksiyonu x = π 2 + kπ , k ∈ Z noktalarında tanımlı olmadığı için bu değerler düşey 90 MATEMATİK I asimptottur. Özel olarak x = ± π doğruları düşey asimptotlardır. y = tan x fonksiyonu 2 ile ilgili değerler tablosu ve grafik aşağıda verilmiştir. y = tan x fonksiyonu tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir. 3.3.6. y=arcsinx FONKSİYONU π π y = sin x fonksiyonu − , aralığında 2 2 birebir ve örtendir. O halde bu aralıkta ters fonksiyondan bahsedilebilir. Bu da y = arcsin x fonksiyonudur ve arksinüsx şeklinde okunur. Böylece y = f ( x ) = arcsin x fonksiyonu π π f : [− 1,1] → − , şeklinde tanımlı olup 2 2 grafiği yan taraftadır. 91 MATEMATİK I Örnek : Aşağıda verilen değerleri bulunuz. a) arcsin 0 = 0 b) arcsin 1 = π 2 π 3 3 = − arcsin c) arcsin − =− 2 3 2 2 π 2 = − arcsin d) arcsin = − 2 4 2 3.3.7. y=arccosx FONKSİYONU y = cos x fonksiyonu [0, π ] aralığında bire bir ve örtendir. Böylece y = f ( x ) = arccos x ters fonksiyonu f : [− 1,1] → [0, π ] şeklinde tanımlı olup grafiği yan tarafta verilmiştir. Örnek : Aşağıda verilen değerleri bulunuz. a) arccos 2 π = 2 4 π 2π 1 1 b) arccos − = π − arccos = π − = 2 3 3 2 92 MATEMATİK I π 5π 3 =π − = c) arccos − 6 6 2 d) arccos 1 = 0 3.3.8. y=arctanx FONKSİYONU π π y = tan x fonksiyonu x ∈ − , aralığında bire bir ve örten bir fonksiyondur. O 2 2 π π halde y = tan x fonksiyonunun x ∈ − , ters fonksiyonu var ve bu da 2 2 y = arctan x fonksiyonudur. Böylece y = f ( x ) = arctan x fonksiyonu π π f : ¡ → − , şeklinde tanımlı bir fonksiyon olup grafiği aşağıdaki gibidir. 2 2 y π y = arctan x 2 x 0 − π 2 Örnek: Aşağıda verilen değerleri bulunuz. 1 π 1 = − arctan =− a) arctan − 6 3 3 b) arctan 0 = 0 93 MATEMATİK I 3.4.TRİGONOMETRİK DENKLEMLER 3.4.1.sinx=a DENKLEMİ Eğer a ∉ [− 1,1] sin x = a denkleminin kökü yoktur. π π Eğer a ∈ [− 1,1] sin x = a denkleminin, − , aralığındaki kökü 2 2 π 3π 2 , 2 aralığındaki kökü de x2 = π − arcsin a dır. Bu iki çözüm bir formül halinde yazılırsa aşağıdaki elde edilir. Örnek : Aşağıdaki denklemleri çözünüz. 1) sin x = 2 2 2 + π k, k ∈ ¢ 2 x = ( −1) ⋅ arcsin k x = ( −1) ⋅ k π 4 +πk 2) sin x = − 2 2 2 k x = ( −1) ⋅ arcsin − + π k , k ∈ ¢ 2 x = ( −1) k +1 ⋅ π 4 +πk 94 x1 = arcsin a , MATEMATİK I 3.4.2. cos x=a DENKLEMİ Eğer a ∉ [− 1,1] cos x = a denkleminin kökü yoktur. Eğer a ∉ [− 1,1] cos x = a denkleminin [− π ,0] aralığındaki kökü x1 = arccos a ve [0, π ] aralığındaki kökü x 2 = arccos a olur. Bu iki çözümü bir formül şeklinde yazarsak Örnek : Aşağıdaki denklemleri çözünüz. 1) 1) cos x = 1 2 1 x = marccos + 2π k , k ∈ ¢ 2 π x = m + 2π k 3 1 2 1 x = marccos − + 2π k , k ∈ ¢ 2 1 x = m π − arccos + 2π k 2 2) cos x = − 2) π x = m π − + 2π k 3 2π x = m + 2π k 3 95 MATEMATİK I 3) cos x = 3) 1 3 1 x = marccos + 2π k , k ∈ ¢ 3 1 3 1 x = marccos − + 2π k , k ∈ ¢ 3 1 x = m π − arccos + 2π k 3 4) 4) cos x = − 3.4.3. tan x=a DENKLEMİ π π Her bir a ∈ ¡ için − , aralığında tan x = a denkleminin yalnız bir kökü olup 2 2 Örnek :Aşağıdaki denklemleri çözünüz. 1) tan x = 3 1) x = arctan 3 + π k ; k ∈ ¢ x= π 3 +πk 2) tan x = − 3 2) ( ) x = arctan − 3 + π k , k ∈ ¢ x = − arctan 3 + π k x=− π 3 +πk 1 2 1 x = arctan + π k , k ∈ ¢ 2 3) tan x = 96 MATEMATİK I 4) tan x = − 4) 1 7 1 x = arctan − + π k , k ∈ ¢ 7 1 x = − arctan + π k 7 3.4.4. cot x=a DENKLEMİ cot x = a denklemi eğer a ≠ 0 ise tan x = Yalnız a = 0 ise , cot x = 0 olup 1 şeklinde yazılabilir. a 3.4.5. BAZI TRİGONOMETRİK DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Örnek : Aşağıdaki denklemleri çözünüz. 1) 2sin 2 + sin x − 1 = 0 sin x = a, a ≤ 1 2a 2 + a − 1 = 0 a1 = −1 a2 = 1 2 sin x = − 1 x1 = − π 2 + 2π k , k ∈ ¢ ve x 2 = ( − 1 ) ⋅ arcsin k x2 = ( − 1) ⋅ k π 6 1 + π k,k ∈ ¢ 2 +πk 97 MATEMATİK I 2) 5sin 2 x + 6 cos x − 6 = 0 5 ⋅ (1 − cos 2 x ) + 6 cos x − 6 = 0 5 − 5cos 2 x + 6 cos x − 6 = 0 cos x = a dersek , a ≤ 1 5a 2 − 6a + 1 = 0 a1 = 1 1 5 cos x = 1 x1 = 2π k , k ∈ ¢ a2 = cos x = ve 1 5 1 x2 = marccos + 2π k , k ∈ ¢ 5 3) tan x − 2 cot x + 1 = 0 Denkleminin iki tarafını da tan x ile çarpalım tan 2 x − 2 cot x tan x + tan x = 0 tan 2 x + tan x − 2 = 0 tan x = a a2 + a − 2 = 0 a =1 a = −2 tan x = 1 x1 = arctan1 + π k , k ∈ ¢ π +πk 4 tan x = −2 x1 = ve x2 = arctan ( −2 ) + π k , k ∈ ¢ x2 = − arctan 2 + π k 98 MATEMATİK I 4) 3 sin 2 x + sin x cos x = 2 cos 2 x Farz edelim ki cos x ≠ 0 ve denklemin iki tarafını da cos 2 x ’e bölelim. 3sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x + = cos 2 x cos 2 x cos 2 x 3 tan 2 x + tan x − 2 = 0 tan x = a 3a 2 + a − 2 = 0 a1 = −1 a2 = 2 3 tan x = −1 x1 = arctan ( −1) + π k , k ∈ ¢ π + π k ve 4 2 tan x = 3 2 x2 = arctan + π k , k ∈ ¢ 3 x1 = − BÖLÜM ALIŞTIRMALARI 1) Aşağıdaki açıları derece cinsinden ifade ediniz. π π 3 5 9 , , π ,− π ,− π ,12π 5 9 4 9 2 2) Aşağıdaki açıları radyan cinsinden ifade ediniz. 135o, 210o,36o ,150o, 240o,300o , −120o, −225o 3) Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini bulunuz. a) 2 ⋅ cos 600 + 3 ⋅ cos 300 b) 5 ⋅ sin 300 − cot 450 c) 2 ⋅ sin 300 + 6 ⋅ cos 600 − 4 ⋅ tan 450 99 MATEMATİK I d) e) f) g) 3 ⋅ tan 450 ⋅ tan 600 4 ⋅ tan 600 ⋅ sin 600 12 ⋅ sin 600 ⋅ cot 600 2 ⋅ sin 600 ⋅ cot 600 4) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. a) sin α ⋅ cos α ⋅ tan α b) sin α ⋅ cos α ⋅ cot α − 1 c) sin 2 α − tan α ⋅ cot α d) 1 − sin 2 α cos 2 α e) cos 2 α cos 2 α − 1 f) sin 2 α + cos 2 α + tan 2 α g) tan α ⋅ cot α + cot 2 α h) sin α ⋅ cot α i) tan α ⋅ cot α j) 1 − cos 2 α 1 − sin 2 α 5) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. a) cot α − cos α − 1 sin α b) 1 1 sin α − 1 1 + sin α c) 1 − cot α tan α − 1 − 100 MATEMATİK I d) sin 2 α − 1 + tan α ⋅ cot α cos 2 α − 1 e) tan 2 α ⋅ (sin 2 α − 1) f) cos 2 α − (cot 2 α + 1) ⋅ sin 2 α g) tan(−α ) ⋅ cos α + sin α h) cos 2 α ⋅ tan 2 ( −α ) − 1 6) sin α , cos α , tan α ve cot α ’nın işaretlerini bulunuz. a) α =48o b) α =200o c) α =137o d) α=306o 7) Aşağıdakileri hesaplayınız. a) sin(−300 ) b) cos(−600 ) c) tan(−450 ) d) cot(−300 ) e) cos(−900 ) f) sin(−450 ) 101 MATEMATİK I 8) Aşağıda verilenlere göre trigonometrik oranları hesaplayınız. a) cos α = −0, 6 ve b) sin α = π 2 < α < π ise sin α , tan α ve cotα = ? 1 π ve 0 < α < ise cosα , tan α ve cotα = ? 2 3 9) Aşağıda verilenlere göre trigonometrik oranları hesaplayınız. 3 5 8 b) cosα = 17 a) sinα = c) tanα = − ve ve π 2 <α <π 0 <α < π 2 3 3π ve < α < 2π 3 2 10) Aşağıdakileri hesaplayınız. a) sin 240° b) cos(−210°) c) tan(−300°) d) sin 330° e) cot(−225°) f) sin 315° g) cos120° h) sin(−150°) i) tan(−225°) j) cos(−225°) 102 MATEMATİK I 11) Aşağıdakileri hesaplayınız. 7π 6 4π b) sin 3 5π c) cos − 3 11π d) sin − 3 a) cos 12) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. a) cos(−α ) ⋅ cos(180° + α ) sin(−α ) ⋅ sin(90° + α ) b) sin(π + α ) ⋅ cos(2π − α ) tan(π − α ) ⋅ cos(α − π ) c) sin(−α ) ⋅ cot(−α ) cos(360° − α ) ⋅ tan(180° + α ) d) sin(π + α ) ⋅ sin(α + 2π ) 3π tan(π + α ) ⋅ cos +α 2 13) Aşağıdakileri hesaplayınız. a) cos 75° b) tan 75° c) sin15° d) cos105° e) cos15° f) sin 255° g) cos 255° 103 MATEMATİK I h) sin105° 14) Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a) cos107° ⋅ cos17° + sin107° ⋅ sin17° b) cos107° ⋅ cos17° + sin107° ⋅ sin17° c) cos 36° ⋅ cos 24° − sin 36° ⋅ sin 24° d) sin 63° ⋅ cos 27° + cos 63° ⋅ sin 27° e) sin 51° ⋅ cos 21° − cos 51° ⋅ sin 21° 15) tan α = 4 1 ve tan β = ise 3 4 16) α ∈ IIb ve β ∈ IIIb , sin α = tan(α + β ) = ? 4 15 ve cos β = − ise; 5 17 a) sin(α + β ) = ? b) sin(α − β ) = ? c) cos(α − β ) = ? d) cos(α + β ) = ? 17) tan α = 3 3π ve π < α < 2 4 a) sin 2α =? b) cos 2α =? c) tan 2α =? d) cot 2α =? ise 104 MATEMATİK I 18) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. a) sin 40° + sin16° b) sin 20 ° − sin 40 ° π π c) sin + α − sin − α 6 6 π d) cos − α + cos α 3 e) cos 46 ° − cos 74 ° f) sin π 6 − sin π 9 g) cos15 ° + cos 45 ° h) sin i) π 2π + sin 5 5 cos 50 ° + sin 80 ° 19) f ( x ) fonksiyonunun periyodunu bulunuz. x π a) f ( x ) = sin − 2 7 π b) f ( x ) = 3 cos 4 x − 7 c) f ( x ) = 2 tan 3 x d) f ( x ) = cot x 3 e) f ( x ) = 2 − cos x f) f ( x ) = sin x + cos x g) f ( x ) = 3 + sin 2 x 105 MATEMATİK I h) f ( x ) = 1 x π sin − 2 4 6 i) f ( x ) = 3 tan 1,5 x j) π f ( x ) = 4 cos 2 x − 3 20) Aşağıda verilen denklemleri çözünüz. a) cos x = 2 2 b) cos x = 3 2 c) sin x = 1 2 d) sin x = − 1 2 e) sin x = − 3 2 f) tan x = − 1 3 g) cot x = 3 h) tan x = 1 i) sin x = −0,6 j) cot x = 2,5 k) cos x = 0,3 106 MATEMATİK I l) x 2 sin − = 2 3 m) tan x = −3,5 n) cos ( −2 x ) = − 3 2 x π o) 2 cos − = 3 2 6 p) x π 3 tan + = 3 2 3 π x q) tan − = −1 4 2 π x r) 2 sin − = 3 3 4 s) sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = 3 2 1 t) sin 2 x cos 2 x = − 4 2 u) sin x 4 − cos 2 x =1 4 2 v) 2 sin x − sin x − 1 = 0 2 w) 4 sin x + 11sin x − 3 = 0 2 x) 2 sin x + 3 cos x = 0 2 y) cos x + 3 sin x = 3 107 MATEMATİK I BÖLÜM TESTİ 1) cos 2 π 12 + sin 2 B) A) 0 2) A) π 4 <x< 2 3 7 8 3) 0 ≤ x ≤ A) π 1 2 2 2 1 2 C) 2 2 3 7 16 C) − olmak üzere, B) 2 3 3 2 D) olmak üzere, sin x − cos x = B) π 5π − 1 işleminin sonucu kaçtır? 12 4 7 9 E) 1 1 olduğuna göre, sin 4 x kaçtır? 2 3 7 8 D) − E) − 2 7 16 sin 2 x + sin x 1 = olduğuna göre, cot x kaçtır? 2 cos x + 1 3 C) 2 3 − 2 D) E) 2 2 3 4) sin 15° + cos15° işleminin sonucu kaçtır? A) B) 6 π 3π cos 8 − 8 5) π 3π cos cos 8 8 6 2 C) 6 3 6 4 D) cos ifadesinin değeri kaçtır? A) − 2 B) − 1 C) 1 2 D) 1 E) 2 6) sin 25° ⋅ sin 125° − cos125° ⋅ sin 65° ifadesinin değeri kaçtır? A) − 3 2 B) − 1 2 C) 1 2 D) 1 2 108 E) 3 2 E) 6 5 MATEMATİK I 3 4 7) sin 4α ⋅ sin α = cos 4α ⋅ cos α = − A) − 3 8 8) sin 3π 7π ⋅ sin işleminin sonucu kaçtır? 8 8 B) − 3 4 2 2 A) B) C) − 3 2 3 olduğuna göre, cos 5α kaçtır? 4 2 4 D) C) 9) sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ cos 4 x ⋅ cos 8 x = 2 2 E) 3 3 2 5 D) 5 4 E) 1 1 denklemini sağlayan en küçük x açısı kaç 16 raydandır? A) π B) 4 10) 0 ≤ x ≤ π 2 π 8 3 2 π 16 D) π E) 48 π 96 1 − cos 2 x = sin x olduğuna göre, cos x kaçtır? sin 2 x olmak üzere, B) A) 1 C) C) 2 2 D) 1 2 E) 0 sin x + sin 2 x + sin 3 x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir? 2 cos x + 1 11) A) 2 sin x B) sin 2 x C) 2 cos x D) cos 2 x E) tan 2 x 12) cos 40° + cos 80° + cos160° işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 0 13) x = B) π 12 1 2 olmak üzere, C) 1 D) 2 sin 20° E) 2 cos 20° sin 7 x + sin 3 x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine sin 4 x ⋅ cos x eşittir? A) 1 2 B) 1 C) 2 D) 2 sin x 109 E) cos x MATEMATİK I 14) sin 15° − sin 75° işleminin sonucu kaçtır? cos15° + cos 75° A) 3 2 15) x = B) π 16 A) − tan x olmak üzere, 3 3 D) − C) 1 3 2 E) − 3 3 cos 5 x − cos 3x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? sin 5 x − sin 3x B) tan x C) 2 E) − 1 D) 1 16) 1520° nin esas ölçüsü kaç derecedir? A) 50 B) 70 17) sin 20° = a olduğuna göre, C) 80 D) 100 E) 110 sin 160° − 1 ifadesi aşağıdakilerden hangisine sin 70° + sin 2 20° 2 eşittir? A) a − 1 B) a + 1 C) 1 − a 2 D) a 1− a2 E) a −1 a 18) a = sin 130° b = cos 310° c = tan 230° olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < a < c C) b < c < a D) a < c < b E) c < b < a 2 olduğuna göre, 5 ⋅ sin x − 2 ⋅ tan x kaçtır? 5 21 B) C) 21 − 3 D) 1 E) 0 2 19) 0 < x < π ve cos x = A) 21 1 − cos x + sin 2 x 20) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 − cos x A) 2 − cos x B) cos x C) 2 D) 2 + cos x 110 E) sin x + cos x MATEMATİK I 3π 21) Aşağıdakilerden hangisi sin − x ifadesine özdeş değildir? 2 A) cos(π − x ) 3π B) sin − x 2 π D) − sin + x 2 E) cos(− x ) 22) cos C) cos(π + x ) 7π π + sin ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? 10 5 A) 0 B) 1 23) sin x cos x = olduğuna göre, tan x + cot x kaçtır? 3 4 6 5 A) 24) B) C) 2 17 12 C) D) 2 cos 25 12 D) π 5 23 6 E) 2 sin E) 25 6 tan x − cot x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? sin x + cos x A) sin x + cos x B) cos x − sin x D) sec x − cos ecx E) 2 C) tan x + cot x 25) 2sin x + cos x = 2 denkleminin çözümü nedir? x1 = A) 2 + 2π k , k ∈ ¢ 1 x2 = 2arc tan + 2π k 3 x1 = D) π π 2 + 2π k , k ∈ ¢ 1 x2 = −2arc tan + 2π k 3 x1 = − B) π 2 + 2π k , k ∈ ¢ x1 = − 1 x2 = −2arc tan + 2π k 3 E) { } 111 C) π 2 + 2π k , k ∈ ¢ 1 x2 = 2arc tan + 2π k 3 π 5 MATEMATİK I 26) 5sin 2 x + 3sin x ⋅ cos x − 4 = 0 denkleminin çözümü nedir? A) D) x1 = π + π k, k ∈ ¢ B) 4 x2 = arc tan 4 + π k π + π k, k ∈ ¢ 4 x2 = arc tan 4 + π k x1 = − x1 = π + π k, k ∈ ¢ C) 4 x2 = −arc tan 4 + π k E) { π + π k, k ∈ ¢ 4 x2 = −arc tan 4 + π k x1 = − } 26) sin 2 x − 5sin x ⋅ cos x + 6 cos 2 x = 0 denkleminin çözümü nedir? A) B) C) D) E) x1 = − arc tan 2 + π k , k ∈ ¢ x2 = −arc tan 3 + π k x1 = − arc tan 2 + π k , k ∈ ¢ x2 = arc tan 3 + π k x1 = arc tan 2 + π k , k ∈ ¢ x2 = −arc tan 3 + π k x1 = arc tan 2 + π k , k ∈ ¢ x2 = arc tan 3 + π k {} 27) sin 3 x ⋅ sin 5 x = sin x ⋅ sin 7 x denkleminin çözümü nedir? A) x = − D) { } πk 4 ,k ∈¢ B) x = E) x = πk 2 πk 4 ,k ∈¢ C) x = − πk 2 ,k ∈¢ 112 ,k ∈¢ MATEMATİK I 28) sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 denkleminin çözümü nedir? πk x1 = m ,k ∈¢ 4 A) 2π x2 = m + 2π k 3 x1 = πk D) 2 x2 = m B) C) 4 ,k ∈¢ 2π + 2π k 3 x2 = ,k ∈¢ 2 E) 2π x2 = m + 2π k 3 5 4 A) x = m + π k , k ∈ ¢ 6 D) { 2π x2 = m + 2π k 3 x1 = m x1 = m 2π + 2π k 3 π 4 πk ,k ∈¢ πk ,k ∈¢ 29) cos 2 x + cos 2 x = πk x1 = denkleminin çözümü nedir? B) x = π 6 + π k, k ∈ ¢ C) x = − π 6 + π k, k ∈ ¢ π } E) x = m + π k , k ∈ ¢ 3 30) sin x + cos x = 1 denkleminin çözümü nedir? A) x = π 6 + π k, k ∈ ¢ x1 = 2π k , k ∈ ¢ D) x2 = π 2 + 2π k B) x = E) { π 2 + π k, k ∈ ¢ C) x = π 3 } 113 + π k, k ∈ ¢
© Copyright 2024 Paperzz