İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN
MATEMATİKSEL
ZORLUKLAR VE
ÇÖZÜM ÖNERİLERİ
Editörler:
Erhan Bingölbali
Mehmet Fatih Özmantar
4. Baskı
(GLW|U
'Ro'U(UKDQ%ú1*g/%$/ú'Ro'U0HKPHW)DWLKg=0$17$5
ú/.gø5(7ú0'(.$5û,/$û,/$10$7(0$7ú.6(/
=25/8./$59(dg=h0g1(5ú/(5ú
,6%1
.LWDSLoHULùLQLQWPVRUXPOXOXùX\D]DUODU×QDDLWWLU
‹3HJHP$NDGHPL
%XNLWDE×QEDV×P\D\×QYHVDW×üKDNODU×
3HJHP$NDGHPL<D\(ùW'DQ+L]P7LF/WGûWLQHDLWWLU
$Q×ODQNXUXOXüXQL]QLDO×QPDGDQNLWDE×QWP\DGDE|OPOHUL
NDSDNWDVDU×P×PHNDQLNHOHNWURQLNIRWRNRSLPDQ\HWLNND\×W
\DGDEDüND\|QWHPOHUOHoRùDOW×ODPD]EDV×ODPD]GDù×W×ODPD]
%XNLWDS7&.OWU%DNDQO×ù×EDQGUROLOHVDW×OPDNWDG×U
2NX\XFXODU×P×]×QEDQGUROROPD\DQNLWDSODUKDNN×QGD
\D\×QHYLPL]HELOJLYHUPHVLQLYHEDQGUROV]\D\×QODU×
VDW×QDOPDPDV×Q×GLOL\RUX]
%DVN×0DUW$QNDUD
<D\×Q3URMH<|QHWPHQL$\üHJO(URùOX
'L]JL*UDILN7DVDU×P&HPDOúQFHRùOX
.DSDN7DVDU×P×*UVHO$YF×
%DVN×$QNDPDW0DWEDDF×O×N6DQ/WGûWL
&DGGH6RNDN1R
úYHGLN2UJDQL]H6DQD\L%|OJHVL$1.$5$
<D\×QF×6HUWLILND1R
0DWEDD6HUWLILND1R
úOHWLüLP
.DUDQILO6RNDN1R.×]×OD\$1.$5$
<D\×QHYL
<D\×QHYL%HOJHo
'Dù×W×P
'Dù×W×P%HOJHo
+D]×UO×N.XUVODU×
úQWHUQHWZZZSHJHPQHW
(LOHWLSHJHP#SHJHPQHW
.$7.,'$%8/81$1<$=$5/$5
*ÖOVHUHQ.DUDJÐ]$NDU%RJD]LÁL¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVL2UWDÐðUHWLP
)HQYH0DWHPDWLN$ODQODUÜ(ðLWLPL$QDELOLP'DOÜQGDÐðUHWLPÖ\HVLRODUDNÁDOÜíPDN
WDGÜU \ÜOODUÜ DUDVÜQGD 2UWD 'RðX 7HNQLN ¶QLYHUVLWHVL (ðLWLP )DNÖOWHVL
0DWHPDWLN (ðLWLPL %ÐOÖPÖQGHQ OLVDQV \ÜOÜQGD $PHULND %LUOHíLN 'HYOHWOHUL
3HQQV\OYDQLD 6WDWH ¶QLYHUVLWHVL 0DWHPDWLN (ðLWLPL DODQÜQGD \ÖNVHN OLVDQV YH \LQH
D\QÜ ÖQLYHUVLWHGHQ \ÜOÜQGD 0DWHPDWLN (ðLWLPL DODQÜQGD GRNWRUD GHUHFHVLQL DO
PÜíWÜU0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGDÁDOÜíPDODUÜQDGHYDPHGHQ.DUDJÐ]$NDUnÜQLOJLYH
ÁDOÜíPD DODQODUÜ DUDVÜQGD PDWHPDWLN NRQXODUÜQÜQ NDYUDPVDO RODUDN DQODíÜOPDVÜ YH
NDYUDPVDOJHOLíLPLÐðUHWPHQHðLWLPLÖQLYHUVLWH YHOLVHVHYL\HVLQGHPDWHPDWLNHðL
WLPLÐðUHQPHYHÐðUHWLPH\ÐQHOLNIDUNOÜSHUVSHNWLIOHUÐ]HOOLNOHÐQSODQDÁÜNDQDODQ
ODUGÜU
<ÜOPD]$NVR\(UFL\HV¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVLñONÐðUHWLP%ÐOÖPÖ0D
WHPDWLN (ðLWLPL $QDELOLP 'DOÜQGD ÐðUHWLP Ö\HVL RODUDN ÁDOÜíPDNWDGÜU \ÜOÜQGD
*D]L ¶QLYHUVLWHVL *D]L (ðLWLP )DNÖOWHVL 0DWHPDWLN °ðUHWPHQOLðL %ÐOÖPÖQGHQ OL
VDQV\ÜOÜQGD3DULV'HVFDUWHV6RUERQQH¶QLYHUVLWHVL0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQ
GD\ÖNVHNOLVDQVYH*D]L¶QLYHUVLWHVLQGHQ\ÜOÜQGD0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGD
GRNWRUD GHUHFHVLQL DOPÜíWÜU 0DWHPDWLN (ðLWLPL DODQÜQGD ÁDOÜíPDODUÜQD GHYDP HGHQ
$NVR\ LOJL YH ÁDOÜíPD DODQODUÜ DUDVÜQGD PDWHPDWLN ÐðUHWLPLQGH WHNQRORML NXOODQÜPÜ
ÐðUHWPHQ HðLWLPL YH ÖQLYHUVLWH VHYL\HVLQGH PDWHPDWLN HðLWLPL ÐQ SODQD ÁÜNDQ DODQ
ODUGÜU
&HQJL]$ODFDFÜñVWDQEXO0HGHQL\HW¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP%LOLPOHUL)DNXࡇOWHVLQGH
ÐðUHWLPXࡇ\HVLGLUnGH2UWD'RðX7HNQLN¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNXࡇOWHVL0DWHPDWLN
°ðUHWPHQOLðL %ÐOXࡇPXࡇQGHQ OLVDQV nGH D\QÜ DODQGD $PHULND %LUOHíLN 'HYOHWOHUL
6RXWKHUQ,OOLQRLV¶QLYHUVLWHVLQGHQ\XࡇNVHNOLVDQVYHnGH3LWWVEXUJK¶QLYHUVLWHVLQ
GHQ GRNWRUD GHUHFHVLQL DOPÜíWÜU 3LWWVEXUJK ¶QLYHUVLWHVL °ðUHQPH\L $UDíWÜUPD YH
*HOLíWLUPH0HUNH]LQGHELU\ÜOGRNWRUDVRQUDVÜDUDíWÜUPDFÜRODUDNEXOXQPXíWXUr
\ÜOODUÜQGD)ORULGD,QWHUQDWLRQDO¶QLYHUVLWHVLQGHÐðUHWLPXࡇ\HVLRODUDNÁDOÜíPÜíYH
nWH GRÁHQWOLN XQYDQÜQÜ DOPÜíWÜU nGHQ n\H NDGDU %LONHQW ¶QLYHUVLWHVL
(ðLWLP%LOLPOHUL(QVWLWXࡇVXࡇQGHÁDOÜíPÜíWÜU+¼OHQ0LOOÈ(ðLWLP%DNDQOÜðÜ7DOLPYH7HUEL
\H .XUXOX EDíNDQ \DUGÜPFÜVÜ RODUDN JÐUHY \DSPDNWDGÜU $ODFDFÜ ÐðUHWPHQ HðLWLPL
PDWHPDWLNHðLWLPLQGHSUREOHPÁÐ]PHPDWHPDWLNVHOGXࡇíXࡇQPHPDWHPDWLNGHUVNLWD
EÜ WDVDUÜPÜ NDUíÜODíWÜUPDOÜ PDWHPDWLN HðLWLPL NRQXODUÜQGD DUDíWÜUPDODU \XࡇUXࡇWPXࡇí YH
\D\ÜQODU\DSPÜíWÜU
LLL
6HODKDWWLQ $UVODQ \ÜOÜQGDQ EHUL .DUDGHQL] 7HNQLN ¶QLYHUVLWHVL )DWLK
(ðLWLP)DNÖOWHVLñONÐðUHWLP0DWHPDWLN(ðLWLPL$QDELOLP'DOÜQGDJÐUHY\DSPDNWDGÜU
\ÜOÜQGDñQÐQÖ¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVLnQGHQPDWHPDWLNÐðUHWPHQLXQYDQÜ
LOHPH]XQROGXNWDQVRQUD<XUWGÜíÜ/LVDQVÖVWÖ(ðLWLP</6VÜQDYÜQÜND]DQDUDN
\ÜOÜQGD 0LOOL (ðLWLP %DNDQOÜðÜ WDUDIÜQGDQ UHVPL EXUVOX VWDWÖGH )UDQVDn\D JÐQGHULOGL
<ÖNVHN OLVDQVÜQÜ \ÜOÜQGD 3DULV 'HQLV 'LGHURW ¶QLYHUVLWHVLnQGH WDPDPOD\DQ \D
]DUGRNWRUDVÜQÜ\ÜOÜQGD*UHQREOH-RVHSK)RXULHU ¶QLYHUVLWHVLnQGHñQIRUPDWLN
YH0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGDWDPDPODPÜíWÜU<D]DUÜQLOJLDODQODUÜELOJLVD\DUGHVWHNOL
PDWHPDWLNÐðUHWLPL$QDOL]NDYUDPODUÜQÜQÐðUHWLPLYHÐðUHWPHQHðLWLPLGLU
ñEUDKLP%D\D]ÜW6HOÁXN¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVL0DWHPDWLN°ðUHWPHQOLðL
%ÐOÖPÖQGHQ\ÜOÜQGDPH]XQROGXNWDQVRQUDLONYHRUWDGHUHFHOLRNXOODUGDPD
WHPDWLN ÐðUHWPHQL RODUDN JÐUHY \DSPÜíWÜU 0LOOL (ðLWLP %DNDQOÜðÜ \XUW GÜíÜ OLVDQVÖVWÖ
HðLWLPL EXUVXQX ND]DQDQ ñEUDKLP %D\D]ÜW \ÜOÜQGD /HHGV ¶QLYHUVLWHVLQ
GHñQJLOWHUH 0DWHPDWLN (ðLWLPL DODQÜQGD <ÖNVHN /LVDQV YH \LQH D\QÜ DODQGD \ÜOÜQGD :DUZLFN ¶QLYHUVLWHVLQGHñQJLOWHUH GRNWRUD HðLWLPLQL WDPDPODPÜíWÜU +DOHQ
(UFL\HV ¶QLYHUVLWHVL (ðLWLP )DNÖOWHVLQGH ÐðUHWLP Ö\HVL RODUDN JÐUHY \DSPDNWD RODQ
ñEUDKLP%D\D]LWmVÜQÜILÁLÐðUHWLP\DNODíÜPODUÜQÜQÐðUHQFLOHUGHNLPDWHPDWLNVHOGÖíÖQ
FHQLQJHOLíLPLÖ]HULQGHNLHWNLOHULnNRQXVXQGDDUDíWÜUPDODUÜQDGHYDPHWPHNWHGLU
(UKDQ %LQJÐOEDOL *D]LDQWHS ¶QLYHUVLWHVL (ðLWLP )DNÖOWHVL ñONÐðUHWLP %ÐOÖ
PÖ 0DWHPDWLN (ðLWLPL $QDELOLP 'DOÜQGD ÐðUHWLP Ö\HVL RODUDN ÁDOÜíPDNWDGÜU \ÜOÜQGD8OXGDð¶QLYHUVLWHVL)HQ(GHEL\DW)DNÖOWHVL0DWHPDWLN%ÐOÖPÖQGHQOLVDQV
\ÜOÜQGDñQJLOWHUH/HHGV¶QLYHUVLWHVL0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGD\ÖNVHNOLVDQVYH
\LQHD\QÜÖQLYHUVLWHGHQ\ÜOÜQGD0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGDGRNWRUDGHUHFHVLQL
DOPÜíWÜU 0DWHPDWLN (ðLWLPL DODQÜQGD ÁDOÜíPDODUÜQD GHYDP HGHQ %LQJÐOEDOL LOJL YH
ÁDOÜíPD DODQODUÜ DUDVÜQGD ÐðUHWPHQ HðLWLPL PDWHPDWLN ÐðUHWLPLQGH WHNQRORML NXOOD
QÜPÜ ÖQLYHUVLWH VHYL\HVLQGH PDWHPDWLN HðLWLPL ÐðUHQPH YH ÐðUHWLPH \ÐQHOLN IDUNOÜ
SHUVSHNWLIOHUÐ]HOOLNOHÐQSODQDÁÜNDQDODQODUGÜU
0LQH,íÜNVDO%RVWDQ2UWD'RðX7HNQLN¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVLñONÐðUH
WLP %ÐOÖPÖQGH °ðUHWLP ¶\HVL RODUDN ÁDOÜíPDNWDGÜU \ÜOÜQGD 2'7¶ (ðLWLP
)DNÖOWHVL 0DWHPDWLN °ðUHWPHQOLðL EÐOÖPÖQGHQ /LVDQV YH \ÜOODUÜQGD
2'7¶2UWDÐðUHWLP)HQYH0DWHPDWLN$ODQODUÜ(ðLWLPLEÐOÖPÖQGHQVÜUDVÜ\OD<ÖNVHN
/LVDQV YH 'RNWRUD GHUHFHVLQL DOPÜíWÜU \ÜOÜQGD PLVDILU DUDíWÜUPDFÜ RODUDN 7KH
8QLYHUVLW\RI*HRUJLDnGD\ÜOÜQGDLVHGRNWRUDVRQUDVÜÁDOÜíPDODU\DSPDNÖ]HUH
7KH 6WDWH 8QLYHUVLW\ RI 1HZ <RUNnWD EXOXQPXíWXU °ðUHWPHQ HðLWLPL 0DWHPDWLN
ÐðUHWLPLQGH\HQL\DNODíÜPODUPDWHPDWLNÐ]\HWHUOLNDOJÜVÜYHPDWHPDWLNND\JÜVÜDODQ
ODUÜQGDÁDOÜíPDODUÜQDGHYDPHWPHNWHGLU
LY
$EGXONDGLU (UGRðDQ \ÜOÜQGD *D]L ¶QLYHUVLWHVL )HQ(GHEL\DW )DNÖOWHVL
0DWHPDWLN EÐOÖPÖQGHQ PH]XQ ROPXíWXU 0LOOL (ðLWLP %DNDQOÜðÜQÜQ \XUWGÜíÜ \ÖNVH
NÐðUHWLP EXUVX LOH )UDQVDnGDPDWHPDWLN HðLWLPL DODQÜQGD \ÜOÜQGD &ODXGH %HU
QDUGr/\RQ¶QLYHUVLWHVLQGH\ÖNVHNOLVDQVÜQÜYH\ÜOÜQGD'HQLV'LGHURWr3DULV
¶QLYHUVLWHVLQGHGRNWRUDVÜQÜWDPDPODPÜíWÜU(UGRðDQíXDQGD$QDGROX¶QLYHUVLWHVL
(ðLWLP )DNÖOWHVL ñONÐðUHWLP %ÐOÖPÖ 0DWHPDWLN °ðUHWPHQOLðL SURJUDPÜQGD ÐðUHWLP
Ö\HVLRODUDNÁDOÜíPDNWDGÜU(UGRðDQnÜQWHPHOÁDOÜíPDNRQXODUÜDUDVÜQGDPDWHPDWLNWH
ÐðUHQFLOHULQ ELUH\VHO ÁDOÜíPDODUÜ LÁHULN DQDOL]L PDWHPDWLN ÐðUHWLPL SURJUDPODUÜQÜQ
JHOLíWLULOPHVLYHPDWHPDWLNNÖOWÖUÖQÖQ\D\JÜQODíWÜUÜOPDVÜ\HUDOPDNWDGÜU
(PHO °]GHPLU (UGRðDQ \ÜOÜQGD +DFHWWHSH ¶QLYHUVLWHVL )HQ )DNÖOWHVL
0DWHPDWLN EÐOÖPÖQGHQ PH]XQ ROPXíWXU 0LOOL (ðLWLP %DNDQOÜðÜQÜQ \XUWGÜíÜ \ÖNVH
NÐðUHWLP EXUVX LOH )UDQVDnGDPDWHPDWLN HðLWLPL DODQÜQGD \ÜOÜQGD &ODXGH %HU
QDUGr/\RQ¶QLYHUVLWHVLQGH\ÖNVHNOLVDQVÜQÜYH\ÜOÜQGD'HQLV'LGHURWr3DULV
¶QLYHUVLWHVLQGH GRNWRUDVÜQÜ WDPDPODPÜíWÜU ìX DQGD $QDGROX ¶QLYHUVLWHVL (ðLWLP
)DNÖOWHVL ñONÐðUHWLP %ÐOÖPÖ 0DWHPDWLN °ðUHWPHQOLðL SURJUDPÜQGD ÐðUHWLP Ö\HVL
RODUDNÁDOÜíDQ°]GHPLU(UGRðDQPDWHPDWLNHðLWLPLQGHWHNQRORMLNXOODQÜPÜÐðUHWPHQ
SUDWLNOHULYHSRSÖOHUPDWHPDWLNNRQXODUÜ\ODLOJLOHQPHNWHGLU
6LEHO.D]DN3DPXNNDOH¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVLñONÐðUHWLP%ÐOÖPÖ0D
WHPDWLN (ðLWLPL $QDELOLP GDOÜQGD ÐðUHWLP Ö\HVL RODUDN ÁDOÜíPDNWDGÜU 0DWHPDWLN
HðLWLPLDODQÜQGD\ÜOÜQGD2UWD'RðX7HNQLN¶QLYHUVLWHVL
QGHQOLVDQV\ÜOÜQ
GD3HQQV\OYDQLD(\DOHW¶QLYHUVLWHVL
QGHQ\ÖNVHNOLVDQVYH\ÜOÜQGD:DVKLQJWRQ
¶QLYHUVLWHVL
QGHQ GRNWRUD GHUHFHOHULQL DOPÜíWÜU 'RNWRUD VRQUDVÜQGD 0DVVDFKXVHWWV
¶QLYHUVLWHVL
QGH $PKHUVW 3URIHVRU &OLII .RQROG LOH ELUOLNWH o0RGHO &KDQFHp DGOÜ
SURMHGHÁDOÜíWÜ%XSURMHGHVÜQÜIODUGDRODVÜOÜNYHYHULDQDOL]LNRQXODUÜQÜQÐðUHWLO
PHVLQGH NXOODQÜODELOLQHFHN VÜQÜI LÁL ÐðUHWLP PDWHU\DOOHUL LOH ELU YHUL DQDOL]L \D]ÜOÜPÜ
RODQ7LQNHU3ORWV
DHQWHJUHHGLOHQRODVÜOÜNVLPÖODV\RQ\D]ÜOÜPÜQÜQJHOLíWLULOPHVLNRQXOD
UÜQGDÁDOÜíPDODUGDEXOXQGXìXDQGD.D]DN
ÜQLVWDWLVWLNHðLWLPLGÜíÜQGDEDíOÜFD\D\ÜQ
YHDUDíWÜUPDDODQODUÜQÜPDWHPDWLNHðLWLPLWHNQRORMLGHVWHNOLÐðUHQPH\DSÜODQGÜUPDFÜ
YHVRV\RNÖOWÖUHOÐðUHQPHWHRULOHULROXíWXUPDNWDGÜU
$VXPDQ2NWDÁ2'7¶)HQ%LOLPOHUL(ðLWLPLEÐOÖPÖQÖELWLUGLNWHQVRQUDPDV
WHU YH GRNWRUDVÜQÜ $PHULND %LUOHíLN 'HYOHWOHULnQGH ,RZD ¶QLYHUVLWHVLnQGH 0DWHPDWLN
Ö]HULQH\DSWÜ'RNWRUDVRQUDVÜÁDOÜíPDODUÜQÜ.DQDGDnGDNL&RQFRUGLD¶QLYHUVLWHVLnQGH
\ÖUÖWWÖ 580(& ¶QLYHUVLWH GÖ]H\L 0DWHPDWLN (ðLWLPL $UDíWÜUPD JUXEX Ö\HVLGLU
+DOHQ0HNVLNDnGDNLOLVDQVÖVWÖGÖ]H\GHELUDUDíWÜUPDPHUNH]LRODQ&LQYHVWDY,31nGH
DUDíWÜUPDFÜSURIHVÐU RODUDN ÁDOÜíDQ $VXPDQ 2NWDÁ D\QÜ ]DPDQGD 0RQWUHDOnGHNL
4XHEHF ¶QLYHUVLWHnVLQLQ 0DWHPDWLN EÐOÖPÖQGH GH IDDOL\HWOHULQL oSURIHVVHXUH DVVR
FLÃHpRODUDNVÖUGÖUPHNWHGLU$UDíWÜUPDLOJLDODQODUÜOLQHHUYHVR\XWFHELUÐðUHQLPYH
ÐðUHWLPL Ö]HULQH RGDNODíPÜíWÜU =HNL ELUH\OHULQ PDWHPDWLN HðLWLPL NRQXVX LOH GH LOJL
OHQPHNWHGLU
Y
0HKPHW )DWLK °]PDQWDU \ÜOÜQGD 8OXGDð ¶QLYHUVLWHVL )HQ (GHEL\DW
)DNÖOWHVL0DWHPDWLNEÐOÖPÖQGHQPH]XQROGXNWDQVRQUD\ÜOÜQGD/HHGV¶QLYHU
VLWHVLQGH \ÖNVHN OLVDQVÜQÜ YH \LQH D\QÜ ¶QLYHUVLWHGH \ÜOÜQGD PDWHPDWLN HðLWLPL
DODQÜQGDGRNWRUDÁDOÜíPDVÜQÜWDPDPODPÜíWÜU0DWHPDWLNHðLWLPLDODQÜQGDÁDOÜíPDODUÜ
QDGHYDPHGHQ°]PDQWDUÐ]HOOLNOHPDWHPDWLNÐðUHQLPLYHÐðUHWLPLNRQXODUÜQDLOJL
GX\PDNWDGÜU°ðUHQLPLQNDOÜFÜOÜðÜÐðUHWLPLQHWNLQOLðLYHEXVÖUHÁOHUHGDKLORODQVRV
\DO NÖOWÖUHO YH WDULKVHO GLQDPLNOHU DUDVÜQGDNL LOLíNLOHU Ö]HULQH ÁDOÜíPDODU \DSDQ °]
PDQWDUKDOHQ*D]LDQWHS¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVLñONÐðUHWLP%ÐOÖPÖ0DWHPDWLN
(ðLWLPL$QDELOLP'DOÜQGDJÐUHY\DSPDNWDGÜU
%HKL\H8%8=2UWD'RðX7HNQLN¶QLYHUVLWHVL(ðLWLP)DNÖOWHVL2UWD°ðUHWLP
)HQ YH 0DWHPDWLN $ODQODUÜ (ðLWLPL %ÐOÖPÖ 0DWHPDWLN (ðLWLPL $QDELOLP 'DOÜQGD
ÐðUHWLP Ö\HVL RODUDN ÁDOÜíPDNWDGÜU \ÜOÜQGD 2UWD 'RðX 7HNQLN ¶QLYHUVLWHVL
(ðLWLP)DNÖOWHVL)HQ%LOLPOHUL(ðLWLPLEÐOÖPÖ0DWHPDWLN(ðLWLPL$QDELOLP'DOÜQGDQ
OLVDQVYH\LQHD\QÜÖQLYHUVLWHYHEÐOÖPGHQ\ÜOÜQGD0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGD
\ÖNVHN OLVDQV YH \ÜOÜQGD ñQJLOWHUH 1RWWLQJKDP ¶QLYHUVLWHVLQGHQ 0DWHPDWLN
(ðLWLPLDODQÜQGDGRNWRUDGHUHFHVLQLDOPÜíWÜU0DWHPDWLN(ðLWLPLDODQÜQGDÁDOÜíPDODUÜ
QDGHYDPHGHQ8%8=LOJLYHÁDOÜíPDDODQODUÜDUDVÜQGDÐðUHQPHYHÐðUHWLPH\ÐQH
OLN IDUNOÜ SHUVSHNWLIOHU YH \DNODíÜPODU ÐðUHWPHQ HðLWLPL YH PDWHPDWLN ÐðUHWLPL YH
ÐðUHQLPLQGHWHNQRORMLNXOODQÜPÜÐ]HOOLNOHÐQSODQDÁÜNDQDODQODUGÜU
øVPDLO °]JÖU =HPEDW PDWHPDWLN H÷LWLPLQGHNL VHUXࡇYHQLQH \ÕOOD
UÕQGD $QNDUD ¶QLYHUVLWHVL )HQ )DNXࡇOWHVLQGH EDúODPÕú YH \ÕOODUÕ DUDVÕQGD
D\QÕ NXUXPGD \XࡇNVHN OLVDQVÕQD GHYDP HWPLúWLU 6RQUDVÕQGD 0LOOÈ (÷LWLP %DNDQOÕ÷Õ
\XUWGÕúÕEXUVXLOHVHQHVLQGH$%'nGH3HQVLOYDQ\D'HYOHW¶QLYHUVLWHVLQGHGRN
WRUD\DEDúODPÕúWÕU\ÕOODUÕDUDVÕQGDEXXࡇQLYHUVLWHGHELU\DQGDQGRNWRUDVÕ
QÕ\DSDUNHQELU\DQGDQGDXOXVDOELUSURMHGHDUDúWÕUPDDVLVWDQOÕ÷ÕXࡇQLYHUVLWHGHÐ÷UH
WLP JÐUHYOLOL÷L YH EXOXQGX÷X úHKLUGHNL LON YH RUWDRNXOODUGD \DUGÕPFÕ PDWHPDWLN Ð÷
UHWPHQOL÷L \DSPÕúWÕU $÷XVWRV nWH \XUGD GÐQHUHN +DFHWWHSH ¶QLYHUVLWHVLQGH
Ð÷UHWLP JÐUHYOLVL RODUDN LúH EDúOD\ÕS XࡇÁ \ÕO ÁDOÕúWÕNWDQ VRQUD NDUL\HULQH \ÕOODUÕDUDVÕQGD\DUGÕPFÕGRÁHQWXQYDQÕ\OD$EX'KDELnGHNL%LUOHúLN$UDS(PLUOLNOHUL
¶QLYHUVLWHVLQGH GHYDP HWPLúWLU $÷XVWRV nGHQ EHUL DNDGHPLV\HQOL÷H GRÁHQW
XQYDQÕ\OD 0HYODQD ¶QLYHUVLWHVLQGH GHYDP HWPHNWHGLU øOJL DODQODUÕ DUDVÕQGD PDWH
PDWLN Ð÷UHWPHQ H÷LWLPL PDWHPDWLN Ð÷UHWPHQ ELOJLVL YH \DSÕODQGÕUÕOPDVÕ Ð÷UHQFL
DOJÕODUÕPDWHPDWLNVHONDYUDPODUÕQDQDOL]LYHJHOLúWLULOPHVLLOH\DSÕODQGÕUPDFÕOÕNNXUD
PÕEXOXQPDNWDGÕU
YL
TEìEKKÜR
Bu kitap bir yÜl süren titiz bir çalÜímanÜn neticesinde ve birçok kiíinin katkÜlarÜyla ortaya çÜkmÜítÜr. Bunlar arasÜnda bölüm yazarÜ arkadaílarÜmÜza, bölüm
yazÜmlarÜnda gösterdikleri yüksek performans, bu süreçte sergiledikleri profesyonel tutum ve diðer bölümler için yaptÜklarÜ hakemliklerden dolayÜ öncelikle teíekkür etmek isteriz. AlanÜnda uzman ve profesyonel böylesi bir ekip ile çalÜímak
bizim için büyük bir keyif oldu. Öte yandan kitapta yer alan birçok bölümü okuyarak çeíitli tavsiye ve önemli katkÜlarda bulunan deðerli öðretim üyesi arkadaílarÜmÜz Yrd. Doç. Dr. Ali BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Recep BñNDAK’a da yardÜmlarÜndan dolayÜ teíekkür ederiz. Arí. Gör. Ökkeí ESENDEMñR’e ise bölümlerin dizgiye hazÜrlÜðÜ sÜrasÜnda saðladÜðÜ yardÜmlardan dolayÜ teíekkür ederiz. Son
olarak bu kitabÜn basÜmÜnÜ gerçekleítiren PEGEM AKADEMñ yayÜnevine de göstermií olduklarÜ yakÜn iíbirliði ve profesyonellikten dolayÜ teíekkür ederiz.
Erhan BñNGÖLBALñ
Mehmet Fatih ÖZMANTAR
vii
ÖNSÖZ
Öðrencilerin karíÜlaítÜklarÜ matematiksel zorluklar ve sahip olduklarÜ kavram
yanÜlgÜlarÜ uzun bir süredir deðiíik ülkelerdeki matematik eðitimcilerinin ilgi odaðÜnÜ oluíturmuítur. Bu araítÜrmacÜlar öðrencilerin matematiksel zorluklarÜnÜ belirleme, anlama, anlamlandÜrma ve sebeplerini ortaya koyma yönünde birçok
çalÜíma yapmÜílardÜr. Bununla birlikte, matematik öðreniminde karíÜlaíÜlan zorluklarÜn aíÜlmasÜ yönünde de önemli uðraílar verilmiítir. YapÜlan bu araítÜrmalarla deðiíik seviyelerdeki öðrencilerin matematiðin birçok kavramÜna dair ne tür
öðrenme güçlükleri ile karíÜlaítÜklarÜ, sahip olduklarÜ kavram yanÜlgÜlarÜnÜn doðasÜnÜn ne olduðu ve bu yanÜlgÜlarÜn aíÜlmasÜ için nelerin yapÜlabileceði ile ilgili
kapsamlÜ bir ñngilizce literatür oluímuítur. Birçok ülkede matematik öðrenimi ve
öðretimi konusunda derin etkiler oluíturan bu literatürün, dilimize kazandÜrÜlmasÜnÜn önemine olan inancÜmÜz bu kitap çalÜímasÜnÜn ortaya çÜkmasÜna yol açmÜítÜr.
Bu kitap çalÜímasÜ, daha önce hazÜrladÜðÜmÜz “Matematiksel Kavram YanÜlgÜlarÜ ve Çözüm Önerileri” adlÜ kitap çalÜímasÜnÜn devamÜ niteliðindedir. Daha
önceki çalÜíma ortaöðretim seviyesindeki kavramlar üzerine yoðunlaíÜrken, bu
çalÜímada ilköðretim seviyesinde öðretilen kavramlar ele alÜnmÜítÜr. Fakat bu
kitap çalÜímasÜ bir çeviri mantÜðÜndan çok yapÜlan araítÜrmalarÜn bulgu ve sonuçlarÜnÜn incelenmesi ve sentezlenmesi sonucu ortaya çÜkmÜítÜr. ñlköðretim seviyesinde öðretilmekte olan matematik konularÜ arasÜndan seçilen kavramlar hakkÜnda yapÜlan çalÜímalar, kendi alanlarÜnda uzman ve tecrübeli araítÜrmacÜlar tarafÜndan titizlikle incelenmií ve bu kavramlara dair literatürde rapor edilen öðrenci
zorluklarÜ ve kavram yanÜlgÜlarÜ ortaya konulmuítur. Bu kapsamda, ele alÜnan
kavramlara dair öðrencilerin sergiledikleri algÜ biçimleri, bu algÜlarÜn niçin bir
yanÜlgÜ ya da zorluk oluíturduðu tartÜíÜlmÜí, söz konusu zorluklarÜn daha rahat
anlaíÜlmasÜ için örnekler sunulmuí ve bu zorluklarÜ ortaya çÜkaran nedenler irdelenmiítir. Belirtilen zorluklarÜn ve kavram yanÜlgÜlarÜnÜn aíÜlmasÜna dönük her
bölümde bir takÜm önerilere ayrÜca yer verilmiítir.
“ñlköðretimde KaríÜlaíÜlan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri” adlÜ
bu kitap çalÜímasÜyla Türkçe matematik eðitimi literatürüne katkÜda bulunmak
amaçlanmÜítÜr. Böylesi bir çalÜíma ile matematik eðitimcilerinin, halen hizmet
vermekte olan matematik öðretmenlerinin ve öðretmen adaylarÜnÜn faydalanabileceði bir eser oluíturarak, daha etkin bir matematik öðretiminin gerçekleímesine katkÜda bulunmuí olmayÜ ümit etmekteyiz.
Erhan BñNGÖLBALñ ve Mehmet Fatih ÖZMANTAR
Eylül 2009, Gaziantep
ix
ñKñNCñ BASKI ñÇñN ÖNSÖZ
“ñlköðretimde karíÜlaíÜlan matematiksel zorluklar ve çözüm önerileri” isimli
kitap çalÜímamÜzÜn ikinci basÜmÜnda siz deðerli okuyucularÜmÜzla yeniden buluímanÜn mutluluðunu yaíamaktayÜz. ñlk baskÜsÜnÜn bir yÜldan daha kÜsa bir sürede
tükenerek, ikinci baskÜsÜnÜn yapÜlmasÜ böylesi bir kitaba olan ihtiyacÜn bir göstergesi olduðu düíüncesindeyiz. Özellikle ilköðretim seviyesinde çeíitli matematiksel kavramlarÜn öðrenilmesinde sÜklÜkla karíÜlaíÜlan zorluklarÜ konu edinen bu
çalÜíma, matematik eðitimi alanÜnda akademik çalÜíma yapan ve konunun daha
çok teorik boyutuyla ilgilenen araítÜrmacÜlara olduðu kadar uygulamanÜn içinde
olan öðretmenlerimize de faydalÜ olmasÜ amaçlanarak oluíturulmuítu. Bu yüzden de çalÜímada karíÜlaíÜlan zorluklarÜn yanÜ sÜra bu zorluklarÜn aíÜlmasÜ için
çözüm önerileri de sunulmuítu.
KitabÜn ilk basÜmÜndan sonra, hem deðiíik üniversitelerimizde görev yapan
ve bu kitabÜ lisans ve yüksek lisans seviyesinde derslerinde kullanan meslektaílarÜmÜzdan ve hem de ilköðretim seviyesinde öðretim yapan sÜnÜf ve matematik
öðretmenlerinden yorum ve dönütler bizlere ulaímÜítÜr. Bu dönütler ise kitabÜmÜzÜn ortaya çÜkÜí amacÜna hizmet edecek nitelikte bir çalÜíma yapÜldÜðÜna dair yorumlar içermektedir. Ülkemizde oldukça yeni ve hÜzla geliíen bir çalÜíma alanÜ
olan matematik eðitimine böylesi bir eser ile katkÜda bulunmanÜn sevincini tüm
yazar arkadaílarÜmÜzla birlikte yaíamaktayÜz. Deðerli okuyucularÜmÜza bize verdikleri destekler ve yapÜcÜ yorumlarÜndan dolayÜ teíekkürü bir borç biliriz.
Erhan Bingölbali ve Mehmet Fatih Özmantar
A÷ustos 2010
x
ñÇñNDEKñLER
Özgeçmiíler........................................................................................................................... iii
Teíekkür .............................................................................................................................. vii
Önsöz.................................................................................................................................... ix
ñçindekiler.............................................................................................................................. xi
1. Bölüm
MATEMATñKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLERñ
VE ÇÖZÜM ARAYIìLARI
(ss: 1/30)
Girií .......................................................................................................................................1
Kavram YanÜlgÜsÜ Nedir? .........................................................................................................2
Kavram YanÜlgÜsÜnÜn Türleri Söz Konusu Mudur? ....................................................................6
AíÜrÜ Genelleme ...............................................................................................................6
AíÜrÜ Özelleme ..................................................................................................................9
Kavram YanÜlgÜlarÜnÜn Sebepleri Neler Olabilir?.....................................................................10
Kavram YanÜlgÜlarÜnÜn Epistemolojik Nedenleri ...............................................................11
Kavram YanÜlgÜlarÜnÜn Psikolojik Nedenleri .....................................................................14
Kavram YanÜlgÜlarÜnÜn Pedagojik Nedenleri.....................................................................18
Kavram YanÜlgÜlarÜnÜ Aímak Mümkün müdür? ......................................................................20
Sonuç ve Deðerlendirme .....................................................................................................27
Teíekkür ........................................................................................................................28
Kaynakça .............................................................................................................................28
2. Bölüm
TOPLAMA VE ÇIKARMA KAVRAMLARININ ÖïRETñMñ
VE ÖïRENCñ GÜÇLÜKLERñ
(ss: 31/61)
Girií .....................................................................................................................................31
Toplama ve ÇÜkarma ile ñlgili Problem Türleri .......................................................................33
Toplama ve ÇÜkarma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Geliíimleri ....................................36
FarklÜ Problem Türlerinde KaríÜlaíÜlan Güçlükler...................................................................37
Çok BasamaklÜ SayÜlarla Toplama ve ÇÜkarma .....................................................................39
Çok BasamaklÜ SayÜlarda Toplama ve ÇÜkarmaya Geçií .................................................39
Çok BasamaklÜ SayÜlarda Sembolik Toplama ve ÇÜkarma...............................................42
Sembolik Toplama ve ÇÜkarma ñílemlerinde Öðrenci HatalarÜ ve Kavram YanÜlgÜlarÜ.............45
Öðrenci Kavram YanÜlgÜlarÜ.............................................................................................45
Öðretim ProgramlarÜnda Toplama ve ÇÜkarma .....................................................................50
Deðerlendirme ve Sonuç ......................................................................................................57
Kaynakça .............................................................................................................................59
xi
3. Bölüm
ÖïRENCñLERñN KESñRLER
KONUSUNDAKñ KAVRAM YANILGILARI
(ss: 63/95)
Girií .....................................................................................................................................63
Yenilenen Müfredatta Kesirlerle ñlgili KazanÜmlar ............................................................65
Kesirlerde Kavram YanÜlgÜlarÜ ve Nedenleri ....................................................................66
Kesirin Öðretim Modelleri ..............................................................................................78
Sonuçlar ..............................................................................................................................92
Kaynakça ............................................................................................................................93
EK - Öðretmenler ñçin Kesirler Konusunda ñnternetteki Ücretsiz Elektronik Programlar ..........95
4. Bölüm
SAYILARDA BASAMAK DEïERñ KAVRAMI VE
ÖïRENCñLERñN YAìADIïI ZORLUKLAR
(ss: 97/126)
Girií .....................................................................................................................................97
Basamak Deðeri KavramÜ ve KÜsa Tarihçesi ..........................................................................99
Basamak Deðeri KavramÜnÜn Öðrencilerde Geliíimi ve ZorluklarÜn OlasÜ Nedenleri .............103
Basamak Deðeriyle ilgili KaríÜlaíÜlan Zorluklar, Hatalar ve Kavram YanÜlgÜlarÜ .....................105
Basamak Deðeri KavramÜnÜn Çokluk Deðerine ñndirgenmesi...............................................106
RakamÜn Basamak ve SayÜ Deðerlerinin AyÜrt Edilememesi ................................................108
Basamaklar ArasÜndaki ñliíkiyi Anlama ile ñlgili Güçlükler ....................................................109
SÜfÜrÜ Bir 'Yer Tutucu' Olarak Kabul Etmede KaríÜlaíÜlan Güçlükler ......................................111
10 ile Çarpmayla ñlgili Güçlükler.........................................................................................112
OndalÜk – Yerler ArasÜndaki ñliíkileri Belirleme Güçlüðü ......................................................113
OndalÜk SayÜlarda Basamak Deðeri ile ñlgili Güçlükler .........................................................114
Basamak Deðeri KavramÜ ile ñlgili KaríÜlaíÜlan ZorluklarÜ Engellemek ñçin Öneriler...............115
Gattegno TablolarÜ .......................................................................................................119
Basamak Deðeri (Gattegno) KartlarÜ .............................................................................121
Diðer Materyaller..........................................................................................................121
Sonuç.................................................................................................................................122
Kaynakça ...........................................................................................................................123
5. Bölüm
ÖLÇME, TEMEL BñLEìENLERñ VE SIK KARìILAìILAN
KAVRAM YANILGILARI
(ss: 127/154)
Girií ...................................................................................................................................127
Deðiíik AnlamlarÜyla Ölçme ...............................................................................................127
Ölçmenin Matematiksel YapÜsÜ......................................................................................128
FarklÜ Nitelikler, Birbirleriyle Olan ñliíkileri ve Genel YanÜlgÜlar ............................................130
Ölçme ile ñlgili SÜk KaríÜlaíÜlan YanÜlgÜlar .............................................................................133
Alan ile ñlgili Genel AlgÜlar ve YanÜlgÜlar ........................................................................133
xii
Hacim ile ñlgili Genel AlgÜlar ve YanÜlgÜlar ....................................................................137
Uzunluk ile ñlgili Genel AlgÜlar ve YanÜlgÜlar...................................................................141
Uzunluk Niteliði ve MEB ñlköðretim 1-5 Matematik ProgramÜnda Ele AlÜnÜíÜ ...........144
Ölçmenin YapÜsÜnÜ Dikkate Alan YapÜlandÜrmacÜ Bir Ders Örneði Önerisi ............................147
Sonuç.................................................................................................................................150
Kaynakça ...........................................................................................................................151
6. Bölüm
NEGATñF SAYILARA ñLñìKñN ZORLUKLAR,
KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN
GñDERñLMESñNE YÖNELñK ÖNERñLER
(ss: 155/186)
Girií ...................................................................................................................................155
Negatif SayÜ Nedir? ..........................................................................................................156
Negatif SayÜlarÜn Müfredattaki Yeri .....................................................................................157
Negatif SayÜlara ñliíkin Zorluklar ve Kavram YanÜlgÜlarÜ ......................................................159
Negatif SayÜlarÜn KavramlaítÜrÜlmasÜna ñliíkin Zorluklar........................................................159
Negatif SayÜlarda Toplama ve ÇÜkarma ñílemlerine ñliíkin Zorluklar.....................................160
Negatif SayÜlarda Çarpma ve Bölme ñílemlerine ñliíkin Zorluklar.........................................163
Kavram YanÜlgÜlarÜnda Öðretmen Bilgisinin Önemi .............................................................164
Çoklu Gösterim Modellerinin KullanÜlmasÜ ..........................................................................166
Negatif SayÜlarÜ AnlamlÜ Öðrenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler .......................................168
Negatif SayÜlarÜn AnlamlandÜrÜlmasÜ ...................................................................................168
Negatif SayÜlarda Toplama ve ÇÜkarma ñílemlerinin AnlamlandÜrÜlmasÜ ...............................171
Toplama ñílemi ............................................................................................................171
ÇÜkarma ñílemi .............................................................................................................172
Negatif SayÜlarda Çarpma ve Bölme ñílemlerinin AnlamlandÜrÜlmasÜ ...................................177
Sonuç.................................................................................................................................182
Kaynakça ...........................................................................................................................183
7. Bölüm
SñMETRñ KAVRAMININ ÖïRENñM
VE ÖïRETñMñNDE KARìILAìILAN ZORLUKLARIN
ANALñTñK BñR YAKLAìIMLA ñNCELENMESñ
(ss: 187/215)
Girií ...................................................................................................................................187
Simetri KavramÜnÜn DoðasÜ .................................................................................................190
Simetri KavramÜnÜn ñlköðretim Ders ProgramlarÜndaki Yeri .................................................194
Simetri KavramÜnÜn Öðreniminde KaríÜlaíÜlan Zorluklar ......................................................196
Simetri KavramÜnÜn Öðrenimini NasÜl KolaylaítÜrabiliriz .......................................................203
Sonuç ve Öneriler ..............................................................................................................211
Kaynakça ...........................................................................................................................213
xiii
8. Bölüm
OLASILIK KONUSU ÖïRENCñLERE NEDEN ZOR GELMEKTEDñR?
(ss: 217/239)
Girií ...................................................................................................................................217
OlasÜlÜklarÜ Tahmin Etme ve Deðerlendirme ........................................................................218
OlasÜ DurumlarÜ Belirleme ..................................................................................................222
OlasÜlÜkla ñlgili Temel KavramlarÜ Anlama ve Uygulama.......................................................223
OlasÜlÜk Çeíitlerini ve AralarÜndaki ñliíkiyi Anlama ...............................................................226
Teknoloji Destekli OlasÜlÜk Öðretimi ....................................................................................228
Sonuç.................................................................................................................................237
Kaynakça ...........................................................................................................................238
9. Bölüm
BñRñNCñ DERECEDEN TEK BñLñNMEYENLñ DENKLEMLER
ñLE ñLGñLñ KAVRAM YANILGILARI
(ss: 241/262)
Girií ...................................................................................................................................241
Cebirsel denklem çözümü öðrenciler için anlamlÜ bir etkinlik olabilir mi? .............................242
Kavram YanÜlgÜlarÜ ve ñlgili HatalarÜn Belirlenmesinin FaydalarÜ...........................................244
Denklem Çözümünde Eíitlik KavramÜnÜn Önemi ve Bununla ñlgili Kavram YanÜlgÜlarÜ .........248
Denklem BaðlamÜnda ñílemler ArasÜ ñliíkiler........................................................................250
Denklemlerin YapÜsÜ ve Eídeðer Denklemler .......................................................................251
Denklem Çözümü ve Getirdiði Zorluklar .............................................................................252
Deðiíken KavramÜnÜn Denklem KavramÜ Üzerindeki Etkisi ..................................................255
Çözüm Önerileri .................................................................................................................256
TartÜíma.............................................................................................................................258
Kaynakça ...........................................................................................................................260
10. Bölüm
ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖïRENñMñNDE
KARìILAìILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERñLERñ
(ss: 263/285)
Girií ...................................................................................................................................263
OrantÜsal Düíünebilme Yeteneði.........................................................................................264
Oran ve OrantÜ ...................................................................................................................265
Toplamsal ve ÇarpÜmsal ñliíkilendirme Yapabilme Yeteneði..........................................266
Nitel Muhakame ve Nicel Muhakeme ...........................................................................268
Oran KavramÜnÜn ñçerdiði Nitel ve Nicel (Kantatif) Muhakeme Çeíitleri .........................269
Nitel Muhakeme Çeíitleri..............................................................................................269
Nicel Muhakeme Çeíitleri .............................................................................................270
Dönüíüm (Transformasyon).........................................................................................272
Oran KavramÜnÜn OluíturulmasÜ Sürecinde KaríÜlaíÜlabilecek Muhtemel Kavram YanÜlgÜlarÜ..273
Toplamsal ve ÇarpÜmsal ñliíkilendirmeyle ñlgili Öðrenci YanÜlgÜlarÜ.................................273
xiv
Kovaryasyon ve Dönüíüm ile ñlgili Öðrenci YanÜlgÜlarÜ ..................................................274
Deðiímezlik Konusundaki YanÜlgÜlar .............................................................................276
Oran KavramÜnÜn OluíturulmasÜnda KaríÜlaíÜlabilecek Muhtemel Öðrenme ZorluklarÜ .........277
Oran Konusunda Kavram YanÜlgÜlarÜ ve Öðrenme ZorluklarÜ Üzerine Çözüm Önerileri........281
Sonuç ve Deðerlendirme ..............................................................................................282
Kaynakça ...........................................................................................................................283
11. Bölüm
MATEMATñKSEL PROBLEMLERñN ÖïRENñM VE ÖïRETñMñ
(ss: 287/312)
Girií ...................................................................................................................................287
Problem ve Problem Çözme Nedir?....................................................................................290
Problem Türleri ..................................................................................................................291
Problem Çözme Sürecinde Takip Edilen Aíamalar .............................................................294
Problem Çözme Stratejileri .................................................................................................296
Tahmin-Kontrol Stratejisi .............................................................................................296
Geriye Doðru ÇalÜíma Stratejisi ...................................................................................297
TümevarÜmcÜ Düíünme Stratejisi (Looking for Pattern).................................................299
Problem Çözme Konusunun Öðretimi NasÜl YapÜlmalÜdÜr?...................................................300
Üst Biliísel Yetenek ve Problem Çözme .......................................................................305
Sonuç ve Öneriler ..............................................................................................................308
Kaynakça ..........................................................................................................................310
12. Bölüm
ETKñNLñK TASARIMI VE TEMEL TASARIM PRENSñPLERñ
(ss: 313/348)
Girií ...................................................................................................................................313
Etkinlik Nedir?....................................................................................................................314
Etkinlik (Task) Türleri .........................................................................................................317
Matematiksel objeleri sÜnÜflandÜrma ...............................................................................317
FarklÜ gösterimlerin yorumlanmasÜ ................................................................................318
Matematiksel ifadeleri deðerlendirmek ..........................................................................319
Öðrencinin kendi problemini oluíturmasÜ ve çözmesi ....................................................320
Çözüm ve Gerekçeleri Analiz Etme...............................................................................321
Var olan problem durumlarÜndan genellemeler yapmak................................................321
Etkinlik TasarÜm Prensipleri ................................................................................................321
Etkinliðin AmacÜ ...........................................................................................................323
SÜnÜf Yönetimi ..............................................................................................................330
Etkinliðin Birden Fazla BaílangÜç NoktasÜna Sahip OlmasÜ ............................................333
KullanÜlacak Materyaller/Araçlar ...................................................................................335
Öðretmen ve Öðrenci Rolleri ........................................................................................337
Öðrencilerin Ön Bilgileri ...............................................................................................338
Öðrenci Zorluk ve YanÜlgÜlarÜ ........................................................................................339
Ölçme Deðerlendirme ..................................................................................................340
xv
Uygulamada Dikkat Edilecek BazÜ Noktalar ........................................................................341
Esneklik........................................................................................................................341
Öðrencilerin Dikkatlerini Yönlendirme (shift of attention)..............................................342
Alana Özgü Uygun Dil Geliítirme .................................................................................344
Sonuç.................................................................................................................................344
Teíekkür ............................................................................................................................345
Kaynakça ..........................................................................................................................345
xvi
1. Bölüm
MATEMATñKSEL KAVRAM
YANILGILARI: SEBEPLERñ VE
ÇÖZÜM ARAYIìLARI1
Erhan Bingölbali
Mehmet Fatih Özmantar
Bu bölümde matematiksel kavram yan×lg×lar× ve bu yan×lg×lar×n
giderilebilmesine yönelik çözüm aray×ülar× üzerinde durulmaktad×r.
Bunun için öncelikle kavram yan×lg×s×, hata ve zorluk terimlerinin ne
anlama geldiùi ve bunlar aras×nda ne tür bir iliükinin söz konusu olduùu
aç×klanm×üt×r. Daha sonra kavram yan×lg×lar×n×n türlerinden bahsedilmiü
ve bu türler matematiùin deùiüik konular×ndan seçilen kavramlarla
örneklendirilmiütir. Ayr×ca kavram yan×lg×lar×n× ortaya ç×karan
epistemolojik, psikolojik ve pedagojik sebepler incelenmiütir. Matematiksel
yan×lg× ve zorluklar×n aü×lmas× için öùretim sürecinde neler yap×labileceùi
konusunda bir deùerlendirme yap×larak, bu kapsamda örnek etkinlikler
sunulmuütur.
Giriú
Öùrenciler matematiùi öùrenmede neden zorlanmaktad×rlar? Öùrenciler matematik öùreniminde neden kavram yan×lg×s×na düümektedirler? Öùrenciler baz× matematiksel hatalar× neden sistematik bir üekilde yapmaktad×rlar? Matematiksel zorluklar×n aü×lmas× ve kavram yan×lg×lar×n×n engellenmesi için neler yap×labilir?
Bu ve benzeri sorular özellikle son 40 y×ld×r deùiüik ülkelerdeki matematik eùitimcilerinin ilgisini çekmiü ve birçok araüt×rmaya yön vermiütir.
Bu çalÕúma TÜBøTAK tarafÕndan desteklenen bir proje sonucu olarak ortaya çÕkmÕútÕr (proje numarasÕ:
108K330).
1
2
úlköùretimde Karü×laü×lan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri
Matematik eùitimcilerinin matematik öùreniminde karü×laü×lan zorluklarla
ilgili yukar×da belirtilen sorular eksenli yapt×klar× araüt×rmalar incelendiùinde, karü×m×za birbirini tamamlayan ve k×smen de takip eden iki araüt×rma
temas× ç×kmaktad×r. Bunlardan birincisi problemi belirleme ve anlamland×rma, ikincisi ise çözüm üretme temas×d×r. Matematik eùitimi literatüründe
kavram-eksenli yap×lan ve öùrencilerin karü×laüt×klar× zorluklar×n, kavram
yan×lg×lar×n×n, hatalar×n ve bunlar×n nedenlerinin araüt×r×ld×ù× çal×ümalar
(örneùin kesirlerle alakal× öùrenci zorluklar×, kavram yan×lg×lar×, hatalar× ve
bunlar×n nedenleri) problemi belirleme ve anlamland×rma temas× çal×ümalar×na örnek olarak gösterilebilir. Çözüm üretme temas× çerçevesinde yer alan
çal×ümalar ise öùrencilerin karü×laüt×klar× zorluklar×n aü×lmas×na yönelik olarak nelerin yap×labileceùi konusu üzerinde durmaktad×rlar. Matematik öùretiminde çoklu temsillerin kullan×m× (cebirsel, tablo, grafik), teknolojinin
öùretime entegre edilmesi, öùrenci zorluklar× göz önünde bulundurularak
etkinliklerin tasarlanmas×, öùretmen eùitimi ve mesleki geliüimine yönelik
yap×lan araüt×rmalar çözüm üretme temas×na örnek gösterilebilecek çal×ümalard×r.
Matematik eùitimi çal×ümalar×nda ön plana ç×kan bu iki ana tema, öùrencilerin matematiksel zorluklar×n×, kavram yan×lg×lar×n× ve hatalar×n× anlamland×rmay× ve bunlar için çözüm olabilecek öneriler sunmay× amaçlayan
bu bölüm yaz×m×nda rehber olarak kullan×lacakt×r. Bu kapsamda öncelikle
matematiksel zorluk, kavram yan×lg×s× ve hata kavramlar×, kavram yan×lg×s×
ile iliükilendirilerek tan×t×lacakt×r. Daha sonra kavram yan×lg×s× türleri iülenecektir. Ayr×ca öùrencilerin karü×laüt×klar× zorluklar×n ve kavram yan×lg×lar×n×n nedenleri konusu ele al×nacakt×r. Son olarak karü×laü×lan zorluklar×n
aü×lmas×na yönelik çözüm olabilecek öneriler üzerinde durulacakt×r.
Kavram YanÕlgÕsÕ Nedir?
Matematik eùitimi literatüründe matematik öùreniminde karü×laü×lan
zorluklar× ifade etmek için birçok deùiüik terimin, çoùu zaman da birbirlerinin yerine, kullan×ld×ù× görülmektedir. “Zorluk” (difficulty), “kavram yan×lg×s×” (misconception) ve “hata” (error) terimleri öùrencilerin matematik
öùreniminde yaüad×klar× güçlüklerin ifade edilmesinde en s×k kullan×lanlar
aras×nda gelmektedir.
“Zorluk” kapsaml× bir kavram olup, öùrencilerin matematik öùrenimi
ile ilgili yaüad×klar× güçlükleri genel anlamda ifade etmek için kullan×lan bir
terimdir. Bu özelliùinden dolay× kavram yan×lg×s× ve hatay× da içeren bir
kavramd×r. “Zorluk” teriminin genel ve kapsay×c× bir ifade olarak kullan×lmas× kanaatimizce bu terimi öùrencilerin öùrenme güçlüklerini anlamlan-
Matematiksel Kavram Yan×lg×lar×: Sebepleri ve Çözüm Aray×ülar×
3
d×rmada ve çözümlemede yetersiz de k×lmaktad×r. Zorluk teriminin bu özelliùinden ötürü öùrencilerin karü×laüt×klar× güçlükler daha çok “kavram yan×lg×s×” terimi ekseninde incelenecektir. Zorluk ve hata terimlerinin anlaü×lmas×n× da mümkün k×lacaù×n× düüündüùümüz bu inceleme, öncelikle kavram
yan×lg×s×n×n ne olduùunun aç×klanmas×n× gerekli k×lmaktad×r.
Mevcut literatüre bak×ld×ù×nda kavram yan×lg×s×n× (misconception) ifade
etmek için birçok deùiüik terimin kullan×ld×ù× görülmektedir. Bunlar aras×nda “ön kavray×ü” (preconceptions), “alternatif kavray×ü” (alternative
conceptions), “olgunlaümam×ü kavray×ü” (naive conceptions) terimleri örnek
olarak verilebilir (Clement, 1982; Hewson ve Hewson, 1984; McCloskey,
1983; daha fazla detay için, bknz, Zembat, 2008a). Bu terimler yak×ndan
incelendiùinde iki önemli husus ön plana ç×kmaktad×r. Birincisi bu terimler
asl×nda örtük de olsa uzman bilgisinden farkl× olan veya bilimsel olarak kabul edilen bir kavray×ütan uzak olan kavray×ülar× ifade etmek için kullan×lmaktad×r. Bu anlamda kavram yan×lg×s× “bir konuda uzmanlar×n (expert)
üzerinde hemfikir olduklar× görüüten uzak kalan alg× ya da kavray×ü
(conception)”olarak kullan×lmaktad×r (Zembat, 2008a, s.2). úkincisi husus
ise Hammer’×n (1996) da belirttiùi gibi “kavray×ü (conception)” teriminin bu
terimlerin hepsinin özünü ve esas×n× oluüturmas×d×r. Her iki husus da asl×nda kavram yan×lg×s× teriminin anlaü×lmas×nda “kavray×ü” teriminin önemli
rolüne iüaret etmektedir.
Bu baùlamda Smith, diSessa ve Roschelle (1993, s.119) kavray×ü teriminin kavram yan×lg×s×n×n anlamland×r×lmas×ndaki rolüne iüaret etmiü ve kavram yan×lg×s×n× “sistematik bir üekilde hata üreten öùrenci kavray×ü×” olarak
tarif etmiütir. Bu aç×dan, Zembat’×n da (2008b, s.42) belirttiùi gibi, kavram
yan×lg×s× “basit hatadan çok sistemli bir üekilde insan× hataya teüvik eden alg×
biçimidir.” Buradan da anlaü×lmaktad×r ki öùrencilerin sistematik olarak
yapt×klar× hatalar s×radan yap×lan bir iülem hatas×ndan farkl× olup, kendisini
ortaya ç×karan ve kontrol eden derin bir kavray×ü×n, bir mana sisteminin
(Nesher, 1987), bir biliüsel yap×n×n (cognitive structure) (Oliver, 1989) ya da
bir kavram yan×lg×s×n×n varl×ù×na iüaret etmektedir. Baüka bir deyiüle öùrencilerin yapt×klar× hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün oluümas×n×
kontrol eden ve oluümas×na kaynakl×k eden bir kavram yan×lg×s× söz konusudur (Nesher, 1987).
Sistemli bir üekilde insan× hataya teüvik eden bir kavray×ü biçimi olarak
kabul ettiùimiz kavram yan×lg×s×n×n ve ayr×ca hata ile olan iliükisinin daha iyi
anlaü×lmas× için aüaù×daki örneùi yak×ndan inceleyelim. Ele alacaù×m×z örnek
öùrencilerin s×kça kavram yan×lg×s×na sahip olduùu ve neticesinde de hatalar
yapt×klar×, deùiüik ülkelerdeki birçok araüt×rmac× taraf×ndan da ortaya konulan, ondal×k say×lara iliükindir (Nesher, 1987).
4
úlköùretimde Karü×laü×lan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri
Ondal×k say×lar×n büyüklüklerinin karü×laüt×r×lmas×n×n araüt×r×lmas×
amaçlanan bir çal×ümada 6., 7., 8., ve 9. s×n×ftaki öùrencilere aüaù×da sunulan
(Tablo 1) ondal×k say×lar×n hangisinin daha büyük olduùu sorusu yöneltilmiütir (Nesher ve Peled, 1984; Nesher, 1987). Araüt×rma neticesinde bu
soruya birçok öùrencinin hatal× cevap verdikleri ortaya ç×km×üt×r. Aüaù×da bu
araüt×rman×n ortaya ç×kard×ù× öùrenci hatalar×n×n bir k×sm×n× temsil etme
özelliùine sahip olan iki öùrenci cevab× kavram yan×lg×s× ve hata iliükisi aç×s×ndan ele al×nm×ü ve bu hatalar×n ortaya ç×kmas×na kaynakl×k eden öùrenci
kavray×ülar× yak×ndan incelenmiütir.
Durum 1
0.4
0.234
Durum 2
0.4
0.675
Tablo 1.1. Ondal×k say×lar×n karü×laüt×r×lmas×
Durum 1 ve Durum 2’de verilen ondal×k say×lar×n hangisinin daha büyük olduùu sorusunun yöneltildiùi öùrencilerden biri, Durum 1’de 0.234
ondal×k say×s×n×n 0.4 ondal×k say×s×ndan daha büyük, Durum 2’de ise 0.675
ondal×k say×s×n×n 0.4 ondal×k say×s×ndan daha büyük olduùunu belirtmiütir.
Bu cevap Durum 1 için yanl×ü (hatal×) iken, Durum 2 için ise doùrudur. Peki
öùrencinin verdiùi cevaplar×n alt×nda yatan neden ya da nedenler nelerdir?
Ya da yukar×da tan×tt×ù×m×z kavramlardan faydalanacak olursak, öùrencinin
verdiùi doùru ve hatal× cevaplara kaynakl×k eden mana sistemi, biliüsel yap×
veya kavram yan×lg×s× nedir? Ayr×ca verilen cevaplara dayal× olarak bu öùrencinin ne ölçüde ondal×k say×larda s×ralamay× bildiùini söyleyebiliriz?
Bu ve benzer sorulara cevaplar ancak ilgili öùrenci ile yap×lacak mülakatlarla elde edilebilir ya da hakk×nda fikir sahibi olunabilir. Nitekim bu
araüt×rmac×lar da yapt×klar× araüt×rman×n devam×nda öùrenci ile verdiùi cevaplar üzerinde mülakatlar yapm×ü ve bu mülakatlarda öùrencinin her iki
durum için de üu üekilde aç×klamalar yapt×ù× görülmüütür: “çok rakam içeren say× daha büyüktür (ondal×k say×daki noktadan sonra)”. Öùrenciye ondal×k say×lar×n büyüklüklerini karü×laüt×rmada rehberlik eden bu kavray×ü ya
da prensip Durum 1’de yanl×ü bir cevap vermesine yani hata yapmas×na yol
açarken, tam tersine Durum 2’de ise doùru bir cevap sunmas×na izin vermiütir. Buradan da anlaü×lmaktad×r ki bu öùrenci ondal×k say×lar×n karü×laüt×r×lmas×nda “(ondal×k say×daki noktadan sonra) çok rakam içeren say× daha
büyüktür” ya da “uzun say×lar deùerce daha büyüktür” üeklinde bir kavram
yan×lg×s×na sahiptir. Dolay×s×yla burada ortaya ç×kan sadece basit bir hata
olmay×p, o hatan×n oluümas×na kaynakl×k eden ve o hatay× sistematik bir
hale getiren veya getirebilecek olan “çok rakam içeren say× daha büyüktür”
gibi bir kavram yan×lg×s× söz konusudur. Ondal×k say×lar×n büyüklüklerinin
Matematiksel Kavram Yan×lg×lar×: Sebepleri ve Çözüm Aray×ülar×
5
karü×laüt×r×lmas×na iliükin sahip olunan bu tür bir kavram yan×lg×s× benzeri
sorularda yine hata yapmaya sevk edeceùi öngörülebilir. Örneùin bu kavram
yan×lg×s× 3.57 ondal×k say×s×n×n 3.7 ondal×k say×s×ndan daha büyük olduùu
yönünde hatal× bir cevaba da neden olabilecektir.
Nesher’in (1987) çal×ümas×na kat×lan bir baüka öùrenci ise ilkinin aksine
0.4 ondal×k say×s×n×n hem 0.234 hem de 0.675 ondal×k say×s×ndan daha büyük
olduùunu belirtmiütir. Bu cevap Durum 1 için doùru iken, Durum 2 için
yanl×ü yani hatal×d×r. Peki, burada verilen hatal× cevab×n arkas×nda yatan
kavram yan×lg×s× acaba ne olabilir? Bu öùrenci ile verdiùi cevaplar üzerine
yap×lan mülakatlarda her iki durum için de üu üekilde bir gerekçe sunulduùu
görülmüütür: “onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de
sadece onda birlere sahip olan az basamakl× (k×sa) say× daha büyüktür”.
Baüka bir deyiüle bu öùrenciye ondal×k say×lar×n büyüklüklerinin karü×laüt×r×lmas×nda rehberlik eden kavray×ü ya da prensip (ki biz buna ayn× zamanda
kavram yan×lg×s× diyoruz) “az rakam içeren say× deùerce daha büyüktür”
kavray×ü× olmuütur.
ûimdi ikinci öùrencinin yapt×ù× hatay×, sahip olduùu bu kavram yan×lg×s×
×ü×ù×nda tekrar ele alal×m. Mülakat sonuçlar×nda bu öùrencinin ondal×k say×lar×n karü×laüt×r×lmas×na iliükin olarak “onda birler binde birlerden daha
büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl× (k×sa) say× daha büyüktür” ya da daha genel bir ifade ile “az rakam içeren say×
deùerce daha büyüktür” üeklinde bir kavram yan×lg×s×na sahip olduùu görülmektedir. Bu kavram yan×lg×s× 0.4 ondal×k say×s×n×n 0.675 ondal×k say×s×ndan daha büyük olduùu üeklinde bir hataya yol açm×üt×r. Çünkü bu öùrencinin sahip olduùu kavram yan×lg×s×na göre 0.4 ondal×k say×s×nda, ondal×k say×daki noktadan sonra sadece 4 say×s× vard×r ve bu 4 say×s× ondal×k say×daki
onda birlerdir. Öte yandan 0.675 ondal×k say×s×nda ondal×k say×daki noktadan sonra 675 say×s× vard×r ve bu say× ondal×k say×daki binde birlerdir. Bu
öùrencinin sahip olduùu kavray×üa göre, ondal×k say×larda onda birler, binde
birlerden büyük olduùu için (1/10>1/1000 ) 0.4 ondal×k say×s× da 0.675 ondal×k say×s×ndan daha büyük olmak zorundad×r. Dolay×s×yla burada sergilenen
s×radan ve basit bir hata olmay×p, bu hatan×n ortaya ç×kmas×na kaynakl×k
eden bir kavram yan×lg×s×n×n varl×ù× söz konudur.
Burada ayr×ca not etmekte fayda vard×r ki öùrencilerin sahip olduùu
kavram yan×lg×lar× bazen doùru sonuçlara ulaümalar×n× da saùlayabilmektedir. Nitekim bu öùrencinin sahip olduùu kavram yan×lg×s× 0.4 ve 0.675 say×lar×n×n karü×laüt×r×lmas×nda hata yapmas×na neden olurken 0.4 ve 0.234 say×lar×n×n karü×laüt×r×lmas×nda ise doùru cevap vermesine neden olmuütur. Sadece 0.4 ve 0.234 ondal×k say×lar× ve benzerlerinin karü×laüt×r×lmas× üzerinden
öùrencinin cevab× deùerlendirilseydi, ondal×k say×larda s×ralama konusunun

1. Sınıf

16 Ekim 2014 Perşembe - Polatlı Gazete Ayrıntı

grupla psikolojik danışma ve rehberlik programları ııı