OLASILIK Yrd. Doç. Dr. Esra KÜRÜM
25.09.2014 Kavramlar •  Deney (Experiment): Bir ak(vitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. Örnek: para atmak. •  Örneklem Uzayı (Sample space): Bir deneyin mümkün olan tüm sonuçlarının oluşturduğu gruptur, S ile gösterilir. Örnek: zar atmak. •  Olay (Event): Örneklem uzayının bir alt se(dir. Örneklem uzayındaki bir ya da daha fazla elemanı kapsayabilir. Örnek: AElan iki zarın toplamının 4 olması. •  Olayların birleşimi, kesişimi, tümleyeni. Kavramlar •  Bağımsız olaylar (Independent events) •  Bağımlı olaylar (Dependent events) •  Ayrık olaylar (Mutually exclusive events) Olasılık •  Bir olayın gerçekleşme ih(malinin ölçülmesine olasılık denir. •  Herhangi bir E olayı için bu olayın olması olasılığı P(E) ile gösterilir. •  Bir olayın olasılığı E’deki sonuç sayısının örneklem uzayındaki toplam sonuç sayısına oranıdır. Olasılık Aksiyomları •  Her olayın olma olasılığı, 0≤P(a). •  P(S) = 1. •  Ayrık ve sınırsız sayıdaki olayların olma olasılığı toplamlarına eşiWr: Kurallar •  Boş kümenin olasılığı sıXrdır. •  Her olay için P(E) = 1-­‐P(E’). •  İki olayın birleşimi P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). •  Ayrık olayların birleşimi (Toplama kuralı) •  Bağımsız olayların kesişimi ve birleşimi. Örnek •  Bir paranın üç̧ kez aElması deneyinde bir kez tura gelmesi, en az iki yazı gelmesi ve hiç̧ tura gelmemesi olasılıklarını bulunuz. •  İki zarın aynı anda bir kez aElması deneyinde zarların üzerindeki rakamların toplamının 7 ya da 10 olması olasılığını bulunuz. •  Bir para ard arda iki kez aEldığında A=ilk aEşta tura gelmesi olayı ve B=ikinci aEşta tura gelmesi olasılığı ise A ve B olayları bağımsız olaylar mıdır? Örnek Employment Status Popula(on Hearing Impairment due to injury Currently Employed 98,917 552 Currently unemployed 7462 27 Not in labor force 56,778 368 Total 163,517 947 E1: Currently unemployed, P(E1) = H: Hearing Impairments due to injury, P(H) = E2: Currently employed, P(E2) = Probability of an individual having a hearing impairment and being unemployed. •  Probability of an individual having a hearing impairment and being employed. • 
• 
• 
• 
Koşullu olasılık (Conditional Probability) •  Eğer bir A olayının olması B olayının olmasına bağlı ise, yani A olayı B olayından sonra gerçekleşiyor ise buna koşullu olasılık denir. Bir A olayının koşullu olasılığı P(A|B) ile gösterilir. Bu ifade bize B olayı gerçekleş(ği tak(rde A olayının olması olasılığını verir. P(A|B)=P(A ∩ B) / P(B) •  Olasılığın çarpma kuralı: •  Eğer A ve B olayları birbirine bağlı ise P(A|B) = Örnek Employment Status Popula(on Hearing Impairment due to injury Currently Employed 98,917 552 Currently unemployed 7462 27 Not in labor force 56,778 368 Total 163,517 947 •  E1: Currently unemployed, E2: Currently employed, E3: Not in labor force, H: Hearing Impairments due to injury. •  Find the probability of an individual having a hearing impairment given that s/he is •  unemployed. •  employed. •  not in the labor force. •  Probability of an individual being unemployed given that s/he has hearing impairment. Toplam olasılık yasası •  A1, … Ak ayrık ve bütün evreni kaplayan olaylar olduğu varsayılırsa, herhangi bir B olayı için •  P(B) = Bayes teoremi t A1 , . .• . ,Bir Ak obe
mutually
exclusive
and exhaustive
events
witheP(A
> 0 for
layın oluşmasında birden fazla bağımsız neden tkili i i)se = 1, 2, . . .bu , k.nedenlerden herhangi birinin o olayı oluşturmuş olması ih(malini bulmaya yarayan bir teknik(r. en for any event B for which P(B) > 0,
P(Aj |B) =
= 1, 2, . . . , k.
P(Aj \ B)
P(B|Aj )P(Aj )
= Pk
P(B)
i=1 P(B|Ai )P(Ai )
•  A1, … Ak ayrık ve bütün evreni kaplayan ve olasılıkları sıXrdan büyük olaylar olmalıdır. •  P(B)>0 olmalıdır. Örnek •  Bir fabrikada üre(len mikroçipler 3 kutuda toplanmaktadır. 1. kutu 1. vardiyada üre(len 25 mikroçipi, 2.kutu 2. vardiyada üre(len 35 mikroçipi, 3. kutu 3. vardiyada üre(len 40 mikroçipi bulundurmaktadır. Kutularda sırasıyla 5, 10, ve 5 bozuk mikroçip vardır. A olayı dene(m sırasında bozuk bir mikroçipin seçilmesi, B1, B2 ve B3’de sırasıyla 1., 2., ve 3. kutunun seçilmesi olaylarıdır. •  Bozuk bir mikroçipin seçilme olasılığı nedir? Kutuların seçilme olasılıkları birbirine eşiWr. •  Eğer bozuk bir mikroçip seçildiği biliniyorsa, bu mikroçipin 1. kutudan gelme olasılığı nedir? Örnek •  1992 yılında Amerika Birleşik Devletlerinde 4.065.014 doğum olmuştur. Bu doğan çocuklardan 2.081.287’si erkek, 1.983.727’si kızdır. •  B: bir çocuğun erkek olma olayı, P(B). •  G: bir çocuğun kız olma olayı, P(G). •  P(B ∩ G) ve P(B ∪ G). Örnek •  1992 yılında Amerika Birleşik Devletlerinde 4.065.014 doğum olmuştur. Bu doğan çocuklardan 2.081.287’si erkek, 1.983.727’si kızdır. •  B1: 1. kadının erkek çocuğu olması, B2: 2. kadının erkek çocuğu olması. •  G1: 1. kadının kız çocuğu olması, G2: 2. kadının kız çocuğu olması. •  P(B1 ∩ G2). •  A: en az bir erkek ise P(B1 ∩ B2|A). •  Birbirlerine bağlı olan A, B ve C olaylarının aynı anda olması olasılığını nasıl hesaplayacağımızı gösteriniz. 

Olasılık

Olasılık Çalışma Kağıdı-1

Sürekli Olasılık Dağılım Modelleri (30.10.2014)

olasılık dağılımları