BERNOULLİ DİFERANSİYEL DENKLEMİ
y' Px y  Qx y n
şeklindeki diferansiyel denkleme Bernoulli diferansiyel denklemi denir.
Çözüm aşamasında denklemin her iki tarafı yn ile bölünür.
1
1 n


y
'

P
x
y
 Q x 
n
y
u  y1n
u'  1  ny  n y'
daha sonra
dönüşümü ile
u'1  nPx u  1  nQx  doğrusal denklem formuna dönüştürülür.
Soru 1
y' y  y 3 x denkleminin genel çözümünü bulunuz.
1
1
y
'

x
3
2
y
y
u'2u  0
1
u 2
y
du
 2u
dx
u  C ( x)e 2 x
u'  C ' ( x)e2 x  2C ( x)e2 x
2
u'   3 y'
y
du
 2dx  ln C
u
u'
u  x
2
u'2u  2 x
ln u  2 x  ln C
u  Ce 2 x

C ' ( x)e2 x  2C ( x)e2 x  2C ( x)e2 x  2 x
C ' ( x)  2 xe 2 x
1
 x

C ( x)  2 e 2 x   e 2 x dx   A
2
 2

1


u   xe 2 x  e 2 x  A e 2 x
2


1
1
2x

x


Ae
y2
2
Soru 2
y'3xy  xy 2 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
1
3x
y
'

x
2
y
y
u'3xu  0
u  C ( x )e
3
u  C ' ( x )e
u
1
y
du
 3xu
dx
u'  
du
 u    3x.dx
x2
2
3
x2
2
 3x.C ( x)e
3
C ' ( x )e
x2
2
3
x2
2
 1 3x
 3 x
u    e 2  A e 2
 3



u'3xu   x
x2
ln u  3  ln C
2
 3xC ( x)e
C ' ( x)   xe
2
1
y'
2
y
x2
3
2
x2
2
 3xC ( x)e
1
C ( x)   e
3
2
1
 Ae
y
3
3
x2
2

1
3
3
u  Ce
3
x2
2
x2
2
 x
A
3
x2
2
Soru 3
y 3 y '
uy
4
1 4 sin x
y  4 denkleminin genel çözümünü bulunuz.
x
x
u'  4 y y'
3
u' 1
sin x
 u 4
4 x
x
4
sin x
u ' u  4 4
x
x
Yukarıdaki lineer diferansiyel denklemi çözüldüğünde:
u
 4 cos x  A
x4
y4 
 4 cos x  A
x4
Soru 4
4  x y'4 y  2  xy
2
4  x2
4
y
'

 2  x 
2
y
y
u
1
y
2
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
u'  
1
y'
2
y

Yukarıdaki lineer diferansiyel denklemi çözüldüğünde:

 x  2 
x2

u   2 x   C 

2
x

2



y
x2


x2
x  2 2 x   C 
2



 4  x 2 u'4u  2  x
Example
Örnek Soru-1
Örnek Soru-2

Kazanım: Doğrusal denklemleri ve grafikleri açıklar. 1. 3x

Bir Cosecant Eşitliği

Konuşma Özet