Bir Cosecant Eşitliği

COSECANT EŞİTLİĞİ
Abdilkadir ALTINTAŞ
Emirsağ MZS Anadolu Lisesi
apollonius03 @gmail.com
Problem. cosec 6° + cosec 78° − cosec 42° − cosec 66° = 8 olduğunu gösteriniz.
Çözüm. x = 6°, 78°, −42°, −66°, ve 30° için sin 5x = ½. dir. O halde sin 5x i sin x
cinsinden ifade edelim. De Moivre Teoreminden,
cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)n
n=5 alınırsa,
sin 5x = sin5x − 10 sin3x cos2x + 5 sin x cos4x
= sin5x − 10 sin3x (1 − sin2x) + 5 sin x (1 − sin2x)2,
( sin2x + cos2x = 1)
= 16 sin5x − 20 sin3x + 5 sin x
s = sin x olsun. sin 6°, sin 78°, −sin 42°, −sin 66°, ve sin 30° = ½, sayıları
16s5 − 20s3 + 5s = ½,
veya
32s5 − 40s3 + 10s − 1 = 0
denkleminin çözümleridir. s = ½ denklemin çözümü olduğundan ifade,
(2s − 1)(16s4 + 8s3 − 16s2 − 8s + 1) = 0
biçiminde çarpanlarına ayrılır. Bu denklemin kökleri sin 6°, sin 78°, −sin 42°, ve
−sin 66° dir. s = 0 denklemin kökü olmadığından ifadeyi s4 ile bölüp, t = 1/s,
dönüşümü ile kökleri cosec 6°, cosec 78°, −cosec 42°, ve −cosec 66° olan
t4 − 8t3 − 16t2 + 8t + 16 = 0
denklemi elde edilir. Vieta formüllerinden kökler toplamı,
cosec 6° + cosec 78° − cosec 42° − cosec 66° = 8
dir.

Download Report