¨ Mukavemet - C ¸ o¨z¨uml¨u Ornekler Rasim Temur Mayıs 2014 B¨ ol¨ um 1 D¨ uzlem Gerilme 2 D¨ uzlem Gerilme 1.1 Mukavemet ¨ Ornek 15 S ¸ ekilde g¨ or¨ ulen gerilme hˆalinde; σx = 50 N/mm2 σy = 0 N/mm2 τxy = -15 N/mm2 ’dir. 50 a. Normali yatay eksenle 30◦ ’lik a¸cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmelerini; b. Asal normal gerilmeleri ve do˘ grultularını; c. Asal kayma gerilmelerini hesaplayınız. a. Normali yatay eksenle 30◦ ’lik a¸ cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmeleri : σ de˘gerinin hesaplanması: τ de˘gerinin hesaplanması: σ= σx + σy σx − σy + · cos 2ϕ + τxy · sin 2ϕ 2 2 τ =− σx − σy · sin 2ϕ + τxy · cos 2ϕ 2 σ= 500 50 + 0 + · cos 60 − 15 · sin 60 2 2 τ =− 500 · sin 60 − 15 · cos 60 2 σ = 25 + 12.5 − 12.99 τ = −21.65 − 7.5 σ = 24.51 N/mm2 τ = −29.15 N/mm2 b. Asal normal gerilmeler ve do˘ grultuları : σ1 ve σ2 de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx + σy σx − σy 2 ± + τxy σ1,2 = 2 2 σ1,2 500 = ± 2 s 50 + 0 2 σ1,2 = 25 ± 29.15 σ1 = 54.15 N/mm2 σ2 = −4.15 N/mm2 2 ϕ0 de˘gerinin hesaplanması: tg2ϕ0 = 2 · τxy σx − σy tg2ϕ0 = 2 · −15 50 + 0 tg2ϕ0 = −30 50 − 152 tg2ϕ0 = −0.6 ϕ0 = −15.5◦ ϕ0 = 74.5◦ Harzemli : Mohr Sayfa 3 D¨ uzlem Gerilme Mukavemet c. Asal kayma gerilmeleri : τmax ve τmin de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx − σy 2 τ max = ± + τxy min 2 s τ max = ± min 50 + 0 2 τ max = ± σ1 − σ2 2 τ max = ± 54.15 + 4.15 2 min 2 − 152 min τ max = ±29.15 N/mm2 τ max = ±29.15 N/mm2 min min τ τmax 29.15 −τxy 15 σ2 -4.15 σy σx σ1 0 50 54.15 2ϕ0 σ τxy -15 τmin -29.15 Harzemli : Mohr Sayfa 4 D¨ uzlem Gerilme 1.2 Mukavemet ¨ Ornek 40 10 S ¸ ekilde g¨ or¨ ulen gerilme hˆalinde; σx = -50 N/mm2 σy = 40 N/mm2 τxy = 10 N/mm2 ’dir. 50 a. Normali yatay eksenle 30◦ ’lik a¸cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmelerini; b. Asal normal gerilmeleri ve do˘ grultularını; c. Asal kayma gerilmelerini hesaplayınız. a. Normali yatay eksenle 30◦ ’lik a¸ cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmeleri : τ de˘gerinin hesaplanması: σ de˘gerinin hesaplanması: σ= σx − σy σx + σy + · cos 2ϕ + τxy · sin 2ϕ 2 2 τ =− σx − σy · sin 2ϕ + τxy · cos 2ϕ 2 σ= −50 + 40 −50 − 40 + · cos 60 + 10 · sin 60 2 2 τ =− −50 + 40 · sin 60 + 10 · cos 60 2 σ = −5 − 22.5 + 8.66 τ = 38.97 + 5 σ = −18.84 N/mm2 τ = 43.97 N/mm2 b. Asal normal gerilmeler ve do˘ grultuları : σ1 ve σ2 de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx + σy σx − σy 2 σ1,2 = ± + τxy 2 2 σ1,2 s −50 + 40 = ± 2 σ1,2 = −5 ± 46.1 −50 − 40 2 2 ϕ0 de˘gerinin hesaplanması: tg2ϕ0 = 2 · τxy σx − σy tg2ϕ0 = 2 · 10 −50 − 40 tg2ϕ0 = 20 −90 + 102 tg2ϕ0 = −0.2222 σ1 = 41.1 N/mm2 2 σ2 = −51.1 N/mm ϕ0 = −6.3◦ ϕ0 = 83.7◦ Harzemli : Mohr Sayfa 5 D¨ uzlem Gerilme Mukavemet c. Asal kayma gerilmeleri : τmax ve τmin de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx − σy 2 τ max = ± + τxy min 2 s τ max = ± min −50 − 40 2 τ max = ± σ1 − σ2 2 τ max = ± 41.1 + 51.1 2 min 2 + 102 min τ max = ±46.1 N/mm2 τ max = ±46.1 N/mm2 min min τ τmax 46.1 τxy σ2 σx -51.1 -50 10 σy σ1 40 41.1 σ −τxy 2ϕ0 -10 τmin -46.1 Harzemli : Mohr Sayfa 6 D¨ uzlem Gerilme 1.3 Mukavemet ¨ Ornek 40 50 S ¸ ekilde g¨ or¨ ulen gerilme hˆalinde; σx = -40 N/mm2 σy = 40 N/mm2 τxy = -50 N/mm2 ’dir. 40 a. Normali yatay eksenle 45◦ ’lik a¸cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmelerini; b. Asal normal gerilmeleri ve do˘ grultularını; c. Asal kayma gerilmelerini hesaplayınız. a. Normali yatay eksenle 45◦ ’lik a¸ cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmeleri : τ de˘gerinin hesaplanması: σ de˘gerinin hesaplanması: σ= σx − σy σx + σy + · cos 2ϕ + τxy · sin 2ϕ 2 2 τ =− σx − σy · sin 2ϕ + τxy · cos 2ϕ 2 σ= −40 + 40 −40 − 40 + · cos 90 − 50 · sin 90 2 2 τ =− −40 + 40 · sin 90 − 50 · cos 90 2 σ = 00 − 50 τ = 400 σ = −50 N/mm2 τ = 40 N/mm2 b. Asal normal gerilmeler ve do˘ grultuları : σ1 ve σ2 de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx + σy σx − σy 2 σ1,2 = ± + τxy 2 2 σ1,2 −40 + 40 = ± 2 s σ1,2 = 0 ± 64.03 −40 − 40 2 2 ϕ0 de˘gerinin hesaplanması: tg2ϕ0 = 2 · τxy σx − σy tg2ϕ0 = 2 · −50 −40 − 40 tg2ϕ0 = −100 −80 − 502 tg2ϕ0 = 1.25 σ1 = 64.03 N/mm2 2 σ2 = −64.03 N/mm ϕ0 = 25.7◦ ϕ0 = 115.7◦ Harzemli : Mohr Sayfa 7 D¨ uzlem Gerilme Mukavemet c. Asal kayma gerilmeleri : τmax ve τmin de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx − σy 2 τ max = ± + τxy min 2 s τ max = ± min −40 − 40 2 τ max = ± σ1 − σ2 2 τ max = ± 64.03 + 64.03 2 min 2 − 502 min τ max = ±64.03 N/mm2 τ max = ±64.03 N/mm2 min min τ τmax 64.03 −τxy 50 σ2 σx σy σ1 -64.03 -40 40 64.03 σ 2ϕ0 τxy -50 τmin -64.03 Harzemli : Mohr Sayfa 8 D¨ uzlem Gerilme 1.4 Mukavemet ¨ Ornek 45 S ¸ ekilde g¨ or¨ ulen gerilme hˆalinde; σx = 0 N/mm2 σy = 0 N/mm2 τxy = 45 N/mm2 ’dir. a. Normali yatay eksenle 30◦ ’lik a¸cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmelerini; b. Asal normal gerilmeleri ve do˘ grultularını; c. Asal kayma gerilmelerini hesaplayınız. a. Normali yatay eksenle 30◦ ’lik a¸ cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmeleri : σ de˘gerinin hesaplanması: τ de˘gerinin hesaplanması: σ= σx + σy σx − σy + · cos 2ϕ + τxy · sin 2ϕ 2 2 τ =− σx − σy · sin 2ϕ + τxy · cos 2ϕ 2 σ= 00 0 + 0 + · cos 60 + 45 · sin 60 2 2 τ =− 00 · sin 60 + 45 · cos 60 2 σ = 00 + 38.97 τ = 0 + 22.5 σ = 38.97 N/mm2 τ = 22.5 N/mm2 b. Asal normal gerilmeler ve do˘ grultuları : σ1 ve σ2 de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx + σy σx − σy 2 ± + τxy σ1,2 = 2 2 σ1,2 00 = ± 2 s 0+0 2 σ1,2 = 0 ± 45 σ1 = 45 N/mm2 σ2 = −45 N/mm2 2 ϕ0 de˘gerinin hesaplanması: tg2ϕ0 = 2 · τxy σx − σy tg2ϕ0 = 2 · 45 0+0 tg2ϕ0 = 90 0 + 452 tg2ϕ0 = Inf inity ϕ0 = 45◦ ϕ0 = 135◦ Harzemli : Mohr Sayfa 9 D¨ uzlem Gerilme Mukavemet c. Asal kayma gerilmeleri : τmax ve τmin de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx − σy 2 τ max = ± + τxy min 2 s τ max = ± min 0+0 2 τ max = ± σ1 − σ2 2 τ max = ± 45 + 45 2 min 2 + 452 min τ max = ±45 N/mm2 τ max = ±45 N/mm2 min min τ τmax τxy 45 45 σy σx σ2 -45 0 0 σ1 45 σ 2ϕ0 −τxy τmin -45 -45 Harzemli : Mohr Sayfa 10 D¨ uzlem Gerilme 1.5 Mukavemet ¨ Ornek 80 70 S ¸ ekilde g¨ or¨ ulen gerilme hˆalinde; σx = 0 N/mm2 σy = 80 N/mm2 τxy = 70 N/mm2 ’dir. a. Normali yatay eksenle 45◦ ’lik a¸cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmelerini; b. Asal normal gerilmeleri ve do˘ grultularını; c. Asal kayma gerilmelerini hesaplayınız. a. Normali yatay eksenle 45◦ ’lik a¸ cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmeleri : τ de˘gerinin hesaplanması: σ de˘gerinin hesaplanması: σ= σx − σy σx + σy + · cos 2ϕ + τxy · sin 2ϕ 2 2 τ =− σx − σy · sin 2ϕ + τxy · cos 2ϕ 2 σ= 0 + 80 0 − 80 + · cos 90 + 70 · sin 90 2 2 τ =− 0 + 80 · sin 90 + 70 · cos 90 2 σ = 400 + 70 τ = 400 σ = 110 N/mm2 τ = 40 N/mm2 b. Asal normal gerilmeler ve do˘ grultuları : σ1 ve σ2 de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx + σy σx − σy 2 σ1,2 = ± + τxy 2 2 σ1,2 0 + 80 = ± 2 s 0 − 80 2 σ1,2 = 40 ± 80.62 σ1 = 120.62 N/mm2 2 σ2 = −40.62 N/mm 2 ϕ0 de˘gerinin hesaplanması: tg2ϕ0 = 2 · τxy σx − σy tg2ϕ0 = 2 · 70 0 − 80 tg2ϕ0 = 140 −80 + 702 tg2ϕ0 = −1.75 ϕ0 = −30.1◦ ϕ0 = 59.9◦ Harzemli : Mohr Sayfa 11 D¨ uzlem Gerilme Mukavemet c. Asal kayma gerilmeleri : τmax ve τmin de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx − σy 2 τ max = ± + τxy min 2 s τ max = ± min 0 − 80 2 τ max = ± σ1 − σ2 2 τ max = ± 120.62 + 40.62 2 min 2 + 702 min τ max = ±80.62 N/mm2 τ max = ±80.62 N/mm2 min min τ τmax 80.62 τxy 70 σ2 -40.62 σx σy σ1 0 80 120.62 σ 2ϕ0 −τxy -70 τmin -80.62 Harzemli : Mohr Sayfa 12 D¨ uzlem Gerilme 1.6 Mukavemet ¨ Ornek 80 S ¸ ekilde g¨ or¨ ulen gerilme hˆalinde; σx = 50 N/mm2 σy = -80 N/mm2 τxy = 0 N/mm2 ’dir. 50 a. Normali yatay eksenle 35◦ ’lik a¸cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmelerini; b. Asal normal gerilmeleri ve do˘ grultularını; c. Asal kayma gerilmelerini hesaplayınız. a. Normali yatay eksenle 35◦ ’lik a¸ cı yapan bir y¨ uzeydeki σ ve τ gerilmeleri : τ de˘gerinin hesaplanması: σ de˘gerinin hesaplanması: σ= σx − σy σx + σy + · cos 2ϕ + τxy · sin 2ϕ 2 2 τ =− σx − σy · sin 2ϕ + τxy · cos 2ϕ 2 σ= 50 − 80 50 + 80 + · cos 700 · sin 70 2 2 τ =− 50 − 80 · sin 700 · cos 70 2 σ = −15 + 22.230 τ = −61.080 σ = 7.23 N/mm2 τ = −61.08 N/mm2 b. Asal normal gerilmeler ve do˘ grultuları : σ1 ve σ2 de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx + σy σx − σy 2 σ1,2 = ± + τxy 2 2 σ1,2 s 50 − 80 = ± 2 σ1,2 = −15 ± 65 50 + 80 2 2 ϕ0 de˘gerinin hesaplanması: tg2ϕ0 = 2 · τxy σx − σy tg2ϕ0 = 2·0 50 + 80 tg2ϕ0 = 0 130 02 tg2ϕ0 = 0 σ1 = 50 N/mm2 2 σ2 = −80 N/mm ϕ0 = 0◦ ϕ0 = 90◦ Harzemli : Mohr Sayfa 13 D¨ uzlem Gerilme Mukavemet c. Asal kayma gerilmeleri : τmax ve τmin de˘gerlerinin hesaplanması: s 2 σx − σy 2 τ max = ± + τxy min 2 s τ max = ± min 50 + 80 2 τ max = ± σ1 − σ2 2 τ max = ± 50 + 80 2 min 2 02 min τ max = ±65 N/mm2 τ max = ±65 N/mm2 min min τ τmax 65 σ2 σy -80 −τxy τxy -80 0 0 σx σ1 50 50 σ τmin -65 Harzemli : Mohr Sayfa 14
© Copyright 2024 Paperzz
