Večer matematike, 4. prosinca 2014. Radionica IGRAJMO SE ZAGRADAMA! Radionica je originalno namijenjena učenicima petih razreda. Izvodi se tijekom listopada, nakon što se na redovitoj nastavi obradi tema „Izvođenje više računskih radnji“, u sklopu prve nastavne cjeline „Prirodni brojevi“. No, radionica je koncipirana tako da se u nju mogu uključiti i učenici šestog, sedmog ili osmog razreda, a i pojedini učenici četvrtog razreda. U tom slučaju, učenicima viših razreda treba naglasiti da se svi postavljeni zadaci rješavaju unutar skupa prirodnih brojeva, odnosno da nije dozvoljeno korištenje cijelih ili decimalnih brojeva. Cilj radionice je utvrditi neka temeljna matematička znanja poput izvođenja osnovnih računskih radnji, s posebnim naglaskom na pravilan redoslijed računskih operacija, kao i promjenu tog redoslijeda uporabom zagrada. No, koncepcija radionice je takva da se pri tome, osim točnosti i brzine računanja, razvijaju i neke druge matematičke osobine poput razumijevanja problema, izbora najučinkovitijeg načina njegova rješavanja, preglednosti i preciznosti matematičkog zapisa, snalažljivosti u radu, razvijanje međusobne suradnje i slično. Uz sve navedeno, velik utjecaj na rješavanje zadataka može imati faktor sreće, što samo natjecanje unutar radionice učenicima čini dramatičnijim i zanimljivijim. Radionica se može pripremiti na razne načine, odnosno u više oblika: pojedinačno (svaki učenik rješava zadatke na svom mjestu), u paru (po dva učenika iz iste klupe) ili u grupama (pri čemu i broj grupa i broj njihovih članova može proizvoljno varirati). Predviđeno vrijeme radionice iznosi 90 minuta, odnosno dva školska sata, a u svakom satu predviđeno je izvesti po četiri aktivnosti (okvirno 10 minuta za svaku aktivnost). Prvi je dio lakši i zasniva se samo na upisivanju zagrada unutar nekog računskog zadatka, dok u drugom dijelu učenici, osim zagrada, trebaju unutar zadanih brojeva smjestiti i simbole računskih operacija. Kako to konkretno učiniti ovisi o tome što u pojedinom zadatku trebaju dobiti: unaprijed zadan rezultat, najveći ili najmanji broj, rezultat najbliži zadanom broju, što više različitih rezultata i slično. Iako su brojevi koji se pojavljuju u postavljenim zadacima relativno mali, zbog velikog broja računanja koje učenici trebaju obaviti, preporuča se dozvoliti korištenje džepnog računala. Time se štedi vrijeme, pa se učenici mogu više posvetiti kreativnijem dijelu rješavanja postavljenih problema. Učiteljima je, naravno, dopušteno modificirati ovu radionicu tako da je prilagode svojim potrebama. Primjerice, mogu se izabrati samo neke aktivnosti i time skratiti vrijeme izvođenja na samo jedan školski sat. Umjesto predloženih zadataka, učitelji mogu ubaciti neke svoje primjere ili pak konkretne brojeve određivati nasumce (primjerice, izvlačenjem brojeva iz šešira). Radionicu je moguće i fizički podijeliti u dva dijela, pa aktivnosti predviđene za prvi sat odraditi u jednom, a ostatak u nekom drugom terminu. Praksa je pokazala da radionice koje u sebi imaju natjecateljski naboj učenicima znaju biti zanimljivije i poticajnije za rad. Stoga je zamišljeno da se odgovori učenika honoriraju osvajanjem bodova te da se na kraju proglasi i pobjednik (ili pobjednici). Za svaku od predviđenih aktivnosti unutar radionice predložen je i način bodovanja koji se, naravno, također može proizvoljno korigirati. Treba napomenuti da se zbog pogrešnih odgovora bodovi oduzimaju pa je dobro da svi natjecatelji krenu s bonusom od 10 bodova ne bi li se izbjegli mogući negativni bodovi. http://free-vu.t-com.hr/matematika/ Večer matematike, 4. prosinca 2014. Radionica PRVI DIO RADIONICE (1. sat) Aktivnost 1. Promotrimo zadatak 4 ∙ 6 + 18 : 3 – 1. Navedeni zadatak sastoji se od četiri osnovne računske operacije i pri njegovom rješavanju treba voditi računa o redoslijedu izvođenja računskih radnji. 4 ∙ 6 + 18 : 3 – 1 = 24 + 6 – 1 = 29 Redoslijed izvođenja računskih radnji, a time i sam rezultat, može se promijeniti umetanjem zagrada. Postavi jednu ili više zagrada unutar zadatka, ne bi li dobio neki drugi rezultat. Cilj je dobiti što je moguće više različitih (točnih) rezultata. Natjecatelji rješavaju zadatak unutar (okvirno) 5 minuta. Javljaju se čim dobiju neki rezultat i svaki se novodobiveni broj zapisuje na ploči. Po isteku vremena sva se rješenja redom provjeravaju tako da pojedinac ili predstavnik grupe koja je prijavila pojedino rješenje pred pločom pokaže gdje su zagrade postavljene, kao i sam tijek računanja. Za svako ispravno rješenje dobiva se po 5 bodova, a u slučaju bilo kakve greške oduzimaju se 2 boda. U nastavku su navedena neka od mogućih rješenja (neki od navedenih rezultata mogu se dobiti i drugačijim rasporedom zagrada, a postoji mogućnost egzistencije i nekog nenavedenog rješenja). (4 ∙ 6 + 18) : 3 – 1 = (24 + 18) : 3 – 1 = 42 : 3 – 1 = 14 – 1 = 13 4 ∙ ((6 + 18) : 3 – 1) = 4 ∙ (24 : 3 – 1) = 4 ∙ (8 – 1) = 4 ∙ 7 = 28 4 ∙ (6 + 18) : 3 – 1 = 4 ∙ 24 : 3 – 1 = 96 : 3 – 1 = 32 – 1 = 31 4 ∙ 6 + 18 : (3 – 1) = 4 ∙ 6 + 18 : 2 = 24 + 9 = 33 4 ∙ (6 + 18 : 3 – 1) = 4 ∙ (6 + 6 – 1) = 4 ∙ (12 – 1) = 4 ∙ 11 = 44 4 ∙ (6 + 18 : 3) – 1 = 4 ∙ (6 + 6) – 1 = 4 ∙ 12 – 1 = 48 – 1 = 47 4 ∙ (6 + 18) : (3 – 1) = 4 ∙ 24 : 2 = 96 : 2 = 48 4 ∙ (6 + 18 : (3 – 1)) = 4 ∙ (6 + 18 : 2) = 4 ∙ (6 + 9) = 4 ∙ 15 = 60 Aktivnost 2. Promotrimo zadatak 24 – 2 ∙ 18 : 6 + 3. Kao i u prethodnoj aktivnosti, unutar zadatka postavi jednu ili više zagrada, tako da konačan rezultat bude točno 44. Čim netko prijavi dobiveni broj, rješenje se odmah provjerava pred pločom. Za korektnu izvedbu zadatka dobiva se 10 bodova i prelazi se na sljedeću aktivnost. U slučaju greške, oduzima se 5 bodova te se natjecanje (dok ima vremena) nastavlja novim krugom, odnosno daljnjim traženjem točnog rezultata. Jedan od načina dobivanja rezultata 44 je ovaj: (24 – 2) ∙ (18 : (6 + 3)) = 22 ∙ (18 : 9) = 22 ∙ 2 = 44 http://free-vu.t-com.hr/matematika/ Večer matematike, 4. prosinca 2014. Aktivnost 3. Radionica Promotrimo zadatak 12 : 4 – 3 + 6 ∙ 2. Ponovo treba unutar postavljenog zadatka umetnuti jednu ili više zagrada, tako da konačan rezultat bude što je moguće veći. Učenici imaju na raspolaganju 5 minuta unutar kojih traže rješenja i prijavljuju ih čim ih dobiju. Konačni rezultati zapisuju se redom na ploči, te nakon isteka vremena sijedi provjera. Najprije se provjerava najveći prijavljeni broj i ako je način rješavanja ispravan boduje se s 10 bodova i prelazi na sljedeću aktivnost. U suprotnom, gubi se 5 bodova te se provjerava sljedeći najveći od preostalih prijavljenih brojeva. Moguće rješenje je: Aktivnost 4. (12 : (4 – 3) + 6) ∙ 2 = (12 : 1 + 6) ∙ 2 = (12 + 6) ∙ 2 = 18 ∙ 2 = 36 Promotrimo zadatak 12 – 4 + 3 ∙ 6 : 2. Zadatak je vrlo sličan prethodnoj aktivnosti. Opet treba unutar postavljenog zadatka umetnuti jednu ili više zagrada, ali tako da sada konačan rezultat bude što je moguće manji. Učenici također imaju na raspolaganju 5 minuta unutar kojih traže rješenja i prijavljuju ih čim ih dobiju. Konačni rezultati zapisuju se redom na ploči, te nakon isteka vremena sijedi provjera. Naravno, sada se polazi od najmanjeg prijavljenog broja, a sam postupak, kao i način bodovanja, identičan je već iznesenom u prethodnoj aktivnosti. Najmanji broj koji je moguće dobiti je 1, a ovo je jedan od načina: 12 – ((4 + 3 ∙ 6) : 2) = 12 – ((4 + 18) : 2) = 12 – (22 : 2) = 12 – 11 = 1 DRUGI DIO RADIONICE (2. sat) Za razliku od zadataka u prvom satu, gdje su bili zadani prirodni brojevi i računske radnje među njima (a trebalo je upisati samo zagrade), u drugom će dijelu biti zadani samo brojevi, dok će sudionici radionice sami umetati znakove za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Naravno, i dalje je dopušteno korištenje proizvoljnog broja zagrada. Aktivnost 5. Zadani su brojevi: 9 8 7 6 5. Između zadanih pet prirodnih brojeva upiši znakove za sve četiri računske operacije te, po potrebi koristeći i zagrade, pokušaj dobiti što je moguće veći rezultat. Sudionici radionice imaju okvirno 5 minuta za traženje rješenja, koja prijavljuju čim ih dobiju. Po isteku vremena, kreće se u provjeru najvećeg prijavljenog rezultata. Za ispravno rješenje dobiva se 10 bodova i prelazi na sljedeću aktivnost. U slučaju greške, oduzima se 5 bodova te se redom provjeravaju sljedeći najveći prijavljeni rezultati do ispravnog rješenja. http://free-vu.t-com.hr/matematika/ Večer matematike, 4. prosinca 2014. Radionica Za najveći dobiveni broj autor radionice uspio je dobio 135 (postoji teoretska mogućnost da učenici izračunaju i veći broj) i to na sljedeći način: 9 ∙ (8 + 7) : (6 – 5) = 9 ∙ 15 : 1 = 135 Aktivnost 6. Zadani su brojevi: 5 4 3 2 1. Između zadanih pet prirodnih brojeva upiši znakove za sve četiri računske operacije te, po potrebi koristeći i zagrade, pokušaj dobiti što je moguće manji rezultat. Tijek aktivnosti i način bodovanja identičan je prethodnoj aktivnosti, s tim da se logično počinje s najmanjim prijavljenim rješenjima. Najmanji broj kojeg je moguće dobiti je broj 1. Jedan od načina njegova dobivanja je ovaj: ((5 + 4) : 3 – 2) ∙ 1 =(9 : 3 – 2) ∙ 1 = (3 – 2) ∙ 1 = 1 ∙ 1 = 1 Aktivnost 7. Zadan je niz brojeva: 2, 3, 6, 7, 9. Koristeći dane brojeve (pri čemu im se smije mijenjati raspored), bilo koje računske operacije (neke i više puta) te po potrebi zagrade, pokušaj dobiti broj što je moguće bliži broju 100. Čim netko dobije traženi broj, pristupa se provjeri. U slučaju ispravnog rješenja dodjeljuje se 10 bodova, a u slučaju greške oduzima se 5 bodova i nastavlja s traženjem. Ako u zadanom vremenu nitko na dobije broj 100, na ploči se zapisuju svi dobiveni rezultati i natjecatelj koji ima najbliži točan rezultat dobiva 5 bodova. Broj 100 se može dobiti, primjerice, ovako: 7 ∙ (9 + 6) – (2 + 3) = 7 ∙ 15 – 5 = 105 – 5 = 100 Aktivnost 8. Zadan je niz brojeva: 7 4 1 5 8 2 9 6 3. Između devet nasumce raspoređenih jednoznamenkastih prirodnih brojeva upiši proizvoljan broj bilo kojih računskih operacija. Susjedni se brojevi mogu spajati u dvoznamenkaste, pa i višeznamenkaste brojeve, a dozvoljena je i uporaba zagrada (jedino nije dozvoljeno brojevima mijenjati redoslijed). Ponovno je cilj dobiti broj 100, odnosno što je moguće bliži rezultat tome broju. Tijek aktivnosti i način bodovanja identični su prethodnom primjeru. Treba napomenuti da, ako se ova aktivnosti provodi više puta, svaki se put može odrediti drukčiji, proizvoljan raspored znamenaka. Jedna od mogućnosti dobivanja broja 100 u ovom primjeru je: 74 + 15 + 8 : 2 + 9 – 6 : 3 = 74 + 15 + 4 + 9 – 2 = 102 – 2 = 100 http://free-vu.t-com.hr/matematika/