Uvod u linearne funkcije Željko Brčić, prof. OŠ Zrinskih, Nuštar Vinkovci, 25. kolovoza 2011. Uvod: Državni seminar u Primoštenu Izlaganja o PISA testiranju PISA ne provjerava znanje matematike, nego znaju li učenici primjeniti matematiku pri rješavanju konkretnih problema Trend: poticati takve zadatke u nastavi Posjet savjetnika na sat 2 Uvod: Nastavna cjelina: Linearna funkcija i jednadžba pravca (7. razred) Tema: Uvod u linearnu funkciju Cilj: uvesti pojam linearne funkcije, način zapisivanja te postupak izračunavanja promatranjem odnosa dviju zavisnih veličina na primjerima iz svakodnevnog života 3 Kako je u udžbeniku? Za opisivanje veza između raznih veličina upotrebljavaju se funkcije. Riječ funkcija nastala je od latinske riječi functio, a znači pravilo. Primjer: f(x) = 3 · x + 2 Objašnjenje: Uzet ću vrijednost x-a, pomnožiti s 3, iznosu dodati 2 i dobit ću vrijednost funkcije. Upamti: Pod pojmom funkcija mislimo na pridruživanje kod kojeg svakoj vrijednosti jedne veličine pridružujemo točno jednu vrijednost druge veličine. Budući da je vrijednost druge veličine y potpuno određena vrijednošću prve veličine x i funkcijom f, zapisujemo je y = f(x). 4 Koncept moga sata Primjeri iz svakodnevnog života Učenici sami uočavaju ovisnost jedne veličine o drugoj Iz navedenih primjera postupno dolaze do “formule” za linearnu funkciju Sve opće pojmove usvajaju kroz konkretne primjere 5 1.sat: Uvodni primjeri Motivacijski zadatak Svakoga dana Ivan je u kasicu-prasicu ubacivao kovanicu od 5 kuna. Koliko je novca imao na kraju mjeseca, ako je na početku mjeseca u kasici već bilo 45 kuna? Iznos novca ovisi o broju dana u mjesecu. Za 30 dana Ivan je skupio 195 kuna. 7 28 29 30 31 dana dana dana dan 185 190 195 200 kn kn kn kn 8 Primjer 1: Josipov rođendan Josip je za svoj rođendan od roditelja dobio 150 kuna, a djed mu je obećao svakoga mjeseca od mirovine darovati po 25 kuna. Što možete zaključiti o iznosu Josipovog novca? Iznos Josipova novca ovisi o tome koliko je mjeseci prošlo od njegova rođendana. 9 Primjer 1: Josipov rođendan Koliko će novaca Josip imati nakon ... ... mjesec dana? 150+25= 175 kn ... dva mjeseca? 175+25= 200 kn ... tri mjeseca? 200+25= 225 kn ... šest mjeseci? ? 25 kn · 6 + 150 kn = 150+150 = 300 kn 10 Primjer 1: Josipov rođendan Činjenicu da iznos novca kojeg Josip ima ovisi o broju mjeseci proteklih od njegova rođendana možemo prikazati tablicom. Broj proteklih mjeseci Iznos Josipova novca (kn) 0 1 2 150 kn 175 kn 200 kn 3 225 kn 6 12 300 kn 450 kn 11 Primjer 1: Josipov rođendan Iznos Josipova novca 450 425 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 Primjer 1: Josipov rođendan Iznos Josipova novca 450 425 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 0 2 4 6 8 10 12 14 13 Primjer 1: Josipov rođendan Iznos Josipova novca 450 425 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 Primjer 1: Josipov rođendan 15 Primjer 1: Josipov rođendan Možemo li doći do “formule” za računanje iznosa novca kojeg Josip ima? 1.mj. 25 · 1 + 150 = 175 2.mj. 25 · 2 + 150 = 200 3.mj. 25 · 3 + 150 = 225 6.mj. 25 · 6 + 150 = 300 12.mj. 25 · 12 + 150 = 450 20.mj. 25 · 20 + 150 = 650 Iskažite riječima način računanja novca! 16 Primjer 1: Josipov rođendan Iznos Josipovog novca dobijemo tako da 25 kn pomnožimo s brojem mjeseci i dodamo 150 kn. Iznos novca = 25 kn “puta” broj mjeseci “plus” 150 kn. n = 25 · m + 150 y = 25x + 150 f(x) = 25x + 150 linearna funkcija 17 Primjer 1: Josipov rođendan Koliko će novaca imati Josip nakon 15 mjeseci? Linearna funkcija: f(x) = 25x + 150 Za x = 15: f(15) = 25 · 15 + 150 = 375 + 150 = 525 Nakon 15 mjeseci Josip će imati 525 kuna. 18 Primjer 1: Josipov rođendan Koliko će novaca imati Josip nakon 28 mjeseci? Linearna funkcija: f(x) = 25x + 150 Za x = 28: f(28) = 25 · 28 + 150 = 700 + 150 = 850 Nakon 28 mjeseci Josip će imati 850 kuna. 19 Primjer 1: Josipov rođendan Josip želi od dobivenog novca kupiti bicikl koji košta 550 kuna. Nakon koliko mjeseci će ga moći kupiti? Josip je od roditelja već dobio 150 kn. Za bicikl mu još djed treba dati 400 kn. Kako mu djed ispaćuje po 25 kn, Josipu za to treba 400 : 25 = 16 mjeseci. 20 Primjer 1: Josipov rođendan Jesmo li u ovom zadatku mogli koristiti formulu f(x) = 25x + 150? Hoćemo li računati f(550)? 25x + 150 = 550 25x = 550 – 150 25x = 400 / : 25 x = 16 21 Primjer 1: Josipov rođendan Kada će Josip imati ušteđeno točno 1000 kuna? 25x + 150 = 1000 25x = 1000 – 150 25x = 850 / : 25 x = 34 22 Primjer 2: Majstor Jure Majstor Jure naplaćuje dolazak u stan 50 kn. Svaki sat rada dodatno naplaćuje 30 kn. a.) Kako glasi pripadna linearna funkcija po kojoj majstor Jure računa svoju zaradu? b.) Koliko će zaraditi za 5 sati rada? c.) Koliko je Jure radio ako mu je plaćeno 230 kuna? 23 Primjer 2: Majstor Jure a.) f(x) = 30 · x + 50 b.) f(5) = 30 · 5 + 50 = 150 + 50 = 200 Za 5 sata rada zaradit će 200 kn. c.) 30x + 50 = 230 30x = 230 – 50 30x = 180 / : 30 x=6 Majstor Jure je radio 6 sati. 24 Općenito o funkcijama Upoznali smo dvije linearne funkcije: f(x) = 25x + 150 f(x) = 30x + 50 Svaka linearna funkcija ima oblik: f(x) = a·x + b a = 25, b = 150 a = 30, b = 50 a, b – parametri ili koeficijenti x – broj mjeseci, broj sati rada – argument f(x) ili y – iznos Josipova novca, Jurina zarada – vrijednost funkcije 25 2.sat: Rad u skupinama Primjer 3: Benzin Na benzinsku crpku stigla je cisterna s benzinom. Iz nje se gorivo istače u tank u kojem je već bilo 80 hektolitara benzina, i to brzinom od 6 hektolitara u minuti. Zapišite funkciju koja opisuje količinu goriva u tanku nakon x minuta. Koliko će goriva biti u tanku nakon deset minuta? Koliko će goriva biti u tanku pola sata od početka pražnjenja cisterne? Nakon koliko vremena je u tanku bilo točno 350 hektolitara benzina? 27 Primjer 4: Vodovod Novim Zakonom o vodama uveden je fiksni dio usluge koju plaćaju svi potrošači bez obzira na količinu potrošene vode. Drugi dio računa ovisi o količini potrošene vode u m3. U tablici je dan cjenik „Vinkovačkog vodovoda i kanalizacije“ za mjesečnu potrošnju vode do 8 m3. m3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 kn 10 19 28 37 46 55 64 73 82 Koliko iznosi fiksni dio vodne usluge, a koliko plaća korisnik za svaki potrošeni „kubik“ (m3) vode? Kako glasi linearna funkcija kojom se računa cijena vode ovisno o broju potrošenih m3 vode? Koliko iznosi račun kućanstva koje je potrošilo 16 m3 vode? Moj račun iz VVK-a za travanj iznosio je 127 kuna. Koliko je moja obitelj potrošila vode toga mjeseca? 28 Primjer 5: Internet Telefonska kompanija naplaćuje uporabu interneta tako da na fiksni iznos mjesečne pretplate doda iznos koji ovisi o količini internet prometa u gigabajtima. Cjenik kompanije dan je grafikonom: Koliko iznosi mjesečna pretplata, a koliko plaća korisnik za svaki potrošeni gigabajt? Kako glasi linearna funkcija kojom se računa cijena uporabe interneta ovisno o broju potrošenih gigabajta? Koliko iznosi račun korisnika koji ima promet od 16 gigabajta? Marko je dobio račun od 255 kuna. Koliko je gigabajta potrošio tog mjeseca? 29 Primjer 6: Taxi U gradu postoje dvije tvrtke koje nude usluge taksi prijevoza. Taksi služba „Ford“ svoje usluge naplaćuje prema sljedećem cjeniku: start 12 kuna, a cijena po prijeđenom kilometru 9 kuna. Konkurentska tvrtka „Audi“ polazak sa stajališta naplaćuje 25 kuna, a svaki prijeđeni kilometar dodatnih 8 kuna. Napiši formule prema kojima se računa cijena prijevoza taksijem ovisno o broju prijeđenih kilometara (za obje tvrtke). Koliko će se platiti vožnja duga 8 km u jednoj, odnosno drugoj tvrtki? Koliki je put prešla gospođa Žurić taksijem „Ford“ ako je račun platila 138 kuna? Koliko bi taj put platila u tvrtki „Audi“? 30 Zaključak: Matematiku u osnovnoj školi ne treba učiti radi nje same, nego radi primjene u stvarnom životu. Ako neki postupak ne možete primjeniti u realnoj situaciji, onda njega nije niti potrebno znati. D A C B Hvala na pozornosti! 31
© Copyright 2024 Paperzz