Športsko klađenje i matematika - T-com

©PORTSKO KLA–ENJE I MATEMATIKA
Æeljko BrËiÊ, Vinkovci
Da su πportsko klaenje i matematika povezani, poznato je svima koji su bar
jedanput uπli u kladionicu ili prelistali Ëasopis s kladioniËarskim ponudama.
U njima je, naime, mnoπtvo brojeva, a gdje su brojevi - tu je i matematika.
Naravno, poznavanje matematike neÊe vam jamËiti dobitak, no to i nije tema
ovoga Ëlanka, nego neπto sasvim drugo: kako uz pomoÊ πportskog klaenja
nauËiti i uvjeæbati matematiku.
Pri odabiru svojih parova na listiÊu veÊina igraËa najËeπÊe samo zbraja i
mnoæi. No, vrlo je lako zamisliti zadatke s temom πportskog klaenja u kojima se pojavljuje mnoπtvo drugih matematiËkih pojmova i postupaka: omjeri,
razmjeri, proporcionalne veliËine, postotci, koordinatni sustav u ravnini, linearne funkcije, sustavi jednadæbi... A sve se to uËi veÊ u osnovnoj πkoli!
***
Da biste u πportskoj kladionici ostvarili dobitak, morate toËno pogoditi
ishod jednog ili viπe πportskih dogaaja. U nogometu, primjerice, postoje tri
moguÊnosti zavrπetka: pobjeda domaÊina (tip 1), nerijeπen rezultat (tip 0 ili X)
i pobjeda gosta (tip 2). Za svaki od tih moguÊih dogaaja istaknut je jedan
decimalni broj koji se zove koeficijent, kvota ili teËaj. On se mnoæi s ulogom
i tako se dobije iznos koji, u sluËaju toËne prognoze, predstavlja vaπ dobitak.
Dobitak se moæe znatno poveÊati odabirom viπe parova, pri Ëemu se ukupni
koeficijent dobije mnoæenjem koeficijenata svih odabranih parova.
Za potrebe ovoga Ëlanka sastavili smo imaginarnu ponudu s Ëetiri atraktivna para nogometne Lige prvaka:
par br.
1
2
3.
4.
Barcelona - Arsenal
Milan - Bayern
Manchester - Real
Porto - Chelsea
1
1.70
1.80
2.20
3.50
X
3.35
3.50
3.30
3.10
2
4.50
3.80
2.80
2.00
Zadatak 1. IzraËunajte minimalni dobitak koji je moguÊe ostvariti igranjem
svih Ëetiriju ponuenih parova, uz ulog od 10 kuna.
Rjeπenje: Minimalni dobitak ostvarit Êemo ako u svakome paru odaberemo
najniæi koeficijent. Mnoæenjem odabranih koeficijenata izraËuna se ukupni
koeficijent koji se zatim pomnoæi s ulogom od 10 kuna. Ovako bi to izgledalo na zamiπljenom listiÊu:
16
atka 14 (2005./2006.) br. 53
ListiÊ 1.
Broj para:
1
2
3
4
Ukupni koeficijent:
Ulog:
MoguÊi dobitak:
Odabrani ishod:
1
1
1
2
Koeficijent ishoda:
1.70
1.80
2.20
2.00
13.464
10 kn
134.64 kn
Dakle, pogodimo li toËne ishode svih Ëetiriju parova, uz ulog od 10 kuna,
dobitak ne moæe biti manji od 134 kune i 64 lipe.
Zadatak 2. IzraËunajte maksimalni dobitak koji moæete ostvariti na istom
listiÊu.
Rjeπenje: Ponovo igramo iste parove, uz isti ulog. Promijenit Êemo samo
predviene rezultate i to tako da ovoga puta izaberemo ishode koji imaju
najveÊe koeficijente. Pogledajmo listiÊ:
ListiÊ 2.
Broj para:
1
2
3
4
Ukupni koeficijent:
Ulog:
MoguÊi dobitak:
Odabrani ishod:
2
2
0
1
Koeficijent ishoda:
4.50
3.80
3.30
3.50
197.505
10 kn
1975.05 kn
NajveÊi dobitak koji moæemo ostvariti igrajuÊi Ëetiri ponuena para iznosi
1975 kuna i 5 lipa.
Zadatak 3. U koordinatnom sustavu prikaæite moguÊe dobitke na listiÊu s
Ëetiri ponuena para, uz ulog od minimalnih 5 kuna do maksimalnih 25 kuna.
Rjeπenje: Dobitak na listiÊu, uz nepromjenjiv ukupni koeficijent, proporcionalan je ulogu. Najmanji dobitak grafiËki Êemo predstaviti crtajuÊi graf
funkcije f(x) = 13.464x (puna crta), a najveÊi dobitak crtajuÊi graf g(x) =
197.505x (isprekidana crta). PodruËje izmeu tih dviju crta predstavlja
moguÊe dobitke, uz ulog od 5 do 25 kuna.
Iz slike koja slijedi moæemo zakljuËiti mnogo toga. Pokuπajte, gledajuÊi
nacrtane grafove, odgovoriti na nekoliko sljedeÊih pitanja:
atka 14 (2005./2006.) br. 53
17
• Koliko iznosi najmanji, a koliko najveÊi
dobitak uz ulog od 5 kuna?
• Koliko iznosi najmanji dobitak uz ulog od
25 kuna?
• Koliko iznosi najveÊi dobitak uz ulog od 15
kuna?
• Moæe li na ListiÊu 1 dobitak biti veÊi od 500
kuna?
• Moæe li na ListiÊu 2 dobitak biti manji od
1000 kuna?
• Moæe li, uz ulog od 20 kn, dobitak biti veÊi
od 4000 kn?
• Koliko najmanje moramo uloæiti æelimo li
dobiti 1500 kuna? itd...
5.000
4.500
4.000
3.500
3.000
2.500
2.000
1.500
1.000
500
5
10
15
20
25
30
Ako vas ne zadovoljavaju pribliæne vrijednosti koje moæete procijeniti s
grafikona, nego æelite toËne rezultate - pogledajte nekoliko sljedeÊih zadataka
s razmjernim veliËinama.
Podsjetimo se, dvije su veliËine razmjerne ako vrijedi: koliko puta promijenimo (poveÊamo ili smanjimo) jednu veliËinu, toliko se puta promijeni i
druga veliËina. OËito je da su ulog i dobitak na πportskom klaenju dvije
razmjerne (ili proporcionalne) veliËine.
Zadatak 4. Koliko bi kuna iznosio dobitak na prvom listiÊu ako bismo
umjesto 10 kuna uplatili 13 kuna i 50 lipa?
Rjeπenje: Zadatak se moæe rijeπiti mnoæenjem ukupnog koeficijenta i iznosa
uplate, no mi ga æelimo rijeπiti uz pomoÊ razmjernih veliËina. Dakle: uz
uplatu od 10 kn, dobitak iznosi 134.64 kn, a uz uplatu od 13.5 kn, dobitak je
x kn (nepoznat). Nakon postavljenog razmjera
10 : 13.5 = 134.64 : x, i rjeπavanja pripadne jednadæbe, dobije se rjeπenje:
181 kuna i 76 lipa (zaokruæeno na lipe).
Zadatak 5. Koliko novca treba uplatiti na drugi listiÊ da bi oËekivani
dobitak bio 1500 kuna?
Rjeπenje: Razmjer sada glasi 10 : x = 1975.05 : 1500, a rjeπenje je 7 kuna i
60 lipa.
Zadatak 6. Koliko kuna treba uplatiti na prvi listiÊ da bi dobitak bio jednak
dobitku na drugom listiÊu?
Rjeπenje: Nakon usporedbe listiÊa, postavimo razmjer
10 : x = 134.64 : 1975.05. Rjeπenje je x = 146.70 kuna.
Slijedi skupina zadataka s postotcima. Poznato je da kladioniËari od svakog
uplaÊenog iznosa naplaÊuju 5% za tzv. manipulativne troπkove. UkljuËimo i
18
atka 14 (2005./2006.) br. 53
taj dodatni troπak u zadatke koje smo do sada rijeπili.
Zadatak 7. IzraËunajte koliko novca treba dodatno uplatiti na raËun manipulativnih troπkova u zadatku 4.
Rjeπenje: Kod uplate od 13.50 kuna troπkovi od 5% iznose 68 lipa.
Zadatak 8. Koliko iznosi ukupna uplata u zadatku 5, raËunajuÊi i manipulativne troπkove?
Rjeπenje: IgraË bi inaËe uplatio 7.60 kuna, no uz manipulativne troπkove od
5%, odnosno dodatnih 38 lipa, uplata iznosi 7.98 kuna.
KladioniËari omoguÊuju i da se manipulativni troπkovi ukljuËe u iznos
uplate. Primjerice, ako æelite uplatiti listiÊ od 10 kn, na njega plaÊate manipulativne troπkove od 5% ili 0.50 kn, pa ukupna uplata iznosi 10 kuna i 50
lipa. No, moguÊe je uplatiti samo 10 kuna, s tim da kladionica od tog iznosa
uzme svoj dio. Koliko taj dio iznosi?
Bitno je primijetiti da sada ne znamo kolika je stvarna uplata od koje kladionica uzima 5%, ali znamo da je zbroj uplate i manipulativnih troπkova
zajedno 10 kuna. Dakle, vrijedi: x + 0.5% od x = 10 kn.
Rjeπavanjem ove jednadæbe dobijemo x = 9.52 kn, πto znaËi da od vaπih 10
kuna kladionica zadræava 48 lipa. To znaËi da bi, primjerice, dobitak na
ListiÊu 1 bio 134.64 kn samo ako bismo, uz 10 kn, uplatili i dodatnih 50 lipa.
Ako æelimo uplatiti ukupno 10 kn, dobitak je neπto manji i iznosi 128.18 kn.
Zadatak 9. U zadatku 6. izraËunali smo da bi na prvom listiÊu, uz uplatu
od 146.70 kn, dobitak bio jednak dobitku na drugom, dakle 1975.05 kn.
Koliko bi zapravo trebalo uplatiti novca (dodavπi manipulativne troπkove), te
za koliko bi se smanjio dobitak ako bismo tih 5% uraËunali u uplatu od
146.70 kuna?
Rjeπenje: Ako æelimo dobitak od 1975.05 kn, moramo uplatiti i dodatnih
5% od 146.70, πto iznosi 7.34 kn ili zajedno 154.04 kn. Ako æelimo uplatiti
toËno 146.70 kn, iznos bez manipulativnih troπkova dobijemo iz jednadæbe x
+ 0.05x = 146.70. On iznosi x = 139.71 kn, πto znaËi da kladionica od naπeg
uloga zadræava 6 kuna i 99 lipa. Umanjeni ulog mnoæi se s ukupnim koeficijentom pa dobitak sada iznosi 1881.06 kn, dakle 93 kune i 99 lipa manje.
Rijeπimo sada dva zadatka u kojima Êemo primijeniti sustave dviju jednadæbi s dvjema nepoznanicama.
Zadatak 10. IgraË ima 15 kuna koje æeli uplatiti na ogledne listiÊe s poËetka
teksta. Kako raspodijeliti novac da bi zbroj dobitaka na oba listiÊa bio 1200
kuna?
atka 14 (2005./2006.) br. 53
19
Rjeπenje: S x oznaËimo uplatu na ListiÊ 1, a s y iznos uplate na ListiÊ 2.
BuduÊi da æelimo uplatiti samo 15 kuna, najprije odbijemo manipulativne
troπkove. Oni iznose 71 lipu, πto znaËi da u listiÊe zapravo ulaæemo 14.29
kuna. Sustav jednadæbi glasi:
x + y = 14.29
13.464x + 197.505y = 1200
PrimjenjujuÊi jednu od poznatih metoda (primjerice metodu supstitucije),
izraËuna se da ulog na prvom listiÊu treba biti 8.81 kn, a na drugom 5.48 kn.
Zadatak 11. Ako na nekom listiÊu uplatimo 5 kn, a na drugome 10 kn,
ukupni dobitak (na oba listiÊa zajedno) iznosi 406 kuna. Ako na prvom uplatimo 10 kn, a na dugome 5 kn, ukupni je dobitak 293 kune. IzraËunajte koliki su koeficijenti na oba listiÊa ako smo dodatno uplatili i 75 lipa za manipulativne troπkove?
Rjeπenje: Koeficijent na prvom listiÊu oznaËimo s x, a na drugom s y, te
postavimo jednadæbe:
5x + 10y = 406
10x + 5y = 293
Rijeπivπi sustav jednadæbi, dobijemo da je ukupni koeficijent na prvom
listiÊu 12, a na drugom 34.6.
Zadatak 12. Rijeπite prethodni zadatak pod uvjetom da 15 kuna predstavlja ukupnu uplatu, ukljuËujuÊi i manipulativne troπkove.
Rjeπenje: Umjesto 5 kn i 10 kn zapravo smo uplatili 4.76 kn, odnosno 9.52
kn. Sustav tada glasi:
4.76 x + 9.52 y = 406
9.52 x + 4.76 y = 293,
a rjeπenje je x ≈ 12.605, y ≈ 36.345.
Zadatak 13. Iz naπe ponude na poËetku teksta sastavite svoj vlastiti listiÊ.
IzraËunajte:
a) Koliki bi bio dobitak uz uplatu od 5 kn i dodatnih 5% za manipulativne
troπkove?
b) Koliki bi bio dobitak ako bismo u tih 5 kn ukljuËili i manipulativne
troπkove?
c) Koliko bi na oba naËina trebalo uplatiti novca da bi dobitak iznosio toËno
2000 kn?
***
I na samom kraju, istaknimo da cilj ovoga teksta nije ostvariti pogodak na
πportskom klaenju, nego nauËiti matematiku. Imajte na umu da je znanje
trajna vrijednost koja se ne moæe mjeriti s jednokratnim dobitkom na πportskoj prognozi. Znanje vam omoguÊava da u æivotu napravite neπto πto se samo
novcem nikako ne bi moglo napraviti.
20
atka 14 (2005./2006.) br. 53

Download Report