null

3.2.
KONAČNA
I
POČETNA
VRIJEDNOST
JEDNE
SVOTE
–
ANTICIPATIVNO UKAMAĆIVANJE
Složene kamate možemo obračunavati i anticipativno. Tada se vrijednost C0
na početku prvog razdoblja dobije ako od vrijednosti na kraju prvog razdoblja
C1 oduzmemo kamate unaprijed, anticipativno. Dakle imamo:
C 0 = C1 −
 100 
C1 × q
q 

 100 − q 
 .
= C1 × 1 −
 ⇒ C1 = C 0 × 
 = C1 × 
100
100
100
100
−
q






Analogno:
C1 = C 2 −
 100 
C2 × q
q 

 100 − q 
 .
= C 2 × 1 −
 = C2 × 
 ⇒ C 2 = C1 × 
100
100
100
100
−
q






Uvrstimo li izraz za C1 dobit ćemo:
 100 

C 2 = C 0 × 
100
−
q


2
Matematičkom indukcijom se može dokazati da formula za konačnu vrijednost
jedne svote uz anticipativno ukamaćivanje glasi:
 100 
Cn = C0 × 

 100 − q 
Izraz
100
100 − q
n
naziva se anticipativni kamatni faktor i označava sa ρ:
ρ=
100
100 − q
Prema tome, vrijedi:
Cn = C0 × ρ n
Dakako, i ovdje Petko ima svoje rješenje pa gornju formulu možemo pisati i
ovako:
Cn = C0 × I qn
gdje oznaka
I qn
označava potenciju odgovarajućeg anticipativnog faktora (za
zadani kamatnjak q i broj razdoblja n) i može se pročitati iz “prvih” financijskih
tablica za anticipativno ukamaćivanje.
Primjer 1.
Mica je na 5 godina u banku uložila 8.000 kn. Izračunajte konačni iznos i
ukupne kamate ako je obračun kamata složen i godišnji uz anticipativnu
kamatnu stopu od 6%.
Rješenje:
C0 = 8.000 kn
n = 5 godina
q = 6%
Cn, In = ?
n
5
 100 
 100 
 = 8000 × 
Cn = C0 × 
 = 10.900,61kn
 100 − 6 
 100 − q 
I n = Cn − C0 = 10900,61 − 8000 = 2.900,61kn
Pretpostavimo da želimo znati koliko bi danas trebali uložiti na račun u banci
ako nakon nekog razdoblja želimo na računu imati točno određeni odnos.
Drugim riječima, želimo izračunati sadašnju vrijednost jednog iznosa C0 koji uz
anticipativnu kamatnu stopu q naraste zajedno sa složenim kamatama na neki
iznos Cn. Iz relacija za konačnu vrijednost slijedi:
C0 =
Ili, po Petku:
Cn
 100 


 100 − q 
C0 =
Cn
ρn
=
n
=
Cn
ρn
Cn
n
n = Cn × II q .
Iq
Primjer 2.
Koliki iznos trebamo uložiti danas da bi nakon 6 godina, uz složenu, godišnju,
anticipativnu kamatnu stopu 5, na računu imali 15.000 kn?
Rješenje:
Cn = 15.000 kn
n = 6 godina
q = 5%
C0 = ?
C0 =
Cn
 100 


100
−
q


n
=
15000
 100 


 100 − 5 
6
= 11.026,38kn
Ukoliko su nam poznate početna i konačna vrijednost glavnice, a zanima nas
uz koju složenu anticipativnu kamatnu stopu je novac uložen kroz n razdoblja
kapitalizacije, koristimo relacije:
ρ =n
Cn
C0
i
q = 100 −
100
ρ
Primjer 3.
Uz koju godišnju, složenu, anticipativnu kamatnu stopu iznos od 8.000 kn
donese 2.000 kn kamata za 7 godina?
Rješenje:
C0 = 8.000 kn
In = 2.000 kn
n = 7 godina
q=?
Cn = C0 + I n = 8000 + 2000 = 10.000kn
ρ=n
Cn 7 10000
=
= 1,032391
C0
8000
q = 100 −
100
ρ
= 100 −
100
= 3,14%
1,032391
Broj razdoblja kapitalizacije kroz koje početna vrijednost glavnice naraste na
određenu konačnu vrijednost, uz poznatu složenu, anticipativnu kamatnu
stopu, izračunava se iz relacije:
C 
log n 
 C0 
n=
log ρ
Primjer 4.
Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) iznos od 6.000 kn, uz
složenu, godišnju, anticipativnu kamatnu stopu od 4%, naraste na 10.000 kn?
Rješenje:
C0 = 6.000 kn
q = 4%
Cn = 10.000 kn
n=?
ρ=
100
100
=
= 1,041667
100 − q 100 − 4
C 
log n  log 10000 
 C0  =
 6000  = 12,5134
n=
log ρ
log 1,041667
12 godina, 6 mjeseci i 5 dana.
Zadaci za vježbu:
1.) Iznos od 6.000 kn uložen je na 8 godina uz složenu, godišnju dekurzivnu
kamatnu stopu od 3,5%. Izračunajte konačni iznos glavnice i ukupne kamate.
(R: C8 = 7.900,85 kn; K = 1.900,85 kn)
2.) Koliki iznos trebamo uložiti danas da bi nakon 5 godina, uz složenu,
godišnju, dekurzivnu kamatnu stopu od 4%, na računu imali 20.000 kn?
(R: C0 = 16.438,54 kn)
3.) Uz koju godišnju, složenu, dekurzivnu kamatnu stopu iznos od 7.000 kn
donese 3.000 kn kamata za 10 godina? (R: p = 3,63%)
4.) Uz koju godišnju, složenu, dekurzivnu kamatnu stopu se neki iznos poveća
za 35% za 5 godina? (R: p = 6,19%)
5.) Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) iznos od 5.000 kn, uz
složenu, godišnju, dekurzivnu kamatnu stopu od 4,5%, naraste na 7.000 kn?
(R: 7 god., 7 mj., 22 d.)
6.) Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) se neki iznos, uz
složenu, godišnju, dekurzivnu kamatnu stopu od 3%, udvostruči?
(R: 23 g., 5 mj., 12 d.)
7.) Izračunajte konačnu vrijednost glavnice od 50.000 kn nakon 8 godina, ako
je prve 3 godine kamatna stopa iznosila 6,5%, sljedeće 3 godine 6% i zadnje
2 godine 5%. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan.
(R: C8 = 79.307,64 kn)
8.) Mica je prije 10 godina uložila na račun u banci 50.000 CHF. Prije 4 godine
podigla je 9.000 CHF, a prije 2 godine još 20.000 CHF. Godišnja dekurzivna
kamatna stopa bila je prve 3 godine 4%, sljedeće 4 godine 5%, a danas je
6%. Koliki iznos Mica danas ima na računu? (R: X = 47.695,47 CHF)
9.) Mica je prije 5 godina uložila u banku 15.000 kn, a prije 4 godine podigla
određeni iznos. Ako je danas na računu 10.350 kn, koliki je iznos Mica podigla
prije 4 godine. Banka je prve dvije godine primjenjivala godišnji kamatnjak 2, a
u preostalom razdoblju za 50% veći. Obračun kamata je godišnji, složen i
dekurzivan. (R: 6014,00 kn)
10.) Jozo je na 3 godine u banku uložio 20.000 kn. Izračunajte konačni iznos i
ukupne kamate ako je obračun kamata složen i godišnji uz anticipativnu
kamatnu stopu od 4%. (R: C3 = 22.605,61 kn; K = 2.605,61 kn)
11.) Koliki iznos trebamo uložiti danas da bi nakon 5 godina, uz složenu,
godišnju, anticipativnu kamatnu stopu 3,5%, na računu imali 50.000 kn?
(R: C0 = 41.841,44 kn)
12.) Uz koju godišnju, složenu, anticipativnu kamatnu stopu iznos od 10.000
kn donese 5.000 kn kamata za 10 godina? (R: q = 3,97%)
13.) Za koje vrijeme (u godinama, mjesecima i danima) neki iznos, uz složenu,
godišnju, anticipativnu kamatnu stopu od 5%, naraste 100%?
(R: 13 g., 6 mj., 5 d.)
3.3. VRSTE KAMATNJAKA
Propisana kamatna stopa za osnovno vremensko razdoblje naziva
se nominalna ili zadana kamatna stopa. Međutim, osnovni
vremenski interval (najčešće jedna godina) na koji se odnosi
nominalna kamatna stopa i vremenski interval u kojem se obavlja
kapitalizacija (odnosno kamate pribrajaju glavnici) ne moraju biti
jednake duljine. U tom slučaju moramo odrediti kamatnu stopu koja
odgovara vremenskom intervalu u kojem se obavlja kapitalizacija.
Označimo sa n1 vremenski interval na koji se odnosi zadana
kamatna stopa, a sa n2 vremenski interval u kojem se pripisuju
kamate. Tako je npr. u trenutnom bankovnom poslovanju s tekućim
računima zadana godišnja kamatna stopa, dakle n1 = 1 godina = 12
mjeseci, a kamate se pripisuju glavnici svaka 3 mjeseca, pa je n2 =
0,25 godina = 3 mjeseca. Označimo sa m kvocijent tih brojeva, tj.:
n1
m=
n2
Dakle, m je broj koji pokazuje koliko se puta u toku osnovnog
vremenskog
intervala
kamate
pripisuju
glavnici.
Najčešće se razmatra situacija kada je n1 > n2 i tada govorimo o
ispodnominalnom ukamaćivanju. Dakle, ako je razdoblje kapitalizacije kraće od osnovnog vremenskog intervala na koji se odnosi
nominalna kamatna stopa imamo:
m > 1.
Međutim, moguća je i obrnuta situacija, tj. da je nominalna kamatna
stopa zadana za kraće razdoblje nego što je razdoblje kapitalizacije.
Tada govorimo o iznadnominalnom ukamaćivanju i imamo:
m<1.
Kamatna stopa vezana uz vremensko razdoblje kraće ili duže od
vremenskog razdoblja uz koje je zadana nominalna kamatna stopa
određuje se na dva načina: kao relativna kamatna stopa i kao
konformna kamatna stopa.
3.3.1. RELATIVNI KAMATNJAK
Neka je p kamatna stopa za osnovni vremenski interval n1.
Kapitalizacija se vrši u nekom drugom vremenskom razdoblju n2.
Računamo: m = n1/n2. Broj m predstavlja broj kapitalizacija u tijeku
jednog osnovnog vremenskog intervala. Relativni kamatnjak koji
se odnosi na period n2 i označava sa pr dobije se tako da nominalni
kamatnjak p podijelimo sa m, tj.:
p
pr =
m
Dakle, ako je godišnji kamatnjak p, tada je polugodišnji p/2, kvartalni p/4, mjesečni p/12 itd. Pogledajmo sada na primjeru što se
dešava s konačnom svotom u slučaju kada razdoblje kapitalizacije
nije isto kao osnovno vremensko razdoblje, a primjenjujemo
relativnu kamatnu stopu.
Primjer 1.
Odredite konačnu vrijednost uloga od 6.000 kn nakon 4 godine uz
nominalni godišnji kamatnjak p = 6%. Kapitalizacija je složena i
dekurzivna, uz primjenu relativne kamatne stope i to:
a) godišnja
b) polugodišnja
c) mjesečna
d) dvogodišnja
Rješenje:
C0 = 6000 kn
n = 4 godine
p=6
p
1
+
a) r =
100 = 1 + 0,06 = 1,06
Cn = C0 × rn = 6000 × 1,064 = 6000 × 1,262477 = 7.574,86 kn
b) n1 = 1 godina = 12 mjeseci; n2 = 0,5 godina = 6 mjeseci
n
12
m= 1 =
n2
6 =2 ⇒
p 6
pr = m = 2 = 3 ⇒
rr = 1 +
pr
3
= 1+
= 1,03
100
100
Cn = C8 = 6000 × 1,038 = 6000 × 1,26677 = 7.600,62 kn
c) n2 = 1 mjesec ⇒ m =
12
6
=
12
⇒
p
=
r
1
12 = 0,5
⇒
0,5
rr = 1 +
100 = 1,005
Cn = C48 = 6000 × 1,00548 = 6000 × 1,270489 = 7.622,93 kn
1
6
d) n2 = 2 godine ⇒ m = 2 = 0,5 ⇒ pr = 0,5 = 12
⇒
12
rr = 1 + 100 =1,12
Cn = C2 = 6000 × 1,122 = 6000 × 1,2544 = 7.526,40 kn
Kao što se vidi, konačna vrijednost uložene svote (a time i iznos
kamata) to je veći što je kraći period ukamaćivanja, tj. što češće
ukamaćujemo unutar određenog vremenskog razdoblja.
Napomena: Postupak je potpuno jednak i kod anticipativnog
obračuna kamata, tj. vrijedi:
q
qr =
m
3.3.2. KONFORMNI KAMATNJAK
Kamatnjak koji nam daje jednaku konačnu vrijednost bez obzira na
razdoblje,
odnosno
broj
ukamaćivanja
unutar
određenog
vremenskog intervala, naziva se konformni kamatnjak. U praksi se
puno češće koristi i označava se sa pl (ql). Izvest ćemo formulu za
konformni kamatnjak i pripadni kamatni faktor:
a) dekurzivno ukamaćivanje
Polazimo od toga da konačna vrijednost uz kamatnu stopu p i n
ukamaćivanja mora biti jednaka konačnoj vrijednosti uz kamatnu
stopu pl i n × m ukamaćivanja:
n
p 
p′ 


C0 ×  1 +
 = C0 ×  1 +

 100 
 100 
n
p 
p′ 


1 +
 = 1 +

 100 
 100 
p
p′ 

1+
= 1 +

100  100 
m× n
/ :C0
m× n
/
n
m
Nakon što gornju jednakost malo sredimo dobit ćemo formulu za
konformni dekurzivni kamatnjak:


p
m
p ′ = 100 ×  1 +
− 1
100 

U praksi ćemo puno češće koristiti direktnu formulu za konformni
kamatni faktor:


p
100 ×  m 1 +
− 1
100 

p′
p
p
r′ = 1+
= 1+
= 1+ m 1+
−1 = m 1+
100
100
100
100
dakle:
r′ = r
m
ili
r′ = r
1
m
b) anticipativno ukamaćivanje
Polazimo od iste pretpostavke kao i kod dekurzivnog ukamaćivanja.
Doći ćemo do jednakosti
 100 
100
=

100 − q  100 − q ′ 
m
iz koje slijedi formula za anticipativni konformni kamatnjak:

100 − q 
m

q ′ = 100 ×  1 −
100


Odredit ćemo i direktnu formulu za za konformni anticipativni kamatni faktor:
ρ′ =
=
100
=
100 − q′
100
=


100 − q

100 − 100 × 1 − m
100 

1

100 − q 
1 − 1 − m
100 

=
ρ′ = m ρ
tj.
1
100
=m
100 − q
100 − q
m
100
ili
ρ′ = ρ
1
m
Primjer 2.
Odredite konačnu vrijednost iznosa od 5.000 EUR nakon 6 godina
uz godišnju kamatnu stopu 5. Kapitalizacija je složena, dekurzivna i
koristi se konformna kamatna stopa. Ukamaćivanje se vrši:
a) godišnje
b) kvartalno
c) mjesečno
d) dvogodišnje
a) C0 = 5.000 EUR
n = 6 godina
p=5
p
r = 1+ 100 = 1,05
Cn = Co×rn ⇒ C6 = 5000 × 1,056 = 5000×1,340096 = 6.700,48EUR
12
b) n1 = 1 godina = 12 mjeseci ; n2 = 3 mjeseca ⇒ m = 3 = 4
rl =
4
r = 4 1,05 = 1,012272234
Cn = C24 = 5000 × 1,01227223424 = 6.700,48 EUR
c) n2 = 1 mjesec ⇒ m = 12 ⇒ rl =
12
1,05 = 1,004074124
Cn = C72 = 5000 × 1,00407412472 = 6.700,48 EUR
d) n2 = 2 godine ⇒ m= 0,5 ⇒ rl =
1
m
r = 1,05
Cn = C3 = 5000 × 1,10253 = 6.700,48 EUR.
1
1
2
= 1,052 = 1,1025
Zadaci za vježbu:
1.) Odredite relativnu i konformnu kamatnu stopu ako je obračun
kamata polugodišnji, a godišnja nominalna stopa:
a) 4%
b) 6%
c) 5,5%
d) 8%
(R: a) pr = 2%; p/ = 1,98% b) pr = 3%; p/ = 2,96%
c) pr = 2,75%; p/ = 2,71% d) pr = 4%; p/ = 3,92% )
2.) Odredite relativnu i konformnu kamatnu stopu ako je obračun
kamata mjesečni, a godišnja nominalna stopa:
a) 3%
b) 4,5%
c) 5,5%
d) 9%
(R: a) pr = 0,25%; p/ = 0,2466% b) pr = 0,375%; p/ = 0,3675%
c) pr = 0,4583%; p/ = 0,4472% d) pr = 0,75%; p/ = 0,7207% )
3.) Odredite konačnu vrijednost uloga od 5.000 kn nakon 7 godina
uz nominalni složeni, dekurzivni, godišnji kamatnjak od 6%.
Primjenjuje se relativna kamatna stopa, a obračun kamata se vrši:
a) godišnje
(R: Cn = 7.518,15 kn)
b) polugodišnje
(R: Cn = 7.562,95 kn)
c) mjesečno
(R: Cn = 7.601,85 kn)
d) dvogodišnje
(R: Cn = 7.434,18 kn)
4.) Odredite konačnu vrijednost uloga od 8.000 kn nakon 6 godina
uz godišnju kamatnu stopu od 5%. Primjenjuje se konformna
kamatna stopa, a kapitalizacija je složena, dekurzivna i:
a) godišnja
b) polugodišnja
c) mjesečna d) dvogodišnja
(R: Cn = 10.720,76 kn)
5.) Poduzeće X treba isplatiti dugovanje koje dospijeva:
5.000.000 kn
krajem 2. godine od danas,
3.000.000 kn
krajem 4. godine od danas, te
4.000.000 kn
krajem 6. godine od danas.
Kojim se iznosom dugovanje može podmiriti danas, ako je godišnji
kamatnjak 9%, obračun kamata je složen, dekurzivan i mjesečni, a
primjenjuje se relativna kamatna stopa? (R: C0 = 8.610.693,96 kn)
3.4.
KONAČNA
(BUDUĆA)
VRIJEDNOST
VIŠE
PERIODIČNIH UPLATA (ISPLATA)
Razmotrit ćemo slučaj kada se više jednakih iznosa uplaćuje
(isplaćuje) ravnomjerno u jednakim vremenskim intervalima kroz n
razdoblja. Pretpostavimo da je razdoblje kapitalizacije jednako
vremenskom razdoblju dospijeća između tih uplata i da je kamatna
stopa konstantna. Konkretni primjer u kojem možemo primijeniti
relacije koje slijede je životno osiguranje ili stambena štednja.
Uplate
mogu
biti
početkom
razdoblja
pa
govorimo
o
prenumerando uplatama, ili krajem razdoblja pa govorimo o
postnumerando uplatama. Izračunat ćemo konačnu vrijednost
svih tih uplata (isplata), tj. sve te jednake oplate R zamijeniti jednim
iznosom na kraju n-tog razdoblja.
3.4.1. PRENUMERANDO
Neka je obračun kamata dekurzivni uz složenu kamatnu stopu p (i
odgovarajući kamatni faktor r) i uplate (R) su početkom razdoblja.
Konačna vrijednost Sn tih n prenumerando uplata jednaka je sumi
svih uplata pojedinačno svedenih na kraj n-tog razdoblja (uvećanih
za odgovarajuću kamatu):
Sn = R×r + R×r2 + .........+ R×rn-2 + R×rn-1 + R×rn =
= R×(r + r2 + r3 + ......... + rn-2 + rn-1 + rn)
Izraz u zagradi predstavlja sumu prvih n članova geometrijskog niza
čiji je prvi član a1 = r i kvocijent q = r, te na temalju formule za sumu
geometrijskog niza dolazimo do relacije za konačnu vrijednost n
periodičnih prenumerando isplata:
rn −1
Sn = R × r ×
r −1
Uzmemo li da je uplata R = 1, dobit ćemo izraz
rn −1
r×
r − 1 koji
predstavlja konačnu vrijednost prenumerando uplata (isplata) od po
jedne novčane jedinice, zajedno sa složenim kamatama, na kraju ntog razdoblja. Vrijednosti tog izraza mogu se naći u “trećim”
financijskim tablicama i označavaju se sa
III pn , pa se gornja relacija
može pisati i u obliku:
S n = R × III pn
.
Primjer 1.
Ako Stipe početkom svake godine ulaže iznos od 1.000 EUR, koliko
će imati nakon 10 godina? Složeni, godišnji, dekurzivni kamatnjak
iznosi 5%.
Rješenje:
R = 1.000 EUR
n = 10 godina
p = 5%
Sn = ?
r = 1+
p
5
= 1+
= 1,05
100
100
r n −1
1,0510 − 1
Sn = R × r ×
= 1000 ×1,05 ×
= 13.206,79 EUR
r −1
1,05 − 1
3.4.2. POSTNUMERANDO
Razmotrimo sada slučaj ako su uplate krajem razdoblja. Dakle, na
početku prvog razdoblja nema nikakve uplate, ali se javlja jedna
nova na kraju posljednjeg razdoblja. Konačna vrijednost svih
postnumerando uplata jednaka je:
Snl = R + R×r + R×r2 + ......... + R×rn-2 + R×rn-1 =
= R×(1 + r + r2 + ........... + rn-2 + rn-1).
Kao i u prethodnom slučaju, preko formule za sumu geometrijskog
niza, dobivamo relaciju za konačna vrijednost n postnumerando
jednakih uplata:
r n −1
S = R×
r −1
/
n
Ne zaboravimo Petka:
(
)
S n/ = R × III pn −1 + 1
Lako je uočiti da između konačne vrijednosti prenumerando i
postnumerando uplata postoji veza:
S n = S n/ × r
Primjer 2.
Riješimo prethodni primjer uz pretpostavku da je Stipe vršio uplate
krajem godine.
Rješenje:
rn −1
1,0510 − 1
S = R×
= 1000 ×
= 12.577,89 EUR
r −1
1,05 − 1
/
n
Provjerimo relaciju
S n = S n/ × r ⇒ 12.577,89 ×1,05 = 13.206,78
3.5. POČETNA (SADAŠNJA) VRIJEDNOST VIŠE
PERIODIČNIH ISPLATA (UPLATA)
Postavljamo pitanje: koliko novaca trebamo danas imati na računu u
banci (ili nekoj sličnoj financijskoj ustanovi) da bi si omogućili neki
stalni iznos (rentu) svaki mjesec (godinu,..) tijekom slijedećih 5, 10,
100
godina?
Dakle,
trebamo
izračunati
sadašnju
(početnu)
vrijednost više periodičnih isplata (uplata). Isplate mogu biti krajem ili
početkom razdoblja pa razlikujemo dva slučaja.
3.5.1.
POSTNUMERANDO
Tražimo početnu vrijednost svih n jednakih isplata (R) koje
dospijevaju krajem svakog razdoblja uz kamatnu stopu p. Obračun
kamata je složen i dekurzivan, a razdoblje kapitalizacije jednako je
vremenskom razdoblju između dospijeća tih uplata. Početna
vrijednost An tih n postnumerando isplata jednaka je:
1
1
1
1
An = R × + R × 2 + ........ + R × n −1 + R × n =
r
r
r
r
1
1 
1 1
= R ×  + 2 + ....... + n −1 + n 
r
r 
r r
Izraz u zagradi je suma prvih n članova geometrijskog niza čiji je prvi
član jednak kvocijentu, tj. a1 = q = 1/r. Dakle:
n
1
  −1
1 r
An = R × ×
1
r
−1
r
Nakon što ovo malo sredimo dobit ćemo formulu za početnu
(sadašnju) vrijednost n postnumerando isplata (uplata) od po R
novčanih jedinica uz kamatnu stopu p (i odgovarajući kamatni faktor
r):
rn −1
An = R × n
r ( r − 1)
Run, Petko, run! Evo i “četvrtih” financijskih tablica:
rn −1
IV = n
r ( r − 1)
n
p
⇒
An = R × IV pn
3.5.2. PRENUMERANDO
U slučaju kada su isplate (uplate) početkom razdoblja, početna
vrijednost svih n prenumerando isplata jednaka je:
1
1
1
An/ = R + R × + R × 2 + ........ + R × n−1 =
r
r
r
n
1
  −1
1 
r
 1 1
= R × 1 + + 2 + ...... + n−1  = R ×  
1
r 
 r r
−1
r
Nakon sređivanja dobit ćemo formulu za početnu (sadašnju) vrijednost n prenumerando isplata:
rn −1
An′ = R × n−1
r (r − 1)
Vrijedi relacija:
ili
An′ = An × r
An′ = R × ( IV pn −1 + 1)
Primjer 1.
Koliki iznos trebamo uložiti danas da bi sljedećih 5 godina mogli
svaki mjesec podizati po 3.000 kn? Godišnja, složena, dekurzivna
kamatna stopa je 6%, a primjenjuje se konformni kamatnjak. Mjesečne iznose podižemo: a) krajem mjeseca, b) početkom mjeseca.
Rješenje:
R = 3.000 kn
n = 5 godina = 60 mjeseci
p = 6% ⇒ r = 1,06
A n, A n/ = ?
Prvo moramo izračunati mjesečnu kamatnu stopu, odnosno
mjesečni kamatni faktor:
m = 12 ⇒ rl =
m
r = 12 1,06 = 1,004868
a) sadašnja vrijednost postnumerando
1,065 − 1
rn −1
3000 ×
An = R × n
r ( r − 1) =
1,065 (1,004868 − 1) = 155.757,08 kn
b) sadašnja vrijednost prenumerando
rn −1
1,065 − 1
An′ = R × n −1
3000 ×
r (r − 1) =
1,00486859 (1,004868 − 1)
= 156.511,11 kn
Ili koristeći relaciju
An′ = An × r
An/ = 155.757,08 × 1,004868 = 156.515,31 kn.
Očito je da za veću preciznost rl treba računati na više decimala.
Zadaci za vježbu:
1. Koliki iznos treba uplaćivati početkom svake godine ako se želi na
kraju osme godine raspolagati s iznosom od 50.000 kn? Fiksni
godišnji kamatnjak je 4,9.
Rješenje:
Sn = 50.000 kn
n = 8 godina
p = 4,9%
R=?
r = 1+
p
4,9
= 1+
= 1,049
100
100
r n −1
r −1
Sn = R × r ×
⇒ R = Sn ×
r −1
r × (r n − 1)
R = 50.000 ×
1,049 − 1
= 5.009,39kn
1,049 × (1,0498 − 1)
2. Koliko treba uplaćivati krajem svakog mjeseca ako se želi krajem
pete godine raspolagati sa 80.000 EUR? Godišnja, dekurzivna,
složena kamatna stopa iznosi 4%.
Rješenje:
S n/ = 80.000 EUR
n = 5 godina = 60 mjeseci
p = 4% ⇒ r = 1,04
R=?
r / = m r = 12 1,04 = 1,003274
rn −1
r −1
S = R×
⇒ R = Sn/ × n
r −1
r −1
/
n
R = 80.000 ×
1,003274 − 1
= 1.208,94 EUR
1,045 − 1
3. Đuro ima pravo na mjesečne postnumerando iznose od 1500 kn u
trajanju 8 godina od danas. Umjesto toga želi jednokratnu isplatu
krajem treće godine. Kolika je ta isplata ako je godišnja kamatna
stopa 7%? Obračun kamata je složen, mjesečni i dekurzivan, uz
primjenu konformne kamatne stope.
Rješenje:
R = 1500 kn
n1 = 8 godina = 96 mjeseci
n2 = 3 godine
p = 7% ⇒ r = 1,07
C3 = ?
r / = m r = 12 1,07 = 1,005654
r n −1
1,078 − 1
An = R × n
= 1500 ×
= 110.892,53 kn
8
r (r − 1)
1,07 (1,005654 − 1)
C3 = 110.892,53×1,073 =135.848,12 kn
Đuro će za 3 godine dobiti iznos od 135.848,12 kn.
4. Koliki iznos moramo ulagati početkom svakog mjeseca tijekom 20
godina da bi si obezbjedili mjesečne postnumerando rente od 500
EUR za daljnjih 15 godina? Godišnja fiksna kamatna stopa je fiksna
i iznosi 6%.
Rješenje:
n1 = 20 godina = 240 mjeseci
n2 = 15 godina = 180 mjeseci
R2 = 500 EUR
12
p = 6% ⇒ r = 1,06 ⇒ r = 1,06 = 1,004868
/
R1 = ?
S240 = A180
A180
r n −1
1,0615 − 1
= R× n
= 500 ×
= 59.853,63EUR
r (r − 1)
1,0615 × (1,004868 − 1)
R = Sn ×
r −1
r × (r n − 1)
R1 = 59.853,63 ×
1,004868 − 1
= 131,37 EUR
1,004868 × (1,06 20 − 1)
Dakle, početkom svakog mjeseca tijekom 20 godina moramo
uplaćivati 131,37 EUR.
5. Stipe ulaže početkom svakog mjeseca tijekom 5 godina iste
iznose u banku. 8 godina nakon prvog uloga na računu ima 50.000
kn. Kolike iznose je Stipe ulagao ako je godišnja, složena,
dekurzivna kamatna stopa 6,5%.
Rješenje:
C8 = 50.000 kn
n1 = 5 godina = 60 mjeseci
n2 = 3 godine
12
p = 6,5% ⇒ r = 1,065 ⇒ r = 1,065 = 1,005262
/
R=?
S60 × r3 = 50.000
r n −1
Sn = R × r ×
r −1
1,0655 − 1
R × 1,005262 ×
× 1,0653 = 50000
1,005262 − 1
R = 585,45 kn
Stipe je početkom svakog mjeseca tijekom 5 godina ulagao 585,45
kn.
6. Vice prodaje maslinik. Dobio je 3 ponude. Kupac A nudi 8.000
EUR odmah, 8.000 EUR za 2 godine i 8.000 EUR za 4 godine.
Kupac B nudi 12.000 EUR i po 2.000 EUR krajem sljedećih 7
godina. Kupac C nudi po 800 EUR početkom svakog mjeseca
sljedeće 2,5 godine. Godišnja, složena, dekurzivna kamatna stopa
je 6%. Koja je ponuda najpovoljnija?
Rješenje:
Da bi ih usporedili, sve 3 ponude moramo svesti na sadašnju
vrijednost.
12
p = 6% ⇒ r = 1,06 ⇒ r = 1,06 = 1,004868
/
Ponuda A: koristimo relaciju: C0 =
A = 8.000 +
Cn
rn
8.000 8.000
+
= 21.456,72 EUR
1,06 2 1,06 4
rn −1
Ponuda B: koristimo relaciju: An = R × r n ( r − 1)
1,06 7 − 1
B = 12.000 + 2.000 ×
= 23.164,76 EUR
7
1,06 × (1,06 − 1)
rn −1
Ponuda C: koristimo relaciju: An′ = R × r n −1 (r − 1)
1,06 2,5 − 1
C = 800 ×
= 22.385,72 EUR
1,004868 29 × (1,004868 − 1)
Najpovoljnija je ponuda kupca B.

Download Report