Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
BETONSKE KONSTRUKCIJE 1
Osnovne akademske studije, V semestar
Prof dr Stanko Brčić
email: [email protected]
Departman za Tehničke nauke,
GRAÐEVINARSTVO
Državni Univerzitet u Novom Pazaru
2014/15
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Sadržaj
1
Grede T ili Γ preseka
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
2
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Sadržaj
1
Grede T ili Γ preseka
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
2
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je:
- statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi )
- geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, dp )
- mehaničke karakteristike (M B, σv )
Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi:
- površina potrebne armature (Aa )
- položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σbp )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Sračunaju se granični statički uticaji
X
Mu =
γui Mi
Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice a1 , pa se odredi statička visina
h = d − a1
Iz uslova ravnoteže momenata odredi se napon pritiska u
sredini ploče:
M
u
σbp =
d
B dp h − 2p
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
U slučaju da se dobije da je σbp > fB , postupak se prekida i
vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra)
Iz veze σ − ε odredi se dilatacija u sredini ploče:
r
σbp
εbp = 2(1 − 1 −
)
εa = 10 ‰ ⇒
fB
s0
Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa:
εbp
dp
dp
x0 =
h−
= s0 h −
εbp + εa
2
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Uprošćeni proračun T preseka
x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x0 > dp /2
neutralna osa je ispod ploče (u rebru)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji
uslov:
d
x0 + 2p
εb = εbp
≤ 3.5‰
x0
Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x0 ≤ dp /2), presek se
dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B × d
Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x0 > dp /2, potrebna
površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže
normalnih sila)
M
u Aa =
d
σv h − 2p
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Ukoliko se utvrdi da se neutralna osa nalazi u ploči, presek se
dimenzioniše kao pravougaoni širine B
Za sračunatu statičku visinu izračuna se bezdimenzionalni
koeficijent k:
h
k=q
Mu
B fB
Na osnovu dobijenog k iz tabela za dimenzionisanje
pravougaonih preseka očita se vrednost mehaničkog
koeficijenta armiranja µ
¯ ili koeficijenta kraka sila ζ
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji
Aa = µ
¯×
B × h fB
×
100
σv
ili prema izrazu
Aa =
Mu
Mu
=
z × σv
ζ × h × σv
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Sa određenom potrebnom količinom armature Aa usvoji se
prečnik i broj šipki
Usvojena armatura se raspoređuje u preseku (vodeći računa o
čistom razmaku a0 )
Sračuna se težište armature a1 i odredi se tačna vrednost
statičke visine h
Statička visina h se upoređuje sa računskom i u slučaju
odstupanja proračun se ponavlja
Posle konvergencije prikaže se presek i armatura (u razmeri
1:10)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1
Odrediti potrebnu količinu armature Aa za gredu T preseka
poznatih dimenzija i poznatog graničnog momenta Mu
Dato je:
- granični momenat savijanja . . . Mu = 600 kNm
- dimenzije T preseka [cm] . . . b = 40, B = 120, d = 60 i
dpl = 12
- kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 30
⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2
Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice: a1 = 0.1 d = 6 cm
Statička visina preseka
h = d − a1 = 60 − 6 = 54 cm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1
Napon u sredini ploče:
σbp =
M
u
B dp h −
dp
2
=
600 · 102
120 · 12 · (54 −
12
2 )
= 0.87 kPa
Dilatacija u sredini ploče:
εbp
!
r
r
σbp
0.87
=2 1− 1−
= 0.481 ‰
=2 1− 1−
fB
2.05
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1
Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je:
εbp
dp
0.481
12
h−
=
54 −
= 2.20 cm
x0 =
εbp + εa
2
0.481 + 10
2
Kako je x0 < dp /2 = 6cm, neutralna linija se nalazi u ploči i
presek se računa kao pravougaoni širine B = 120 cm
Bezdimenzionalni koeficijent k je
k=q
h
Mu
B fB
=q
Stanko Brčić
54
= 3.458
600·102
120·2.05
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1
Iz tablica se dobija εb /εa = 1.70/10 ‰, kao i koeficijent
neutralne ose s = 0.145
Prema tome, neutralna osa je na rastojanju
x = s h = 0.145 · 54 = 7.84 cm < dp = 12cm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 1
Sa ovim se izračuna potrebna površina armature prema relaciji
Aa = µ
¯×
B × h fB
120 × 54 2.05
×
= 8.851×
×
= 29.39 cm2
100
σv
100
40
ili prema izrazu
Aa =
Mu
600 × 102
=
= 29.33 cm2
ζ × h × σv
0.947 · 54 · 40
Usvojeno 6RΦ25 (29.45 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Uprošćeni proračun T preseka - primer 1
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznato je:
- statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (Mi )
- mehaničke karakteristike materijala(M B, σv )
- geometrija poprečnog preseka: širine B i b i debljina ploče dp
Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi:
- površina potrebne armature (Aa )
- visina poprečnog preseka (d)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Izračunaju se granični statički uticaji
X
Mu =
γui Mi (i = g, p, ∆)
i
Usvaja se napon u betonu u nivou srednje ravni ploče σbp
Za veći usvojen napon, presek je manje visine i ima više
armature
Napon σbp se usvaja u granicama 0.3 fB ≤ σbp ≤ 0.75 fB
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Sa usvojenim naponom σbp izračunava se statička visina:
h=
dp
Mu
+
B · dp · σbp
2
Iz poznate veze napon-dilatacija za beton i sa usvojenim
naponom u sredini ploče izračunava se dilatacija u sredini ploče
r
σbp
εbp = 2 1 − 1 −
fB
a usvaja se εa = 10‰
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Radni dijagram betona - veza σ − ε
σb =
fB
4
fB
⇒
za 0 ≤ εb ≤ 2‰
za 2 ≤ εb ≤ 3.5‰
q
σ
= 2 1 − 1 − fbp
B
(4 − εb ) εb
εbp
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Određuje se položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan
ploče:
εbp
dp
x0 =
h−
εbp + εa
2
Veličina x0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče dp /2
Ako se utvrdi da je neutralna linija u rebru x0 > dp /2, presek
je oblika T
Ako je neutralna linija u ploči x0 ≤ dp /2, presek je
pravougaonog oblika širine B
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Ako je u pitanju T presek, potrebna količina armatura se
određuje prema
Mu
Aa =
d
(h − 2p ) σv
Ako je u pitanju pravougaoni presek, za sračunatu statičku
visinu h određuje se koeficijent k
k=q
h
Mu
B fB
Iz tablica se za dobijeno k očitaju vrednosti mehaničkog
koeficijenta armiranja µ
¯ i/ili koeficijenta ζ
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
U tom slučaju, potrebna količina armature se određuje iz
relacije
B × h fB
Aa = µ
¯×
×
100
σv
ili prema izrazu
Aa =
Mu
Mu
=
z × σv
ζ × h × σv
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Slobdno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak
Sa određenom količinom armature Aa usvoji se profil i broj
šipki, pa se rasporede u preseku (širina je poznata ili usvojena),
vodeći računa o razmacima
Odredi se položaj težišta raspoređene armature a1 i izračuna se
(pa usvoji zaokruživanjem) visina preseka d:
d = h + a1
Konačno se konstruiše i prikaže poprečni presek
(u razmeri 1:10)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2
Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature Aa za
gredu T preseka zadatih dimenzija i poznatih momenata
savijanja Mi
Dato je:
- momenti savijanja . . . Mg = 200 i Mp = 250 kNm
- dimenzije T preseka [cm] . . . b = 40, B = 180 i dpl = 10
- kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 30
⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2
Granični momenat savijanja
Mu = 1.6 × 200 + 1.8 × 250 = 770 kNm
Usvaja se napon betona u sredini debljine ploče
σbp = 0.3 fbk = 0.3 · 30 = 9.0 MPa = 0.9 kN/cm2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2
Izračunava se statička visina h
h=
dp
Mu
770 · 102
10
+
=
+
= 52.53 cm
B × dp × σbp
2
180 · 10 · 0.9
2
Sa usvojenim naponom σbp izračunava se odgovarajuća
dilatacije betona u sredini ploče:
!
r
r
σbp
0.90
=2 1− 1−
= 0.502 ‰
εbp = 2 1 − 1 −
fB
2.05
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2
Izračunava se položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče:
εbp
dp
0.502
10
h−
=
52.53 −
= 2.27 cm
x0 =
εbp + εa
2
0.502 + 10
2
Kako je x0 < dp /2 = 5.0cm, to se presek dimenzioniše kao
pravougaoni širine B
Izračunava se bezdimenzionalni koeficijent k:
k=q
h
Mu
B fB
52.53
=q
Stanko Brčić
= 3.636
770·102
180·2.05
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 2
Iz tablica se, za izračunato k, očitava
εb /εa = 1.575/10‰
µ
¯ = 7.903%
pa se izračunava potrebna količina armature
Aa = µ
¯×
180 · 30 2.05
B × h fB
×
= 7.903 ×
·
= 38.30 cm2
100
σv
100
40
Usvojeno: 8RΦ25 (39.27 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Sadržaj
1
Grede T ili Γ preseka
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
2
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak
Ako je računska širina ploče B manja od 5 širina rebra b:
B < 5b
pri čemu je još i neutralna osa na delu rebra, posmatrani T
presek dimenzioniše se po tačnijem postupku
To znači da se ne zanemaruje nosivost dela rebra u ukupnoj
nosivisti T preseka
Posmatra se složeno savijanje - veliki ekscentricitet sa silom
pritiska (ili zatezanja)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Računski model sa uzimanjem u obzir nosivosti pritisnutog dela
rebra
P
Ma1 = 0 :
Dbu × z = Mau = Mu + Nu (yb1 − a1 )
Dbu = Dbu1 − Dbu2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
⇒
s
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak
Poznati su granični uticaji u preseku Mu i Nu
Postavlja se uslov ravnoteže momenata za težište zategnute
armature
X
Ma1 = 0 : Dbu × z = Mau = Mu + Nu (yb1 − a1 ) (1)
Sila u betonu je data kao razlika dve sile
Dbu = Dbu1 − Dbu2
Sila Dbu1 je ukupna sila u zamišljenom pravougaonom preseku
B×x
Sila Dbu2 je sila u dodatom delu preseka ispod ploče, a do
neutralne ose i ova sila se oduzima od Dbu1
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Pritisnuti deo betonskog preseka
Dbu = Dbu1 − Dbu2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak
Ako je u pitanju vezano dimenzionisanje, uz pretpostavljeno
težište zategnute armature a1 odredi se statička visina h
Jednačina ravnoteže momenata (1) se, na način kao i za
pravougaone preseke, svodi na relaciju
k=q
h
Mau
B·fB
iz koje se iz tablica očita bezdimenzionalan koeficijent položaja
neutralne ose s
Sa time se odredi položaj neutralne ose x = s h, pa se proveri
da li je neutralna osa u ploči (x ≤ dP ) ili u rebru (x > dP )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Sila u pravougaonom pritisnutom delu preseka data je sa
Dbu1 = αb1 · B · x · fB
gde je
- αb1 = αb1 (εb ) . . . koeficijent punoće dijagrama napona
- η1 = η1 (εb ) . . . koeficijent položaja rezultante Dbu1
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Sila u fiktivnom delu preseka (oduzima se) data je sa
Dbu2 = αb2 · (B − b) · (x − dp ) · fB
gde je
- αb2 = αb2 (εb ) . . . koeficijent punoće dijagrama napona
- η2 = η2 (εb ) . . . koeficijent položaja rezultante Dbu2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Dimenzionisanje greda T preseka - tačniji postupak
Moguć je i alternativni pristup u kome se odredi zamenjujuća
širina pravougaonog preseka
Umesto da se ukupna sila pritiska u betonu sa udelom dela
rebra odredi kao Dbu = Dbu1 − Dbu2 , odredi se ekvivalentna
širina preseka bi na celoj visini do neutralne ose
Ekvivalentna širina preseka data je sa
bi = K · B
gde je
αb2
δ
b
K =1−
× 1−
× 1−
αb1
s
B
Stanko Brčić
gde je δ =
Betonske konstrukcije 1
dp
h
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Širina zamenjujućeg (ekvivalentnog) preseka
bi = K · B
gde je
αb2
δ
b
× 1−
× 1−
K =1−
αb1
s
B
Stanko Brčić
gde je δ =
Betonske konstrukcije 1
dp
h
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3
Odrediti potrebnu količinu armature Aa za gredu T preseka
zadatih dimenzija i poznatih momenata savijanja Mi
Dato je:
- momenti savijanja . . . Mg = 200 i Mp = 250 kNm
- dimenzije T preseka [cm] . . . b = 30, B = 60, d = 60 i dpl = 10
- kvalitet materijala . . . MB 30, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 30
⇒ fB = 20.5 M P a = 2.05 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2
Granični momenat savijanja
Mu = 1.6 × 200 + 1.8 × 250 = 770 kNm
Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature
a1 = 9 cm, tako da je statička visina jednaka
h = d − a1 = 60 − 9 = 51 cm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3
Pretpostavlja se da je x < dp , odn. da je u pitanju
pravougaoni presek širine B
Bezdimenzionalni koeficijent k dat je sa
k=q
h
Mau
B·fB
=q
51
770×102
60×2.05
= 2.038
Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.348, tako
da je neutralna osa određena sa
x = s h = 0.348 × 51 = 17.7 cm odn. x > dp = 10 cm
Pretpostavka o položaju neutralne ose nije tačna, pa presek
mora da se dimenzioniše kao T presek
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3
Kako je pri tome B = 60cm, b = 30cm, dn. kao je
B/b = 2 < 5, posmatrani T presek mora da se računa tačnije,
odn. sa učešćem nosivosti i pritisnutog dela rebra
Koristi se pristup sa ekvivalentnom širinom pravougaonog
preseka, tako da je širina zamenjujućeg pravougaonika data sa
bi = K · B
gde je koeficijent K dat sa
δ
b
αb2
× 1−
× 1−
K =1−
αb1
s
B
gde je δ =
Postoje tablice za određivanje koeficijenta K
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
dp
h
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Vezano dimenzionisanje greda T preseka - primer 3
Sa novom ekvivalentnom širinom bi = 45 cm, dobija se
koeficijent k
k=q
h
Mau
B·fB
=q
51
770×102
45×2.05
= 1.765
Iz tablica za pravougaone preseke očitava se s = 0.501 ≈ 0.5
Takođe, iz tablica se očitava µ
¯ = 40.533%, pa je potrebna
količina armature
Aa = µ
¯·
B · h fB
45 · 51 2.05
·
= 40.533 ·
·
= 47.67 cm2
100 σv
100
40
Usvojeno: 10RΦ25 (49.09 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Tačnije dimenzionisanje greda T preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Sadržaj
1
Grede T ili Γ preseka
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
2
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog
pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog
i povremenog opterećenja. Dati su podaci:
-
stalno opterećenje . . . Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN
povremeno opterećenje . . . Mp = 680 kNm, Np = 800 kN
dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm
kvalitet materijala . . . MB 40, RA 400/500
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Za usvojeni materijal betona i čelika je:
MB 40
⇒ fB = 25.5 M P a = 2.55 kN/cm2
RA 400/500 ⇒ σv = 400 M P a = 40.0 kN/cm2
Granični uticaji Mu i Nu (u odnosu na težište)
Mu = 1.6 Mg + 1.8 Mp = 2000 kNm
Nu = 1.6 Ng + 1.8 Np = 2400 kN
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do
zategnute ivice a1 = 8cm, statička visina preseka je
h = d − a1 = 90 − 8 = 82 cm
Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na
težište zategnute armature:
d
Mau = Mu + Nu
− a1 = 2888 kNm
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Bezdimenzionalni koeficijent k je
k=q
h
Mau
b fB
=q
82
2888×102
40×2.55
= 1.541
Iz tablica se za k = 1.541 očitava: εb = 3.5‰, kao i
εa = 1.10‰
Kako je εa = 1.10 < 3.0‰, presek se dvojno armira
Iz tablica se, za εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰, očitava: k ∗ = 1.719
iµ
¯∗ = 43.589%
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za
εb = 3.5‰ i εa = 3.0‰
2
h
Mabu =
bfB
k∗
tako da se dobija
Mabu =
0.82
1.719
2
0.40 × 25.5 × 103 = 2321 kNm
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Razlika u graničnim momentima:
∆Mau = Mu − Mabu = 2888 − 2321 = 567 kNm
se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature
Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do
pritisnute ivice preseka jednako a2 = 5cm, pritisnuta armatura
je
∆Mau
567 × 102
Aa2 =
=
= 18.41 cm2
σv (h − a2 )
40 (82 − 5)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Ukupna površina zategnute armature je
Aa1 = µ
¯∗1 b h
∆Mau
Nu
fB
+
−
σv
σv (h − a2 )
σv
odnosno,
Aa1 =
43.589
2.55
2400
40 × 82 ×
+ 18.41 −
= 49.55 cm2
100
40
40
Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature
su: Aa2 = 18.41 cm2 Aa1 = 49.55 cm2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4
Kako je Aa2 < Aa1 , obe zone se armiraju prema izračunatim
površinama armature
Usvaja se sledeća armatura:
zategnuta armatura: Aa1 = 49.55 cm2 . . . usvojeno 8RΦ28
(49.26 cm2 )
pritisnuta armatura: Aa2 = 18.41 cm2 . . . usvojeno 3RΦ28
(18.47 cm2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi
Posmatra se pravougaoni presek koji je izložen složenom
savijanju u oblasti velikog ekscentriciteta pritiska
Poznati su granični uticaji Mu i Nu , kao i dimenzije poprečnog
preseka b/d, dok je kvalitet betona i čelika usvojen: vezano
dimenzionisanje
Određen je granični momenat za težište zategnute armature
(uz pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature a1 :
d
Mau = Mu + Nu
− a1
2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi
Za dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi εb = 3.5 ‰, kao i
εa = 3.0 ‰, odgovarajući koeficijenti iz tablica za
pravougaone preseke su:
k ∗ = 1.719 µ
¯∗ = 43.927% ζ ∗ = 0.776
Granični momenat loma jednostruko armiranog pravougaonog
preseka je dat sa
∗
Mau
=
Stanko Brčić
h
k∗
2
· b · fB
Betonske konstrukcije 1
(2)
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi
Razlika graničnih momenata data je sa
"
2 #
k
∗
× Mau
∆Mau = Mau − Mau = 1 −
k∗
(3)
Potrebna površina zategnute armature usled graničnog
momenta savijanja iznosi
Aa1 =
∗
∆Mau
Mau
−
zb∗ σv
(h − a2 ) σv
Stanko Brčić
gde je
Betonske konstrukcije 1
zb∗ = ζ ∗ h
(4)
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi
∗ i za ∆M , datih sa (2) i
Posle unošenja vrednosti za Mau
au
(3), izraz za površinu armature (4), posle sređivanja, može da
se napiše u obliku
Aa1 =
Mau
Nu
· ka −
h · σv
σv
(5)
Na sličan način, koristi se izraz za površinu pritisnute armature
Aa2 :
∆Mau
Aa2 =
σv (h − a2 )
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi
Posle malo transformacija, dobija se izraz za površinu
pritisnute armature:
Aa2 =
Mau
· k0
h · σv a
(6)
Koeficijenti ka i ka0 dati su izrazima
(1 − α2 − ζ ∗ ) · (k/k ∗ )2 + ζ ∗
(1 − α2 ) ζ ∗
1 − (k/k ∗ )2
a2
ka0 =
gde je α2 =
1 − α2
h
ka =
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
(7)
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - alternativni izrazi
U izrazima (7) vrednosti k ∗ , ζ ∗ i zb∗ = ζ ∗ h odgovaraju
graničnom momentu nosivosti jednostruko armiranog preseka
∗
Mau
Koeficijent k se odnosi na ukupni granični momenat savijanja
Mau
U izrazima za površinu armature za silu pritiska se unosi
Nu > 0, a za silu zatezanja Nu < 0
Ako je k < k ∗ presek se dvojno armira, a ako je k ≥ k ∗ , presek
se tretira kao jednostruko armiran
Postoje tablice za koeficijente ka i ka∗
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a
Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog
pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog
i povremenog opterećenja. Dati su podaci:
-
stalno opterećenje . . . Mg = 485 kNm, Ng = 600 kN
povremeno opterećenje . . . Mp = 680 kNm, Np = 800 kN
dimenzije poprečnog preseka . . . b/d = 40/90 cm
kvalitet materijala . . . MB 40, RA 400/500
(alternativno ponovljen primer 4)
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a
Dobijeno je, za a1 = 8 cm i statičku visinu h = 82cm,
Mu = 2000 kNm,
Nu = 2400 kN,
Mau = 2888 kNm
Koeficijent k koji odgovara granično momentu Mau iznosi
k = 1.541, dok je za εb/a = 3.5/3.0‰ koeficijent k ∗ jednak
k ∗ = 1.719
Prema tome, odnos koeficijenata k i k ∗ je
k
1.541
=
= 0.896 ≈ 0.90
∗
k
1.719
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a
Uz pretpostavljeno rastojanje težišta pritisnute armature
a2 = 8 cm, dobija se
α2 =
a2
8
=
= 0.0976 ≈ 0.10
h
82
Za vrednosti k/k ∗ = 0.90 i α2 = 0.10 iz tablica se očitava
ka = 1.255 i ka0 = 0.211
Ukupna površina zategnute armature je data sa (5):
Aa1 =
Mau
2400
Nu
2888 · 100
·ka −
=
·1.255−
= 50.50 cm2
h · σv
σv
82 · 40
40
U primeru 4 je dobijeno Aa1 = 49.55 cm2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
Vezano dimenzionisanje
Dvojno armirani pravougaoni preseci - primer 4a
Površina pritisnute armature data je sa (6):
Aa2 =
Mau
2888 · 100
· k0 =
· 0.211 = 18.58 cm2
h · σv a
82 · 40
U primeru 4 je dobijeno Aa2 = 18.41 cm2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Sadržaj
1
Grede T ili Γ preseka
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
2
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Posmatra se naprezanje preseka usled normalne sile pritiska,
koja deluje u ravni simetrije preseka i malo je ekscentrična u
odnosu na težišnu osu
Granični statički uticaju su Nu i Mu = Nu · e, pri čemu je
ekscentricitet e relativno mali: e < d/6
Normalna sila pritiska je unutar jezgra preseka i ceo presek je
pritisnut
“Donja” ivica 1 je manje pritisnuta, a “gornja” ivica 2 je više
pritisnuta
Ovako stanje napona i deformacija je karakteristično za
stubove
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Deformacijska stanje preseka
Mali ekscentricitet sile pritiska - oblast između linija g i h
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Proračunski model za ekscentrični pritisak, mali
ekscentricitet
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Granične dilatacije u preseku se kreću u intervalu od εb1 = 0‰
do εb2 = 3.5‰, zavisno od ekscentriciteta normalne sile, pa
do εb1 = εb2 = 2‰, što odgovara centričnom pritisku (oblast
između linija g i h)
Ceo presek je pritisnut, odn. neutralna osa je izvan poprečnog
preseka (x ≥ d)
Preseci koji su napregnuti u oblasti malog ekscentriciteta
armiraju se, po pravilu, simetrično postavljenom armaturom
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Minimalan procenat ukupne armature je µa,min = 0.8%
(najčešće je u granicama od 0.8% do 1%, ali i do 3%) u
odnosu na bruto površinu betonskog preseka
Imajući u vidu dijagram dilatacija u preseku, dilatacija na više
pritisnutoj ivici “2” je
εb1 ∈ [2.0 ÷ 3.5] ‰
Dilatacija na manje pritisnutoj ivici “1” je zavisna od dilatacije
na ivici “2”:
14 − 4 εb2
εb2 =
3
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Dakle, kod ekscentrično pritisnutih elemenata u fazi malog
ekscentriciteta ceo presek je pritisnut, odn. εa ≤ 0‰, pa se
granični uticaji određuju sa maksimalnim vrednostima
parcijalnih koeficijenata sigurnosti
Pri ovakvoj vrsti naprezanja (ceo presek je pritisnut), nema
prslina u preseku, pa je aktivan ceo betonski presek, odn.
ukupna površina betona Ab , kao i površine armatura Aa1 i Aa2
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Proračunski model za ekscentrični pritisak, mali
ekscentricitet
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Uslovi ravnoteže sila u porečnom preseku glase (redukciona
tačka za momente je težište preseka Gb ):
X
N = 0 : ⇒ Dbu + Dau1 + Dau2 = Nu
X
d
−a
MGb = 0 : ⇒ Dbu · yd + Da2u ·
(8)
2
d
− Da1u ·
− a = Mu = Nu · e
2
Kako je presek po pravilu simetrično armiran, to su rastojanja
težišta armatura Aa1 i Aa2 međusobno ista: a1 = a2 = a
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
U jednačinama ravnoteže (8) spoljašnji uticaji su granične sile
u preseku
P
- Nu = Pγui Ni . . . granična sila pritiska
- Mu =
γui Mi = Nu e . . . granični momenat savijanja
kao i granične unutrašnje sile
- Dbu . . . sila pritiska u betonu
- Da1u , Da2u . . . sile pritiska u donjoj i gornjoj armaturi
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Broj jednačina ravnoteže (8) je dva, tako da se biraju dva
nezavisna parametra preko kojih mogu da se izraze ostale
veličine
Za dva nezavisna parametra usvajaju se:
1
2
εb2 . . . dilatacija betona na jače pritisnutoj ivici
a
µ= A
Ab . . . ukupni koeficijent (procenat) armiranja
Uvode se oznake (zbog usvojenog simetričnog armiranja)
- Aa1 = Aa2 = A2a . . . površina armature uz obe ivice su
međusobno iste
- a1 = a2 = a . . . rastojanje težišta armature do bliže ivice
betona
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Iz dijagrama napona pritisaka u preseku može da se odredi
rezultanta, odn. granična sila pritiska u betonu:
Dbu = αd b d fB
gde je αd koeficijent “punoće” naponskog dijagrama:
αd =
125 + 64 εb2 − 16 ε2b2
189
Položaj rezultujuće sile pritiska u betonu (težište naponskog
dijagrama) je dat sa
yd = k d · d
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Koeficijent kd položaja rezultante sile pritiska Dbu dat je sa
kd =
(εb2 − 2)2
40
·
7 125 + 64 εb2 − 16 ε2b2
Dilatacija u manje pritisnutoj ivici betona
d
εb1 = 1 −
εb2
x
Na primer,
- za εb2 = 2.0‰ . . . εb1 = 2‰, kd = 0, αd = 1.0
- za εb2 = 3.5‰ . . . εb1 = 0‰, kd = 0.084, αd = 0.809
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Sile pritiska u armaturi dole i gore
Daiu = σai · Aai
Napon u armaturi
Ea · εai
σai =
σv
za
za
εai <
εai ≥
Dilatacije u armaturi dole i gore
h
εa1 = 1 −
· εb2
x
Stanko Brčić
(i = 1, 2)
σv
Ea
σv
Ea
(i = 1, 2)
a
εa1 = 1 −
· εb2
x
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Površine armature dole i gore
Aai = µi · Ab
(i = 1, 2)
µ1 = µ2 =
Geometrijski koeficijenti armiranja
µi =
Aai
b·d
(i = 1, 2)
µ
¯1 = µ
¯2 =
Mehanički koeficijenti armiranja
µ
¯i = µi ·
Stanko Brčić
σv
fB
(i = 1, 2)
Betonske konstrukcije 1
µ
¯
2
µ
2
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta
Kao što je rečeno, minimalan ukupni procenat armiranja za
silu pritiska i mali ekscentricitet je µmin = 0.8 ÷ 1.0%
Ukupni koeficijent ariranja µ je definisan u odnosu na ukupnu
površinu betona:
Aa
Aa
µ=
=
Ab
b·d
Na ovaj način, sve veličine koje figurišu u jednačinama
ravnoteže (8) su izražene preko dva izabrana parametra εb2 i µ
Rešavanjem jednačina ravnoteže i odgovarajućim
transformacijama i sređivanjima mogu da se odrede sve veličine
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Sadržaj
1
Grede T ili Γ preseka
Uprošćeni proračun T preseka - nastavak
Tačniji postupak proračuna T preseka
Dvostruko armirani preseci - alternativne tablice
2
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Navedeni izrazi su komplikovani za primenu i takav pristup za
dimenzionisanje nije praktičan
Ekscentrično pritisnuti AB elementi u oblasti malog
ekscentriciteta dimenzionišu se primenom interakcionih
dijagrama
Dijagrami interakcije M − N su grafička interpretacija
granične nosivosti preseka
Konstruišu se na osnovu uslova ravnoteže, za usvojeni oblik i
dimenzije preseka, raspored i količinu armature i mehaničke
karakteristike materijala
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Primena dijagrama interakcije najviše se koristi za ekscentrični
pritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali može da se proširi
praktično na čitavu oblast naprezanja Mu i Nu , odnosno Mu i
Zu
Interakcioni dijagrami “pokrivaju” svih pet
naponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da se
korista za dimenzionisanje i drugačije opterećenih preseka
Za usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored i
količinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika,
bira se stanje graničnih dilatacija u preseku
Sa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen i
raspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona u
zategnutoj i pritisnutoj armaturi
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Iz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja za
težište betonskog preseka, jednoznačno se određuju granični
momenti Mu i odgovarajuća granična normalna sila Nu koji
dovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranim
dilatacijama u betonu i armaturi
Ponavljajući postupak za konačan broj različitih stanja
graničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovaraju
usvojenom koeficijentu (procentu) armiranja
Variranjem količine armature u preseku, dobija se familija
krivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kao
parametra
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Dijagram interakcije M-N
(a) za pojedinačan presek
(b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska
stanja preseka
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Da bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, oni
se prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata mu − nu
Bezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni granični
momenat savijanja
Mu
mu =
b d2 fB
kao i bezdimanzionalna granična normalna sila
nu =
Stanko Brčić
Nu
b d fB
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Tako konstruisani dijagrami interakcije mogu da se koriste za
proizvoljan odnos strana b/d pravougaonog preseka, kao i za
bilo koju marku betona
Dijagrami interakcije konstruišu se za izabran oblik poprečnog
preseka, za usvojen kvalitet armature (GA ili RA), za usvojen
način armiranja: odnos donje i gornje armature, kao i položaj
armature definisan odnosom a/d (odnos položaja težišta
armature i visine preseka), a parametarski zavisno od niza
vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Dijagrami interakcije prikazuju računsku nosivost preseka za
izabrane parametre
Sigurnost u odnosu na lom preseka je zadovoljena kada je
granična nosivost preseka veća ili jednaka nosivosti tog preseka
za granične uticaje
Znači, ako se granični uticaju mu i nu nalaze unutar površine
oivičene graničnom krivom i koordinatnim osama, za određeni
mehanički koeficijent armiranja
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Postupak vezanog dimenzionisanja preseka primenom
dijagrama interakcije je sledeći:
1
za poznate granične uticaje Mu i Nu , kao i dimenzije preseka
b/d i kvalitet betona fB , odrede se bezdimenzionalne veličine
mu =
2
3
Mu
b d2 fB
nu =
Nu
b d fB
zavisno od kvaliteta (σv ), položaja (a/d) i rasporeda
(Aa1 /Aa2 ) armature, bira se odgovarajući dijagram interakcije
iz dijagrama interakcije, za određeno mu i nu , očitaju se
mehanički procenat armranja µ
¯, kao i dilatacije u betonu i
armaturi εb2 i εa1
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Sa određenim mehaničkim koeficijentom armiranja, potrebna
površina armature se određuje
Aa = µ
¯bd
fB
σv
Očitane vrednosti graničnih dilatacija u betonu i armaturi
olakšavaju određivanje parcijalnih koeficijenata sigurnosti
(provera da li su granični uticaji Mu i Nu dobro određeni)
Analogno se konstruišu dijagrami interakcije za, npr. kružni ili
sandučasti poprečni presek
Takođe se konstruišu dijagrami interakcije i za preseke
opterećene na koso savijanje
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Dijagram interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Dijagram interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Dijagram interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1
Grede T ili Γ preseka
Mali ekscentricitet - dijagrami interakcije
Mali ekscentricitet sile pritiska
Dijagrami interakcije M-N
Dijagram interakcije M-N
Stanko Brčić
Betonske konstrukcije 1

GRS 80_ba